Post on 11-Dec-2015
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Material Mecânica
Professor: Carlos Eduardo
1. Na figura abaixo, dois blocos de massas 𝑚1 e 𝑚2
são conectados, respectivamente, por um molas
de constantes 𝑘1 e 𝑘2 (𝑘1 > 𝑘2). Inicialmente as
molas estão relaxadas. O bloco da esquerda é
puxado a uma distância x para baixo. Encontre a
aceleração de cada bloco imediatamente após o
bloco da esquerda ser solto. Analise todos os
casos.
Resposta:
i) Se existir tração: 𝑎 =(𝑘1+𝑘2)𝑥
2𝑚;
ii) Caso não exista tração: 𝑎1 =𝑘1𝑥
𝑚− 𝑔 e 𝑎2 =
𝑘2𝑥
𝑚+ 𝑔
2. A mola tem uma constante elástica 𝑘 e massa 𝑚.
A mola está pendurada verticalmente, e um bloco
de uma massa desconhecida é anexado a sua
extremidade inferior. É sabido que a massa do
bloco é muito maior do que a da mola. Ao
deformar, a mola passa a ter o comprimento igual
a duas vezes o seu comprimento relaxado.
Quanto tempo Δ𝑡 seria necessário para um pulso
transversal baixa amplitude para percorrer o
comprimento da mola esticada pela pendurado
bloco?
Resposta: 𝑡 = √2𝑚/𝑘
3. Uma massa m1, com velocidade inicial v0 atinge
um sistema massa-mola, cuja massa é m2,
inicialmente em repouso, mas livre para se
movimentar. A mola é ideal e possui constante
elástica k, conforme a figura. Não há atrito com o
solo.
a) Qual é a compressão máxima da mola?
b) Se, após um longo tempo, ambos os objetos, se
deslocam na mesma direção, qual serão as velocidades
finais v1 e v2 das massas m1 e m2 respectivamente?
Solução com o professor!
4. Dois corpos de massas m1 e m2 ligadas por uma
mola de rigidez k repousam sobre um
plano horizontal liso.
O corpo 2 é deslocado de uma pequena distância x para a
esquerda e, em seguida, liberado. Encontrar a velocidade
do centro de massa do sistema imediatamente após o
corpo 1 perder o contato com a parede.
Resposta: 𝑥√𝑚2𝑘
𝑚1+𝑚2
5. Duas caixas ligadas por uma mola de rigidez k e
comprimento (no estado não deformado)
𝑙0 repousam em um plano horizontal.
A força F horizontal constante começa a atuar em uma
das caixas (no caso a de massa 𝑚2), como mostrado na
figura. Encontrar as distâncias máximas e mínimas entre
as caixas durante o movimento subsequente do sistema,
se as massas de cada caixa são:
Resposta: 𝑙0 +2𝑚1𝐹
𝑘(𝑚1+𝑚2)
6. Um sistema consiste em dois cubos idênticos,
cada um de massa 𝑚, ligados entre si pela mola
sem massa e comprimida (deformação 𝑥). Os
cubos também estão ligados por uma corda que
é queimada em um determinado momento.
Encontre:
a) Qual o intervalo de valores para a deformação
inicial 𝑥 o cubo inferior vai saltar?
b) Qual altura se elevará o centro de massa do
sistema se a compressão inicial da mola for
7 𝑚𝑔/𝑥.
Resposta:
a) Δ𝑙 >3𝑚𝑔
𝑥
b) 8𝑚𝑔
𝑥
7. Um corpo de massa 𝑚 caiu de uma altura ℎ sobre
o prato de uma balança de mola em equilíbrio. As
massas do prato e da mola são desprezíveis e a
constante elástica é 𝑘. Após a colisão, o corpo fica
preso ao prato e começa a oscilar na direção
vertical.
a) Encontre a amplitude destas oscilações.
b) Resolver o mesmo problema para o caso de o
prato ter uma massa 𝑀.
Resposta:
a) 𝑚𝑔
𝑘√1 +
2ℎ𝑘
𝑚𝑔
b) 𝑚𝑔
𝑘√1 +
2ℎ𝑘
(𝑚+𝑀)𝑔
8. Aos extremos de uma mola foram ligados dois
blocos de massas 𝑀 e 𝑚 (𝑀 > 𝑚). Duas forças 𝐹
são aplicadas ao sistema como mostra a figura
abaixo. Em seguida são colocados sobre um
plano com atrito. Sabendo que o coeficiente de
atrito entre os blocos e o solo vale 𝜇, o que
acontecerá quando as forças forem retiradas
simultaneamente?
Resposta:
i) Se 𝐹 ≤ 𝜇𝑚𝑔, os blocos não se moverão;
ii) Se 𝜇𝑀𝑔 ≥ 𝐹 > 𝜇𝑚𝑔, o bloco menor irá se
mover;
iii) Se 𝐹 ≥ 𝜇𝑀𝑔, os dois blocos se moverão em
sentidos opostos.
9. Em um plano horizontal absolutamente liso, se
encontram em repouso duas barras elásticas de
massa 𝑚 unidas por uma mola de constante
elástica 𝑘. Sobre a barra da esquerda, uma
terceira barra de mesma massa colide com uma
velocidade 𝑣0.
a) Demonstre que as barras ligadas pela bola se
moverão sempre na mesma direção;
b) Determinar a velocidade das mesmas quando a
deformação for máxima.
