Métodos Matemáticos em Biologia de POpulações

MétodosMatemáticos

em Biologia dePopulações

R.A. Kraenkel

EpidemiasHistórias...

Modelos

Glórias e Misérias

Vegetação emregiõesSemi-áridasRegiões semi-áridas eáridas

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Métodos Matemáticos em Biologia dePopulações

Roberto André Kraenkel

Instituto de Física Teórica-UNESPSão Paulo

http://www.ift.unesp.br/users/kraenkel

Aula IV

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

A aula de hoje

1 EpidemiasHistórias...ModelosGlórias e Misérias

2 Vegetação em regiões Semi-áridasRegiões semi-áridas e áridasModeloHistereseGlóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

A aula de hoje

1 EpidemiasHistórias...ModelosGlórias e Misérias

2 Vegetação em regiões Semi-áridasRegiões semi-áridas e áridasModeloHistereseGlóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Epidemias: históriasParta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates).

A Peste de Atenas.• A peste de Atenas foi uma

epidemia que grassou em430(AC) em Atenas, durantea Guerra do Peloponeso.

• Foi relatada por Tucídides:calores, sufocamento,convulsões , necroses dosdedos, ..morte.

• 1/3 da população foidizimada. Pericles, inclusive.

• Não se sabe que doença foi acausadora da epidemia.Tifoepidêmico é a mais provável.transmitida entre animais e ohomem por meio de piolhos.

• A epidemia aparentementeveio se alastrando a partir daÁfrica.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• 1/3 da população foidizimada.

Pericles, inclusive.• Não se sabe que doença foi a

causadora da epidemia.Tifoepidêmico é a mais provável.transmitida entre animais e ohomem por meio de piolhos.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• Não se sabe que doença foi acausadora da epidemia.

Tifoepidêmico é a mais provável.transmitida entre animais e ohomem por meio de piolhos.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Epidemias: históriasDizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, noDecameron).

A Peste.• A peste é uma doença

infecciosa causada pelabactéria Yersinia pestis.

Hátrês formas;• pneumônica, afetando os

pulmões e sendotransmissível entre humanos.

• bubônica, inflamando osgânglios, transmitida porpulgas infectadas a aprtir deratos.

• septisêmica, espalhando paratodos os órgãos pela correntesangüínea.

• Não tratadas, sãofatais.Antibióticos sãoeficientes contra a peste .• Devem ser ministrados em

poucas horas...

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

infecciosa causada pelabactéria Yersinia pestis.Hátrês formas;

• pneumônica, afetando ospulmões e sendotransmissível entre humanos.

poucas horas...

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

infecciosa causada pelabactéria Yersinia pestis.Hátrês formas;• pneumônica, afetando os

poucas horas...

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

poucas horas...

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

poucas horas...

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• Não tratadas, sãofatais.

Antibióticos sãoeficientes contra a peste .• Devem ser ministrados em

poucas horas...

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• Não tratadas, sãofatais.Antibióticos sãoeficientes contra a peste .

• Devem ser ministrados empoucas horas...

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

poucas horas...

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Epidemias: histórias.A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora.(E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha).

A Peste.

• Houve três grandespandemias de peste;• A peste de Justiniano, (541

D.C.), espalhando-se a partirde Constantinopla e matando25% da população da regiãomediterrânea.

• A peste negra, (1347),entrando pela Sicília, matou1/3 da população européia.

• A terceira pandemia,começando na China em 1855e matando 12 milhões depessoas na China e Índia.

• Ainda existe a peste hoje emdia, mas não de formaepidêmica. Entre 1987 e2001 houve 2847 mortes porpeste no mundo.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

A Peste.• Houve três grandes

pandemias de peste;

• A peste de Justiniano, (541D.C.), espalhando-se a partirde Constantinopla e matando25% da população da regiãomediterrânea.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

pandemias de peste;• A peste de Justiniano, (541

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• Ainda existe a peste hoje emdia, mas não de formaepidêmica.

Entre 1987 e2001 houve 2847 mortes porpeste no mundo.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Epidemias: histórias

Algumas Grandes Epidemias

Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá emáreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais. Entre 1980 e 2005, houveseis mortes.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005.

A maioria dos casos e dá emáreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais. Entre 1980 e 2005, houveseis mortes.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá emáreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais.

Entre 1980 e 2005, houveseis mortes.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (PedroDantas).

