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MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 2
EMENTA
Funções Reais de uma Variável RealPrincipais Funções Elementares e suas AplicaçõesMatrizesLivro Texto:
Leithold, Louis. Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Ed. Harbra, 2001.
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CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos Naturais: IN={0, 1, 2, ...}.Conjunto dos Inteiros:
Z={...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}Conjunto dos Racionais:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≠∈∈= 0,,/ qZqZpqpQ
QQEx ∈=∈−
133,
52:.
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CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos Irracionais: são os números que não podem ser escritos na forma p/q.
Conjunto do Reais: IR= Q U I
K1415,3,3,2:. 5 =∈∈ πIIEx
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INTERVALOS
São subconjuntos de IR. Sejam a e b números reais tais que a<b. Definimos:Intervalo aberto:
Intervalo fechado:
] [ ( ) { }bxaRxbaba <<∈== /,,
o
b
o
a
[ ] { }bxaRxba ≤≤∈= /,
●a
●b
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Tipos de Intervalos
Intervalo semi-aberto à direita:
Intervalo semi-aberto à esquerda:
[ [ [ ) { }bxaRxbaba <≤∈== /,,ob
●a
] ] ( ] { }bxaRxbaba ≤<∈== /,,oa
●b
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Tipos de Intervalos
Intervalo aberto de a até infinito:
Intervalo fechado de a até infinito:
] [ ( ) { }axRxaa >∈=∞=∞ /,,oa
[ [ [ ) { }axRxaa ≥∈=∞=∞ /,,
●a
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Tipos de Intervalos
Intervalo aberto de menos infinito até b:
Intervalo fechado de menos infinito até b:
] [ ( ) { }bxRxbb <∈=∞−=∞− /,,O
b
] [ ( ] { }bxRxbb ≤∈=∞−=∞− /,,●
b
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PRODUTO CARTESIANO
Produto Cartesiano de A por B : É o conjunto formado pelos pares ordenados, dentro dos quais o primeiro elemento de cada par pertence ao conjunto A e o segundo elemento de cada par pertence ao conjunto B, sendo A e B conjuntos dados, não vazios. Este conjunto é denotado por A x B
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EXEMPLOEx : A={0,1,2}, B={5,6}, AxB={(0,5);(1,5);(2,5);(0,6);(1,6);(2,6)}
Obs : A x {}=Bx{}={}.Se A e B são não vazios, denotando o número de elementos de A por n(A) e o número de elementos de B por n(B), temos que o número de elementos de AxB dado por n(AxB) é dado pelo produto de n(A) por n(B), ou seja :
n(AxB) = n(A) . n(B)No exemplo acima temos
n(AxB) = 3 . 2 = 6.
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RELAÇÃO ENTRE CONJUNTOS
Relação de um conjunto A com um conjunto B, dados A e B é um subconjunto qualquer de AxBEx : A = {0,1,2}, B = {5,6}, R = {(0,5);(1,6)} , R AxB, logo é uma relação de A em B. Se diz neste exemplo que o elemento 0 A é relacionado com o elemento 5 B e o elemento 1 A érelacionado com o elemento 6 B.
⊂
∈∈ ∈
∈
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Representação GráficaQuando os Conjuntos A e B são numéricos, as relações são formadas por pares ordenados de números. Um par ordenado de números reais pode ser representado geometricamente por meio de dois eixos perpendiculares, sendo o horizontal chamado de eixo das abscissas, ou eixo x; e o vertical, de eixo das ordenadas ou eixo y.Um par ordenado (a,b) pode ser representado colocando-se a no eixo x, e b no eixo y, e traçando-se uma vertical por a e uma horizontal por b. O ponto P de intersecção dessas duas retas é a representação do par (a,b).
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Representação GráficaDessa forma, podemos representar geometricamente a relação R do exemplo anterior.
(0,5)●
(1,6)●
x
y
0
6
1
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Função
Função de um conjunto A com um conjunto B é uma relação de A com B, com as seguintes propriedades (A e B são não vazios):
1. Todos os elementos de A são relacionados com elementos de B
2. Um elemento de A não pode ser relacionado com dois ou mais elementos de B
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Exemplos1. A={4,7,8}; B={9,2,1,6} R = {(4,1);(7,9)}. R
não é uma função, pois nem todos os elementos de A são relacionados com os elementos de B
2. A={4,7,8};B={9,2,1,6} R = {(4,9);(4,1);(7,6);(8,9)}. R não é uma função, pois apesar de todos os elementos de A estarem relacionados com B, temos que um elemento de A (o 4) estárelacionado com dois elementos de B (9 e 1).
