Post on 16-Nov-2018
10.01. cComo x ≥ 0 , para todo x real, o conjunto imagem da função f é Im(f) = + .
10.02. cx x ou x
x ou x
− = ⇒ − = − = −⇒ = = −
10 50 10 50 10 50
60 40
A soma das soluções reais da equação é 60 40 20+ − =( ) . 10.03. b
(x )− =− = ⇒ − = − = −
⇒ = = −
2 5
2 5 2 5 2 5
7 3
2
x x ou x
x ou x
A maior solução da equação é 7.10.04. b
3 1 2 3 1 2 3 1 2
113
x x ou x
x ou x
− = ⇒ − = − = −
⇒ = = −
O produto das soluções é 113
13
⋅ −
= − .
10.05. c
xx se x
x se x=
≥− <
,
,
0
0
Portanto, o módulo de um número real é igual ao próprio número (se o número for positivo) ou igual ao oposto do número (se o nú-mero for negativo).
10.06. ex x< ⇒ − < <9 9 9
10.07. bx x ou x> ⇒ < − >9 9 9
10.08. a
A
A
A
= − − −
− < ⇒ − = −
= − − − = − − −
− − < ⇒ − − = +
= +
2 2 3 1
2 2 0 2 2 2 2
2 2 3 1 1 2 1
1 2 0 1 2 1 2
1 2 −−
= =
1
2 2A
10.09. a
Como x x2 2= , temos:2
2
x 4 x 5 0
x y
y 4y 5 0 y 5 ou y 1
x 5 x 5 ou x 5
x 1(não existe solução)
− ⋅ − =
=
− − = ⇒ = = −= ⇒ = = −
= −
Portanto, o conjunto-solução da equação é {–5, 5}, ou seja, os ele-mentos são números inteiros, sendo um deles natural.
Aula 1010.10. e
2 5 0 2 5 5 2
3 5 0 3 5 3 5
2 5 3 5 5 2 3 5 1
− < ⇒ − = −
− > ⇒ − = −
− + − = − + − =
10.11. d0 2 2 6
2 2 0 2 2 6
< + ≤
+ > + ≤
x
x e x
2 2 0x + >
Essa desigualdade é verdadeira para todo x tal que:2 2 0 1x x+ ≠ ⇒ ≠ −
2 2 6 6 2 2 6
8 2 4
4 2
x x
x
x
+ ≤ ⇒ − ≤ + ≤⇒ − ≤ ≤⇒ − ≤ ≤
Os números inteiros que satisfazem a sentença são:–4, –3, –2, 0, 1, 2A soma desses números é –6.
10.12. a
2
x y
y y 12 0 y 3 ou y 4
x 3 x 3 ou x 3
x 4 (não existe solução)
=
+ − = ⇒ = = −= ⇒ = = −
= −
Portanto, a soma das raízes é igual a zero e o produto é igual a –9.10.13. a
2 2 2
2
2
2
2
x 5x x 5 x 5x x 5 ou x 5x x 5
x 5x x 5
x 6x 5 0 x 1ou x 5
x 5x x 5
x 4x 5 0 x 1ou x 5
− = − ⇒ − = − − = − +
− = −
− + = ⇒ = =
− = − +
− − = ⇒ = − =
O conjunto solução da equação é {–1, 1, 5}.10.14. e
x x
x
− < ⇒ − < − <⇒ − < <
2 5 5 2 5
3 7
Os números inteiros não negativos que satisfazem a inequação são:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (7 números).
10.15. bNote que os pontos (0, 2), (2, 0) e (4, 2) pertencem ao gráfico da função f.Assim:f
f
f
( )
( )
( )
0 2
2 0
4 2
===
Das alternativas, a única função que verifica essas igualdades é f x x( ) = − 2 .
Resoluções
1Extensivo Terceirão – Matemática 4A
4AMatemática
f( )
f( )
f( )
0 0 2 2 2
2 2 2 0 0
4 4 2 2 2
= − = − =
= − = =
= − = =
10.16. aObserve os gráficos das funções:
y
x
k
Os gráficos das funções delimitam um quadrado cujas diagonais medem k. Seja L a medida dos lados desse quadrado.Assim:
L k Lk
L
L
kk
22
16
4
24 4 2
2
= ⇒ =
==
= ⇒ =
10.17. dy
g
f5
x1
f x g x
x x ou x
x ou x
( ) ( )=− − ⇒ − = − = −
⇒ = = −1 5 1 5 1 5
6 4
Os pontos de intersecção dos gráficos das funções f e g são (6, 5) e (–4, 5).Assim, a região limitada pelos gráficos de f e g é um triângulo cuja base mede 6 – (–4) = 10 e cuja altura é 5.Área do triângulo:10 5
225
⋅ = unidades de área
10.18. b
x x
x
− ≤ ⇒ − ≤ − ≤⇒ − ≤ ≤
2 3 3 2 3
1 5
3 2 5 3 2 5 3 2 5
173
x x ou x
x ou x
− > ⇒ − < − − >
⇒ < − >
Os valores inteiros que satisfazem simultaneamente as desigualda-des são 3, 4 e 5.O produto desses números é 60.
10.19. f x
x
x x
x
( ) <− − <
− < ⇒ − < − <⇒ < <
0
1 1 0
1 1 1 1 1
0 2Portanto:{ | }x x∈ < < 0 2 .
10.20. 12
x x x x ou x x
x x
x x x
x x
x
− = ⇒ − = − = −
− =
− + = ⇒ ∉
− = −
2 3 2 3 2 3
2 3
3 2 0
2 3
3
2 2 2
2
2
2
2
i
�
i
++ − = ⇒ = − =x x ou x2 0 123
Assim:
S
S
S
= − +
= −
+ = ⋅ −
+ = − + =
123
13
9 15 913
15 3 15 12
2 Extensivo Terceirão – Matemática 4A
11.01. cf x f x( ) ( )
x f( ) f( ) f( ) f( )
− == ⇒ − = ⇒ − − =2 2 2 2 2 0
11.02. df x f x( ) ( )
x f( ) f( ) f( ) f( )
− = −= ⇒ − = − ⇒ − + =10 10 10 10 10 0
11.03. da) INCORRETO.
f x x x f x( ) ( ) ( )− = ⋅ − = − = −4 4 Assim, elementos opostos têm imagens opostas.
b) INCORRETO.Como f x f x( ) ( )− = − , a função f é ímpar.
c) INCORRETO.f( )0 4 0 0= ⋅ =
O gráfico da função passa pelo ponto (0, 0).11.04. c
a) f x f x( ) ( )− = =10A função é par.
b) f x x x f x( ) ( ) ( )− = − − = − =2 25 5 A função é par.
c) f x x x f x( ) ( ) ( )− = − − = + ≠10 10 A função não é par.
d) f x x x f x( ) ( ) ( )− = − = =4 4 A função é par.
e) f x x x x x f x( ) ( ) ( ) ( )− = − − ⋅ − = − =2 6 2 63 3 A função é par.
11.05. da) f x x x f x( ) ( ) ( )− = ⋅ − = − = −10 10
A função é ímpar.b) f x x x x x f x( ) ( ) ( ) ( )− = − − ⋅ − = − + = −3 35 5
A função é ímpar.c) f x x x f x( ) ( ) ( )− = − − = = −
A função é ímpar.d) f x x x f x( ) ( ) ( )− = − = =4 4
A função é par.e) f x x x x x f x( ) ( ) ( )− = − − ⋅ − = − + = −2 23 3
A função é ímpar.11.06. d
Sabe-se que:f( x) f(x)
f(a) b
− = −=
1) CORRETA.f a f a b( ) ( )− = − = −
2) CORRETA.O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.
3) INCORRETA.Como f a( ) > 0 e f a( )− < 0 , então f a f a( ) ( )⋅ − < 0.
4) CORRETA.Portanto, o número de afirmações corretas é 3.
11.07. df x x x
a x x
a
( ) a (x x ) ( )
f(x) ( ) ( )
f( ) ( ) ( )
= ⋅ − ⋅ −= ⋅ + ⋅ −= ⇒ ⋅ + ⋅ −
1 2
1 1
2 3 2 1 2 1 == ⇒ =3 1a
Assim:f x x x
f x x
( ) ( ) ( )
( )
= ⋅ + ⋅ −
= −
1 1 1
12
Aula 111) CORRETA.
f x x x f x( ) ( ) ( )− = − − = − =2 21 1
2) CORRETA.f( )0 0 1 12= − = −
3) CORRETA.f f f f( ) ( ) ( ) ( )− + − + + = + + + = >2 1 1 2 3 0 0 3 6 0
4) INCORRETA.Como a função f é par, valores opostos de x têm imagens iguais.Portanto, o número de afirmações corretas é 3.
11.08. b
a) f xx x
f x( ) ( )− =−
= − = −1 1
A função é ímpar.
b) f xx x
f x( )( )
( )− =−
= =1 12 2
A função é par.
c) f x x f x( ) ( )− = − = − A função é ímpar.
d) f x x x f x( ) ( ) ( )− = − = − = −5 5 A função é ímpar.
11.09. ea) INCORRETO.
O gráfico da função não é simétrico em relação à origem.b) INCORRETO.
O gráfico da função não é simétrico em relação ao eixo das or-denadas.
c) INCORRETO.f( )− =1 3 e f( )1 1= −
d) INCORRETO.f f( ) ( )− >1 1
e) CORRETO.11.10. c
f x f x( ) ( )− = −
E f x f f f f f f f
E f
kk
= = − + − + − + + + +
= −=−∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ (
3 2 1 0 1 2 3
33
3
)) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] f( )
f( )
E
+ + − + + − + +==
f f f f f
E
3 2 2 1 1 0
0
0
11.11. ca) INCORRETO.
f k f k( ) ( )− = − , para todo k real. b) INCORRETO.
f f
f f
( ) ( )
( ) ( )
− = −− + =
2 2
2 2 0
π ππ π
c) CORRETO.
f f
f f
−
= −
−
+
=
32
32
32
32
0
π π
π π
d) INCORRETO.f( )0 0=
e) INCORRETO.f k f k( ) ( )= − para todos os valores de k tais que f k( ) = 0.
3Extensivo Terceirão – Matemática 4A
11.12. ea) INCORRETO.
f k f k( ) ( )− = , para todo k real.b) INCORRETO.
f f
f f
( ) ( )
( ) ( )
− = >− + >
2 2 0
2 2 0
π ππ π
c) INCORRETO.
f f
f f
−
=
=
−
+
=
32
32
0
32
32
0
π π
π π
d) INCORRETO.f( )0 0>
e) CORRETO.11.13. c
a) f x tg xsen x
x( ) ( )
( )cos( )
= =
f x tg xsen x
xsen x
xtg x( ) ( )
( )cos( )
( )cos( )
( ) f(x)− = − = −−
= − = − = −
A função é ímpar.
b) f x cotg xx
sen x( ) ( )
cos( )( )
= =
f x cotg xx
sen xx
sen xx f x( ) ( )
cos( )( )
cos( )( )
cotg( ) ( )− = − = −−
=−
= − = −
A função é ímpar.
c) f(x) sec( )cos( )
= =xx
1
f( x) sec( )cos( ) cos( )
sec( ) f(x)− = − =−
= = =xx x
x1 1
A função é par.
d) f( x) cossec( )( )
− = =xsen x
1
f( x) cossec( )( ) ( )
cossec( ) f(x)− = − =−
=−
= − = −xsen x sen x
x1 1
A função é ímpar.
e) f x sen x( ) ( )= 2 f x sen x sen x f x( ) ( ) [ sen(x)] ( ) ( )− = − = − = =2 2 2
A função é par.11.14. b
I. INCORRETA.O gráfico da função é formado por duas semirretas.
II. INCORRETA.Para todo x real, tem-se f x( ) ≥ 0.
III. CORRETA.f x x x f x( ) ( )− = − = =
IV. INCORRETA.Portanto, o número de afirmativas corretas é 1.
11.15. ea) INCORRETO.
f x( ) senx= é uma função ímpar.b) INCORRETO.
f x x( ) cos= é uma função par.c) INCORRETO.
f x f x
g x g x
h x f x g x
h x f x g
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( x) [ f(
− = −− = −
= ⋅− = − ⋅ − = − xx)] [ g(x)] f(x) g(x) h(x)⋅ − = ⋅ =
O produto de duas funções ímpares é uma função par.
d) INCORRETO.f x f x
g x g x
h x f x g x
h x f x g
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( x) [ f(x
− = −− =
= ⋅− = − ⋅ − = − ))] g(x) f(x) g(x) h(x)⋅ = − ⋅ = −
O produto de uma função ímpar por uma função par é uma fun-ção ímpar.
e) CORRETO.f x f x
g x g x
h x f x g x
h x f x g
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( x) f(x) g
− =− =
= ⋅− = − ⋅ − = ⋅ ((x) h(x)=
O produto de duas funções pares é uma função par.11.16. 29
f x f x
x f f
f f
f
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
(
+ = ⋅ −= ⇒ + = ⋅ −
= ⋅ −= ⋅
1 2 15
0 0 1 2 0 15
1 2 0 15
43 2 0)) ( )− ⇒ =15 0 29f
11.17. cf x f x f
x f f f
f f
f f
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) (
+ = += ⇒ + = +
= ⋅
= ⋅ ⇒
1 1
1 1 1 1 1
2 2 1
1 2 1 1112
2 2 1 2 1
3 112
32
3 3 1 3 1
)
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
=
= ⇒ + = +
= + =
= ⇒ + = +
x f f f
f
x f f f
ff
x f f f
f
( )
( ) ( ) ( )
( )
432
12
2
4 4 1 4 1
5 212
52
= + =
= ⇒ + = +
= + =
11.18. 5f x f x
x f f
( ) ( )
( ) ( )
f( ) f( ) f( ) f( )
2 3
4 2 4 3 4
8 3 4 45 3 4 4 1
⋅ = ⋅= ⇒ ⋅ = ⋅
= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = 55
2 2 2 3 2
4 3 2 15 3 2 2 5
x f f= ⇒ ⋅ = ⋅= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =
( ) ( )
f( ) f( ) f( ) f( )
11.19. f x f x
a x b x c ax bx c
ax bx c ax bx c
( ) ( )
( ) ( )
− =
⋅ − + ⋅ − + = + +
− + = + +
2 2
2 2
Comparando os dois membros da igualdade, temos:− = ⇒ = ⇒ =b b b b2 0 0
Portanto:a e a∈ ≠ 0 b = 0 c ∈
11.20. f x f x
a x b ax b
ax b ax b
( ) ( )
( )
− = −⋅ − + = − −
− + = − −Comparando os dois membros da igualdade, temos:b b b b= − ⇒ = ⇒ =2 0 0 Portanto:a e a∈ ≠ 0 b = 0
4 Extensivo Terceirão – Matemática 4A
12.01. bA imagem da função g para cada número real x é uma unidade maior que a imagem da função f para o mesmo número x.Assim:g x f x( ) ( )= +1
12.02. dA imagem da função g para cada número real x é igual à imagem da função f para esse mesmo número x aumentado de uma uni-dade. Assim:g x f x( ) ( )= +1
12.03. cg x f
g x
g x x
x
x
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
=
= −
= +
+
+
2
2 1
1
2
2
12.04. ca) INCORRETA.
Vértice da parábola azul: (1, 0)Vértice da parábola verde: (–1, 0)
b) INCORRETA.As duas parábolas têm o vértice no eixo das abscissas.
c) CORRETA.O conjunto imagem de ambas as funções é { | }y y∈ ≥ 0 .
d) INCORRETA.Ambas as funções têm ponto de mínimo.
12.05. aIm( ) [ , )
Im( ) [ , )
g
g
= − ∞= ∞
+2
1
3
12.06. aO gráfico da função definida por y x= é constituído por duas se-mirretas com origem no ponto (0, 0). O gráfico da função f x x( ) = + 2 é obtido por uma translação do gráfico de y x= , duas unidades para cima. Portanto, é constituído por duas semirretas com origem no ponto (0, 2).
12.07. cIm( ) [ , ]
Im( ) [ , ]
Im( ) [ , ]
f
g
g
= −= −=
+ +1 1
1 1
1 3
2 2
12.08. dO gráfico da função g é obtido por uma translação do gráfico da função f, uma unidade para a esquerda.Assim:
g x f
g x
x
x
( ) ( )
( )
==
++
1
1
12.09. bPrimeira translação:h x f
h x
h x x
x
x
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
=
= +
= −
−
−
3
3 1
2
2
2
Segunda translação:g x h x
g x x
( ) ( )
( ) ( )
=
= − +
+ 2
2 22
12.10. dOs gráficos das funções f e g são simétricos em relação ao eixo das abscissas.Assim:
Aula 12g x f x
g x x x
g x x x
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
= −= − − ⋅ −= − + ⋅ −
1 3
1 3
12.11. cO gráfico da função h é obtido por uma translação do gráfico da função f, quatro unidades para a esquerda. Assim:h x f
h x
h x x x
x
x x
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
== − ⋅ −= + ⋅ +
++ +
4
4 41 3
3 1
Outra maneira de escrever a lei de formação da função h:
h x x x
x x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
h(x) ( ) ( )
= − ⋅ − − ⋅ − ⋅ − −= − − ⋅ − −
1 3 1 1
3 112.12. b
I. CORRETA. O gráfico do segundo quadrante é simétrico em re-lação ao gráfico do primeiro, em relação ao eixo das ordenadas. (Reflexão em torno do eixo das ordenadas)y f x= −( )
III. CORRETA. O gráfico do quarto quadrante é simétrico em relação ao gráfico do primeiro, em relação ao eixo das abscissas. (Refle-xão em torno do eixo das abscissas)y f x= − ( )
II. CORRETA. O gráfico do terceiro quadrante é simétrico em relação ao gráfico do primeiro, em relação à origem. (Reflexão em torno do eixo das abscissas e em torno do eixo das ordenadas)y f x= − −( )
12.13. bObserve alguns valores de f e g:
f
f
f
f
g
g
g
g
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
− = −=== −
− ====
1 1
0 0
1 1
2 1
1 3
0 2
1 1
2 3
A relação que satisfaz todos esses valores é:g x f x( ) ( )= −2
12.14. eP x x
P
P x x
P x x
x x
( )
( ) ( )
( )
( )
− = +− = ⋅ +
= + += +
+ +1 2 1
1 2 1
2 2 1
2 3
1 1
12.15. bObserve alguns valores da função f:
f
f
f
f
f
( )
( )
( )
( )
( )
− = −− = −
===
2 1
1 2
0 0
1 2
2 1
Sendo g x f x( ) ( )= ⋅ −2 1 , temos:
g f f
f f
( ) ( ) ( ) ( )
g( ) ( ) ( ) (
− = ⋅ − − = ⋅ − = ⋅ − = −= ⋅ − = ⋅ − = ⋅
1 2 1 1 2 2 2 1 2
0 2 0 1 2 1 2 −− = −= ⋅ − = ⋅ = ⋅ == ⋅ − = ⋅ = ⋅ =
2 4
1 2 1 1 2 0 2 0 0
2 2 2 1 2 1 2 2
)
g( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f f
g f f 44
Portanto, o gráfico da função que satisfaz todos esses valores é o da alternativa b.
