Mestrado em Engenharia Mecânica Mecânica não linearldinis/hiperelasticidade.pdf · translação...

11

Silvestre T Pinho

Mestrado em Engenharia MecânicaMecânica não linear

Dra. Lúcia Dinis

Hiperelasticidade

25 de Outubro de 2005

Conclusões

25 de 25 de OutubroOutubro de 2005de 2005 22

Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Objectivos

• Perceber o que é hiperelasticidade e porque é que um modelo hiperelásticotem dissipação nula

• Como obter os diferentes tensores das tensões com base na função energia de deformação, para diferentes casos (materiais compressíveis, incompressíveis)

• Conhecer e saber usar algumas formas particulares da função energia de deformação

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Sumário da aula

• Introdução

• Notas gerais

• Materais hiperelásticos isotrópicos

• Materiais hiperelásticos incompressíveis

• Materiais hiperelásticos compressíveis

• Formas particulares da energia de deformação

• Recapitulação e conclusões

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

O que é hiperelasticidade?

FromFrom http://www.fitnessheaven.com/resources/adam03/ency/article/00328http://www.fitnessheaven.com/resources/adam03/ency/article/003280.asp0.asp

Para os mPara os méédicos...dicos... éé uma doenuma doençça da pele.a da pele.

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Modelos MateriaisModelos Materiais

Não elNão eláásticossticos ElEláásticossticos

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σCarregamentoCarregamento DescarregamentoDescarregamento

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Um modelo material Um modelo material eleláásticostico (ou (ou CauchyCauchy--eleláásticostico) ) éé::

••um modelo material (ou modelo constitutivo) em um modelo material (ou modelo constitutivo) em que a relaque a relaçção tensão ão tensão vsvs. deforma. deformaçção ão éé reversreversíívelvel(seja esta rela(seja esta relaçção linear ou não)ão linear ou não)

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σCarregamentoCarregamento DescarregamentoDescarregamento

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


CarregamentoCarregamento DescarregamentoDescarregamento

Um modelo material Um modelo material eleláásticostico (ou (ou CauchyCauchy--eleláásticostico) ) éé::(outra forma da defini(outra forma da definiçção)ão)

••um modelo material (ou modelo constitutivo) em um modelo material (ou modelo constitutivo) em que o estado de tensão em cada momento que o estado de tensão em cada momento depende apenas do estado de deformadepende apenas do estado de deformaçção naquele ão naquele momento (e eventualmente da temperatura), mas momento (e eventualmente da temperatura), mas não da histnão da históória de deformaria de deformaççãoão

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


••No entanto, um modelo material No entanto, um modelo material eleláásticostico (ou (ou CauchyCauchy--eleláásticostico) ) nãonão garante que o trabalho feito garante que o trabalho feito pelo campo de tensões durante um certo intervalo pelo campo de tensões durante um certo intervalo de tempo de tempo éé independente do percursoindependente do percurso

CarregamentoCarregamento DescarregamentoDescarregamento

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


••Se a lei constitutiva puder ser expressa Se a lei constitutiva puder ser expressa

na forma , isto na forma , isto éé, se a fun, se a funçção de energiaão de energia

de deformade deformaçção ão ΨΨ existir, então podemos provar existir, então podemos provar (com base na segunda lei da termodinâmica) que o (com base na segunda lei da termodinâmica) que o trabalho feito pelo campo de tensões durante um trabalho feito pelo campo de tensões durante um certo intervalo de tempo certo intervalo de tempo éé independente do independente do percursopercurso

)(FP f=

FP

∂Ψ∂

=

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

O que é hiperelasticidade?Modelos materiais elModelos materiais eláásticos para grandes deformasticos para grandes deformaççõesões

HipoelHipoeláásticossticos HiperelHipereláásticossticos

GreenGreen (1839, 1841)(1839, 1841)

Os materiais Os materiais hiperelhipereláásticossticostambtambéém são chamados m são chamados supersuper--eleláásticos sticos perfeitamente elperfeitamente eláásticos ou sticos ou GreenGreen--eleláásticossticos

tal que a relatal que a relaçção não ão não pode ser derivada de pode ser derivada de uma funuma funçção de energia ão de energia acumuladaacumulada

