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Mecânica Quântica:uma abordagem (quase) conceitual
Carlos Eduardo AguiarCarlos Eduardo Aguiar
Programa de Pós-Graduação em Ensino de FísicaInstituto de Física - UFRJ
I Jornada de Científica do MNPEF
UFPA, setembro de 2015
Sumário
1. Ensino e aprendizagem de mecânica quântica2. Fenômenos quânticos3. Princípios da mecânica quântica4. Sistemas quânticos simples: aplicações
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 2
5. Emaranhamento6. Realismo, contextualidade e não-localidade7. Como seguir em frente: operadores, etc.8. Comentários finais
Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
• Dificuldades conceituais– Superposição quântica – Probabilidade subjetiva x objetiva– Complementaridade – O problema da medida– Realismo vs. localidade– ...– ...
• Dificuldades matemáticas– Vetores– Números complexos– Espaços vetoriais complexos– Operadores, autovalores, autovetores– Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais– ...
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 4
Ensino e aprendizagem de mecânica quântica
• Entre os alunos as dificuldades matemáticas ganham
proeminência pela necessidade de adquirir um domínio
operacional da teoria, essencial a aplicações.
• Como veremos, é possível expor a teoria quântica – sem
descaracterizá-la – reduzindo as ferramentas matemáticas adescaracterizá-la – reduzindo as ferramentas matemáticas a
vetores e um pouco de números complexos. Com isso,
torna-se viável dar mais atenção aos aspectos conceituais.
• Tal abordagem pode ser de interesse a alunos para os quais
o aspecto operacional não é o mais importante (licenciandos
em física, por exemplo).
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 5
Fenômenos Quânticos
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Charles Addams, New Yorker, 1940
Um experimento com a luz
espelho
detectores de luz D1
D2
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feixe luminosopouco intenso
semiespelho (50-50%)
espelho
Resultado do experimento
• Os detectores nunca disparam ao mesmo tempo: apenas um, ou D1 ou D2, é ativado a cada vez.
D1 D1
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D2 D2
ou
50% 50%probabilidade
Se a luz fosse uma onda
D1
D
... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo.
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D2
Se a luz é composta por partículas
D1
D2
D1
D2
... ou D1 dispara, ou D2 dispara.
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ou
D2D2
Conclusão
• A luz é composta por partículas: os fótons.
• O detector que dispara aponta “qual caminho” o fóton tomou.
D
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caminho 2
caminho 1
D2
D1
O experimento de Grangier, Roger & Aspect
• Experimento realizado pela primeira vez em 1986 por Philippe Grangier, Gérard Roger e Alain Aspect.
• A fonte luminosa de “pouco intensa” usada no experimento não é fácil de construir.
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ν1
ν2
átomo de cálcio τ = 4,7 ns
O experimento de Grangier, Roger & Aspect
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w = 9 ns
P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)
Sobre o ensino do conceito de fóton
• Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência simples e direta da natureza corpuscular da luz.
• Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio) que o efeito fotoelétrico.
• Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton • Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compton.– G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927)– E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927)
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Outro experimento com a luz
D2
D1
segundo
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interferômetro de Mach-Zehnder
segundosemiespelho
feixe luminoso“fóton a fóton”
Preliminares: um feixe bloqueado
50%
25%
25%
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1
2
Resultado fácil de entender com partículas
50%
25%
25%
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= caminho do fóton
1
2
Difícil de entender se os fótons seguem caminhos definidos
caminho 1 caminho 2
25%
25%
25%
25%
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1
25%2
25%
Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferençase o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto valeo resultado do experimento preliminar.
)2()1( PPP +=
Proposição*
Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2
consequência:
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)2(D
)1(DD nnn
PPP +=
probabilidade dodetector Dn disparar apenas o caminho
1 aberto
apenas o caminho2 aberto
* The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-5
Teste da Proposição
Experimentalmente:
%25P )1(D1
=
%25P )2(D1
=
%25P )1(D2
=
%25P )2(D2
=
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 24
)2(D
)1(DD nnn
PPP +≠
%100P1D = %0P
2D =
a proposição é falsa!
Repetindo:
A afirmativa
“o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2”
é falsa.
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é falsa.
“… um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível,de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si ocoração da mecânica quântica.”
R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1
Por onde vai o fóton?