5Extensivo Terceirão – Matemática 4A
12.16. bf x x
f x x
( )
( ) ( )
f(x ) x
− =− = ⋅
− = −− −
1 2
1 2
2 2 2
1 1
12.17. eSe g x f x( ) ( )=
x x x g x f x
x x x g x f x
≥ ⇒ = ⇒ =
< ⇒ = − ⇒ = −
0
0
( ) ( )
( ) ( )
Assim:g f
g f
g f
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0
1 1
2 2
===
Para x ≥ 0 os gráficos das funções f e g são iguais.
g f f
g f f
g f f
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
− = − =
− = − =
− = − =
1 1 1
2 2 2
3 3 3
Para x < 0 o gráfico da função g é a reflexão da parte do gráfico da função f em que x > 0. Portanto, o gráfico que melhor representa a função g é o da alter-nativa e.
12.18. a1. y f x= ( )
Pontos com ordenada positiva ou nula se mantêm. Pontos com ordenada negativa são refletidos em torno do eixo das abscissas.
2. y f x= − ( ) Reflexão em torno do eixo das abscissas.
3. y f x= −( ) Reflexão em torno do eixo das ordenadas.
4. y f x= +( )2 Translação do gráfico de duas unidades para a esquerda.
5. y f x= +( ) 2 Translação do gráfico de duas unidades para cima.Portanto:1 2 3 4 5c a e b d− − − −
12.19. Im( ) [ , [f = − ∞1
Seja h x f x( ) ( )= + 2.
Im( ) [ , [
Im( ) [ , [
h
h
= − ∞= ∞
+1
1
2
Assim:g x f x
g x h x
g
( ) [ ( ) ]
( ) ( )
Im( ) ] , ]
= − += −= − ∞ −
2
1
12.20. a) f x x x( ) = − +2 6 8 O valor mínimo da função é a ordenada do vértice da parábola correspondente.
y V = − − − ⋅ ⋅⋅
= − − = −( )6 4 1 84 1
36 324
12
Pontos de intersecção do gráfico de f com a reta y =1. f x
x x
x x x ou x
( ) =
− + =
− + = ⇒ = + = −
1
6 8 1
6 7 0 3 2 3 2
2
2
Os pontos são:( , ) e ( , )3 2 1 3 2 1+ −
b) g x x x( ) = − + −2 6 8 1
2
2 2 2
2
2
2
2
g(x) 0
x 6x 8 1 0
x 6x 8 1 x 6x 8 1ou x 6x 8 1
x 6x 8 1
x 6x 7 0 x 3 2 ou x 3 2
x 6x 8 1
x 6x 9 0 x 3
=
− + − =
− + = ⇒ − + = − + = −
− + =
− + = ⇒ = + = −
− + = −
− + = ⇒ =
As raízes da equação são:
3 2 3 2 3+ −, e
6 Extensivo Terceirão – Matemática 4A
PB 1Extensivo Terceirão – <disciplina> <numdisciplina> Extensivo Terceirão – Matemática 4B
10.01. dA média anual dos 5 anos é dada por:
X =+ + + +300 400 400 450 500
5
X = =2050
5410
10.02. bMédia aritmética dos números 4 e 36:
X =+
= =4 36
2
40
220
Média geométrica dos números 4 e 36:
X G = ⋅ = ⋅ =4 36 2 6 12
Diferença entre a média aritmética e a média geométrica: X X G− = − =20 12 8
10.03. eMédia harmônica dos números 4 e 6:
X H =+
21
4
1
6
X H = +2
3 2
12
X H = ⋅2
1
12
5
X H = =24
54 8,
10.04. ePelo teorema da desigualdade das médias, tem-se c < b < a.
10.05. eAdicionando os 5 tempos, tem-se:2h40min + 1h50min + 2h10min + 3h05min + 1h20min = 9h125min = 10h65minDividindo a soma dos tempos por 5, tem-se 2h 13min.Logo, o tempo médio gasto por esses alunos para resolver a prova foi de 2h13min.
10.06. aI) A média obtida pelo candidato I foi
20 4 23 6
4 6
80 138
10
218
1021 8
⋅ + ⋅+
=+
= = ,
II) A média obtida pelo candidato II foi21 4 18 6
4 6
84 108
10
192
1019 2
⋅ + ⋅+
=+
= = ,
III) Para vencer a competição, a nota X que deverá ser obtida pelo candidato II é tal que:X
X X X⋅ + ⋅
+> ⇔ + > ⇔ > ⇔ >
4 25 6
4 621 8 4 150 218 4 68 17,
Portanto, a menor nota deverá ser 18.10.07. c
Se a média das idades e a quantidade de atletas do time são conhe-cidas, podemos calcular a soma total das idades:
xx
N
xi= ⇒ =∑ ∑135
1
Portanto, a soma das idades é 13 ∙ 5 = 65 anos.Sabemos que o mais velho tem 17 anos, o segundo mais velho tem x anos e especulamos que cada um dos demais atletas tem 11 anos. Assim:17 + x + 11 + 11 + 11 = 65, de modo que x = 15 anos.
10.08. aO nível dos reservatórios A e E, após a abertura das válvulas, será igual a:
h=+ + + +
= =8 7 6 5 4
5
30
56 dm
O nível do reservatório F se manterá em 3 dm.10.09. b
A velocidade média de subida é igual à média harmônica das velo-cidades de cada trecho de subida, ou seja:
V =+
=+
= = = ⋅ =2
1
6
1
2
21 3
6
24
6
22
3
2
1
3
23
10.10. cDe acordo com a tabela, a média dos valores de consumo de água é dada por:
X =+ + +
=0 24 0 28 0 55 0 36
40 3575
, , , ,,
Por outro lado, a média de consumo per capita por dia da popula-ção da região Sudeste é dada por:
X p =⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
+ + +=
0 24 25 0 28 4 0 55 20 0 36 51
25 4 20 510 3648
, % , % , % , %
% % % %,
10.11. eA média aritmética das idades das garotas é igual a:
X = =45
315 anos
A média geométrica das idades dos rapazes é igual a:
X G = =400 20 anos
A razão entre a média aritmética das idades das garotas e a média geométrica das idades dos rapazes é igual a:
X
X G= =
15
200 75,
10.12. dA média aritmética ponderada das avaliações, ponderada pelos pesos apresentados, é dada por:
X p =⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
+ + += ≅
6 00 4 7 00 4 8 00 2 9 00 2
4 4 2 2
86
127 2
, , , ,,
10.13. aObserve que:(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 ∙ (ab + ac + bc)
Mas xa b c
=+ +
3 e y
a b c=
+ +2 2 2
3, então:
(3x)2 = 3y + 2 ∙ (ab + ac + bc)9x2 – 3y = 2 ∙ (ab + ac + bc)Dividindo ambos os membros por 3, tem-se:
3 23
2x yab ac bc
− = ⋅+ +
ab ac bc x y+ +=
−3
3
2
2
Aula 10
Resoluções 4BMatemática
10.14. aSe a média inicial é igual a 7,0 e são 28 provas, a soma das notas dessas 28 provas iniciais é igual à média aritmética multiplicada pela quantidade de provas, ou seja: S28 = 28 ∙ 7,0 = 196Considerando as outras duas provas com notas 10,0 e 4,0, a nova média aritmética será:
X =+ ++ +
= =196 10 4
28 1 1
210
307 0,
Portanto, não houve alteração na média aritmética. Comentário: Em geral, se a um conjunto com média aritmética igual a X in-cluem-se novos elementos cuja média também é igual a X, não haverá alteração no valor da média aritmética.
10.15. c
Se x e y são, respectivamente, os pesos da 1a. e 2a. provas, das infor-mações do enunciado e pelo conceito de média aritmética ponde-rada, pode-se escrever:
82 5272 1
90 4073 5
x y
x y
x y
x y
++
=
++
=
,
,
Como x + y = 1, tem-se:82 52 72 1
90 40 73 5
x y
x y
+ =+ =
,
,
Multiplicando a 1a. equação por 10, a 2a. equação por (–13) e adicio-nando ambos os membros, tem-se:(82 ∙ 10 – 90 ∙ 13) ∙ x + (52 ∙ 10 – 40 ∙ 13) ∙ y = 72,1 ∙ 10 – 73,5 ∙ 13 – 350 ∙ x + 0 ∙ y = – 234,5
x =−−234 5
350
,
x = 0,67Mas, x + y = 1, então, 0,67 + y = 1, ou seja, y = 0,33.
10.16. 17 (01, 16)• Prova de que a média quadrática dos números positivos a e b é
maior ou igual à média aritmética correspondente:
a b−( ) ≥2 0
a ab b2 22 0− + ≥
a b ab2 2 2+ ≥
2 2 22 2 2 2a b a ab b+ ≥ + +
2 2
4
2
4
2 2 2 2a b a ab b+≥
+ +
a b a b2 2 2
2 2
+≥
+
a b a b2 2
2 2
+≥
+
Q A≥ (I)
• Prova de que a média aritmética dos números positivos a e b é maior ou igual à média geométrica correspondente:
a b−( ) ≥2
0
a a b b( ) − ⋅ ⋅ + ( ) ≥2 2
2 0
a a b b− ⋅ ⋅ + ≥2 0
a b a b+ ≥ ⋅ ⋅2
a ba b
+≥ ⋅
2A G≥ (II)
• Prova de que a média geométrica dos números positivos a e b é maior ou igual à média harmônica correspondente:
Sendo c e d números positivos, da desigualdade entre as médias aritmética e geométrica, podemos escrever:
cdc d≤ +
2
Fazendo a troca ca
= 1 e d
b= 1
, tem-se:
cda b ab ab
= ⋅ = =1 1 1 1
c d a b+=
+
2
1 1
2Portanto:
11 1
2aba b≤
+
ab
a b
≥+
21 1
G H≥ (III)Relacionando (I), (II) e (III), tem-se Q A G H≥ ≥ ≥ .
Se a = b, tem-se Q A G H= = = .
Analisando as afirmações, tem-se:01) Verdadeira: G ≥ A02) Falsa: A ≥ H04) Falsa: Q ≥ A08) Falsa: Q ≥ G16) Verdadeira: todas as médias coincidem, se a = b.
10.17. bTaxa média de juros (juros simples): Média aritmética
i =+ +
≅100 50 12 5
354 17
% % , %, %
Taxa média de juros (juros compostos): Média geométrica
i = +( )⋅ +( )⋅ +( ) −1 1 1 0 5 1 0 125 13 , ,
i = ⋅ ⋅ −2 1 5 1125 13 , ,
i= −3375 13
i = −33751000
13
i = −15
101
3
33
i = −1510
1
i = =0 50 50, %
Logo, em pontos percentuais, a diferença entre as taxas é aproxi-madamente igual a:∆i = − =54 17 50 4 17, ,
10.18. eUtilizando a desigualdade das médias, tem-se:
xx x
x
+≥ ⋅
1
2
1
xx
+ ≥ ⋅12 1
xx
+ ≥12
xx
+ ∈ ∞12[ ; [
2 3Extensivo Terceirão – Matemática 4B Extensivo Terceirão – Matemática 4B
10.19. Calculando-se as médias aritméticas dos saltos válidos dos três atletas, obtém-se aproximadamente:• Atleta 1: 8,11 m• Atleta 2: 8,32 m• Atleta 3: 8,17 mO atleta com maior média aritmética em seus saltos é o atleta 2.
10.20. a) Vamos traçar a diagonal de medida AC e observar alguns triân-gulos semelhantes:
Q
B
NM
A
D C
CD2
AB2
Os triângulos ACD e AMQ são semelhantes. Logo:ADAM
CDMQ
=
MQ AD CD AM⋅ = ⋅
Mas, AD = 2 ∙ AM, então:
MQCD AM
AM= ⋅
⋅2
MQCD=2
Analogamente, os triângulos ABC e QNC são semelhantes:ABQN
BCNC
=
QN BC NC AB⋅ = ⋅
Mas, BC = 2 ∙ NC, então:
QNNC AB
NC=
⋅⋅2
QNAB=2
Desta forma, tem-se:MN = MQ + QN
MNCD AB= +2 2
MNAB CD
=+2
O resultado indica que MN é a média aritmética de AB e CD.b) Na próxima ilustração, os trapézios ABFG e GFCD são semelhantes:
G F
BA
D C
Desta forma, pode-se escrever:ABGF
GFCD
=
GF AB CD2 = ⋅
GF AB CD= ⋅
Portanto, GF é a média geométrica de AB e CD.c) Para demonstrar que HK é a média harmônica de AB e CD, na pró-
xima ilustração, vamos utilizar algumas semelhanças de triângulos:
H K
BA
D
P
C
• DCA ≈ HPA:DCHP
DAHA
=
DC
HP
DH HA
HA
DH
HA=
+= + 1
DH
HA
DC
HP= − 1
DH
HA
DC HP
HP=
− (I)
• ABD ≈ HPD:ABHP
DADH
=
AB
HP
DH HA
DH
HA
DH=
+= +1
AH
DH
AB
HP= − 1
AH
DH
AB HP
HP=
−
DH
AH
HP
AB HP=
− (II)
• De (I) e (II), tem-se:DC HP
HP
HP
AB HP
−=
−
HP HP DC HP AB HP⋅ = −( )⋅ −( )HP AB DC AB HP DC HP HP2 2= ⋅ − ⋅ − ⋅ +
AB DC HP AB DC+( ) ⋅ = ⋅
Dividindo membro a membro por AB ∙ DC, tem-se:
AB
AB DC
DC
AB DCHP
AB DC
AB DC⋅+
⋅
⋅ =⋅⋅
1 11
DC ABHP+
⋅ =
HP
DC AB
=+
11 1
(III)
• Analogamente, se o triângulo DCB é semelhante ao triângulo PKB, assim como o triângulo ABC é semelhante ao triângulo PKC, pode-se concluir que HP = PK, ou seja:
PK
DC AB
=+
11 1
(IV)
• Das relações (III) e (IV), pode-se escrever:HK HP PK= +
HK
DC AB DC AB
=+
++
11 1
11 1
HK
DC AB
=+
21 1
O resultado indica que HK é a média harmônica de AB e CD.Comentário:Pode-se ainda mostrar que MN ≥ GF ≥ HK:
2 3Extensivo Terceirão – Matemática 4B Extensivo Terceirão – Matemática 4B
11.01. bA nota mais frequente tem valor 8,0. Logo, 8,0 é o valor da moda.
11.02. bO conjunto é constituído por 6 valores (número par). Logo, a me-diana corresponde ao valor da média aritmética dos dois valores centrais (3o. e 4o. valores) do conjunto ordenado. Assim, tem-se:
Me = + =1 56 1922
174, ,
,
11.03. dO conjunto ordenado em ordem crescente é dado por:(85, 86, 87, 88, 89, 89, 90, 90, 90, 92)A média aritmética é dada por:
X = + + + + + + + + +85 86 87 88 89 89 90 90 90 9210
X = =88610
88 6,
A mediana do conjunto é igual à média aritmética dos dois valores centrais (5o. e 6o. valores):
Me = + =89 892
89
11.04. dOrdenando em ordem crescente as alturas dos 6 jogadores, temos:(1,73; 1,78; 1,81; 1,82; 1,83; 1,85)A altura mediana é igual à média aritmética dos dois valores cen-trais (3o. e 4o. valores), ou seja, em metros, temos
Me =+
=1 81 1 82
21 8150
, ,, .
Em metros, a altura média é dada por:
X = + + + + +173 178 1 81 1 82 1 83 1 856
, , , , , ,
X = ≅10 826
1 8033,
,
Assim, a diferença entre a altura mediana e a média das alturas des-ses seis jogadores, em cm, é aproximadamente igual a:
Me X− ≅ − =181 50 180 33 117, , ,
11.05. eA média aritmética do número de filmes assistidos pelos 40 alunos é dada por:
X = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅0 1 1 3 2 6 3 8 4 10 5 7 6 540
X = =14440
3 6,
11.06. aSeja MA a média aritimética e MD a mediana.
MAx x
=+ + + + +
=+17 8 30 21 7
6
83
6
Organizando os elementos em ordem crescente, e sabendo que 8 < x < 21, o elemento x deve ocupar a 3a. ou 4a. posição:{7, 8, x, 17, 21, 30}.Então:
MDx
=+ 17
2Do enunciado, temos MA = MD + 1Portanto: x x
x
Logo MA
++ =
+⇒ =
= =
17
21
83
613
96
616,
11.07. dA moda da distribuição é igual a 5, pois este número é o que ocorre com maior frequência (50 vezes).A mediana da distribuição é a média aritmética dos dois valores centrais (100o. e 101o. valores), ou seja, 3 processos diários.A quantidade média de processos diários é igual a:
X = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅0 10 1 30 2 40 3 30 4 40 5 50200
X = =610200
3 05,
A repartição pública não recebeu processos administrativos em
exatamente 5% dos dias úteis, pois 10200
0 05 5= =, % .11.08. b
Sabe-se que a média aritmética de 12 números é 5, logo:S
S121212
5 60= ⇒ =
Se tirando os números x e y desse conjunto, a média aritmética dos números restantes passa a ser 4,5, então:S x y12
12 24 5
− −−
= ,
6010
4 5− − =x y
,
60 45− − =x y
x y+ = 15
Além disso, sabe-se que x – y = 3. Resolvendo o sistema forma-do pelas duas últimas equações, temos x = 9 e y = 6. Portanto, x · y = 9 · 6 = 54.
11.09. ea) Falsa
Não há informação suficiente para a determinação da nota média.b) Falsa
Não há informação suficiente para a determinação da nota média e da nota mediana.
c) FalsaNão há informação suficiente para a determinação da nota modal.
HG F
M N
K
BA
D C
A igualdade MN = GF = HK é válida apenas se o trapézio apre-sentar AB = CD, ou seja, se o quadrilátero ABCD for um parale-logramo:
M = G = H N = F = K
A
D C
B
Aula 11
4 5Extensivo Terceirão – Matemática 4B Extensivo Terceirão – Matemática 4B
d) FalsaNão há informação suficiente para a determinação da nota média.
e) VerdadeiraA nota mediana é igual à média aritmética entre os dois valores centrais (50o. e 51o. valores). Qualquer que seja o número resul-tante e correspondente à mediana, é certo que 50 valores serão menores que a mediana e 50% serão maiores, de modo que é correto afirmar que 50% dos alunos tiveram nota acima da me-diana.
11.10. bSe a média das alturas de 51 alunos de uma turma é igual a 122 cm, então a soma das medidas das alturas destes 51 alunos é igual a 51 · 122 = 6222 cm.Se a mediana das alturas é igual a 117 cm, então a 26a. altura, den-tre as 51 alturas colocadas em ordem crescente, é igual a 117 cm. Logo, a soma das 26 menores alturas é, no máximo, igual a 26 · 117 = 3042 cm.Desta forma, a média das alturas dos 25 maiores alunos da turma é, no mínimo, igual:6222 3042
253180
25127 2
− = = , cm
11.11. a1a. afirmação: verdadeiraA média das idades é igual a:
X = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ + + + +
16 60 17 50 18 40 19 30 20 50 21 2060 50 40 30 50 20
X = + + + + +960 850 720 570 1000 420250
X = =4520250
18 08,
Dos 250 alunos da escola, exatamente 60 + 50 + 40 = 150 possuem idade abaixo da média (18,08). Assim, o percentual de alunos que possuem idade abaixo da média é igual a:150250
0 60 60= =, %
Logo, exatamente 60% dos alunos possuem idade abaixo da média dessa distribuição.2a. afirmação: verdadeira40 30 50 20
2500 56 56
+ + + = =, %
Portanto, o percentual de alunos dessa escola cuja idade é maior ou igual a 18 anos é 56.3a. afirmação: verdadeira
X anos=⋅ + ⋅ + ⋅
+ += ≅ ≅
16 60 17 50 18 40
60 50 40
2530
15016 87 17,
Desta forma, a média de idade aproximada (em anos) dos alunos cuja idade é menor ou igual a 18 anos é 17.
