Materiais Elétricos

Mecanismos de Condução em Condutores

Prof. Marcos Zurita

Teresina – PI

2010

2

Sumário

IntroduçãoCondutividade ElétricaLei de OhmVelocidade de Deriva, Mobilidade e CondutividadeTempo Médio Entre Colisões e Livre Caminho MédioResistividade dos Metais e Ligas MetálicasCondutividade Térmica dos MetaisEfeito SeebeckEfeito PeltierEfeito da CA em Condutores ElétricosEfeito Pelicular

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Introdução

Materiais Condutores:Materiais que conduzem corrente elétrica com facilidade

Características desejáveis para os materiais condutores:

Condutividade elétrica elevada;Baixo custo;Boa resistividade mecânica;Boa resistência à oxidação;Tolerância a altas temperaturas.

Materiais condutores sólidos mais utilizados na Engenharia Elétrica:

Metais e ligas metálicas

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Condutividade Elétrica

Condutividade Elétrica ( ):grandeza que expressa a facilidade com que um material é capaz de conduzir a corrente elétrica.

Nos metais, a condutividade está associada a elétrons livres ou de conduçãodeslocando-se no reticulado cristalino.

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Condutividade Elétrica

Condução Eletrônica vs IônicaA corrente elétrica se origina do movimento de partículas eletricamente carregadas em resposta a um campo elétrico externo aplicado.As partículas de carga positiva são aceleradas na direção do campo elétrico e as de carga negativa na direção oposta.Na maior parte dos sólidos a corrente surge do fluxo de elétrons, o que se denomina de Condução Eletrônica.Em materiais iônicos a corrente pode resultar de um movimento líquido de iôns carregados, ao que se denomina Condução Iônica.

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Condutividade Elétrica

Isolantes: < 10-7 ( .m)-1

Semicondutores: 10-7 103 ( .m)-1

Condutores: > 103 ( .m)-1

Melhores condutores elétricos:Ag: = 1,6x10-8 .mCu: = 1,8x10-8 .mAu: = 2,4x10-8 .mAl: = 2,8x10-8 .m

Isolantes CondutoresSemicondutores

Silício dopado

GeQuartzo

Madeira seca

NaClBorracha

SiO2Porcelana

MicaVidro

GaAs Si Mn

FeAgCuAlAu

10-20 10-18 10-16 10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 1 102 104 106( .cm)-1

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Lei de Ohm

= 1/ , sendo a resistividade ( .m)A densidade de corrente permanece constante desde que o campo elétrico seja constante.

EJ (Eq. 1)

lVE (Eq. 2)

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Velocidade de Deriva, Mobilidade e Condutividade

Fontes de variação da resistividade entre diferentes materiais:

Estrutura eletrônica (isolante, metal ou semicondutor)Fontes de interferência (caracterizadas por )

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Velocidade de Deriva, Mobilidade e Condutividade

Nos materiais condutores a resistência à passagem da corrente elétrica se deve as colisões entre os elétrons e a estrutura cristalina do material.Ao aplicarmos um campo elétrico em um condutor observamos que os elétrons tendem a se deslocar na direção da força imposta por esse campo com velocidade média proporcional a sua intensidade. Essa velocidade é chamada velocidade de deriva (vd):

A constante de proporcionalidade ( e) indica a frequênciacom que as colisões ocorrem no material e é chamada mobilidade do elétron. É expressa em m2/V.s.

edv (Eq. 3)

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Velocidade de Deriva, Mobilidade e Condutividade

A mobilidade do elétron é diretamente proporcional ao tempo com que ele consegue percorrer o material sem colidir com a rede cristalina. Este tempo é chamado tempo médio entre colisões ou tempo de relaxação dos elétrons ( ). Sua relação com a mobilidade é dada por:

Onde:e = carga do elétronme = massa do elétron

ee m

e(Eq. 4)

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Velocidade de Deriva, Mobilidade e Condutividade

Na maior parte dos condutores a condutividade pode ser expressa diretamente a partir da mobilidade ( ) como sendo:

Logo, a condutividade é proporcional tanto ao número de elétrons-livres por volume (n) quanto à sua mobilidade no material.Dessa forma, podemos exprimir a condutividade em função do tempo médio entre colisões:

en en11

(Eq. 5)

(Eq. 6)em

ne2

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Tempo Médio Entre Colisõese Livre Caminho Médio

Para um e- que, impelido por um campo elétrico, percorre a estrutura cristalina de um condutor, chocando-se com ela, podemos definir duas características do seu movimento:

O Tempo Médio Entre Colisões ( ou c);A distância média percorrida entre duas colisões, ou LivreCaminho Médio ( ).