• Experimentalmente, a opção “ou 1 ou 2” é falsa.
• Se os dois caminhos forem fechados, nenhumfóton chega aos detectores. Logo, “nem 1 nem 2”também não é aceitável.também não é aceitável.
• Parece restar apenas a opção “1 e 2”: o fótonsegue os dois caminhos ao mesmo tempo.
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Uma resposta melhor
• Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro,pois a montagem experimental não permite distinguir oscaminhos 1 e 2.
• A pergunta “qual o caminho do fóton?” só faz sentido frente a umaparato capaz de produzir uma resposta.
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Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer comas palavras “posição de um objeto”, por exemplo do elétron(em um sistema de referência), ele deve especificarexperimentos determinados com os quais pretende medir talposição; do contrário essas palavras não terão significado.
- W. Heisenberg, The physical content of quantum kinematics and mechanics
(o artigo de1927 sobre o princípio da incerteza)
Fácil de entender num modelo ondulatório
D1
D
interferênciaconstrutiva
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D2
interferênciadestrutiva
Comprimentos variáveis
L2
PD2
PD1
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L1
L1, L2 = comprimentos ajustáveis dos “braços” do interferômetro
Resultado experimental:
L1 – L2
0
1
PD1
L1 – L2
1
0
PD2
• Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda.
• Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton “interfere comele mesmo”.
• Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), ocomprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado.
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(linha tracejada: “ou 1 ou 2” ↔ PD(1) + PD
(2))
O experimento de Grangier, Roger & Aspect
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P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)
O experimento de Grangier, Roger & Aspect
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L1 – L2 (λ/50) L1 – L2 (λ/50)
Interferência de nêutrons
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interferômetro de nêutrons
S. A. Werner, Neutron interferometry, Physics Today 33, 24 (dezembro1980)
Interferência de átomos
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interferômetro de átomos
A. D. Cronin, J. Schmiedmayer, D. E. Pritchard, Optics and interferometrywith atoms and molecules, Reviews of Modern Physics 81, 1051 (2009)
Interferência de elétrons
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 35
A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up
of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989)
E se os caminhos forem distinguíveis?
interferênciadesaparece !
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 36
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
diferença de “caminhos” (ajustável)
E se os caminhos forem distinguíveis?
• Massa = 0• caminho
identificado• não há padrão de
• Massa →∞• caminho não
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 37
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
N ↔ Massa
• não há padrão de interferência
• caminho nãoidentificado
• padrão de interferência
E se a informação sobre o caminho for apagada?
impossível determinar o caminho
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 38
P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer
at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)
interferência
Quando há interferência?
Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, indistinguíveis experimentalmente
interferência(“1 e 2”)
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Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, distinguíveis experimentalmente
(“ou 1 ou 2”)
não há interferência
Princípios da Mecânica Quântica
• Vetores de estado e o princípio da superposição
• A regra de Born
• Complementaridade e o princípio da incerteza
• Colapso do vetor de estado• Colapso do vetor de estado
• Evolução unitária
• Sistemas de N estados
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 41
Vetores de Estado e o
Princípio da SuperposiçãoPrincípio da Superposição
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Sistemas de dois estados
• esquerda / direita
• horizontal / vertical
• para cima / para baixo• para cima / para baixo
• sim / não
• 0 / 1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 43
Sistemas de dois estados
fóton refletido
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 44
cara coroafóton transmitido
Sistemas de dois estados
=2
1
a
aAgrandeza física observável:
a2a1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 45
A = ? a2a1
a2a1medidor de “A”
ou
Sistemas clássicos
• Sistema clássico de dois estados, A = a1 e A = a2.
• Representação dos estados: pontos no “eixo A”
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Aa1 a2
sistema temA = a1
sistema temA = a2
Sistemas quânticos: vetores de estado
• Sistema quântico de dois estados, A = a1 e A = a2.
• Representação dos estados: vetores ortogonais (e de comprimento unitário) em um espaço de duas dimensões
a
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1a
2a
sistema temA = a2
sistema tem A = a1
A notação de Dirac
vetor ↔ L
identificação
aa
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 48
↓↑
b↔
21 aa
direitaesquerda
10
exemplos:
O que muda?
Passar de dois pontos em uma reta para doisvetores perpendiculares não parece ser mais domudar o sistema de “etiquetagem” dos estados.
