Matemática - cursopositivo.com.br · xx ou x xo ux A maior solução da equação é 7. ... o...

10.01. cComo x ≥ 0 , para todo x real, o conjunto imagem da função f é Im(f) = + .

10.02. cx x ou x

x ou x

− = ⇒ − = − = −⇒ = = −

10 50 10 50 10 50

60 40

A soma das soluções reais da equação é 60 40 20+ − =( ) . 10.03. b

(x )− =− = ⇒ − = − = −

⇒ = = −

2 5

2 5 2 5 2 5

7 3

2

x x ou x

x ou x

A maior solução da equação é 7.10.04. b

3 1 2 3 1 2 3 1 2

113

x x ou x

x ou x

− = ⇒ − = − = −

⇒ = = −

O produto das soluções é 113

13

⋅ −

= − .

10.05. c

xx se x

x se x=

≥− <

,

,

0

0

Portanto, o módulo de um número real é igual ao próprio número (se o número for positivo) ou igual ao oposto do número (se o nú-mero for negativo).

10.06. ex x< ⇒ − < <9 9 9

10.07. bx x ou x> ⇒ < − >9 9 9

10.08. a

A

A

A

= − − −

− < ⇒ − = −

= − − − = − − −

− − < ⇒ − − = +

= +

2 2 3 1

2 2 0 2 2 2 2

2 2 3 1 1 2 1

1 2 0 1 2 1 2

1 2 −−

= =

1

2 2A

10.09. a

Como x x2 2= , temos:2

2

x 4 x 5 0

x y

y 4y 5 0 y 5 ou y 1

x 5 x 5 ou x 5

x 1(não existe solução)

− ⋅ − =

=

− − = ⇒ = = −= ⇒ = = −

= −

Portanto, o conjunto-solução da equação é {–5, 5}, ou seja, os ele-mentos são números inteiros, sendo um deles natural.

Aula 1010.10. e

2 5 0 2 5 5 2

3 5 0 3 5 3 5

2 5 3 5 5 2 3 5 1

− < ⇒ − = −

− > ⇒ − = −

− + − = − + − =

10.11. d0 2 2 6

2 2 0 2 2 6

< + ≤

+ > + ≤

x

x e x

2 2 0x + >

Essa desigualdade é verdadeira para todo x tal que:2 2 0 1x x+ ≠ ⇒ ≠ −

2 2 6 6 2 2 6

8 2 4

4 2

x x

x

x

+ ≤ ⇒ − ≤ + ≤⇒ − ≤ ≤⇒ − ≤ ≤

Os números inteiros que satisfazem a sentença são:–4, –3, –2, 0, 1, 2A soma desses números é –6.

10.12. a

2

x y

y y 12 0 y 3 ou y 4

x 3 x 3 ou x 3

x 4 (não existe solução)

=

+ − = ⇒ = = −= ⇒ = = −

= −

Portanto, a soma das raízes é igual a zero e o produto é igual a –9.10.13. a

2 2 2

2

2

2

2

x 5x x 5 x 5x x 5 ou x 5x x 5

x 5x x 5

x 6x 5 0 x 1ou x 5

x 5x x 5

x 4x 5 0 x 1ou x 5

− = − ⇒ − = − − = − +

− = −

− + = ⇒ = =

− = − +

− − = ⇒ = − =

O conjunto solução da equação é {–1, 1, 5}.10.14. e

x x

x

− < ⇒ − < − <⇒ − < <

2 5 5 2 5

3 7

Os números inteiros não negativos que satisfazem a inequação são:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (7 números).

10.15. bNote que os pontos (0, 2), (2, 0) e (4, 2) pertencem ao gráfico da função f.Assim:f

f

f

( )

( )

( )

0 2

2 0

4 2

===

Das alternativas, a única função que verifica essas igualdades é f x x( ) = − 2 .

Resoluções

1Extensivo Terceirão – Matemática 4A

4AMatemática

f( )

f( )

f( )

0 0 2 2 2

2 2 2 0 0

4 4 2 2 2

= − = − =

= − = =

= − = =

10.16. aObserve os gráficos das funções:

y

x

k

Os gráficos das funções delimitam um quadrado cujas diagonais medem k. Seja L a medida dos lados desse quadrado.Assim:

L k Lk

L

L

kk

22

16

4

24 4 2

2

= ⇒ =

==

= ⇒ =

10.17. dy

g

f5

x1

f x g x

x x ou x

x ou x

( ) ( )=− − ⇒ − = − = −

⇒ = = −1 5 1 5 1 5

6 4

Os pontos de intersecção dos gráficos das funções f e g são (6, 5) e (–4, 5).Assim, a região limitada pelos gráficos de f e g é um triângulo cuja base mede 6 – (–4) = 10 e cuja altura é 5.Área do triângulo:10 5

225

⋅ = unidades de área

10.18. b

x x

x

− ≤ ⇒ − ≤ − ≤⇒ − ≤ ≤

2 3 3 2 3

1 5

3 2 5 3 2 5 3 2 5

173

x x ou x

x ou x

− > ⇒ − < − − >

⇒ < − >

Os valores inteiros que satisfazem simultaneamente as desigualda-des são 3, 4 e 5.O produto desses números é 60.

10.19. f x

x

x x

x

( ) <− − <

− < ⇒ − < − <⇒ < <

0

1 1 0

1 1 1 1 1

0 2Portanto:{ | }x x∈ < < 0 2 .

10.20. 12

x x x x ou x x

x x

x x x

x x

x

− = ⇒ − = − = −

− =

− + = ⇒ ∉

− = −

2 3 2 3 2 3

2 3

3 2 0

2 3

3

2 2 2

2

2

2

2

i

�

i

++ − = ⇒ = − =x x ou x2 0 123

Assim:

S

S

S

= − +

= −

+ = ⋅ −

+ = − + =

123

13

9 15 913

15 3 15 12

2 Extensivo Terceirão – Matemática 4A

11.01. cf x f x( ) ( )

x f( ) f( ) f( ) f( )

− == ⇒ − = ⇒ − − =2 2 2 2 2 0

11.02. df x f x( ) ( )

x f( ) f( ) f( ) f( )

− = −= ⇒ − = − ⇒ − + =10 10 10 10 10 0

11.03. da) INCORRETO.

f x x x f x( ) ( ) ( )− = ⋅ − = − = −4 4 Assim, elementos opostos têm imagens opostas.

b) INCORRETO.Como f x f x( ) ( )− = − , a função f é ímpar.

c) INCORRETO.f( )0 4 0 0= ⋅ =

O gráfico da função passa pelo ponto (0, 0).11.04. c

a) f x f x( ) ( )− = =10A função é par.

b) f x x x f x( ) ( ) ( )− = − − = − =2 25 5 A função é par.

c) f x x x f x( ) ( ) ( )− = − − = + ≠10 10 A função não é par.

d) f x x x f x( ) ( ) ( )− = − = =4 4 A função é par.

e) f x x x x x f x( ) ( ) ( ) ( )− = − − ⋅ − = − =2 6 2 63 3 A função é par.

11.05. da) f x x x f x( ) ( ) ( )− = ⋅ − = − = −10 10

A função é ímpar.b) f x x x x x f x( ) ( ) ( ) ( )− = − − ⋅ − = − + = −3 35 5

A função é ímpar.c) f x x x f x( ) ( ) ( )− = − − = = −

A função é ímpar.d) f x x x f x( ) ( ) ( )− = − = =4 4

A função é par.e) f x x x x x f x( ) ( ) ( )− = − − ⋅ − = − + = −2 23 3

A função é ímpar.11.06. d

Sabe-se que:f( x) f(x)

f(a) b

− = −=

1) CORRETA.f a f a b( ) ( )− = − = −

2) CORRETA.O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.

3) INCORRETA.Como f a( ) > 0 e f a( )− < 0 , então f a f a( ) ( )⋅ − < 0.

4) CORRETA.Portanto, o número de afirmações corretas é 3.

11.07. df x x x

a x x

a

( ) a (x x ) ( )

f(x) ( ) ( )

f( ) ( ) ( )

= ⋅ − ⋅ −= ⋅ + ⋅ −= ⇒ ⋅ + ⋅ −

1 2

1 1

2 3 2 1 2 1 == ⇒ =3 1a

Assim:f x x x

f x x

( ) ( ) ( )

( )

= ⋅ + ⋅ −

= −

1 1 1

12

Aula 111) CORRETA.

f x x x f x( ) ( ) ( )− = − − = − =2 21 1

2) CORRETA.f( )0 0 1 12= − = −

3) CORRETA.f f f f( ) ( ) ( ) ( )− + − + + = + + + = >2 1 1 2 3 0 0 3 6 0

4) INCORRETA.Como a função f é par, valores opostos de x têm imagens iguais.Portanto, o número de afirmações corretas é 3.

11.08. b

a) f xx x

f x( ) ( )− =−

= − = −1 1

A função é ímpar.

b) f xx x

f x( )( )

( )− =−

= =1 12 2

A função é par.

c) f x x f x( ) ( )− = − = − A função é ímpar.

d) f x x x f x( ) ( ) ( )− = − = − = −5 5 A função é ímpar.

11.09. ea) INCORRETO.

O gráfico da função não é simétrico em relação à origem.b) INCORRETO.

O gráfico da função não é simétrico em relação ao eixo das or-denadas.

c) INCORRETO.f( )− =1 3 e f( )1 1= −

d) INCORRETO.f f( ) ( )− >1 1

e) CORRETO.11.10. c

f x f x( ) ( )− = −

E f x f f f f f f f

E f

kk

= = − + − + − + + + +

= −=−∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ (

3 2 1 0 1 2 3

33

3

)) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] f( )

f( )

E

+ + − + + − + +==

f f f f f

E

3 2 2 1 1 0

0

0

11.11. ca) INCORRETO.

f k f k( ) ( )− = − , para todo k real. b) INCORRETO.

f f

f f

( ) ( )

( ) ( )

− = −− + =

2 2

2 2 0

π ππ π

c) CORRETO.

f f

f f

−

= −

−

+

=

32

32

32

32

0

π π

π π

d) INCORRETO.f( )0 0=

e) INCORRETO.f k f k( ) ( )= − para todos os valores de k tais que f k( ) = 0.



f k f k( ) ( )− = , para todo k real.b) INCORRETO.

f f

f f

( ) ( )

( ) ( )

− = >− + >

2 2 0

2 2 0

π ππ π

c) INCORRETO.

f f

f f

−

=

=

−

+

=

32

32

0

32

32

0

π π

π π

d) INCORRETO.f( )0 0>

e) CORRETO.11.13. c

a) f x tg xsen x

x( ) ( )

( )cos( )

= =

f x tg xsen x

xsen x

xtg x( ) ( )

( )cos( )

( )cos( )

( ) f(x)− = − = −−

= − = − = −


b) f x cotg xx

sen x( ) ( )

cos( )( )

= =

f x cotg xx

sen xx

sen xx f x( ) ( )

cos( )( )

cos( )( )

cotg( ) ( )− = − = −−

=−

= − = −


c) f(x) sec( )cos( )

= =xx

1

f( x) sec( )cos( ) cos( )

sec( ) f(x)− = − =−

= = =xx x

x1 1

A função é par.

d) f( x) cossec( )( )

− = =xsen x

1

f( x) cossec( )( ) ( )

cossec( ) f(x)− = − =−

=−

= − = −xsen x sen x

x1 1


e) f x sen x( ) ( )= 2 f x sen x sen x f x( ) ( ) [ sen(x)] ( ) ( )− = − = − = =2 2 2

A função é par.11.14. b

I. INCORRETA.O gráfico da função é formado por duas semirretas.

II. INCORRETA.Para todo x real, tem-se f x( ) ≥ 0.

III. CORRETA.f x x x f x( ) ( )− = − = =

IV. INCORRETA.Portanto, o número de afirmativas corretas é 1.


f x( ) senx= é uma função ímpar.b) INCORRETO.

f x x( ) cos= é uma função par.c) INCORRETO.

f x f x

g x g x

h x f x g x

h x f x g

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( x) [ f(

− = −− = −

= ⋅− = − ⋅ − = − xx)] [ g(x)] f(x) g(x) h(x)⋅ − = ⋅ =

O produto de duas funções ímpares é uma função par.

d) INCORRETO.f x f x

g x g x

h x f x g x

h x f x g

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( x) [ f(x

− = −− =

= ⋅− = − ⋅ − = − ))] g(x) f(x) g(x) h(x)⋅ = − ⋅ = −

O produto de uma função ímpar por uma função par é uma fun-ção ímpar.

e) CORRETO.f x f x

g x g x

h x f x g x

h x f x g

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( x) f(x) g

− =− =

= ⋅− = − ⋅ − = ⋅ ((x) h(x)=

O produto de duas funções pares é uma função par.11.16. 29

f x f x

x f f

f f

f

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

(

+ = ⋅ −= ⇒ + = ⋅ −

= ⋅ −= ⋅

1 2 15

0 0 1 2 0 15

1 2 0 15

43 2 0)) ( )− ⇒ =15 0 29f

11.17. cf x f x f

x f f f

f f

f f

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) (

+ = += ⇒ + = +

= ⋅

= ⋅ ⇒

1 1

1 1 1 1 1

2 2 1

1 2 1 1112

2 2 1 2 1

3 112

32

3 3 1 3 1

)

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

=

= ⇒ + = +

= + =

= ⇒ + = +

x f f f

f

x f f f

ff

x f f f

f

( )

( ) ( ) ( )

( )

432

12

2

4 4 1 4 1

5 212

52

= + =

= ⇒ + = +

= + =

11.18. 5f x f x

x f f

( ) ( )

( ) ( )

f( ) f( ) f( ) f( )

2 3

4 2 4 3 4

8 3 4 45 3 4 4 1

⋅ = ⋅= ⇒ ⋅ = ⋅

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = 55

2 2 2 3 2

4 3 2 15 3 2 2 5

x f f= ⇒ ⋅ = ⋅= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =

( ) ( )

f( ) f( ) f( ) f( )

11.19. f x f x

a x b x c ax bx c

ax bx c ax bx c

( ) ( )

( ) ( )

− =

⋅ − + ⋅ − + = + +

− + = + +

2 2

2 2

Comparando os dois membros da igualdade, temos:− = ⇒ = ⇒ =b b b b2 0 0

Portanto:a e a∈ ≠ 0 b = 0 c ∈

11.20. f x f x

a x b ax b

ax b ax b

( ) ( )

( )

− = −⋅ − + = − −

− + = − −Comparando os dois membros da igualdade, temos:b b b b= − ⇒ = ⇒ =2 0 0 Portanto:a e a∈ ≠ 0 b = 0


12.01. bA imagem da função g para cada número real x é uma unidade maior que a imagem da função f para o mesmo número x.Assim:g x f x( ) ( )= +1

12.02. dA imagem da função g para cada número real x é igual à imagem da função f para esse mesmo número x aumentado de uma uni-dade. Assim:g x f x( ) ( )= +1

12.03. cg x f

g x

g x x

x

x

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

=

= −

= +

+

+

2

2 1

1

2

2

12.04. ca) INCORRETA.

Vértice da parábola azul: (1, 0)Vértice da parábola verde: (–1, 0)

b) INCORRETA.As duas parábolas têm o vértice no eixo das abscissas.

c) CORRETA.O conjunto imagem de ambas as funções é { | }y y∈ ≥ 0 .

d) INCORRETA.Ambas as funções têm ponto de mínimo.

12.05. aIm( ) [ , )

Im( ) [ , )

g

g

= − ∞= ∞

+2

1

3

12.06. aO gráfico da função definida por y x= é constituído por duas se-mirretas com origem no ponto (0, 0). O gráfico da função f x x( ) = + 2 é obtido por uma translação do gráfico de y x= , duas unidades para cima. Portanto, é constituído por duas semirretas com origem no ponto (0, 2).

12.07. cIm( ) [ , ]

Im( ) [ , ]

Im( ) [ , ]

f

g

g

= −= −=

+ +1 1

1 1

1 3

2 2

12.08. dO gráfico da função g é obtido por uma translação do gráfico da função f, uma unidade para a esquerda.Assim:

g x f

g x

x

x

( ) ( )

( )

==

++

1

1

12.09. bPrimeira translação:h x f

h x

h x x

x

x

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

=

= +

= −

−

−

3

3 1

2

2

2

Segunda translação:g x h x

g x x

( ) ( )

( ) ( )

=

= − +

+ 2

2 22

12.10. dOs gráficos das funções f e g são simétricos em relação ao eixo das abscissas.Assim:

Aula 12g x f x

g x x x

g x x x

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= −= − − ⋅ −= − + ⋅ −

1 3

1 3

12.11. cO gráfico da função h é obtido por uma translação do gráfico da função f, quatro unidades para a esquerda. Assim:h x f

h x

h x x x

x

x x

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

== − ⋅ −= + ⋅ +

++ +

4

4 41 3

3 1

Outra maneira de escrever a lei de formação da função h:

h x x x

x x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

h(x) ( ) ( )

= − ⋅ − − ⋅ − ⋅ − −= − − ⋅ − −

1 3 1 1

3 112.12. b

I. CORRETA. O gráfico do segundo quadrante é simétrico em re-lação ao gráfico do primeiro, em relação ao eixo das ordenadas. (Reflexão em torno do eixo das ordenadas)y f x= −( )

III. CORRETA. O gráfico do quarto quadrante é simétrico em relação ao gráfico do primeiro, em relação ao eixo das abscissas. (Refle-xão em torno do eixo das abscissas)y f x= − ( )

II. CORRETA. O gráfico do terceiro quadrante é simétrico em relação ao gráfico do primeiro, em relação à origem. (Reflexão em torno do eixo das abscissas e em torno do eixo das ordenadas)y f x= − −( )

12.13. bObserve alguns valores de f e g:

f

f

f

f

g

g

g

g

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

− = −=== −

− ====

1 1

0 0

1 1

2 1

1 3

0 2

1 1

2 3

A relação que satisfaz todos esses valores é:g x f x( ) ( )= −2

12.14. eP x x

P

P x x

P x x

x x

( )

( ) ( )

( )

( )

− = +− = ⋅ +

= + += +

+ +1 2 1

1 2 1

2 2 1

2 3

1 1

12.15. bObserve alguns valores da função f:

f

f

f

f

f

( )

( )

( )

( )

( )

− = −− = −

===

2 1

1 2

0 0

1 2

2 1

Sendo g x f x( ) ( )= ⋅ −2 1 , temos:

g f f

f f

( ) ( ) ( ) ( )

g( ) ( ) ( ) (

− = ⋅ − − = ⋅ − = ⋅ − = −= ⋅ − = ⋅ − = ⋅

1 2 1 1 2 2 2 1 2

0 2 0 1 2 1 2 −− = −= ⋅ − = ⋅ = ⋅ == ⋅ − = ⋅ = ⋅ =

2 4

1 2 1 1 2 0 2 0 0

2 2 2 1 2 1 2 2

)

g( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

f f

g f f 44

Portanto, o gráfico da função que satisfaz todos esses valores é o da alternativa b.