A Gripe Espanhola.

• A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe(influenza A) particularmente severa e mortífera.

• Ocorreu entre 1918 e 1919.• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.• Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500

milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.• A doença se transmite de pessoa para pessoa.• Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de

outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia jádefinhava.

• O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!• Fim da gripe espanhola.• Fim da Grande Guerra.• Tudo de bom!.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

A Gripe Espanhola.• A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe

(influenza A) particularmente severa e mortífera.

• Ocorreu entre 1918 e 1919.• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.• Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

(influenza A) particularmente severa e mortífera.• Ocorreu entre 1918 e 1919.

• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.• Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

(influenza A) particularmente severa e mortífera.• Ocorreu entre 1918 e 1919.• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.

• Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.

• A doença se transmite de pessoa para pessoa.• Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

(influenza A) particularmente severa e mortífera.• Ocorreu entre 1918 e 1919.• Atingiu praticamente todas as regiões do mundo.• Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500

milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.

• A doença se transmite de pessoa para pessoa.• Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.• A doença se transmite de pessoa para pessoa.

• Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 deoutubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia jádefinhava.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

outubro de 1918.

Em final de novembro, a epidemia jádefinhava.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!

• Fim da gripe espanhola.• Fim da Grande Guerra.• Tudo de bom!.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!• Fim da gripe espanhola.

• Fim da Grande Guerra.• Tudo de bom!.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!• Fim da gripe espanhola.• Fim da Grande Guerra.

• Tudo de bom!.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Modelos Matemáticos

Modelo Simples: hipóteses

• Para constrir um modelo matemático elementar para umaepidemia vamos começar com algumas simplificações .

• A população tem um número constante de indivíduos.• A população é espacialmente homogênea.

• Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e deespaço para o nosso modelo.

• Dividimos os indivíduos de nossa população em trêscategorias:• S susceptíveis;• I infectados;• R recuperados (imunes ou falecidos)

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• Para constrir um modelo matemático elementar para umaepidemia vamos começar com algumas simplificações .• A população tem um número constante de indivíduos.

• A população é espacialmente homogênea.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• Para constrir um modelo matemático elementar para umaepidemia vamos começar com algumas simplificações .• A população tem um número constante de indivíduos.• A população é espacialmente homogênea.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• Dividimos os indivíduos de nossa população em trêscategorias:

• S susceptíveis;• I infectados;• R recuperados (imunes ou falecidos)

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• Dividimos os indivíduos de nossa população em trêscategorias:• S susceptíveis;

• I infectados;• R recuperados (imunes ou falecidos)

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• Dividimos os indivíduos de nossa população em trêscategorias:• S susceptíveis;• I infectados;

• R recuperados (imunes ou falecidos)

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Modelo de Kermack &McKendrick (1927)

A taxa de variação per capita dos susceptíveis é proporcional aonúmero de infectados:

= −rSI

sendo r a taxa de infecção .

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

A taxa de variação per capita dos infectados é proporcional aonúmero de infectados menos a taxa de remoção (recuperadosimunes ou mortos).

= −rSI

= −rSI − aI

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

A taxa de variação per capita dos recuperados é constante.

= −rSI

= −rSI − aI

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Temos portanto três equações para três variáveis:

= −rSI

= −rSI − aI

ANALISEMOS-LAS!

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do modelo I

dSdt = −rSI dI

dt = −rSI − aI dRdt = aI

• Primeiramente notemos que, se somarmos as três equaçõesteremos:

d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N

onde N é a população total, constante.• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:

• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0, I(0) = I0 e� R(0) = 0 �.

• Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0) e desusceptíiveis (S0).

• Dados r, a, S0 e I0, queremos saber se haverá ou não umaepidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

d(S + I + R)dt

⇒S + I + R = N

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N

onde N é a população total, constante.

• Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0, I(0) = I0 e

� R(0) = 0 �.• Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0) e de

susceptíiveis (S0).• Dados r, a, S0 e I0, queremos saber se haverá ou não uma

epidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N

• Inicialmente, em t = 0, temos:

S(0) = S0, I(0) = I0 e� R(0) = 0 �.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N

• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0,

I(0) = I0 e� R(0) = 0 �.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N

• Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0, I(0) = I0 e

� R(0) = 0 �.• Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0) e de

susceptíiveis (S0).• Dados r, a, S0 e I0, queremos saber se haverá ou não uma

epidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N

• Dados r, a, S0 e I0, queremos saber se haverá ou não umaepidemia.

Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

d(S + I + R)dt

= 0⇒S + I + R = N

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do modelo IIdSdt = −rSI dI

• Notemos inicialmente que em t = 0:»dIdt

–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)

• Se S0 < a/r entãoˆ dI

˜0 < 0.

• Se S0 > a/r entãoˆ dI

˜0 > 0 (Epidemia!)

• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0

e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.

• Se S0 > a/r haverá epidemia ( poisˆ dI

˜0 > 0). Note porém que I(t) não

cresce indefinidamente, e depois de um certo tempo torna-se negativo.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• Notemos inicialmente que em t = 0:

»dIdt

–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)

˜0 < 0.

˜0 > 0 (Epidemia!)

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)

˜0 < 0.

˜0 > 0 (Epidemia!)

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)

• Se S0 < a/r então

ˆ dIdt

˜0 < 0.

˜0 > 0 (Epidemia!)

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)

˜0 < 0.

˜0 > 0 (Epidemia!)

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)

˜0 < 0.

• Se S0 > a/r então

ˆ dIdt

˜0 > 0 (Epidemia!)

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)

˜0 < 0.

˜0 > 0

(Epidemia!)• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)

˜0 < 0.

˜0 > 0 (Epidemia!)

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)

˜0 < 0.

˜0 > 0 (Epidemia!)

• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.

• Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)

˜0 < 0.

˜0 > 0 (Epidemia!)

• Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.• Assim, se S0 < a/r

então S(t) < a/r para todo t

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)

˜0 < 0.

˜0 > 0 (Epidemia!)

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)

˜0 < 0.

˜0 > 0 (Epidemia!)

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)

˜0 < 0.

˜0 > 0 (Epidemia!)

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)

˜0 < 0.

˜0 > 0 (Epidemia!)

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0

˜0 > 0).

Note porém que I(t) nãocresce indefinidamente, e depois de um certo tempo torna-se negativo.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)

˜0 < 0.

˜0 > 0 (Epidemia!)

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0

cresce indefinidamente,

e depois de um certo tempo torna-se negativo.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

–0= −rS0I0 − aI0 = −I0(rS0 − a)

˜0 < 0.

˜0 > 0 (Epidemia!)

= −rSI − aI = I(rS− a) < 0

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do modelo III

Em resumo...

• Se S0 > a/r há epidemia,e se S0 < a/r, não há.• Ou:

R0 ≡S0ra

é a condição de existência de uma epidemia.• R0 é chamada de Razão Reprodutiva Básica.• Mesmo em modelos mais completos, podemos definir um

parâmetro análogo.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Em resumo...

• Se S0 > a/r há epidemia,

e se S0 < a/r, não há.• Ou:

R0 ≡S0ra

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Em resumo...

• Se S0 > a/r há epidemia,e se S0 < a/r, não há.

• Ou:

R0 ≡S0ra

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Em resumo...

R0 ≡S0ra

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Em resumo...

R0 ≡S0ra

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Em resumo...

R0 ≡S0ra

é a condição de existência de uma epidemia.

• R0 é chamada de Razão Reprodutiva Básica.• Mesmo em modelos mais completos, podemos definir um

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Em resumo...

R0 ≡S0ra

é a condição de existência de uma epidemia.• R0 é chamada de

Razão Reprodutiva Básica.• Mesmo em modelos mais completos, podemos definir um

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Em resumo...

R0 ≡S0ra

é a condição de existência de uma epidemia.• R0 é chamada de Razão Reprodutiva Básica.

• Mesmo em modelos mais completos, podemos definir umparâmetro análogo.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Em resumo...

R0 ≡S0ra

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Em resumo...

R0 ≡S0ra

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do Modelo IV

dSdt = −rSI dI

Fazendo sentido de R0 > 1.• O que nos diz a condição R0 ≡ S0r

a > 1 ?

• Passo a passo:• a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados. 1/a

pode ser visto como o tempo característico da infecção .• Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente

tem-se uma epidemia. Faz sentido.• O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúde

pública.

• Quanto maior S0 maior R0. Ou seja, quanto mais susceptíveis, maischances de haver epidemia. Faz sentido também.

• r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.Quanto maior, pior a doença.Mais facilmente haverá epidemia. Fazsentido também.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

a > 1 ?

pública.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

a > 1 ?