2a?
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1aAa1 a2
O que muda é o seguinte:
O Princípio da Superposição
Qualquer combinação linear dos vetores |a1⟩ e |a2⟩representa um estado físico do sistema.
2211 acac +=ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 50
1a
2a ψ
Significado de |ψ⟩
• A = a1 e A = a2 ?• esquerda e direita?• horizontal e vertical?
2a ψ
• horizontal e vertical?• sim e não?• 0 e 1?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 51
1a
O espaço de estados é grande
• Um sistema quântico de dois estados tem muito mais que dois estados, tem infinitos estados.
• Os estados |a1⟩ e |a2⟩ formam uma “base” do espaço de estados.
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1a
2a
Princípio da Superposição: formulação geral
Se |ϕ⟩ e |χ⟩ são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do sistema.
χβ+ϕα=ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 53
ϕ
χ ψ
Um ‘detalhe técnico’
• As constantes c1 e c2 podem ser números complexos (o espaço de estados é um espaço vetorial complexo).
• Deve-se ter cuidado com figuras como esta:esta:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 54
1a
2a
ψc2
c1
Outro ‘detalhe técnico’
• Qual o significado de “ortogonalidade” num espaço vetorial complexo?
• Como se define “comprimento” de um vetor nesse espaço?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 55
1a
2a
?
A Regra de Born
2211 acac +=ψ
a
2a
ψc2
c
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1a c1
A probabilidade de uma medida da grandeza física A resultar em A = an é
22
21
2n
ncc
c)a(P
+=
(n = 1, 2)
A Regra de Born
2211 acac +=ψ
a2a122
21
1cc
c)a(P
+=
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 58
? a2a1
a2a1
medidor de “A”
22
21 cc +
22
21
22
2cc
c)a(P
+=
Probabilidade total
1cc
c
cc
c)a(P)a(P 2
22
1
22
22
21
21
21 =+
++
=+
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 59
Só há dois resultados possíveis, ou a1 ou a2.
A probabilidade da medida resultar ou em a1 ou em a2 é 1 (100%)
Normalização do vetor de estado
22
21 cc +=Ψ
Norma de |Ψ⟩:
2a
ψc2
(tamanho do vetor |Ψ⟩)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 60
1aa 21 ==
1a c1
(tamanho do vetor |Ψ⟩)
Com essa definição:
Normalização do vetor de estado
Ψ
Ψλ=Φ
2211 acac λ+λ=Φ2211 acac +=Ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 61
|Φ⟩ e |Ψ⟩ têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico!
)a(Pcc
c
cc
c)a(P n2
22
1
2n
22
21
2n
n ΨΦ =+
=λ+λ
λ=
Ψ×λ=Φ
Normalização do vetor de estado
Todos os vetores ao longo de uma dada direção representam o mesmo
estado físico.
Podemos trabalhar apenas
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Podemos trabalhar apenas com vetores “normalizados”:
1=Ψ
1cc,acac 22
212211 =++=Ψou seja,
2nn c)a(P =
Vetores normalizados: a Regra de Born
2211 acac +=Ψ
aa2
c)a(P =
(normalizado)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 63
? a2a1
a2a1
a2a1
medidor de “A”
11 c)a(P =
222 c)a(P =
Amplitude de probabilidade
cn ⇔ amplitude de probabilidade
probabilidade = |amplitude de probabilidade|2
xcxc +=Ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 64
nn c)x( =Ψ“função de onda”
2nn )x()x(P Ψ=
2211 xcxc +=Ψ
Frequência dos resultados de medidas
N medidas de A(N→ ∞)
a2a1
a2a1
Ψ
Ψ
N1 ↔ a1
N2 ↔ a2
acac +=Ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 65
Ψa2a1
••• podemos prever
a frequência dosresultados:
211
1 c)a(PNN
==
222
2 c)a(PNN
==
2211 acac +=Ψ
Valor médio dos resultados
valor médio de A:
NaNaN
A 2211 +=
a2a1
a2a1
Ψ
Ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 66
Ψa2a1
•••
2211 acac +=Ψ
22
212
1 acacA +=
Incerteza
2211 acac +=Ψ
a
2a
Ψc2
c1, c2 ≠ 0
impossível prever o
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 67
possível prever o resultado(probabilidade = 100%):
valor de A “bem definido”
1a
c1
impossível prever o resultado de uma medida
0c,1ca 211 ==↔=Ψ
ouSe1c,0ca 212 ==↔=Ψ
Incerteza
2211 acac +=Ψ
∆A = incerteza de A no estado |Ψ⟩
( ) 2222 AAAA)A( −=−=∆
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 68