12.16. bf x x

f x x

( )

( ) ( )

f(x ) x

− =− = ⋅

− = −− −

1 2

1 2

2 2 2

1 1

12.17. eSe g x f x( ) ( )=

x x x g x f x

x x x g x f x

≥ ⇒ = ⇒ =

< ⇒ = − ⇒ = −

0

0

( ) ( )

( ) ( )

Assim:g f

g f

g f

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 0

1 1

2 2

===

Para x ≥ 0 os gráficos das funções f e g são iguais.

g f f

g f f

g f f

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

− = − =

− = − =

− = − =

1 1 1

2 2 2

3 3 3

Para x < 0 o gráfico da função g é a reflexão da parte do gráfico da função f em que x > 0. Portanto, o gráfico que melhor representa a função g é o da alter-nativa e.

12.18. a1. y f x= ( )

Pontos com ordenada positiva ou nula se mantêm. Pontos com ordenada negativa são refletidos em torno do eixo das abscissas.

2. y f x= − ( ) Reflexão em torno do eixo das abscissas.

3. y f x= −( ) Reflexão em torno do eixo das ordenadas.

4. y f x= +( )2 Translação do gráfico de duas unidades para a esquerda.

5. y f x= +( ) 2 Translação do gráfico de duas unidades para cima.Portanto:1 2 3 4 5c a e b d− − − −

12.19. Im( ) [ , [f = − ∞1

Seja h x f x( ) ( )= + 2.

Im( ) [ , [

Im( ) [ , [

h

h

= − ∞= ∞

+1

1

2

Assim:g x f x

g x h x

g

( ) [ ( ) ]

( ) ( )

Im( ) ] , ]

= − += −= − ∞ −

2

1

12.20. a) f x x x( ) = − +2 6 8 O valor mínimo da função é a ordenada do vértice da parábola correspondente.

y V = − − − ⋅ ⋅⋅

= − − = −( )6 4 1 84 1

36 324

12

Pontos de intersecção do gráfico de f com a reta y =1. f x

x x

x x x ou x

( ) =

− + =

− + = ⇒ = + = −

1

6 8 1

6 7 0 3 2 3 2

2

2

Os pontos são:( , ) e ( , )3 2 1 3 2 1+ −

b) g x x x( ) = − + −2 6 8 1

2

2 2 2

2

2

2

2

g(x) 0

x 6x 8 1 0

x 6x 8 1 x 6x 8 1ou x 6x 8 1

x 6x 8 1

x 6x 7 0 x 3 2 ou x 3 2

x 6x 8 1

x 6x 9 0 x 3

=

− + − =

− + = ⇒ − + = − + = −

− + =

− + = ⇒ = + = −

− + = −

− + = ⇒ =

As raízes da equação são:

3 2 3 2 3+ −, e


PB 1Extensivo Terceirão – <disciplina> <numdisciplina> Extensivo Terceirão – Matemática 4B

10.01. dA média anual dos 5 anos é dada por:

X =+ + + +300 400 400 450 500

5

X = =2050

5410

10.02. bMédia aritmética dos números 4 e 36:

X =+

= =4 36

2

40

220

Média geométrica dos números 4 e 36:

X G = ⋅ = ⋅ =4 36 2 6 12

Diferença entre a média aritmética e a média geométrica: X X G− = − =20 12 8

10.03. eMédia harmônica dos números 4 e 6:

X H =+

21

4

1

6

X H = +2

3 2

12

X H = ⋅2

1

12

5

X H = =24

54 8,

10.04. ePelo teorema da desigualdade das médias, tem-se c < b < a.

10.05. eAdicionando os 5 tempos, tem-se:2h40min + 1h50min + 2h10min + 3h05min + 1h20min = 9h125min = 10h65minDividindo a soma dos tempos por 5, tem-se 2h 13min.Logo, o tempo médio gasto por esses alunos para resolver a prova foi de 2h13min.

10.06. aI) A média obtida pelo candidato I foi

20 4 23 6

4 6

80 138

10

218

1021 8

⋅ + ⋅+

=+

= = ,

II) A média obtida pelo candidato II foi21 4 18 6

4 6

84 108

10

192

1019 2

⋅ + ⋅+

=+

= = ,

III) Para vencer a competição, a nota X que deverá ser obtida pelo candidato II é tal que:X

X X X⋅ + ⋅

+> ⇔ + > ⇔ > ⇔ >

4 25 6

4 621 8 4 150 218 4 68 17,

Portanto, a menor nota deverá ser 18.10.07. c

Se a média das idades e a quantidade de atletas do time são conhe-cidas, podemos calcular a soma total das idades:

xx

N

xi= ⇒ =∑ ∑135

1

Portanto, a soma das idades é 13 ∙ 5 = 65 anos.Sabemos que o mais velho tem 17 anos, o segundo mais velho tem x anos e especulamos que cada um dos demais atletas tem 11 anos. Assim:17 + x + 11 + 11 + 11 = 65, de modo que x = 15 anos.

10.08. aO nível dos reservatórios A e E, após a abertura das válvulas, será igual a:

h=+ + + +

= =8 7 6 5 4

5

30

56 dm

O nível do reservatório F se manterá em 3 dm.10.09. b

A velocidade média de subida é igual à média harmônica das velo-cidades de cada trecho de subida, ou seja:

V =+

=+

= = = ⋅ =2

1

6

1

2

21 3

6

24

6

22

3

2

1

3

23

10.10. cDe acordo com a tabela, a média dos valores de consumo de água é dada por:

X =+ + +

=0 24 0 28 0 55 0 36

40 3575

, , , ,,

Por outro lado, a média de consumo per capita por dia da popula-ção da região Sudeste é dada por:

X p =⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

+ + +=

0 24 25 0 28 4 0 55 20 0 36 51

25 4 20 510 3648

, % , % , % , %

% % % %,

10.11. eA média aritmética das idades das garotas é igual a:

X = =45

315 anos

A média geométrica das idades dos rapazes é igual a:

X G = =400 20 anos

A razão entre a média aritmética das idades das garotas e a média geométrica das idades dos rapazes é igual a:

X

X G= =

15

200 75,

10.12. dA média aritmética ponderada das avaliações, ponderada pelos pesos apresentados, é dada por:

X p =⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

+ + += ≅

6 00 4 7 00 4 8 00 2 9 00 2

4 4 2 2

86

127 2

, , , ,,

10.13. aObserve que:(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 ∙ (ab + ac + bc)

Mas xa b c

=+ +

3 e y

a b c=

+ +2 2 2

3, então:

(3x)2 = 3y + 2 ∙ (ab + ac + bc)9x2 – 3y = 2 ∙ (ab + ac + bc)Dividindo ambos os membros por 3, tem-se:

3 23

2x yab ac bc

− = ⋅+ +

ab ac bc x y+ +=

−3

3

2

2

Aula 10

Resoluções 4BMatemática

10.14. aSe a média inicial é igual a 7,0 e são 28 provas, a soma das notas dessas 28 provas iniciais é igual à média aritmética multiplicada pela quantidade de provas, ou seja: S28 = 28 ∙ 7,0 = 196Considerando as outras duas provas com notas 10,0 e 4,0, a nova média aritmética será:

X =+ ++ +

= =196 10 4

28 1 1

210

307 0,

Portanto, não houve alteração na média aritmética. Comentário: Em geral, se a um conjunto com média aritmética igual a X in-cluem-se novos elementos cuja média também é igual a X, não haverá alteração no valor da média aritmética.

10.15. c

Se x e y são, respectivamente, os pesos da 1a. e 2a. provas, das infor-mações do enunciado e pelo conceito de média aritmética ponde-rada, pode-se escrever:

82 5272 1

90 4073 5

x y

x y

x y

x y

++

=

++

=

,

,

Como x + y = 1, tem-se:82 52 72 1

90 40 73 5

x y

x y

+ =+ =

,

,

Multiplicando a 1a. equação por 10, a 2a. equação por (–13) e adicio-nando ambos os membros, tem-se:(82 ∙ 10 – 90 ∙ 13) ∙ x + (52 ∙ 10 – 40 ∙ 13) ∙ y = 72,1 ∙ 10 – 73,5 ∙ 13 – 350 ∙ x + 0 ∙ y = – 234,5

x =−−234 5

350

,

x = 0,67Mas, x + y = 1, então, 0,67 + y = 1, ou seja, y = 0,33.

10.16. 17 (01, 16)• Prova de que a média quadrática dos números positivos a e b é

maior ou igual à média aritmética correspondente:

a b−( ) ≥2 0

a ab b2 22 0− + ≥

a b ab2 2 2+ ≥

2 2 22 2 2 2a b a ab b+ ≥ + +

2 2

4

2

4

2 2 2 2a b a ab b+≥

+ +

a b a b2 2 2

2 2

+≥

+

a b a b2 2

2 2

+≥

+

Q A≥ (I)

• Prova de que a média aritmética dos números positivos a e b é maior ou igual à média geométrica correspondente:

a b−( ) ≥2

0

a a b b( ) − ⋅ ⋅ + ( ) ≥2 2

2 0

a a b b− ⋅ ⋅ + ≥2 0

a b a b+ ≥ ⋅ ⋅2

a ba b

+≥ ⋅

2A G≥ (II)

• Prova de que a média geométrica dos números positivos a e b é maior ou igual à média harmônica correspondente:

Sendo c e d números positivos, da desigualdade entre as médias aritmética e geométrica, podemos escrever:

cdc d≤ +

2

Fazendo a troca ca

= 1 e d

b= 1

, tem-se:

cda b ab ab

= ⋅ = =1 1 1 1

c d a b+=

+

2

1 1

2Portanto:

11 1

2aba b≤

+

ab

a b

≥+

21 1

G H≥ (III)Relacionando (I), (II) e (III), tem-se Q A G H≥ ≥ ≥ .

Se a = b, tem-se Q A G H= = = .

Analisando as afirmações, tem-se:01) Verdadeira: G ≥ A02) Falsa: A ≥ H04) Falsa: Q ≥ A08) Falsa: Q ≥ G16) Verdadeira: todas as médias coincidem, se a = b.

10.17. bTaxa média de juros (juros simples): Média aritmética

i =+ +

≅100 50 12 5

354 17

% % , %, %

Taxa média de juros (juros compostos): Média geométrica

i = +( )⋅ +( )⋅ +( ) −1 1 1 0 5 1 0 125 13 , ,

i = ⋅ ⋅ −2 1 5 1125 13 , ,

i= −3375 13

i = −33751000

13

i = −15

101

3

33

i = −1510

1

i = =0 50 50, %

Logo, em pontos percentuais, a diferença entre as taxas é aproxi-madamente igual a:∆i = − =54 17 50 4 17, ,

10.18. eUtilizando a desigualdade das médias, tem-se:

xx x

x

+≥ ⋅

1

2

1

xx

+ ≥ ⋅12 1

xx

+ ≥12

xx

+ ∈ ∞12[ ; [

2 3Extensivo Terceirão – Matemática 4B Extensivo Terceirão – Matemática 4B

10.19. Calculando-se as médias aritméticas dos saltos válidos dos três atletas, obtém-se aproximadamente:• Atleta 1: 8,11 m• Atleta 2: 8,32 m• Atleta 3: 8,17 mO atleta com maior média aritmética em seus saltos é o atleta 2.

10.20. a) Vamos traçar a diagonal de medida AC e observar alguns triân-gulos semelhantes:

Q

B

NM

A

D C

CD2

AB2

Os triângulos ACD e AMQ são semelhantes. Logo:ADAM

CDMQ

=

MQ AD CD AM⋅ = ⋅

Mas, AD = 2 ∙ AM, então:

MQCD AM

AM= ⋅

⋅2

MQCD=2

Analogamente, os triângulos ABC e QNC são semelhantes:ABQN

BCNC

=

QN BC NC AB⋅ = ⋅

Mas, BC = 2 ∙ NC, então:

QNNC AB

NC=

⋅⋅2

QNAB=2

Desta forma, tem-se:MN = MQ + QN

MNCD AB= +2 2

MNAB CD

=+2

O resultado indica que MN é a média aritmética de AB e CD.b) Na próxima ilustração, os trapézios ABFG e GFCD são semelhantes:

G F

BA

D C

Desta forma, pode-se escrever:ABGF

GFCD

=

GF AB CD2 = ⋅

GF AB CD= ⋅

Portanto, GF é a média geométrica de AB e CD.c) Para demonstrar que HK é a média harmônica de AB e CD, na pró-

xima ilustração, vamos utilizar algumas semelhanças de triângulos:

H K

BA

D

P

C

• DCA ≈ HPA:DCHP

DAHA

=

DC

HP

DH HA

HA

DH

HA=

+= + 1

DH

HA

DC

HP= − 1

DH

HA

DC HP

HP=

− (I)

• ABD ≈ HPD:ABHP

DADH

=

AB

HP

DH HA

DH

HA

DH=

+= +1

AH

DH

AB

HP= − 1

AH

DH

AB HP

HP=

−

DH

AH

HP

AB HP=

− (II)

• De (I) e (II), tem-se:DC HP

HP

HP

AB HP

−=

−

HP HP DC HP AB HP⋅ = −( )⋅ −( )HP AB DC AB HP DC HP HP2 2= ⋅ − ⋅ − ⋅ +

AB DC HP AB DC+( ) ⋅ = ⋅

Dividindo membro a membro por AB ∙ DC, tem-se:

AB

AB DC

DC

AB DCHP

AB DC

AB DC⋅+

⋅

⋅ =⋅⋅

1 11

DC ABHP+

⋅ =

HP

DC AB

=+

11 1

(III)

• Analogamente, se o triângulo DCB é semelhante ao triângulo PKB, assim como o triângulo ABC é semelhante ao triângulo PKC, pode-se concluir que HP = PK, ou seja:

PK

DC AB

=+

11 1

(IV)

• Das relações (III) e (IV), pode-se escrever:HK HP PK= +

HK

DC AB DC AB

=+

++

11 1

11 1

HK

DC AB

=+

21 1

O resultado indica que HK é a média harmônica de AB e CD.Comentário:Pode-se ainda mostrar que MN ≥ GF ≥ HK:


11.01. bA nota mais frequente tem valor 8,0. Logo, 8,0 é o valor da moda.

11.02. bO conjunto é constituído por 6 valores (número par). Logo, a me-diana corresponde ao valor da média aritmética dos dois valores centrais (3o. e 4o. valores) do conjunto ordenado. Assim, tem-se:

Me = + =1 56 1922

174, ,

,

11.03. dO conjunto ordenado em ordem crescente é dado por:(85, 86, 87, 88, 89, 89, 90, 90, 90, 92)A média aritmética é dada por:

X = + + + + + + + + +85 86 87 88 89 89 90 90 90 9210

X = =88610

88 6,

A mediana do conjunto é igual à média aritmética dos dois valores centrais (5o. e 6o. valores):

Me = + =89 892

89

11.04. dOrdenando em ordem crescente as alturas dos 6 jogadores, temos:(1,73; 1,78; 1,81; 1,82; 1,83; 1,85)A altura mediana é igual à média aritmética dos dois valores cen-trais (3o. e 4o. valores), ou seja, em metros, temos

Me =+

=1 81 1 82

21 8150

, ,, .

Em metros, a altura média é dada por:

X = + + + + +173 178 1 81 1 82 1 83 1 856

, , , , , ,

X = ≅10 826

1 8033,

,

Assim, a diferença entre a altura mediana e a média das alturas des-ses seis jogadores, em cm, é aproximadamente igual a:

Me X− ≅ − =181 50 180 33 117, , ,

11.05. eA média aritmética do número de filmes assistidos pelos 40 alunos é dada por:

X = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅0 1 1 3 2 6 3 8 4 10 5 7 6 540

X = =14440

3 6,

11.06. aSeja MA a média aritimética e MD a mediana.

MAx x

=+ + + + +

=+17 8 30 21 7

6

83

6

Organizando os elementos em ordem crescente, e sabendo que 8 < x < 21, o elemento x deve ocupar a 3a. ou 4a. posição:{7, 8, x, 17, 21, 30}.Então:

MDx

=+ 17

2Do enunciado, temos MA = MD + 1Portanto: x x

x

Logo MA

++ =

+⇒ =

= =

17

21

83

613

96

616,

11.07. dA moda da distribuição é igual a 5, pois este número é o que ocorre com maior frequência (50 vezes).A mediana da distribuição é a média aritmética dos dois valores centrais (100o. e 101o. valores), ou seja, 3 processos diários.A quantidade média de processos diários é igual a:

X = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅0 10 1 30 2 40 3 30 4 40 5 50200

X = =610200

3 05,

A repartição pública não recebeu processos administrativos em

exatamente 5% dos dias úteis, pois 10200

0 05 5= =, % .11.08. b

Sabe-se que a média aritmética de 12 números é 5, logo:S

S121212

5 60= ⇒ =

Se tirando os números x e y desse conjunto, a média aritmética dos números restantes passa a ser 4,5, então:S x y12

12 24 5

− −−

= ,

6010

4 5− − =x y

,

60 45− − =x y

x y+ = 15

Além disso, sabe-se que x – y = 3. Resolvendo o sistema forma-do pelas duas últimas equações, temos x = 9 e y = 6. Portanto, x · y = 9 · 6 = 54.

11.09. ea) Falsa

Não há informação suficiente para a determinação da nota média.b) Falsa

Não há informação suficiente para a determinação da nota média e da nota mediana.

c) FalsaNão há informação suficiente para a determinação da nota modal.

HG F

M N

K

BA

D C

A igualdade MN = GF = HK é válida apenas se o trapézio apre-sentar AB = CD, ou seja, se o quadrilátero ABCD for um parale-logramo:

M = G = H N = F = K

A

D C

B

Aula 11


d) FalsaNão há informação suficiente para a determinação da nota média.

e) VerdadeiraA nota mediana é igual à média aritmética entre os dois valores centrais (50o. e 51o. valores). Qualquer que seja o número resul-tante e correspondente à mediana, é certo que 50 valores serão menores que a mediana e 50% serão maiores, de modo que é correto afirmar que 50% dos alunos tiveram nota acima da me-diana.

11.10. bSe a média das alturas de 51 alunos de uma turma é igual a 122 cm, então a soma das medidas das alturas destes 51 alunos é igual a 51 · 122 = 6222 cm.Se a mediana das alturas é igual a 117 cm, então a 26a. altura, den-tre as 51 alturas colocadas em ordem crescente, é igual a 117 cm. Logo, a soma das 26 menores alturas é, no máximo, igual a 26 · 117 = 3042 cm.Desta forma, a média das alturas dos 25 maiores alunos da turma é, no mínimo, igual:6222 3042

253180

25127 2

− = = , cm

11.11. a1a. afirmação: verdadeiraA média das idades é igual a:

X = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ + + + +

16 60 17 50 18 40 19 30 20 50 21 2060 50 40 30 50 20

X = + + + + +960 850 720 570 1000 420250

X = =4520250

18 08,

Dos 250 alunos da escola, exatamente 60 + 50 + 40 = 150 possuem idade abaixo da média (18,08). Assim, o percentual de alunos que possuem idade abaixo da média é igual a:150250

0 60 60= =, %

Logo, exatamente 60% dos alunos possuem idade abaixo da média dessa distribuição.2a. afirmação: verdadeira40 30 50 20

2500 56 56

+ + + = =, %

Portanto, o percentual de alunos dessa escola cuja idade é maior ou igual a 18 anos é 56.3a. afirmação: verdadeira

X anos=⋅ + ⋅ + ⋅

+ += ≅ ≅

16 60 17 50 18 40

60 50 40

2530

15016 87 17,

Desta forma, a média de idade aproximada (em anos) dos alunos cuja idade é menor ou igual a 18 anos é 17.