• Passo a passo:

• a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados. 1/apode ser visto como o tempo característico da infecção .• Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente

pública.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

a > 1 ?

• Passo a passo:• a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados.

1/apode ser visto como o tempo característico da infecção .• Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente

pública.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

a > 1 ?

pode ser visto como o tempo característico da infecção .

• Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmentetem-se uma epidemia. Faz sentido.

• O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúdepública.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

a > 1 ?

tem-se uma epidemia.

Faz sentido.• O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúde

pública.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

a > 1 ?

tem-se uma epidemia. Faz sentido.

• O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúdepública.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

a > 1 ?

pública.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

a > 1 ?

pública.

• Quanto maior S0 maior R0.

Ou seja, quanto mais susceptíveis, maischances de haver epidemia. Faz sentido também.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

a > 1 ?

pública.

• Quanto maior S0 maior R0. Ou seja,

quanto mais susceptíveis, maischances de haver epidemia. Faz sentido também.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

a > 1 ?

pública.

• Quanto maior S0 maior R0. Ou seja, quanto mais susceptíveis, maischances de haver epidemia.

Faz sentido também.• r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.

Quanto maior, pior a doença.Mais facilmente haverá epidemia. Fazsentido também.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

a > 1 ?

pública.

• r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.

Quanto maior, pior a doença.Mais facilmente haverá epidemia. Fazsentido também.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

a > 1 ?

pública.

• r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.Quanto maior, pior a doença.

Mais facilmente haverá epidemia. Fazsentido também.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

a > 1 ?

pública.

• r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.Quanto maior, pior a doença.Mais facilmente haverá epidemia.

Fazsentido também.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dSdt = −rSI dI

a > 1 ?

pública.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do Modelo V

Nada como um gráfico...

• Podemos visualizar as soluções do modelo no espaço de fase.

• Temos três variáveis, mas como S + I + R = N, podemoseliminar uma delas. Por exemplo, R. Ficamos com S e I.

Note no diagrama ao ladoque todas as trajetórias vãoà I = 0 quando t →∞.Toda epidemia acaba!Que bom!.

Repare que S(t→∞) 6=0. Nem todos pegam a in-fecção .

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• Podemos visualizar as soluções do modelo no espaço de fase.• Temos três variáveis,

mas como S + I + R = N, podemoseliminar uma delas. Por exemplo, R. Ficamos com S e I.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• Podemos visualizar as soluções do modelo no espaço de fase.• Temos três variáveis, mas como S + I + R = N, podemos

eliminar uma delas.

Por exemplo, R. Ficamos com S e I.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

eliminar uma delas. Por exemplo, R.

Ficamos com S e I.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

eliminar uma delas. Por exemplo, R. Ficamos com S e I.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Note no diagrama ao ladoque todas as trajetórias vãoà I = 0 quando t →∞.

Toda epidemia acaba!Que bom!.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Note no diagrama ao ladoque todas as trajetórias vãoà I = 0 quando t →∞.Toda epidemia acaba!

Que bom!.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Repare que S(t→∞) 6=0.

Nem todos pegam a in-fecção .

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Glória e Miséria do Modelo

Glórias

• O modelo é simples.• É adequado a alguns casos. Sobretudo

para doenças que podem passar depessoa-a-pessoa.

• Ao lado, uma comparação do modelo comos registros de uma epidemia de gripenum internato inglês.

• As curvas são obtidas por integraçãonumérica.

• Ademais, o modelo pode ser visto com ponto de partida para modelosmais complexos.

• Podemos incluir novos compartimentos, por exemplo.• Podemos incluir também incluir crescimento demográfico.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Glórias• O modelo é simples.

• É adequado a alguns casos. Sobretudopara doenças que podem passar depessoa-a-pessoa.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Glórias• O modelo é simples.• É adequado a alguns casos.

Sobretudopara doenças que podem passar depessoa-a-pessoa.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Glórias• O modelo é simples.• É adequado a alguns casos. Sobretudo

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• Podemos incluir novos compartimentos, por exemplo.

• Podemos incluir também incluir crescimento demográfico.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Glória e Miséra do Modelo

Misérias

Figure: Rev. Latino-Am.Enfermagem vol.14 no.6 RibeirãoPreto Nov./Dec. 2006

• O modelo pressupõe homogeneidadeespacial.