( ) AAAA)A( −=−=∆
1a=Ψ
ou
2a=Ψ∆A = 0
Complementaridade e o
Princípio da IncertezaPrincípio da Incerteza
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 69
Complementaridade
a2a1
A1a
2a
duas grandezasfísicas: A e B
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 70
B
b2b1
2b
1b
físicas: A e B
Grandezas compatíveis e incompatíveis
1a
2a
1b
2b
A e B compatíveis
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 71
2b
1b
2a
1a
A e B incompatíveis
A e B complementares: incompatibilidade “máxima”
O Princípio da Incerteza
2b2a
Ψ
A e B incertos (∆ A ≠ 0, ∆ B ≠ 0)
A bem definido, B incerto(∆ A = 0, ∆ B ≠ 0)
B bem definido, A incerto
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 72
1b
1a
B bem definido, A incerto(∆ B = 0, ∆ A ≠ 0)
O Princípio da Incerteza
2b2a
Ψ
A e B incompatíveis ⇒nenhum estado |Ψ⟩ com ∆A = 0 e ∆B = 0
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 73
1b
1a
Exemplo: posição e momentum
Xx1 x2
duas posições: |x1⟩, |x2⟩ (“aqui”, “ali”)
dois estados de movimento: |p ⟩, |p ⟩ (“repouso”, “movimento”)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 74
dois estados de movimento: |p1⟩, |p2⟩ (“repouso”, “movimento”)
2p1p
2x
1x
impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos
Resumo da “cinemática” quântica
estado físicovetor no espaço
de estados
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 75
grandeza físicasistema de eixos (uma “base”) no
espaço de estados
Resumo da “cinemática” quântica
probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = a1
ou A = a2
2a
a
projeção do vetor de estado no eixo |an⟩
⇓probabilidade damedida resultar
em A = a
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 76
grandezas físicasincompatíveis
(complementares)
diferentes sistemas de eixos no espaço
de estados
1a em A = an
• “Redução” durante uma medida• Evolução unitária (equação de
Como o vetor de estado muda com o tempo?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 77
• Evolução unitária (equação de Schroedinger)
Redução do vetor de estado
a2a1Ψantes damedida
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 79
a2a1 2a depois damedida
Redução do vetor de estado
2a
Ψ
resultadoA = a2
resultadoA = a
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 80
1a
A = a1
medida de A resulta em an ⇒ logo após a medida o vetor de estado do sistema é |an⟩
Redução do vetor de estado
• A redução garante que a medida é repetível: se obtemos
A = an e imediatamente refazemos a medida, encontramos
A = an novamente com 100% de probabilidade.
• O estado | an ⟩ é o único em que a nova medida resultará
em A = an com 100% de probabilidade.
• |Ψ⟩ → |an⟩: a medida causa uma alteração imprevisível • |Ψ⟩ → |an⟩: a medida causa uma alteração imprevisível
e incontrolável do estado quântico; versão moderna do
“salto quântico”.
• A redução aplica-se a medidas “ideais” (medidas projetivas
ou de von Neuman, ). Na prática, muitas vezes não faz sentido
falar em redução a | an ⟩. Por exemplo, um fóton geralmente é
absorvido durante sua detecção; não há mais fóton após a
primeira medida.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 81
A equação de Schroedinger
• Evolução temporal do vetor de estado:|Ψ(0)⟩ → |Ψ(t)⟩
• Dinâmica quântica: determinada pelaenergia do sistema (o conceito de forçaé pouco relevante).
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 83
A (solução da) equação de Schroedinger
2E
1E
Sistema de dois estados
Dois níveis de energia: E1, E2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 84
2211 EcEc)0t( +==Ψ
2/tEi
21/tEi
1 EecEec)t( 21 hh −− +=Ψ
• ћ = constante de Planck (÷ 2π) ≈ 1×10-34 Js
• Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as
componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0,
para t ≠ 0 elas serão complexas:
A (solução da) equação de Schroedinger
• A evolução |Ψ(0)⟩ → |Ψ(t)⟩ ditada pela equação de
Schroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) e
determinista (sem elementos probabilísticos).
