Teorema da bissetriz de um triangulo Semelhanca de triangulos Potencia de ponto Exercicios

MA093 – Matematica basica 2Semelhanca de triangulos - Potencia de ponto

Francisco A. M. Gomes

UNICAMP - IMECC

Agosto de 2018

Teorema da bissetriz de um triangulo Semelhanca de triangulos Potencia de ponto Exercicios

Topicos importantes

O objetivo dessa aula e investigar

1 Semelhanca de triangulos.

2 Criterios de semelhanca.

3 Potencia de ponto.

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Teorema da bissetriz de um triangulo

AM

AC=

BM

BC

Teorema

Uma bissetriz interna de um triangulo divide o lado oposto emsegmentos proporcionais aos lados adjacentes.

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Demonstracao

ACM ≡ MCB (bissetriz)

MC ‖ BN

ACM ≡ CNB (correspondentes)

MCB ≡ CBN (alternos internos)

Logo, CBN ≡ CNB

4BCN e isosceles ⇒ CN ≡ BC

Pelo Teor. de Tales, AMAC

= BMBC

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Exemplo 1

Problema

Dado o triangulo abaixo, determine x .

Como o segmento vermelho e abissetriz do angulo C , temos

16

32=

x

27

x =16 · 27

32= 13, 5

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Semelhanca de triangulos

A ≡ A′

B ≡ B ′

C ≡ C ′

AB

A′B ′ =AC

A′C ′ =BC

B ′C ′

Definicao

Dois triangulos sao semelhantes se e somente se tem os anguloscorrespondentes congruentes e os lados correspondentesproporcionais

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Exemplo 2

Problema

Sabendo que os triangulos ABC e DEF sao semelhantes, determinex e y.

8

5=

x

2, 5⇒ x = 4

8

5=

6

y⇒ y = 3, 75.

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Reta paralela ao lado de um triangulo

4ABC ∼ 4DEC

Teorema

Se uma reta e paralela a um lado de um triangulo e intercepta osoutros dois lados em pontos que nao sao vertices, entao otriangulo que ela determina e semelhante ao primeiro.

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Criterio de semelhanca AA

A ≡ A′

C ≡ C ′

⇓

4ABC ∼ 4A′B ′C ′

Definicao

Se dois angulos de um triangulo sao congruentes a dois angulos deoutro triangulo, entao esses triangulos sao semelhantes.

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Criterio de semelhanca LAL

AC

A′C ′ =BC

B ′C ′

C ≡ C ′

⇓

4ABC ∼ 4A′B ′C ′

Definicao

Se dois lados de um triangulo sao proporcionais aos ladoscorrespondentes de outro triangulo, e se os angulos compreendidosentre esses lados sao iguais, entao os triangulos sao semelhantes.

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Criterio de semelhanca LLL

AB

A′B ′ =BC

B ′C ′ =AC

A′C ′

⇓

4ABC ∼ 4A′B ′C ′

Definicao

Se os tres lados de um triangulo sao proporcionais aos ladoscorrespondentes de outro triangulo, entao os triangulos saosemelhantes.

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Exemplo 3

Altura de uma caixa d’agua

Joao quer calcular a altura deuma caixa d’agua.

Com a ajuda de Marcelo, eledescobriu que, em certa horado dia, sua sombra mede 0,75m, enquanto a sombra dacaixa d’agua mede 2,5 m.

Se Joao mede 1,8 m, qual e aaltura da caixa?

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Resolucao

Os raios de sol fazem angulo αtanto com Joao, como com acaixa d’agua.

Desse modo, os triangulos aolado sao semelhantes (criterioAA).

x

1, 80=

2, 5

0, 75⇒ x =

2, 5 · 1, 80, 75

=4, 5

0, 75= 6 m

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Segmentos secantes a uma circunferencia

Teorema

Se dois segmentos AB e CD secantes a circunferencia se cruzamem um ponto P, entao AP · PB = CP · PD.

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Demonstracao

CPA ≡ BPA

CAP ≡ BDP

⇓

∆APC ≡ ∆DPB

⇓

AP

DP=

CP

BP

⇓

AP · PB = CP · PD

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Exercıcio 1

Problema

Na figura abaixo, CM e a bissetriz relativa ao angulo C C .Determine o valor de x.

x = 15

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Exercıcio 2

Problema

Sabendo que os triangulos ABC e DEC sao semelhantes, mostreque suas alturas mantem a proporcionalidade dos lados, ou seja,

AB

DE=

CN

CM

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Exercıcio 3

Largura de um rinque

Um rinque de patinacao quadrado sera construıdo em um terrenotriangular, como mostra a figura. Determine o comprimentomaximo do lado do rinque.

x = 14, 4 m

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Exercıcio 4

triangulos semelhantes

Os lados do triangulo ABC medem 10 cm, 15 cm e 20 cm.Determine os lados de um triangulo semelhante a ABC, comperımetro igual a 36 cm.

8 cm, 12 cm e 16 cm

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Exercıcio 5

Problema

Dado o triangulo abaixo, determine os valores de x e y.

x = 7, y = 10

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Exercıcio 6

Problema

Determine o valor de x

x = 3√

3

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Exercıcio 7

Subindo a ladeira

Um homem, de 1,80 m de altura, sobe uma ladeira, conformemostra a figura. No ponto A esta um poste vertical de 5 metros dealtura, com uma lampada no ponto B. Calcule o comprimento dasombra do homem depois que ele subiu 4 m ladeira acima.

2,25 m