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Exemplos
3. A = {4,7,8};B={9,2,1,6} R = {(4,9);(7,9);(8,6)}. R é uma função. Além de todos os elementos de A estarem relacionados com B, esses estão relacionados cada um com apenas um elemento de B.
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Representações de uma função
Por uma letra minúscula qualquer seguida de dois pontos, seguida do conjunto A, de uma seta, e do conjunto B, sendo abaixo colocadas as relações entre os elementos de A com os elementos de B. Por exemplo, tomando os conjuntos A e B como no exemplo anterior temos a seguinte representação:
f: {4,7,8} {9,2,1,6}
4 9
7 9
8 6
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Representações de uma função
Por lei de associação. Quando existe uma forma geral de associar os elementos de A com os de B, éutilizada esta representação. É utilizada uma letra minúscula (por exemplo g) seguida por outra letra minúscula (geralmente x) dentro de um parênteses, vindo após o sinal de igualdade com a lei de associação adequada.Ex : A={1,2,3}; B={6,7,8,9}, g(x) = x +5, ou seja g: A B é tal que 1 é associado a 1+5=6, 2 éassociado a 2+5=7 e 3 a 3+5=8. A letra x échamada de variável.
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Representações de uma função
Por Diagrama de Venn (ou de flechas), onde as relações são dadas por setas.
1
7
8
6
5
4
3
13
9
A B
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Domínio, contra domínio e imagem
O conjunto A é chamado de domínio da função. O conjunto B é denominado de contra domínio da função. O conjunto formado pelos elementos de B relacionados aos elementos de A é definido como imagem da função. Neste exemplo, o domínio é dado por {1,7,8,6}, o contra domínio é definido por {5,4,3,9,13} e sua imagem é dada por {5,9,3}.
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FUNÇÕES REAIS UMA VARIÁVEL REAL
São todas aquelas funções com domínio em A e contradomínio em B, onde tanto A como B são subconjuntos dos reais.
2
),0[:xyx
IRf=
→∞a
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Exercícios1. Uma livraria vende uma revista por R$ 5,00 a unidade. Seja x
a quantidade vendida.a) Obtenha a função receita R(x);b) Calcule R(40);c) Qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$ 700,00?
2. O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função C(x)=100+ 2x.a) Qual o custo de fabricação de 10 unidades?b) Qual o custo de fabricação da décima unidade, já tendo sido fabricadas nove unidades?
3. Resolva a questão anterior considerando a função custo C(x)=1/3 x3 -24x2+ 600x + 400.
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Exercícios4. Chama-se custo médio de fabricação de um produto ao custo de
produção dividido pela quantidade produzida. Indicando o custos médio correspondente a x unidades produzidas por Cme=C(x)/x. O custo de fabricação de x unidades de um produto é C(x)=500+4x.a) Qual o custo médio de fabricação de 20 unidades?b) Qual o custo médio de fabricação de 40 unidades?c) Para que valor tende o custo médio à medida que se aumenta x?
5. Em determinado país o imposto de renda é igual a 10% da renda, para rendas até $ 900,00. Para rendas acima de $ 900,00, o imposto de renda é igual a $ 90,00 (10% de $ 900,00) mais 20% da parte de renda que excede $ 900,00.a) Qual o imposto de renda para uma renda de $ 600,00?b) Qual o imposto de renda para uma renda de $ 1.200,00?c) Chamando de x a renda e de y o imposto de renda, obtenha a expressão de y em função de x.
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Exercícios6. Determine o domínio das seguintes funções:
2)2)13))
362)3
31)
13)
21)
2)72)
−+=−=−−
==
+−=−
+=
−=
−=
−=+=
xxyjxyexxyixyd
xxyh
xxyc
xyg
xyb
xyfxya
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Funções Crescentes e Decrescente
Dizemos que uma função f é crescentenum intervalo [a,b] se para quaisquer valores x1 e x2 do intervalo, com x1< x2tivermos f(x1) < f(x2).Analogamente dizemos que f édecrescente num intervalo [a,b] se para quaisquer valores x1 e x2 do intervalo, com x1< x2 tivermos f(x1) < f(x2).
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Funções Crescentes e Decrescentes
●
●
●
o
o
o
1 2
1
2
3
a
b
Não-decrescente Não-crescente
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Ponto de Máximo e de MínimoSeja uma função definida num domínio D. Dizemos que xo é um ponto de máximo relativo (ou simplesmente ponto de máximo) se existir um intervalo aberto I, com centro em xo tal que:
Em outras palavras se as imagens de todos os valores de x pertencentes ao domínio, situados num intervalo centrado em xo, forem menores ou iguais à imagem de xo.