Assumindo que o movimento entre duas colisões seja retilíneo, temos:

Onde vF é a velocidade de um e- com Energia de Fermi ( F):Fv (Eq. 7)

eFF mv /2 (Eq. 8)

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Resistividade dos Metais e Ligas Metálicas

A resistividade dos metais varia conforme a temperatura:

Condutores reais, mesmo a 0 K, apresentam resistividade diferente de zero. Isto se deve a impurezas, vazios e imperfeições no reticulado cristalino.T cai vibração do reticulado diminui aumenta diminui

aT0

T

0

= 0+aT

Condutor com cristal perfeito ( =0 para T=0K)

Condutor real ( 0 0)

(Eq. 8)

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Resistividade dos Metais e Ligas Metálicas

Regra de Mathiessen

Para um material condutor, a resistividade elétrica é a soma das contribuições de três componentes:

t: relacionada às vibrações térmicas da estrutura cristalina;

i: relacionada às impurezas presentes no material;

d: relacionada às deformações (imperfeições estruturais).

dittotal (Eq. 9)

15

Resistividade dos Metais e Ligas Metálicas

Resistividade do Cobre e três ligas dele com Níquel:as contribuições da temperatura ( t),impurezas ( i) e deformações ( d) são destacadas a -100°C.

Impurezas indicadas em termos de fração atômica (at%)

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Resistividade dos Metais e Ligas Metálicas

Com base na Regra de Mathiessen podemos expressar o tempo médio de relaxação dos elétrons como sendo:

Onde:T = tempo de relaxação devido às vibrações térmicas

i = tempo de relaxação devido às impurezas

Logo, podemos exprimir a resistividade de um condutor como:

Ti

111(Eq. 10)

Ti

e

nem 11

2 (Eq. 11)

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Resistividade dos Metais e Ligas Metálicas

Resistividade de Ligas MetálicasNas ligas metálicas espera-se a aplicabilidade da eq. =

t + i + d com um crescimento de i à medida em que se aumenta a concentração dos átomos do soluto (impureza).A medida que i aumenta:

aumenta o valor de observa-se uma menor variação de com a temperatura

Tem-se na pequena variação da resistividade das ligas com a temperatura, a grande vantagem na sua utilização para confecção de componentes resistivos (seus valores tornam-se mais estáveis com a temperatura).

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Resistividade dos Metais e Ligas MetálicasResistividade de Ligas Metálicas

Ao adicionar níquel ao cobre a resistividade deste cresce de acordo com percentual de Ni até o limite de 50% de soluto.Outras ligas sólidas de dois metais apresentam comportamento análogo ao da liga Cu-Ni. Ex.: Cu-Au, Ag-Au, Pt-Pd, Cu-Pd, ...

T = 25°C

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Resistividade dos Metais e Ligas Metálicas

Equação de NordheimA variação de i em função da adição de impurezas é dada pela Equação de Nordheim:

Onde:A = constante de Nordheim para um dado metal base e impureza.ci = concentração da impureza ou fração do soluto no metal base, expressa em termos de fração atômica (at%).

Para baixas concentrações de impureza (ci << 1) podemos assumir que:

)1(. iii ccA (Eq. 12)

ii cA. (Eq. 13)

20

Resistividade dos Metais e Ligas Metálicas

Coeficiente de Nordheim para algumas ligas metálicas à 20°C para ci < 1 at.%:

Para muitas ligas o coeficiente de Nordheim pode mudar em concentrações mais elevadas.

53360Sn em Au0,62900Sn em Cu30300Zn em Cu

100790Ni em Au1001250Ni em Cu100450Cu em Au1005500Au em Cu

Solubilidade Máxima à 25°C (at.%)

Coeficiente deNordheim (n m)

Liga (soluto em solvente)

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Condutividade Térmica dos Metais

Os metais, semelhantemente à condutividade elétrica, também apresentam elevada condutividade térmica.O transporte de calor nos metais é feito pelos elétrons de valência com energias próximas ao nível de Fermi.

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Condutividade Térmica dos MetaisLei de Condução de Calor:

A taxa de fluxo de calor Q através da seção de um condutor de espessura x é proporcional ao gradiente de temperatura e à área da seção (A):

Onde:(dQ/dt) é a energia calorífica por segundo;K é a condutividade térmica (W/m°C ou W/mK).

xTA

tQ

dxdTKA

dtdQ

(Eq. 14)

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Condutividade Térmica dos Metais

Condutividade térmica na temperatura ambiente (27°C) para alguns metais:

Ag: K = 427 W/m°CCu: K = 385 W/m°CAu: K = 314 W/m°CAl: K = 209 W/m°C

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Condutividade Térmica dos Metais

Lei de Wiedemann-Franz-LorenzEstabelece uma relação matemática entre a condutividade térmica e a condutividade elétrica nos metais:

Onde CWFL é o Número de Lorenz:

TCKWFL (Eq. 15)

281045.2 KWxCWFL (Eq. 16)

25

Efeito Seebeck

Efeito Seebeck

Ao receber energia térmica no terminal quente os elétrons ganham energia cinética e se difundem para a região mais fria, gerando uma ddp entre as extremidades.A tensão gerada é função da diferença de temperatura entre os terminais da amostra (da ordem de mV).As pontas de prova devem ser de material diferente do material da amostra.