( ( –– taxa de tensão de taxa de tensão de KirchhoffKirchhoff

dd –– taxa de deformataxa de deformaçção)ão)

da :*

=τ

*τ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


••Formalmente, defineFormalmente, define--se um material se um material hiperelhipereláásticostico como sendo um material para o como sendo um material para o qual existe uma funqual existe uma funçção de energia livre de ão de energia livre de HelmholtzHelmholtz (ou energia de deforma(ou energia de deformaçção ou energia ão ou energia armazenada) armazenada) ψψ tal que:tal que:

iKiK F

P∂

Ψ∂=

∂Ψ∂

= ou F

P

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Exemplo de uso de um modelo hiperelástico

Computation of a Computation of a hyperelastichyperelastic membrane at finite strains. The deformation (no scaling) is dismembrane at finite strains. The deformation (no scaling) is displayed. The material law is played. The material law is based on a based on a polyconvexpolyconvex and coercive strainand coercive strain--energy function energy function proprosedproprosed by by HartmannHartmann and Neff. The mesh consists of six and Neff. The mesh consists of six hexahedral elements of high order (p=7)hexahedral elements of high order (p=7)From From http://www.inf.bauwesen.tuhttp://www.inf.bauwesen.tu--muenchen.de/~duester/projekt_hyper/hyper.htmlmuenchen.de/~duester/projekt_hyper/hyper.html

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Notas gerais sobre equações constitutivasEquações constitutivas para materiais hiperelásticos

• Existe uma energia livre de Helmholtz Ψ , a qual é definida por unidade de volume na configuração de referência, e não por unidade de massa.

Material heterogeneo: ( )XF,Ψ=Ψ Materiao homogéneo: ( )FΨ=Ψ

• Se ( )XF,Ψ=Ψ , isto é, a energia livre de Helmholtz Ψ é apenas função de F (ou outro tensor de deformação, para além (eventualemente) da posição do ponto material), então também é chamada energia de deformação ou energia acumulada.

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Por definição de Ψ ,

FFP

∂Ψ∂

=)( ou

iKiK F

P∂Ψ∂

=)(F

E, tendo em conta a relação entre o tensor das tensões de Piola-Kirchhoff e o tensor das tensões de Cauchy ( TJ PF1−=σ ), obtemos:

T

J ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

= −

FFF )(1σ ou

T

jKiKij F

FJ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂Ψ∂

= − )(1 Fσ

As equações anteriores são designadas por equações constitutivas ou equações de estado. O modelo resultante chama-se modelo material ou modelo constitutivo.

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Desigualdade de Clausius-Planck (1ª e 2ª leis da termodinâmica), ignorando efeitos térmicos:

0intint ≥Ψ−= &wD em que intw é a potencia interna resultante do campo de tensões e pode ser expressa como

2/int C:SF:P && ==w

e intD é a dissipação interna ou produção local de entropia.

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Para um modelo material hiperelástico,

Logo um modelo material hiperelástico tem produção local de entropia nula.

0intint ≥Ψ−= &wD

int =D : =∂Ψ∂

− FF

F:P && : =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

− FF

P & 0

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Limitações para a função Ψ :

• 0)( =Ψ I (condição de normalização)

• E logo para a configuração deformada 0)( ≥Ψ F

• ∞→Ψ⇒∞→ )(FJ

• ∞→Ψ⇒→ + )(0 FJ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Notas gerais sobre equações constitutivasFormas equivalentes da energia de deformaFormas equivalentes da energia de deformaççãoão

Objectividade:

• a energia de deformação de um material deformado não é afectada por uma subsequente rotação e/ou translação do material deformado

Pode-se demonstrar a partir da objectividade da energia de deformação que

• )()( QFF Ψ=Ψ para qualquer tensor ortogonal Q

• Para TRQ = , conclui-se que )()( UF Ψ=Ψ (decomposição polar)

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Notas gerais sobre equações constitutivasFormas reduzidas das equaFormas reduzidas das equaçções constitutivasões constitutivas

Usando a regra da diferenciação em cadeia, é possível provar que:

TT

FCC

FF

∂Ψ∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂ )(2)(

O que pode ser usado para obter formas reduzidas das equações constitutivas em termos das: ç

