Post on 06-Jun-2015
Matemática - Módulo 1
TEORIA DOS CONJUNTOS
1. Considerações iniciais
O capítulo que se inicia trata de um assunto que, via-de-regra, é abordado em um plano secundário dentro dos temas que norteiam o ensino médio. Entretanto, para o vestibular do ITA é necessário o conhecimento mais profundo do tema, principalmente no que tange às propriedades em breve indicadas e aos conceitos de complementar e diferença .
Embora seja possível resolver todos os exercícios relativos à Teoria dos Conjuntos apenas com noções intuitivas, um dos objetivos desse material é iniciar o aluno em uma linguagem matemática mais elaborada e elegante. Com isso, é possível estabelecer uma base sólida para o melhor entendimento dos capítulos subseqüentes e para a resolução dos exercícios.
Feito o parêntese inicial, o ponto de partida da Teoria dos Conjuntos é admitir que conjunto e elemento de um conjunto são conceitos primitivos(aceitamos como conhecidos sem definição), e não conceitos definidos. Para esclarecer a diferença entre os dois: na geometria euclidiana, os conceitos ponto , reta e plano são primitivos; a partir deles, são definidos os demais conceitos (circunferência, segmento de reta, polígono, etc...). Observações: 1) o conceito primitivo elemento de um conjunto deve ser levado ao pé da
letra, ou seja, não se discute se x é elemento ou não, mas sim se x é elemento de determinado conjunto ou não.
2) Um conjunto pode ser representado por uma letra maiúscula de nosso alfabeto; ou por uma lista ordenada de todos os elementos desse conjunto (com ou sem repetição) entre chaves;ou pela forma: { x
U : A(x) }, em que A(x) é uma propriedade cuja finalidade é selecionar elementos de U; ou ainda pela representação gráfica proposta pelo matemático John Venn(1834-1923) , conforme expresso abaixo:
= { Verde, Vermelho, Violeta } = conjunto das cores cujos nomes se iniciam pela letra V .
3) Existe um conjunto sem elementos denominado CONJUNTO VAZIO, indicado por { } ou . Essa observação consiste em um postulado( = axioma; é uma proposição aceita como verdadeira sem demonstração, ao contrário dos chamados teoremas).
Verde Vermelho
Violeta
2. SUBCONJUNTOS
2.1.Def.: dizemos que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento
de A é elemento de B, isto é:
x
U, x
A
x
B. Neste caso, diz-se
que A está contido em B ou B contém A ( B
A ). O conjunto U,
denominado CONJUNTO UNIVERSO, é fixo e contém todos os conjuntos
que possam ser envolvidos.
Convém atentar que, se existir ao menos um elemento de A que não
pertença a B, ter-se-á A B. Em outras palavras, temos que
A B
x U : x A x B.
2.2.Propriedades e observações importantes
1) A, temos A A ( inclusive
!!! ) propriedade reflexiva;
2) A, temos
A;
3) Se A tem n elementos, então o número de subconjuntos de A é 2n. Esse é
um exercício de Análise Combinatória elementar, tente fazê-lo!
4) A B e A B A = B propriedade anti-simétrica;
5) Atentar para a diferença entre pertinência e inclusão: enquanto um
elemento pertence
a um conjunto, um subconjunto está contido
em um
conjunto (mesmo que a esse subconjunto pertença apenas um elemento!).
3. UNIÃO ou REUNIÃO
3.1.Def: Denomina-se União de A com B
ao conjunto dos elementos que
pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B. Assim, escrevemos
A
B = { x
U : x
A
x
B }. Essa simples definição traz consigo
algumas propriedades interessantes:
1) A B = B A (propriedades comutativa da União)
2) (A B) C = A (B C) (propriedade associativa da União)
3) A
= A
4) A B A B = B
5) A A = A
6) A
B e A
B A
A B
B
4. INTERSECÇÃO
4.1.Def: Chamamos intersecção de A com B
ao conjunto dos elementos
comuns aos conjuntos A e B. Isso equivale a dizer que
A B = { x U : x A x B }.