11.12. dDispondo os valores salariais em ordem crescente, em reais, temos:(80; 80; 85; 90; 95; 100; 100; 100)O salário médio, em reais, é igual a:
X = + + + + + + +80 80 85 90 95 100 100 1008
X = =7308
91 25,
O salário mediano é igual à média aritmética dos dois valores cen-trais da sequência ordenada (4o. e 5o. valores). Logo, a mediana, em reais, é igual a:
Me = + =90 952
92 50,
A moda salarial é o valor mais frequente entre os salários, ou seja, Mo = 100,00.
11.13. eComo n é natural e diferente dos elementos que compõem o con-junto, existem 3 possibilidades quanto ao valor de n.
• 1a. possibilidade: 0 ≤ n < 5 ⇒ X Me= = 6n+ + + + =5 6 10 11
56
n+ =32 30
n = −2 (não convém, pois n ∈ IN)
• 2a. possibilidade: 6 < n < 10 ⇒ X Me n= =n
n+ + + + =5 6 10 11
5n n+ =32 5
n = 8
• 3a. possibilidade: n > 11 ⇒ X Me= = 10n+ + + + =5 6 10 11
510
n+ =32 50
n = 18
Portanto, a soma dos valores de n é igual a 8 + 18 = 26.11.14. e
O custo médio por frasco de medicamento a ser usado no referido procedimento, em reais, é igual a:
X = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ + + +
9 00 20 3 00 30 2 70 10 1 00 18 5 70 3020 30 10 18 30
, , , , ,
X = + + + +180 00 90 00 27 00 18 00 171 00108
, , , , ,
X = 486 00108
,
X = 4 50,
11.15. a• Média aritmética:
X = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅700 00 8 900 00 5 1400 00 1 2000 00 7 2400 00 5 3000 00, , , , , , 118 5 1 7 5 1+ + + + +
X = =40500 0027
1500 00,
,
• Mediana:
Em 27 valores, a mediana é igual ao termo central (14o. valor). Logo, a mediana é igual a 1400,00 reais. • Soma da média com a mediana:A soma da média aritmética com a mediana é igual a 1500,00 + 1400,00 = 2900,00.
11.16. a
Empresas1o.
dia2o.
dia3o.
dia4o.
dia5o.
diaMédia Mediana Moda
TOM 7 8 7 6 7 7 7 7
OLÁ 8 10 9 8 5 8 8 8
SIM 6 6 8 6 9 7 6 6
EXPERT 4 6 4 7 4 5 4 4
Média diária
6,25 7,50 7,00 6,75 6,25 6,75
I. VerdadeiraA empresa com a maior média dos números de ligações não completadas foi a OLÁ, com 8 ligações não completadas.
II. VerdadeiraA empresa com a menor moda dos números de ligações não completadas foi a EXPERT. A moda da EXPERT foi igual a 4.
III. Verdadeira
4 5Extensivo Terceirão – Matemática 4B Extensivo Terceirão – Matemática 4B
Com 7,50 ligações não completadas, o 2o. dia foi o que apresen-tou a maior média dos números de ligações não completadas.
IV. FalsaA mediana dos números de ligações não completadas pelos usuários da empresa TOM (7) não é menor do que a mediana dos números de ligações não completadas pelos usuários da empresa SIM (6).
11.17. cA moda do conjunto é igual a 8, independente do valor de m, pois 8 é o valor mais frequente. Excetuando-se o valor de m, o conjunto ordenado com seis elementos seria:(8, 8, 8, 10, 13, 16)
Se m > 12, necessariamente o termo central (4o. termo) é igual a 10, ou seja, a mediana é igual a 10. Se a moda (8), a mediana (10) e a média são termos consecutivos de uma progressão aritmética, então a razão da progressão é igual a 2 e a média aritmética é igual a 12.Portanto:
Xm= + + + + + +8 8 8 10 13 16
7
1263
7= +m
84 63= +m
m = 21 11.18. d
I) A mediana das idades das mães das crianças nascidas em 2009 pertence ao intervalo 25 30 pois, em porcentagem, 0,8 + 18,2 + 28,3 < 50 e 0,8 + 18,2 + 28,3 + 25,2 > 50Assim, a mediana não é obrigatoriamente maior que 27 e não pode ser menor que 23, o que torna as alternativas (a) e (b) falsas.
II) A mediana das idades das mães das crianças nascidas em 1999 pertence ao intervalo 20 25 pois, em porcentagem, 0,7 + 20,8 < 50 e 0,7 + 20,8 + 30,8 > 50Assim, a mediana não é maior que 25 e a alternativa (c) é falsa.
III) Desprezando a classe das idades das mães cujas idades são infe-riores a 15 anos, superiores a 40 anos ou não foram declaradas, é possível construir a tabela seguinte.
Faixa etáriaPonto médio
Porcentagens
1999 2004 2009
15 20 17,5 20,8 19,9 18,2
20 25 22,5 30,8 30,7 28,3
25 30 27,5 23,3 23,7 25,2
30 35 32,5 14,4 14,8 16,8
35 40 37,5 6,7 7,3 8,0
Total 96 96,4 96,5
De 15 a quase 40 anos, em 2004, a média das idades das mães é:2445 596 4
25 37,
,,≅ . Considerando-se que a quantidade de mães
com mais de 40 anos é maior que a quantidade de mães com
menos de 15 anos, a média das idades das mães que têm idades declaradas é, na realidade, maior que 25,37 e, portanto maior que 22 anos.
IV) Analogamente, pode-se concluir que a média das idades das mães das crianças nascidas em 1999 foi superior a 25 anos e, portanto, a alternativa (e) é falsa.
11.19. R$ 20,00O valor médio pago pelo cliente, em reais, pelo rodízio na semana, é igual à média aritmética dos preços unitários do rodízio, pondera-dos pela quantidade de dias considerados em cada um deles:
X =⋅ + ⋅
+18 50 4 22 00 3
4 3
, ,
X =+74 00 66 00
7
, ,
X = 140 007,
X = 20 00,
Logo, o valor médio que esse cliente pagou, em reais, pelo rodízio nessa semana, foi igual a R$ 20,00.
11.20. a) 12.664,37 (aproximadamente).No período considerado temos, de acordo com os dados das tabelas, que• a média dos casos de dengue, por unidade federativa da
região Centro-Oeste, é igual a 20.244, pois80 976
420 244
.. ;=
• a média dos casos de dengue, por unidade federativa do Brasil, é aproximadamente igual a 7.579,63, pois
204 650
277 579 63
.. , .=
Portanto a diferença entre as médias é aproximadamente igual a: 20.244 – 7.579,63 = 12.664,37
b) Mato Grosso, Mato Grosso do Sul e Goiás.De acordo com as informações fornecidas, é considerado epi-demia quando a incidência é maior do que 300 casos a cada 100 mil habitantes, o que corresponde a 0,3% da população. Calculando-se a porcentagem da população que foi acometi-da pela dengue em cada unidade federativa do Centro-Oeste, obtém-se:
Mato Grosso do Sul: p142 015
2 587 2691 62= ≈
.
. ., %≈ 1,62%
Mato Grosso: p 210 765
3 182 1130 34= ≈
.
. ., % ≈ 0,34%
Goiás: p 327 376
6 434 0480 42= ≈
.
. ., % ≈ 0,42%
Distrito Federal: p 4820
2 789 7610 03= ≈
. ., % ≈ 0,03%
Assim, as unidades federativas em que ocorreu estado de epide-mia foram Mato Grosso, Mato Grosso do Sul e Goiás.
6 7Extensivo Terceirão – Matemática 4B Extensivo Terceirão – Matemática 4B
12.01. eVerifique que média aritmética dos elementos de cada um dos conjuntos é igual a 5. Portanto, dentre as alternativas apresentadas, enquanto não há dispersão no conjunto {5; 5; 5; 5}, onde todos os valores são iguais à média, {0; 10; 0; 10} é o conjunto de maior dispersão.
12.02. bQuanto menor for o desvio padrão dos pontos obtidos por um candidato, mais regular será a pontuação desse candidato. Portanto, de acordo com os dados da tabela, Marco foi mais bem classificado que Paulo, nesse concurso, pois, dos dois, foi Marco quem obteve menor desvio padrão.
12.03. d01) Correto.
O desvio padrão das médias dos alunos da turma B é o maior das três turmas. Logo, as notas dos alunos dessa turma se apresentaram mais heterogêneas.
02) Correto.O desvio padrão é diferente para cada uma das turmas. Logo, as médias das três turmas, mesmo sendo iguais, tiveram variações diferentes.
03) Incorreto.As notas da turma A se apresentaram menos dispersas em torno da média, pois essa turma obteve o menor desvio padrão.
12.04. da) Incorreto.
Quanto mais próximo de zero é o desvio padrão, mais homogênea é a distribuição dos valores da variável.b) Incorreto.
Se todos os valores da variável são iguais, ou seja, se não há variação, então não há desvio e a variância (média aritmética dos quadrados dos desvios) é igual a zero. Logo, o desvio padrão (raiz quadrada da variância) também é igual a zero.
c) Incorreto.O desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância. Logo, quanto maior for a variância, maior será o desvio padrão.
d) Correto.Quanto mais próximo de zero é o desvio padrão, mais homogênea é a distribuição dos valores da variável.
12.05. bA amplitude é igual à diferença entre o maior e o menor valor da distribuição de valores. Portanto, de acordo com a tabela:
Amplitude Amplitude= − ⇒ =5 0 5
12.06. dCálculo da média aritmética:
M
M
a
a
=+ + +
= =
16 22 25 26
489
422 25,
Cálculo da variância:
V
V
=− + − + − + −
=−
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( ,
16 22 25 22 22 25 25 22 25 26 22 25
4
6 25
2 2 2 2
)) ( , ) , ,
,
, ,
2 2 2 20 25 2 75 3 75
460 75
415 1875 15 19
+ − + +
=
= ⇒ ≅
V
V V
12.07. aI. Verdadeira
X =+ + + + + +
= =3 4 6 9 5 7 8
7
42
76
II. Verdadeira
V =−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )3 6 4 6 6 6 9 6 5 6 7 6 8 6
7
2 2 2 2 2 2 2
V =+ + + + + +
=9 4 0 9 1 1 4
74
III. Falsa
Dp V= = =4 2
12.08. cCálculo da média:
X =+ + + +
= =32 34 27 29 28
5
150
530
Aula 12
6 7Extensivo Terceirão – Matemática 4B Extensivo Terceirão – Matemática 4B
Cálculo da Mediana:Os cinco valores colocados em ordem crescente formam a sequência (27, 28, 29, 32, 34). O termo central é igual à mediana, ou seja, Me = 29.Cálculo da Variância:
V =−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )32 30 34 30 27 30 29 30 28 30
5
2 2 2 2 2
V = =345
6 8,
12.09. e Cálculo da média:
X =+ + +
= =33 36 37 34
4
140
435 mm
Cálculo do desvio padrão:
Dp=−( ) + −( ) + −( ) + −( )33 35 36 35 37 35 34 35
4
2 2 2 2
Dp=+ + +4 1 4 1
4
Dp= = ≅ =10
4
10
2
3 16
21 58
,,
12.10. a1. Verdadeira.
A média de batimentos cardíacos por minuto é dada por:
X = + + + + + + = =125 130 150 125 165 150 1357
9807
140
2. Falsa.Nenhuma frequência cardíaca está abaixo de 125.
3. Verdadeira.O desvio padrão dos batimentos cardíacos por minuto é dado por:
Dp =−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( ) +125 140 130 140 150 140 125 140 165 1402 2 2 2 2 1150 140 135 140
7
2 2−( ) + −( )
Dp =+ + + + + +225 100 100 125 625 100 25
7
Dp = 14007
Dp = 200
Dp = ⋅2 10 2
Dp = 10 2
Dp ≅ ⋅10 1 41,
Dp ≅ 14 1,
12.11. aO desvio padrão do conjunto {5822, 6634, 6586, 5892, 5811, 6093, 6331} é dado por:
R =−( ) + −( ) + −( ) + −( ) +5822 6167 6634 6167 6586 6167 5892 6167 58112 2 2 2 −−( ) + −( ) + −( )6167 6093 6167 6331 6167
7
2 2 2
Elevando ao quadrado ambos os membros, temos:
R 22 2 2 2 2 2 2
2
345 467 419 275 356 74 1647
= + + + + + +
R 22 2 2 2 2 2 2345 467 419 275 356 74 164
7=
+ + + + + +
7 345 467 419 275 356 74 1642 2 2 2 2 2 2 2R = + + + + + +
12.12. V – F – V
1a. afirmação: Verdadeira.Os valores em progressão aritmética seriam (6093, 6331, 6569, 6807). A razão seria igual a 6331 – 6093 = 238.
2a. afirmação: Falsa.6331 5811
58110 089 8 9
− ≅ =, , %
8 9Extensivo Terceirão – Matemática 4B Extensivo Terceirão – Matemática 4B
3a. afirmação: Verdadeira.A média informada no texto é igual a 6167. Ordenando os sete valores, temos:(5811, 5822, 5892, 6093, 6331, 6586, 6634)O termo central (4o. termo) é igual à mediana, ou seja, Me = 6093.Logo, a medidana é inferior à média aritmética.
12.13. V – F – V
1a. afirmação: Verdadeira.A razão da P.A. seria igual a 46 – 58 = –12. Desta forma, a sequência dos lançamentos, de 1998 até 2202, seria (94, 82, 70, 58, 46), cuja soma é igual a 350.
2a. afirmação: Falsa.A média é dada por:
X =+ + + + + + + + +
= =58 46 63 48 53 62 63 63 73 71
10
600
1060
A moda é o valor mais frequente, ou seja, 63. Portanto, a moda não é inferior à média aritmética.
3a. afirmação: Verdadeira.Ordenando-se os 10 valores, temos (46, 48, 53, 58, 62, 63, 63, 63, 71, 73). A mediana é igual à média aritmética entre os valores centrais (5o. e 6o. valores):
Me =+
=62 63
262 5,
Logo, a mediana é inferior a 63.12.14. b
O desvio padrão — σ — é dado por:
σ =−( ) + −( ) + −( ) ⋅ + −( ) + −( ) + −( ) +58 60 46 60 63 60 3 48 60 53 60 62 602 2 2 2 2 2 773 60 71 60
10
2 2−( ) + −( )
σ =+ + + + + + +4 196 27 144 49 4 169 121
10
σ = 71410
σ = 71 4,
Observe que 8 3 68 89 71 4 73 96 8 62 2, , , , ,= < < = , logo:
8 3 71 4 8 62 2, , ,< <8 3 8 6, ,< <σ
12.15. ea) Falsa.
O conjunto ordenado de 2000 a 2006 é dado por: (3,14; 5,69; 5,97; 7,60; 7,67; 9,30; 12,53).A mediana é o 4o. termo (valor central), ou seja, Me = 7,60%.
b) Falsa.O conjunto ordenado dos 14 índices de inflação de 2000 a 2013 é dado por:(3,14; 4,31; 4,46; 5,69; 5,84; 5,90; 5,91; 5,91; 5,97; 6,50; 7,60; 7,67; 9,30; 12,53)Exatamente 5 dos 14 índices são maiores 6,48%. Logo, em menos da metade dos anos, a inflação foi superior a 6,48%.
c) Falsa. A média aritmética entre as inflações máxima e mínima é dada por:3 14 12 53
215 67
27 835
, , ,,
+ = = %
d) Falsa.• Média aritmética dos índices de inflação de 2000 a 2006:
X
X
=+ + + + + +
= ≅
5 97 7 67 12 53 9 30 7 60 5 69 3 14
75190
77 41
, , , , , , ,
,, %
O desvio médio desses índices é, aproximadamente, igual a:
Dm ≅− + − + − + − + − +5 97 7 41 7 67 7 41 12 53 7 41 9 30 7 41 7 60 7 41 5 69, , , , , , , , , , , −− + −
≅− + + + + + − + −
7 41 3 14 7 41
71 44 0 26 5 12 1 89 0 19 172 4 27
7
, , ,
, , , , , , ,D m
DD
D
m
m
≅+ + + + + +
≅ ≅
1 44 0 26 5 12 1 89 0 19 172 4 27
714 89
72 13
, , , , , , ,
,, %
8 9Extensivo Terceirão – Matemática 4B Extensivo Terceirão – Matemática 4B
• Média aritmética dos índices de inflação de 2006 a 2013:
X
X
=+ + + + + + +
= ≅
3 14 4 46 5 90 4 31 5 91 6 50 5 84 5 91
84197
85 25
, , , , , , , ,
,, %
O desvio médio desses índices é, aproximadamente, igual a:
Dm ≅− + − + − + − + − + −3 14 5 25 4 46 5 25 5 90 5 25 4 31 5 25 5 91 5 25 6 50, , , , , , , , , , , 55 25 5 84 5 25 5 91 5 25
82 11 0 79 0 65 0 94 0 66 1
, , , , ,
, , , , ,
+ − + −
≅− + − + + − + +
Dm,, , ,
, , , , , , , ,
25 0 59 0 66
82 11 0 79 0 65 0 94 0 66 1 25 0 59 0 66
8
+ +
≅+ + + + + + +
D m
DDm ≅ ≅7 65
80 96
,, %
Portanto, o desvio médio dos índices de inflação de 2000 a 2006 não é quase igual ao desvio médio dos índices de inflação de 2006 a 2013, pois 5,25% é relativamente maior do que 0,96%.
e) Verdadeira• Média aritmética dos índices de inflação de 2010 a 2013:
X
X
=+ + +
= =
5 91 6 50 5 84 5 91
424 16
46 04
, , , ,
,, %
• Média aritmética dos índices de inflação de 2000 a 2009:
X
X
=+ + + + + + + + +
=
5 97 7 67 12 53 9 30 7 60 5 69 3 14 4 46 5 90 4 31
1066
, , , , , , , , , ,
,,, %
57
106 657=
Portanto, a média aritmética dos índices de inflação de 2010 a 2013 é menor do que a de 2000 a 2009, pois 6,04% < 6,657%.12.16. F – F – V – V – F
00) Falsa.A moda da série é 54.
01) Falsa.
Em 9 valores, a mediana é igual ao 5o. valor (central), quando a série é colocada em ordem crescente ou decrescente. Logo, a mediana é igual a um valor da série.
02) Verdadeira.A média aritmética da série é dada por:
X =+ + + + + + + +
= =37 54 65 48 84 56 54 82 69
9
549
961
Os quatro registros da série que são maiores que 61 são 65, 84, 82 e 69.03) Verdadeira.
A média aritmética da série é igual a 61.A amplitude total da série é igual à diferença entre o maior e o menor número:84 – 37 = 47Portanto, a amplitude total da série numérica é menor que a correspondente média.
04) Falsa.Os gráficos de setores são utilizados para representar variáveis nominais, não variáveis numéricas como é o caso da série. Além disso, caso se, realmente, representasse os valores da série em um gráfico de setores, exatamente oito setores teriam as mesmas medidas de ângulos centrais, uma vez que esses oito valores da série ocorrem com a mesma frequência (cada um deles ocorre uma única vez). Já o setor correspondente à moda, que ocorre duas vezes, teria ângulo central com medida igual ao dobro das medidas dos demais.
