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Paralelismo Perpendicularidade Triangulos Exercıcios e atividade
MA093 – Matematica basica 2Paralelismo e perpendicularidade. Triangulos
Francisco A. M. Gomes
UNICAMP - IMECC
Agosto de 2018
Paralelismo Perpendicularidade Triangulos Exercıcios e atividade
Topicos importantes
O objetivo dessa aula e investigar
1 As definicoes de circunferencia, de retas paralelas eperpendiculares e de triangulo.
2 As propriedades de angulos gerados quando uma reta cortaduas outras retas paralelas.
3 Como tracar retas paralelas e perpendiculares.
4 Outras definicoes relacionadas a paralelismo,perpendicularidade e triangulos.
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Circunferencia
Definicao
A circunferencia e o conjunto dos pontos de um plano que estao auma mesma distancia – denominada raio – de um ponto do plano– denominado centro.
O: centro da circunferencia
P: ponto da circunferencia
r : raio da circunferencia
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Retas concorrentes e paralelas
Definicao
1 Duas retas sao concorrentes se tem um unico ponto comum.2 Duas retas sao paralelas se
a) Sao coincidentes; oub) Sao coplanares e nao tem pontos em comum.
Postulado de Euclides
Por um ponto passa uma unica reta paralela a uma reta dada.
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Duas paralelas e uma transversal
Definicao
Dadas as retas r , s e t ao lado,sao angulos correspondentes:
A e E .
B e F .
C e G .
D e H.
Teorema
As retas r e s sao paralelas se e somente se dois anguloscorrespondentes sao iguais.
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Duas paralelas e uma transversal
Definicao
1 Sao angulos alternos internos:
C e E .D e F .
2 Sao angulos alternos externos:
A e G .B e H.
Teorema
As retas r e s sao paralelas se e somente se dois angulos alternosinternos (ou dois angulos alternos externos) sao iguais.
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Duas paralelas e uma transversal
Definicao
1 Sao angulos colaterais internos:
C e F .D e E .
2 Sao angulos colaterais externos:
A e H.B e G .
Teorema
As retas r e s sao paralelas se e somente se dois angulos colateraisinternos (ou dois angulos colaterais externos) sao suplementares.
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Retas perpendiculares
Definicao
Duas retas sao perpendiculares sesao concorrentes e formam umangulo reto.
Retas concorrentes que nao formam um angulo reto sao ditasoblıquas.
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Retas perpendiculares
Teorema
Dado um ponto P de uma reta r em um plano α, existe uma unicareta s em α que passa por P e e perpendicular a r .
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Retas perpendiculares
Teorema
Dado um ponto P que nao pertence a uma reta r ,existe uma unica reta s que passa por P e e perpendicular a r .
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Ponto medio e mediatriz
Definicoes
1 Ponto medio de um segmento de reta AB e o ponto M talque AM ≡ MB.
2 Mediatriz de um segmento de reta e a reta que eperpendicular ao segmento e passa pelo seu ponto medio.
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Projecao
Definicoes
1 A projecao (ortogonal) de um ponto P sobre uma reta r e oponto P ′ que esta na intersecao de r com a reta que passapor P e e perpendicular a r .
2 A projecao de um segmento AB sobre uma reta r (naoperpendicular a AB) e o segmento A′B ′, em que A′ e B ′ sao,respectivamente, as projecoes de A e B sobre r .
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Distancia
Definicoes
1 A distancia entre dois pontos A e B e o comprimento (oumedida) do segmento AB.
2 A distancia de um ponto P a uma reta r e o comprimento dosegmento PP ′, em que P ′ e a projecao de P em r .
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Triangulo
Definicao
Dados tres pontos nao colineares A,B e C , a reuniao dos segmentos AB,BC e CA e denominada triangulo.
Elementos do 4ABC :
Vertices: A, B e C .
Lados ou arestas: AB (de medida c), BC (de medida a) eCA (de medida b).
Angulos (internos): BAC (ou A), ABC (ou B) e ACB (ou C )
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Angulo externo
Definicao
Seja dado um triangulo ABC e a semirreta−→BD, oposta a aresta
AB. O angulo CBD e chamado angulo externo adjacente aovertice B.
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Angulo externo
Teorema
Em um triangulo, a medida de um angulo externo e igual a somadas medidas dos angulos internos nao adjacentes a ele.
Teorema
A soma dos angulos (internos) de um triangulo mede 180◦.
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Exercıcio 1
Problema
Sabendo que as retas a e b sao paralelas, determine o valor de α.
α = 40◦
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Exercıcio 2
Problema
Sabendo que as retas a e b sao paralelas, determine o valor de α.
α = 20◦
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Exercıcio 3
Problema
Determine o valor de α na figura abaixo.
α = 15◦
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Exercıcio 4
Problema
Calcule x e y indicados na figura abaixo.
x = 70◦ e y = 125◦
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Exercıcio 5
Problema
Sabendo que, na figura abaixo, os segmentos AB e CD saoparalelos, determine os valores de α e β.
α = 25◦ e β = 55◦
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Atividade
Problema
Desenhe as retas abaixo usando regua e compasso.
1 Dada uma reta r e um ponto P que nao pertence a r , traceuma reta s que passe por P e seja perpendicular a r . Mostre aprojecao de P sobre r .
2 Sobre a reta s, marque um ponto Q que diste 3 cm de r .
3 Trace uma reta t que seja paralela a reta r e que passe por Q.