Post on 03-Jul-2015
description
Washington Franco MathiasJosé Maria Gomes
MatemáticaFinanceira
Com + de 600 exercíciosresolvidos e propostos
5ª Edição
Capítulo 1
JUROSSIMPLES
MathiasGomes
Juro e Consumo
• Existe juro porque os recursos são escassos.
• As pessoas têm preferência temporal: preferem consumir a poupar.
• O prêmio para quem poupa é o juro.
MathiasGomes
Juro e Capital
• O Capital também éescasso.
• O Juro é a remuneração pelo uso do capital.
• O Juro é a remuneração pelo custo do crédito.
MathiasGomes
Taxa de Juros
• Juro e tempo andam juntos.
• O juro é determinado através de um coefi-ciente referido a um dado intervalo de tem-po.
• O coeficiente corresponde à remuneração da unidade de capital empregado por um prazo igual àquele da taxa.Ex.: 12 % ao ano.
MathiasGomes
Taxa de Juros
FORMA PORCENTUALFORMA PORCENTUAL
• Na forma porcentual a taxa de juros é aplicada a centos docapital.
Ex.: 12% ao ano.
FORMA UNITFORMA UNITÁÁRIARIA
• Na forma unitária a taxa de juros é aplicada a unidades docapital.
Ex.: 0,12 ao ano.
MathiasGomes
CÁLCULO DO JURO
- Ao valor aplicado;
- Ao tempo de aplicação.
- Ao valor aplicado;
- Ao tempo de aplicação.
JURO SIMPLES
• A remuneração pelo capital inicial (o principal) é diretamente proporcional:
MathiasGomes
CÁLCULO DO JURO
• FÓRMULA BÁSICA:
J = C . i . nJ = C . i . nJ = C . i . n
onde:J = JuroC = Capital inicial (Principal)i = Taxa de Juros (na forma unitária)n = prazo de aplicação (na mesma unidade que a taxa)
EXEMPLO
MathiasGomes
Exemplo
Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $1.000,00pelo prazo de 2 anos e à taxa de 10% a.a. Qual será o valora ser pago como juro ?Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00
Taxa de juros (i) = 10% a.a. Número de períodos (n) = 2 anos
Trabalhando com a taxa de juros na forma unitária, te-mos o juro do primeiro ano como sendo:
J1 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00
No segundo ano, teremos:J2 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00
MathiasGomes
O juro total será a soma do juro devido no primeiro ano(J1) mais o juro devido no segundo ano (J2)
J = J1 + J2J = 100,00 + 100,00 = $ 200,00
Ou então, podemos resolver o problema diretamente:
J = 1.000,00 X 0,10 X 1 + 1.000,00 X 0,10 X 1J = 1.000,00 X 0,10 X 2J = $ 200,00
Exemplo
MathiasGomes
CÁLCULO DO JURO
JURO SIMPLES
• Variações da fórmula básica.
J = C.i.n
inJC =
CnJi =
CiJn =
MathiasGomes
MONTANTE
JURO SIMPLES
• Montante é a soma do juro mais o capitalaplicado.
N = C + Jonde:C= principaln= prazo de aplicaçãoi = taxa de juros
N = C(1 + in)
EXEMPLO
MathiasGomes
ExemploQual é o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado à taxade 10 % a.a. pelo prazo de 2 anos ?
Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00Taxa de juros (i) = 0,10 a.a. Número de períodos (n) = 2 anos
E sendo:N = C(1+in)
Substituindo-se os valores, tem-se:
N = 1.000(1+0,10 x 2)N = 1.000(1+0,20)N = 1.000 x 1,20N = $ 1.200,00
MathiasGomes
ExemploÉ possível resolver o problema, seguindo-se a definição dada pormontante:
a) Calculando o juro devido:J = CinJ = 1.000,00 x 0,10 x 2 = $ 200,00
b) Somando-se o juro com o principal:N = C + JN = 1.000,00 + 2000,00 = $ 1.200,00
MathiasGomes
MONTANTE
N = C(1 + in)
inNC+
=1 n
CN
i1−
=
iC
Nn
1−=
JURO SIMPLES
MathiasGomes
TAXA PROPORCIONAL
JURO SIMPLES
A taxa i1 (referida ao período n1) é proporcional à taxa i2 (referida ao período n2) se:
2
1
2
1
ii
nn
=
ii11.n.n22 = i= i22.n.n11
Ou, do mesmo modo, se:
Ou ainda:
2
2
1
1
ni
ni
=
EXEMPLO
MathiasGomes
ExemploVerificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais.