12.17. cO salário esperado é a média aritmética dos salários, ou seja:
µ =⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
+ + +=
300 0 3 400 0 4 500 0 2 600 0 1
0 3 0 4 0 2 0 1410
, , , ,
, , , ,
O desvio padrão é dado por:
σ =−( ) ⋅ + −( ) ⋅ + −( ) ⋅ + −( ) ⋅300 410 0 3 400 410 0 4 500 410 0 2 600 4102 2 2 2, , , 00 1
0 3 0 4 0 2 0 1
,
, , , ,+ + +
σ = + + +3630 40 1620 36101
σ = 8900
10 11Extensivo Terceirão – Matemática 4B Extensivo Terceirão – Matemática 4B
σ ≅ 94 34,
Logo, 90 < σ < 100.12.18. a
A média aritmética da distribuição inicial de massas é dada por:
X =⋅ + ⋅ + ⋅
+ += =
3 2 4 3 6 1
2 3 1
24
644 kg
O desvio padrão da distribuição inicial de massas é dado por:
Dp kg=−( ) ⋅ + −( ) ⋅ + −( ) ⋅
+ += = =
3 4 2 4 4 3 6 4 1
2 3 166
1 12 2 2
Como a média da distribuição inicial é igual a 4 kg, acrescentando-se qualquer quantidade de objetos de massa 4 kg, a média não sofrerá alteração, permanecendo com o mesmo valor igual a 4 kg. O acréscimo de n objetos, cada um de massa igual a 4 kg, faz com que o desvio padrão se reduza
à metade, ou seja, o desvio padrão da nova distribuição será igual a 12
. Desta forma, considerando-se o acréscimo dos n objetos de massa 4 kg, tem-se:
1
2
3 4 2 4 4 3 6 4 1
2 3 1
2 2 2
=−( ) ⋅ + −( ) ⋅ +( ) + −( ) ⋅
+ +( ) +n
n
1
2
6
6=
+n
Elevando-se ao quadrado ambos os membros da igualdade, tem-se:
1
2
6
6
2 2
=+
n
1
4
6
6=
+n
n + 6 = 24n = 18
12.19. a) A média dos salários dos trabalhadores, em reais é dada por:
Ma=⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
=500 10 1000 5 1500 1 2000 10 5000 4 10500 1
312000
Como são 31 funcionários (quantidade ímpar), a mediana é igual ao termo central (16o. salário em ordem crescente). Logo, a mediana é igual a 1 500 reais.
b) Considerando-se 31 funcionários, a média aritmética é igual a 2 000 reais. Se cada um dos dois novos funcionários ganha 2 000 reais, conclui-se que a média aritmética dos 33 funcionários continuará a ser 2 000 reais.
Ma=⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
=500 10 1000 5 1500 1 2000 12 5000 4 10500 1
332000
Assim, com 33 funcionários, a soma dos quadrados dos desvios em relação à medida aritmética é a mesma que a soma dos quadrados dos desvios considerando-se 31 funcionários. Por outro lado, o denominador do quociente no caso com 33 funcionários é maior do que com 31:
V31
2 2 2500 2000 10 1000 2000 5 1500 2000 1 2000 200=
− ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + −( ) ( ) ( ) ( 00 5000 2000 4 10500 2000 1
500 2000 10
2 2 2
33
2
) ( ) ( )
( )
⋅ + − ⋅ + − ⋅
=− ⋅
1031
V++ − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + −( ) ( ) ( ) (1000 2000 5 1500 2000 1 2000 2000 5000 20002 2 2 12 )) ( )2 24 10500 2000 1⋅ + − ⋅
33Portanto, a variância, considerando-se 33 funcionários, ficará menor. Ou seja, V33 < V31.
12.20. a) Organizando em uma tabela de frequências, temos:
Idade Frequência
16 6
20 2
23 4
Total 12
b) A moda é o valor mais frequente da distribuição, ou seja, Mo = 16 anos.Como a quantidade de valores é 12, ou seja, representada por um número par, a mediana é igual à média aritmética das idades dos valores que
ocupam a 6a. e 7a. posições, pois tais posições são as posições centrais. O 6o. valor é igual a 16 anos e o 7o. valor é igual a 20 anos. Logo, a mediana é igual a:
Me =+
= =16 20
2
36
218 anos
A média aritmética pode ser calculada ponderando-se cada idade pela frequência correspondente:
X anos=⋅ + ⋅ + ⋅
+ += =
16 6 20 2 23 46 2 4
22812
19
10 11Extensivo Terceirão – Matemática 4B Extensivo Terceirão – Matemática 4B
c) A variância da distribuição de frequências de idades é dada por:
V =−( ) ⋅ + −( ) ⋅ + −( ) ⋅
+ +16 19 6 20 19 2 23 19 4
6 2 4
2 2 2
V = =12012
10 anos2
O desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância, ou seja:
Dp = ≅10 3 2, anos
12 PBExtensivo Terceirão – Matemática 4B Extensivo Terceirão – <disciplina> <numdisciplina>
10.01. cDeterminante da matriz de Vandermonde:det( ) ( ) ( ) ( )
det( )
det( )
V a a a a a a
V a a a
V a
= − ⋅ − ⋅ −= ⋅ ⋅
=
2 3 3 2
2
2 3
10.02. dO primeiro membro da desigualdade é o determinante de uma matriz de Vandermonde.( ) ( ) ( x)
( )
x
x x x
x x x
− ⋅ − ⋅ − ≥
⋅ − − + ≥
− + − ≥ ⇒ ≤ ≤
1 3 1 3 0
2 3 3 0
4 3 0 1 3
2
2
A soma das soluções inteiras da inequação é:1 + 2 + 3 = 6
10.03. cUsando a regra de Chió, temos:
6 0 7
2 2 0
8 2 11
1
6 0 7
2 2
2
2 1 3
1
3
2 2 1 2 3 2
2 11 2 3−
−
⋅ − ⋅ ⋅⋅ −
−
= − ⋅− − −
− −+( )
( )
( ) (−− ⋅ − ⋅ −⋅ − ⋅ ⋅
−− − − −
=
= − ⋅ = −
1 1 3 1
2 3 1 3 3 3
0
8 2 11
1
2 2 1
4 1 3
2 1 2
1
) ( ) ( )
( )
( ) ( )⋅⋅ + + − − − =( )4 12 4 2 16 6 4
Portanto, o valor do determinante é um número inteiro divisor de 8. 10.04. a
Multiplicamos a quarta linha por –1 e somamos com a terceira.
4 8 0 13
2 5 0 7
3 6 2 10
2 3 2 5
4 8 0 13
2 5 0 7
5 9 0 15
2 3 2 5− − −
=
− − −
Usando o teorema de Laplace, temos:4 8 13
2 5 7
5 9 15
2 3 5
2 1
4 8 13
2 5 7
5 9 15
2
4 8 13
2 5 7
5 9 15
0
0
0
2
4 3
− − −
= ⋅ − ⋅ = − ⋅+( )
Multiplicamos a segunda linha por –2 e somamos com a primeira e com a terceira.
− ⋅ = − ⋅− −
−=
= − ⋅ − + + + =
2
4 8 13
2 5 7
5 9 15
2
0 2 1
2 5 7
1 1 1
2 14 2 5 4 6( )
Aula 1010.05. b
Usando a regra de Chió, temos:
1 1 1 1
1
1
1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1
2 2 2
2 3 3
2 3 4
1
2 2 2
2 3 3
2
1 1= − ⋅− − −− − −−
⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅+( )
⋅⋅ ⋅ ⋅− −=
= = + + − − − =
1 1 1 1 13 4
1 1 1
1 2 2
1 2 3
6 2 2 2 3 4 1
10.06. eUsando a regra de Chió, temos:
7 2 3
1
1
1
7 1 2 1 3 1
7 1 2 1 3 1
7
1
5 3 2
6 2 4
7 1 6
1
5 3 2
6 2 4
7
1 3= − ⋅− − −− − −−
⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅+( )
⋅⋅ ⋅ ⋅− −=
=− −−
−= − + − =
1 2 1 3 11 6
2 1 1
1 0 1
0 1 3
1 3 2 0
10.07. d
sen sen sen
sen sen sen
sen sen sen
π π π
π π π
π π
21
612
32
1
1 1 1
2 632
2 62 2
= = = −
22 22
232
1 1 1
112
1
112
1
1 1 1
112
1
114
1
12
114
12
1
π
= −
−
=
= − = − + − − +
( )
114
32
= −
10.08. dUsando a regra de Chió, temos:
2
1
1 3 4
3
7 10
1 2 3
5 9 13
3
1
2 7 6 10 8
1 1 2 3 3 4
5 3 9
1
3 1
x
x
− − −= −
− ⋅− − −+ − + − +− −
+( )
99 13 12
3
2 1 2
2 1 1
2 0 1
3 2 2 4 2 3 3
−= −
−= − ⇒ − + − − = − ⇒ =
x
x x
Resoluções 4CMatemática
1Extensivo Terceirão – Matemática 4C
10.09. bMultiplicando a terceira coluna por –1 e somando com a quarta, temos:2 3 2 1
3 2 4 1
2 4 3 1
4 3 2 0
−
Usando a regra de Chió, temos:
2 3 2
1
1
0
1
3 2 4
2 4 3
4 3 2
1
3 2 2 3 4 2
2 2 4 3 3 2
4 0 3 0 2 0
1
1 4− = − ⋅+ + +− − −− − −
=
= −
+( )
( )) ( ) ( )⋅ = − ⋅ + − − =5 5 6
0 1 1
4 3 2
1 10 20 24 15 9
10.10. 12Determinante da matriz de Vandermonde:det( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
det(V)
V = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3
1 2 1 3 2⋅⋅=
1
12det( )V
10.11. aO primeiro membro da equação é o determinante de uma matriz de Vandermonde.(2 1) (sen2x 1) (sen2x 2) 0
sen2x 1 0 ou sen2x 2 0
sen2x 1ou sen2x 2
sen2x 1
sen2x 2 (não existe solução real)
− ⋅ − ⋅ − = ⇒⇒ − = − = ⇒⇒ = =
==
Como 0 ≤ ≤x π, a solução da equação sen x2 1= é:
22 4
x x= ⇒ =π π
10.12. aMultiplicamos a primeira linha por –1 e somamos com a segunda, com a terceira e com a quarta.x
x x
x x x
x x x x
x
x
x x
x x x
1 2 3
4 5
6
1 2 3
0 1 2 2
0 1 2 3
0 1 2 3
=−− −− − −
Multiplicamos a segunda linha por –1 e somamos com a terceira e com a quarta.x
x
x x
x x x
x
x
x
x x
1 2 3
0 1 2 2
0 1 2 3
0 1 2 3
1 2 3
0 1 2 2
0 0 4 1
0 0 4 5
−− −− − −
=−
−− −
Multiplicamos a terceira linha por –1 e somamos com a quarta.x
x
x
x x
x
x
x
x
1 2 3
0 1 2 2
0 0 4 1
0 0 4 5
1 2 3
0 1 2 2
0 0 4 1
0 0 0 6
−−− −
=−
−−
Assim:det
( ) ( ) ( )
A
x
x
x
x
x x x x
x ou x
=
−−
−
=
⋅ − ⋅ − ⋅ − == =
0
1 2 3
0 1 2 2
0 0 4 1
0 0 0 6
0
1 4 6 0
0 11 4 6ou x ou x= =
O conjunto solução da equação é {0, 1, 4, 6}.
10.13. 15 (01, 02, 04, 08)01) CORRETO
det( ) ( )A = = ⋅ − ⋅ = − =+
1 0 2 5
4 0 8 3
1 2 2 11 1
1 0 2
4 0 8
1 2 2
16 16 0
0 0 0 1
4 4
02) CORRETOO determinante de uma matriz triangular é o produto dos ele-mentos da diagonal principal.
A
b c
e A a d f
a
d
f
=
⇒ = ⋅ ⋅0
0 0
det( )
04) CORRETOO determinante de qualquer matriz quadrada é igual ao deter-minante da sua transposta.
08) CORRETO
A A
A n n
=
⇒ = ⋅ − ⋅ =
= =
1 2
0 11 1 2 0 1
1 1
det( )
[det( )]
16) INCORRETO
Asena a
a senaA sena sena a a
A
=
⇒ = ⋅ − ⋅
⇒
cos
cosdet( ) cos cos
det( ) == −sen a a2 2cos
Como cos cos2 2 2a a sen a= − , então det(A) cos= − 2a .
10.14. bMultiplicamos a segunda linha por –2 e somamos com a primeira.
x =
−−−
− − −=
−−
− −
2 4 2 7 8
1 2 1 3 4
3 7 2 10 14
1 1 2 2 3
2 6 1 7 9
0 0 0 1 0
1 2 1 3 4
3 7 2 10 14
1 11 2 2 3
2 6 1 7 9
−
Usando o teorema de Laplace, temos:
x =−−
− − −= ⋅ − ⋅
−−
−+
0 0 0 1 0
1 2 1 3 4
3 7 2 10 14
1 1 2 2 3
2 6 1 7 9
1 1
1 2 1 4
3 7 2 14
11 4( )
−− −1 2 3
2 6 1 9
2 Extensivo Terceirão – Matemática 4C
Usando a regra de Chió, temos:
x = − ⋅ −− −
= − ⋅ − ⋅− − + −
− +
−
−+( ) ( ) ( )1 7 2 14
1 2 3
6 1 9
1 1
7 6 2 3 14 12
1
1 2 1 4
3
1
2
1 1 22 2 1 3 4
6 4 1 2 9 8
1
1 1 2
1 1 1
2 3 1
1 1 2 6 4 1 3 1
− − +− + −
= − ⋅ = − ⋅ + + − − − = −x ( ) ( ) ( )
Portanto, 3 3 1 3x = ⋅ − = −( ) .
10.15. dMultiplicamos a primeira linha por –1 e somamos com a segunda, com a terceira e com a quarta.m
m p
m r
m s
m
p
r
s
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
++
+
=
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elemen-tos da diagonal principal.Portanto:m
p
r
s
m p r s
1 1 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
= ⋅ ⋅ ⋅
10.16. e1 1 1 1
1 2 2 1 1
1 1 3 2 1
1 1 1 1 2
0+
−
−
=x
x
x
Multiplicamos a primeira linha por –1 e somamos com a segunda, com a terceira e com a quarta.1 1 1 1
0 1 2 0 0
0 0 2 2 0
0 0 0 2
0
1 2 2 2 2 0
1 2 0 2
+
−
−
=
+ ⋅ − ⋅ − = ⇒
⇒ + =
x
x
x
x x x
x ou
( ) ( ) ( )
−− = − = ⇒
⇒ = − = =
2 0 2 0
2 1 2 2 2 0
x x
x x x
ou
ou ou
Supondo que x é um número real, então 2 0x > .Portanto:2 2x =
10.17. cx x
x x x
x x x x x x x x
−−
−= − − − + − + = − +
−− −−
1 2
0 1 1
1
2 2 1 5 1
2 1 0
2 2 1
4 3 1
0
1
2
1
2 2 2 2
11 1 2
1
2 0 1 0 0 0
2 1 2 1 1 2
4 2 3 2 1 4
1
2 1 0
1
4 1
−
= − ⋅− − − −− − + − −− − + −
=
= − ⋅−−
+( )
( ) 11 3
2 1 3
1 6 6 3 6 3
5 1 3 5 4 0 1 42 2
−− −
= − ⋅ + − − = −
− + ≤ − ⇒ − + ≤ ⇒ ≤ ≤
( ) ( )
x x x x x
10.18. e I. VERDADEIRA
Multiplicamos a primeira linha por 3 e somamos com a terceira. Multiplicamos a primeira linha por –2 e somamos com a quarta.
2 3 1 3
3 4 0 5
5 11 0 7
1 1 0 3
−
− − −
Usando o teorema de Laplace, temos:2 3 3
3 4 5
5 11 7
1 1 3
1 1
3 4 5
5 11 7
1 1 3
1 9
1
0
0
0
1 3
−
− − −
= − ⋅ − ⋅− − −
=
= − ⋅ −
+( ) ( )
( ) ( 99 28 25 55 60 21 16− − + + + =)
Portanto, o determinante é um quadrado perfeito. II. FALSA
det( )
det det
det( )
det det det
3 18
3 18 2
6
6 2
2
A
A A
A B
A B B
t
t t
=
⋅ = ⇒ =
⋅ =
⋅ = ⇒ ⋅ == ⇒ =6 3detB t
Portanto, det detB B t= = 3. III. VERDADEIRA
1 1 1
2 1
6 1
0
2 6 12 0
16 4 4
2
2
x
x
x x x
x x ou x
− =
− + − − + =
= ⇒ = = −
Portanto, os valores de x são inteiros e opostos.10.19. a)
3
2 2
2
2
2
det(A) 0
x 2 0
2 x 6 0
0 6 16x
16x 64x 36x 0
x (4x 25) 0 x 0 e 4x 25 0 ou
x 0 e 4x 25 0
x 0 e 4x 25 0 x 0 e (x 2,5 ou x 2,5) x 2,5
x 0 e 4x 25 0 x 0 e ( 2,5 x 2,5) 2,5 x 0
>
>
− − >
⋅ − > ⇒ > − >
< − <
> − > ⇒ > < − > ⇒ >
< − < ⇒ < − < < ⇒ − < <
Portanto, − < <2 5 0, x ou x > 2 5, . b)
B A C
B
B
= ⋅
=−
−−
⋅
−
=− +− −
2 2 0
2 2 6
0 6 32
3
4
1
6 8
6 8 6
24 ++
= −
32
2
8
56
3Extensivo Terceirão – Matemática 4C
11.01. ca) FALSA. Duas matrizes nulas que não são do mesmo tipo são di-
ferentes.b) FALSA. Uma matriz admite inversa somente se seu determinante
for diferente de zero.c) VERDADEIRA. A matriz identidade é o elemento neutro na mul-
tiplicação de matrizes.d) FALSA. Existem matrizes quadradas com determinante nulo.e) FALSA. Nem sempre existem os produtos A B⋅ e B A⋅ . Mesmo
que ambos os produtos existam, em geral A B B A⋅ ≠ ⋅ . 11.02. a
A A I
a b
c d
a c b d
a c b d
⋅ =
⋅
=
+ ++ +
−12
6 2
2 1
1 0
0 1
6 2 6 2
2 2
=
+ =+ =
⇒ = = −
+ =+ =
1 0
0 1
6 2 1
2 012
1
6 2 0
2 1
a c
a ca e c
b d
b d
⇒ = − =b e d1 3
Portanto:
A − =−
−
112
1
1 3
11.03. cA A I
a b
c d
a c b d
c d
⋅ =
⋅
=
+ +
−12
1 4
0 2
1 0
0 1
4 4
2 2==
+ ==
⇒ = =
+ ==
⇒ = − =
1 0
0 1
4 1
2 01 0
4 0
2 12
12
a c
ca e c
b d
db e d
Portanto:
A − =−
11 2
012
11.04. aA A I
a b
c d
a c b d
a c b d
⋅ =
⋅
=
+ ++ +
−12
2 1
1 1
1 0
0 1
2 2
=
+ =+ =
⇒ = = −
+ =+ =
⇒ = −
1 0
0 1
2 1
01 1
2 0
11
a c
a ca e c
b d
b db e d == 2
A soma dos elementos da matriz inversa da matriz A é:a b c d+ + + = + − + − + =1 1 1 2 1( ) ( )
Aula 1111.05. e
det( )A = = + − − = −2 1 5
3 4 7
123
0
7 10 20283
373
Portanto:
det( )det( )
AA
− = =−
= −1 1 1373
337
11.06. cdet( )
( ) ( ) ( )
A
x
x
x x x e x
≠
≠
− ⋅ − ⋅ − ≠ ⇒ ≠ ≠
0
1 1 1
2 5
4 25
0
2 5 5 2 0 2 5
2
11.07. aA M I
x
y
x y
x y
⋅ =
⋅−
−
=
− − +− − +
2
1 2
2 6
1
1
1 0
0 1
2 1 2
2 6 2 6
=
− = ⇒ =
− + = ⇒ =
− = ⇒ =
− + = ⇒ =
1 0
0 1
2 1 3
1 2 012
2 6 0 3
2 6 1
x x
y y
x x
y y112
Portanto, xy = ⋅ =312
32
.