• Tensões de Cauchy • Primeiras tensões de Piola-Kirchhoff • Segundas tensões de Piola-Kirchhoff

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Tensões de Cauchy

TTT

JJ FCCF

FFF ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

= −− )(2)( 11σ ou

jL

T

KLiK

T

jKiKij F

CFJ

FFJ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Ψ∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂Ψ∂

= −− )(2)( 11 CFσ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Primeiras tensões de Piola-Kirchhoff

CCFP

∂Ψ∂

=)(2 ou

KLiLiK C

FP∂Ψ∂

=)(2 C

Segundas tensões de Piola-Kirchhoff

EE

CCS

∂Ψ∂

=∂

Ψ∂=

)()(2 ou KLKL

iK ECS

∂Ψ∂

=∂Ψ∂

=)()(2 EC

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Notas gerais sobre equações constitutivasTrabalho feito por materiais Trabalho feito por materiais hiperelhipereláásticossticos

=W

• Para processos fechados ( 21 FF = ), o trabalho é sempre nulo.

d2

1

F:P =∫t

t

t& d)(2

1

F:FF

=∂

Ψ∂∫t

t

t& )()( 12 FF Ψ−Ψ

• Ao contrário de materiais Cauchy-elásticos, o trabalho feito pelo campo de tensões num material hiperelástico depende apenas das configurações inicial e final: independente da trajectória.

d)(2

1

F=

Ψ∫t

t

tDt

D

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais isotrópicos hiperelásticosDefiniDefiniççõesões

• A resposta do material (tensão vs. deformação) é a mesma em todas as direcções.

• Formalmente, em hiperelasticidade, pode ser demonstrado que um material é isotrópico quando

)()( TFQF Ψ=Ψ para qualquer tensor ortogonal Q

• Alternativamente, a condição anterior pode ser expressa como: )()( TQCQC Ψ=Ψ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais isotrópicos hiperelásticosEquaEquaçções constitutivas em termos de invariantesões constitutivas em termos de invariantes

• Pode-se demonstrar que se uma função tensorial ( Ψ ) é invariante perante uma rotação (isotropia), então pode ser expressa em termos dos invariantes do seu argumento:

[ ])(),(),()( 321 CCCC IIIΨ=Ψ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Aplicando regra da diferenciação em cadeia,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂Ψ∂

+∂Ψ∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Ψ∂

+∂Ψ∂

=∂

Ψ∂= −1

33

221

1

2)(2 CCICCS

II

III

I

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


E, tendo em conta a relação entre o segundo tensor das tensões de Piola-Kirchhoff e o tensor das tensões de Cauchy ( TJ FSF1−=σ ) e que TFFb = , obtemos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂Ψ∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

Ψ∂+

∂Ψ∂

+∂Ψ∂

= − 2

221

133

12 bbIII

III

IJσ ou

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂Ψ∂

−+∂Ψ∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Ψ∂

+∂

Ψ∂= −− 1

23

133

22

12 bbII

III

II

IJσ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais isotrópicos hiperelásticosEqEq. constitutivas em termos dos alongamentos relativos principais. constitutivas em termos dos alongamentos relativos principais

• Se Ψ é invariante, então pode ser expressa em termos dos alongamentos relativos principais:

[ ])(),(),()( 321 CCCC λλλΨ=Ψ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais hiperelásticos incompressíveisIntroduIntroduççãoão

• Vários tipos de polímeros e tecidos vivos (biomacânica) podem ser consideravelmente deformados sem apreciáveis alterações de volume

• Para esses casos, é comum tratá-los como incompressíveis

• Condição de incompressibilidade: 1=J

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais hiperelásticos incompressíveisFunFunçção de ão de energyenergy de deformade deformaççãoão

• Para obter equações constitutivas para um material hiperelástico incompressível, postula-se a seguinte função de energia armazenada:

)1()( −−Ψ=Ψ JpF

onde p é um multiplicador de Lagrange que se pode identificar com a pressão hidrostática.