Resolução: Temos: i1 = 5% a.t. = 0,05 a.t.
i2 = 20% a.a. = 0,20 a.a.n1 = 3 mesesn2 = 12 meses
Como: 2
1
2
1
nn
ii=
Substituindo-se os valores:123
20,005,0
=
que são grandezas proporcionais, porque o produto dos meios(0,20 x 3) é igual ao produto dos extremos (0,15 x 12). Logo, as taxas dadas são proporcionais.Mathias
Gomes
ExemploSendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxaproporcional mensal.
Resolução: Temos: i1 = 5% a.t. = 0,05 a.t.
n1 = 12 mesesi2 = ?n2 = 1 mês
E, como:
2
1
2
1
nn
ii= tem-se:
11224,0
2=
i
0,24 x 1 = i2 x 12 ..02,01224,0
2 mai ==∴ ou i = 2% a.m.
MathiasGomes
TAXA EQUIVALENTE
Duas taxas de juros são equivalentes se:
• aplicadas ao mesmo capital;
• pelo mesmo intervalo de tempo.
=> Ambas produzem o mesmo juro.
No regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais são igualmente equivalentes.
EXEMPLO
MathiasGomes
ExemploSeja um capital de $ 10.000,00 que pode ser aplicado alternativa-mente à taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo deaplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes.
Resolução:
Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2anos, teremos o juro de:
J1 = 10.000,00 x 0,02 x 24 = $ 4.800,00Aplicando o mesmo principal à taxa de 24% a.a. por 2 a-
nos, teremos um juro igual a:J2 = 10.000,00 x 0,24 x 2 = $ 4.800,00
Constatamos que o juro será gerado é igual nas duas hi-póteses e, nestas condições, concluímos que a taxa de 2% a.m. é equivalente à taxa de 24% a.a.
MathiasGomes
PERÍODOS NÃO-INTEIROS
Quando o prazo de aplicação não é um número in-teiro de períodos a que se refere a taxa de juros, faz-se o seguinte:
I) Calcula-se o juro correspondente à parte inteira de pe-ríodos.
II) Calcula-se a taxa proporcional à fração de período queresta e o juro correspondente.
O juro total é a soma do juro referente à parte in-teira com o juro da parte fracionária.
EXEMPLO
MathiasGomes
ExemploQual o juro e qual o montante de um capital de $ 1.000,00 que éaplicado à taxa de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo de 5 anos e 9 meses ?
Resolução:
Sabemos que em 5 anos e 9 meses existem:5 x 2 semestres = 10 semestres9 meses = 1 semestre e 3 mesesOu seja, em 5 anos e 9 meses temos 11 semestres e 3
meses.
a) Cálculo do juro:1ª etapa:
J1 = 1.000,00 x 0,12 x 11 = $ 1.320,00MathiasGomes
Exemplo2ª etapa: Calculamos a taxa de juros proporcional ao trimestre:
Portanto: J2 = 1.000,00 x 0,06 x 1 = $ 60,00Logo, o total de juros é:
J = J1 + J2J = 1.320,00 + 60,00J = =$ 1.320,00 ====== CORRIGIR
Observe-se que a solução se obtém mais rapidamente lembran-do-se que 3 meses é igual a 0,5 semestre e, nestas condições,5 anos e 9 meses equivalem a 11,5 semestres:
..06,0212,0 ta
miim ===
MathiasGomes
ExemploJ = 1.000,00 x 0,12 x 11,5 = 1.380,00
b) Montante:
O montante é:
N = C + JN = 1.000,00 + 1.380,00 N = $ 2.380,00
Evidentemente poderíamos obter o mesmo resultado ra-ciocinando por etapas para obter o montante.
∴
MathiasGomes
JURO EXATO
Juro Exato é aquele em que:
• o período a que se refere a taxa está expresso em dias.
• é adotada a convenção do ano civil.
365CinJe =
EXEMPLO
MathiasGomes
ExemploQual é o juro exato de um capital de $ 10.000,00 que é aplicadopor 40 dias e à taxa de 36% a.a. ?
Resolução:
365CinJe =
52,394$365
4036,0000.10==
xxJe
MathiasGomes
JURO COMERCIAL
Juro comercial é aquele em que:
• o período a que se refere a taxa está expresso em dias.