11.12. dDispondo os valores salariais em ordem crescente, em reais, temos:(80; 80; 85; 90; 95; 100; 100; 100)O salário médio, em reais, é igual a:

X = + + + + + + +80 80 85 90 95 100 100 1008

X = =7308

91 25,

O salário mediano é igual à média aritmética dos dois valores cen-trais da sequência ordenada (4o. e 5o. valores). Logo, a mediana, em reais, é igual a:

Me = + =90 952

92 50,

A moda salarial é o valor mais frequente entre os salários, ou seja, Mo = 100,00.

11.13. eComo n é natural e diferente dos elementos que compõem o con-junto, existem 3 possibilidades quanto ao valor de n.

• 1a. possibilidade: 0 ≤ n < 5 ⇒ X Me= = 6n+ + + + =5 6 10 11

56

n+ =32 30

n = −2 (não convém, pois n ∈ IN)

• 2a. possibilidade: 6 < n < 10 ⇒ X Me n= =n

n+ + + + =5 6 10 11

5n n+ =32 5

n = 8

• 3a. possibilidade: n > 11 ⇒ X Me= = 10n+ + + + =5 6 10 11

510

n+ =32 50

n = 18

Portanto, a soma dos valores de n é igual a 8 + 18 = 26.11.14. e

O custo médio por frasco de medicamento a ser usado no referido procedimento, em reais, é igual a:

X = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅+ + + +

9 00 20 3 00 30 2 70 10 1 00 18 5 70 3020 30 10 18 30

, , , , ,

X = + + + +180 00 90 00 27 00 18 00 171 00108

, , , , ,

X = 486 00108

,

X = 4 50,

11.15. a• Média aritmética:

X = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅700 00 8 900 00 5 1400 00 1 2000 00 7 2400 00 5 3000 00, , , , , , 118 5 1 7 5 1+ + + + +

X = =40500 0027

1500 00,

,

• Mediana:

Em 27 valores, a mediana é igual ao termo central (14o. valor). Logo, a mediana é igual a 1400,00 reais. • Soma da média com a mediana:A soma da média aritmética com a mediana é igual a 1500,00 + 1400,00 = 2900,00.

11.16. a

Empresas1o.

dia2o.

dia3o.

dia4o.

dia5o.

diaMédia Mediana Moda

TOM 7 8 7 6 7 7 7 7

OLÁ 8 10 9 8 5 8 8 8

SIM 6 6 8 6 9 7 6 6

EXPERT 4 6 4 7 4 5 4 4

Média diária

6,25 7,50 7,00 6,75 6,25 6,75

I. VerdadeiraA empresa com a maior média dos números de ligações não completadas foi a OLÁ, com 8 ligações não completadas.

II. VerdadeiraA empresa com a menor moda dos números de ligações não completadas foi a EXPERT. A moda da EXPERT foi igual a 4.

III. Verdadeira


Com 7,50 ligações não completadas, o 2o. dia foi o que apresen-tou a maior média dos números de ligações não completadas.

IV. FalsaA mediana dos números de ligações não completadas pelos usuários da empresa TOM (7) não é menor do que a mediana dos números de ligações não completadas pelos usuários da empresa SIM (6).

11.17. cA moda do conjunto é igual a 8, independente do valor de m, pois 8 é o valor mais frequente. Excetuando-se o valor de m, o conjunto ordenado com seis elementos seria:(8, 8, 8, 10, 13, 16)

Se m > 12, necessariamente o termo central (4o. termo) é igual a 10, ou seja, a mediana é igual a 10. Se a moda (8), a mediana (10) e a média são termos consecutivos de uma progressão aritmética, então a razão da progressão é igual a 2 e a média aritmética é igual a 12.Portanto:

Xm= + + + + + +8 8 8 10 13 16

7

1263

7= +m

84 63= +m

m = 21 11.18. d

I) A mediana das idades das mães das crianças nascidas em 2009 pertence ao intervalo 25 30 pois, em porcentagem, 0,8 + 18,2 + 28,3 < 50 e 0,8 + 18,2 + 28,3 + 25,2 > 50Assim, a mediana não é obrigatoriamente maior que 27 e não pode ser menor que 23, o que torna as alternativas (a) e (b) falsas.

II) A mediana das idades das mães das crianças nascidas em 1999 pertence ao intervalo 20 25 pois, em porcentagem, 0,7 + 20,8 < 50 e 0,7 + 20,8 + 30,8 > 50Assim, a mediana não é maior que 25 e a alternativa (c) é falsa.

III) Desprezando a classe das idades das mães cujas idades são infe-riores a 15 anos, superiores a 40 anos ou não foram declaradas, é possível construir a tabela seguinte.

Faixa etáriaPonto médio

Porcentagens

1999 2004 2009

15 20 17,5 20,8 19,9 18,2

20 25 22,5 30,8 30,7 28,3

25 30 27,5 23,3 23,7 25,2

30 35 32,5 14,4 14,8 16,8

35 40 37,5 6,7 7,3 8,0

Total 96 96,4 96,5

De 15 a quase 40 anos, em 2004, a média das idades das mães é:2445 596 4

25 37,

,,≅ . Considerando-se que a quantidade de mães

com mais de 40 anos é maior que a quantidade de mães com

menos de 15 anos, a média das idades das mães que têm idades declaradas é, na realidade, maior que 25,37 e, portanto maior que 22 anos.

IV) Analogamente, pode-se concluir que a média das idades das mães das crianças nascidas em 1999 foi superior a 25 anos e, portanto, a alternativa (e) é falsa.

11.19. R$ 20,00O valor médio pago pelo cliente, em reais, pelo rodízio na semana, é igual à média aritmética dos preços unitários do rodízio, pondera-dos pela quantidade de dias considerados em cada um deles:

X =⋅ + ⋅

+18 50 4 22 00 3

4 3

, ,

X =+74 00 66 00

7

, ,

X = 140 007,

X = 20 00,

Logo, o valor médio que esse cliente pagou, em reais, pelo rodízio nessa semana, foi igual a R$ 20,00.

11.20. a) 12.664,37 (aproximadamente).No período considerado temos, de acordo com os dados das tabelas, que• a média dos casos de dengue, por unidade federativa da

região Centro-Oeste, é igual a 20.244, pois80 976

420 244

.. ;=

• a média dos casos de dengue, por unidade federativa do Brasil, é aproximadamente igual a 7.579,63, pois

204 650

277 579 63

.. , .=

Portanto a diferença entre as médias é aproximadamente igual a: 20.244 – 7.579,63 = 12.664,37

b) Mato Grosso, Mato Grosso do Sul e Goiás.De acordo com as informações fornecidas, é considerado epi-demia quando a incidência é maior do que 300 casos a cada 100 mil habitantes, o que corresponde a 0,3% da população. Calculando-se a porcentagem da população que foi acometi-da pela dengue em cada unidade federativa do Centro-Oeste, obtém-se:

Mato Grosso do Sul: p142 015

2 587 2691 62= ≈

.

. ., %≈ 1,62%

Mato Grosso: p 210 765

3 182 1130 34= ≈

.

. ., % ≈ 0,34%

Goiás: p 327 376

6 434 0480 42= ≈

.

. ., % ≈ 0,42%

Distrito Federal: p 4820

2 789 7610 03= ≈

. ., % ≈ 0,03%

Assim, as unidades federativas em que ocorreu estado de epide-mia foram Mato Grosso, Mato Grosso do Sul e Goiás.


12.01. eVerifique que média aritmética dos elementos de cada um dos conjuntos é igual a 5. Portanto, dentre as alternativas apresentadas, enquanto não há dispersão no conjunto {5; 5; 5; 5}, onde todos os valores são iguais à média, {0; 10; 0; 10} é o conjunto de maior dispersão.

12.02. bQuanto menor for o desvio padrão dos pontos obtidos por um candidato, mais regular será a pontuação desse candidato. Portanto, de acordo com os dados da tabela, Marco foi mais bem classificado que Paulo, nesse concurso, pois, dos dois, foi Marco quem obteve menor desvio padrão.

12.03. d01) Correto.

O desvio padrão das médias dos alunos da turma B é o maior das três turmas. Logo, as notas dos alunos dessa turma se apresentaram mais heterogêneas.

02) Correto.O desvio padrão é diferente para cada uma das turmas. Logo, as médias das três turmas, mesmo sendo iguais, tiveram variações diferentes.

03) Incorreto.As notas da turma A se apresentaram menos dispersas em torno da média, pois essa turma obteve o menor desvio padrão.

12.04. da) Incorreto.

Quanto mais próximo de zero é o desvio padrão, mais homogênea é a distribuição dos valores da variável.b) Incorreto.

Se todos os valores da variável são iguais, ou seja, se não há variação, então não há desvio e a variância (média aritmética dos quadrados dos desvios) é igual a zero. Logo, o desvio padrão (raiz quadrada da variância) também é igual a zero.

c) Incorreto.O desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância. Logo, quanto maior for a variância, maior será o desvio padrão.

d) Correto.Quanto mais próximo de zero é o desvio padrão, mais homogênea é a distribuição dos valores da variável.

12.05. bA amplitude é igual à diferença entre o maior e o menor valor da distribuição de valores. Portanto, de acordo com a tabela:

Amplitude Amplitude= − ⇒ =5 0 5

12.06. dCálculo da média aritmética:

M

M

a

a

=+ + +

= =

16 22 25 26

489

422 25,

Cálculo da variância:

V

V

=− + − + − + −

=−

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( ,

16 22 25 22 22 25 25 22 25 26 22 25

4

6 25

2 2 2 2

)) ( , ) , ,

,

, ,

2 2 2 20 25 2 75 3 75

460 75

415 1875 15 19

+ − + +

=

= ⇒ ≅

V

V V

12.07. aI. Verdadeira

X =+ + + + + +

= =3 4 6 9 5 7 8

7

42

76

II. Verdadeira

V =−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )3 6 4 6 6 6 9 6 5 6 7 6 8 6

7

2 2 2 2 2 2 2

V =+ + + + + +

=9 4 0 9 1 1 4

74

III. Falsa

Dp V= = =4 2

12.08. cCálculo da média:

X =+ + + +

= =32 34 27 29 28

5

150

530

Aula 12


Cálculo da Mediana:Os cinco valores colocados em ordem crescente formam a sequência (27, 28, 29, 32, 34). O termo central é igual à mediana, ou seja, Me = 29.Cálculo da Variância:

V =−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( )32 30 34 30 27 30 29 30 28 30

5

2 2 2 2 2

V = =345

6 8,

12.09. e Cálculo da média:

X =+ + +

= =33 36 37 34

4

140

435 mm

Cálculo do desvio padrão:

Dp=−( ) + −( ) + −( ) + −( )33 35 36 35 37 35 34 35

4

2 2 2 2

Dp=+ + +4 1 4 1

4

Dp= = ≅ =10

4

10

2

3 16

21 58

,,

12.10. a1. Verdadeira.

A média de batimentos cardíacos por minuto é dada por:

X = + + + + + + = =125 130 150 125 165 150 1357

9807

140

2. Falsa.Nenhuma frequência cardíaca está abaixo de 125.

3. Verdadeira.O desvio padrão dos batimentos cardíacos por minuto é dado por:

Dp =−( ) + −( ) + −( ) + −( ) + −( ) +125 140 130 140 150 140 125 140 165 1402 2 2 2 2 1150 140 135 140

7

2 2−( ) + −( )

Dp =+ + + + + +225 100 100 125 625 100 25

7

Dp = 14007

Dp = 200

Dp = ⋅2 10 2

Dp = 10 2

Dp ≅ ⋅10 1 41,

Dp ≅ 14 1,

12.11. aO desvio padrão do conjunto {5822, 6634, 6586, 5892, 5811, 6093, 6331} é dado por:

R =−( ) + −( ) + −( ) + −( ) +5822 6167 6634 6167 6586 6167 5892 6167 58112 2 2 2 −−( ) + −( ) + −( )6167 6093 6167 6331 6167

7

2 2 2

Elevando ao quadrado ambos os membros, temos:

R 22 2 2 2 2 2 2

2

345 467 419 275 356 74 1647

= + + + + + +

R 22 2 2 2 2 2 2345 467 419 275 356 74 164

7=

+ + + + + +

7 345 467 419 275 356 74 1642 2 2 2 2 2 2 2R = + + + + + +

12.12. V – F – V

1a. afirmação: Verdadeira.Os valores em progressão aritmética seriam (6093, 6331, 6569, 6807). A razão seria igual a 6331 – 6093 = 238.

2a. afirmação: Falsa.6331 5811

58110 089 8 9

− ≅ =, , %


3a. afirmação: Verdadeira.A média informada no texto é igual a 6167. Ordenando os sete valores, temos:(5811, 5822, 5892, 6093, 6331, 6586, 6634)O termo central (4o. termo) é igual à mediana, ou seja, Me = 6093.Logo, a medidana é inferior à média aritmética.

12.13. V – F – V

1a. afirmação: Verdadeira.A razão da P.A. seria igual a 46 – 58 = –12. Desta forma, a sequência dos lançamentos, de 1998 até 2202, seria (94, 82, 70, 58, 46), cuja soma é igual a 350.

2a. afirmação: Falsa.A média é dada por:

X =+ + + + + + + + +

= =58 46 63 48 53 62 63 63 73 71

10

600

1060

A moda é o valor mais frequente, ou seja, 63. Portanto, a moda não é inferior à média aritmética.

3a. afirmação: Verdadeira.Ordenando-se os 10 valores, temos (46, 48, 53, 58, 62, 63, 63, 63, 71, 73). A mediana é igual à média aritmética entre os valores centrais (5o. e 6o. valores):

Me =+

=62 63

262 5,

Logo, a mediana é inferior a 63.12.14. b

O desvio padrão — σ — é dado por:

σ =−( ) + −( ) + −( ) ⋅ + −( ) + −( ) + −( ) +58 60 46 60 63 60 3 48 60 53 60 62 602 2 2 2 2 2 773 60 71 60

10

2 2−( ) + −( )

σ =+ + + + + + +4 196 27 144 49 4 169 121

10

σ = 71410

σ = 71 4,

Observe que 8 3 68 89 71 4 73 96 8 62 2, , , , ,= < < = , logo:

8 3 71 4 8 62 2, , ,< <8 3 8 6, ,< <σ

12.15. ea) Falsa.

O conjunto ordenado de 2000 a 2006 é dado por: (3,14; 5,69; 5,97; 7,60; 7,67; 9,30; 12,53).A mediana é o 4o. termo (valor central), ou seja, Me = 7,60%.

b) Falsa.O conjunto ordenado dos 14 índices de inflação de 2000 a 2013 é dado por:(3,14; 4,31; 4,46; 5,69; 5,84; 5,90; 5,91; 5,91; 5,97; 6,50; 7,60; 7,67; 9,30; 12,53)Exatamente 5 dos 14 índices são maiores 6,48%. Logo, em menos da metade dos anos, a inflação foi superior a 6,48%.

c) Falsa. A média aritmética entre as inflações máxima e mínima é dada por:3 14 12 53

215 67

27 835

, , ,,

+ = = %

d) Falsa.• Média aritmética dos índices de inflação de 2000 a 2006:

X

X

=+ + + + + +

= ≅

5 97 7 67 12 53 9 30 7 60 5 69 3 14

75190

77 41

, , , , , , ,

,, %

O desvio médio desses índices é, aproximadamente, igual a:

Dm ≅− + − + − + − + − +5 97 7 41 7 67 7 41 12 53 7 41 9 30 7 41 7 60 7 41 5 69, , , , , , , , , , , −− + −

≅− + + + + + − + −

7 41 3 14 7 41

71 44 0 26 5 12 1 89 0 19 172 4 27

7

, , ,

, , , , , , ,D m

DD

D

m

m

≅+ + + + + +

≅ ≅

1 44 0 26 5 12 1 89 0 19 172 4 27

714 89

72 13

, , , , , , ,

,, %


• Média aritmética dos índices de inflação de 2006 a 2013:

X

X

=+ + + + + + +

= ≅

3 14 4 46 5 90 4 31 5 91 6 50 5 84 5 91

84197

85 25

, , , , , , , ,

,, %

O desvio médio desses índices é, aproximadamente, igual a:

Dm ≅− + − + − + − + − + −3 14 5 25 4 46 5 25 5 90 5 25 4 31 5 25 5 91 5 25 6 50, , , , , , , , , , , 55 25 5 84 5 25 5 91 5 25

82 11 0 79 0 65 0 94 0 66 1

, , , , ,

, , , , ,

+ − + −

≅− + − + + − + +

Dm,, , ,

, , , , , , , ,

25 0 59 0 66

82 11 0 79 0 65 0 94 0 66 1 25 0 59 0 66

8

+ +

≅+ + + + + + +

D m

DDm ≅ ≅7 65

80 96

,, %

Portanto, o desvio médio dos índices de inflação de 2000 a 2006 não é quase igual ao desvio médio dos índices de inflação de 2006 a 2013, pois 5,25% é relativamente maior do que 0,96%.

e) Verdadeira• Média aritmética dos índices de inflação de 2010 a 2013:

X

X

=+ + +

= =

5 91 6 50 5 84 5 91

424 16

46 04

, , , ,

,, %

• Média aritmética dos índices de inflação de 2000 a 2009:

X

X

=+ + + + + + + + +

=

5 97 7 67 12 53 9 30 7 60 5 69 3 14 4 46 5 90 4 31

1066

, , , , , , , , , ,

,,, %

57

106 657=

Portanto, a média aritmética dos índices de inflação de 2010 a 2013 é menor do que a de 2000 a 2009, pois 6,04% < 6,657%.12.16. F – F – V – V – F

00) Falsa.A moda da série é 54.

01) Falsa.

Em 9 valores, a mediana é igual ao 5o. valor (central), quando a série é colocada em ordem crescente ou decrescente. Logo, a mediana é igual a um valor da série.

02) Verdadeira.A média aritmética da série é dada por:

X =+ + + + + + + +

= =37 54 65 48 84 56 54 82 69

9

549

961

Os quatro registros da série que são maiores que 61 são 65, 84, 82 e 69.03) Verdadeira.

A média aritmética da série é igual a 61.A amplitude total da série é igual à diferença entre o maior e o menor número:84 – 37 = 47Portanto, a amplitude total da série numérica é menor que a correspondente média.

04) Falsa.Os gráficos de setores são utilizados para representar variáveis nominais, não variáveis numéricas como é o caso da série. Além disso, caso se, realmente, representasse os valores da série em um gráfico de setores, exatamente oito setores teriam as mesmas medidas de ângulos centrais, uma vez que esses oito valores da série ocorrem com a mesma frequência (cada um deles ocorre uma única vez). Já o setor correspondente à moda, que ocorre duas vezes, teria ângulo central com medida igual ao dobro das medidas dos demais.

