Mestrado em Engenharia ElétricaDisciplina: Probabilidade e Processos Estocásticos

Parte 2: Variáveis e Vetores Aleatórios

José Raimundo Gomes Pereirajosergpereira@gmail.com

1 de Novembro de 2018

Referências:

KAY, S. Intuitive Probability and Random Processes using

MATLAB. Springer, 2006.

ROSS, S. M. Introduction to Probability Models. Ninth

Edition. Academic Press, 2007

LEON-GARCIA, A. Probability, Statistics, and Random

Processes for Electrical Engineering. 3rd. Edition. Pearson,2008

DEKKING, F.M.; KRAAIKAMP, C.; LOPUHAÃ, H.P. eMEESTER, L.E. A Modern Introduction to Probability and

Statistics. Understanding Why and How. Springer, 2005.

KAY, S. M. Fundamental of Statistical Signal Processing.

Volume I: Estimation Theory. Prentice Hall, 1993.

WASSERMAN, A. All of Statistics. A Concise Course in

Statistical Inference. Springer, 2004.

Variáveis Aleatórias

Em problemas reais, empregamos modelos probabilísticos paradescrever o comportamento das observações de fenômenos ouexperimentos, não determinísticos, sendo analisados. Asobservações são tratadas como resultantes de um experimentoaleatório e associamos números reais a cada resultado doexperimento.

De�nição: Uma variável aleatória é uma função X (·) que associaum número real X (s) a cada elemento s ∈ S .

Em alguns casos os elementos s ∈ S são numéricos, podemos terX (s) = s.

O objetivo é obter a probabilidades da ocorrência de valores deinteresse para a variável aleatória.

Exemplo 2.1

1. Lançar três vezes uma moeda e observar o número de �caras�obtido

X : o número de caras

2. Contar o número de �voice packets� contendo somente silêncioproduzido por N �locutores� em um período de 10ms.

Y : o número de �voice packets� somente com silêncio

3. Realizar experimentos para medir o consumo de energia naexecução de um código em um sistema embarcado

T : o consumo de energia

Classi�cação de Variáveis Aleatórias

DISCRETA se o conjunto dos seus valores é �nito ou in�nitoenumerável.

Exemplo:Contar o número de �voice packets� contendo somente silêncioproduzido por N �locutores� em um período de 10ms.

Y : o número de �voice packets� somente com silêncio

CONTÍNUA se assume valores em um intervalo, ou uma coleção deintervalos, de números reais.

Exemplo:Realizar experimentos para medir o consumo de energia naexecução de códigos em sistemas embarcados

T : o consumo de energia

Eventos com Variáveis Aleatórias

A ocorrência de particulares valores de interesse para uma v.a. sãoeventos no espaço amostral associado ao experimento

Para eventos de�nidos para uma v.a. X , temos as equivalências

{X = x1} ≡ {s ∈ S : X (s) = x1}

{X ≤ x2} ≡ {s ∈ S : X (s)≤ x2}

{X > x3} ≡ {s ∈ S : X (s) > x3}

{x4 ≤ X ≤ x5} ≡ {s ∈ S : x4 ≤ X (s)≤ x5}

onde xi ∈ R, i = 1,2,3,4,5

Portanto, para qualquer I ⊂ R,

P(X ∈ I ) = P(s ∈ S : X (s) ∈ I )

Função de Distribuição - de�nição

A função de distribuição (f.d.), ou função de distribuição

acumulada (f.d.a.), para uma v.a. X é de�nida por

F (x) = P(X ≤ x), ∀x ∈ R.

X ∀x ∈ R, 0≤ F (x)≤ 1

X Descreve a distribuição de probabilidade sobre R, pode serempregada para caracterizar completamente a distribuição deprobabilidade da v.a.

X A probabilidade de qualquer evento para uma v.a. pode serdescrita pela sua f.d.Referência:ROSS(2007), Chapter 2KAY(2006), Chapter 5.

Exemplo 2.2

Considere o experimento de lançar três vezes uma moeda(honesta!).

(a) Obter o espaço amostral para o experimento.

(b) Considere a v.a.

X : o número de caras nos lançamentos

e determine:(b.1) P(X = 2)(b.2) P(X ≤ 1)(b.3) a f.d. de X .

Função de Distribuição - propriedades

1. F (x) é não decrescente em x , isto é,

x1 < x2 ⇒ F (x1)≤ F (x2).

2. limx→−∞F (x) = F (−∞) = 0.

3. limx→∞F (x) = F (∞) = 1.

4. Para x1 < x2.

P(x1 < X ≤ x2) = F (x2)−F (x1).

5. P(X > x) = 1−F (x).

Exercício.Veri�car as propriedades da função de distribuição apresentadas.

Variável Aleatória Discreta

Para uma v.a. discreta X , com valores x1,x2,x3, ..., é de�nida afunção de probabilidade (f.p.) por

P(X = xi ), para cada xi ∈ {x1,x2,x3, ...}

Propriedades:

1. 0≤ P(X = xi )≤ 1, i = 1,2,3, ..

2. P(X = x) = 0, ∀x 6= xi , i = 1,2,3, ..

3. ∑i P(X = xi ) = 1

4. FX (x) = ∑xi≤x P(X = xi )

Referência:ROSS(2007), Chapter 2KAY(2006), Chapter 5.

Exemplo 2.3:

Uma fonte gera símbolos, aleatoriamente e independentemente, apartir de quatro letras do alfabeto a,b,c, e d , com probabilidades,respectivamente, de 1/2, 1/4, 1/8 e 1/8. Um procedimentocodi�ca esses símbolos em códigos binários como

a≡ 0, b ≡ 10, c ≡ 110, d ≡ 111

Seja X uma v.a. que descreve o número de símbolos binários nacodi�cação.

(a) Construa a f.p. de X .

(b) Encontre P(X > 1).

(c) Obtenha a f.d. de X .

Modelo de Bernoulli

Considere uma v.a X discreta que assume valores em {0,1}, e parap ∈ (0,1),

P(X = 1) = p e P(X = 0) = 1−p.

Podemos escrever

P(X = x) = px(1−p)1−x , x ∈ {0,1}.

1. Experimentos de Bernoulli: experimentos que admitem apenasdois resultados possíveis, denotados por

�Sucesso� = 1 �Fracasso� = 0.

2. Notação: X ∼ Bernoulli(p)

Exemplo 2.4:

Considere o experimento de selecionar ao acaso uma peça em umlote com 96 peças boas e 4 defeituosas. De�na a v.a.

X =

{1 se a peça é defeituosa0 se a peça é boa

Temos P(X = 1) = 0,04 e P(X = 0) = 0,96

X ∼ Bernoulli(p = 0,04)

P(X = x) = (0,04)x(1−0,04)1−x , x = 0,1

Modelo Binomial

Considere m repetições independentes de um experimento com doisresultados de interesse, denominados de �sucesso� e �fracasso� ,com suas respectivas probabilidades constantes em todas asrepetições, de�na a v.a.

Y : o número de �sucessos� nas m repetições.

Então,

P(Y = y) =

(m

y

)py (1−p)m−y , y = 0,1,2, ...,m.

onde p = P(“sucesso ′′).

1. Experimento Binomial (Sequência de Bernoulli): sãorepetições independentes de um experimento de Bernoulli(p),com p constante em todas as repetições.

2. Notação: Y ∼ Binomial(m,p)

Exemplo 2.5:

Os itens produzidos por uma máquina são defeituosos comprobabilidade 0,2, independentemente de qualquer outro item.Sendo selecionada ao acaso uma amostra de cinco itens, qual aprobabilidade de:

(a) obtermos um defeituoso?

(b) obtermos no máximo três defeituosos?

(c) obtermos pelo menos um defeituoso?

ExercícioVeri�que que a f.p. de Y ∼ Binomial(m,p) satisfaz

m

∑y=0

P(Y = y) = 1

Exemplo 2.6:

Considere as seguintes situações:

(a) Dos alunos de uma grande universidade, sorteamos ao acaso 5alunos e contamos quantos se declararam usuários de drogas.