11.08. dA B I
p
q
pq
q
⋅ =
⋅
=
+
2
13
014
3 1
0
1 0
0 1
113
04
=
= ⇒ =
+ = ⇒ ⋅ = − ⇒ = −
1 0
0 1
41 4
13
0 413
112
pq p p
Portanto, q p− = − ⋅ −
=12 4 121
125.
4 Extensivo Terceirão – Matemática 4C
11.09. b
Am
A m
A A
AA
=− −
⇒ = − +
= ⋅
= ⋅
−
1
1 11
2
21
1
det( )
det( ) det( )
det( )det( ))
[det( )]
( )
A
m m ou m
m ou m
2
2
2
1 2 1 2 1 2
2 1 2 1
=
− = ⇒ − = − = −
⇒ = + = − +
A soma dos valores de m é ( ) ( )2 1 2 1 2+ + − + = .
11.10. a
bA
cofator a
bA
cofator a
ij ji= ⋅
= ⋅
=
1
1
1 0 1
23 32
det( )( )
det( )( )
det(A) 22 1 0
0 1 1
1 2 3
11 1
2 01 0 2 2
1
323 2
23
= + =
= − ⋅ = − ⋅ − =
=
+cofator a
b
( ) ( ) ( ) ( )
dett( )( )
Acofator a⋅ = ⋅ =32
13
223
11.11. d16 2
161
2
4 2
1
2
2
det( ) det( )
det( )det( )
[det( )] det( )
A A
AA
A A
− =
⋅ = ⋅
= ⇒ = ((pois det(A) )> 0
11.12. b( )
[( ) ]
X A B
X A B
X A B
t
t t t
t
⋅ =
⋅ =
⋅ =Multiplicamos o lado direito de cada membro pela inversa da ma-triz A.X A A B A
X I B A
X B A
t
t
t
⋅ ⋅ = ⋅
⋅ = ⋅
= ⋅
− −
−
−
1 1
1
1
11.13. 19 (01, 02, 16)01) VERDADEIRO
A B I
a b
c d
a b a b
c d c d
⋅ =
⋅
−
=
+ − ++ − +
2
2 1
1 3
1 0
0 1
2 3
2 3
=
+ =− + =
⇒ = =
+ =− + =
1 0
0 1
2 1
3 037
17
2 0
3 1
a b
a ba e b
c d
c d⇒ = − =c e d
17
27
Portanto, b c+ = + −
=17
17
0 .
02) VERDADEIRO
C B C
C B C
t
t
+ ⋅ =−
+
−
⋅
−
+ ⋅ =−
2 4
3 1
2 1
1 3
2 3
4 1
2 4
3 1 +
−
=
−
8 5
10 6
10 9
13 7
04) FALSO
B t =−
2 1
1 3
Como B e B t são diferentes, a matriz B não é simétrica.
08) FALSOSempre é possível multiplicar uma matriz pela sua transposta.
16) VERDADEIRO
B X
a
b
a b
a b
⋅ =−
−
⋅
=
−
− = −+ =
3
2
2 1
1 3
3
2
2 3
3 2⇒ = − =a e b1 1
Portanto, a b+ = − + =1 1 0.
11.14. b1. VERDADEIRA
det(A) cos= − + =sen x x2 21 Como cos 2 x varia de 0 a 1, o determinante da matriz A nunca é negativo.
2. FALSA
A Bsenx
senx
senx
senxA− =
− −
−
−
=
−
≠ −
1
1
0 1
1 0
0
0
3. VERDADEIRAdet( )
cos cos ,
A
x x x k com k
≠
≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠ + ⋅ ∈
0
0 02
2 π π
Se x pertence ao intervalo 02
,π
, então cosx ≠ 0 . Portanto, a matriz A tem inversa.
4. FALSO
A Bsenx
senx
senx
senxA t⋅ =
− −
⋅
−
=
−−
≠
1
1
0 1
1 0
1
1
11.15. a
Seja A
a
b
c
d
− =
1
* * ** * ** * ** * *
a matriz inversa de A.
Assim:A A I
a
b
c
d
⋅ =
⋅
−14
1 1 1 1
1 2 3 4
1 4 9 16
1 8 27 64
* * ** * ** * ** * *
=
+ + + =+ + +
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
2 3 4
a b c d
a b c dd
a b c d
a b c d
=+ + + =+ + + =
0
4 9 16 0
8 27 64 0
A primeira equação do sistema mostra que a soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A é 1.
5Extensivo Terceirão – Matemática 4C
11.16. c
A
a a a
a a a
a a a
=
=
+ +
+11 12 13
21 22 23
31 32 33
2 2
2
2 1 2 1 3
1 2 2 3
1 1 2
=
° = ° =
= −
2 3 4
1 2 7
1 1 2
405 45 1
32
1
tg tg
senπ
logg log
cotg cotg
log , log
secc
4 43
3
64 4 3
454
54
1
0 001 10 3
1
= =
= =
= = −
=
−
π π
πoos
cos cos
cossec
ππ
=−
= −
= =
° =°
=°
=
=−
11
1
12 0 1
4501450
190
1
1 1
sen sen
B
−−− −
= = + + − − − =
3
1 1 3
1 1 1
2 3 4
1 2 7
1 1 2
8 21 4 8 6 14 5det( )
det(
A
B)) =− −− − = + + − + + =
1 1 3
1 1 3
1 1 1
1 3 3 3 1 3 8
C A B
C A B
C
CC
= ⋅= ⋅= ⋅ =
= =−
det( ) det( ) det( )
det( )
det( )det( )
5 8 40
1 140
1
11.17. cM M I
a b
c d
a c b d
a b
⋅ =−
⋅
=
− −
=
−12
1 1
2 0
1 0
0 1
2 2
11 0
0 1
1
2 00 1
0
2 112
12
1
− ==
⇒ = = −
− ==
⇒ = =
=−
a c
aa e c
b d
bb e d
M00
12
112
−
Portanto:
M N M NT⋅ − ⋅ =−
⋅
−
−
−
⋅−
−1 1 1
2 0
2 1
1 3
012
112
2 1
11 3
2 1 1 3
4 2
12
32
212
132
1
⋅ − ⋅ =− − −
−
−
−
− − − +
−M N M NT
⋅ − ⋅ =−
−
−M N M NT 1
32
112
132
52
11.18. 06 (02, 04)01) INCORRETA
23 9 5
17 11 21
3 25 11 7
30 21 35
X Y
X Y
+ =− −
−
+ =− −
−
Multiplicando a primeira equação por –2 e somando com a se-gunda, temos:
− − =−
− −
+ =− −
−
4 26 18 10
34 22 42
3 25 11 7
30 21 35
X Y
X Y
− =−
− −
=− −
−
X
X
1 7 3
4 1 7
1 7 3
4 1 7
02) CORRETAA A I
a b
c d
a c b d
a c b d
⋅ =
⋅
=
+ ++ +
−12
2 1
5 3
1 0
0 1
2 2
5 3 5 3
=
+ =+ =
⇒ = = −
+ =+ =
1 0
0 1
2 1
5 3 03 5
2 0
5 3 1
a c
a ca e c
b d
b d⇒ = − =
=−
−
−
b e d
A
1 2
3 1
5 21
A B t− ⋅ =−
−
⋅
=
−
1 3 1
5 2
1 5
3 9
0 6
1 7
04) CORRETA
x
x
x x
x x x x x
x x x
x x x
1 1
1 2
1
0
2 2 0
2 2 0
2 1 2 0
3 2
3 2
2
− =
− + − − + =
+ − − =
⋅ + − ⋅ + =( ) ( )
(( ) ( )x x
x ou x
x ou x ou x
+ ⋅ − =
+ = − == − = = −
2 1 0
2 0 1 0
2 1 1
2
2
Portanto, o conjunto solução da equação é S = − −{ , , }2 1 1 , con-tido no intervalo [–2, 1].
6 Extensivo Terceirão – Matemática 4C
11.19.
Aa a
a a
sen
sen=
=
+ ⋅ − ⋅− ⋅ +
11 12
21 22
1 1 2 1
1 2 2 2
( ) cos( )
cos( ) (
π ππ ))
cos
cos( )
⋅
=−
=
−−
⋅ =−
π
π ππ π
Asen
sen
A A
2
4
0 1
1 01 II
a b
c d
c d
a b
2
0 1
1 0
1 0
0 1
1 0
0 1
−−
⋅
=
− −− −
=
⇒ = = − = − =a b c e d0 1 1 0, ,
Portanto:
A − =−
−
1 0 1
1 0
11.20.
A
a a a
a a a
a a a
=
=− +− + − +
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 1 1 0 0
2 1 1 2 2 1 0
33 1 1 3 2 1 3 3 1
1 0 0
2 1 0
3 2 1− + − + − +
=
A A I
a b c
d e f
g h i
⋅ =
⋅
=
−13
1 0 0
2 1 0
3 2 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
+ + ++ + + + + +
=a b c
a d b e c f
a d g b e h c f i
2 2 2
3 2 3 2 3 2
1 00 0
0 1 0
0 0 1
1
0
0
2 0 2
2 1 1
2 0
===+ = ⇒ = −+ = ⇒ =+ = ⇒ =
a
b
c
a d d
b e e
c f f 00
3 2 0 1
3 2 0 2
3 2 1 1
a d g g
b e h h
c f i i
+ + = ⇒ =+ + = ⇒ = −+ + = ⇒ =
Portanto:
A − = −−
1
1 0 0
2 1 0
1 2 1
12.01. e3 0
3 14
15 3 14 2
5 1 3
x ky z
k
k k
+ − =⋅ + ⋅ − =− − = ⇒ = −
−( )
12.02. b3 15
4 3 25
x y
x y
+ =+ =
Multiplicando a primeira equação por –3 e somando com a segun-da, temos:
− − = −+ =
− = − ⇒ =
9 3 45
4 3 25
5 20 4
x y
x y
x x
3 15
3 4 15 3
x y
y y
+ =⋅ + = ⇒ =
Portanto, a solução do sistema é (4, 3).12.03. c
2x y z 5
3x 2y z 2
x z 0
x z 0 z x
2x y z 5 2x y ( x) 5 y 5 3x
3x 2y z 2 3x 2 (5 3x) ( x) 2
3x 10 6x x 2 x 1
+ − = − + = − + =
+ = ⇒ = −+ − = ⇒ + − − = ⇒ = −− + = − ⇒ − ⋅ − + − = − ⇒
⇒ − + − = − ⇒ =
Aula 12Assim:z x z
y x y y
x y z
= − ⇒ = −= − ⇒ = − ⋅ ⇒ =+ + = + + − =
1
5 3 5 3 1 2
1 2 1 2( )
12.04. 54 (02, 04, 16, 32)x y
x y
x x
x y y y
+ =− =
= ⇒ =+ = ⇒ + = ⇒ =
7
1
2 8 4
7 4 7 3
01) INCORRETO2 2 4 8x = ⋅ =
02) CORRETO3 3 4 3 15x y+ = ⋅ + =
04) CORRETO− − = − − ⋅ = −x y3 4 3 3 13
08) INCORRETO2 2 3 6y = ⋅ =
16) CORRETOx y2 2 2 24 3 7− = − =
32) CORRETO7 7 1 7⋅ − = ⋅ = = +( )x y x y
7Extensivo Terceirão – Matemática 4C
12.05. d
D
D
zDD
z
z
= − − = − + − + =
= −−
= + − =
=
1 1 1
2 1 2
0 6 3
3 12 6 12 15
1 1 0
2 1 1
0 6 12
12 24 6 30
== =3015
2
12.06. cx y
x y
x y
x y
x x
x y
2 32 0 3 2 12
3 2 0
3 2 12
6 12 2
3 2 12 3 2
+ − = ⇒ + =
− =+ =
= ⇒ =+ = ⇒ ⋅ + 22 12 3y y= ⇒ =
Portanto, x y+ = + =2 3 5 .
12.07. c
D
D y
=−
− −− −
= + − − =
=−−
− −= − − + +
1 0 5
3 1 5
4 4 3
3 60 20 20 23
1 2 5
3 3 5
4 4 3
9 40 60 60 ++ − =
= = =
18 20 69
6923
3yD
Dy
12.08. d
D
D y
= −−
= + + + + − = −
=−
= − + + − +
4 1 1
3 2 4
2 3 2
16 8 9 4 6 48 5
4 9 1
3 11 4
2 2 2
88 72 6 22 544 32 10
105
2
− = −
= = −−
=yD
Dy
12.09. eSejam x e y, respectivamente, os preços do quilograma de café do tipo I e do tipo II.
2 3 5 4 80
3 2 5 5 20
2 3 24
3 2 26
x y
x y
x y
x y
+ = ⋅+ = ⋅
+ =+ =
,
,
Multiplicando a primeira equação por –2 e a segunda por 3, temos:− − = −
+ =
= ⇒ =+ = ⇒ ⋅ + = ⇒ =
4 6 48
9 6 78
5 30 6
2 3 24 2 6 3 24 4
x y
x y
x x
x y y y
Portanto, o quilograma do café do tipo I custa R$ 6,00 e do tipo II custa R$ 4,00.
12.10. aSomando as três equações, temos:4 4 4 16 15 17
4 4 4 48
12
x y z
x y z
x y z
+ + = + ++ + =
+ + =
Assim:x y z
y x y z
y y
x y z
x x y z
x
+ + =+ + + =+ = ⇒ =
+ + =+ + + =+ =
2 16
16
12 16 4
2 15
15
12
( )
( )
115 3
2 17
17
12 17 5
⇒ =
+ + =+ + + =+ = ⇒ =
x
x y z
z x y z
z z
( )
a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =3 4 5 60
12.11. e
D
D x
= − = − + − − + =
= − = − + − − +
1 1 1
3 4 1
2 3 4
16 2 9 8 12 3 6
6 1 1
8 4 1
20 3 4
96 20 24 80 32 118 6
1 6 1
3 8 1
2 20 4
32 12 60 16 72 20 12
66
1
12
=
= − = − + − − + =
= = =
= =
D
xDD
yD
D
y
x
y
662
6
1 2 6 3
=
+ + =+ + = ⇒ =
x y z
y y
Portanto:
x y z2 2 2 2 21 2 3 1 4 9 14+ + = + + = + + =
12.12. dSejam x, y e z, respectivamente, as quantidades de cédulas de 10, 50 e 100 dólares.
x y z 45 x y z 45
10x 50y 100z 1950 x 5y 10z 195
x 2z x 2z
x y z 45
2z y z 45 y 45 3z
x 5y 10z 195
2z 5 (45 3z) 10z 195
2z 225 15z 10z 195
3z 30 z 10
+ + = + + = + + = ⇒ + + = = =
+ + =+ + = ⇒ = −
+ + =+ ⋅ − + =+ − + =
− = − ⇒ =
Portanto, o valor recebido em notas de 100 foi de 10 100 1000⋅ = dólares.
8 Extensivo Terceirão – Matemática 4C
12.13. bx y z
x y z
x y z
+ + =+ + =+ + =
2 3 36
2 2 36
2 3 42
Subtraindo a segunda equação da terceira, temos:3 2 42 36
6
z z
z
− = −=
Somando as duas primeiras equações, temos:3 3 5 72
3 3 5 6 72
3 3 42
14
x y z
x y
x y
x y
+ + =+ + ⋅ =+ =
+ =
Portantox y z+ + = + =14 6 20
12.14. cSejam a, b e c, respectivamente, os diâmetros dos círculos R, Q e P.Assim:
a b
a c
b c
+ =+ =+ =
12
16
18
Somando as três equações, temos:2 2 2 12 16 18
23
a b c
a b c
+ + = + ++ + =
Assim:12 23 11
16 23 7
18 23 5
+ = ⇒ =+ = ⇒ =+ = ⇒ =
c c
b b
a a
12.15. cSomando as quatro equações, temos:3 3 3 3 1 5 7 4
3 3 3 3 15
5
x y z t
x y z t
x y z t
+ + + = − + + ++ + + =
+ + + =
12.16. a0 3 4 x 134
1 0 5 y 115
2 1 0 z 48
3y 4z 134 3y 4z 134
x 5z 115 x 5z 115
2x y 48 2x y 48
x 5z 115 x 115 5z
2x y 48 2 (115 5z) y 48 y 10z 182
3y 4z 134 3 (10z 182) 4
⋅ =
+ + = + = ⇒ + = + + =
+ = ⇒ = −+ = ⇒ ⋅ − + = ⇒ = −+ = ⇒ ⋅ − +
z 134 z 20= ⇒ =
Portanto:x
y
x y z
= − ⋅ == ⋅ − =+ + = + + =
115 5 20 15
10 20 182 18
15 18 20 53
O total a ser pago pela compra de uma unidade de cada tipo de camisa é R$ 53,00.
12.17. dSejam x, y e z, os preços, em ordem crescente dos três ímãs de geladeira e Q a quantia que Tânia possuía.Assim:
x y z Q
y z Q
x y Q
x z Q
+ + = ++ = −+ = −+ = −
17
2
6 7
4 9
,
,
,
Somando a segunda, a terceira e a quarta equações, temos:2 2 2 3 13 6
2 3 13 6
2 17 3 13 6
2 3 4 3
x y z Q
x y z Q
Q Q
Q
+ + = −⋅ + + = −⋅ + = −
+ =
,
( ) ,
( , ) ,
Q
−=
13 6
17
,
Portanto, Tânia possuía R$ 17,00.12.18. c
Somando as três equações, temos:x x y z y x y z z x y z
x y z x y z
( ) ( ) ( )
( ) ( )
+ + + + + + + + = + ++ + ⋅ + + =
2005 2006 2007
60018
2 3 1003
6018 6018
2( )x y z
x y z ou x y z
+ + = ⋅ ⋅
+ + = + + = −
Assim:
xx y z
yx y z
zx y z
=+ +
=
=+ +
=
=+ +
=
2005 20056018
2006 20066018
2007 200760118
ou
xx y z
yx y z
zx y z
=+ +
= −
=+ +
= −
=+ +
= −
2005 20056018
2006 20066018
2007 200776018
Existem 2 ternos de números reais que satisfazem o sistema.12.19. 30
Somamos a primeira equação com a segunda:2 2 1x x= ⇒ =
Somamos a primeira equação com a terceira:2 4 2y y= ⇒ =
Somamos a primeira equação com a quarta:2 6 3z z= ⇒ =
Substituímos os valores de x, y e z na primeira equação:x y z t
t t
+ + + =+ + + = ⇒ =
11
1 2 3 11 5
Portanto:x y z t⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =1 2 3 5 30
9Extensivo Terceirão – Matemática 4C
12.20. Sendo a e b, respectivamente, os preços dos modelos A e B e Q a quantia de que o negociante dispõe.Assim:
5 2 10000
3 3 29000
8
5 2 8 10000
3 3 8
a b Q
a b Q
b Q
a b b
a b b
+ = ++ = −=
+ = ++ = − 229000
5 6 10000
3 5 29000
− =− = −
a b
a b
Multiplicamos a primeira equação por –3 e a segunda por 5.− + = −
− = −− = − ⇒ =
==
15 18 30000
15 25 145000
7 175000 25000
8
a b
a b
b b
Q b
Q 88 25000
200000
⋅=Q
O negociante dispõe de R$ 200.000,00.