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 85
h/tEinn
nec)t(c −=
Propriedades da equação de Schroedinger
• Linearidade:
)t()0(
)t()0(
bb
aa
Ψ→Ψ
Ψ→Ψ)0()0()0( ba Ψβ+Ψα=Ψ
)t()t()t( ba Ψβ+Ψα=Ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 86
t = 0 t ≠ 0
Propriedades da equação de Schroedinger
• Conserva a norma do vetor de estado:
)0()t( Ψ=Ψ)t(Ψ
)0(Ψtamanho não muda
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 87
• Conserva o ortogonalidade entre vetores:
)0(Ψ
)t(Ψ
)0(Φ)t(Φ
dois vetores perpendicularescontinuam perpendiculares
Demonstração da linearidade
2211b
2211a
EdEd)0(
EcEc)0(
+=Ψ
+=Ψ
ba
E)dc(E)dc(
)0()0()0(
β+α+β+α=
Ψβ+Ψα=Ψ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 88
222111 E)dc(E)dc( β+α+β+α=
( ) ( ))t()t(
EecEecEecEec
Ee)dc(Ee)dc()t(
ba
2/tEi
21/tEi
12/tEi
21/tEi
1
2/tEi
221/tEi
11
2121
21
Ψβ+Ψα=
+β++α=
β+α+β+α=Ψ−−−−
−−
hhhh
hh
Demonstração da conservação da norma
2/tEi
21/tEi
1
2211
EecEec)t(
EcEc)0(
21 hh −− +=Ψ
+=Ψ
2/tEi2
2/tEi1
2ecec)t( 21 +=Ψ −− hh
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 89
2
22
21
21
)0(
cc
ecec)t(
Ψ=
+=
+=Ψ
Demonstração da conservação da ortogonalidade
)0(Ψ
)0(Φ)0(Ω
)t(Ψ
)t(Φ )t(Ω
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 90
2)0()0()0( =Ψ−Φ=Ω
|Ψ(0)⟩ e |Φ(0)⟩ ortogonais
2)t()t()t( =Ψ−Φ=Ω
|Ψ(t)⟩ e |Φ(t)⟩ ortogonais
• Determinismo• Continuidade• Linearidade
Propriedades da equação de Schroedinger
“evolução unitária”
• Conservação da norma• Conservação da ortogonalidade
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 91
Estados estacionários
nE)0( =Ψ n/tEi Ee)t( n h−=Ψ
mesma “direção” que |En⟩
• Estado de energia bem definida En:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 92
• |Ψ(t)⟩ e |Ψ(0)⟩ representam o mesmo estado físico.
• Estados de energia bem definida são “estacionários”.
Conservação da energia
2/tEi
21/tEi
1 EecEec)t( 21 hh −− +=Ψ
2n
2/tEinn cec)t,E(P n == − h
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 93
)0()t(EE
ΨΨ=
)0t,E(P)t,E(P nn ==
Eq. de Schroedinger x processos de medida
• Equação de Schroedinger:– contínua– determinista– válida enquanto não se faz uma medida
• Redução do vetor de estado:– descontínua– probabilística– ocorre durante a medida
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 94
Eq. de Schroedinger x processos de medida
Dois tipos de evolução temporal?
• Equação de Schroedinger: – interação do sistema quântico com outros
sistemas quânticos.– A = a e A = a– A = a1 e A = a2
• Colapso do vetor de estado: – interação do sistema quântico com um aparato
clássico, o aparelho de medida (o “observador”).– A = a1 ou A = a2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 95
O “problema da medida”Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger?
a2a1 a2a1 a2a1
Descrição quântica do aparelho de medida:
| ⟩| ⟩↑ | ⟩
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 96
| ⟩| ⟩↑ | ⟩
22 aa ⇒↑
11 aa ⇒↑22112211 acacacac +⇒+↑ ↑
equação de Schroedinger:
o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo!
aparelho de medida:
O “problema da medida”
• Porque as superposições quânticas não são encontradas
no mundo macroscópico?
– Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em
duas direções ao mesmo tempo.
– Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto.