(b) Selecionamos 20 lâmpadas ao acaso em um supermercado,sendo 10 de uma marca A e 10 de outra marca B. Contamos onúmero de defeituosas.

(c) Um motorista é submetido a um teste de �baliza�. Em 10tetativas contamos o número de vezes que o motoristaestacionou corretamente.

O modelo Binomial é adequado para estas situações?

Modelo Geométrico (1)

Considerando repetições independentes de um experimento deBernoulli(p), p constante em todas as repetições, de�na a v.a.

Y : o número de repetições até a ocorrência do 1o �sucesso�.

Então,

1. Os valores de Y pertencem a {1,2,3, ....}2. A f.p. é

P(Y = k) = (1−p)k−1p, k = 1,2,3....

3. Notação: Y ∼ Geométrica(p)

Modelo Geométrico (2)

Com relação as repetições independentes de um experimento deBernoulli(p), p constante em todas as repetições, podemostambém considerar a v.a.

X : o número de repetições antes da ocorrência do 1o �sucesso�.

Neste caso,

1. Os valores de X pertencem a {0,1,2,3, ....}2. A f.p. é

P(X = k) = (1−p)kp, k = 0,1,2,3....

3. Temos a relação Y = X +1

Exemplo 2.7:

Considere exemplo anterior, sobre os itens produzidos por umamáquina com probabilidade 0,2 de ser defeituoso,independentemente de quaisquer outros. Suponha agora que ositens são inspecionados um após outro. Qual a probabilidade de sernecessário inspecionar cinco itens até ocorrer o primeiro defeituoso?

Exercício.Veri�que que a f.p. de Y ∼ Geométrica(p) satisfaz

∞

∑y=1

P(Y = y) = 1

Modelo de Poisson

Uma v.a. X discreta que assume valores em {0,1,2,3, ....} e comfunção de probabilidade

P(X = x) =e−λ λ x

x!, λ > 0, x = 0,1,2, ...

1. Emprega-se esse modelo para descrever o número deocorrências de eventos em intervalos (tempo, área, volume,...)

2. λ é a taxa média, ou intensidade, de ocorrência do evento nointervalo considerado

3. Notação: X ∼ Poisson(λ )

Modelo de Poisson

Propriedade:

Seja X ∼ Binomial(m,p). Para m→ ∞ e p→ 0, tal que a taxaλ = m p permanece constante, então

P(X = x)≈ e−λ λ x

x!, x = 0,1,2, ...

X O modelo de Poisson aproxima a distribuição Binomial(m,p)quando m é grande e p pequeno.

Exercício.Fazer a veri�cação da propriedade apresentada para a distrbuiçãoX ∼ Poisson(λ ).

Exemplo 2.8:

Em uma central telefônica o número de chamadas pode sermodelado por uma distribuição de Poisson, com taxa λ = 2/min.Admitindo este modelo como verdadeiro, encontre a probabilidadede:

(a) haver quatro chamadas em cinco minutos?

(b) haver doze chamadas em cinco minutos?

(c) haver, no mínimo, três chamadas em dois minutos?

(d) haver cento e trinta chamadas em uma hora?

Exemplo 2.9:

No estudo de desempenho de uma central de computação, onúmero de acessos a unidade CPU é modelada por uma distribuiçãode Poisson com taxa λ = 4/seg . Essas requisições podem ser váriasnatureza, tais como, imprimir um arquivo, efetuar um cálculo,enviar uma mensagem, entre outras.

(a) Qual a probabilidade de dois acessos em um segundo?

(b) Qual a probabilidade do número de acessos não ultrapassardois acessos em um segundo?

(c) Considerando um intervalo de dez segundos, qual aprobabilidade de haver mais de cinquenta acessos?

Implementação Computacional:

Função de probabilidade: P(X = x)

Modelo Matlab RBinomial(m,p) binopdf (x ,m,p) dbinom(x ,m,p)Geométrica(p) geopdf (x ,p) dgeom(x ,p)Poisson(λ ) poisspdf (x ,λ ) dpois(x ,λ )

Função de distribuição: P(X ≤ x)

Modelo Matlab RBinomial(m,p) binocdf (x ,m,p) pbinom(x ,m,p)Geométrica(p) geocdf (x ,p) pgeom(x ,p)Poisson(λ ) poisscdf (x ,λ ) ppois(x ,λ )

Nota:No R X ∼ Geométrica(p) é de�nida como �antes do primeirosucesso� (Y = X +1)

Função de uma V. A. Discreta

Há situações em que o interesse são transformações da v.a.observada.

Seja X discreta, com valores x1,x2,x3, ..., e considere uma funçãoY = g(X ) que gera valores y1,y2,y3, .... Então temos que

P(Y = yi ) = ∑{j :g(xj )=yi}

P(X = xj)

Exemplos:

Y = cX + b

Y = X k

Y =

{c1 se X ≤ cc2 se X > c

Exemplo 2.10:

1. Considere o exemplo da fonte que gera símbolos, aleatoria eindependentemente, a partir das letras a,b,c , e d , comprobabilidades, respectivamente, de 1/2, 1/4, 1/8 e 1/8, e quesão codi�cadas em códigos binários como: a≡ 0; b ≡ 10;c ≡ 110; d ≡ 111. Para X : o número de símbolos binários na

codi�cação obtenha a f.p. de Y = 3x +5.

2. Seja X uma v.a. com f.p.

x -1 0 1P(X = x) 0,3 0,5 0,2

Obtenha a distribuição de Y = X 2.

Valor Esperado de uma V. A. Discreta

De�nição:A esperança (valor esperado, valor médio) para uma v.a. Xdiscreta, com valores x1,x2,x3, ..., é de�nida por

E [X ] = ∑i

xiP(X = xi )

X Caracteriza-se como uma �média ponderada�, cujos pesos são asprobabilidades e indica a região dos valores da v.a. com a maior�concentração de probabilidade�.

Referência:ROSS(2007), Chapter 2KAY(2006), Chapter 6.

Exemplo 2.11:

1. Considere o experimento de lançar três vezes uma moeda(�honesta�). De�na a variável aleatória X como o número decaras obtido. Qual o valor esperado para o número de caras?

2. Considere o exemplo da fonte que gera símbolos, aleatoria eindependentemente, a partir das letras a,b,c , e d , comprobabilidades, respectivamente, de 1/2, 1/4, 1/8 e 1/8, e quesão codi�cadas em códigos binários como: a≡ 0; b ≡ 10;c ≡ 110; d ≡ 111. Sendo X : o número de símbolos binários na

codi�cação obtenha E (X ).

Exercício:Obter a esperança dos modelos de v.a. discretas apresentados.

Valor Esperado de Funções de V.A. Discretas

Seja X discreta, com valores x1,x2,x3, ..., e considere uma funçãoY = g(X ) que gera valores y1,y2,y3, .... Então por de�nição

E [Y ] = ∑i

g(xi )P(X = xi ).

De forma alternativa, podemos obter a distribuição de Y eempregá-la para obter a E (Y ) que por de�nição é dada por

E [Y ] = ∑j

yjP(Y = yj)

Exemplo 2.12:

1. Considere o exemplo da fonte que gera símbolos, aleatoria eindependentemente, a partir das letras a,b,c , e d , comprobabilidades, respectivamente, de 1/2, 1/4, 1/8 e 1/8, e quesão codi�cadas em códigos binários como: a≡ 0; b ≡ 10;c ≡ 110; d ≡ 111. Para X : o número de símbolos binários na

codi�cação seja Y = 3x +5. Obtenha E (Y ).

2. Seja X uma v.a. com f.p.

x -1 0 1P(X = x) 0,3 0,5 0,2

Para Y = X 2 obtenha E (Y ).

Variância de uma V. A. Discreta

De�nições:A variância de uma v.a. X é de�nida por

Var [X ] = E{(X −E [X ])2}.