Resposta:
a) Demonstração;
b) 𝑣0/2.
10. Sobre um plano inclinado de um ângulo 𝛼,
deslizam dois corpos de massas iguais a 𝑚. Os
corpos estão unidos por um mola de constante
elástica 𝑘, que a princípio não está deformada.
Determine a máxima distância entre os blocos,
sabendo que o coeficiente de atrito entre o
segundo bloco e o plano é 𝜇. Não existe atrito
entre o bloco 1 e o solo.
Resposta:
i) 𝑥 =𝜇𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼
2𝑘[1 + √1 − 2 (1 −
𝑡𝑔𝛼
𝜇)
2
] , 𝑝𝑎𝑟𝑎 tgα ≤
μ ≤ 3tgα
ii) 𝑥 =𝜇𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑘, 𝑝𝑎𝑟𝑎 μ ≤ tgα
iii) 𝑖𝑖𝑖) 2𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑘, 𝑝𝑎𝑟𝑎 μ ≥ tgα
11. (ITA-adaptada) Um sistema é composto por duas massas idênticas ligadas por uma mola de constante 𝑘, e repousa sobre uma superfície plana, lisa e horizontal. Uma das massas é então aproximada da outra (de forma que a segunda massa permaneça apoiada sobre uma parede), comprimindo 𝑥0 = 2,0 𝑐𝑚 da mola.
Uma vez liberado, o sistema inicia um movimento com o seu centro de massa deslocando com velocidade de 18,0 cm/s numa determinada direção. O período de oscilação de cada massa é: a) 0,70 s b) 0,35 s c) 1,05 s d) 0,25 s e) indeterminado, pois a constante da mola não é
conhecida.
12. No interior de um carrinho de massa 𝑀 mantido em repouso, uma mola de constante elástica 𝑘 encontra-se comprimida de uma distância 𝑥, tendo uma extremidade presa e a outra conectada a um bloco de massa 𝑚, conforme a figura. Sendo o sistema então abandonado e considerando que não há atrito, pode-se afirmar que o valor inicial da aceleração do bloco relativa ao carrinho é:
𝑎)𝑘𝑥/𝑚 𝑏) 𝑘𝑥/𝑀 𝑐) 𝑘𝑥/(𝑚 + 𝑀) 𝑑) 𝑘𝑥(𝑀 − 𝑚)/𝑚𝑀 𝑒) 𝑘𝑥(𝑀 + 𝑚)/𝑚𝑀
13. Um elevador sobe verticalmente com aceleração constante e igual a 𝑎. No seu teto está preso um conjunto de dois sistemas massa-mola acoplados em série, conforme a figura. O primeiro tem massa 𝑚1 e constante de mola 𝑘1, e o segundo, massa 𝑚2 e constante de mola 𝑘2. Ambas as molas têm o mesmo comprimento natural (sem deformação) 𝑙. Na condição de equilíbrio estático relativo ao elevador, a deformação da mola de constante 𝑘1 é 𝑦, e a da outra, 𝑥. Pode-se então afirmar que (𝑦 − 𝑥) é:
𝑎) [(𝑘2 − 𝑘1)𝑚2 + 𝑘2𝑚1](𝑔 − 𝑎)/𝑘1𝑘2. 𝑏) [(𝑘2 + 𝑘1)𝑚2 + 𝑘2𝑚1](𝑔 − 𝑎)/𝑘1𝑘2. 𝑐) [(𝑘2 − 𝑘1)𝑚2 + 𝑘2𝑚1](𝑔 + 𝑎)/𝑘1𝑘2. 𝑑) [(𝑘2 + 𝑘1)𝑚2 + 𝑘2𝑚1](𝑔 + 𝑎)/𝑘1𝑘2 − 2𝑙. 𝐸 ( ) [(𝑘2 − 𝑘1)𝑚2 + 𝑘2𝑚1](𝑔 + 𝑎)/𝑘1𝑘2 + 2𝑙.
14. No plano inclinado, o corpo de massa m é preso a
uma mola de constante elástica k, sendo barrado à
frente por um anteparo. Com a mola no seu
comprimento natural, o anteparo, de alguma forma,
inicia seu movimento de descida com uma aceleração
constante a. Durante parte dessa descida, o anteparo
mantém contato com o corpo, dele se separando
somente após certo tempo. Desconsiderando
quaisquer atritos, podemos afirmar que a variação
máxima do comprimento da mola é dada por:
a) [𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑚√𝑎(2𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑎)]/𝑘
b) [𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑚√𝑎(2𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑎)]/𝑘
c) [𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑚√𝑎(2𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑎)]/𝑘
d) 𝑚(𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑎)/𝑘
e) 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼/𝑘
15. Sobre uma mesa horizontal e lisa se encontram dois
corpos iguais unidos por uma mola de constante K.
Uma força horizontal F começa a atuar no corpo da
direita. O movimento oscilatório se extingue
vagarosamente e causa fricção na mola de tal
maneira que após certo tempo os corpos se movem
com mesma aceleração uniforme. Qual a quantidade
de calor dissipada neste intervalo de tempo?
Resposta: 𝑄 = 𝐹2/8𝑘