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Efeito Seebeck

A diferença de potencial criada entre os terminais Quente e Frio é denominada Efeito Seebeck:

Onde S é o Coeficiente de Seebeck, dado por:

sendo F0 a energia de Fermi a 0 K e k a constante de Boltzmann.

e-e-

e-e-

e-e-

T2 T1

V

0

22

2 FeTkS (Eqs. 18 e 19)

dTdVS

T

TSdTV

0(Eq. 17)

27

Efeito Seebeck

TermoparesSão sensores de temperatura baseados no efeito Seebeck.Compostos por dois condutores diferentes, possuindo portanto diferentes coeficientes de Seebeck (SA SB).Uma junção é mantida em uma temperatura de referência (junção de referência ou junta fria), e a outra junção submetida em uma temperatura mais elevada (junção de medição ou junta quente).

Condutor B

T2 T1

V

Condutor A

Condutor B

JuntaQuente

JuntaFria

+++

-- -

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Efeito Seebeck

A ddp gerada pelo termopar pode ser calculada a partir da Eq. 17 como sendo:

resolvendo essa equação à luz da Eq. 19 obtemos uma expressão sob a forma:

conhecida como Equação do Termopar, onde a e b sãoos coeficientes do termopar e T a diferença entre a temperatura da junção quente e da junção fria (T2-T1).

2

1

2

1

)(T

T BA

T

T BAAB dTSdTSSV (Eq. 20)

2TbTaVAB (Eq. 21)

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Efeito Seebeck

Tipos de Termopares:E – Cromel/constantanJ – Ferro/constantanT – Cobre/constantanK – Cromel/AlumelS – Platina/Platina-10% ródio

Cromel: 90%Ni 10%CrAlumel: 95%Ni 5%(Al+Si+Mn)Constantan: 55%Ni 45%Cu

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Efeito Peltier

Considere a estrutura abaixo, constituída de dois condutores A e B onde A > B, conectados eletricamente por uma superfície “b” ( b » A).

+ -I

A B

a c

b

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Efeito PeltierPara percorrer o condutor A a corrente I necessita de nAelétrons a vDA m/s (I=C/s).Ao atingir a superfície “b” a corrente deve passar por um condutor cuja mobilidade é mais baixa (vDB < vDA).Como a corrente através da estrutura é constante, será necessário um número maior de elétrons percorrendo o condutor B para manter a corrente (nB > nA).Estes elétrons “faltantes” serão fornecidos pelo calor da superfície “b”.Ao chegar na superfície “c” os elétrons excedentes são dissipados sob a forma de calor.A estrutura é uma máquina térmica em estado sólido, retirando calor da superfície “b” para a superfície “c”!

32

Efeito Peltier

O fenômeno descrito é chamado de Efeito Peltier, isto é, a produção de um gradiente de temperatura a partir da passagem de corrente elétrica através de dois condutores distintos.O calor absorvido por unidade de tempo em uma máquina de Peltier é calculado pela equação:

Onde A e B são os coeficientes de Peltier de cada material. Eles representam a quantidade de calor que écarregada por unidade de corrente elétrica através de um dado material.

IIQ ABAB (Eq. 22)

33

Efeito Peltier

Algumas pastilhas Peltier

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Efeito da CA em Condutores Elétricos

Em aplicações de médias e altas tensões, além das características citadas, outros parâmetros devem ser levados em consideração:

Peso do cabo (cálculo mecânico das estruturas);Indutância;Capacitância;Efeito pelicular (skin effect).

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Efeito Pelicular

Quando um fio homogêneo é percorrido por uma corrente contínua, as cargas tendem a se distribuir igualmente ao atravessar uma seção transversal do mesmo.Em corrente alternada a densidade de corrente varia do centro do condutor para a sua superfície externa, sendo mínima no centro e máxima na periferia.A conseqüência prática é o aumento da resistência elétrica do condutor com relação à corrente contínua.

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Efeito Pelicular

O Efeito Pelicular decorre da indução de campos magnéticos associados à passagem da corrente e aos campos elétricos induzidos, cujos sentidos tendem a opor-se ao movimento de elétrons no centro do condutor e reforçá-lo na periferia.

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Efeito Pelicular

Resolvendo-se a equação diferencial de propagação de um campo eletromagnético em meio condutor, vemos que o campo resultante e a densidade de corrente (ambos estão relacionados pela condutividade do material) aumenta de intensidade do centro para a superfície do condutor.