Então, sendo X discreta com valores x1,x2,x3, ..., temos que

Var [X ] = ∑i

(xi −E [X ])2P(X = xi )

X Mensura a dispersão (ou variabilidade) da distribuição da v.a.com respeito a seu valor esperado.

O desvio padrão da v.a. X é de�nido por

dp[X ] = +√

Var(X )

X A informação da variância expressa na mesma unidade dosvalores associados a v.a.

Propriedades da Esperança e Variância

Seja X uma v.a. e a, b e c constantes.

1. E [c] = c

2. E [aX + b] = aE [X ] + b

3. Var [X ] = E [X 2]− (E [X ])2

4. Var [X ]≥ 0

5. Var [c] = 0

6. Var [cX ] = c2Var [X ]

7. Var [aX + b] = a2Var [X ]

Exercício:

1. Demonstrar cada uma das propriedades acima.

2. Obter a variância dos modelos de v.a. discretas apresentados.

Erro Quadrático Médio (EQM)

Considere o problem em um experimento de predizer o resultadopara uma v.a. X antes de sua ocorrência. O objetvo é escolher umnúmero b que, em média, esteja mais próximos do verdadeiro valorde resultado de X .

Erro Quadrático Médio (EQM) (Mean Square Error (MSE)):

EQM(X ,b) = E [(X −b)2]

Critério;Obter b que minimize EQM(X ,b), isto é, bopt = minb EQM(X ,b).

Exercício:

1. Obtenha o �melhor preditor em EQM para X� (bopt), o queminimiza o EQM.

2. Avalie EQM(X ,bopt), isto é, quão boa será a predição do valorde X .

Função Característica de V.A. DiscretasA função característica (f.c.) de uma v.a. X é de�nida por

φX (t) = E [e jtX ], t ∈ R,

onde j =√−1. Sendo X discreta com valores x1,x2,x3, ..., então

φX (t) = ∑i

e jtxi P(X = xi ).

Propriedade:A f.c. sempre existe pois |φX (t)|< ∞.

O r - ésimo momento de uma v.a. X é de�nido por

µr = E [X r ], r = 1,2,3, ...

Propriedade:A f.c. gera os momentos E [X n] por

E [X r ] =1j r

φ(r)X (0), onde φ

(r)X (t) =

d r

dtrφX (t)

Função Característica de V.A. Discretas

Unicidade da Função Característica:A função característica de uma v.a. X determina univocamente adistribuição de X . (a f.c. é uma representação da distribuição)

X A f.c. pode ser empregada para identi�car se uma dada v.a.segue uma distribuição cuja f.c. seja conhecida.

Exemplo 2.14

1. Considere uma v.a. X ∼ Bernoulli(p). Obter f.c. e empregarpara obter sua esperança e sua variância.

Exercício:

1. Obter a f.c. para os modelos de v.a. discretas apresentados.

2. Em KAY(2006) estudar o exemplo, relativo a �Property 6.6�,sobre a aproximação da Binomial(m,p) pela Poisson(λ ), comλ = mp.

Modelos Discretos:Esperança, Variância, Função Característica

Modelo (X ) E (X ) Var(X ) φX (t)Bernoulli(p) p p(1−p) pe jt +(1−p)

Binomial(m,p) mp mp(1−p)(pe jt +(1−p)

)mGeométrica(p) 1

p1−pp2

pe−jt−(1−p)

Poisson(λ ) λ λ eλ (e jt−1)

Nota:X ∼ Geométrica(p) de�nida como �até ocorrer o primeiro sucesso�

Variáveis Aleatórias Contínuas

Em muitos experimentos aleatórios é possível, ou conveniente,associar seus resultados à um conjunto não enumerável de valores.Nestes casos, as respostas são modeladas por uma v.a. queassumem qualquer valor em um adequado intervalo de númerosreais.

Exemplo:Realizar experimentos para medir o consumo de energia naexecução de códigos em sistemas embarcados.

De�nição:Uma v.a. X é dita contínua se assume valores em um intervalo, ouuma coleção de intervalos, de números reais.

Referência:ROSS(2007), Chapter 2KAY(2006), Chapter 10.

Variáveis Aleatórias Contínuas

A cada v.a. contínua estará associada uma função que descreve oseu comportamento probabilístico; é denominada função densidade

de probabilidade.

De�nição:Para uma v.a. contínua X , a função densidade de probabilidade

(f.d.p.) é uma função f (·) que satisfaz a:

(1) f (x)≥ 0 para todo x ∈ R(2)

∫∞

−∞f (x)dx = 1

(3) Para B ⊂ R, P(X ∈ B) =∫B f (x)dx

Variáveis Aleatórias Contínuas

De�nição:Sendo X uma v.a. com f.d. F (·), dizemos que X é contínua seexiste uma função f (·)≥ 0, tal que

F (x) = P(−∞ < X ≤ x) =∫ x

−∞

f (t)dt, ∀x ∈ R.

1. Se X é contínua, então F (·), sendo uma integral de f (·), écontínua.

2. Pelas propriedades de F (·),

f (x) =

{F ′(x), se diferenciável em x0, se não diferenciável em x

Variáveis Aleatórias Contínuas

· A função densidade de probabilidade descreve a distribuição deprobabilidade da v.a. contínua

· A probabilidade P(a≤ X ≤ b) equivale a área sob a curva def (·) entre a e b

· Pela de�nição, ∀a ∈ R,

P(X = a) =∫ a

af (x)dx = 0.

Portanto, temos que

P(a≤X ≤ b) = P(a≤X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a < X < b)

· Podemos avaliar a probabilidade de X ocorrer �próximo� de acom o argumento matémático, com ε → 0,

P(a− ε

2≤ X ≤ a +

ε

2) =

∫ a+ ε

2

a− ε

2

f (x)dx ≈ εf (a),

Exemplo 2.14:

Admita que o tempo de trasmissão de uma mensagem, em u.t., emum sistema de comunicação é descrito por uma v.a. X (contínua)tal que

P(X > x) = e−λx , ∀x ≥ 0,

para uma contante λ > 0.

(a) Qual a probabilidade do tempo de transmissãoser maior que 2 u.t.?

(b) Obtenha a f.d. de X .

(c) Obtenha a f.d.p. de X .

Modelo Uniforme Contínuo

Uma v.a. contínua X tem distribuição uniforme em (a,b)⊂ R sesua f.d.p. é

f (x) =

{1

b−a , se a < x < b

0, caso contrário

1. A função f (x) é constante em (a,b);

2. As probabilidades de intervalos são proporcionais a seuscomprimentos;

3. Notação: X ∼ Uniforme (a,b).

Exemplo 2.15

1. Obter a f.d. para X ∼ Uniforme (a,b).2. Seja X ∼ Uniforme (0,10). Determine:

(a) P(X < 3)(b) P(X > 7)(c) P(1< X < 6)

Modelo Exponencial

Uma v.a. contínua X com valores em [0,∞) é dita ter distribuiçãoExponencial de parâmeto λ se sua f.d.p. é

f (x) =

{λ e−λ x , se x ≥ 0, λ > 0

0, caso contrário

1. É empregado para modelar tempo de vida de componentes,duração de processos,...

2. A f.d. é

F (x) =

{1− e−λ x , se x ≥ 0

0, caso contrário

3. Notação: X ∼ Exponencial (λ ).

Exemplo 2.16:

1. Obter a f.d. para X ∼ Exponencial (λ ).

2. Mostre que para X ∼ Exponencial (λ ) e 0< a < b,

P(a < X < b) = e−λ a− e−λ b

3. Assuma que o tempo de duração de ligações telefônicas (min)em uma empresa que trabalha com vendas pode ser modeladapor uma v.a X ∼ Exponencial (λ = 1/10). Determine aprobabilidade de:(a) a ligação demorar menos de cinco minutos?(b) a ligação demorar de cinco a dez minutos?

Modelo Gama

Uma v.a. contínua X com valores em [0,∞), de parâmetos λ > 0 eα > 0 e sua f.d.p. dada por

f (x) =

{1

Γ(α) λ α xα−1 e−λ x , se x ≥ 00, caso contrário

ondeΓ(α) =

∫∞

0

e−ssα−1ds,

é denominada função matemática gama.