12.17. cO salário esperado é a média aritmética dos salários, ou seja:

µ =⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

+ + +=

300 0 3 400 0 4 500 0 2 600 0 1

0 3 0 4 0 2 0 1410

, , , ,

, , , ,

O desvio padrão é dado por:

σ =−( ) ⋅ + −( ) ⋅ + −( ) ⋅ + −( ) ⋅300 410 0 3 400 410 0 4 500 410 0 2 600 4102 2 2 2, , , 00 1

0 3 0 4 0 2 0 1

,

, , , ,+ + +

σ = + + +3630 40 1620 36101

σ = 8900


σ ≅ 94 34,

Logo, 90 < σ < 100.12.18. a

A média aritmética da distribuição inicial de massas é dada por:

X =⋅ + ⋅ + ⋅

+ += =

3 2 4 3 6 1

2 3 1

24

644 kg

O desvio padrão da distribuição inicial de massas é dado por:

Dp kg=−( ) ⋅ + −( ) ⋅ + −( ) ⋅

+ += = =

3 4 2 4 4 3 6 4 1

2 3 166

1 12 2 2

Como a média da distribuição inicial é igual a 4 kg, acrescentando-se qualquer quantidade de objetos de massa 4 kg, a média não sofrerá alteração, permanecendo com o mesmo valor igual a 4 kg. O acréscimo de n objetos, cada um de massa igual a 4 kg, faz com que o desvio padrão se reduza

à metade, ou seja, o desvio padrão da nova distribuição será igual a 12

. Desta forma, considerando-se o acréscimo dos n objetos de massa 4 kg, tem-se:

1

2

3 4 2 4 4 3 6 4 1

2 3 1

2 2 2

=−( ) ⋅ + −( ) ⋅ +( ) + −( ) ⋅

+ +( ) +n

n

1

2

6

6=

+n

Elevando-se ao quadrado ambos os membros da igualdade, tem-se:

1

2

6

6

2 2

=+

n

1

4

6

6=

+n

n + 6 = 24n = 18

12.19. a) A média dos salários dos trabalhadores, em reais é dada por:

Ma=⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

=500 10 1000 5 1500 1 2000 10 5000 4 10500 1

312000

Como são 31 funcionários (quantidade ímpar), a mediana é igual ao termo central (16o. salário em ordem crescente). Logo, a mediana é igual a 1 500 reais.

b) Considerando-se 31 funcionários, a média aritmética é igual a 2 000 reais. Se cada um dos dois novos funcionários ganha 2 000 reais, conclui-se que a média aritmética dos 33 funcionários continuará a ser 2 000 reais.

Ma=⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

=500 10 1000 5 1500 1 2000 12 5000 4 10500 1

332000

Assim, com 33 funcionários, a soma dos quadrados dos desvios em relação à medida aritmética é a mesma que a soma dos quadrados dos desvios considerando-se 31 funcionários. Por outro lado, o denominador do quociente no caso com 33 funcionários é maior do que com 31:

V31

2 2 2500 2000 10 1000 2000 5 1500 2000 1 2000 200=

− ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + −( ) ( ) ( ) ( 00 5000 2000 4 10500 2000 1

500 2000 10

2 2 2

33

2

) ( ) ( )

( )

⋅ + − ⋅ + − ⋅

=− ⋅

1031

V++ − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + −( ) ( ) ( ) (1000 2000 5 1500 2000 1 2000 2000 5000 20002 2 2 12 )) ( )2 24 10500 2000 1⋅ + − ⋅

33Portanto, a variância, considerando-se 33 funcionários, ficará menor. Ou seja, V33 < V31.

12.20. a) Organizando em uma tabela de frequências, temos:

Idade Frequência

16 6

20 2

23 4

Total 12

b) A moda é o valor mais frequente da distribuição, ou seja, Mo = 16 anos.Como a quantidade de valores é 12, ou seja, representada por um número par, a mediana é igual à média aritmética das idades dos valores que

ocupam a 6a. e 7a. posições, pois tais posições são as posições centrais. O 6o. valor é igual a 16 anos e o 7o. valor é igual a 20 anos. Logo, a mediana é igual a:

Me =+

= =16 20

2

36

218 anos

A média aritmética pode ser calculada ponderando-se cada idade pela frequência correspondente:

X anos=⋅ + ⋅ + ⋅

+ += =

16 6 20 2 23 46 2 4

22812

19


c) A variância da distribuição de frequências de idades é dada por:

V =−( ) ⋅ + −( ) ⋅ + −( ) ⋅

+ +16 19 6 20 19 2 23 19 4

6 2 4

2 2 2

V = =12012

10 anos2

O desvio padrão é igual à raiz quadrada da variância, ou seja:

Dp = ≅10 3 2, anos

12 PBExtensivo Terceirão – Matemática 4B Extensivo Terceirão – <disciplina> <numdisciplina>

10.01. cDeterminante da matriz de Vandermonde:det( ) ( ) ( ) ( )

det( )

det( )

V a a a a a a

V a a a

V a

= − ⋅ − ⋅ −= ⋅ ⋅

=

2 3 3 2

2

2 3

10.02. dO primeiro membro da desigualdade é o determinante de uma matriz de Vandermonde.( ) ( ) ( x)

( )

x

x x x

x x x

− ⋅ − ⋅ − ≥

⋅ − − + ≥

− + − ≥ ⇒ ≤ ≤

1 3 1 3 0

2 3 3 0

4 3 0 1 3

2

2

A soma das soluções inteiras da inequação é:1 + 2 + 3 = 6

10.03. cUsando a regra de Chió, temos:

6 0 7

2 2 0

8 2 11

1

6 0 7

2 2

2

2 1 3

1

3

2 2 1 2 3 2

2 11 2 3−

−

⋅ − ⋅ ⋅⋅ −

−

= − ⋅− − −

− −+( )

( )

( ) (−− ⋅ − ⋅ −⋅ − ⋅ ⋅

−− − − −

=

= − ⋅ = −

1 1 3 1

2 3 1 3 3 3

0

8 2 11

1

2 2 1

4 1 3

2 1 2

1

) ( ) ( )

( )

( ) ( )⋅⋅ + + − − − =( )4 12 4 2 16 6 4

Portanto, o valor do determinante é um número inteiro divisor de 8. 10.04. a

Multiplicamos a quarta linha por –1 e somamos com a terceira.

4 8 0 13

2 5 0 7

3 6 2 10

2 3 2 5

4 8 0 13

2 5 0 7

5 9 0 15

2 3 2 5− − −

=

− − −

Usando o teorema de Laplace, temos:4 8 13

2 5 7

5 9 15

2 3 5

2 1

4 8 13

2 5 7

5 9 15

2

4 8 13

2 5 7

5 9 15

0

0

0

2

4 3

− − −

= ⋅ − ⋅ = − ⋅+( )

Multiplicamos a segunda linha por –2 e somamos com a primeira e com a terceira.

− ⋅ = − ⋅− −

−=

= − ⋅ − + + + =

2

4 8 13

2 5 7

5 9 15

2

0 2 1

2 5 7

1 1 1

2 14 2 5 4 6( )

Aula 1010.05. b

Usando a regra de Chió, temos:

1 1 1 1

1

1

1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1

2 2 2

2 3 3

2 3 4

1

2 2 2

2 3 3

2

1 1= − ⋅− − −− − −−

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅+( )

⋅⋅ ⋅ ⋅− −=

= = + + − − − =

1 1 1 1 13 4

1 1 1

1 2 2

1 2 3

6 2 2 2 3 4 1

10.06. eUsando a regra de Chió, temos:

7 2 3

1

1

1

7 1 2 1 3 1

7 1 2 1 3 1

7

1

5 3 2

6 2 4

7 1 6

1

5 3 2

6 2 4

7

1 3= − ⋅− − −− − −−

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅+( )

⋅⋅ ⋅ ⋅− −=

=− −−

−= − + − =

1 2 1 3 11 6

2 1 1

1 0 1

0 1 3

1 3 2 0

10.07. d

sen sen sen

sen sen sen

sen sen sen

π π π

π π π

π π

21

612

32

1

1 1 1

2 632

2 62 2

= = = −

22 22

232

1 1 1

112

1

112

1

1 1 1

112

1

114

1

12

114

12

1

π

= −

−

=

= − = − + − − +

( )

114

32

= −

10.08. dUsando a regra de Chió, temos:

2

1

1 3 4

3

7 10

1 2 3

5 9 13

3

1

2 7 6 10 8

1 1 2 3 3 4

5 3 9

1

3 1

x

x

− − −= −

− ⋅− − −+ − + − +− −

+( )

99 13 12

3

2 1 2

2 1 1

2 0 1

3 2 2 4 2 3 3

−= −

−= − ⇒ − + − − = − ⇒ =

x

x x

Resoluções 4CMatemática

1Extensivo Terceirão – Matemática 4C

10.09. bMultiplicando a terceira coluna por –1 e somando com a quarta, temos:2 3 2 1

3 2 4 1

2 4 3 1

4 3 2 0

−


2 3 2

1

1

0

1

3 2 4

2 4 3

4 3 2

1

3 2 2 3 4 2

2 2 4 3 3 2

4 0 3 0 2 0

1

1 4− = − ⋅+ + +− − −− − −

=

= −

+( )

( )) ( ) ( )⋅ = − ⋅ + − − =5 5 6

0 1 1

4 3 2

1 10 20 24 15 9

10.10. 12Determinante da matriz de Vandermonde:det( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

det(V)

V = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3

1 2 1 3 2⋅⋅=

1

12det( )V

10.11. aO primeiro membro da equação é o determinante de uma matriz de Vandermonde.(2 1) (sen2x 1) (sen2x 2) 0

sen2x 1 0 ou sen2x 2 0

sen2x 1ou sen2x 2

sen2x 1

sen2x 2 (não existe solução real)

− ⋅ − ⋅ − = ⇒⇒ − = − = ⇒⇒ = =

==

Como 0 ≤ ≤x π, a solução da equação sen x2 1= é:

22 4

x x= ⇒ =π π

10.12. aMultiplicamos a primeira linha por –1 e somamos com a segunda, com a terceira e com a quarta.x

x x

x x x

x x x x

x

x

x x

x x x

1 2 3

4 5

6

1 2 3

0 1 2 2

0 1 2 3

0 1 2 3

=−− −− − −

Multiplicamos a segunda linha por –1 e somamos com a terceira e com a quarta.x

x

x x

x x x

x

x

x

x x

1 2 3

0 1 2 2

0 1 2 3

0 1 2 3

1 2 3

0 1 2 2

0 0 4 1

0 0 4 5

−− −− − −

=−

−− −

Multiplicamos a terceira linha por –1 e somamos com a quarta.x

x

x

x x

x

x

x

x

1 2 3

0 1 2 2

0 0 4 1

0 0 4 5

1 2 3

0 1 2 2

0 0 4 1

0 0 0 6

−−− −

=−

−−

Assim:det

( ) ( ) ( )

A

x

x

x

x

x x x x

x ou x

=

−−

−

=

⋅ − ⋅ − ⋅ − == =

0

1 2 3

0 1 2 2

0 0 4 1

0 0 0 6

0

1 4 6 0

0 11 4 6ou x ou x= =

O conjunto solução da equação é {0, 1, 4, 6}.

10.13. 15 (01, 02, 04, 08)01) CORRETO

det( ) ( )A = = ⋅ − ⋅ = − =+

1 0 2 5

4 0 8 3

1 2 2 11 1

1 0 2

4 0 8

1 2 2

16 16 0

0 0 0 1

4 4

02) CORRETOO determinante de uma matriz triangular é o produto dos ele-mentos da diagonal principal.

A

b c

e A a d f

a

d

f

=

⇒ = ⋅ ⋅0

0 0

det( )

04) CORRETOO determinante de qualquer matriz quadrada é igual ao deter-minante da sua transposta.

08) CORRETO

A A

A n n

=

⇒ = ⋅ − ⋅ =

= =

1 2

0 11 1 2 0 1

1 1

det( )

[det( )]

16) INCORRETO

Asena a

a senaA sena sena a a

A

=

⇒ = ⋅ − ⋅

⇒

cos

cosdet( ) cos cos

det( ) == −sen a a2 2cos

Como cos cos2 2 2a a sen a= − , então det(A) cos= − 2a .

10.14. bMultiplicamos a segunda linha por –2 e somamos com a primeira.

x =

−−−

− − −=

−−

− −

2 4 2 7 8

1 2 1 3 4

3 7 2 10 14

1 1 2 2 3

2 6 1 7 9

0 0 0 1 0

1 2 1 3 4

3 7 2 10 14

1 11 2 2 3

2 6 1 7 9

−

Usando o teorema de Laplace, temos:

x =−−

− − −= ⋅ − ⋅

−−

−+

0 0 0 1 0

1 2 1 3 4

3 7 2 10 14

1 1 2 2 3

2 6 1 7 9

1 1

1 2 1 4

3 7 2 14

11 4( )

−− −1 2 3

2 6 1 9

2 Extensivo Terceirão – Matemática 4C


x = − ⋅ −− −

= − ⋅ − ⋅− − + −

− +

−

−+( ) ( ) ( )1 7 2 14

1 2 3

6 1 9

1 1

7 6 2 3 14 12

1

1 2 1 4

3

1

2

1 1 22 2 1 3 4

6 4 1 2 9 8

1

1 1 2

1 1 1

2 3 1

1 1 2 6 4 1 3 1

− − +− + −

= − ⋅ = − ⋅ + + − − − = −x ( ) ( ) ( )

Portanto, 3 3 1 3x = ⋅ − = −( ) .

10.15. dMultiplicamos a primeira linha por –1 e somamos com a segunda, com a terceira e com a quarta.m

m p

m r

m s

m

p

r

s

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

++

+

=

O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elemen-tos da diagonal principal.Portanto:m

p

r

s

m p r s

1 1 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

= ⋅ ⋅ ⋅

10.16. e1 1 1 1

1 2 2 1 1

1 1 3 2 1

1 1 1 1 2

0+

−

−

=x

x

x

Multiplicamos a primeira linha por –1 e somamos com a segunda, com a terceira e com a quarta.1 1 1 1

0 1 2 0 0

0 0 2 2 0

0 0 0 2

0

1 2 2 2 2 0

1 2 0 2

+

−

−

=

+ ⋅ − ⋅ − = ⇒

⇒ + =

x

x

x

x x x

x ou

( ) ( ) ( )

−− = − = ⇒

⇒ = − = =

2 0 2 0

2 1 2 2 2 0

x x

x x x

ou

ou ou

Supondo que x é um número real, então 2 0x > .Portanto:2 2x =

10.17. cx x

x x x

x x x x x x x x

−−

−= − − − + − + = − +

−− −−

1 2

0 1 1

1

2 2 1 5 1

2 1 0

2 2 1

4 3 1

0

1

2

1

2 2 2 2

11 1 2

1

2 0 1 0 0 0

2 1 2 1 1 2

4 2 3 2 1 4

1

2 1 0

1

4 1

−

= − ⋅− − − −− − + − −− − + −

=

= − ⋅−−

+( )

( ) 11 3

2 1 3

1 6 6 3 6 3

5 1 3 5 4 0 1 42 2

−− −

= − ⋅ + − − = −

− + ≤ − ⇒ − + ≤ ⇒ ≤ ≤

( ) ( )

x x x x x

10.18. e I. VERDADEIRA

Multiplicamos a primeira linha por 3 e somamos com a terceira. Multiplicamos a primeira linha por –2 e somamos com a quarta.

2 3 1 3

3 4 0 5

5 11 0 7

1 1 0 3

−

− − −

Usando o teorema de Laplace, temos:2 3 3

3 4 5

5 11 7

1 1 3

1 1

3 4 5

5 11 7

1 1 3

1 9

1

0

0

0

1 3

−

− − −

= − ⋅ − ⋅− − −

=

= − ⋅ −

+( ) ( )

( ) ( 99 28 25 55 60 21 16− − + + + =)

Portanto, o determinante é um quadrado perfeito. II. FALSA

det( )

det det

det( )

det det det

3 18

3 18 2

6

6 2

2

A

A A

A B

A B B

t

t t

=

⋅ = ⇒ =

⋅ =

⋅ = ⇒ ⋅ == ⇒ =6 3detB t

Portanto, det detB B t= = 3. III. VERDADEIRA

1 1 1

2 1

6 1

0

2 6 12 0

16 4 4

2

2

x

x

x x x

x x ou x

− =

− + − − + =

= ⇒ = = −

Portanto, os valores de x são inteiros e opostos.10.19. a)

3

2 2

2

2

2

det(A) 0

x 2 0

2 x 6 0

0 6 16x

16x 64x 36x 0

x (4x 25) 0 x 0 e 4x 25 0 ou

x 0 e 4x 25 0

x 0 e 4x 25 0 x 0 e (x 2,5 ou x 2,5) x 2,5

x 0 e 4x 25 0 x 0 e ( 2,5 x 2,5) 2,5 x 0

>

>

− − >

⋅ − > ⇒ > − >

< − <

> − > ⇒ > < − > ⇒ >

< − < ⇒ < − < < ⇒ − < <

Portanto, − < <2 5 0, x ou x > 2 5, . b)

B A C

B

B

= ⋅

=−

−−

⋅

−

=− +− −

2 2 0

2 2 6

0 6 32

3

4

1

6 8

6 8 6

24 ++

= −

32

2

8

56


11.01. ca) FALSA. Duas matrizes nulas que não são do mesmo tipo são di-

ferentes.b) FALSA. Uma matriz admite inversa somente se seu determinante

for diferente de zero.c) VERDADEIRA. A matriz identidade é o elemento neutro na mul-

tiplicação de matrizes.d) FALSA. Existem matrizes quadradas com determinante nulo.e) FALSA. Nem sempre existem os produtos A B⋅ e B A⋅ . Mesmo

que ambos os produtos existam, em geral A B B A⋅ ≠ ⋅ . 11.02. a

A A I

a b

c d

a c b d

a c b d

⋅ =

⋅

=

+ ++ +

−12

6 2

2 1

1 0

0 1

6 2 6 2

2 2

=

+ =+ =

⇒ = = −

+ =+ =

1 0

0 1

6 2 1

2 012

1

6 2 0

2 1

a c

a ca e c

b d

b d

⇒ = − =b e d1 3

Portanto:

A − =−

−

112

1

1 3

11.03. cA A I

a b

c d

a c b d

c d

⋅ =

⋅

=

+ +

−12

1 4

0 2

1 0

0 1

4 4

2 2==

+ ==

⇒ = =

+ ==

⇒ = − =

1 0

0 1

4 1

2 01 0

4 0

2 12

12

a c

ca e c

b d

db e d

Portanto:

A − =−

11 2

012

11.04. aA A I

a b

c d

a c b d

a c b d

⋅ =

⋅

=

+ ++ +

−12

2 1

1 1

1 0

0 1

2 2

=

+ =+ =

⇒ = = −

+ =+ =

⇒ = −

1 0

0 1

2 1

01 1

2 0

11

a c

a ca e c

b d

b db e d == 2

A soma dos elementos da matriz inversa da matriz A é:a b c d+ + + = + − + − + =1 1 1 2 1( ) ( )

Aula 1111.05. e

det( )A = = + − − = −2 1 5

3 4 7

123

0

7 10 20283

373

Portanto:

det( )det( )

AA

− = =−

= −1 1 1373

337

11.06. cdet( )

( ) ( ) ( )

A

x

x

x x x e x

≠

≠

− ⋅ − ⋅ − ≠ ⇒ ≠ ≠

0

1 1 1

2 5

4 25

0

2 5 5 2 0 2 5

2

11.07. aA M I

x

y

x y

x y

⋅ =

⋅−

−

=

− − +− − +

2

1 2

2 6

1

1

1 0

0 1

2 1 2

2 6 2 6

=

− = ⇒ =

− + = ⇒ =

− = ⇒ =

− + = ⇒ =

1 0

0 1

2 1 3

1 2 012

2 6 0 3

2 6 1

x x

y y

x x

y y112

Portanto, xy = ⋅ =312

32

.