• é adotada a convenção do ano comercial:
360CinJe =
EXEMPLO
MathiasGomes
ExemploCalcular o juro comercial correspondente ao exercício do item an-terior.
Resolução:
360CinJc =
00,400$360
4036,0000.10==
xxJc
Observe que, nas mesmas condições de aplicação, o juro comer-cial é maior que o juro exato.
MathiasGomes
DIAGRAMAS DE CAPITAL NO TEMPO
• Representam o fluxo de dinheiro no tempo;
• Representam o fluxo de caixa: entradas e saídas de di-nheiro;
• Graficamente:
(PERÍODOS)
Entradas (+)
Saídas (-)
1 20
1000
500
2000
MathiasGomes
VALOR NOMINAL
É quanto vale um compromisso na data do seuvencimento.
Exemplo:Uma pessoa aplicou uma quantia hoje evai resgatá-la por 20.000 daqui a 12 me-ses.
20.000 é o valor nominal da aplicação no mês 12.
20.000
120(meses)
MathiasGomes
VALOR ATUAL
É o valor que um compromisso tem em uma dataque antecede ao seu vencimento.
6 120
c
20.000
¨c¨ é o valor atual da aplicação de 20.000, na data 6.=> Para calcular ¨c¨, precisamos saber qual a taxa dejuros.
(meses)
MathiasGomes
VALOR FUTURO
Corresponde ao valor do título em qualquer dataposterior à que estamos considerando no momento.
Exemplo: Uma pessoa possui 10.000 hoje.
60
10.000
c
(meses)
¨c¨é o valor futuro de 10.000 na data 6.=> Para calcular ¨c¨, precisamos saber qual é a taxa dejuros.
EXEMPLO
MathiasGomes
Exemplo1) Vamos admitir que uma pessoa aplicou hoje uma certa quantia e que recebeu, pela aplicação, um título que irá valer $ 24.000,00 nomês 12.
a) Suponhamos que o valor aplicado hoje tenha sido de $ 15.000,00.Então, podemos calcular a taxa de juros simples utilizada na aplica-ção, do seguinte modo:
Resolução:
N = C (1+in)N = 24.000,00C = 15.000,00i = ?n = 12 meses
MathiasGomes
ExemploNestas condições:
24.000 = 15.000 (1+ i.12)
Dividindo os dois lados da igualdade por 15.000, a mesma não se altera:
000.15)12.1(000.15
000.15000.24 i+
=
Logo: 1,6 = 1 + i.12Somando-se -1 aos dois lados da igualdade, a mesma não se
altera:1,6 -1 = 1 -1 + i.120,6 = i.12
MathiasGomes
ExemploE dividindo-se de novo os dois lados da igualdade por 12, te-mos:
1212.
126,0 i=
Logo: i = 0,05
Observe que, como a unidade de tempo utilizada foi o“mês”, a taxa também fica referida ao mesmo intervalo de tem-po.Ou seja:
i = 0,05 ao mêsOu, o que dá no mesmo:
i = 5% ao mês.
MathiasGomes
Exemplob) Vamos admitir agora que não sabemos qual o valor aplicado, masque conhecemos a taxa de aplicação, que é de 6% ao mês. Neste caso podemos calcular o valor atual hoje (na data 0), que correspon-de ao próprio valor aplicado:
N = C (1 + i.n)Onde: N = 24.000,00
C = ?i = 0,06 (note que, para usar a fórmula deste modo, a taxa
deve ser colocada na forma unitária)n = 12 meses
Então:24.000 = C (1 + 0,06 x 12)24.000 = C (1 + 0,72)24.000 = C.1,72
MathiasGomes
Exemplo
Ou seja: C = 13.953,49
que é o valor atual na data 0, isto é, quanto a pessoaaplicou hoje.
Logo:
72,172,1.
72,1000.24 C
=
MathiasGomes
Exemplo2) Considere que uma pessoa possui hoje a quantia de $ 10.000,00.Qual será o valor futuro se a pessoa aplicar esta importância à taxade 5% ao mês, daqui a 3 meses ?
Temos: N = C (1 + i.n)Onde: N = ?
C = 10.000,00i = 0,05n = 3 meses
Logo:N = 10.000 (1 + 0,05 x 3)N = 10.000 (1,15)N = 11.500,00
O valor futuro será de $ 11.500,00 daqui a 3 meses.MathiasGomes