Notação: X ∼ Gama (α,λ ).

Modelo Gama

1. A função matemática Γ(α) tem as propriedades:

1.1 Γ(1/2) =√

π

1.2 Γ(α +1) = αΓ(α)1.3 Se α = m inteiro, Γ(m) = (m−1)!

2. Gama (1,λ ) ≡ Exponencial(λ )

3. Se α = m inteiro, é conhecida como distribuição de Erlang .

f (x) =

{1

(m−1)! λm xm−1 e−λ x , se x ≥ 00, caso contrário

⇒ modela a soma dos tempos de vida de componentes queatuem independentemente em sistemas.

Exemplo 2.17:

Considere no exemplo anterior o tempo de duas ligações telefônicasconsecutivas e admita que suas durações são eventosindependentes. Admita que os tempos de duração das ligaçõestelefônicas (min) podem ser modelados por v.a.

Xi ∼ Exponencial (λ = 1/10), i = 1,2.

Seja T a v.a. que descreve o tempo de duração das duas ligações,então T = X1 + X2. Neste caso, podemos modelar

T ∼ Gama (α = 2,λ = 1/10).

Qual a probabilidade do tempo das duas ligações ser menor quequinze minutos?

Modelo Normal (Gaussiano)

Uma v.a. contínua X tem distribuição normal com parâmetros µ eσ2, se sua f.d.p. é

fX (x) =1√2πσ

exp

{−12

(x−µ

σ

)2},−∞ < x < ∞

1. A distribuição é simétrica em torno do valor de µ .

2. A �extensão� do grá�co da densidade é dado pelo valor de σ .

3. É considerada distribuição mais importante, descreve ocomportamento de muitas características associadas aproblemas reais.

4. X ∼ N(µ;σ2)

Modelo Normal: Alguns Resultados

1. Sendo X ∼ N(µ;σ2) e Y = a X + b, com a 6= 0 e b ∈ R, entãoY ∼ N(aµ + b;a2σ2)

2. Sendo X ∼ N(µ;σ2) e fazendo

Z =X −µ

σ,

então Z ∼ N(0;1), denominada normal padronizada.

3. As probabilidades são calculadas por aproximações numéricas,obtidas com emprego de softwares ou tabelas da normal

padronizada

4. Para o emprego das tabelas, o procedimento é padronizar avariável em questão e obter a probabilidades correspondentepara N(0;1).

Exemplo 2.18:

1. Seja Z ∼ N(0;1). Para esta variável determine:

(a) P(Z < 1,32)(b) P(Z <−1,96)(c) Um valor z tal que P(−z < Z < z) = 0,95

2. Os depósitos efetuados em uma agência bancária durante umdeterminado mês são modelados por uma v.a.X ∼ N(10.000,(1.500)2). Encontrar a probabilidade de que odepósito seja:

(a) um valor entre R$ 12.000,00 e R$ 15.000,00?(b) maior que R$ 19.000,00?

Exemplo 2.19:

O tempo (em minutos) para a realização de um teste de aptidãoaplicado aos candidatos em um concurso é modelado como umav.a. com distribuição normal com parâmetros µ = 90 e σ = 20.Esse tempo é empregado como um dos critérios de seleção.

(a) Para ser aprovado no teste, o candidato deve completá-lo emmenos de 80 minutos. Se 65 candidatos �zeram o teste,quantos são esperados passar?

(b) Se os 5% melhores candidatos são alocados para os cargoscom melhor remuneração, quão rápido deve ser o candidatopara que obtenha esse cargo?

Implementação Computacional:

Função de distribuição:

Modelo MatlabX ∼ Uniforme(a,b) P(X ≤ x)≡ unifcdf (x ,a,b)X ∼ Exponencial(λ ) P(X ≤ x)≡ expcdf (x ,1/λ )X ∼ Gama(α,λ ) P(X ≤ x)≡ gamcdf (x ,α,1/λ )

X ∼ N(µ;σ2) P(X ≤ x)≡ normcdf (x ,µ,σ), σ =√

σ2

Modelo R softwareX ∼ Uniforme(a,b) P(X ≤ x)≡ punif (x ,a,b)X ∼ Exponencial(λ ) P(X ≤ x)≡ pexp(x ,λ )X ∼ Gama(α,λ ) P(X ≤ x)≡ pgamma(x ,α,λ )

X ∼ N(µ;σ2) P(X ≤ x)≡ pnorm(x ,µ,σ), σ =√

σ2

Função de Distribuição Inversa

De�nição:Para uma v.a. X , com f.d. F (·), a f.d. inversa é de�nida por

F−1(p) = min{x : F (x)≥ p}, p ∈ [0,1].

Se F é estritamente crescente e contínua então F−1(p) é um úniconúmero x tal que

F (x) = P(X ≤ x) = p.

X Para p ∈ [0,1], determina um valor x que estabelece aprobabilidade p a sua esquerda na distribuição de X .

De�nição:A mediana da distribuição X é de�nida por

med(X ) = F−1X (0,5).

Implementação Computacional:

Função de distribuição inversa:

X v.a. contínua, p ∈ (0,1), obter x tal que F (x) = P(X ≤ x) = p

Modelo MatlabX ∼ Uniforme(a,b) F−1(p) = x : x = unifinv(p,a,b)X ∼ Exponencial(λ ) F−1(p) = x : x = expinv(p,1/λ )X ∼ Gama(α,λ ) F−1(p) = x : x = gaminv(p,α,1/λ )

X ∼ N(µ;σ2) F−1(p) = x : x = norminv(p,µ,σ), σ =√

σ2

Modelo R softwareX ∼ Uniforme(a,b) F−1(p) = x : x = qunif (p,a,b)X ∼ Exponencial(λ ) F−1(p) = x : x = qexp(p,λ )X ∼ Gama(α,λ ) F−1(p) = x : x = qgamma(p,α,λ )

X ∼ N(µ;σ2) F−1(p) = x : x = qnorm(p,µ,σ), σ =√

σ2

Exemplo 2.20:

1. Para uma v.a. X determine um valor x quando:1.1 X ∼ Exponencial(1/100) e P(X > x) = 0,05.1.2 X ∼ Normal(0;1) e P(X < x) = 0,9751.3 X ∼ Normal(0;1) e P(−x < X < x) = 0,951.4 X ∼ Normal(90;400) e P(X > x) = 0,05

2. Considere uma v.a. X ∼ Gama (2;3). Obtenha a medianadesta distribuição.

3. Sendo X ∼ Normal (µ;σ2), qual a mediana da suadistribuição?

Valor Esperado de uma V. A. Contínua

De�nição:A esperança (valor esperado, valor médio) de uma v.a. contínua X ,com f.d.p f (x), é de�nida por

E [X ] =∫

∞

−∞

x f (x)dx ,

X A interpretação é análoga a das v.a. discretas, um valornumérico que visa caracterizar �região central� da distribuição deprobabilidade da v.a.

X Se a distribuição de probabilidade da v.a. apresentar um pontode simetria, o valor esperado indicará este ponto.

Referência:ROSS(2007), Chapter 2KAY(2006), Chapter 11

Exemplo 2.21:

1. Seja X uma v.a. contínua com f.d.p.

f (x) =

{3x2, se 0≤ x ≤ 10, caso contrário.

Obtenha a esperança de X .

2. Seja X ∼ Uniforme (a,b). Obter E [X ].

Exercício:Obter a esperança dos modelos de v.a. contínuas apresentados.

Valor Esperado de Funções de V. A. Contínuas

Sejam X uma v.a contínua, com f.d.p f (·), e g(·) uma função quegera uma v.a. Y = g(X ) também continua. Então, temos que

E [Y ] = E [g(X )] =∫

∞

−∞

g(x) f (x)dx .