• Ao lado, a distribuição da incidência detuberculose em Ribeirão Preto em 2002.Nada homogênea.

• É pouco adequado para modelos detransmissão de moléstias por vetores.

• É totalmente macroscópico: não levamosem conta explicitamente probabilidadesde transmissão , etc..

• Tampouco é verdade que "toda epidemiapassa". Após a sua passagem, poderia segerar uma situação endêmica.Isso não estáno modelo.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Misérias

• Ao lado, a distribuição da incidência detuberculose em Ribeirão Preto em 2002.

Nada homogênea.• É pouco adequado para modelos de

transmissão de moléstias por vetores.• É totalmente macroscópico: não levamos

em conta explicitamente probabilidadesde transmissão , etc..

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Misérias

• É totalmente macroscópico:

não levamosem conta explicitamente probabilidadesde transmissão , etc..

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Misérias

• Tampouco é verdade que "toda epidemiapassa".

Após a sua passagem, poderia segerar uma situação endêmica.Isso não estáno modelo.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Misérias

• Tampouco é verdade que "toda epidemiapassa". Após a sua passagem, poderia segerar uma situação endêmica.

Isso não estáno modelo.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Vegetação em Regiões Semi-áridas

Eremologia: ciência das regiões áridas.

Figure: Regiões áridas e semi-áridas no mundo

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Eremologia: ciência das regiões áridas.

Figure: Regiões áridas e semi-áridas no mundo

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Figure: Sertão da Bahia

• Consideremos a cobertura vegetal deregiões em que a água é escassa.

• Neste caso, a água é um fator limitante.• Ao contrário de regiões tropicais, aonde

água e luz são abundantes, e os fatoreslimitantes vem do próprio terreno, ou dacompetição inter-específica.

• Desejamos escrever um modelomatemático (simples!!) para descrever ainter-relação entre a biomassa vegetal e aquantidade de água na terra numa regiãosemi-árida.

• MÃOS À OBRA!

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• MÃOS À OBRA!

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• Neste caso, a água é um fator limitante.

• Ao contrário de regiões tropicais, aondeágua e luz são abundantes, e os fatoreslimitantes vem do próprio terreno, ou dacompetição inter-específica.

• MÃOS À OBRA!

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• MÃOS À OBRA!

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• Desejamos escrever um modelomatemático

(simples!!) para descrever ainter-relação entre a biomassa vegetal e aquantidade de água na terra numa regiãosemi-árida.

• MÃOS À OBRA!

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• Desejamos escrever um modelomatemático (simples!!)

para descrever ainter-relação entre a biomassa vegetal e aquantidade de água na terra numa regiãosemi-árida.

• MÃOS À OBRA!

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• MÃOS À OBRA!

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• MÃOS À OBRA!

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Modelo de Klausmeier

Figure: Colorado, USA

Figure: Kalahari, Namíbia

• Água e vegetação , numa primeiraabordagem, têm uma relação quelembra a de predador-presa.

• A presença da água é favorável aocrescimento da vegetação .

• A vegetação consome água.• No entanto, um modelo

predador-presa convencional não éadequado.

• Consideremos duas variáveis:• w, a quantidade de água no

solo.• u, a biomassa vegetal ( aprox.

proporcional à área dacobertura vegetal).

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• A vegetação consome água.

• No entanto, um modelopredador-presa convencional não éadequado.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• Consideremos duas variáveis:

• w, a quantidade de água nosolo.

• u, a biomassa vegetal ( aprox.proporcional à área dacobertura vegetal).

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• u, a biomassa vegetal ( aprox.proporcional à área dacobertura vegetal).

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Equação para o volume d’água no solo

= a|{z}precipitação

− bw|{z}evaporação

− cu2w|{z}absorção pela vegetação

A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, evapora emuma taxa por volume constante (b), e é absorvida pela vegetação em uma taxapor volume que depende de u2 (c).

Equação para a biomassa

= −du|{z}morte natural da vegetação

+ eu2w|{z}absorção de água

A vegetação tem uma taxa de morte natural por volume constante (d) e absorve aágua com uma taxa por volume (e) proporcional a uw.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

a|{z}precipitação

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante,

evapora emuma taxa por volume constante (b), e é absorvida pela vegetação em uma taxapor volume que depende de u2 (c).

