MEDIDAS DE POSIÇÃO

Representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal.

• As medidas de posições mais importantes são as medidas de tendência central e as separatrizes

• Medidas de tendência central mais utilizadas são: média aritmética, moda e mediana.

• Outras medidas de posição são:

• Separatrizes, que englobam: a própria mediana,

• Quartis (divide a amostra em 4 partes)

• Decis (divide a amostra em 10 partes)

• Percentis (divide a amostra em 100 partes)

MÉDIA ARITMÉTICA

É igual ao quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total dos valores.

......

onde xi são os valores da variável e n o número de valores.

Exemplo:

Dados não-agrupados:

Determinar a média aritmética simples.

Ex: Sabendo-se que a venda diária de arroz tipo A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 quilos, temos, para venda média diária na semana de:

.= (10+14+13+15+16+18+12) / 7 = 14 kg

Desvio em relação à média: é a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética, ou seja:..

di = Xi -

No exemplo anterior temos sete desvios:...

A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula.No exemplo anterior : d1 + d2 + d3 + d4 + d5 + d6 + d7 = 0

Xi - X di10 14 di = -414 14 di = 013 14 di = -115 14 di = 116 14 di = 218 14 di = 412 14 di = -2

Dados agrupados:

Sem intervalos de classe

Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino. Calcularemos a quantidade média de meninos por família:

Nº de meninos freqüência = fi

0 21 62 103 124 4

total 34

como as frequências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula:

..xi. ..fi. ..xi.fi .0 2 01 6 62 10 203 12 364 4 16

total 34 = 78

onde = 2,3 meninos por família

𝑋=∑ 𝑥𝑖 . 𝑓𝑖∑ 𝑓𝑖

Estaturas (cm) frequência fi

ponto médio = xi ..xi.fi.

50 |------------ 54 4 52 208

54 |------------ 58 9 56 504

58 |------------ 62 11 60 660

62 |------------ 66 8 64 512

66 |------------ 70 5 68 340

70 |------------ 74 3 72 216

Total 40 2.440

Com intervalos de classe Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula:

..Ex: Calcular a estatura média de bebês conforme a tabela abaixo.

= 61 cm

onde Xi é o ponto médio da classe.𝑋=

∑ 𝑥𝑖 . 𝑓𝑖∑ 𝑓𝑖

Aplicando a fórmula dada temos:

2.440 / 40.= 61.

logo...𝑋

Moda - moÉ o valor que ocorre com maior freqüência em uma série

Moda para dados não agrupados

•A moda é o valor que mais se repete. Ex: Na série { 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda é igual a 10.

•Há séries nas quais não existe valor modal, Ex: { 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda. A série é amodal.

Em outros casos, pode haver dois ou mais valores

de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois

ou mais valores modais.

Ex: { 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 }

apresenta duas modas: 4 e 7. A série é bimodal.

Moda para dados agrupados

Sem intervalos de classe: Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável de maior frequência.

Ex: Qual a temperatura mais comum medida no mês abaixo:

Resp: 12º C é a temperatura modal, pois é a de maior frequência.

Temperaturas (janeiro) Freqüência

10º C 311º C 912º C 1213º C 6

A classe que apresenta a maior freqüência é denominada classe

modal

classe modal é o valor dominante que está compreendido

entre os limites da classe modal. O método mais simples para

o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe

modal. Damos a esse valor a denominação de moda bruta.

onde Linf = limite inferior da classe modal e Lsup = limite

superior da classe modal.

Com intervalos de classe:

Ex: Calcule a estatura modal conforme a tabela abaixo.

Resposta: a classe modal é 58|-------- 62, pois é a de maior frequência.Linf = 58 e Lsup = 62

Mo = (58+62) / 2 = 60 cm ( este valor é estimado, pois não conhecemos o valor real da moda).

Classe Freqüência

54 /------58 9

58 /------62 11

62 /------66 8

66 /------70 5

Mediana - Md

A mediana de um conjunto de valores, dispostos em Rol( crescente ou decrescente),

É o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos..

A mediana em dados não-agrupados

Ex: { 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 }

De acordo com a definição de mediana,

1º por em ordem (crescente ou decrescente) dos valores: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }

2º divide a série em duas partes iguais { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 } , logo a Md = 9.