Observação:É possivel determinar a f.d.p de Y , fY (·), e empregá-la para obter

E [Y ] =∫

∞

−∞

y fY (y)dy

Veja KAY(2006), Chapter 10, Appendix 10A.

Exemplo 2.22:Para a v.a. X ∼ Uniforme(−1,1) e Y = X 2, determine E [Y ].

Variância de V. A. Contínuas

De�nições:A variância de uma v.a. X , com f.d.p f (x), é de�nida por

Var(X ) = E{(X −E [X ])2}.

EntãoVar(X ) =

∫∞

−∞

(x−E [X ])2 f (x)dx .

O desvio padrão da v.a. X é de�nido por

dp[X ] = +√

Var(X )

X A Interpretação é análoga a das v.a. discretas, mensura adispersão (ou a variabilidade) da distribuição da v.a. com respeito aseu valor esperado.

Exemplo 2.23:

1. Seja X uma v.a. contínua com f.d.p.

f (x) =

{3x2, se 0≤ x ≤ 10, caso contrário.

Obtenha a variância de X .

2. Seja X ∼ Uniforme (a,b). Obter Var [X ].

Exercício:Obter a variância dos modelos de v.a. contínuas apresentados.

Propriedades da Esperança e Variância

Todas as propriedades da Esperança e Variância apresentadas paraas v.a. discretas são válidas para as v.a. contínuas,

1. E [c] = c

2. E [aX + b] = aE [X ] + b

3. Var [X ] = E [X 2]− (E [X ])2

4. Var [X ]≥ 0

5. Var [c] = 0

6. Var [cX ] = c2Var [X ]

7. Var [aX + b] = a2Var [X ]

Exercício:Demonstrar cada uma das propriedades acima sendo X uma v.a.contínua.

Função Característica de V.A. Contínuas

De�nição:A função característica (f.c.) de uma v.a. X é de�nida por

φX (t) = E [e jtX ], t ∈ R,

onde j =√−1. Para X contínua com f.d.p f (x) temos que

φX (t) =∫

∞

−∞

e jtx f (x)dx .

Propriedades

1. A f.c. sempre existe pois |φX (t)|< ∞.

2. Gera os momentos E [X n] por

E [X n] =1jn

φ(n)X (0), onde φ

(n)X (t) =

dn

dtnφX (t)

Função Característica de V.A. Contínuas

Teorema da UnicidadeA função característica de uma v.a. X determina univocamente adistribuição de X . (a f.c. é uma representação da distribuição)

Exemplo 2.24

1. Considere uma v.a. X ∼ Exponencial(λ ). Obter f.c. eempregar para obter sua esperança e sua variância.

Exercício:

1. Obter a f.c. para os modelos de v.a. contínuas apresentados eempregar para obter a esperança e a variância.

2. Empregar a f.c. para mostrar que, sendo X ∼ N(µ;σ2), temosque:2.1 para Y = a X + b, com a 6= 0 e b ∈ R, então

Y ∼ N(aµ + b;a2σ2).

2.2 para Z = X−µ

σ, então Z ∼ N(0;1).

Modelos Contínuos:Esperança, Variância, Função Característica

Modelo (X ) E (X ) Var(X ) φX (t)

X ∼ Uniforme(a,b) a+b2

(b−a)212

e jtb−e jtbjt(b−a)

X ∼ Exponencial(λ ) 1λ

1λ2

λ

λ−jt

X ∼ Gama(α,λ ) α

λ

α

λ2

(λ

λ−jt

)α

X ∼ N(µ ;σ2) µ σ2 e jtµ− 1

2t2σ2

Distribuição Conjunta de V. A.

Considere duas v.a. X e Y associadas a um experimento aleatório.

∀s ∈ S ⇒ RXY = {(X (s),Y (s)) ∈ R2}

A função de distribuição conjunta de X e Y é de�nida por

F (x ,y) = P(X ≤ x ,Y ≤ y), −∞ < x ,y < ∞.

A de�nição vale para mais v.a.: X1,X2, ...,Xd

F (x1,x2, ...,xd) = P(X1 ≤ x1,X2 ≤ x2, ...,Xd ≤ xd),

com −∞ < xi < ∞, i = 1,2, ...,d .

Referência:ROSS(2007), Chapter 2KAY(2006), Chapter 7 and Chapter 12.

Distribuição Conjunta de V. A.

Serão considerados os casos:

1. Para (X ,Y ) discretas de�nimos a f.p. conjunta

p(xi ,yj) = P(X = xi ,Y = yj),

para todo (xi ,yj) pares de valores de (X ,Y ).

2. Para (X ,Y ) conjuntamente contínuas temos f.d.p. conjuntaf (·, ·) tal que

P(X ∈ A,Y ∈ B) =∫A

∫B

f (x ,y)dx dy ,

para todo A e B em R.

Distribuições Marginais

Podemos obter a distribuição marginal de cada uma das v.a. apartir da distribuição conjunta

1. (X ,Y ) discretas com f.p. conjunta p(xi ,yi )

P(X = x) = ∑yj

p(x ,yj),

P(Y = y) = ∑xi

p(xi ,y)

2. (X ,Y ) contínua com f.d.p. conjunta f (x ,y)

fX (x) =∫

∞

−∞

f (x ,y)dy ,

fY (y) =∫

∞

−∞

f (x ,y)dx ,

Distribuições Marginais

Extensões:

1. (X1,X2, ...,Xd) discretas com f.p. conjunta p(x1,x2, ...,xd)

P(Xi = x) = ∑x1

... ∑xi−1

∑xi+1

...∑xd

p(x1, ...,xi−1,x ,xi+1, ...,xd)

para i = 1,2,3, ...,d

2. (X1,X2, ...,Xd) contínuas com f.d.p. conjunta f (x1,x2, ...,xd)

fXi(x) =

∫∞

−∞

...∫

∞

−∞

f (x1, ..,xi−1,x ,xi+1, ..,xd)dx1..dxi−1dxi+1..dxd

para i = 1,2,3, ...,d

Exemplo 2.24:

1. Seja (X ,Y ) v.a. bidimensional com f.p. conjunta

Y \X 0 1 22 0.25 0.10 0.153 0.25 0.05 0.20

Obtenha as distribuições marginais de X e de Y .

2. Seja (X ,Y ) com f.d.p. conjunta

f (x ,y) =

{x + y , 0≤ x ≤ 1, 0≤ y ≤ 10, c .c

Obtenha as distribuições marginais de X e de Y .

V. A. Independentes

Considere os eventos

A = {s ∈ S : X (s)≤ x}B = {s ∈ S : Y (s)≤ y}

Então,

P(A∩B) = P(X (s)≤ x ,Y (s)≤ y) = F (x ,y)

Se A e B são independentes, temos

P(A∩B) = P(A)P(B)

F (x ,y) = P(X (s)≤ x)P(Y (s)≤ y)

F (x ,y) = FX (x)FY (y)

V. A. Independentes

De�nição: As v.a. X e Y são independentes se e somente se

F (x ,y) = FX (x)FY (y) ∀(x ,y) ∈ R2

A de�nição implica que:

1. Para (X ,Y ) discreta

P(X = xi ,Y = yj) = P(X = xi )P(Y = yj) ∀(xi ,yj)

2. Para (X ,Y ) contínua com f.d.p. conjunta f (x ,y)

f (x ,y) = fX (x)fY (y).

Exemplo 2.25:Veri�que se no exemplo anterior as v.a. são independentes.

Valor Esperado de g(X ,Y )

Seja (X ,Y ) v.a. bidimensional e g(·, ·) uma função real.

De�nição:

1. Para (X ,Y ) v.a. bidimensional discreta

E [g(X ,Y )] = ∑xi

∑yj

g(xi ,yj)P(X = xi ,Y = yj)

2. Para (X ,Y ) v.a. bidimensional conjuntamente contínua

E [g(X ,Y )] =∫

∞

−∞

∫∞

−∞

g(x ,y)f (x ,y)dx dy .