• p só pode ser determinado a partir das equações de equilíbrio e das condições de fronteira

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais hiperelásticos incompressíveisFunFunçção de ão de energyenergy de deformade deformaççãoão

Por definição de material hiperelástico, o primeiro tensor de Piola-Kirchhoff vem:

FFFP

∂Ψ∂

+−= − )(Tp

O segundo tensor de Piola-Kirchhoff pode ser obtido como:

CCC

FFFFFS

∂Ψ∂

+−=∂

Ψ∂+−= −−−− )(2)( 111 pp T

E o tensor de Cauchy vem: T

T pp ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

+−=∂

Ψ∂+−=

FFFIF

FFI )()(σ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais hiperelásticos incompressíveisHiperelasticidadeHiperelasticidade isotrisotróópica incompresspica incompressíívelvel

• Uma função de energia de deformação apropriada é dada por

[ ] )1(21, 321 −−Ψ=Ψ IpII

• O segundo tensor das tensões de Piola-Kirchoff é dado por:

CICS22

11

1 22II

II

p∂

Ψ∂−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

Ψ∂+

∂Ψ∂

+−= −

• E o tensor das tensões e Cauchy 1

21

22 −

∂Ψ∂

−∂Ψ∂

+−= bbIII

pσ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais hiperelásticos incompressíveisHiperelasticidadeHiperelasticidade isotrisotróópica incompresspica incompressíívelvel

• Em termos dos alongamentos relativos principais,

( ) )1(21,, 321 −−Ψ=Ψ Jpλλλ

As tensões principais de Cauchy podem ser obtidas como:

iii p

λλσ

∂Ψ∂

+−=

E as tensões principais de Piola-Kirchhoff

iii pP

λλ ∂Ψ∂

+−=1

e iii

i pSλλλ ∂Ψ∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

112

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais hiperelásticos compressíveisIntroduIntroduççãoão

• Um material que pode sofrer variações de volume é dito compressível. As espumas são exemplos de materiais que suportam deformações finitas com mudança de volume

• É útil dividir-se o comportamento do material numa componente volumétrica e numa componente isocórica (ou de desvio ou de corte). Por exemplo para materiais quase incompressíveis, esta divisão evita complicações numéricas ao usar elementos finitos

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais hiperelásticos compressíveisDecomposiDecomposiççãoão

• Decomposição de F e C numa componente dilatacional (volume variável) e distorcional (volume constante):

( )FIF 3/1J= e ( )CIC 3/2J=

• C tensor direito de Cauchy-Green modificado

• F gradiente de deformação modificado

• 1det 321 == λλλF ( ) 1detdet 2 == FC

• ii J λλ 3/1−= - alongamentos relativos principais modificados

Componente dilatacional componente distorcional

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais hiperelásticos compressíveisEnergia de deformaEnergia de deformaççãoão

Postula-se que a função de energia de deformação pode ser desacoplada:

)()()( isovol CC Ψ+Ψ=Ψ J

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais hiperelásticos compressíveisDissipaDissipaççãoão

Usando a expressão da segunda lei da termodinâmica sob a forma da desigualdade de Clausius-Plank,

0intint ≥Ψ−= &wD em que intw é a potencia interna resultante do campo de tensões e pode ser expressa como

2/int C:SF:P && ==w e intD é a dissipação interna ou produção local de entropia...

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Materiais hiperelásticos compressíveisDissipaDissipaççãoão Lei constitutivaLei constitutiva

...pode obter-se para um material hiperelástico (dissipação nula):

02

:d

)(d2:d

)(d iso3/21volint =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Ψ−

Ψ−= −− C

CCCS

&PJ

JJJD

• O termo entre parenteses é nulo e permite definir as segundas tensões de Piola-Kirchhoff para um material hiperelástico compressível, as quais podem ser divididas numa componente volumétrica e numa componente isocórica...

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Formas da função energia de deformaçãoIntroduIntroduççãoão

• A resposta de materiais hiperelásticos é derivada da função de energia de deformação Ψ

• Existem várias formas para essa função, propostas por diferentes autores

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressMateriais incompressííveisveis

Modelo de Ogden para materais incompressíveis (borracha)

• Função energia de deformação em termos dos alongamentos relativos principais:

( ) ( )3,, 321

1321 −++=Ψ=Ψ ∑

=

pppN

p p

p ααα λλλαμ

λλλ

• N - número inteiro positivo que controla o número de termos

• pμ - módulos de corte

• pα - constantes adimensionais

• 3=N excelente correlação com dados experimentais

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.