10 Extensivo Terceirão – Matemática 4C
Aula 1010.01. V – V – V – F
(V) Seja x a medida da hipotenusa.x
x
x x cm
2 2 2
2
2
6 8
36 64
100 10
= +
= +
= ⇒ =(V) A hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo, pois se opõe ao maior ângulo interno (ângulo reto). (V) Seja θ a medida de cada ângulo interno de um triângulo retân-gulo isósceles. θ θ θ+ + °= °⇒ = °90 180 45
(F) Seja x a medida do outro cateto.
17 15
289 225
64 8
2 2 2
2
2
= +
= +
= ⇒ =
x
x
x x cm
10.02. c
senx
xx
408
0 648
5 12
° =
= ⇒ =, ,
10.03. aSeja L a medida dos lados de cada quadrado. A área do quintal é a soma das áreas dos 5 quadrados congruentes, ou seja, igual a 5 2⋅L . Usando o teorema de Pitágoras no triângulo BFG, temos: ( ) ( ) ( )
( ) ( )
BG BF FG
L L
L
2 2 2
2 2 2
2
20 2
5 20
= +
= +
=
Portanto, a área do quintal é 20 m2.10.04. b
Seja x a medida do outro cateto.
2 1
4 1
3 3
2 2 2
2
2
= +
= −
= ⇒ =
x
x
x x cm
A área do triângulo retângulo é igual a 1 3
23
22⋅
= cm .
10.05. eTriângulo retângulo BHC:
senBH
BH cm
HCHC cm
304
412
2
304
43
22 3
° = ⇒ = ⋅ =
°= ⇒ = ⋅ =cos
Triângulo retângulo ABC:( )BH AH HC
x
x cm
2
22 2 3
42 3
23
2 33
= ⋅
= ⋅
= = =
10.06. cSendo x – r, x e x + r as medidas dos lados do triângulo retângulo, temos:
x r x x r
x x m
− + + + == ⇒ =
6
3 6 2
Usando o teorema de Pitágoras, temos:( ) ( )2 2 2
4 4 4 4 4
8 412
2 2 2
2 2
+ = − +
+ + = − + +
= ⇒ =
r r
r r r r
r r
− ⋅=
= −
= − = = 2
(2 r) 2Área
2Área 2 r
1 3Área 2 1,5 m
2 2
10.07. 09 (01, 08)01) CORRETO
No triângulo retângulo ABC, temos:
AC km
BC km
AC AB BC
AB AB AB
==
= +
= + ⇒ = ⇒
50
30
50 30 1600
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) == 40 km O comprimento da estrada que será construída corresponde à
altura do triângulo retângulo ABC, relativa à hipotenusa.
AB BC AC BX
BX BX km
⋅ = ⋅⋅ = ⋅ ⇒ =40 30 50 24
02) INCORRETO
sen BACBCAC
( ) = = =3050
35
sen3012
° =
04) INCORRETO No triângulo retângulo BXC, temos:
BC km
BX km
BC BX XC
XC XC XC
==
= +
= + ⇒ = ⇒ =
30
24
30 24 324
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 118 km Portanto, a distância XC é menor que 20 km.08) CORRETO No triângulo retângulo BXA, temos:
AB km
BX km
AB BX AX
AX AX AX
==
= +
= + ⇒ = ⇒
40
24
40 24 1024
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) == 32 km Portanto, a distância AX é maior que 30 km. Observação: Outra possibilidade para determinar a medida AX, conhecendo
a medida XC, é:
AX AC XC
AX km km km
= −= − =50 18 32
Resoluções
1Extensivo Terceirão – Matemática 4D
4DMatemática
10.08. b
h
3 8
h h + 3
Usando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, temos:( )
,
h h
h h h
h h chih
+ = +
+ + = +
= ⇒ =
3 8
6 9 64
6 55556
9 2
2 2 2
2 2
10.09. 2 13 kmObserve a figura que representa a situação descrita.
d
Q
4 km
4 km3 km
1 km
P
2 km
N
S
LO
6 km
Usando o teorema de Pitágoras, temos:d
d
d d km
2 2 2
2
2
6 4
36 16
52 52 2 13
= +
= +
= ⇒ = =10.10. b
Seja x a medida de um cateto, 3x a medida da hipotenusa e y a medida do outro cateto. Usando o teorema de Pitágoras, temos:
( )3
9
8 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
x x y
x x y
y x y x
= +
= +
= ⇒ =Portanto, a razão entre a medida da hipotenusa e a medida do ou-tro cateto é:3 3
2 23
2 222
3 24
xy
xx
= = ⋅ =
10.11. c
A B
D CE
30º
45º
45º
40 h
No triângulo retângulo ABC, temos:
senh h
h cm
ABAC
ABAB cm
3040
12 40
20
303
2 4020 3
° = ⇒ = ⇒ =
°= ⇒ = ⇒ =cos
No triângulo retângulo ADE, temos:AD BC cm
DE AD cm
= == =
20
20
Área do triângulo CAE:
SEC h
EC DC DE
EC cm
S
CAE
CAE
=⋅
= −
= − = ⋅ −
=⋅ − ⋅
2
20 3 20 20 3 1
20 3 1 202
20
( )
( ) 00 17 1 140 2⋅ − =( , ) cm
10.12. a
d x
200 m
150 m
120 m
PN2N1
T
No triângulo retângulo PTN2, temos:150 5 30
120 4 30
m m
m m
= ⋅= ⋅
Assim:x m m= ⋅ =3 30 90
No triângulo retângulo PTN1, temos:200 5 40
120 3 40
m m
m m
= ⋅= ⋅
Assim:d x m
d m m d m
+ = ⋅+ = ⇒ =
4 40
90 160 70
10.13. dSendo L a medida dos lados do quadrado, temos:
L a b2 2 2= + (teorema de Pitágoras)A área da região sombreada é a diferença entre a área do quadrado e a área dos quatro triângulos retângulos congruentes cujos catetos medem a e b.Assim:
S La b
S a b ab
sombreada
sombreada
= − ⋅⋅
= + −
2
2 2
42
2
10.14. bOs triângulos PQH e QPF são congruentes, pois têm ordenadamen-te congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado. Os triângulos BHG e AFG são congruentes, pois têm ordenadamen-te um lado (BH e AF) e os ângulos adjacentes a esse lado.Assim, observe a figura:
P
QFA
G
6 – x
32
B
32
x H
6 – xx
3
2 Extensivo Terceirão – Matemática 4D
Da semelhança dos triângulos AFG e QFP, temos:
= =
= =−
= ⇒ =−
= ⇒ = ⋅
AF AG FGQF QP FP
3x FG2
6 x 3 FP3
x 2 x 2 cm6 x 33
FG2 FP 2 FG3 FP
No triângulo retângulo QFP, temos:
( )FP FP cm2 2 24 3 5= + ⇒ =Assim:FP FG
FG FG cm
= ⋅
= ⋅ ⇒ =
2
5 252
Portanto:
PF FG GH HQ
PF FG GH HQ cm
+ + + = + + +
+ + + =
552
52
5
15
10.15. V – V – V – V – FObserve os triângulos CDB e FDE.
D
B
CE
F
Vamos analisar as proposições:(V) A distância entre A e B é a diagonal de uma face do cubo.AB a
AB cm
=
=
2
6 2
(V) No triângulo retângulo ABD, temos:( ) ( ) (AD)
( ) ( )
( )
BD AB
BD
BD BD cm
2 2 2
2 2 2
2
6 2 6
108 6 3
= +
= +
= ⇒ =
(V) Os ângulos BCD e EFD são retos e os dois triângulos têm um ân-gulo comum (de vértice D). Portanto, os triângulos são semelhantes.
(V) sen FDEBCBD
( ) = = = =6
6 313
33
(F) Da semelhança dos triângulos CDB e FDE, temos:CBFE
DBDE
DECD
cm
FEFE cm
=
= = =
= ⇒ = = ⋅ =
26 2
23 2
6 6 33 2
3 23
3 23
33
6
10.16. a
( ) ( ) ( )
( )
BC AB AC
BC BC m
2 2 2
2 2 23 4 5
= +
= + ⇒ =
Assim:h h h
k
h k
h k
h k
h hh
k kk
kk
1 2 3
1
2
3
2 3
1
5 4 35
4
3
4 3 4 4 3 35
255
5
= = =
===+
=⋅ + ⋅
= =
10.17. 29 (01, 04, 08, 16)Em um período de 12 horas (das 7 horas às 19 horas) o ângulo de incidência varia 180° (de 0° a 180°). Assim, a cada hora o ângulo de incidência varia 15°.01) CORRETO Das 7 horas às 11 horas (4 horas). Assim, o ângulo de incidência é igual a 4 15 60⋅ ° = ° . 02) INCORRETO
Como 9015
6°°= , o ângulo de incidência é reto exatamente às
7 6 13+ = horas. 04) CORRETO Das 7 horas às 10 horas (3 horas). Assim, o ângulo de incidência é igual a 3 15 45⋅ ° = ° . Quando o ângulo de incidência é de 45°, o comprimento da
sombra de um objeto é igual à sua altura.
x
h
45º
No triângulo retângulo isósceles, x h= . 08) CORRETO Sendo α o ângulo de incidência, com 0 90°< < °α , x o compri-
mento da sombra e h a altura de um objeto, temos:
tg
hx
xh
tgα
α= ⇒ =
Portanto, no início do dia, (antes das 13 horas), o comprimento da sombra é inversamente proporcional à tangente do ângulo de incidência.
16) CORRETO Das 7 horas às 9 horas (2 horas). Assim, o ângulo de incidência é igual a 2 15 30⋅ ° = ° .
x
30º
20 m
tgx
x
x m
3020
33
20
603
603
33
20 3
° =
=
= = ⋅ =
3Extensivo Terceirão – Matemática 4D
Aula 11
10.18. a
A
C B
x2
P3√3
( )
( )
( ) ( )
CP AP PB
x x
x x
x
x
2
2
2
2
2 3 3
3 3 4 0
3 3 3 3 4 1 42 1
= ⋅
= − ⋅
− ⋅ + =
=− − ± − − ⋅ ⋅
⋅
==±3 3 112
Portanto, a maior medida possível do segmento PB é 3 3 11
2+
.
10.19.
B
A C
90º
3
DE
H
h
F
12
20
10
a) Da semelhança dos triângulos ABC e EBD, temos:
Hh= =
153
5
b) Nos triângulos retângulos CBF e ABF, temos:
=
= + ⇒ + =
= + +
= + + +
= + + ⇒ = =
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
CF x
15 x H x H 225
20 (10 x) H
400 100 20x x H
75 15400 100 20x 225 x
20 4
x H
H
H
H H
2 2
22
2
2
225
225154
22522516
15 22516
15 154
+ =
= −
= −
=⋅
⇒ =
10.20. Sejam L e A, respectivamente, a largura e a altura da tela de TV e k uma constante de proporcionalidade. Assim:
L Ak
L k e A k16 9
16 9
= =
= =Usando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pela largura, pela altura e pela diagonal da TV, temos:
L A
k k
k k
k
k
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
22
37
16 9 37
256 81 37
337 37
37337
+ =
+ =
+ =
=
= ⇒
( ) ( )
kk = =37337
3718 5
2
,
Portanto:L k polegadas
L cm cm
A k polegadas
A
= = ⋅ == ⋅ =
= = ⋅ =
16 16 2 32
32 2 5 80
9 9 2 18
,
== ⋅ =18 2 5 45, cm cm
11.01. d
x
2
2
4
3
4
Usando o teorema de Pitágoras, temos:
x
x x
2 2 2
2
3 4
25 5
= +
= ⇒ =Perímetro do trapézio:5 5 4 2 16+ + + =
11.02. a(V)
α
θ
α
α θ+ = °180 (os ângulos consecutivos são suplementares) (V) Sejam r e s as bissetrizes de dois ângulos opostos de um paralelo-
gramo.
α
α
α
4 Extensivo Terceirão – Matemática 4D
Como os lados opostos de um paralelogramo são paralelos, as retas r e s são paralelas, pois têm a mesma inclinação.
(V) Todo quadrado é um retângulo, pois tem os ângulos internos retos.
Todo quadrado é um losango, pois tem os lados congruentes.11.03. d
I. FALSOExemplo de um quadrilátero que tem as diagonais com compri-mentos iguais e não é um retângulo.
II. FALSOApenas os quadrados são losangos que têm as diagonais com comprimentos iguais.
III. VERDADEIRO
11.04. 96 cm2
No triângulo retângulo AHD, temos:
AHAB cm
cm
AD AH
HD cm
= = =
= +
= + ⇒ =
212
26
10 6 8
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) (HD)
(HD)
Área do paralelogramo:S AB HD
S
S cm
paralelogramo
paralelogramo
paralelogramo
= ⋅
= ⋅
=
12 8
96 22
11.05. d
Seja h a altura do paralelogramo.
10 m
45º
h
20 m
senh
hh m
4510
22 10
5 2
° =
= ⇒ =
Área do paralelogramo:S h
S
S
paralelogramo
paralelogramo
paralelog
= ⋅
= ⋅ ⋅
20
20 5 2 100 1 41 ,
rramo 141 2m
11.06. a
A B
D C
x
x
y
y
z
zz
y 2z
x y z 2z z 3z
AB x y 3z 2z 5z 5BC x 3z 3z 3
== + = + =
+ += = = =
11.07. eComo o segmento CE é bissetriz do ângulo DCB, então os ângulos DCE e BCE são congruentes. Além disso, os ângulos BEC e DCE são congruentes, pois são alternos internos. Assim, o triângulo BCE é isósceles, com BC = BE.
A
5
7
5
52E B
CD
α
α
α
Portanto, o perímetro do paralelogramo é:7 + 5 + 7 + 5 = 24
11.08. cÁrea total do terreno:
S
S m
terreno
terreno
= ⋅
=
40 20
800 2
Sendo x a área interna da casa, em m2, temos:
+ > ⇒ >
< ⇒ <
800x 200 x 200
21500x 450000 x 300
Portanto, a área interna da casa será maior que 200 m2 e menor que 300 m2.
11.09. cMedida dos lados do quadrado maior, em centímetros:x+2
Medida dos lados do quadrado menor, em centímetros:x x+ − = −2 4 2
Assim:
( ) ( )x x x
x x x x x
x
x x cm
− + + + =
− + + + + + =
=
= ⇒ =
2 2 83
4 4 4 4 83
3 75
25 5
2 2 2
2 2 2
2
2
Área do quadrado maior:A x
A
A cm
= +
= +
=
( )
( )
2
5 2
49
2
2
2
11.10. dSejam x e y as medidas dos lados do quadrado preto e do quadrado cinza. Assim:
x x
y y
2
2
81 9
64 8
= ⇒ =
= ⇒ =Com os valores de x e y podemos obter as medidas dos lados de todos os quadrados.
5Extensivo Terceirão – Matemática 4D
15
15
18
8
32
33
4
7
11
7
8
9
9
10
10
1418
4
Portanto:
ABCD
ABCD
S 33 32
S 1056 unidades de área
= ⋅=
11.11. bSendo x o comprimento original da peça, temos:100 4 96
100 8 92
96100
1 592
10010
7 55
% % %
% % %
,
,
− =− =
⋅ ⋅ ⋅ =x
x
Aproximando a resposta para o inteiro mais próximo, temos que Marta deve comprar 8 metros de tecido.
11.12. bEm um triângulo retângulo isósceles, os ângulos agudos medem 45°. Consequentemente, os triângulos BPS e CQR também são re-tângulos e isósceles. Sendo a medida dos lados do quadrado, temos:
A
CB45º 45º
45º 45º
P Q
S
ℓ
R
ℓ
ℓ ℓ ℓ
Usando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, temos:( ) (AB) ( )
(AB) ( )
(AB)
( )
3
32 2
3
2 8
2 2 2
22 2
2
2
= +
⋅
= +
⋅ =
=
AC
AB
AB 44 2⇒ =AB
11.13. 30 (02, 04, 08, 16)01) INCORRETO A soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero
é igual a 360°.02) CORRETO
B C
x h
r
r r
rr DAO
x
O triângulo OBC é equilátero, em que os lados medem r. Conse-quentemente, os triângulo OAB e ODC também são equiláteros.
Assim:
== + + += + + + =
x r
Perímetro x r x 2r
Perímetro r r r 2r 5r04) CORRETO A área do trapézio é a soma das áreas de três triângulos equiláteros
cujos lados medem r.
= ⋅ =
2 2
trapézior 3 3r 3
S 34 4
08) CORRETO Os lados AB, BC e CD do trapézio medem r.16) CORRETO Os ângulos internos do trapézio com vértices em A e D medem
60°, ou seja, π3
radianos.
11.14. b
Q
M
P
N
D
B
CA
Os segmentos MN e PQ são bases médias dos triângulos ABC e ADC, respectivamente. Assim, são paralelas e medem a metade da diagonal AC.Os segmentos NP e QM são bases médias dos triângulos BCD e BAD, respectivamente. Assim, são paralelas e medem a metade da diagonal BD.Além disso, como as diagonais do losango são perpendiculares en-tre si, os ângulos internos do quadrilátero MNPQ são retos.Como ABCD não é um quadrado, pois um dos seus ângulos inter-nos é agudo, as diagonais AC e BD têm medidas distintas.Portanto, o quadrilátero MNPQ é um retângulo, mas não é um qua-drado, ou seja, não é um losango.