Algumas Propriedades:

1. X e Y v.a., a e b constantes

E [aX + bY ] = aE [X ] + bE [Y ]

2. X1,X2, ...,Xd v.a., a1,a2, ...,ad constantes

E [a1X1 + a2X2 + ...+ adXd ] =d

∑i=1

aiE [Xi ]

3. X e Y v.a. independentes, g(·) e h(·) funções

E [g(X )h(Y )] = E [g(X )]E [h(Y )]

4. X1, ...,Xd v.a. independentes, g1, ...,gd funções

E [g1(X1)g2(X2)...gd(Xd)] =d

∏i=1

E [gi (Xi )]

Covariância e Variância da Soma de V. A.

De�nição: A covariância entre duas v.a. X e Y é de�nida por

Cov(X ,Y ) = E{(X −E [X ])(Y −E [Y ])}

1. É uma medida de �variabilidade conjunta� entre as v.a.

2. Valores � + � indicam que as v.a. tendem a crescer no mesmosentido, e valores � - � indicam sentidos opostos.

3. Resultado:

Cov(X ,Y ) = E [XY ]−E [X ]E [Y ] = Cov(Y ,X )

⇒ é uma medida �simétrica�.

Exercício:Fazer a veri�cação deste resultado

Exemplo 2.26:

1. Seja (X ,Y ) v.a. bidimensional com f.p. conjunta

Y \X 0 1 22 0.25 0.10 0.153 0.25 0.05 0.20

Obtenha a covariância entre X e Y .

2. Seja (X ,Y ) com f.d.p. conjunta

f (x ,y) =

{x + y , 0≤ x ≤ 1, 0≤ y ≤ 10, c .c

Obtenha a covariância entre X e Y .

Propriedades:

1. Cov(X ,X ) = Var(X )

2. Com X e Y independentes, Cov(X ,Y ) = 0.

3. Se a e b são constantes,

Cov(aX ,bY ) = a b Cov(X ,Y )

4. Cov(X ,Y + Z ) = Cov(X ,Y ) + Cov(X ,Z )

5. Com X1, ...,Xm e Y1, ...,Yn v.a. e sendo a1,a2, ...,ad eb1,b2, ...,bd constantes

Cov(m

∑i=1

aiXi ,n

∑j=1

bjYj) =m

∑i=1

n

∑j=1

aibjCov(Xi ,Yj).

Propriedades:

6. Com X1, ...,Xm v.a.

Var(m

∑i=1

Xi ) =m

∑i=1

Var(Xi )

+2m−1

∑i=1

m

∑j=i+1

Cov(Xi ,Yj)

7. Se X1, ...,Xm são v.a. conjuntamente independentes

Var(m

∑i=1

Xi ) =m

∑i=1

Var(Xi )

Exercício:

1. Fazer a veri�cação destas propriedades.

2. Estudar o problema de predição em KAY(2006), Section 7.9

Exemplo 2.27:

Seja Y ∼ Binomial(m,p) e de�na, para cada repetição, as v.a.

Xi =

{1, se ocorre o sucesso0, se ocorre o fracasso

com i = 1,2, ..,m. Modele Y em termos das v.a. Xi ′s e obtenhaE [Y ] e Var [Y ].

Coe�ciente de Correlação

De�nição: O coe�ciente de correlação entre duas v.a. X e Y éde�nido por

ρ(X ,Y ) =Cov(X ,Y )√

Var(X )Var(Y ).

1. É uma medida que quanti�ca a associação linear entre as v.a.

2. −1≤ ρ(X ,Y ) ≤ 1.

3. ρ(X ,Y ) = 1 ⇔ Y = aX + b, a > 0 e b ∈ R4. ρ(X ,Y ) =−1 ⇔ Y = aX + b, a < 0 e b ∈ R.5. ρ(X ,Y ) = 0 ⇒ ausência de associação linear.

Exemplo 2.28

1. Seja (X ,Y ) v.a. bidimensional com f.p. conjunta

Y \X 0 1 22 0.25 0.10 0.153 0.25 0.05 0.20

Obtenha o coe�ciente de correlação entre X e Y .

2. Seja (X ,Y ) com f.d.p. conjunta

f (x ,y) =

{x + y , 0≤ x ≤ 1, 0≤ y ≤ 10, c .c

Obtenha o coe�ciente de correlação entre X e Y .

3. Estudar a Seção 7.9, do Capítulo 7, em KAY(2006). Aborda aquestão de predição de Y , com base no conhecimento do valorde X .

Função Característica Conjunta

De�nição:A função característica (f.c.) de uma v.a. bidimensional (X ,Y ) éde�nida por

φXY (t,s) = E [e j(tX+sY )], (t,s) ∈ R2,

onde j =√−1.

Para (X ,Y ) discreta, com f.p. conjunta p(xi ,yj), temos que

φXY (t,s) = ∑xk

∑yi

e j(txk+syi ) p(xk ,yi )

Para (X ,Y ) conjuntamente contínua, com f.d.p. conjunta f (x ,y),temos que

φXY (t,s) =∫

∞

−∞

∫∞

−∞

e j(tx+sy) f (x ,y)dx dy .

Função Característica Conjunta: Propriedades

1. A f.c. sempre existe pois |φXY (t,s)|< ∞.

2. Gera os momentos conjuntos E [XmY n] por

E [XmY n] =1

jm+nφ

(m+n)XY (0,0); φ

(m+n)XY (t,s) =

dm+n

dtm dsnφXY (t,s)

3. Teorema da Unicidade também se veri�ca.

4. Função característica marginal

φX (t) = φXY (t,0) e φY (s) = φXY (0,s)

4. Para X e Y v.a. independentes, com f.c. φX (t) e φY (s), temos

φX+Y (t) = φX (t)φY (t)

Exercício:

1. Fazer a veri�cação da Propriedade 4.2. Para X ∼ Poisson(λ1), Y ∼ Poisson(λ2), v.a. independentes, e

Z = X + Y , mostrar que Z ∼ Poisson(λ ), com λ = λ1 + λ2.

Distribuição CondicionalDe�nição: Para (X ,Y ) v.a. com distribuição conjunta

1. (X ,Y ) discreta com f.p. conjunta P(X = x ,Y = y)

P(X = x |Y = y) =P(X = x ,Y = y)

P(Y = y), ∀y com P(Y = y) > 0

2. (X ,Y ) contínua com f.d.p. conjunta fXY (x ,y)

fX |Y (x |y) =fXY (x ,y)

fY (y), ∀y com fY (y) > 0.

X São distribuições de probabilidade, portanto

1. ∑x P(X = x |Y = y) = 1

2.∫

∞

−∞fX |Y=y (x |y)dx = 1

Referência:KAY(2006), Chapter 8 and Chapter 13ROSS(2007), Chapter 3

Distribuição Condicional

Para (X ,Y ) com f.p. conjunta

1. A f.p conjunta determina a probablidade condicional

P(X = x |Y = y) =P(X = x ,Y = y)

∑j p(X = xj ,Y = y)

2. As probablidades condicionais estão relacionads

P(X = x |Y = y) =P(Y = y |X = x)P(X = x)

P(Y = y)

3. A condicional expressa como Teorema de Bayes

P(X = x |Y = y) =P(Y = y |X = x)P(X = x)

∑j P(Y = y |X = xj)P(X = xj)

Distribuição CondicionalPara (X ,Y ) com f.d.p. conjunta

1. A f.d.p. conjunta determina a probablidade condicional

fX |Y (x |y) =fXY (x ,y)∫

∞

−∞f (x ,y)dx

2. As probablidades condicionais estão relacionads

fX |Y (x |y) =fY |X (y |x)fX (x)

fY (y)

3. A condicional e sua marginal gera a outra marginal

fY (y) =∫

∞

−∞

fY |X (y |x)fX (x)dx

4. A condicional expressa como Teorema de Bayes

fX |Y (x |y) =fY |X (y |x)fX (x)∫

∞

−∞fY |X (y |x)fX (x)dx

Exemplo 2.29

1. Seja (X ,Y ) v.a. bidimensional com f.p. conjunta

Y \X 0 1 22 0.25 0.10 0.153 0.25 0.05 0.20

Obtenha a distribuição (condicional) de X dado Y = 2.