• Como conciliar o espaço quântico de infinitos estados
com a observação de apenas alguns poucos estados
macroscópicos?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 97
Uma descrição do processo de medidabaseada na equação de Schroedingerdeve dar respostas a essas questões.
Física quântica x física clássica
• Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquer
processo de interação entre objetos clássicos e quânticos…
L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics
• … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal,não podem ser propriamente incluídos no domínio denão podem ser propriamente incluídos no domínio deaplicação da mecânica quântica.
N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935
• …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo em
uma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e não
fosse governado pela mecânica quântica.
J. Bell, Against measurement
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 98
Física quântica x física clássica
físicaquântica
físicaclássica
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 99
…a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teoriasfísicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas aomesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação...
- L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics
Sistemas de 3 estados
2a
1a a3a1a2
Três valores possíveis para a grandeza A:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 102
1a
3a
332211 acacac ++=Ψ
3,2,1n,|c|)a(P 2nn ==
Sistemas de N estados
2a
1a
N valores possíveis para a grandeza A:
aNa1a2 ...
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 103
3aNa...
(impossível desenharN eixos perpendiculares) ∑
=
=ΨN
1nnn ac
N,2,1n,|c|)a(P 2nn K==
Sistemas de infinitos estados
• N pode ser infinito:
∑∞
=
=Ψ1n
nn ac
• N pode ser infinito, e a ter valores contínuos:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 104
• N pode ser infinito, e a ter valores contínuos:
∫=Ψ a)a(cda
∫′′
′
=′′′a
a
2|)a(c|da)a,a(P
2|)a(c|)a(p =densidade de probabilidade:
probabilidade:
Exemplo: a = x = posição de uma partícula
Sistemas de infinitos estados
∫ Ψ=Ψ x)x(dx
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 105
∫ Ψ=2
1
x
x
221 |)x(|dx)x,x(P
2|)x(|)x(p Ψ=densidade de probabilidade:
probabilidade:
função de onda: Ψ(x)
Sistemas de infinitos estados
• A grandeza a pode ter valores discretos e contínuos:
∫∑ +=Ψ a)a(cdaacn
nn
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 106
Exemplo: a = E = energia de uma partícula
∫∑ +=Ψ E)E(cdEEcn
nn
Interferômetro de Mach-Zehnder
• Interferência de uma partícula• Descrição quântica do interferômetro• Interferência e indistinguibilidade
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 108
O interferômetro de Mach-Zehnder
0%
100%
D1
interferênciaconstrutiva
interferênciadestrutiva
“ondas”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 109
D2
O interferômetro de Mach-Zehnder
50%
25%
25%
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 110
D1 e D2 nunca disparam em coincidência “partículas”
1
2
Descrição quântica do interferômetro
1 (caminho 1)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 111
2 (caminho 2)
Espaço de estados
2c1c 21 +=Ψ2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 112
=
=2
22
211
cP
cPprobabilidades:
1
Semiespelho
22
11
21
1 +→1 1
2
2evoluçãounitária
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 113
22
11
21
2 −→1
2
2
probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2
unitária
Semiespelho
22
11
21
+
2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 114
22
11
21
−
1 sinal negativo: evolução unitária conserva a
ortogonalidade
Interferômetro
Primeiro semiespelho: 22
11
21
1 +→
Estado inicial: 1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 116
22
Interferômetro
Segundo semiespelho:
−+
+→+ 2
21
12
12
12
21
12
12
12
21
12
1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 117
ou seja, o estado final é
1221
21
121
21
=
−+
+
interferência destrutiva
interferência construtiva
P1 = 100%P2 = 0%
O que interfere?
221
21
121
21
−+
+
(1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2)
1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 118
11
2
1 1
22
soma das amplitudes de probabilidade associadas a caminhos alternativos indistinguíveis
Caminho bloqueado
Primeiro semiespelho: 22
11
21
1 +→
Estado inicial: 1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 120
22
Bloqueio: ⊗+→+2
11
21
22
11
21
fóton bloqueado
Caminho bloqueado
Segundo semiespelho:
⊗+
+→⊗+
21
22
11
21
21
21
12
1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 121
ou seja, o estado final é
⊗++2
12
21
121
P1 = 25%P2 = 25%P⊗ = 50%
não há caminhos alternativos, logo não há interferência
Por que não há interferência?