11.15. eSe α = °60 , o losango ABCD é formado por dois triângulos equiláteros. Sendo L a medida dos lados desse losango, temos:
LBD L NP QM
2L 3 L 3
AC 2 L 3 MN PQ2 2
Perímetro(ABCD) AB BC CD DAPerímetro(MNPQ) MN NP PQ QM
Perímetro(ABCD) L L L LPerímetro(MNPQ) L 3 L L 3 L
2 2 2 2
= ⇒ = =
= ⋅ = ⇒ = =
+ + +=+ + +
+ + +=+ + +
6 Extensivo Terceirão – Matemática 4D
Perímetro(ABCD) 4LPerímetro(MNPQ) L ( 3 1)
Perímetro(ABCD) 4 ( 3 1) 4 ( 3 1)2 3 2
Perímetro(MNPQ) 3 1( 3 1) ( 3 1)
=⋅ +
− ⋅ −= ⋅ = = −−+ −
11.16. e
E
FGA
6 cm
HB
6 cm
12 cm
15 cm
3 cm
DC 3 cm
5√5 cm
( )
( )
EF
EF EF cm
DE cm cm cm
2 2 2
2
6 3
45 3 5
5 5 3 5 2 5
= +
= ⇒ =
= − =
Da semelhança dos triângulos FGE e EHD, temos:6 3 5
2 54
HDHD cm= ⇒ =
Como a escala é de 1:200000, temos:AF cm km
BE cm km
CD cm km
GE
= ⋅ == ⋅ == ⋅ ==
15 200000 30
12 200000 24
3 200000 6
66 200000 12
4 200000 8
cm km
HD cm km
⋅ == ⋅ =
Área da APP:
S
S
S km
APP
APP
APP
=+
⋅ +
+
⋅
= +
=
30 242
1224 6
28
324 120
444 2
11.17. c
a
a
S a
b
b
a
a
a
a
a
a b b
a b ba
ba
2 2 2
2 2 22
22
22
= +
= ⇒ = ⇒ =
Área do octógono:
⋅= + ⋅ ⋅ + ⋅
= + +
2
2 2
octógono
octógono
b bS a 4 a b 4
2S a 4ab 2b
= + ⋅ + ⋅
= + = ⋅ +
22
2 2 2
octógono
octógono
a 2 aS a 4a 2
2 2S 2a 2 2a 2a (1 2)
Como S a= 2 , temos:
= ⋅ +octógonoS 2S (1 2)
11.18. eSejam a e b as dimensões do retângulo ABCD.
A
aB
DM
P
b – h
b
h
C
a2
Da semelhança dos triângulos AMP e CBP, temos:a
ah
b hb h h h
b2 23
=−
⇒ − = ⇒ =
Como a área do retângulo ABCD é S, temos:S a b
S
a ba b S
APM
= ⋅
=⋅=
⋅=2 3
2 12 12
11.19. 2 3 cm Sejam x e y as dimensões de cada retângulo.
x
y
y
y
x
x
xy
x
Assim:
3 4
18 12223
23 2
23
43
2
x x y
x y
yx
xy
xy xx
x x
= +⋅ ⋅ =
⇒=
=
= ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ =223
2 33
212
2 33
33
=
= = ⋅ =
cm
yx
cm
Perímetro de cada retângulo:
2 2 22 3
33
32 3x y cm+ = ⋅ +
=
7Extensivo Terceirão – Matemática 4D
12.01. V – F – F – V(V)C R
C
C cm
== ⋅=
2
2 10
20
πππ
(F)2 12 6
6
36
2
2
2
R R cm
S R
S
S cm
= ⇒ =
=
= ⋅
=
π
π
π(F)C R
R R cm
=
= ⇒ =
2
50 225
π
ππ
(V)S R
R
R R cm
=
=
= ⇒ =
π
π π
2
2
2
36
36 6
12.02. d
d
r
r
r
r
A distância entre os centros de dois círculos não tangentes é a me-dida de uma diagonal de um quadrado de lados 2r.
11.20. a) Observe a figura:
ah
x x
a
b
b
S R
QPθ
2x b 100
2x 2a 2b 250
xcos60
a
x 1 xcos60 a 2x
a 2 a2x b 100 a b 100 b 100 a
2x 2a 2b 250 a 2a 2 (100 a) 250 a 50 m
b 100 a
b 100 50
b 50 m
+ = + + = ° =
° = ⇒ = ⇒ =
+ = ⇒ + = ⇒ = −+ + = ⇒ + + ⋅ − = ⇒ =
= −= −=
b)
2 100
2 2 2 2502 2 2
x b
x a b
a x h
+ =+ + =
= +
Subtraímos a primeira equação da segunda.2 150 150 2a b b a+ = ⇒ = −
Assim:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2x b 100
2x 150 2a 100 x a 25
a x h
a (a 25) h
a a 50a 625 h
h 25 (2a 25) h 5 2a 25
+ =+ − = ⇒ = −
= +
= − +
= − + +
= ⋅ − ⇒ = ⋅ −
Área do trapézio:
trapézio
trapézio
trapézio
100 bS h
2
100 150 2aS 5 2a 25
2
S 5 (125 a) 2a 25
+ = ⋅ + − = ⋅ ⋅ −
= ⋅ − ⋅ −
Aula 12Assim:d r= 2 2
12.03. c
2
2 2
áreacomprimento
2 R R
R S
2 R R RS
R S 2
π π
π π= ⇒ =
12.04. c
radianos 454ângulo comprimento
360 2 2
45 L
360 4L
45 L 2
π = °
° π⋅°
π π= ⇒ =
12.05. eÁrea da praça circular com raio 40 m:
2
2
praça
praça
praça
S 40
S 1600 3,14
S 5024 m
= π⋅
= ⋅
=
Área de 20 pisos quadrados de lado 20 cm:
20 0 2
0 2
20 0 04 0 8
20
20
2
2
cm m
S
S m
pisos
pisos
=
=
= ⋅ =
,
( , )
, ,
Assim, sendo n o número de caixas, temos:
n= =50240 8
6280,
8 Extensivo Terceirão – Matemática 4D
12.06. dSeja r o raio de cada círculo.
r
r
r
r
A área da região sombreada é a diferença entre a área de um quadrado de lado 2r e a área de um círculo de raio r.
2
2 2círculo
sombreada
S rS 4(2r) r
π⋅ π= =− π− π⋅
12.07. aComo ϕ
π= = °
290radianos , o triângulo ABC é retângulo.
Sejam r o raio do semicírculo e x a medida dos lados congruentes do triângulo retângulo isósceles ABC.
A 2r B
x x
C
( )
( )( )
2
4 2 2
2
22
2 2 2
2 2 2 2
2
2
2
2
2
r x x
r x x r
ST
r
x xr
xr
r
= +
= ⇒ =
=
⋅
⋅=
⋅=
⋅ϕϕ
ππ π
==π2
12.08. b
4
4
6
10
6
A área em que o animal pode se deslocar corresponde a três quar-tos da área de um círculo de raio 10 metros, um quarto de um círculo de raio 6 metros e um quarto de um círculo de raio 4 metros.Assim:
S
S
S m
= ⋅ ⋅ +⋅
+⋅
= + +
=
34
106
44
475 9 4
88
22 2
2
ππ π
π π π
π
12.09. b40 1 25 50km km⋅ =, O raio da região circular em que os voos foram cancelados é 50 km.Assim:S
S km
= ⋅
⋅ =
π 50
3 14 2500 7850
2
2 ,
Portanto, a área da região que deixou de receber voos é menor que 8000 km2.
12.10. cA área sombreada é a diferença entre a área de um quarto de um círcu-
lo de raio x e a metade de um círculo de raio x2
.
Sx
x
Sx x x
sombreada
sombreada
=⋅
−⋅
=⋅
−⋅
=⋅
ππ
π π π
2
2
2 2 24
22
4 8 8
12.11. 11 (01, 02, 08)01) CORRETO De 1 hora até 1 hora e 40 minutos, o ponteiro das horas descre-
ve um arco de 4060
30 20⋅ ° = ° . Portanto, o menor ângulo entre
os ponteiros é 5 30 20 170⋅ °+ ° = ° . 02) CORRETO Em um minuto, o trem desloca-se 1 km, ou seja, 1000 metros. Assim:
arco radianos comprimento metros( ) ( )
2 2 500
1000
2 1000100
πα
π
πα
π
⋅
=00
2⇒ =α
04) INCORRETO
arco graus comprimento metros
R
RR
( ) ( )
160
360
120
2
160360
1202
π
π= ⇒ =
1135π
O diâmetro da praça é 2135 270
3 1486⋅
π
,m
08) CORRETO Em 60 minutos, o ponteiro dos minutos percorre um arco de
2 radπ . Assim, em 50 minutos, temos:
5060
253
⋅ =ππ
rad
12.12. bSejam R e r, respectivamente, o raio da engrenagem maior e o raio da engrenagem menor.Assim:
R r
r R
R r
r R
R r R r
+ =⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
+ =⋅ = ⋅
+ = ⇒ = −
11
1000 2 375 2
11
40 15
11 11
π π
440 15
40 15 11
40 165 15 55 165 3
⋅ = ⋅= ⋅ −= − ⇒ = ⇒ =
r R
r r
r r r r cm
( )
9Extensivo Terceirão – Matemática 4D
12.13. e
22D C
A B
1
11
1 1
1
A área sombreada é a área de um quadrado de lado 2, menos a área de um quadrado de lado 1, menos metade da área de um círculo de raio 1 (dois quartos de círculo).
S
S
S
sombreada
sombreada
sombreada
= − −⋅
= − −
= −
2 11
2
4 12
32
2 22π
π
π
12.14. bSeja M o ponto médio do segmento DC.Assim:DC EC ED
DMDC
AO EM ED DM
B
= − = − =
= = =
= = + = + =
4 5 2 2 5
22 52
1 25
2 1 25 3 25
, ,
,,
, ,
OO AO AB= − = − =3 25 1 6 1 65, , ,
Portanto, o diâmetro do círculo é 2 1 65 3 3⋅ =, , cmcm .12.15. c
Sendo r o raio do setor circular, temos:
A B
D C
O
X
√3 √31
r rr – 1
θ
r r
r r r
r r
senr
2 2 2
2 2
1 3
2 1 3
2 4 2
3 32
60
= − +
= − + += ⇒ =
= = ⇒ = °
( ) ( )
θ θ
Assim, o ângulo do setor circular OAB é 120°.Área do setor:
S OAB = ⋅ ⋅ =120360
243
2ππ
12.16. F – F – V – F – V0. FALSO
Seja L a medida dos lados do quadrado ABCD.
L L
S LABCD
22
2 22
2 2
= ⇒ =
= =
=
1. FALSOA área das 4 lúnulas é quatro vezes a área de um círculo cujo raio é a metade do lado do quadrado, mais a área do quadrado, menos a área do círculo.Assim:
22 2
22 2
2 22
2
lúnulas
lúnulas
lúnulas
lúnulas
LS 4 L
2
LS 4 L
2
S 22 2
S2
= ⋅π⋅ + − π⋅
= ⋅π⋅ + − π⋅
= π⋅ + − π⋅
=
2. VERDADEIRO2
ABCD lúnulasS S2
= =
3. FALSOÁrea de uma lúnula:
2 2
umalúnula1
S4 2 8
= ⋅ =
4. VERDADEIROVer afirmação anterior.
12.17. 2826 cm2
S
S
S
S
= ⋅ ⋅ − ⋅( )= ⋅ −( )
= ⋅
=
135360
50 10
38
2500 100
38
2400
900 90
2 2π π
π π
π
π 00 3 14 2826 2⋅ =, cm 12.18. d
Nos trechos retos todos os atletas percorrem a mesma distância. A diferença na largada é devido aos dois trechos semicirculares, equi-valente a um trecho circular.Como a diferença entre os raios é de 8 metros, o atleta da raia 1 percorre 2 36 7 73 4π π⋅ =, , metros, enquanto o atleta da raia 8 per-corre 2 44 7 89 4π π⋅ =, , , ou seja, 16π metros a mais. Assim:16 16 3 14 50 24π= ⋅ =, , metros
12.19.
a) SAE AF
S
AEF
AEF
=⋅
=⋅=
21 12
12
b) A área da região hachurada é a quarta parte da diferença entre a área do quadrado de lado 2 e a área do círculo de raio 1.
Shachurada =− ⋅
=−2 1
44
4
2 2π π
A área da outra região é a área do triângulo AEF menos a área hachurada.
S
S
= −−
=− +
=−
12
44
2 44
24
π
π π
10 Extensivo Terceirão – Matemática 4D
12.20.
45º
135º
A
EC
B
2
D
a) No triângulo retângulo BCD, temos:
senBD
BDBD
452
22 2
2
° =
= ⇒ =
b) A área sombreada da figura é a soma da área de um setor circular de 135° e da área do triângulo retângulo isósceles BCD.
S
S
sombreada
sombreada
= ⋅ ⋅ +⋅
= +
135360
22 2
232
1
2π
π
11Extensivo Terceirão – Matemática 4D
1Extensivo Terceirão – Matemática 4E
Aula 1010.01. a
sen sen
sen sen sen
sen
75 30 45
75 30 45 45 30
75
° = °+ °° = °⋅ °+ °⋅ °
( )
cos cos
°° = ⋅ + ⋅
° =+
1
2
2
2
2
2
3
2
752 6
4sen
10.02. ctg tg
tgtg tg
tg tg
tg
105 60 45
10560 45
1 60 45
1053
° = °+ °
° =°+ °
− °⋅ °
° =+
( )
11
1 3 1
1053 1
1 3
1 3
1 3
1053 3 1 3
1 3
4 2 3
− ⋅
° =+
−⋅++
°=+ + +−
=+−
tg
tg
( )
( )
( )
( )
222 3= − −
10.03. esen x sen x senx
sen x x senx
sen
( ) cos cos
( ) cos ( )
(
π π πππ
− = ⋅ − ⋅− = ⋅ − ⋅ −0 1
−− =x senx)
10.04. dcos(x 2 ) cosx cos2 senx sen2
cos(x 2 ) cosx 1 senx 0 cosx
cos(x 2 ) cosx cos2 senx sen2
cos(x 2 ) cosx 1 senx 1 cosx
E cos(x 2 ) cos(x 2 )
E cosx cosx
E 2 cosx
+ π = ⋅ π− ⋅ π+ π = ⋅ − ⋅ =− π = ⋅ π− ⋅ π− π = ⋅ − ⋅ =
= + π + − π= += ⋅
10.05. bsen sen sen
sen sen
10 20 20 10 10 20
10 20 2
°⋅ °+ °⋅ ° = °+ °
°⋅ °+
cos cos ( )
cos 00 10 301
20 5°⋅ ° = ° = =cos ( ) ,sen
10.06. acos( x) cos cosx sen senx
cos( x) ( 1) cosx 0 senx cosx
cos(2 x) cos2 cosx sen2 senx
cos(2 x) 1 cosx 0 senx cosx
cos( x) 2 cos(2 x) cosx 2 cosx 3 cosx
π+ = π⋅ − π⋅π+ = − ⋅ − ⋅ = −π− = π⋅ + π⋅π− = ⋅ + ⋅ =
π+ − ⋅ π− = − − ⋅ = − ⋅
10.07. c
sen(x 45 ) senx cos45 sen45 cosx
2 2sen(x 45 ) senx cosx
2 2sen(x 45 ) senx cos45 sen45 cosx
2 2sen(x 45 ) senx cosx
2 22
sen(x 45 ) sen(x 45 ) 2 senx 2 senx2
+ ° = ⋅ °+ °⋅
+ ° = ⋅ + ⋅
− ° = ⋅ °− °⋅
+ ° = ⋅ − ⋅
+ ° + − ° = ⋅ ⋅ = ⋅
10.08. dsen x x senx x sen x x sen x3 3 3 4⋅ + ⋅ = + =cos cos ( )
10.09. csen x y y x y seny sen x y y( ) cos cos( ) [( ) ] senx− ⋅ + − ⋅ = − + =
10.10. b
sen x senx sen x
sen x senx
−
= ⋅ − ⋅
−
= ⋅ − ⋅
π π π
π2 2 2
20 1
cos cos
ccos cosx x= −
Portanto:
sen x+
= −
π2
3
5
10.11. a
sen
sen sen
sen40 10 10 40
20 25 20 25
°⋅ °− °⋅ °°⋅ °− °⋅ °
=cos sen cos
cos cos
(( )
cos( )
cos
40 10
20 25
30
45
1
22
2
1
2
1
2
2
2
2
2
°− °°+ °
=
=°°= = = ⋅ =
sen
10.12. btg x y
tgx tgy
tgx tgy
tgx
tgxtgx tgx tg
( )+ =+
− ⋅=
+− ⋅
= ⇒ + = − ⋅ ⇒
2
12
1
1 12 1 2 2 xx =
1
3
10.13. eSeja x a distância entre a parede e o ponto X e h a altura em que a lâmpada foi colocada.
i
i
tgx
h
x
hx h
tgx
h
tg tg
tg
12 0 2 0 2
12 358 12 35
1 12
° = ⇒ = ⇒ =
°+ ° =+
⇒°+ °
−
, ,
( )°°⋅ °
=+
⇒
⇒+
− ⋅=
+⇒ =
+tg
h
h
h
h
h
h
35
0 2 8
0 2 0 7
1 0 2 0 7
0 2 8 0 9
0 86
0 2 8
,
, ,
, ,
, ,
,
,⇒⇒
⇒ = + ⇒ =0 9 0 172 6 886 88
0 7289 45, , ,
,
,,h h h �
10.14. aSeja θ o menor ângulo agudo do triângulo cujos catetos medem 0,5 cm e 10 cm.
0,5 1tg
10 202,5 tg tg 1
tg( )10 1 tg tg 4
1tg 1 1 20tg 120
1 4 20 tg 41 tg20
164 80tg 20 tg tg
81
θ = =
θ+ βθ+β = ⇒ = ⇒− θ⋅ β
+ β + β⇒ = ⇒ = ⇒− β− ⋅ β
⇒ + β = − β ⇒ β =
ResoluçõesMatemática
4E
2 Extensivo Terceirão – Matemática 4E
10.15. eSeja L a medida dos lados de cada quadrado. A diagonal de um quadrado de lado L mede L 2 .
senaL
L
aL
L
= =
= =
2
2
2
2
2
2cos
Seja D a medida de cada diagonal do retângulo de dimensões L e 2L.
D L L D L D L
senbL
L
bL
L
2 2 2 2 22 5 5
5
5
5
2
5
2 5
5
= + ⇒ = ⇒ =
= =
= =
( )
cos
sen a b sena b senb a
sen a b
( ) cos cos
( )
+ = ⋅ + ⋅
+ = ⋅ + ⋅ =2
2
2 5
5
5
5
2
2
3 10
10
10.16. b
Seja L a medida dos lados de cada quadrado.
tg CEHCG
EG
L
L
tg DEHDH
EH
L
L
tg CEH DEHtg C
( )
( )
( )(
= = =
= = =
+ =
2
1
2
3
1
3
EEH tg DEH
tg CEH tg DEH
tg CEH DEH
) ( )
( ) ( )
( )
+− ⋅
+ =+
− ⋅
1
1
2
1
3
11
2
1
33
5
65
6
1= =
Como CEH e DEH são ângulos agudos e tg CEH DEH( ) + =1, então
CEH DEH + = °45 .
10.17. eObserve a figura (não está em escala) que ilustra a situação descrita no enunciado.
1,70 m
10 m
d
15°
tgd
dtg
tg tgtg tg
tg
15117
117
15
15 60 4560 45
1 60
° =
=°
° = °− ° =°− °
+
,
,
( )i°°⋅ °
=−
+ ⋅=
=−+=
−+⋅
−−=
− − +−
= −
=
tg
d
45
3 1
1 3 1
3 1
3 1
3 1
3 1
3 1
3 1
3 3 3 1
3 12 3
11,, , ,
,
,
,
7
15
117
2 3
117
2 17
117
0 339
tgm
°=
− −= =�
Observação:Caso um aluno tenha racionalizado o denominador da fração antes de utilizar a aproximação para 3 , terá encontrado outra resposta, não presente nas alternativas.
d m=−
=−
⋅++
=⋅ +−
=117
2 3
117
2 3
2 3
2 3
117 2 17
4 343 29
, , , ( , ),
10.18. dsen a b sena b senb a
sen a b sena b senb a
P
( ) cos cos
( ) cos cos
+ = ⋅ + ⋅− = ⋅ − ⋅
= ssen a b sen a b
P sena b senb a sena b senb
( ) ( )
( cos cos ) ( cos
+ ⋅ −= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ccos )
cos cos
( cos ) cos ( cos )
a
P sen a b sen b a
P a b b
= ⋅ − ⋅
= − ⋅ − −
2 2 2 2
2 2 21 1 ⋅⋅
= − ⋅ − + ⋅
= −
cos
cos cos cos cos cos cos
cos cos
2
2 2 2 2 2 2
2 2
a
P b a b a a b
P b a
10.19. a) 2 2
22
2
cos x 1 sen x
3cos x 1
59 16
cos x 125 25
= −
= −
= − =
Como x pertence ao primeiro quadrante, então cosx =4
5.