.)()( 0 DIxxfxf ∩∈∀≤
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Ponto de Máximo e de MínimoAnalogamente dizemos que xo é um ponto de mínimo relativo (ou simplesmente ponto de mínimo) se existir um intervalo aberto I, com centro em xo, tal que:
Em outras palavras se as imagens de todos os valores de x pertencentes ao domínio, situados num intervalo centrado em xo, forem menores ou iguais àimagem de xo.
.)()( 0 DIxxfxf ∩∈∀≥
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Ponto de Máximo e de Mínimo
Dizemos que x0 é um ponto de máximo absoluto se
E x0 é um ponto de mínimo absoluto se
.)()( 0 Dxxfxf ∈∀≤
.)()( 0 Dxxfxf ∈∀≥
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Ponto de Máximo e de Mínimo
Pontos de máximo: a, x2, b.Pontos de mínimo: x1, x3.x2 é máx. absoluto e x1 é min. absoluto.
a
x1
x2
x3
b
●●
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Estudo do Sinal de uma Função
Estudar o sinal de uma função significa obter os valores de x para os quais y>0 ou y < 0 ou y = 0.
1
3 5
6
++
-
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Estudo do Sinal de uma Função
No exemplo anterior temos na função definida no intervalo [1,6]:y > 0 para 1≤ x < 3 ou para 5 < x ≤ 6;y < 0 para 3< x < 5;y = 0 para x = 3 ou x = 7.Obs.: x=3 e x=7 são denominados zeros ou raízes da função.
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Exercícios1. Obtenha os intervalos nos quais a função dada é crescente e
nos quais ela é decrescente indicando pontos de máximo e de mínimo.
-2
1
-4
-7
3 5 6
●
●
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Exercícios2. Estude o sinal das seguintes funções:
x3
a)
x4b)
2 5 xc)
2 5x
x
e)
-1 0 1f)
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Principais Funções Elementares
Função ConstanteSeja . Chamamos de função constanteà função dada por:
lRc∈
cxfyxlRlRf
==→
)(:
a
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Função Constante
Observação: 1. Im f = {c};2. O gráfico de f é uma reta horizontal
de ordenada c.
x
yc
f(x) = c
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Função Linear
Seja Chamamos de função linear àfunção dada por:
Obs.: Se a≠0, temos:1. Im f = lR;2. O gráfico de f é uma reta que passa pela
origem (0,0) do plano cartesiano.
.lRa∈
axxfyxlRlRf
==→
)(:
a
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Função Linear
3. A função linear f(x) = x é chamada função identidade e contém as bissetrizes do 1º e 3º quadrantes.
x
y
f(x) = x
1
1
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Função do 1º Grau (ou Afim)
Sejam com a≠0. Chamamos de função afim ou do 1º grau à função dada por:
,, lRba ∈
baxxfyxlRlRf
+==→
)(:
a
Y = ax + b
x
y
b ὠ
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Função do 1º Grau (ou Afim)Observações:
1. As funções lineares f(x) = ax são casos particulares de funções afins f(x)=ax +b, em que b = 0;
2. Im f = lR;3. O gráfico de f é uma reta no plano cartesiano,
inclinada em relação aos eixos;4. O número b é denominado coeficiente linear da reta
e determina a ordenada em que esta reta intercepta o eixo y (pois b= f(0));
5. O número a é denominado coeficiente angular ou inclinação da reta (especifica a sua direção) a=tg ὠ.
MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 43
Função do 1º Grau (ou Afim)
5. Além disso, se:1. a>0, então f(x)=ax+b é crescente, isto é, x2>x1
implica f(x2)>f(x1) (isto significa que à medida que “aumentam” os valores de x, “aumentam”os valores correspondentes y=f(x);
2. a<0, então f(x)=ax+b é decrescente, isto é, x2>x1 implica f(x2)<f(x1) (isto significa que àmedida que “aumentam” Os valores de x, “diminuem” os valores correspondentes y=f(x).