(1-1-1) (1-1-2)
1
⊗++2
12
21
121
(1-2-⊗)
2 2⊗
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 122
não há caminhos alternativos para cada um dos estados finais ⇒ não há interferência
11 1 1
2
1
2⊗
Caminhos alternativos distinguíveis
D1
D2
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 123
mola
Caminhos alternativos distinguíveis
Estado inicial: R1
• 1, 2: caminho do fóton• R: espelho em repouso• M: espelho em movimento
M2,M1,R2,R1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 124
Primeiro semiespelho: M22
1R1
21
R1 +→
Estado inicial: R1
Caminhos alternativos distinguíveis
Segundo semiespelho:
−+
+→+ M2
21
M12
12
1R2
21
R12
12
1M2
21
R12
1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 125
ou seja, o estado final é
M221
R221
M121
R121
−++
P1 = P(1, R) + P(1, M) = 50%
P2 = P(2, R) + P(2, M) = 50%
soma de probabilidades,não de amplitudes
Apagando a informação sobre o caminho
D1 100%
D2 0%
mola
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 126
mola
Apagando a informação sobre o caminho
Segundo semiespelho:
−+
+→+ M2
21
R12
12
1M2
21
R12
12
1M2
21
R12
1
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 127
ou seja, o estado final é
R1
a informação sobre o caminho foi apagada e a interferência restabelecida
O palito de fósforo quântico
fóton
• fósforo “bom”
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 129
fóton
• fósforo “ruim”
O palito de fósforo quântico
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 130
palitos bons e ruins misturados
Problema: como encher uma caixa de fósforos apenas com palitos bons?
Palito ruim
D1 100%
D2 0%
transparente
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 133
palito ruim ⇒ D2 nunca dispara
Palito bom
D2 25%
D1 25%50%
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 134
palito bom ⇒ D2 dispara em 25% das vezes, e o fósforo permanece intacto
Teste quântico
• D2 → fósforo bom intacto
• D1 → fósforo bom intacto ou fósforo ruim
• Fósforo acende → fósforo bom queimado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 135
Dos fósforos bons:• 25% estão identificados e intactos• 50% foram queimados• 25% em dúvida
Retestando os casos duvidosos é possível identificar 1/3 dos fósforos bons.
Mais aplicações a sistemas simples
• O problema de Deutsch• Molécula de H2
+
• Benzeno• Oscilação de neutrinos• Oscilação de neutrinos• Polarização do fóton• Spin ½• Informação quântica
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 136
Emaranhamento
|Ψ⟩
sistema I
|Φ⟩
sistema II
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 138
|Ψ⟩
subsistema I
|Φ⟩
subsistema II
sistema composto
Emaranhamento
• Estados do sistema composto:
III, ΦΨ≡ΦΨ
III, ΨΦ=ΨΦ
↔ sistema I no estado |Ψ⟩, sistema II no estado |Φ⟩
↔ sistema I no estado |Φ⟩, sistema II no estado |Ψ⟩
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 139
• Superposição ⇒ estado emaranhado:
ΨΦ+ΦΨ ,2
1,
21
Emaranhamento
• Não é possível associar vetores de estado aos subsistemasindividuais.
• O emaranhamento pode ocorrer mesmo quando ossubsistemas estão separados por distâncias macroscópicas.
• Um dos mais estranhos e surpreendentes aspectos damecânica quântica.mecânica quântica.
“O melhor conhecimento possível de um todo não inclui omelhor conhecimento possível de suas partes, nem mesmoquando essas estão completamente separadas umas dasoutras e no momento não influenciam umas às outras.”
- E. Schrödinger, The Present Situation in Quantum Mechanics(o artigo de 1935 onde apareceu o gato de Schroedinger)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 140
Realismo, Contextualidade e Localidade
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 141
“Eu só gostaria de saber que diabos está acontecendo, é só! Eu gostaria de saber que diabos está acontecendo! Você sabe que diabos está acontecendo?”
Variáveis ocultas
)(A λ
Medidas:• revelam um valor preexistente?• criam o resultado encontrado?