2 2
22
2
cos y 1 sen y
4cos y 1
516 9
cos y 125 25
= −
= −
= − =
Como y pertence ao primeiro quadrante, então cosy =3
5.
b) sen(x y) senx cosy seny cosx
3 3 4 4sen(x y)
5 5 5 59 16
sen(x y)25 25
sen(x y) 1
cos(x y) cosx cosy senx seny
4 3 3 4cos(x y)
5 5 5 512 12
cos(x y)25 2524
cos(x y)25
+ = ⋅ + ⋅
+ = ⋅ + ⋅
+ = +
+ =
− = ⋅ + ⋅
− = ⋅ + ⋅
− = +
− =
10.20. 32 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2
(senx seny) sen x 2 senx seny sen y
(cosx cosy) cos x 2 cosx cosy cos y
(senx seny) (cosx cosy) sen x cos x
sen y cos y 2 (cosx cosy senx seny)
(senx seny) (cosx cosy) 1 1 2 cos(x y)
(senx seny)
+ = + ⋅ ⋅ +
+ = + ⋅ ⋅ +
+ + + = + +
+ + + ⋅ ⋅ + ⋅
+ + + = + + ⋅ −
+
2
2 2
2 2
(cosx cosy) 1 1 2 cos3
1(senx seny) (cosx cosy) 1 1 2
2(senx seny) (cosx cosy) 3
π+ + = + + ⋅
+ + + = + + ⋅
+ + + =
3Extensivo Terceirão – Matemática 4E
Aula 1111.01. d
sen A senA A
sen A x y
( ) cos
( )
2 2
2 2
= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅
11.02. e
cos( ) cos
cos( )
2
2
2 2
2 2
A A sen A
A y x
= −
= −
11.03. dsen A senA A
A x sen x sen x x
sen x
( ) cos
( ) ( ) cos( )
(
2 2
2 2 2 2 2 2
4
= ⋅ ⋅= ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅
⇒ )) ( ) cos( )= ⋅ ⋅2 2 2sen x x
11.04. b
cos( ) cos2 2 2A A sen A= −
11.05. ca) FALSA
cos( ) cos
cos( ) cos (cos ) (cos
2
1
2 1 1 1 1 1
2 2
2 2
x x sen x
x
sen sen
= −=
= − = − ⋅ ++ sen )1
b) FALSA
cos( ) cos
cos( ) cos (cos )
2
10
20 10 10 10 10
2 2
2 2
x x sen x
x
sen sen
= −=
= − = − ⋅⋅ +(cos sen )10 10
c) VERDADEIRA
cos( ) cos
cos( ) cos
2
10
20 10 10
2 2
2 2
x x sen x
x
sen
= −= °
° = °− °
d) FALSA
cos
cos
601
2
2 30 23
23
° =
⋅ ° = ⋅ =
e) FALSA
cos
cos
601
2
2 30 1 23
21 3 1
° =
⋅ °− = ⋅ − = −
11.06. bcos( ) cos
cos( ) cos ( cos )
cos( ) cos
2
2 1
2 2
2 2
2 2
2
x x sen x
x x x
x x
= −
= − −
= ⋅ −11
11.07. c
(sen , cos , ) , , cos ,
cos
22 5 22 5 22 5 2 22 5 22 5
22
2 2
2
°+ ° = °+ ⋅ °⋅ °+
+
sen sen
,,
(sen , cos , ) ( , )
(sen , cos , )
5
22 5 22 5 1 2 22 5
22 5 22 5
2
°
°+ ° = + ⋅ °
°+ °
sen
22 1 45 12
2
2 2
2= + °= + =
+sen
11.08. ey sen
sen
y sen
= ° ⋅ °⋅ = ⋅ ° ⋅ °=
( , ) cos( , )
y ( , ) cos( , )
(
22 5 22 5
2 2 22 5 22 5
2 2⋅⋅ °= °
= ⇒ =
22 5
2 45
22
2
2
4
, )
y sen
y y
11.09. d
senx x
senx
senx x x
senx x
2 2 22
2 2 2
2 2
22 2+
= + ⋅ ⋅ +
+
cos cos cos
cos
= + ⋅
+
= +
2
2
1 22
2 21
senx
senx x
senxcos
11.10. b
M senA A senA A
M senA A
M senA sen A
M
= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ −
= ⋅ ⋅
2 2
2 1
2
2
2
cos cos
( cos )
== ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅
−
− − −
2
2 0 2 2 2 10
2 8 10 16 10 1 6 10
3
3 1 3
3 3 2
sen A
M
M
( , ) ( )
,
11.11. d
cos( ) cos
cos( ) cos ( cos )
cos( ) cos
2
2 1
2 2
2 2
2 2
2
x x sen x
x x x
x x
= −
= − −
= ⋅ −11
2 23
41
2 29
161
9
81
1
8
2
cos( )
cos( )
x
x
= ⋅
−
= ⋅ − = − =
11.12. d
22
2 2
6cos sen
3
6(cos sen )
3
6cos 2 cos sen sen
92 1
1 sen(2 ) sen(2 )3 3
θ− θ =
θ− θ =
θ− ⋅ θ⋅ θ+ θ =
− θ = ⇒ θ =
11.13. a
cos x sen (cos ) (cos )
cos x sen cos
4 4 2 2 2 2
4 4 1 2
− = + ⋅ −
− = ⋅
x x sen x x sen x
x x
ccos x sen cos4 4 2− =x x
11.14. c
sen x x
x senxsen x senx
senx x senx
2 22 2
2
23cos
coscos x
cos
−= ⋅ + ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ +22
2 2 21
4
1
2
3
2 2
⋅ =
= ⋅ ⋅ + = ⋅ = ⋅ =
cos x
cos ( cos x) cosx sen x x
4 Extensivo Terceirão – Matemática 4E
11.15. 05 (01, 04)01) CORRETA
tg tg
tgtg tg
tg tg
tg
( ) ( )
( )
( )
75 45 30
7545 30
1 45 30
75
° = °+ °
° =°+ °
− °⋅ °
° ==+
− ⋅=
+−
° =+−
⋅++
=+ + +
13
3
1 13
3
3 3
3 3
753 3
3 3
3 3
3 3
9 3 3 3 3 3tg( )
( )
( )
( )
( ) 99 32 3
−= +
02) INCORRETA
cos ( ) ( )
cos ( )
cos ( )
2 2
22
2
1
14
5
116
25
9
25
x sen x
x
x
= −
= −
= − =
Como x pertence ao primeiro quadrante, então cos( )x =3
5.
04) CORRETA
tg xtg x
tg x( )
( )
( )2
2
1
2 6
1 6
12
352 2=
⋅−
=⋅−
= −
08) INCORRETA
sen x senx sen x
sen x senx x sen
( ) cos cos
( ) cos
+ = ⋅ + ⋅+ = ⋅ + ⋅ =
6 6 6
6 1 0
π π ππ xx
11.16. dcos( ) cos
cos cos
cos
2 2 1
2
22
22
1
2
2
2
A A
Ax
x x
x
= ⋅ −
=
⋅
= ⋅
−
= ⋅33
41 2
9
161
9
81
1
8
2
− = ⋅ − = − =
11.17. d1
cos2x2
2x 60 x 30
2x 300 x 150
2x 420 x 210
2x 660 x 330
=
= °⇒ = °= °⇒ = °= °⇒ = °= °⇒ = °
11.18. c
cotg( ) ( )21
52 5
4 44
1
x tg x
tg x tg xtg tgx
tg
= ⇒ =
+
− −
=
+
−
π ππ
ππ
π
π4
4
14
1
1
1
1
1 2
⋅−
−
+ ⋅=
=+−
−−+
=+
tgx
tg tgx
tg tgx
tgx
tgx
tgx
tgx
tgx( ) −− −− ⋅ +
=
=+ + − − +
−
( )
( ) ( )
( )
1
1 1
1 2 1 2
1
2
2 2
2
tgx
tgx tgx
tgx tg x tgx tg x
tg x==−
=
= ⋅−
= ⋅ = ⋅ =
4
1
22
12 2 2 5 10
2
2
tgx
tg x
tgx
tg xtg x( )
11.19. Seja x a altura da torre acima dos olhos da pessoa.
tgx
tgx tg
tg
xx
x
x
α
ααα
=
= ⇒⋅−
= ⇒⋅
−
=
300
2100
2
1 100
2300
1300
102 2 00
2
3 300 300
1
3
300
3300
3100 3
3
2
2
22
2
⇒
⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒
⇒ = =
xx
x xx
x m
a) tgα α= = ⇒ = °100 3
300
3
330
b) Seja h a altura da torre.
h x
h m
= +
= +
1 6
100 3 1 6
,
( , )
11.20. 5/27
CM MN NBBC
tg MABMB
AB
tg NABNB
AB
tg MA
= = = = =
= =
= =
3
3
31
2
51
5
i �
i �
i �
( )
( )
( NN tg MAB NAB
tg MANtg MAB tg NAB
tg MAB tg N
) ( )
( )( ) ( )
( ) (
= −
=−
+ ⋅
� �
� � ��1 AAB
tg MAN
�
�
)
( )=−
+ ⋅= = ⋅ =
2
5
1
5
12
5
1
5
1
527
25
1
5
25
27
5
27
Aula 1212.01. c
sen x y y x y seny sen x y y( ) cos cos( ) [( ) ] senx− ⋅ + − ⋅ = − + =12.02. b
cos ( ) ( )
cos ( )
cos ( )
2 2
22
2
1
11
4
11
16
15
16
α α
α
α
= −
= −
= − =
sen
Como a pertence ao segundo quadrante, então cos( )α = −15
4.
Portanto:
sen sen
sen
( ) ( ) cos( )
( )
2 2
2 21
4
15
4
15
8
α α α
α
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ −
= −
5Extensivo Terceirão – Matemática 4E
12.03. bComo x e y são complementares, então x y+ = °90 .
E x y senx seny
E x x y y
sen
= − + +
= − ⋅ ⋅ + +
+
(cos cos ) ( )
cos cos cos cos
2 2
2 2
2
2
xx senx seny sen y
E x y senx seny
+ ⋅ ⋅ += + − ⋅ ⋅ − ⋅= − ⋅
2
1 1 2
2 2
2
(cos cos )
E cos(( ) cosx y+ = − ⋅ ° = − ⋅ =2 2 90 2 2 0 2
12.04. c
sen x x
sen x
2 2
22
1
14
51
16
25
9
25
= −
= −
= − =
cos
Como x pertence ao primeiro quadrante, então senx =3
5.
tgxsenx
x
tg xtgx
tg x
= = =
=⋅−
=⋅
−
=−
cos
3
54
5
3
4
22
1
23
4
13
4
3
2
192 2
116
3
2
16
7
24
7= ⋅ =
12.05. a
senA A
senA A
sen A senA A
+ =
+ =
+ ⋅ ⋅ +
cos
( cos )
cos cos
5
2
5
2
2
22
2 2 AA
sen A sen A
=
+ = ⇒ = =
5
4
1 25
42
1
40 25( ) ( ) ,
12.06. bConsiderando os valores de x para os quais existe a inversa da ma-triz A, temos:
det( ) cos cos( )
det(A )det( ) cos( )
sec(
A x sen x x
A xx
= − =
= = =−
2 2
1
2
1 1
22 ))
12.07. d
tg tg
tgtg tg
tg tg
tg
( ) ( )
( )
( )
75 45 30
7545 30
1 45 30
75
° = °+ °
° =°+ °
− °⋅ °
° ==+
− ⋅=
+−
° =+−
⋅++
=+ + +
13
3
1 13
3
3 3
3 3
753 3
3 3
3 3
3 3
9 3 3 3 3 3tg( )
( )
( )
( )
( ) 99 32 3
−= +
12.08. e
cos( ) cos
cos
cos
21
2
1
21
2
1
2 2
2 2
2 2
x x sen x
x sen x
x sen x
= ⇒ − =
− =
+ =
⇒ ccos 2 23
4
1
4x e sen x= =
22 2
2 2
2 2
sen x 1tg x sec x
cos x cos x1
1 1 4 54tg x sec x3 3 3 3 34 4
+ = +
+ = + = + =
12.09. a
cos cos cos sen sen sen2 2 2
sen( ) sen cos sen cos sen
cos sen( ) sen sen 02
π π π β+ = β⋅ − β⋅ = − β π−β = π⋅ β− β⋅ π = β
π β+ + π−β = − β+ β =
O valor da expressão independe da medida do ângulo β.12.10. a
cos
cos ( , ) , ,
2 2
2 2
1
1 0 8 1 0 64 0 36
x sen x
x
= −
= − = − =
Como x pertence ao segundo quadrante, então cos ,x = −0 6. sen x senx x
x x sen x
( ) cos , ( , ) ,
cos( ) cos
c
2 2 2 0 8 0 6 0 96
2 2 2
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = −
= −
oos( ) ( , ) ( , ) , , ,
( ) cos( x) ,
2 0 6 0 8 0 36 0 64 0 28
2 2 0 9
2 2x
sen x
= − − = − = −
+ = − 66 0 28 1 24+ − = −( , ) ,
12.11. 15 (01, 02, 04, 08)
sen x cos
sen x
2 2
22
1
12
31
4
9
5
9
= −
= − = − =
x
Como x pertence ao primeiro quadrante, então senx =5
3.
tgxsenx
x= = =
cos
5
32
3
5
2
01) CORRETO
sen(x ) senx cos sen cosx
5sen(x ) senx ( 1) 0 cosx senx
3
− π = ⋅ π− π⋅
− π = ⋅ − − ⋅ = − = −
02) CORRETO
tg xtgx tg
tgx tg
tgx
tgxtgx( )+ =
+− ⋅
=+
− ⋅= =π
ππ1
0
1 0
5
2
04) CORRETO
sen x senx x( ) cos2 2 25
3
2
3
4 5
9= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
08) CORRETO
cos( ) cos x sen22
3
5
3
4
9
5
9
1
92 2
2 2
x x= − = −
= − = −
16) INCORRETO
cos cos cos
cos cos
x x senx sen
x x se
+
= ⋅ − ⋅
+
= ⋅ −
π π π
π
2 2 2
20 nnx senx⋅ = − = −1
5
3
6 Extensivo Terceirão – Matemática 4E
12.12. d( cos ) cos cos
( cos )
sen x x sen x sen x x x
sen x x
3 3 3 2 3 3 3
3 3 1
2 2 2
2
+ = + ⋅ ⋅ +
+ = ++ ⋅
+ = +
sen x
sen x x sen x
( )
( cos ) ( )
2 3
3 3 1 62
O valor maior de sen(6x) é 1.Portanto, o maior valor da expressão 1 6+ sen x( ) é 1 + 1 = 2.
12.13. a
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
sentg 2 2 sen 2 cos
cos
sen cos 1 (2 cos ) cos 1
14 cos cos 1 cos
51 4
sen 1 cos 15 5
cos(2 ) cos sen
1 4 3cos(2 )
5 5 5
αα = ⇒ = ⇒ α = ⋅ αα
α + α = ⇒ ⋅ α + α = ⇒
⇒ ⋅ α + α = ⇒ α =
α = − α = − =
α = α − α
α = − = −
12.14. b
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
x y cosy senx2
1 sen x cos y 1 sen x sen x 1 2 sen x
1 sen x cos y cos(2x)
1 sen x cos y 1 cos y cos y 1 2 cos y
1 sen x cos y cos(2y)
π+ = ⇒ =
− − = − − = − ⋅
− − =
− − = − − = − ⋅
− − = −
12.15. e
tgxtg
x
tgx
tgx
tgx
=⋅
−
=⋅
−
22
12
4
3
22
12
2
2
2
⋅⋅ + ⋅
− = ⇒
=
= −tg
xtg
xtg
xou tg
x2
23
22 0
2
1
2 222
Como 0< <x π , então 02 2
< <x π .
Portanto, tgx
2
1
2 = .
12.16. a
2 2
22 2
acos
a a a2cotg 3 3 cos 3 sen
a2 2 2sen
2a a
sen cos 12 2
a a a 1sen 3 sen 1 sen
2 2 2 4
a a a asena 2 sen cos 2 sen 3 sen
2 2 2 2
= ⇒ = ⇒ = ⋅
+ =
+ ⋅ = ⇒ = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
2 a 1 3sena 2 3 sen 2 3
2 4 2
= ⋅ = ⋅ =
12.17. cTraçando o segmento AC, ficam determinados os triângulos ABC e ADC, congruentes entre si.Assim:
( ) (AB) ( )
( ) ( ) ( )
AC BC
AC x x AC x AC x
senA
2 2 2
2 2 2 2 22 5 5
2
= +
= + ⇒ = ⇒ =
== =
= =
= ⋅
⋅
x
x
A x
x
senA senA A
s
5
1
5
2
2
5
2
5
22 2
cos
cos
eenA = ⋅ ⋅ =21
5
2
5
4
5
12.18. c
a
2
a
2
b
2
b
2
α2
1 1
a
1
sen
a
a sen
sen
b
b sen
α α
α α
221
22
21
2
= ⇒ = ⋅
= ⇒ = ⋅
Assim:
b
a
sen
sen
sen
sen
sen=
⋅
⋅
=
=⋅
⋅2
22 2
22 2α
ααα
α αcos
= ⋅
senα
α
2
22
cos
12.19. − 15 7/
θ
a a
α α θ θ αθ α
θα
+ + = °⇒ = °−= °−
=°−
+
180 180 2
180 2
180 2
1 18
tg tg
tgtg tg
tg
( )
( )
00 2
2
2
1 2
°⋅= −
= −⋅−
tg
tg tg
tgtg
tg
( )
( )
αθ α
θαα
7Extensivo Terceirão – Matemática 4E
cos
cos
cos cos
2 2
22
2
1
11
4
11
16
15
16
15
4
α α
α
α α
α
= −
= −
= − = ⇒ =
sen
tg == = =senα
αcos
1
415
4
1
15
tgtg
tg
tg
θαα
θ
= −⋅−
= −⋅
−
= − ⋅ = − ⋅
2
1
21
15
11
15
2
15
15
14
15
7 15
15
2
2 115
15
7= −
12.20. 53Seja x a medida dos segmentos AB, BM, MN e NC.
xtg(BAM) 1 BAM 45
x2x
tg(45 ) 2x
tg45 tg 1 tg2 2
1 tg45 tg 1 tg
11 tg 2 2 tg tg
3
= = ⇒ = °
°+ θ = =
°+ θ + θ= ⇒ = ⇒− °⋅ θ − θ
⇒ + θ = − ⋅ θ⇒ θ =
Portanto:
6 51 61
351 53⋅ + = ⋅ + =tgθ