11.08. dA B I

p

q

pq

q

⋅ =

⋅

=

+

2

13

014

3 1

0

1 0

0 1

113

04

=

= ⇒ =

+ = ⇒ ⋅ = − ⇒ = −

1 0

0 1

41 4

13

0 413

112

qq

pq p p

Portanto, q p− = − ⋅ −

=12 4 121

125.


11.09. b

Am

A m

A A

AA

=− −

⇒ = − +

= ⋅

= ⋅

−

1

1 11

2

21

1

det( )

det( ) det( )

det( )det( ))

[det( )]

( )

A

m m ou m

m ou m

2

2

2

1 2 1 2 1 2

2 1 2 1

=

− = ⇒ − = − = −

⇒ = + = − +

A soma dos valores de m é ( ) ( )2 1 2 1 2+ + − + = .

11.10. a

bA

cofator a

bA

cofator a

ij ji= ⋅

= ⋅

=

1

1

1 0 1

23 32

det( )( )

det( )( )

det(A) 22 1 0

0 1 1

1 2 3

11 1

2 01 0 2 2

1

323 2

23

= + =

= − ⋅ = − ⋅ − =

=

+cofator a

b

( ) ( ) ( ) ( )

dett( )( )

Acofator a⋅ = ⋅ =32

13

223

11.11. d16 2

161

2

4 2

1

2

2

det( ) det( )

det( )det( )

[det( )] det( )

A A

AA

A A

− =

⋅ = ⋅

= ⇒ = ((pois det(A) )> 0

11.12. b( )

[( ) ]

X A B

X A B

X A B

t

t t t

t

⋅ =

⋅ =

⋅ =Multiplicamos o lado direito de cada membro pela inversa da ma-triz A.X A A B A

X I B A

X B A

t

t

t

⋅ ⋅ = ⋅

⋅ = ⋅

= ⋅

− −

−

−

1 1

1

1

11.13. 19 (01, 02, 16)01) VERDADEIRO

A B I

a b

c d

a b a b

c d c d

⋅ =

⋅

−

=

+ − ++ − +

2

2 1

1 3

1 0

0 1

2 3

2 3

=

+ =− + =

⇒ = =

+ =− + =

1 0

0 1

2 1

3 037

17

2 0

3 1

a b

a ba e b

c d

c d⇒ = − =c e d

17

27

Portanto, b c+ = + −

=17

17

0 .

02) VERDADEIRO

C B C

C B C

t

t

+ ⋅ =−

+

−

⋅

−

+ ⋅ =−

2 4

3 1

2 1

1 3

2 3

4 1

2 4

3 1 +

−

=

−

8 5

10 6

10 9

13 7

04) FALSO

B t =−

2 1

1 3

Como B e B t são diferentes, a matriz B não é simétrica.

08) FALSOSempre é possível multiplicar uma matriz pela sua transposta.

16) VERDADEIRO

B X

a

b

a b

a b

⋅ =−

−

⋅

=

−

− = −+ =

3

2

2 1

1 3

3

2

2 3

3 2⇒ = − =a e b1 1

Portanto, a b+ = − + =1 1 0.

11.14. b1. VERDADEIRA

det(A) cos= − + =sen x x2 21 Como cos 2 x varia de 0 a 1, o determinante da matriz A nunca é negativo.

2. FALSA

A Bsenx

senx

senx

senxA− =

− −

−

−

=

−

≠ −

1

1

0 1

1 0

0

0

3. VERDADEIRAdet( )

cos cos ,

A

x x x k com k

≠

≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠ + ⋅ ∈

0

0 02

2 π π

Se x pertence ao intervalo 02

,π

, então cosx ≠ 0 . Portanto, a matriz A tem inversa.

4. FALSO

A Bsenx

senx

senx

senxA t⋅ =

− −

⋅

−

=

−−

≠

1

1

0 1

1 0

1

1

11.15. a

Seja A

a

b

c

d

− =

1

* * ** * ** * ** * *

a matriz inversa de A.

Assim:A A I

a

b

c

d

⋅ =

⋅

−14

1 1 1 1

1 2 3 4

1 4 9 16

1 8 27 64

* * ** * ** * ** * *

=

+ + + =+ + +

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1

2 3 4

a b c d

a b c dd

a b c d

a b c d

=+ + + =+ + + =

0

4 9 16 0

8 27 64 0

A primeira equação do sistema mostra que a soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa de A é 1.


11.16. c

A

a a a

a a a

a a a

=

=

+ +

+11 12 13

21 22 23

31 32 33

2 2

2

2 1 2 1 3

1 2 2 3

1 1 2

=

° = ° =

= −

2 3 4

1 2 7

1 1 2

405 45 1

32

1

tg tg

senπ

logg log

cotg cotg

log , log

secc

4 43

3

64 4 3

454

54

1

0 001 10 3

1

= =

= =

= = −

=

−

π π

πoos

cos cos

cossec

ππ

=−

= −

= =

° =°

=°

=

=−

11

1

12 0 1

4501450

190

1

1 1

sen sen

B

−−− −

= = + + − − − =

3

1 1 3

1 1 1

2 3 4

1 2 7

1 1 2

8 21 4 8 6 14 5det( )

det(

A

B)) =− −− − = + + − + + =

1 1 3

1 1 3

1 1 1

1 3 3 3 1 3 8

C A B

C A B

C

CC

= ⋅= ⋅= ⋅ =

= =−

det( ) det( ) det( )

det( )

det( )det( )

5 8 40

1 140

1

11.17. cM M I

a b

c d

a c b d

a b

⋅ =−

⋅

=

− −

=

−12

1 1

2 0

1 0

0 1

2 2

11 0

0 1

1

2 00 1

0

2 112

12

1

− ==

⇒ = = −

− ==

⇒ = =

=−

a c

aa e c

b d

bb e d

M00

12

112

−

Portanto:

M N M NT⋅ − ⋅ =−

⋅

−

−

−

⋅−

−1 1 1

2 0

2 1

1 3

012

112

2 1

11 3

2 1 1 3

4 2

12

32

212

132

1

⋅ − ⋅ =− − −

−

−

−

− − − +

−M N M NT

⋅ − ⋅ =−

−

−M N M NT 1

32

112

132

52

11.18. 06 (02, 04)01) INCORRETA

23 9 5

17 11 21

3 25 11 7

30 21 35

X Y

X Y

+ =− −

−

+ =− −

−

Multiplicando a primeira equação por –2 e somando com a se-gunda, temos:

− − =−

− −

+ =− −

−

4 26 18 10

34 22 42

3 25 11 7

30 21 35

X Y

X Y

− =−

− −

=− −

−

X

X

1 7 3

4 1 7

1 7 3

4 1 7

02) CORRETAA A I

a b

c d

a c b d

a c b d

⋅ =

⋅

=

+ ++ +

−12

2 1

5 3

1 0

0 1

2 2

5 3 5 3

=

+ =+ =

⇒ = = −

+ =+ =

1 0

0 1

2 1

5 3 03 5

2 0

5 3 1

a c

a ca e c

b d

b d⇒ = − =

=−

−

−

b e d

A

1 2

3 1

5 21

A B t− ⋅ =−

−

⋅

=

−

1 3 1

5 2

1 5

3 9

0 6

1 7

04) CORRETA

x

x

x x

x x x x x

x x x

x x x

1 1

1 2

1

0

2 2 0

2 2 0

2 1 2 0

3 2

3 2

2

− =

− + − − + =

+ − − =

⋅ + − ⋅ + =( ) ( )

(( ) ( )x x

x ou x

x ou x ou x

+ ⋅ − =

+ = − == − = = −

2 1 0

2 0 1 0

2 1 1

2

2

Portanto, o conjunto solução da equação é S = − −{ , , }2 1 1 , con-tido no intervalo [–2, 1].


11.19.

Aa a

a a

sen

sen=

=

+ ⋅ − ⋅− ⋅ +

11 12

21 22

1 1 2 1

1 2 2 2

( ) cos( )

cos( ) (

π ππ ))

cos

cos( )

⋅

=−

=

−−

⋅ =−

π

π ππ π

Asen

sen

A A

2

4

0 1

1 01 II

a b

c d

c d

a b

2

0 1

1 0

1 0

0 1

1 0

0 1

−−

⋅

=

− −− −

=

⇒ = = − = − =a b c e d0 1 1 0, ,

Portanto:

A − =−

−

1 0 1

1 0

11.20.

A

a a a

a a a

a a a

=

=− +− + − +

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 1 1 0 0

2 1 1 2 2 1 0

33 1 1 3 2 1 3 3 1

1 0 0

2 1 0

3 2 1− + − + − +

=

A A I

a b c

d e f

g h i

⋅ =

⋅

=

−13

1 0 0

2 1 0

3 2 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

+ + ++ + + + + +

=a b c

a d b e c f

a d g b e h c f i

2 2 2

3 2 3 2 3 2

1 00 0

0 1 0

0 0 1

1

0

0

2 0 2

2 1 1

2 0

===+ = ⇒ = −+ = ⇒ =+ = ⇒ =

a

b

c

a d d

b e e

c f f 00

3 2 0 1

3 2 0 2

3 2 1 1

a d g g

b e h h

c f i i

+ + = ⇒ =+ + = ⇒ = −+ + = ⇒ =

Portanto:

A − = −−

1

1 0 0

2 1 0

1 2 1

12.01. e3 0

3 14

15 3 14 2

5 1 3

x ky z

k

k k

+ − =⋅ + ⋅ − =− − = ⇒ = −

−( )

12.02. b3 15

4 3 25

x y

x y

+ =+ =

Multiplicando a primeira equação por –3 e somando com a segun-da, temos:

− − = −+ =

− = − ⇒ =

9 3 45

4 3 25

5 20 4

x y

x y

x x

3 15

3 4 15 3

x y

y y

+ =⋅ + = ⇒ =

Portanto, a solução do sistema é (4, 3).12.03. c

2x y z 5

3x 2y z 2

x z 0

x z 0 z x

2x y z 5 2x y ( x) 5 y 5 3x

3x 2y z 2 3x 2 (5 3x) ( x) 2

3x 10 6x x 2 x 1

+ − = − + = − + =

+ = ⇒ = −+ − = ⇒ + − − = ⇒ = −− + = − ⇒ − ⋅ − + − = − ⇒

⇒ − + − = − ⇒ =

Aula 12Assim:z x z

y x y y

x y z

= − ⇒ = −= − ⇒ = − ⋅ ⇒ =+ + = + + − =

1

5 3 5 3 1 2

1 2 1 2( )

12.04. 54 (02, 04, 16, 32)x y

x y

x x

x y y y

+ =− =

= ⇒ =+ = ⇒ + = ⇒ =

7

1

2 8 4

7 4 7 3

01) INCORRETO2 2 4 8x = ⋅ =

02) CORRETO3 3 4 3 15x y+ = ⋅ + =

04) CORRETO− − = − − ⋅ = −x y3 4 3 3 13

08) INCORRETO2 2 3 6y = ⋅ =

16) CORRETOx y2 2 2 24 3 7− = − =

32) CORRETO7 7 1 7⋅ − = ⋅ = = +( )x y x y


12.05. d

D

D

zDD

z

z

= − − = − + − + =

= −−

= + − =

=

1 1 1

2 1 2

0 6 3

3 12 6 12 15

1 1 0

2 1 1

0 6 12

12 24 6 30

== =3015

2

12.06. cx y

x y

x y

x y

x x

x y

2 32 0 3 2 12

3 2 0

3 2 12

6 12 2

3 2 12 3 2

+ − = ⇒ + =

− =+ =

= ⇒ =+ = ⇒ ⋅ + 22 12 3y y= ⇒ =

Portanto, x y+ = + =2 3 5 .

12.07. c

D

D y

=−

− −− −

= + − − =

=−−

− −= − − + +

1 0 5

3 1 5

4 4 3

3 60 20 20 23

1 2 5

3 3 5

4 4 3

9 40 60 60 ++ − =

= = =

18 20 69

6923

3yD

Dy

12.08. d

D

D y

= −−

= + + + + − = −

=−

= − + + − +

4 1 1

3 2 4

2 3 2

16 8 9 4 6 48 5

4 9 1

3 11 4

2 2 2

88 72 6 22 544 32 10

105

2

− = −

= = −−

=yD

Dy

12.09. eSejam x e y, respectivamente, os preços do quilograma de café do tipo I e do tipo II.

2 3 5 4 80

3 2 5 5 20

2 3 24

3 2 26

x y

x y

x y

x y

+ = ⋅+ = ⋅

+ =+ =

,

,

Multiplicando a primeira equação por –2 e a segunda por 3, temos:− − = −

+ =

= ⇒ =+ = ⇒ ⋅ + = ⇒ =

4 6 48

9 6 78

5 30 6

2 3 24 2 6 3 24 4

x y

x y

x x

x y y y

Portanto, o quilograma do café do tipo I custa R$ 6,00 e do tipo II custa R$ 4,00.

12.10. aSomando as três equações, temos:4 4 4 16 15 17

4 4 4 48

12

x y z

x y z

x y z

+ + = + ++ + =

+ + =

Assim:x y z

y x y z

y y

x y z

x x y z

x

+ + =+ + + =+ = ⇒ =

+ + =+ + + =+ =

2 16

16

12 16 4

2 15

15

12

( )

( )

115 3

2 17

17

12 17 5

⇒ =

+ + =+ + + =+ = ⇒ =

x

x y z

z x y z

z z

( )

a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =3 4 5 60

12.11. e

D

D x

= − = − + − − + =

= − = − + − − +

1 1 1

3 4 1

2 3 4

16 2 9 8 12 3 6

6 1 1

8 4 1

20 3 4

96 20 24 80 32 118 6

1 6 1

3 8 1

2 20 4

32 12 60 16 72 20 12

66

1

12

=

= − = − + − − + =

= = =

= =

D

xDD

yD

D

y

x

y

662

6

1 2 6 3

=

+ + =+ + = ⇒ =

x y z

y y

Portanto:

x y z2 2 2 2 21 2 3 1 4 9 14+ + = + + = + + =

12.12. dSejam x, y e z, respectivamente, as quantidades de cédulas de 10, 50 e 100 dólares.

x y z 45 x y z 45

10x 50y 100z 1950 x 5y 10z 195

x 2z x 2z

x y z 45

2z y z 45 y 45 3z

x 5y 10z 195

2z 5 (45 3z) 10z 195

2z 225 15z 10z 195

3z 30 z 10

+ + = + + = + + = ⇒ + + = = =

+ + =+ + = ⇒ = −

+ + =+ ⋅ − + =+ − + =

− = − ⇒ =

Portanto, o valor recebido em notas de 100 foi de 10 100 1000⋅ = dólares.


12.13. bx y z

x y z

x y z

+ + =+ + =+ + =

2 3 36

2 2 36

2 3 42

Subtraindo a segunda equação da terceira, temos:3 2 42 36

6

z z

z

− = −=

Somando as duas primeiras equações, temos:3 3 5 72

3 3 5 6 72

3 3 42

14

x y z

x y

x y

x y

+ + =+ + ⋅ =+ =

+ =

Portantox y z+ + = + =14 6 20

12.14. cSejam a, b e c, respectivamente, os diâmetros dos círculos R, Q e P.Assim:

a b

a c

b c

+ =+ =+ =

12

16

18

Somando as três equações, temos:2 2 2 12 16 18

23

a b c

a b c

+ + = + ++ + =

Assim:12 23 11

16 23 7

18 23 5

+ = ⇒ =+ = ⇒ =+ = ⇒ =

c c

b b

a a

12.15. cSomando as quatro equações, temos:3 3 3 3 1 5 7 4

3 3 3 3 15

5

x y z t

x y z t

x y z t

+ + + = − + + ++ + + =

+ + + =

12.16. a0 3 4 x 134

1 0 5 y 115

2 1 0 z 48

3y 4z 134 3y 4z 134

x 5z 115 x 5z 115

2x y 48 2x y 48

x 5z 115 x 115 5z

2x y 48 2 (115 5z) y 48 y 10z 182

3y 4z 134 3 (10z 182) 4

⋅ =

+ + = + = ⇒ + = + + =

+ = ⇒ = −+ = ⇒ ⋅ − + = ⇒ = −+ = ⇒ ⋅ − +

z 134 z 20= ⇒ =

Portanto:x

y

x y z

= − ⋅ == ⋅ − =+ + = + + =

115 5 20 15

10 20 182 18

15 18 20 53

O total a ser pago pela compra de uma unidade de cada tipo de camisa é R$ 53,00.

12.17. dSejam x, y e z, os preços, em ordem crescente dos três ímãs de geladeira e Q a quantia que Tânia possuía.Assim:

x y z Q

y z Q

x y Q

x z Q

+ + = ++ = −+ = −+ = −

17

2

6 7

4 9

,

,

,

Somando a segunda, a terceira e a quarta equações, temos:2 2 2 3 13 6

2 3 13 6

2 17 3 13 6

2 3 4 3

x y z Q

x y z Q

Q Q

Q

+ + = −⋅ + + = −⋅ + = −

+ =

,

( ) ,

( , ) ,

, QQ

Q

−=

13 6

17

,

Portanto, Tânia possuía R$ 17,00.12.18. c

Somando as três equações, temos:x x y z y x y z z x y z

x y z x y z

( ) ( ) ( )

( ) ( )

+ + + + + + + + = + ++ + ⋅ + + =

2005 2006 2007

60018

2 3 1003

6018 6018

2( )x y z

x y z ou x y z

+ + = ⋅ ⋅

+ + = + + = −

Assim:

xx y z

yx y z

zx y z

=+ +

=

=+ +

=

=+ +

=

2005 20056018

2006 20066018

2007 200760118

ou

xx y z

yx y z

zx y z

=+ +

= −

=+ +

= −

=+ +

= −

2005 20056018

2006 20066018

2007 200776018

Existem 2 ternos de números reais que satisfazem o sistema.12.19. 30

Somamos a primeira equação com a segunda:2 2 1x x= ⇒ =

Somamos a primeira equação com a terceira:2 4 2y y= ⇒ =

Somamos a primeira equação com a quarta:2 6 3z z= ⇒ =

Substituímos os valores de x, y e z na primeira equação:x y z t

t t

+ + + =+ + + = ⇒ =

11

1 2 3 11 5

Portanto:x y z t⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =1 2 3 5 30


12.20. Sendo a e b, respectivamente, os preços dos modelos A e B e Q a quantia de que o negociante dispõe.Assim:

5 2 10000

3 3 29000

8

5 2 8 10000

3 3 8

a b Q

a b Q

b Q

a b b

a b b

+ = ++ = −=

+ = ++ = − 229000

5 6 10000

3 5 29000

− =− = −

a b

a b

Multiplicamos a primeira equação por –3 e a segunda por 5.− + = −

− = −− = − ⇒ =

==

15 18 30000

15 25 145000

7 175000 25000

8

a b

a b

b b

Q b

Q 88 25000

200000

⋅=Q

O negociante dispõe de R$ 200.000,00.