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 142
)(A λ
variável “oculta” quedetermina o valor de A
grandeza medidano experimento
Experimentos com um sistema composto
I II
AI = ±1 AII = ±1
incompatíveis
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 143
BII = ±1BI = ±1
incompatíveis
compatíveis
Quatro experimentos com um sistema composto
Quatro experimentos possíveis:
1) Medida de AI e AII
AI = +1 e AII = +1 ↔ encontrado algumas vezes
2) Medida de A e B2) Medida de AI e BII
AI = +1 e BII = +1 ↔ nunca encontrado
3) Medida de BI e AII
BI = +1 e AII = +1 ↔ nunca encontrado
4) Medida de BI e BII
BI = -1 e BII = -1 ↔ nunca encontrado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 144
Quatro experimentos com um sistema composto
1) P(AI+, AII+) (em %)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 145
A. G. White, D. F. V. James, P. H. Eberhard, P. G. Kwiat, Nonmaximally Entangled States: Production, Characterization, and Utilization, Physical Review Letters 83, 3013 (1999)
grau de emaranhamento
2) P(AI+, BII+) = 03) P(BI+, AII+) = 04) P(BI−, BII−) = 0
Experimentos com um sistema composto
AI = +1 AII = +1
Se os valores de AI, AII, BI e BII já existiam antes das medidas:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 146
BI = -1 BII = -1
sempre
!!
Mas BI = BII = -1 nunca é encontrado (exp. 4)!
Estados de Hardy
( )+−+−++++=Ψ IIIIIIIII B,BB,BB,B31
estado emaranhado
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 147
P(BI−, BII−) = 0 ⇐ experimento 4
L. Hardy, Quantum Mechanics, Local Realistic Theories, and Lorentz-Invariant Realistic Theories, Physical Review Letters 68, 2981 (1992).L. Hardy, Nonlocality for two particles without inequalities for almost all entangled states, Physical Review Letters 71, 1665 (1993)
Estados de Hardy
( )−++=+ AA1
B +B−B
−A
Experimentos 1, 2 e 3:
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 148
( )
( )−++−=−
−++=+
AA2
1B
AA2
1B +B
+A
Estados de Hardy
( )1
( )−−++−+−+=Ψ IIIIIIIII A,BA,BA,B26
1
Experimentos 1, 2 e 3:
3)
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 149
( )−−+−+++−=Ψ IIIIIIIII B,AB,AB,A26
1
( )−−++−+−++++−=Ψ IIIIIIIIIIII A,A3A,AA,AA,A121
2)
1)
Contextualidade
)C,(A III λ
o que está sendo
medido em II (AII ou BII)
)C,(B III λ
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 150
)C,(A III λ
o que está sendo
medido em I (AI ou BI)
)C,(B III λ
O teorema de Bell
Qualquer teoria de variáveis ocultas compatível com a mecânica quântica
é necessariamente não-local.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 152
é necessariamente não-local.
Como chegar aos operadores, autovalores e autovetores
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 153
Conexão com os operadores
• Produto escalar: ⟨Φ|Ψ⟩• Projetores: |Ψ⟩⟨Ψ|
• Operador associado à grandeza A:
• Autovalores e autovetores de A:
222111 aaaaaaA +=
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 154
• Autovalores e autovetores de A:
Ψλ=ΨA
22
11
a,a
ou
a,a
=λ=Ψ
=λ=Ψ
É mais fácil encontrar (postular) o operador A do que os “eixos” |an⟩ e valores an.
Em seguida:
• Simetrias e grandezas conservadas• Posição e momentum• Partícula em 1 dimensão: aplicações
– Partícula livre– Potenciais constantes por partes: estados ligados,
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 155
– Potenciais constantes por partes: estados ligados, tunelamento, etc.
– Oscilador harmônico
E se houver tempo:
• Partículas idênticas• Partícula em 3 dimensões• Descoerência• Muitos-mundos, de Broglie-Bohm
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 156
Comentários finais
• É possível apresentar alguns dos princípios básicos damecânica quântica utilizando apenas matemáticaacessível a professores (e alunos?) do ensino médio.
• Essa abordagem permite descrever apropriadamente amecânica quântica de sistemas simples.
C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFPA/2015 157
• Aspectos conceituais da mecânica quântica podem serdiscutidos sem as dificuldades criadas por um formalismomatemático pouco familiar.
• “Experimento didático” em desenvolvimento. Críticas esugestões são bem-vindas.