Exemplo Considere uma membrana incompressível hiperelástica sob deformação biaxial. O campo de deslocamentos pode ser expresso em termos dos alongamentos relativos principais de acordo com:

111 Xx λ= , 222 Xx λ= , 321

31 Xxλλ

= .

Determine o campo de tensões de Cauchy em função dos alongamentos relativos principais, usando o modelo de Odgen.

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.



Solução:

1. Material incompressível: i

ii pλ

λσ∂

Ψ∂+−=

2. Modelo de Odgen:

( ) ( )3,, 3211

321 −++=Ψ=Ψ ∑=

pppN

p p

p ααα λλλαμ

λλλ

3. Incompressibilidade: 21

31λλ

λ =

4. Substituindo (2) em (1):

( )pi

N

ppi p αλμσ ∑

=

+−=1

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.



4. Substituindo (2) em (1):

( )pi

N

ppi p αλμσ ∑

=

+−=1

5. ?=p

Estado plano de tensão: 03 =σ Usando (4) com 3=i , obtem-se

( )pN

ppp αλμ 3

1∑

=

=

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Modelo de Ogden para materais incompressíveis (borracha) ( )

( )pN

ppp αλμ 3

1∑

=

=

6. Pode-se substituir p (obtido em (5)) e exprimir 3λ em função de 1λ e 2λ (3):

( )[ ]ppN

pp

αα λλλμσ −

=

−= ∑ 2111

1

( )[ ]ppN

pp

αα λλλμσ −

=

−= ∑ 2121

2

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Modelos de Mooney-Rivlin, neo-Hookean e Varga para materiais incompressíveis

• São casos particulares do modelo de Ogden

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Modelo de Mooney-Rivlin para materais incompressíveis

É igual ao modelo de Odgen

( ) ( )3,, 3211

321 −++=Ψ=Ψ ∑=

pppN

p p

p ααα λλλαμ

λλλ com 2=N , 21 =α

e 22 −=α : 2

( ) ( )( ) ( )33

33

2211

23

22

212

23

22

211

−+−=Ψ−+++−++=Ψ −−−

IcIccc λλλλλλ

Com 2/11 μ=c e 2/22 μ=c

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.



( ) ( )3,, 3211

321 −++=Ψ=Ψ ∑=

pppN

p p

p ααα λλλαμ

λλλ com 1=N e

21 =α :

( )( )3

3

11

23

22

211

−=Ψ−++=Ψ

Icc λλλ

Modelo neo-Hookean para materais incompressíveis

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Modelo de Varga para materais incompressíveis


( ) ( )3,, 3211

321 −++=Ψ=Ψ ∑=

pppN

p p

p ααα λλλαμ

λλλ com 1=N e

11 =α :

( )33211 −++=Ψ λλλc com 11 μ=c

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Formas da função energia de deformaçãoMateriais incompressMateriais incompressííveis veis -- exemploexemplo

Exemplo Insuflamento de um balão atmosférico. Objectivo: Calcular a pressão dentro do balão p e a tensão circunferencial (de Cauchy) σ em função do alongamento relativo circunferencial.

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


pp

h, rh, r

Geometria correnteGeometria corrente

Geometria inicialGeometria inicial

H=0.1 H=0.1 mmR=10 R=10 mm

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Geometria: Raio inicial: m10=R Espessura inicial: m1.0=H Propriedades mecânicas ( 2N/m510225.4 ⋅=μ ): Ogden:

2

2

2

N/m

N/m

N/m

533

522

511

101.00.2

10012.00.5

103.63.1

⋅−=−=

⋅==

⋅==

μα

μα

μα

Mooney-Rivlin: μ4375.01 =c e μ0625.02 =c Neo-Hookean: μ21 =c

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


1. Devido à simetria, 21 λλλ ==

2. Usando a solução do exercício anterior:

( )[ ]ppN

pp

αα λλλμσ −

=

−= ∑ 2111

1

( )[ ]ppN

pp

αα λλλμσ −

=

−= ∑ 2121

2

E a simetria, obtemos:

[ ]ppN

pp

αα λλμσ 2

1

−

=

−= ∑

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


[ ]ppN

pp

αα λλμσ 2

1

−

=

−= ∑

3. A pressão é determinada pelas equações de equilíbrio:

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


pp σσσσ

rr

σrhp 2=

hh

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


[ ]ppN

pp

αα λλμσ 2

1

−

=

−= ∑


σrhp 2=

4. cinemática: =λ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


22ππRR

22ππrrRr

=λ

HH

hh

Hh

=3λ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


[ ]ppN

pp

αα λλμσ 2

1

−

=

−= ∑


σrhp 2=

4. cinemática: Rr /=λ

5. Incompressibilidade: λλ /13 = 2

6. Usando (2), (3), (4), (5) e (6):

[ ]323

12 −−−

=

−= ∑ ppN

ppR

Hp αα λλμ

Hh /3 =λ

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


0

10

20

30

40

1 3 5 7 9

Alongamento relativo λ

Tensão de Cauchy (MPa)

OgdenMooney-Rivlinneo-HookeanVarga

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


0

2

4

6

1 3 5 7 9Alongamento relativo

Pressão interna (kPa) Ogden

Mooney-Rivlinneo-HookeanVarga

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Modelos de Yeoh, e de Arruda e Boyce para materiais incompressíveis

• Adequado para borracha contendo negro de carbono e/ou sílica

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.


Modelo de Yeoh para materiais incompressíveis

( ) ( ) ( )333

22211 333 −+−+−=Ψ IcIcIc

Modelo de Arruda e Boyce

• Com base numa expansão de Taylor

( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+−+−=Ψ ...27

1050119

2013

21 3

122

11 In

In

Iμ

onde n é o número de segmentos numa cadeia

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Modelo de Ogden para materiais compressíveis

),,()( 321isovol λλλΨ+Ψ=Ψ J

Com ( )1ln)( 2

vol −+=Ψ −− ββκβ JJJ

( )∑=

−=ΨN

pi

p

p p

1321iso 1),,( αλ

αμ

λλλ

Formas da função energia de deformaçãoMateriais compressMateriais compressííveisveis

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Modelo de Simo e Miehe:

Igual ao modelo de Odgen, mas com

( )JJJ ln2141)( 2

vol −−=Ψ κ

• É possível formular os modelos de Mooney-Rivlin, neo-Hookean, Varga, e de Arruda e Boyce para materiais compressíveis, usando o mesmo formalismo

Formas da função energia de deformaçãoMateriais compressMateriais compressííveisveis

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Recapitulação

• O que é hiperelasticidade e porque é que um modelo hiperelástico tem dissipação nula

• Como obter os diferentes tensores das tensões com base na função energia de deformação, para diferentes casos (materiais compressíveis, incompressíveis)

• Como usar algumas formas particulares da função energia de deformação

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Conclusões

• Modelo hiperelástico dissipação nula

• Hiperelasticidade + Mecânica não lineardescrição adequada do comportamento de vários materiais reais (eg borrachas) no domínio das grandes deformações

• Para cada material (ou tipo de material), deve ser escolhida uma forma apropriada da função energia de deformação

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Referências

• G A Holzapfel. Nonlinear Solid Mechanics, A continuum approach for enginneers. John Wiley & Sons Ldt, England, 2000.

• L E Malvern. Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium. Prentice-Hall, Inc, USA, 1969.

• I Doghri. Mechanics of Deformable Solids, Linear and nonlinear, analytical and computational aspects. Springer-Verlag, Germany, 2000.

• V A Lubarda. Elastoplasticity theory. CRC Press LLC, 2002

• G T Mase, G E Mase. Continuum Mechanics for Engineers, Second Edition, CRC Press LLC, 1999

Conclusões


Introdução

Notas gerais

Mat. Isotróp.

Incompres.

Compres.

Formas part.

Apontamentos

• Esta apresentação (em formato pdf) encontra-se em:

http://www.fe.up.pt/~ldinis

e em

http://www.fe.up.pt/~stpinho

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