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Função do 1º Grau (ou Afim)
(a>0) (a<0)
x1 x2
f(x1)
f(x2)
x1 x2
f(x1)
f(x2)
y
xx
y
Função crescente Função decrescente
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Função do 1º Grau (ou Afim)6. O estudo da variação de sinal da função f(x)=ax+b pode ser
dividido em dois casos:1º caso: a>0:
.0)(;0)(;0)( <⇒−<>⇒−>=⇒−= xfabxxf
abxxf
abx
-b/a
(+)
(-) x
y
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Função do 1º Grau (ou Afim)6. 2º caso: a<0:
.0)(;0)(;0)( >⇒−<<⇒−>=⇒−= xfabxxf
abxxf
abx
-b/a
(+)
(-) x
y
b
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Exemplos1. Obtenha a função cujo gráfico é dado pela figura
abaixo:
Seja y=a.x+b a função procurada. Então:b=1 (onde corta o eixo y), assim y=a.x+1; o ponto (1,3) pertence ao gráfico,logo: 3=a.1+1, sendo assim a=2; desta forma y=2x+1.
1
3
1
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Exemplos2. Obtenha a função cujo gráfico é dado pela figura abaixo:
Seja y=ax+b a função procurada. Pelo gráfico temos:
1 2
2
3
⎩⎨⎧
+⋅=+⋅=
baba
1223
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ExemplosSubtraindo membro a membro teremos:
3-2=2.a-1.a=a(2-1)
Assim, y=x+b. Novamente como o ponto (1,2) pertence ao gráfico, temos: 2=1+b o que acarreta b=1, logo: y=x+1.
De uma forma mais geral, conhecendo dois pontos P(x0,y0) e Q(x1,y1) de uma reta, o seu coeficiente angular a, é dado por:
11223=
−−
=a
01
01
xxyya
−−
=
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Exemplos
Conhecendo um ponto P(x0,y0) de uma reta e seu coeficiente angular a, a função correspondente é dada por:
y-y0= a(x – x0)
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Exercícios1. Esboce os gráficos da funções:
a) y=5; b)y=-3x; c)y=3x+2; d)y=-x+2.2. Estude o sinal das seguintes funções:
a)y=2x-6; b)y=-3x; c)y-2x+8; d) y=5x+2.3. Obtenha a equação da reta que passa por P e tem coeficiente
angular a nos seguintes casos:a) P(1,3) e a=2; b) P(-1,4) e a=-1; c) P(-1,-2) e a=2.
4. Obtenha a equação da teta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos:a)A(1,2) e B(2,3); b) A(-1,0); c) A(2,1) e B(0,4).
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AplicaçõesFunções Custo, Receita e Lucro
Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção depende de x, e a relação entre eles chamamos de função custo e a indicamos por C. Obs.: Existem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguros e outros.Seja x a quantidade vendida de um produto. Chamamos de função receita ao produto de x elo preço de venda e a indicamos por R.A função lucro é definida como a diferença entre a função receita R e a função Custo C. Assim,
L(x)=R(x) – C(x)
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ExemploSuponhamos que a função custo seja C(x)=5000+10x e a função lucro seja L(x)=15x. O ponto denivelamento ou ponto crítico é o valor de x tal que R(x)=C(x).Ou seja, 15x=5000+10x,
5x=5000,x=1000.
Assim, se x>1000, o lucro será positivo, se x<1000, o lucro será negativo (prejuízo).A função lucro é dada por: L(x)=R(x)-C(x)
L(x)=15x-(5000-10x)L(x)=5x-5000
MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 55
Exercícios1. Determine o ponto de nivelamento e esboce os gráficos da
função receita e custo em cada caso:a) R(x)=4x e C(x)= 50+2x; b) R(x)=200x e C(x)=10000+150x;
2. Obtenha as funções lucro em cada caso do exercício anterior, esboce o seu gráfico e faça o estudo do sinal.
3. Uma editora vende certo livro por $60,00 a unidade. Seu custo fixo é $10000,00 por mês, e o custo variável por unidade é $40,00. Qual o ponto de nivelamento?
4. Em relação ao exercício anterior, quantas unidades a editora deverá vender por mês para ter um lucro mensal de $8000,00?
MATEMÁTICA I - PROF. EDÉZIO 56
Exercícios5. O custo fixo mensal de uma empresa é $30.000,00,
o preço unitário de venda é $8,00 e o custo variável por unidade é $6,00.a) obtenha a função lucro mensal;b) obtenha a função lucro líquido mensal, sabendo-se que o imposto de renda é 30% do lucro.
6. Uma editora pretende lançar um livro e estima que a quantidade vendida será 20.000 unidades por ano. Se o custo fixo de fabricação for $150.000,00 por ano, e o variável por unidade $20,00, qual o preço mínimo que deverá cobrar pelo livro para não ter prejuízo?