Aula 1010.01. V – V – V – F

(V) Seja x a medida da hipotenusa.x

x

x x cm

2 2 2

2

2

6 8

36 64

100 10

= +

= +

= ⇒ =(V) A hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo, pois se opõe ao maior ângulo interno (ângulo reto). (V) Seja θ a medida de cada ângulo interno de um triângulo retân-gulo isósceles. θ θ θ+ + °= °⇒ = °90 180 45

(F) Seja x a medida do outro cateto.

17 15

289 225

64 8

2 2 2

2

2

= +

= +

= ⇒ =

x

x

x x cm

10.02. c

senx

xx

408

0 648

5 12

° =

= ⇒ =, ,

10.03. aSeja L a medida dos lados de cada quadrado. A área do quintal é a soma das áreas dos 5 quadrados congruentes, ou seja, igual a 5 2⋅L . Usando o teorema de Pitágoras no triângulo BFG, temos: ( ) ( ) ( )

( ) ( )

BG BF FG

L L

L

2 2 2

2 2 2

2

20 2

5 20

= +

= +

=

Portanto, a área do quintal é 20 m2.10.04. b

Seja x a medida do outro cateto.

2 1

4 1

3 3

2 2 2

2

2

= +

= −

= ⇒ =

x

x

x x cm

A área do triângulo retângulo é igual a 1 3

23

22⋅

= cm .

10.05. eTriângulo retângulo BHC:

senBH

BH cm

HCHC cm

304

412

2

304

43

22 3

° = ⇒ = ⋅ =

°= ⇒ = ⋅ =cos

Triângulo retângulo ABC:( )BH AH HC

x

x cm

2

22 2 3

42 3

23

2 33

= ⋅

= ⋅

= = =

10.06. cSendo x – r, x e x + r as medidas dos lados do triângulo retângulo, temos:

x r x x r

x x m

− + + + == ⇒ =

6

3 6 2

Usando o teorema de Pitágoras, temos:( ) ( )2 2 2

4 4 4 4 4

8 412

2 2 2

2 2

+ = − +

+ + = − + +

= ⇒ =

r r

r r r r

r r

− ⋅=

= −

= − = = 2

(2 r) 2Área

2Área 2 r

1 3Área 2 1,5 m

2 2

10.07. 09 (01, 08)01) CORRETO

No triângulo retângulo ABC, temos:

AC km

BC km

AC AB BC

AB AB AB

==

= +

= + ⇒ = ⇒

50

30

50 30 1600

2 2 2

2 2 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) == 40 km O comprimento da estrada que será construída corresponde à

altura do triângulo retângulo ABC, relativa à hipotenusa.

AB BC AC BX

BX BX km

⋅ = ⋅⋅ = ⋅ ⇒ =40 30 50 24

02) INCORRETO

sen BACBCAC

( ) = = =3050

35

sen3012

° =

04) INCORRETO No triângulo retângulo BXC, temos:

BC km

BX km

BC BX XC

XC XC XC

==

= +

= + ⇒ = ⇒ =

30

24

30 24 324

2 2 2

2 2 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 118 km Portanto, a distância XC é menor que 20 km.08) CORRETO No triângulo retângulo BXA, temos:

AB km

BX km

AB BX AX

AX AX AX

==

= +

= + ⇒ = ⇒

40

24

40 24 1024

2 2 2

2 2 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) == 32 km Portanto, a distância AX é maior que 30 km. Observação: Outra possibilidade para determinar a medida AX, conhecendo

a medida XC, é:

AX AC XC

AX km km km

= −= − =50 18 32

Resoluções

1Extensivo Terceirão – Matemática 4D

4DMatemática

10.08. b

h

3 8

h h + 3

Usando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, temos:( )

,

h h

h h h

h h chih

+ = +

+ + = +

= ⇒ =

3 8

6 9 64

6 55556

9 2

2 2 2

2 2

10.09. 2 13 kmObserve a figura que representa a situação descrita.

d

Q

4 km

4 km3 km

1 km

P

2 km

N

S

LO

6 km

Usando o teorema de Pitágoras, temos:d

d

d d km

2 2 2

2

2

6 4

36 16

52 52 2 13

= +

= +

= ⇒ = =10.10. b

Seja x a medida de um cateto, 3x a medida da hipotenusa e y a medida do outro cateto. Usando o teorema de Pitágoras, temos:

( )3

9

8 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

x x y

x x y

y x y x

= +

= +

= ⇒ =Portanto, a razão entre a medida da hipotenusa e a medida do ou-tro cateto é:3 3

2 23

2 222

3 24

xy

xx

= = ⋅ =

10.11. c

A B

D CE

30º

45º

45º

40 h

No triângulo retângulo ABC, temos:

senh h

h cm

ABAC

ABAB cm

3040

12 40

20

303

2 4020 3

° = ⇒ = ⇒ =

°= ⇒ = ⇒ =cos

No triângulo retângulo ADE, temos:AD BC cm

DE AD cm

= == =

20

20

Área do triângulo CAE:

SEC h

EC DC DE

EC cm

S

CAE

CAE

=⋅

= −

= − = ⋅ −

=⋅ − ⋅

2

20 3 20 20 3 1

20 3 1 202

20

( )

( ) 00 17 1 140 2⋅ − =( , ) cm

10.12. a

d x

200 m

150 m

120 m

PN2N1

T

No triângulo retângulo PTN2, temos:150 5 30

120 4 30

m m

m m

= ⋅= ⋅

Assim:x m m= ⋅ =3 30 90

No triângulo retângulo PTN1, temos:200 5 40

120 3 40

m m

m m

= ⋅= ⋅

Assim:d x m

d m m d m

+ = ⋅+ = ⇒ =

4 40

90 160 70

10.13. dSendo L a medida dos lados do quadrado, temos:

L a b2 2 2= + (teorema de Pitágoras)A área da região sombreada é a diferença entre a área do quadrado e a área dos quatro triângulos retângulos congruentes cujos catetos medem a e b.Assim:

S La b

S a b ab

sombreada

sombreada

= − ⋅⋅

= + −

2

2 2

42

2

10.14. bOs triângulos PQH e QPF são congruentes, pois têm ordenadamen-te congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado. Os triângulos BHG e AFG são congruentes, pois têm ordenadamen-te um lado (BH e AF) e os ângulos adjacentes a esse lado.Assim, observe a figura:

P

QFA

G

6 – x

32

B

32

x H

6 – xx

3

2 Extensivo Terceirão – Matemática 4D

Da semelhança dos triângulos AFG e QFP, temos:

= =

= =−

= ⇒ =−

= ⇒ = ⋅

AF AG FGQF QP FP

3x FG2

6 x 3 FP3

x 2 x 2 cm6 x 33

FG2 FP 2 FG3 FP

No triângulo retângulo QFP, temos:

( )FP FP cm2 2 24 3 5= + ⇒ =Assim:FP FG

FG FG cm

= ⋅

= ⋅ ⇒ =

2

5 252

Portanto:

PF FG GH HQ

PF FG GH HQ cm

+ + + = + + +

+ + + =

552

52

5

15

10.15. V – V – V – V – FObserve os triângulos CDB e FDE.

D

B

CE

F

Vamos analisar as proposições:(V) A distância entre A e B é a diagonal de uma face do cubo.AB a

AB cm

=

=

2

6 2

(V) No triângulo retângulo ABD, temos:( ) ( ) (AD)

( ) ( )

( )

BD AB

BD

BD BD cm

2 2 2

2 2 2

2

6 2 6

108 6 3

= +

= +

= ⇒ =

(V) Os ângulos BCD e EFD são retos e os dois triângulos têm um ân-gulo comum (de vértice D). Portanto, os triângulos são semelhantes.

(V) sen FDEBCBD

( ) = = = =6

6 313

33

(F) Da semelhança dos triângulos CDB e FDE, temos:CBFE

DBDE

DECD

cm

FEFE cm

=

= = =

= ⇒ = = ⋅ =

26 2

23 2

6 6 33 2

3 23

3 23

33

6

10.16. a

( ) ( ) ( )

( )

BC AB AC

BC BC m

2 2 2

2 2 23 4 5

= +

= + ⇒ =

Assim:h h h

k

h k

h k

h k

h hh

k kk

kk

1 2 3

1

2

3

2 3

1

5 4 35

4

3

4 3 4 4 3 35

255

5

= = =

===+

=⋅ + ⋅

= =

10.17. 29 (01, 04, 08, 16)Em um período de 12 horas (das 7 horas às 19 horas) o ângulo de incidência varia 180° (de 0° a 180°). Assim, a cada hora o ângulo de incidência varia 15°.01) CORRETO Das 7 horas às 11 horas (4 horas). Assim, o ângulo de incidência é igual a 4 15 60⋅ ° = ° . 02) INCORRETO

Como 9015

6°°= , o ângulo de incidência é reto exatamente às

7 6 13+ = horas. 04) CORRETO Das 7 horas às 10 horas (3 horas). Assim, o ângulo de incidência é igual a 3 15 45⋅ ° = ° . Quando o ângulo de incidência é de 45°, o comprimento da

sombra de um objeto é igual à sua altura.

x

h

45º

No triângulo retângulo isósceles, x h= . 08) CORRETO Sendo α o ângulo de incidência, com 0 90°< < °α , x o compri-

mento da sombra e h a altura de um objeto, temos:

tg

hx

xh

tgα

α= ⇒ =

Portanto, no início do dia, (antes das 13 horas), o comprimento da sombra é inversamente proporcional à tangente do ângulo de incidência.

16) CORRETO Das 7 horas às 9 horas (2 horas). Assim, o ângulo de incidência é igual a 2 15 30⋅ ° = ° .

x

30º

20 m

tgx

x

x m

3020

33

20

603

603

33

20 3

° =

=

= = ⋅ =


Aula 11

10.18. a

A

C B

x2

P3√3

( )

( )

( ) ( )

CP AP PB

x x

x x

x

x

2

2

2

2

2 3 3

3 3 4 0

3 3 3 3 4 1 42 1

= ⋅

= − ⋅

− ⋅ + =

=− − ± − − ⋅ ⋅

⋅

==±3 3 112

Portanto, a maior medida possível do segmento PB é 3 3 11

2+

.

10.19.

B

A C

90º

3

DE

H

h

F

12

20

10

a) Da semelhança dos triângulos ABC e EBD, temos:

Hh= =

153

5

b) Nos triângulos retângulos CBF e ABF, temos:

=

= + ⇒ + =

= + +

= + + +

= + + ⇒ = =

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2

CF x

15 x H x H 225

20 (10 x) H

400 100 20x x H

75 15400 100 20x 225 x

20 4

x H

H

H

H H

2 2

22

2

2

225

225154

22522516

15 22516

15 154

+ =

= −

= −

=⋅

⇒ =

10.20. Sejam L e A, respectivamente, a largura e a altura da tela de TV e k uma constante de proporcionalidade. Assim:

L Ak

L k e A k16 9

16 9

= =

= =Usando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pela largura, pela altura e pela diagonal da TV, temos:

L A

k k

k k

k

k

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

22

37

16 9 37

256 81 37

337 37

37337

+ =

+ =

+ =

=

= ⇒

( ) ( )

kk = =37337

3718 5

2

,

Portanto:L k polegadas

L cm cm

A k polegadas

A

= = ⋅ == ⋅ =

= = ⋅ =

16 16 2 32

32 2 5 80

9 9 2 18

,

== ⋅ =18 2 5 45, cm cm

11.01. d

x

2

2

4

3

4

Usando o teorema de Pitágoras, temos:

x

x x

2 2 2

2

3 4

25 5

= +

= ⇒ =Perímetro do trapézio:5 5 4 2 16+ + + =

11.02. a(V)

α

θ

α

α θ+ = °180 (os ângulos consecutivos são suplementares) (V) Sejam r e s as bissetrizes de dois ângulos opostos de um paralelo-

gramo.

α

α

α


Como os lados opostos de um paralelogramo são paralelos, as retas r e s são paralelas, pois têm a mesma inclinação.

(V) Todo quadrado é um retângulo, pois tem os ângulos internos retos.

Todo quadrado é um losango, pois tem os lados congruentes.11.03. d

I. FALSOExemplo de um quadrilátero que tem as diagonais com compri-mentos iguais e não é um retângulo.

II. FALSOApenas os quadrados são losangos que têm as diagonais com comprimentos iguais.

III. VERDADEIRO

11.04. 96 cm2

No triângulo retângulo AHD, temos:

AHAB cm

cm

AD AH

HD cm

= = =

= +

= + ⇒ =

212

26

10 6 8

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) (HD)

(HD)

Área do paralelogramo:S AB HD

S

S cm

paralelogramo

paralelogramo

paralelogramo

= ⋅

= ⋅

=

12 8

96 22

11.05. d

Seja h a altura do paralelogramo.

10 m

45º

h

20 m

senh

hh m

4510

22 10

5 2

° =

= ⇒ =

Área do paralelogramo:S h

S

S

paralelogramo

paralelogramo

paralelog

= ⋅

= ⋅ ⋅

20

20 5 2 100 1 41 ,

rramo 141 2m

11.06. a

A B

D C

x

x

y

y

z

zz

y 2z

x y z 2z z 3z

AB x y 3z 2z 5z 5BC x 3z 3z 3

== + = + =

+ += = = =

11.07. eComo o segmento CE é bissetriz do ângulo DCB, então os ângulos DCE e BCE são congruentes. Além disso, os ângulos BEC e DCE são congruentes, pois são alternos internos. Assim, o triângulo BCE é isósceles, com BC = BE.

A

5

7

5

52E B

CD

α

α

α

Portanto, o perímetro do paralelogramo é:7 + 5 + 7 + 5 = 24

11.08. cÁrea total do terreno:

S

S m

terreno

terreno

= ⋅

=

40 20

800 2

Sendo x a área interna da casa, em m2, temos:

+ > ⇒ >

< ⇒ <

800x 200 x 200

21500x 450000 x 300

Portanto, a área interna da casa será maior que 200 m2 e menor que 300 m2.

11.09. cMedida dos lados do quadrado maior, em centímetros:x+2

Medida dos lados do quadrado menor, em centímetros:x x+ − = −2 4 2

Assim:

( ) ( )x x x

x x x x x

x

x x cm

− + + + =

− + + + + + =

=

= ⇒ =

2 2 83

4 4 4 4 83

3 75

25 5

2 2 2

2 2 2

2

2

Área do quadrado maior:A x

A

A cm

= +

= +

=

( )

( )

2

5 2

49

2

2

2

11.10. dSejam x e y as medidas dos lados do quadrado preto e do quadrado cinza. Assim:

x x

y y

2

2

81 9

64 8

= ⇒ =

= ⇒ =Com os valores de x e y podemos obter as medidas dos lados de todos os quadrados.


15

15

18

8

32

33

4

7

11

7

8

9

9

10

10

1418

4

Portanto:

ABCD

ABCD

S 33 32

S 1056 unidades de área

= ⋅=

11.11. bSendo x o comprimento original da peça, temos:100 4 96

100 8 92

96100

1 592

10010

7 55

% % %

% % %

,

,

− =− =

⋅ ⋅ ⋅ =x

x

Aproximando a resposta para o inteiro mais próximo, temos que Marta deve comprar 8 metros de tecido.

11.12. bEm um triângulo retângulo isósceles, os ângulos agudos medem 45°. Consequentemente, os triângulos BPS e CQR também são re-tângulos e isósceles. Sendo a medida dos lados do quadrado, temos:

A

CB45º 45º

45º 45º

P Q

S

ℓ

R

ℓ

ℓ ℓ ℓ

Usando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, temos:( ) (AB) ( )

(AB) ( )

(AB)

( )

3

32 2

3

2 8

2 2 2

22 2

2

2

= +

⋅

= +

⋅ =

=

AC

AB

AB 44 2⇒ =AB

11.13. 30 (02, 04, 08, 16)01) INCORRETO A soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero

é igual a 360°.02) CORRETO

B C

x h

r

r r

rr DAO

x

O triângulo OBC é equilátero, em que os lados medem r. Conse-quentemente, os triângulo OAB e ODC também são equiláteros.

Assim:

== + + += + + + =

x r

Perímetro x r x 2r

Perímetro r r r 2r 5r04) CORRETO A área do trapézio é a soma das áreas de três triângulos equiláteros

cujos lados medem r.

= ⋅ =

2 2

trapézior 3 3r 3

S 34 4

08) CORRETO Os lados AB, BC e CD do trapézio medem r.16) CORRETO Os ângulos internos do trapézio com vértices em A e D medem

60°, ou seja, π3

radianos.

11.14. b

Q

M

P

N

D

B

CA

Os segmentos MN e PQ são bases médias dos triângulos ABC e ADC, respectivamente. Assim, são paralelas e medem a metade da diagonal AC.Os segmentos NP e QM são bases médias dos triângulos BCD e BAD, respectivamente. Assim, são paralelas e medem a metade da diagonal BD.Além disso, como as diagonais do losango são perpendiculares en-tre si, os ângulos internos do quadrilátero MNPQ são retos.Como ABCD não é um quadrado, pois um dos seus ângulos inter-nos é agudo, as diagonais AC e BD têm medidas distintas.Portanto, o quadrilátero MNPQ é um retângulo, mas não é um qua-drado, ou seja, não é um losango.