2. Seja (X ,Y ) com f.d.p. conjunta

f (x ,y) =

{6xy(2−x−y), 0≤ x ≤ 1, 0≤ y ≤ 10, c .c

Obtenha a distribuição (condicional) fX |Y=y (x |y).

3. Sejam X ∼ Poisson(λ1) e Y ∼ Poisson(λ2) independentes.Determine a distribuição de X dado X + Y = k

Esperança Condicional

De�nição:A esperança condicional de X dado Y = y é da forma

1. Para (X ,Y ) com f.p. conjunta P(X = x ,Y = y) eP(Y = y) > 0

E [X |Y = y ] = ∑x

x P(X = x |Y = y)

2. Para (X ,Y ) com f.d.p. conjunta fXY (x ,y) e fY (y) > 0

E [X |Y = y ] =∫

∞

−∞

x fX |Y (x |y)dx

Exemplo 2.30:Com relação ao exemplo anterior, determinar as esperançascondicionais para as distribuições obtidas.

Esperança Condicional

Resultado 1: para a função E [X |Y ], cujo valor em Y = y é dadopor E [X |Y = y ], temos que

E [X ] = E{E [X |Y ]}

Com Y discreta

E [X ] = ∑y

E [X |Y = y ]P(Y = y)

Com Y contínua

E [X ] =∫

∞

−∞

E [X |Y = y ] fY (y)dy

Resultado 2: Se X e Y são independentes, então

E [X |Y = y ] = E [X ] e E [Y |X = x ] = E [Y ]

Exercício:Fazer a veri�cação destes resultados.

Variância CondicionalDe�nição:A variância condicional de X dado Y = y é de�nida como

Var [X |Y = y ] = E{[X −E (X |Y = y)]2|Y = y}

Resultados:

1. Podemos empregar

Var [X |Y = y ] = E [X 2|Y = y ]− [E (X |Y = y)]2,

dependendo se Y discreta ou contínua, E [X 2|Y = y ] é

∑x

x2P(X = x |Y = y) ou∫

∞

−∞

x2fX |Y (x |y)dx

2. A Var(X ) pode ser obtida como

Var [X ] = E [Var(X |Y )] + Var(E [X |Y ])

Exercício:Fazer a veri�cação destes resultados.

Aplicação:

A soma de um número aleatório de v.a:Sejam X1,X2,X3, ... v.a. independentes, todas com a mesmadistribuição (v.a.i.i.d), e seja N uma v.a. discreta com valores em{1,2,3, ....}. Considere que N é independente do Xi ′s e de�na

Y = X1 + X2 + X3 + ...+ XN .

Mostrar que

(a) E [Y ] = E [X1]E [N].

(b) Var [Y ] = Var [X1]E [N] + E 2[X1]Var [N].

(c) φY (t) = E{[φX1(t)]N}, onde φX1

(t) é a f.c. de X1.

Cálculo de Probabilidade por Condicionamento

Para o evento {X ∈ A} de�na uma v.a. como

W =

{1 se X ∈ A0 se X 6∈ A

⇒ E [W ] = P(X ∈ A) e E [W |Y = y ] = P{(X ∈ A)|Y = y}.

Resultado:

P(X ∈ A) = E [W ] = E{E [W |Y ]}= E{P[(X ∈ A)|Y ]}.

Com Y discreta

P(X ∈ A) = ∑y

P{(X ∈ A)|Y = y}P(Y = y)

Com Y contínua

P(X ∈ A) =∫

∞

−∞

P{(X ∈ A)|Y = y} fY (y)dy

Exemplo 2.31:

1. Considere X e Y v.a. contínuas e independentes e de�naT = X + Y , denominada convolução das f.d. FX ()̇ e FY ()̇

(a) Mostrar que

FT (t) =∫

∞

−∞

FX (t−y) fY (y)dy .

(b) Com X ∼ Exp(λ1) e Y ∼ Exp(λ2), obter a f.d.p. de T .

2. Para uma central de serviços há uma probabilidade p de quecada serviço seja executado corretamente e as execuções sãoindependentes. Suponha que as solicitações de serviço, em umdado intervalo de tempo, chegam segundo um modelo dePoisson(λ ). Qual a probabilidade de serem executadoscorretamente k serviços no intervalo de tempo considerado?

Vetores Aleatórios

Um vetor cujas componentes são v.a.: X> = (X1,X2,X3...,Xd)

1. Função de distribuição conjunta

F (x1,x2,x3, ...,xd) = P(X1 ≤ x1,X2 ≤ x2,X3 ≤ x3, ...,Xd ≤ xd),

com −∞ < xi < ∞, i = 1,2, ...,d .

2. Conjuntamente discreto ⇒ f.p. conjunta

P(X = x) = P(X1 = x1,X2 = x2,X3 = x3, ...,Xd = xd)

3. Conjuntamente contínuo ⇒ f.d.p. conjunta

fX(x) = fX1X2X3...Xd(x1,x2,x3, ...,xd)

Notação: x> = (x1,x2,x3, ...,xd) ∈ Rd

Referência: KAY(2006), Chapter 9 and Chapter 14.

Vetores Aleatórios: Caracterização

Vetor de Médias:

E [X] =

E [X1]E [X2]

...E [Xd ]

Matrix de Covariâncias:

CX = E{(X−E [X])(X−E [X])>}

que resulta em

CX =

σ11 σ12 σ13 . . . σ1d

σ21 σ22 σ23 . . . σ2d...

...... . . .

...σd1 σd2 σd3 . . . σdd

onde σij = cov(Xi ,Xj) = E{(Xi −E [Xi ])(Xj −E [Xj ])}.

Vetores Aleatórios: CaracterizaçãoMatriz de Correlações:

ρρρX =

1 ρ12 ρ13 . . . ρ1d

ρ12 1 ρ23 . . . ρd3...

...... . . .

...ρd1 ρd2 ρd3 . . . 1

onde

ρij =σij

(√

σii σjj)

⇒ Resultado:Fazendo V = diag [

√σ11,√

σ22,√

σ33, ...,√

σdd ], então temos que

ρρρX = V−1CXV

−1 e CX = V ρρρXV

.Função Característica:

φX (t) = E (e jt>X) = E (e j(t1X1+t2X2+t3X3+...+tdXd ))

Vetores Aleatórios: Propriedades

1. Matriz de covariâncias é simétrica e a diagonal principalcontém as variâncias das v.a. em X.

2. Se as v.a. em X são conjuntamente independentes, então

CX = diag(σ11,σ22,σ33, ...,σdd)

3. Sendo a(d×1) vetor de constantes ( 6= 0), b ∈ R e Y = a>X+ bentão

E [Y ] = a>E [X] + b e Var [Y ] = a

>CXa.

4. Com A(m×d), m ≤ d , matrix de constantes e Y = AX, então

E [Y] = AE [X] e CY = ACXA>.

5. Pode ser obtida uma transformação de X para Y, tal que CY

seja diagonal.

Exemplo 2.32:

1. Para as v.a. X1 ∼ Exp(λ = 0,5) e X2 ∼ Exp(λ = 0,2),considere o vetor X> = (X1,X2).(a) Sendo X1 e X2 independentes, determine E [X] e COV [X].(b) Sendo ρ(X1,X2) = 0,9, determine E [X] e COV [X].

2. Sejam Xi ∼ Poisson(λ ), i = 1,2,3, ...,d , e independentes.Considere X> = (X1,X2,X3...,Xd).(a) Determine a disitribuição conjunta de X.(b) Determine E [X] e COV [X].(c) Para d = 3, isto é, X> = (X1,X2,X3), sendo

A=

[3 −2 1−2 5 2

],

e Y = AX, determine E [Y] e COV [Y].