/dseJJ (Eq. 23)

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Efeito Pelicular

A distribuição resultante da corrente pode ser representada matematicamente pela equação:

Onde:Js é o valor máximo da densidade de corrente (superfície do condutor)d é a distância da superfície

é uma constante chamada profundidade pelicular (skin depth)

/dseJJ (Eq. 24)

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Efeito Pelicular

Profundidade Pelicular (skin depth)

Onde:é a resistividade do materialé a frequência da corrente (2 f)é a permeabilidade absoluta do material

.2

(Eq. 25)

40

Efeito Pelicular

Se , J=Js.e0 (não há efeito pelicular, a densidade de corrente independe da profundidade;Quanto menor o valor de , maior o coeficiente d/ e maior a variação de J com a distância à superfície do condutor;Bons condutores (baixo ) possuem efeito pelicular mais pronunciado;Quanto maior a freqüência, maior o efeito pelicular;

Quanto maior a permeabilidadade do material ( ), maior o efeito pelicular;

2.d

s

d

s eJeJJ (Eq. 26)

41

Efeito Pelicular

Profundidade pelicular de alguns condutores

42

Efeito PelicularCobre Alumínio

43

Efeito Pelicular

Alguns condutores para média e alta tensão

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ANEXO

Dedução das Equações da Velocidade de Deriva e da Mobilidade

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Dedução da Velocidade de Deriva e Mobilidade

Considere que um campo elétrico uniforme (E) seja aplicado na direção x de um dado condutor.A aceleração sofrida por cada elétron desse condutor na direção do campo pode ser expressa por:

Onde me é a massa efetiva do elétron e Vx é a velocidade do e-.Para um grupo de N elétrons, a velocidade média será dada por:

A essa velocidade denominamos velocidade de deriva (vd).

ecampo

x

ecampo

xx m

eEt

VmF

tV

mFa (Eq. 1.1)

N

ixxd tV

Ntvv

i1

)(1)( (Eq. 1.2)

46

Dedução da Velocidade de Deriva e Mobilidade

Como o campo elétrico aplicado é uniforme, não devem haver variações na velocidade média de deslocamento dos elétrons enquanto o campo existir (velocidade de deriva = cte).Se vd é constante então a aceleração ganha pelos elétrons (Eq. 1.1) devido ao campo elétrico precisa ser equilibrada por uma outra de valor oposto, de maneira que a aceleração total seja nula. Esta aceleração de sentido oposto se deve às colisões:

00colisões

xcampo

xd vt

vt

vdtd

(Eq. 1.3)

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Dedução da Velocidade de Deriva e Mobilidade

Admita agora que no instante t = 0 esses elétrons tenham velocidade média vx0, e que para t > 0 o campo seja retirado.Em t > 0 a aceleração devido ao campo cessa, restando apenas as colisões dos elétrons com a rede cristalina.As colisões em t > 0 irão “frear” os elétrons de forma que sua velocidade decairá conforme a Eq. 1.4.

/0)( t

xx evtv (Eq. 1.4)

)(

0

tvvt

x

tx (Eq. 1.5)

48

Dedução da Velocidade de Deriva e MobilidadeAnalisando a equação temos que:

, assim como t, deve ser expresso em unidades de tempo. A esse parâmetro denominamos tempo de relaxação.A desaceleração dos elétrons será tanto maior quanto menor for o valor de . O motivo é que exprime o tempo médio que um elétron se move entre duas colisões. Por essa razão, também é chamado tempo médio entre colisões.Se o tempo em que o campo permaneceu aplicado no condutor antes de ser retirado foi significativamente superior a , a velocidade média dos elétrons em t = 0 (vx0)deve ser igual a velocidade de deriva (vd).

/0)( t

xx evtv

49

Dedução da Velocidade de Deriva e Mobilidade

Após retiramos o campo elétrico (t > 0), a aceleração dos elétrons devido ao campo cessa, restando apenas a aceleração devido às colisões. Em outras palavras, a desaceleração calculada na Eq. 1.5 corresponde a aceleração devido às colisões da Eq. 1.3, isto é:

Aplicando a Eq. 1.1 e 1.6 na Eq. 1.3 temos:

)(0 tvvt

vt

vt

x

colisõesx

campox

campox (Eq. 1.6)

(Eq. 1.7)Emevtv

meE

e

xx

e

0)(

50

Dedução da Velocidade de Deriva e MobilidadeAnalisando a Eq. 1.7 notamos que:

De acordo com a Eq. 1.2 a velocidade média encontrada na Eq. 1.7 corresponde, em módulo, à velocidade de deriva vd.O termo (e /me) é composto apenas por constantes, de modo que podemos substituí-lo por uma só constante,

e. Essa constante estabelece uma relação de proporcionalidade entre o campo elétrico e a velocidade de deriva e é chamada mobilidade do elétron, ou seja:

(Eq. 1.8)e

e me