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, evapora emuma taxa por volume constante (b),

e é absorvida pela vegetação em uma taxapor volume que depende de u2 (c).

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

−du|{z}morte natural da vegetação

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

A vegetação tem uma taxa de morte natural por volume constante (d)

e absorve aágua com uma taxa por volume (e) proporcional a uw.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do modelo

dwdt = a− bw− cu2w du

dt = −du + eu2w

• Primeiramente vamos definir novas variáveis, re-escalonadas:

W = w[

e√b3c

U = u√

T = tb

• Esta variáveis são em dimensão .• Substituindo-as nas equações acima, teremos:

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do modelo

dt = −du + eu2w

W = w[

e√b3c

U = u√

T = tb

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do modelo

dt = −du + eu2w

W = w[

e√b3c

U = u√

T = tb

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do modelo

dt = −du + eu2w

W = w[

e√b3c

U = u√

T = tb

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do modelo

dt = −du + eu2w

W = w[

e√b3c

U = u√

T = tb

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do modelo

dt = −du + eu2w

W = w[

e√b3c

U = u√

T = tb

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do modelo

dt = −du + eu2w

W = w[

e√b3c

U = u√

T = tb

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do modelo

dt = −du + eu2w

W = w[

e√b3c

U = u√

T = tb

• Esta variáveis são em dimensão .

• Substituindo-as nas equações acima, teremos:

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do modelo

dt = −du + eu2w

W = w[

e√b3c

U = u√

T = tb

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do Modelo II

= A−W −WU2

= WU2 − BU

ondeA =

B = d/b

⇒ note que as equações dependem apenas de dois parâmetros, aoinvés dos cinco iniciais.

O QUE OS DIZEM ESTAS EQUAÇÕES ?

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

= A−W −WU2

= WU2 − BU

ondeA =

B = d/b

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

= A−W −WU2

= WU2 − BU

ondeA =

eB = d/b

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

= A−W −WU2

= WU2 − BU

ondeA =

B = d/b

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

= A−W −WU2

= WU2 − BU

ondeA =

B = d/b

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

= A−W −WU2

= WU2 − BU

ondeA =

B = d/b

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do Modelo IIIdWdT = A−W −WU2 dU

dT = WU2 − BU

• Para analisar o modelo procuramos os pontos fixos:

• Ou seja, os pontos U∗ e W∗ tais que•

•dU∗

• ou seja•

A−W∗ −W∗(U∗)2 = 0

•W∗(U∗)2 − BU∗ = 0

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dT = WU2 − BU

• Ou seja, os pontos U∗ e W∗ tais que

•dW∗

•dU∗

• ou seja•

A−W∗ −W∗(U∗)2 = 0

•W∗(U∗)2 − BU∗ = 0

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dT = WU2 − BU

•dU∗

• ou seja•

A−W∗ −W∗(U∗)2 = 0

•W∗(U∗)2 − BU∗ = 0

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dT = WU2 − BU

•dU∗

• ou seja

•A−W∗ −W∗(U∗)2 = 0

•W∗(U∗)2 − BU∗ = 0

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dT = WU2 − BU

•dU∗

• ou seja•

A−W∗ −W∗(U∗)2 = 0

•W∗(U∗)2 − BU∗ = 0

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dT = WU2 − BU

•dU∗

• ou seja•

A−W∗ −W∗(U∗)2 = 0

•W∗(U∗)2 − BU∗ = 0

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dT = WU2 − BU

•dU∗

• ou seja•

A−W∗ −W∗(U∗)2 = 0

•W∗(U∗)2 − BU∗ = 0

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dWdT = A−W −WU2 dU

dT = WU2 − BU

• O sistema algébrico anterior tem três soluções :

U∗ = 0

W∗ = A

Se A > 2B

U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2

W∗ =A−√

A2 − 4B2

Se A > 2B

U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2

W∗ =A +√

A2 − 4B2

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dT = WU2 − BU

U∗ = 0

W∗ = A

Se A > 2B

U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2

W∗ =A−√

A2 − 4B2

Se A > 2B

U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2

W∗ =A +√

A2 − 4B2

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dT = WU2 − BU

U∗ = 0

W∗ = A

Se A > 2B

U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2

W∗ =A−√

A2 − 4B2

Se A > 2B

U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2

W∗ =A +√

A2 − 4B2

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

dT = WU2 − BU

U∗ = 0

W∗ = A

Se A > 2B

U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2

W∗ =A−√

A2 − 4B2

Se A > 2B

U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2

W∗ =A +√

A2 − 4B2

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Interpretação

Nossa primeira conclusão :

• Se A < 2B a única solução é U∗ = 0 e W∗ = A.• Esta solução representa um terreno sem vegetação . Um Um

deserto.• A condição A > 2B⇒ a > 2d

e mostra a necessidade dehaver suficiente chuva (a) para sustentar a vegetação.