4.2. Propriedades
1) A B = B A (Propriedade comutativa)
2) (A B) C = A (B C) (Propriedade associativa)
3) A (B C) = (A B) (A C)
4) A (B C) = (A B) (A C) (Propriedades distributivas)
5) A B A B = A
6) A
=
7) A B C (A B) (A B)
8) A A = A
5. DIFERENÇA
5.1.Def.:Dados dois conjuntos A e B, chamamos diferença entre A e B
ao
conjunto dos elementos de A que não são elementos de B (veja figura
acima), isto é: A B = { x U : x A x B }.
5.2.Propriedades
1) (A B) A
2) (A B) (B A) =
3) A - = A e
- A =
4) A (A B) = A B
6.COMPLEMENTARIDADE
6.1.Def.: Dados dois conjuntos A e X com A
X (atenção!!), denomina-se
complementar de A em relação a X ao conjunto:
CXA = { x
X : x
A }.Verificar as diferenças entre complementaridade e
diferença!
Obs.: se o conjunto X não for especificado, infere-se que X = U e
neste caso é usual indicar o complemento de A por _
A ou AC.
6.2.Propriedades importantíssimas!
1) A AC =
2) A AC = U
3) (AC)C = A
4) A BC = A B
5) (A B)C = AC BC (relações de Morgan prove!)
6) (A B)C = AC BC
7) B A A B = CAB
8) ( )C = U
9) A BC = A A B =
7.PRODUTO CARTESIANO E RELAÇÃO
7.1.Def.: Dados os conjuntos A e B, chamamos produto cartesiano de A por
B
ao conjunto de todos os pares ordenados (x;y) em que x e y pertencem,
respectivamente, a A e B: A X B = { (x;y) : x A y B }.
7.2.Observações e propriedades
1) Se A = ou B = , por convenção tem-se A X B =
2) para o produto cartesiano não existe comutação, ou seja, A X B pode
não ser igual a B X A. Entretanto, esta operação possui propriedades
distributivas :
i) A X (B C) = (A X B) (A X C)
ii) A X (B C) = (A X B) (A X C)
iii) (A B) X C = (A X C) (B X C)
7.3.Def.: Dados os conjuntos A e B, denomina-se relação de A em B
a
qualquer subconjunto de A X B. As mais importantes relações são as
chamadas FUNÇÕES, mas este é um assunto para o capítulo seguinte.
Antes disso, alguns exercícios:
8.Questões do ITA de 1969 a 2001
1- (ITA-1969) Sejam R o conjunto dos números reais e C um subconjunto de
R. Definimos SUPREMO de C(sup(C)) como sendo o número real L
satisfazendo às seguintes condições:
i) L é maior ou igual a qualquer número pertencente a C;
ii) Dado um número real L < L, existe sempre um número x de C tal que
x >L .
Seja C o conjunto dos números naturais menores do que 11. Uma das
afirmações abaixo, relativas ao conjunto C, é verdadeira. Assinale-a.
a) L = 9
b) L = 10
c) L = 11
d) L = 12
e) não existe sup(C)
2- (ITA-1974) Sejam A, B e C conjuntos contidos num mesmo conjunto U.
Seja x um elemento de U. Seja
CBA = { x
U : x
B e x
A }, então
CC(A B) é igual a:
a) CCA CCB
b) CCA CCB
c) CAB
d)
e) nda
3- (ITA-1985) Seja X um conjunto não vazio e sejam A e B dois subconjuntos
de X. Define-se AC = { x X : x A } e A B = {x A:x B}. Dadas
as sentenças:
1. A B =
A BC B AC;
2. Se X = R; A = {x
R; x3 1 = 0} ;
B = { x
R ; x2 1 = 0 } ;
C = { x
R; x 1 = 0 },
então A = C = B.
3. A - = A
4. A B A BC
Podemos afirmar que está(ão) correta(s):
a) As sentenças 1 e 3.
b) As sentenças 1, 2 e 4 .
N n ;6
n!sen
n!(-1)
A n
c) As sentenças 3 e 4 .
d) As sentenças 2, 3 e 4.
e) Apenas a sentença 2.