11.15. eSe α = °60 , o losango ABCD é formado por dois triângulos equiláteros. Sendo L a medida dos lados desse losango, temos:

LBD L NP QM

2L 3 L 3

AC 2 L 3 MN PQ2 2

Perímetro(ABCD) AB BC CD DAPerímetro(MNPQ) MN NP PQ QM

Perímetro(ABCD) L L L LPerímetro(MNPQ) L 3 L L 3 L

2 2 2 2

= ⇒ = =

= ⋅ = ⇒ = =

+ + +=+ + +

+ + +=+ + +


Perímetro(ABCD) 4LPerímetro(MNPQ) L ( 3 1)

Perímetro(ABCD) 4 ( 3 1) 4 ( 3 1)2 3 2

Perímetro(MNPQ) 3 1( 3 1) ( 3 1)

=⋅ +

− ⋅ −= ⋅ = = −−+ −

11.16. e

E

FGA

6 cm

HB

6 cm

12 cm

15 cm

3 cm

DC 3 cm

5√5 cm

( )

( )

EF

EF EF cm

DE cm cm cm

2 2 2

2

6 3

45 3 5

5 5 3 5 2 5

= +

= ⇒ =

= − =

Da semelhança dos triângulos FGE e EHD, temos:6 3 5

2 54

HDHD cm= ⇒ =

Como a escala é de 1:200000, temos:AF cm km

BE cm km

CD cm km

GE

= ⋅ == ⋅ == ⋅ ==

15 200000 30

12 200000 24

3 200000 6

66 200000 12

4 200000 8

cm km

HD cm km

⋅ == ⋅ =

Área da APP:

S

S

S km

APP

APP

APP

=+

⋅ +

+

⋅

= +

=

30 242

1224 6

28

324 120

444 2

11.17. c

a

a

S a

b

b

a

a

a

a

a

a b b

a b ba

ba

2 2 2

2 2 22

22

22

= +

= ⇒ = ⇒ =

Área do octógono:

⋅= + ⋅ ⋅ + ⋅

= + +

2

2 2

octógono

octógono

b bS a 4 a b 4

2S a 4ab 2b

= + ⋅ + ⋅

= + = ⋅ +

22

2 2 2

octógono

octógono

a 2 aS a 4a 2

2 2S 2a 2 2a 2a (1 2)

Como S a= 2 , temos:

= ⋅ +octógonoS 2S (1 2)

11.18. eSejam a e b as dimensões do retângulo ABCD.

A

aB

DM

P

b – h

b

h

C

a2

Da semelhança dos triângulos AMP e CBP, temos:a

ah

b hb h h h

b2 23

=−

⇒ − = ⇒ =

Como a área do retângulo ABCD é S, temos:S a b

S

a ba b S

APM

= ⋅

=⋅=

⋅=2 3

2 12 12

11.19. 2 3 cm Sejam x e y as dimensões de cada retângulo.

x

y

y

y

x

x

xy

x

Assim:

3 4

18 12223

23 2

23

43

2

x x y

x y

yx

xy

xy xx

x x

= +⋅ ⋅ =

⇒=

=

= ⇒ ⋅ = ⇒ = ⇒ =223

2 33

212

2 33

33

=

= = ⋅ =

cm

yx

cm

Perímetro de cada retângulo:

2 2 22 3

33

32 3x y cm+ = ⋅ +

=


12.01. V – F – F – V(V)C R

C

C cm

== ⋅=

2

2 10

20

πππ

(F)2 12 6

6

36

2

2

2

R R cm

S R

S

S cm

= ⇒ =

=

= ⋅

=

π

π

π(F)C R

R R cm

=

= ⇒ =

2

50 225

π

ππ

(V)S R

R

R R cm

=

=

= ⇒ =

π

π π

2

2

2

36

36 6

12.02. d

d

r

r

r

r

A distância entre os centros de dois círculos não tangentes é a me-dida de uma diagonal de um quadrado de lados 2r.

11.20. a) Observe a figura:

ah

x x

a

b

b

S R

QPθ

2x b 100

2x 2a 2b 250

xcos60

a

x 1 xcos60 a 2x

a 2 a2x b 100 a b 100 b 100 a

2x 2a 2b 250 a 2a 2 (100 a) 250 a 50 m

b 100 a

b 100 50

b 50 m

+ = + + = ° =

° = ⇒ = ⇒ =

+ = ⇒ + = ⇒ = −+ + = ⇒ + + ⋅ − = ⇒ =

= −= −=

b)

2 100

2 2 2 2502 2 2

x b

x a b

a x h

+ =+ + =

= +

Subtraímos a primeira equação da segunda.2 150 150 2a b b a+ = ⇒ = −

Assim:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2x b 100

2x 150 2a 100 x a 25

a x h

a (a 25) h

a a 50a 625 h

h 25 (2a 25) h 5 2a 25

+ =+ − = ⇒ = −

= +

= − +

= − + +

= ⋅ − ⇒ = ⋅ −

Área do trapézio:

trapézio

trapézio

trapézio

100 bS h

2

100 150 2aS 5 2a 25

2

S 5 (125 a) 2a 25

+ = ⋅ + − = ⋅ ⋅ −

= ⋅ − ⋅ −

Aula 12Assim:d r= 2 2

12.03. c

2

2 2

áreacomprimento

2 R R

R S

2 R R RS

R S 2

π π

π π= ⇒ =

12.04. c

radianos 454ângulo comprimento

360 2 2

45 L

360 4L

45 L 2

π = °

° π⋅°

π π= ⇒ =

12.05. eÁrea da praça circular com raio 40 m:

2

2

praça

praça

praça

S 40

S 1600 3,14

S 5024 m

= π⋅

= ⋅

=

Área de 20 pisos quadrados de lado 20 cm:

20 0 2

0 2

20 0 04 0 8

20

20

2

2

cm m

S

S m

pisos

pisos

=

=

= ⋅ =

,

( , )

, ,

Assim, sendo n o número de caixas, temos:

n= =50240 8

6280,


12.06. dSeja r o raio de cada círculo.

r

r

r

r

A área da região sombreada é a diferença entre a área de um quadrado de lado 2r e a área de um círculo de raio r.

2

2 2círculo

sombreada

S rS 4(2r) r

π⋅ π= =− π− π⋅

12.07. aComo ϕ

π= = °

290radianos , o triângulo ABC é retângulo.

Sejam r o raio do semicírculo e x a medida dos lados congruentes do triângulo retângulo isósceles ABC.

A 2r B

x x

C

( )

( )( )

2

4 2 2

2

22

2 2 2

2 2 2 2

2

2

2

2

2

r x x

r x x r

ST

r

x xr

xr

r

= +

= ⇒ =

=

⋅

⋅=

⋅=

⋅ϕϕ

ππ π

==π2

12.08. b

4

4

6

10

6

A área em que o animal pode se deslocar corresponde a três quar-tos da área de um círculo de raio 10 metros, um quarto de um círculo de raio 6 metros e um quarto de um círculo de raio 4 metros.Assim:

S

S

S m

= ⋅ ⋅ +⋅

+⋅

= + +

=

34

106

44

475 9 4

88

22 2

2

ππ π

π π π

π

12.09. b40 1 25 50km km⋅ =, O raio da região circular em que os voos foram cancelados é 50 km.Assim:S

S km

= ⋅

⋅ =

π 50

3 14 2500 7850

2

2 ,

Portanto, a área da região que deixou de receber voos é menor que 8000 km2.

12.10. cA área sombreada é a diferença entre a área de um quarto de um círcu-

lo de raio x e a metade de um círculo de raio x2

.

Sx

x

Sx x x

sombreada

sombreada

=⋅

−⋅

=⋅

−⋅

=⋅

ππ

π π π

2

2

2 2 24

22

4 8 8

12.11. 11 (01, 02, 08)01) CORRETO De 1 hora até 1 hora e 40 minutos, o ponteiro das horas descre-

ve um arco de 4060

30 20⋅ ° = ° . Portanto, o menor ângulo entre

os ponteiros é 5 30 20 170⋅ °+ ° = ° . 02) CORRETO Em um minuto, o trem desloca-se 1 km, ou seja, 1000 metros. Assim:

arco radianos comprimento metros( ) ( )

2 2 500

1000

2 1000100

πα

π

πα

π

⋅

=00

2⇒ =α

04) INCORRETO

arco graus comprimento metros

R

RR

( ) ( )

160

360

120

2

160360

1202

π

π= ⇒ =

1135π

O diâmetro da praça é 2135 270

3 1486⋅

π

,m

08) CORRETO Em 60 minutos, o ponteiro dos minutos percorre um arco de

2 radπ . Assim, em 50 minutos, temos:

5060

253

⋅ =ππ

rad

12.12. bSejam R e r, respectivamente, o raio da engrenagem maior e o raio da engrenagem menor.Assim:

R r

r R

R r

r R

R r R r

+ =⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

+ =⋅ = ⋅

+ = ⇒ = −

11

1000 2 375 2

11

40 15

11 11

π π

440 15

40 15 11

40 165 15 55 165 3

⋅ = ⋅= ⋅ −= − ⇒ = ⇒ =

r R

r r

r r r r cm

( )


12.13. e

22D C

A B

1

11

1 1

1

A área sombreada é a área de um quadrado de lado 2, menos a área de um quadrado de lado 1, menos metade da área de um círculo de raio 1 (dois quartos de círculo).

S

S

S

sombreada

sombreada

sombreada

= − −⋅

= − −

= −

2 11

2

4 12

32

2 22π

π

π

12.14. bSeja M o ponto médio do segmento DC.Assim:DC EC ED

DMDC

AO EM ED DM

B

= − = − =

= = =

= = + = + =

4 5 2 2 5

22 52

1 25

2 1 25 3 25

, ,

,,

, ,

OO AO AB= − = − =3 25 1 6 1 65, , ,

Portanto, o diâmetro do círculo é 2 1 65 3 3⋅ =, , cmcm .12.15. c

Sendo r o raio do setor circular, temos:

A B

D C

O

X

√3 √31

r rr – 1

θ

r r

r r r

r r

senr

2 2 2

2 2

1 3

2 1 3

2 4 2

3 32

60

= − +

= − + += ⇒ =

= = ⇒ = °

( ) ( )

θ θ

Assim, o ângulo do setor circular OAB é 120°.Área do setor:

S OAB = ⋅ ⋅ =120360

243

2ππ

12.16. F – F – V – F – V0. FALSO

Seja L a medida dos lados do quadrado ABCD.

L L

S LABCD

22

2 22

2 2

= ⇒ =

= =

=

1. FALSOA área das 4 lúnulas é quatro vezes a área de um círculo cujo raio é a metade do lado do quadrado, mais a área do quadrado, menos a área do círculo.Assim:

22 2

22 2

2 22

2

lúnulas

lúnulas

lúnulas

lúnulas

LS 4 L

2

LS 4 L

2

S 22 2

S2

= ⋅π⋅ + − π⋅

= ⋅π⋅ + − π⋅

= π⋅ + − π⋅

=

2. VERDADEIRO2

ABCD lúnulasS S2

= =

3. FALSOÁrea de uma lúnula:

2 2

umalúnula1

S4 2 8

= ⋅ =

4. VERDADEIROVer afirmação anterior.

12.17. 2826 cm2

S

S

S

S

= ⋅ ⋅ − ⋅( )= ⋅ −( )

= ⋅

=

135360

50 10

38

2500 100

38

2400

900 90

2 2π π

π π

π

π 00 3 14 2826 2⋅ =, cm 12.18. d

Nos trechos retos todos os atletas percorrem a mesma distância. A diferença na largada é devido aos dois trechos semicirculares, equi-valente a um trecho circular.Como a diferença entre os raios é de 8 metros, o atleta da raia 1 percorre 2 36 7 73 4π π⋅ =, , metros, enquanto o atleta da raia 8 per-corre 2 44 7 89 4π π⋅ =, , , ou seja, 16π metros a mais. Assim:16 16 3 14 50 24π= ⋅ =, , metros

12.19.

a) SAE AF

S

AEF

AEF

=⋅

=⋅=

21 12

12

b) A área da região hachurada é a quarta parte da diferença entre a área do quadrado de lado 2 e a área do círculo de raio 1.

Shachurada =− ⋅

=−2 1

44

4

2 2π π

A área da outra região é a área do triângulo AEF menos a área hachurada.

S

S

= −−

=− +

=−

12

44

2 44

24

π

π π


12.20.

45º

135º

A

EC

B

2

D

a) No triângulo retângulo BCD, temos:

senBD

BDBD

452

22 2

2

° =

= ⇒ =

b) A área sombreada da figura é a soma da área de um setor circular de 135° e da área do triângulo retângulo isósceles BCD.

S

S

sombreada

sombreada

= ⋅ ⋅ +⋅

= +

135360

22 2

232

1

2π

π


1Extensivo Terceirão – Matemática 4E

Aula 1010.01. a

sen sen

sen sen sen

sen

75 30 45

75 30 45 45 30

75

° = °+ °° = °⋅ °+ °⋅ °

( )

cos cos

°° = ⋅ + ⋅

° =+

1

2

2

2

2

2

3

2

752 6

4sen

10.02. ctg tg

tgtg tg

tg tg

tg

105 60 45

10560 45

1 60 45

1053

° = °+ °

° =°+ °

− °⋅ °

° =+

( )

11

1 3 1

1053 1

1 3

1 3

1 3

1053 3 1 3

1 3

4 2 3

− ⋅

° =+

−⋅++

°=+ + +−

=+−

tg

tg

( )

( )

( )

( )

222 3= − −

10.03. esen x sen x senx

sen x x senx

sen

( ) cos cos

( ) cos ( )

(

π π πππ

− = ⋅ − ⋅− = ⋅ − ⋅ −0 1

−− =x senx)

10.04. dcos(x 2 ) cosx cos2 senx sen2

cos(x 2 ) cosx 1 senx 0 cosx

cos(x 2 ) cosx cos2 senx sen2

cos(x 2 ) cosx 1 senx 1 cosx

E cos(x 2 ) cos(x 2 )

E cosx cosx

E 2 cosx

+ π = ⋅ π− ⋅ π+ π = ⋅ − ⋅ =− π = ⋅ π− ⋅ π− π = ⋅ − ⋅ =

= + π + − π= += ⋅

10.05. bsen sen sen

sen sen

10 20 20 10 10 20

10 20 2

°⋅ °+ °⋅ ° = °+ °

°⋅ °+

cos cos ( )

cos 00 10 301

20 5°⋅ ° = ° = =cos ( ) ,sen

10.06. acos( x) cos cosx sen senx

cos( x) ( 1) cosx 0 senx cosx

cos(2 x) cos2 cosx sen2 senx

cos(2 x) 1 cosx 0 senx cosx

cos( x) 2 cos(2 x) cosx 2 cosx 3 cosx

π+ = π⋅ − π⋅π+ = − ⋅ − ⋅ = −π− = π⋅ + π⋅π− = ⋅ + ⋅ =

π+ − ⋅ π− = − − ⋅ = − ⋅

10.07. c

sen(x 45 ) senx cos45 sen45 cosx

2 2sen(x 45 ) senx cosx

2 2sen(x 45 ) senx cos45 sen45 cosx

2 2sen(x 45 ) senx cosx

2 22

sen(x 45 ) sen(x 45 ) 2 senx 2 senx2

+ ° = ⋅ °+ °⋅

+ ° = ⋅ + ⋅

− ° = ⋅ °− °⋅

+ ° = ⋅ − ⋅

+ ° + − ° = ⋅ ⋅ = ⋅

10.08. dsen x x senx x sen x x sen x3 3 3 4⋅ + ⋅ = + =cos cos ( )

10.09. csen x y y x y seny sen x y y( ) cos cos( ) [( ) ] senx− ⋅ + − ⋅ = − + =

10.10. b

sen x senx sen x

sen x senx

−

= ⋅ − ⋅

−

= ⋅ − ⋅

π π π

π2 2 2

20 1

cos cos

ccos cosx x= −

Portanto:

sen x+

= −

π2

3

5

10.11. a

sen

sen sen

sen40 10 10 40

20 25 20 25

°⋅ °− °⋅ °°⋅ °− °⋅ °

=cos sen cos

cos cos

(( )

cos( )

cos

40 10

20 25

30

45

1

22

2

1

2

1

2

2

2

2

2

°− °°+ °

=

=°°= = = ⋅ =

sen

10.12. btg x y

tgx tgy

tgx tgy

tgx

tgxtgx tgx tg

( )+ =+

− ⋅=

+− ⋅

= ⇒ + = − ⋅ ⇒

2

12

1

1 12 1 2 2 xx =

1

3

10.13. eSeja x a distância entre a parede e o ponto X e h a altura em que a lâmpada foi colocada.

i

i

tgx

h

x

hx h

tgx

h

tg tg

tg

12 0 2 0 2

12 358 12 35

1 12

° = ⇒ = ⇒ =

°+ ° =+

⇒°+ °

−

, ,

( )°°⋅ °

=+

⇒

⇒+

− ⋅=

+⇒ =

+tg

h

h

h

h

h

h

35

0 2 8

0 2 0 7

1 0 2 0 7

0 2 8 0 9

0 86

0 2 8

,

, ,

, ,

, ,

,

,⇒⇒

⇒ = + ⇒ =0 9 0 172 6 886 88

0 7289 45, , ,

,

,,h h h �

10.14. aSeja θ o menor ângulo agudo do triângulo cujos catetos medem 0,5 cm e 10 cm.

0,5 1tg

10 202,5 tg tg 1

tg( )10 1 tg tg 4

1tg 1 1 20tg 120

1 4 20 tg 41 tg20

164 80tg 20 tg tg

81

θ = =

θ+ βθ+β = ⇒ = ⇒− θ⋅ β

+ β + β⇒ = ⇒ = ⇒− β− ⋅ β

⇒ + β = − β ⇒ β =

ResoluçõesMatemática

4E

2 Extensivo Terceirão – Matemática 4E

10.15. eSeja L a medida dos lados de cada quadrado. A diagonal de um quadrado de lado L mede L 2 .

senaL

L

aL

L

= =

= =

2

2

2

2

2

2cos

Seja D a medida de cada diagonal do retângulo de dimensões L e 2L.

D L L D L D L

senbL

L

bL

L

2 2 2 2 22 5 5

5

5

5

2

5

2 5

5

= + ⇒ = ⇒ =

= =

= =

( )

cos

sen a b sena b senb a

sen a b

( ) cos cos

( )

+ = ⋅ + ⋅

+ = ⋅ + ⋅ =2

2

2 5

5

5

5

2

2

3 10

10

10.16. b

Seja L a medida dos lados de cada quadrado.

tg CEHCG

EG

L

L

tg DEHDH

EH

L

L

tg CEH DEHtg C

( )

( )

( )(

= = =

= = =

+ =

2

1

2

3

1

3

EEH tg DEH

tg CEH tg DEH

tg CEH DEH

) ( )

( ) ( )

( )

+− ⋅

+ =+

− ⋅

1

1

2

1

3

11

2

1

33

5

65

6

1= =

Como CEH e DEH são ângulos agudos e tg CEH DEH( ) + =1, então

CEH DEH + = °45 .

10.17. eObserve a figura (não está em escala) que ilustra a situação descrita no enunciado.

1,70 m

10 m

d

15°

tgd

dtg

tg tgtg tg

tg

15117

117

15

15 60 4560 45

1 60

° =

=°

° = °− ° =°− °

+

,

,

( )i°°⋅ °

=−

+ ⋅=

=−+=

−+⋅

−−=

− − +−

= −

=

tg

d

45

3 1

1 3 1

3 1

3 1

3 1

3 1

3 1

3 1

3 3 3 1

3 12 3

11,, , ,

,

,

,

7

15

117

2 3

117

2 17

117

0 339

tgm

°=

− −= =�

Observação:Caso um aluno tenha racionalizado o denominador da fração antes de utilizar a aproximação para 3 , terá encontrado outra resposta, não presente nas alternativas.

d m=−

=−

⋅++

=⋅ +−

=117

2 3

117

2 3

2 3

2 3

117 2 17

4 343 29

, , , ( , ),

10.18. dsen a b sena b senb a

sen a b sena b senb a

P

( ) cos cos

( ) cos cos

+ = ⋅ + ⋅− = ⋅ − ⋅

= ssen a b sen a b

P sena b senb a sena b senb

( ) ( )

( cos cos ) ( cos

+ ⋅ −= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ccos )

cos cos

( cos ) cos ( cos )

a

P sen a b sen b a

P a b b

= ⋅ − ⋅

= − ⋅ − −

2 2 2 2

2 2 21 1 ⋅⋅

= − ⋅ − + ⋅

= −

cos

cos cos cos cos cos cos

cos cos

2

2 2 2 2 2 2

2 2

a

P b a b a a b

P b a

10.19. a) 2 2

22

2

cos x 1 sen x

3cos x 1

59 16

cos x 125 25

= −

= −

= − =

Como x pertence ao primeiro quadrante, então cosx =4

5.