Distribuição Multinomial

É uma extensão do modelo Binomial onde, em cada uma das mrepetições independentes, são gerados k > 2 resultados de interessecom suas respectivas probabilidades constantes. De�nimos

Yi : o número de resultados do tipo i nas m repetições, i = 1,2, ...,d .

Sendo pi = P(resultado do tipo i), para as v.a. Y1,Y2,Y3, ...,Yd

temos

P(Y1 = n1,Y2 = n2, ...,Yd = nd) =m!

n1!n2!...nd !pn11

pn22...pnd

d

onde ∑ki=1

pi = 1 e n1 + n2 + ...+ nd = m

1. Temos Y> = (Y1,Y2,Y3, ...,Yd)

2. Notação: Y ∼Multinomial(m,p1,p2, ...,pd)

Distribuição Multinomial: Exercício

1. Seja Y ∼Multinomial(m,p1,p2, ...,pd). Mostre que o vetor demédia e a matriz covariâncias e a função característicasão,respectivamente,

E [Y] =

m p1m p2...

m pd

,

CY =

m p1(1−p1) −m p1 p2 −m p1 p3 . . . −m p1 pd

−m p2 p1 m p2(1−p2) −m p2 p3 . . . −m p2 pd...

...... . . .

...−m pd p1 −m pd p2 −m pd p3 . . . m pd(1−pd)

e

φX (t) = (p1e jt1 + p2e jt2 + p1e jt3 + ...+ pde jtd )m

Exemplo 2.33:

1. (ROSS(2007), Chapter 2): A television store owner �guresthat 50 percent of the customers entering his store willpurchase an ordinary television set, 20 percent will purchase acolor television set, and 30 percent will just be browsing. If�ve customers enter his store on a certain day, what is theprobability that two customers purchase color sets, onecustomer purchases an ordinary set, and two customerspurchase nothing?

2. (LEON-GARCIA(2008), Chapter 2): Suppose we pick 10telephone numbers at random from a telephone book and notethe last digit in each of the numbers.What is the probabilitythat we obtain each of the integers from 0 to 9 only once?.

Distribuição Normal Multivariada (DNM)

Um vetor aleatório X> = (X1,X2,X3...,Xd) tem distribuição normal(gaussian) multivariada com parâmetros µµµ(d×1) e ΣΣΣ(d×d) (nãosingular) se sua f.d.p. conjunta é dada por

fX(x) =1

(2π)d2 (| ΣΣΣ|) 1

2

exp{−12

(x− µµµ)> ΣΣΣ−1(x− µµµ)}

1. Resultados:

(a) Vetor de médias: E [X] = µµµ

(b) Matriz de covariâncias: COV [X] = ΣΣΣ

(c) φX(t) = e jtT µ− 1

2tTΣt

2. O vetor µµµ de�ne a �localização� e os valores na matriz ΣΣΣ a�forma� da distribuição no espaço Rd

3. Notação: X∼ Nd( µµµ, ΣΣΣ).

DNM: Propriedades

1. As v.a. em X são independentes se, e somente se,

ΣΣΣ = diag(σ11,σ22,σ33, ...,σdd)

2. Com a(d×1) vetor de constantes (6= 0), b ∈ R e Y = a>X+ bentão

Y ∼ N(a> µµµ + b,a> ΣΣΣa)

⇒ cada v.a. em X tem distribuição normal.

3. Com A(m×d), m ≤ d , matrix de constantes e Y = AX, então

Y ∼ Nm(A µµµ,A ΣΣΣA>).

⇒ subconjuntos (6= /0) de v.a. em X tem distribuição normal.

4. Sendo Z∼ Nd(0, I(d×d)) e A tal que AA> = ΣΣΣ, então

Y = AZ+ µµµ ∼ Nd( µµµ, ΣΣΣ)

Exercício: Fazer a veri�cação dos resultados e destas propriedades

Teorema Central do Limite

Sejam X1,X2,X3, ... v.a. independentes e indenticamentedistribuidas (iid), com média E [X ] e variância Var [X ] �nita (< ∞).Seja Sn = ∑

ni=1

Xi . Então com n→ ∞, temos que

Sn→ N(n E [X ];n Var [X ]) ouSn−n E [X ]√

n Var [X ]→ N(0;1)

Temos que, com Z ∼ N(0;1),

P

(Sn−n E [X ]√

n Var [X ]≤ s

)→∫ s

−∞

fZ (z)dz

Comentários:

Pelo TCL, a distribuição da soma de uma quantidade grandev.a. iid pode ser aproximada por uma distribuição Normal ,sem ser necessário conhecer a distribuição das v.a.

Referência: KAY(2006), Chapter 15, Section 15.5.

Exemplo 2.34:

1. (KAY(2006), Chapter 15): Seja X ∼ Binomial(100;0,5).Obtenha uma aproximação para:(a) P(490≤ X ≤ 510).(b) P(X = 510)

2. (ROSS(2007), Chapter 3): The lifetime of a special type ofbattery is a random variable with mean 40 hours and standarddeviation 20 hours. A battery is used until it fails, at whichpoint it is replaced by a new one. Assuming a stockpile of 25such batteries, the lifetimes of which are independent,approximate the probability that over 1100 hours of use can beobtained.

Simulação Computacional de V.A.

Simulação computacional de um sistema envolve a simulação deobservações de uma v.a. com especi�cada distribuição deprobabilidade.

Exemplo:Suponha que o objetivo seja simular o número de e-mail quechegam a uma central de processamento um �xado intervalo detempo. De�nimos a v.a.

X : o número de e-mail que chegam no intervalo

⇒ empregar um modelo e simular observações de X

A simulação de v.a., em geral, consiste em gerar um númeroaleatório a partir da Uniforme(0;1), transformá-lo para gerar aobservação do modelo desejado.

MATLAB: rand gera número �pseudo� aleatório Uniforme(0;1)

Simulação Computacional de V.A.: Exemplos

Empregar a função �rand� para as seguintes questões.

1. Simular computacionalmente um sequência de CARAS (C ) eCOROAS (K ) no lançamento de uma moeda �viciada� comP(C ) = 0.4. Propor um algoritmo.

2. Propor um algoritmo para simular observações do número depeças defeituosas em caixas de um determinado produto, ondepodemos considerar que os defeitos ocorrem de formaindependente na linha de produção e sabendo que as peças sãoembaladas em caixas com 10 itens.

3. Propor um algoritmo para simular observações da distribuiçãoconjunta

Y \X 0 1 22 0.25 0.10 0.153 0.25 0.05 0.20

Simulação Computacional

Observação:

1. A simulação de observações de alguns modelos exigem oemprego de resultados de Probabilidade não discutidos nadisciplina. Veja, por exemplo, KAY(2006), Section 10.9.

2. A �credibilidade� de um estudo de simulação dependefundamentalmente do gerador de números (pseudos) aleatóriosempregado e, dependendo da extensão do estudo, devem serser feitas avaliações com a relação a �aleatóriedade� e a�independência� dos valores gerados.

3. Uma referência sobre a assunto:ROSS, S. (2002) Simulation. 3rd Edition. Academic Press.

Simulação Computacional

1. Funções para simular observações de v.a.Modelo Matlab RBinomial(m,p) binornd(m,p,n,d) rbinom(n,m,p)Geometrica(p) geornd(p,n,d) rgeom(n,p)Poisson(λ ) poissrnd(λ ,n,d) rpois(x ,λ )Uniforme(a,b) unifrnd(a,b,n,d) runif (n,a,b)Exponencial(α) exprnd(1/α,n,d) rexp(n,α)Gama(α,λ ) gamrnd(α,1/λ ,n,d) rgamma(n,α,λ )N(µ;σ2) normrnd(µ,σ ,n,d) rnorm(n,µ,σ)

2. Simulação observações de uma distribuição Nd( µµµ, ΣΣΣ):

(a) Matlab: Statistics Toolbox e função mvnrnd(Mu,Sigma,n)

(b) R: Pacote mvtnorm e função rmvnorm(n,Mu,Sigma).

Observação: A dimensão d é inferida da dimensão do vetorMu declarado na função.