4- (ITA-1987) Sejam F e G dois subconjuntos não vazios de R. Assinale a
alternativa correta:
a) Se F G e G F, então necessariamente F = F G.
b) Se F G é o conjunto vazio, então necessariamente F = R .
c) Se F G e G F, então F G = F G.
d) Se F G = F, então necessariamente G F.
e) Se F G e G R, então (F G) G = R.
5- (ITA-1988) Sejam A, B e C subconjuntos dos números reais. Então:
a) (A B)C = AC BC
b) (A B)C = AC BC
c) Se A B, então AC BC
d) (A B) CC = (AC C)C (BC C)C
e) A (B C)C = (A BC) (A CC)
6- (ITA-1989) Sejam A, B e C subconjuntos não vazios de R. Dadas as
igualdades abaixo:
1. (A B) X C = (A X C) (B X C)
2. (A B) X C = (A X B) (B X C)
3. (A B) A (B A) B
4. A (B C) = (A B) (A C)
5. (A B) (B C) = (A C) (A B)
Podemos afirmar que:
a) 2 e 4 são verdadeiras
b) 1 e 5 são verdadeiras
c) 3 e 4 são verdadeiras
d) 1 e 4 são verdadeiras
e) 1 e 3 são verdadeiras
7- (ITA-1995) Seja o conjunto:
Qual o conjunto abaixo é tal que sua intersecção com A é o próprio A?
a) (- , -2] [2, )
b) (- , -2]
c) [-2, 2]
d) [-2, 0]
e) [0,2)
8- (ITA-1995;questão convidada ) Visto que, para todo x
1 e n
N, vale
a desigualdade xn > n(x 1), temos como conseqüência que, para 0 < x < 1 e
n N, tem-se:
a) xn - 1 < [n(x + 1)]-1
b) xn - 1 < [(n + 1)(1 + x)]-1
c) xn - 1 < [n2(1 - x)]-1
d) xn - 1 < [(n + 1)(1 x)]-1
e) xn - 1 < [n(1 x)]-1
9- (ITA-1996) Sejam A e B subconjuntos não vazios de R, e considere as
seguintes afirmações:
i) (A B)C (B AC)C =
ii) (A BC)C = B AC
iii) [(AC B) (B A)]C = A
Sobre essas afirmações podemos garantir que:
a) apenas a afirmação (i) é verdadeira.
b) apenas a afirmação (ii) é verdadeira.
c) apenas a afirmação (iii) é verdadeira.
d) todas as afirmações são verdadeiras.
e) apenas as afirmações (i) e (iii) são verdadeiras.
10- (ITA-1999) Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios de R. Considere
as afirmações:
(i) Se (E X G) (F X H), então E F e G H.
(ii) Se (E X G) (F X H), então (E X G) (F X H) = F X H.
(iii) Se (E X G) (F X H) = (F X H), então (E X G) (F X H).
Então:
a) Apenas a afirmação (i) é verdadeira.
b) Apenas a afirmação (ii) é verdadeira.
c) Apenas as afirmações (ii) e (iii) são verdadeiras.
d) Apenas as afirmações (i) e (ii) são verdadeiras.
e) Todas as afirmações são verdadeiras.
11- (ITA-2000) Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto
finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(A B) = 8, n(B C) = 10, n(A
C) = 9, n(A
B
C) = 11 e n(A
B
C) = 2. Então n(A)+n(B)+n(C) é igual
a:
a) 11
b) 14
c) 15
d) 18
e) 25
12- (ITA-2001) Sejam X, Y e Z subconjuntos próprios de R, não vazios. Com
respeito às afirmações:
(I) X { [ Y ( X Y )C ] [ X ( XC YC)C ] } = X
(II) Se Z X então ( Z Y ) [ X ( ZC Y ) ] = X Y
(III) Se ( X Y )C Z então ZC X.
temos que:
a) apenas (I) é verdadeira.
b) apenas (I) e (II) são verdadeiras.
c) apenas (I) e (III) são verdadeiras.
d) apenas (II) e (III) são verdadeiras.
e) todas são verdadeiras.
GABARITO
01 - B
02 - B
03 - A
04 - C
05 - E
06 - D
07 - C
08 - E
09 - A
10 - E
11 - D
12 - B