Cálculo da Mediana:

Série Impar de termos: O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula :

Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 }

1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 }

2º - como n = 9 logo (n + 1)/2 é dado por (9+1) / 2 = 5, ou seja, o 5º elemento da série ordenada será a mediana

Logo a mediana será o 5º elemento = 2

Determinando a Mediana

Se a série dada tiver número par de termos: O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula :...

Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 }

1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 }

n = 10 logo a fórmula ficará: ÷ 2 = ÷ 2

será na realidade ÷ 2 5º termo = 2 6º termo = 3

A mediana será = (2+3) / 2 ou seja, Md = 2,5.

A mediana no exemplo será a média aritmética do 5º e 6º termos da série.

÷ 2

Variável xi Freqüência fi Freqüência acumulada

0 2 21 6 82 9 173 13 304 5 35

total 35

A MEDIANA para dados agrupados

Sem intervalos de classe: Neste caso, é o bastante identificar a frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma frequências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal frequência acumulada.

Ex.: conforme tabela abaixo:

Quando o somatório das frequências

for par o valor mediano será o termo

de ordem dado pela fórmula:

Quando o somatório das frequências for ímpar o valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula :

.

Como o somatório das frequências = 35 a fórmula ficará: ( 35+1 ) / 2 = 18º termo = 3..

Ex: Calcule Mediana da tabela abaixo:

÷ 2

Variável xi

Freqüência fi

Freqüência acumulada

12 1 114 2 315 1 416 2 617 1 720 1 8

total 8  

Isto é, a mediana será a media aritmética entre o valor da variável correspondente a essa freqüência acumulada e a seguinte:

• Aplicando fórmula acima teremos:[(8/2)+ (8/2+1)]/2 • (4º termo + 5º termo) / 2 = (15 + 16) / 2 = 15,5

Exercícios:

Considerando as amostras dadas a) 3; 5; 2; 6; 5; 9; 5; 2; 8; 6 b) 20; 9; 7; 2; 12; 7; 20; 15; 7c) 51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9d) 15; 18; 20; 13; 10; 16; 14

Calcule : a media, a moda e a mediana

Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição:

notas 2 3 4 5 6 7 8 9 10

nº de alunos 1 3 6 10 13 8 5 3 1

Calcule:a) A nota media dos alunos;b) A nota mediana dos Alunos;c) A nota modal

A Mediana para dados agrupados

com intervalos de classe:

1º. Determinar a classe na qual se acha a mediana – classe mediana. Tal classe será, evidentemente, aquela correspondente à frequência acumulada imediatamente superior ao cálculo da (∑ fi ) ÷ 2.

Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está compreendida a mediana.

Fases para o cálculo da média pelo processo breve:

1)Determinamos as frequências acumuladas.

2)Calculamos (∑ f1) ÷ 2.

3)Marcamos a classe correspondente à frequência

acumulada imediatamente superior à (∑ f1) ÷ 2

a classe mediana − e, em seguida, empregamos a

fórmula:

Na qual:

Llnf. é o limite inferior da classe mediana;

Facant. é a frequência acumulada da classe anterior à

classe mediana;

fi. é a frequência simples da classe mediana;

Ic. é a amplitude do intervalo da classe mediana.

. é a somatória das frequências dividido por 2

* Ic

Classes fi2,75 |- 2,80 2 2,80 |- 2,85 3 2,85 |- 2,90 10 2,90 |- 2,95 11 2,95 |- 3,00 24 3,00 |- 3,05 14 3,05 |- 3,10 9 3,10 |- 3,15 8 3,15 |- 3,20 6 3,20 |- 3,25 3

Total 90

Exemplo 1Dada a tabela abaixo, determine a media e a mediana para a distribuição

Exemplo 2Dada a amostra calcule o valor da media e mediana para os dados agrupados em classes

1,1 3 3,9 5,3 5,8 6,61,4 3,1 4 5,4 5,9 6,71,4 3,1 4,1 5,4 6 6,81,6 3,3 4,2 5,5 6 6,81,7 3,4 4,4 5,5 6,1 7,42,4 3,4 4,7 5,6 6,2 7,52,5 3,5 4,7 5,6 6,2 7,62,5 3,5 4,7 5,7 6,2 8,12,8 3,7 5,1 5,8 6,5 9,43 3,8 5,3 5,8 6,6 10,9