2 2

22

2

cos y 1 sen y

4cos y 1

516 9

cos y 125 25

= −

= −

= − =

Como y pertence ao primeiro quadrante, então cosy =3

5.

b) sen(x y) senx cosy seny cosx

3 3 4 4sen(x y)

5 5 5 59 16

sen(x y)25 25

sen(x y) 1

cos(x y) cosx cosy senx seny

4 3 3 4cos(x y)

5 5 5 512 12

cos(x y)25 2524

cos(x y)25

+ = ⋅ + ⋅

+ = ⋅ + ⋅

+ = +

+ =

− = ⋅ + ⋅

− = ⋅ + ⋅

− = +

− =

10.20. 32 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2

(senx seny) sen x 2 senx seny sen y

(cosx cosy) cos x 2 cosx cosy cos y

(senx seny) (cosx cosy) sen x cos x

sen y cos y 2 (cosx cosy senx seny)

(senx seny) (cosx cosy) 1 1 2 cos(x y)

(senx seny)

+ = + ⋅ ⋅ +

+ = + ⋅ ⋅ +

+ + + = + +

+ + + ⋅ ⋅ + ⋅

+ + + = + + ⋅ −

+

2

2 2

2 2

(cosx cosy) 1 1 2 cos3

1(senx seny) (cosx cosy) 1 1 2

2(senx seny) (cosx cosy) 3

π+ + = + + ⋅

+ + + = + + ⋅

+ + + =


Aula 1111.01. d

sen A senA A

sen A x y

( ) cos

( )

2 2

2 2

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

11.02. e

cos( ) cos

cos( )

2

2

2 2

2 2

A A sen A

A y x

= −

= −

11.03. dsen A senA A

A x sen x sen x x

sen x

( ) cos

( ) ( ) cos( )

(

2 2

2 2 2 2 2 2

4

= ⋅ ⋅= ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅

⇒ )) ( ) cos( )= ⋅ ⋅2 2 2sen x x

11.04. b

cos( ) cos2 2 2A A sen A= −

11.05. ca) FALSA

cos( ) cos

cos( ) cos (cos ) (cos

2

1

2 1 1 1 1 1

2 2

2 2

x x sen x

x

sen sen

= −=

= − = − ⋅ ++ sen )1

b) FALSA

cos( ) cos

cos( ) cos (cos )

2

10

20 10 10 10 10

2 2

2 2

x x sen x

x

sen sen

= −=

= − = − ⋅⋅ +(cos sen )10 10

c) VERDADEIRA

cos( ) cos

cos( ) cos

2

10

20 10 10

2 2

2 2

x x sen x

x

sen

= −= °

° = °− °

d) FALSA

cos

cos

601

2

2 30 23

23

° =

⋅ ° = ⋅ =

e) FALSA

cos

cos

601

2

2 30 1 23

21 3 1

° =

⋅ °− = ⋅ − = −

11.06. bcos( ) cos

cos( ) cos ( cos )

cos( ) cos

2

2 1

2 2

2 2

2 2

2

x x sen x

x x x

x x

= −

= − −

= ⋅ −11

11.07. c

(sen , cos , ) , , cos ,

cos

22 5 22 5 22 5 2 22 5 22 5

22

2 2

2

°+ ° = °+ ⋅ °⋅ °+

+

sen sen

,,

(sen , cos , ) ( , )

(sen , cos , )

5

22 5 22 5 1 2 22 5

22 5 22 5

2

°

°+ ° = + ⋅ °

°+ °

sen

22 1 45 12

2

2 2

2= + °= + =

+sen

11.08. ey sen

sen

y sen

= ° ⋅ °⋅ = ⋅ ° ⋅ °=

( , ) cos( , )

y ( , ) cos( , )

(

22 5 22 5

2 2 22 5 22 5

2 2⋅⋅ °= °

= ⇒ =

22 5

2 45

22

2

2

4

, )

y sen

y y

11.09. d

senx x

senx

senx x x

senx x

2 2 22

2 2 2

2 2

22 2+

= + ⋅ ⋅ +

+

cos cos cos

cos

= + ⋅

+

= +

2

2

1 22

2 21

senx

senx x

senxcos

11.10. b

M senA A senA A

M senA A

M senA sen A

M

= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ −

= ⋅ ⋅

2 2

2 1

2

2

2

cos cos

( cos )

== ⋅

= ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

−

− − −

2

2 0 2 2 2 10

2 8 10 16 10 1 6 10

3

3 1 3

3 3 2

sen A

M

M

( , ) ( )

,

11.11. d

cos( ) cos

cos( ) cos ( cos )

cos( ) cos

2

2 1

2 2

2 2

2 2

2

x x sen x

x x x

x x

= −

= − −

= ⋅ −11

2 23

41

2 29

161

9

81

1

8

2

cos( )

cos( )

x

x

= ⋅

−

= ⋅ − = − =

11.12. d

22

2 2

6cos sen

3

6(cos sen )

3

6cos 2 cos sen sen

92 1

1 sen(2 ) sen(2 )3 3

θ− θ =

θ− θ =

θ− ⋅ θ⋅ θ+ θ =

− θ = ⇒ θ =

11.13. a

cos x sen (cos ) (cos )

cos x sen cos

4 4 2 2 2 2

4 4 1 2

− = + ⋅ −

− = ⋅

x x sen x x sen x

x x

ccos x sen cos4 4 2− =x x

11.14. c

sen x x

x senxsen x senx

senx x senx

2 22 2

2

23cos

coscos x

cos

−= ⋅ + ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ +22

2 2 21

4

1

2

3

2 2

⋅ =

= ⋅ ⋅ + = ⋅ = ⋅ =

cos x

cos ( cos x) cosx sen x x


11.15. 05 (01, 04)01) CORRETA

tg tg

tgtg tg

tg tg

tg

( ) ( )

( )

( )

75 45 30

7545 30

1 45 30

75

° = °+ °

° =°+ °

− °⋅ °

° ==+

− ⋅=

+−

° =+−

⋅++

=+ + +

13

3

1 13

3

3 3

3 3

753 3

3 3

3 3

3 3

9 3 3 3 3 3tg( )

( )

( )

( )

( ) 99 32 3

−= +

02) INCORRETA

cos ( ) ( )

cos ( )

cos ( )

2 2

22

2

1

14

5

116

25

9

25

x sen x

x

x

= −

= −

= − =

Como x pertence ao primeiro quadrante, então cos( )x =3

5.

04) CORRETA

tg xtg x

tg x( )

( )

( )2

2

1

2 6

1 6

12

352 2=

⋅−

=⋅−

= −

08) INCORRETA

sen x senx sen x

sen x senx x sen

( ) cos cos

( ) cos

+ = ⋅ + ⋅+ = ⋅ + ⋅ =

6 6 6

6 1 0

π π ππ xx

11.16. dcos( ) cos

cos cos

cos

2 2 1

2

22

22

1

2

2

2

A A

Ax

x x

x

= ⋅ −

=

⋅

= ⋅

−

= ⋅33

41 2

9

161

9

81

1

8

2

− = ⋅ − = − =

11.17. d1

cos2x2

2x 60 x 30

2x 300 x 150

2x 420 x 210

2x 660 x 330

=

= °⇒ = °= °⇒ = °= °⇒ = °= °⇒ = °

11.18. c

cotg( ) ( )21

52 5

4 44

1

x tg x

tg x tg xtg tgx

tg

= ⇒ =

+

− −

=

+

−

π ππ

ππ

π

π4

4

14

1

1

1

1

1 2

⋅−

−

+ ⋅=

=+−

−−+

=+

tgx

tg tgx

tg tgx

tgx

tgx

tgx

tgx

tgx( ) −− −− ⋅ +

=

=+ + − − +

−

( )

( ) ( )

( )

1

1 1

1 2 1 2

1

2

2 2

2

tgx

tgx tgx

tgx tg x tgx tg x

tg x==−

=

= ⋅−

= ⋅ = ⋅ =

4

1

22

12 2 2 5 10

2

2

tgx

tg x

tgx

tg xtg x( )

11.19. Seja x a altura da torre acima dos olhos da pessoa.

tgx

tgx tg

tg

xx

x

x

α

ααα

=

= ⇒⋅−

= ⇒⋅

−

=

300

2100

2

1 100

2300

1300

102 2 00

2

3 300 300

1

3

300

3300

3100 3

3

2

2

22

2

⇒

⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒

⇒ = =

xx

x xx

x m

a) tgα α= = ⇒ = °100 3

300

3

330

b) Seja h a altura da torre.

h x

h m

= +

= +

1 6

100 3 1 6

,

( , )

11.20. 5/27

CM MN NBBC

tg MABMB

AB

tg NABNB

AB

tg MA

= = = = =

= =

= =

3

3

31

2

51

5

i �

i �

i �

( )

( )

( NN tg MAB NAB

tg MANtg MAB tg NAB

tg MAB tg N

) ( )

( )( ) ( )

( ) (

= −

=−

+ ⋅

� �

� � ��1 AAB

tg MAN

�

�

)

( )=−

+ ⋅= = ⋅ =

2

5

1

5

12

5

1

5

1

527

25

1

5

25

27

5

27

Aula 1212.01. c

sen x y y x y seny sen x y y( ) cos cos( ) [( ) ] senx− ⋅ + − ⋅ = − + =12.02. b

cos ( ) ( )

cos ( )

cos ( )

2 2

22

2

1

11

4

11

16

15

16

α α

α

α

= −

= −

= − =

sen

Como a pertence ao segundo quadrante, então cos( )α = −15

4.

Portanto:

sen sen

sen

( ) ( ) cos( )

( )

2 2

2 21

4

15

4

15

8

α α α

α

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ −

= −


12.03. bComo x e y são complementares, então x y+ = °90 .

E x y senx seny

E x x y y

sen

= − + +

= − ⋅ ⋅ + +

+

(cos cos ) ( )

cos cos cos cos

2 2

2 2

2

2

xx senx seny sen y

E x y senx seny

+ ⋅ ⋅ += + − ⋅ ⋅ − ⋅= − ⋅

2

1 1 2

2 2

2

(cos cos )

E cos(( ) cosx y+ = − ⋅ ° = − ⋅ =2 2 90 2 2 0 2

12.04. c

sen x x

sen x

2 2

22

1

14

51

16

25

9

25

= −

= −

= − =

cos

Como x pertence ao primeiro quadrante, então senx =3

5.

tgxsenx

x

tg xtgx

tg x

= = =

=⋅−

=⋅

−

=−

cos

3

54

5

3

4

22

1

23

4

13

4

3

2

192 2

116

3

2

16

7

24

7= ⋅ =

12.05. a

senA A

senA A

sen A senA A

+ =

+ =

+ ⋅ ⋅ +

cos

( cos )

cos cos

5

2

5

2

2

22

2 2 AA

sen A sen A

=

+ = ⇒ = =

5

4

1 25

42

1

40 25( ) ( ) ,

12.06. bConsiderando os valores de x para os quais existe a inversa da ma-triz A, temos:

det( ) cos cos( )

det(A )det( ) cos( )

sec(

A x sen x x

A xx

= − =

= = =−

2 2

1

2

1 1

22 ))

12.07. d

tg tg

tgtg tg

tg tg

tg

( ) ( )

( )

( )

75 45 30

7545 30

1 45 30

75

° = °+ °

° =°+ °

− °⋅ °

° ==+

− ⋅=

+−

° =+−

⋅++

=+ + +

13

3

1 13

3

3 3

3 3

753 3

3 3

3 3

3 3

9 3 3 3 3 3tg( )

( )

( )

( )

( ) 99 32 3

−= +

12.08. e

cos( ) cos

cos

cos

21

2

1

21

2

1

2 2

2 2

2 2

x x sen x

x sen x

x sen x

= ⇒ − =

− =

+ =

⇒ ccos 2 23

4

1

4x e sen x= =

22 2

2 2

2 2

sen x 1tg x sec x

cos x cos x1

1 1 4 54tg x sec x3 3 3 3 34 4

+ = +

+ = + = + =

12.09. a

cos cos cos sen sen sen2 2 2

sen( ) sen cos sen cos sen

cos sen( ) sen sen 02

π π π β+ = β⋅ − β⋅ = − β π−β = π⋅ β− β⋅ π = β

π β+ + π−β = − β+ β =

O valor da expressão independe da medida do ângulo β.12.10. a

cos

cos ( , ) , ,

2 2

2 2

1

1 0 8 1 0 64 0 36

x sen x

x

= −

= − = − =

Como x pertence ao segundo quadrante, então cos ,x = −0 6. sen x senx x

x x sen x

( ) cos , ( , ) ,

cos( ) cos

c

2 2 2 0 8 0 6 0 96

2 2 2

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = −

= −

oos( ) ( , ) ( , ) , , ,

( ) cos( x) ,

2 0 6 0 8 0 36 0 64 0 28

2 2 0 9

2 2x

sen x

= − − = − = −

+ = − 66 0 28 1 24+ − = −( , ) ,

12.11. 15 (01, 02, 04, 08)

sen x cos

sen x

2 2

22

1

12

31

4

9

5

9

= −

= − = − =

x

Como x pertence ao primeiro quadrante, então senx =5

3.

tgxsenx

x= = =

cos

5

32

3

5

2

01) CORRETO

sen(x ) senx cos sen cosx

5sen(x ) senx ( 1) 0 cosx senx

3

− π = ⋅ π− π⋅

− π = ⋅ − − ⋅ = − = −

02) CORRETO

tg xtgx tg

tgx tg

tgx

tgxtgx( )+ =

+− ⋅

=+

− ⋅= =π

ππ1

0

1 0

5

2

04) CORRETO

sen x senx x( ) cos2 2 25

3

2

3

4 5

9= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

08) CORRETO

cos( ) cos x sen22

3

5

3

4

9

5

9

1

92 2

2 2

x x= − = −

= − = −

16) INCORRETO

cos cos cos

cos cos

x x senx sen

x x se

+

= ⋅ − ⋅

+

= ⋅ −

π π π

π

2 2 2

20 nnx senx⋅ = − = −1

5

3


12.12. d( cos ) cos cos

( cos )

sen x x sen x sen x x x

sen x x

3 3 3 2 3 3 3

3 3 1

2 2 2

2

+ = + ⋅ ⋅ +

+ = ++ ⋅

+ = +

sen x

sen x x sen x

( )

( cos ) ( )

2 3

3 3 1 62

O valor maior de sen(6x) é 1.Portanto, o maior valor da expressão 1 6+ sen x( ) é 1 + 1 = 2.

12.13. a

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

sentg 2 2 sen 2 cos

cos

sen cos 1 (2 cos ) cos 1

14 cos cos 1 cos

51 4

sen 1 cos 15 5

cos(2 ) cos sen

1 4 3cos(2 )

5 5 5

αα = ⇒ = ⇒ α = ⋅ αα

α + α = ⇒ ⋅ α + α = ⇒

⇒ ⋅ α + α = ⇒ α =

α = − α = − =

α = α − α

α = − = −

12.14. b

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2

x y cosy senx2

1 sen x cos y 1 sen x sen x 1 2 sen x

1 sen x cos y cos(2x)

1 sen x cos y 1 cos y cos y 1 2 cos y

1 sen x cos y cos(2y)

π+ = ⇒ =

− − = − − = − ⋅

− − =

− − = − − = − ⋅

− − = −

12.15. e

tgxtg

x

tgx

tgx

tgx

=⋅

−

=⋅

−

22

12

4

3

22

12

2

2

2

⋅⋅ + ⋅

− = ⇒

=

= −tg

xtg

xtg

xou tg

x2

23

22 0

2

1

2 222

Como 0< <x π , então 02 2

< <x π .

Portanto, tgx

2

1

2 = .

12.16. a

2 2

22 2

acos

a a a2cotg 3 3 cos 3 sen

a2 2 2sen

2a a

sen cos 12 2

a a a 1sen 3 sen 1 sen

2 2 2 4

a a a asena 2 sen cos 2 sen 3 sen

2 2 2 2

= ⇒ = ⇒ = ⋅

+ =

+ ⋅ = ⇒ = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

2 a 1 3sena 2 3 sen 2 3

2 4 2

= ⋅ = ⋅ =

12.17. cTraçando o segmento AC, ficam determinados os triângulos ABC e ADC, congruentes entre si.Assim:

( ) (AB) ( )

( ) ( ) ( )

AC BC

AC x x AC x AC x

senA

2 2 2

2 2 2 2 22 5 5

2

= +

= + ⇒ = ⇒ =

== =

= =

= ⋅

⋅

x

x

A x

x

senA senA A

s

5

1

5

2

2

5

2

5

22 2

cos

cos

eenA = ⋅ ⋅ =21

5

2

5

4

5

12.18. c

a

2

a

2

b

2

b

2

α2

1 1

a

1

sen

a

a sen

sen

b

b sen

α α

α α

221

22

21

2

= ⇒ = ⋅

= ⇒ = ⋅

Assim:

b

a

sen

sen

sen

sen

sen=

⋅

⋅

=

=⋅

⋅2

22 2

22 2α

ααα

α αcos

= ⋅

senα

α

2

22

cos

12.19. − 15 7/

θ

a a

α α θ θ αθ α

θα

+ + = °⇒ = °−= °−

=°−

+

180 180 2

180 2

180 2

1 18

tg tg

tgtg tg

tg

( )

( )

00 2

2

2

1 2

°⋅= −

= −⋅−

tg

tg tg

tgtg

tg

( )

( )

αθ α

θαα


cos

cos

cos cos

2 2

22

2

1

11

4

11

16

15

16

15

4

α α

α

α α

α

= −

= −

= − = ⇒ =

sen

tg == = =senα

αcos

1

415

4

1

15

tgtg

tg

tg

θαα

θ

= −⋅−

= −⋅

−

= − ⋅ = − ⋅

2

1

21

15

11

15

2

15

15

14

15

7 15

15

2

2 115

15

7= −

12.20. 53Seja x a medida dos segmentos AB, BM, MN e NC.

xtg(BAM) 1 BAM 45

x2x

tg(45 ) 2x

tg45 tg 1 tg2 2

1 tg45 tg 1 tg

11 tg 2 2 tg tg

3

= = ⇒ = °

°+ θ = =

°+ θ + θ= ⇒ = ⇒− °⋅ θ − θ

⇒ + θ = − ⋅ θ⇒ θ =

Portanto:

6 51 61

351 53⋅ + = ⋅ + =tgθ

Matemática - cursopositivo.com.br · xx ou x xo ux A maior solução da equação é 7. ... o...

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