• Ademais, quanto maior e melhor para vegetação.Lembremos que e representa a taxa de absorção dágua pelavegetação . Quanto maior, melhor.

• Por outro lado, quanto maior a evaporação (b) e a taxa demorte da vegetação (d), pior.

• RAZOÁVEL!

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Interpretação

• RAZOÁVEL!

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Interpretação

• RAZOÁVEL!

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Interpretação

• Se A < 2B a única solução é U∗ = 0 e W∗ = A.

• Esta solução representa um terreno sem vegetação . Um Umdeserto.

• A condição A > 2B⇒ a > 2d√

bce mostra a necessidade de

haver suficiente chuva (a) para sustentar a vegetação.• Ademais, quanto maior e melhor para vegetação.

Lembremos que e representa a taxa de absorção dágua pelavegetação . Quanto maior, melhor.

• RAZOÁVEL!

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Interpretação

• Se A < 2B a única solução é U∗ = 0 e W∗ = A.• Esta solução representa um terreno sem vegetação .

Um Umdeserto.

• RAZOÁVEL!

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Interpretação

deserto.

• RAZOÁVEL!

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Interpretação

• RAZOÁVEL!

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Interpretação

• Ademais, quanto maior e melhor para vegetação.

• RAZOÁVEL!

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Interpretação

• Ademais, quanto maior e melhor para vegetação.Lembremos que e representa a taxa de absorção dágua pelavegetação .

Quanto maior, melhor.• Por outro lado, quanto maior a evaporação (b) e a taxa de

morte da vegetação (d), pior.• RAZOÁVEL!

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Interpretação

• RAZOÁVEL!

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Interpretação

• RAZOÁVEL!

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Interpretação

• RAZOÁVEL!

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Interpretação

• RAZOÁVEL!

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do Modelo VI

Seja então A > 2B

• Se A > 2B, podemos ter mais dois pontos fixos.• Precisamos saber da estabilidade deles.

• Se realizarmos a análise de estabilidade linear destes pontos fixos teremoso seguinte resultado:• O ponto fixo U∗ = 0 e W∗ = A é sempre estável.• O ponto fixo

U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2, W∗ =

A +√

A2 − 4B2

é sempre instável.• O ponto fixo

U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2, W∗ =

A−√

A2 − 4B2

é sempre estável.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Seja então A > 2B

U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2, W∗ =

A +√

A2 − 4B2

U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2, W∗ =

A−√

A2 − 4B2

é sempre estável.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Seja então A > 2B

• Se A > 2B,

podemos ter mais dois pontos fixos.• Precisamos saber da estabilidade deles.

U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2, W∗ =

A +√

A2 − 4B2

U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2, W∗ =

A−√

A2 − 4B2

é sempre estável.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Seja então A > 2B

• Se A > 2B, podemos ter mais dois pontos fixos.

• Precisamos saber da estabilidade deles.

U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2, W∗ =

A +√

A2 − 4B2

U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2, W∗ =

A−√

A2 − 4B2

é sempre estável.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Seja então A > 2B

U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2, W∗ =

A +√

A2 − 4B2

U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2, W∗ =

A−√

A2 − 4B2

é sempre estável.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Seja então A > 2B

• Se realizarmos a análise de estabilidade linear destes pontos fixos teremoso seguinte resultado:

• O ponto fixo U∗ = 0 e W∗ = A é sempre estável.• O ponto fixo

U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2, W∗ =

A +√

A2 − 4B2

U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2, W∗ =

A−√

A2 − 4B2

é sempre estável.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Seja então A > 2B

• Se realizarmos a análise de estabilidade linear destes pontos fixos teremoso seguinte resultado:• O ponto fixo U∗ = 0 e W∗ = A é sempre estável.

• O ponto fixo

U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2, W∗ =

A +√

A2 − 4B2

U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2, W∗ =

A−√

A2 − 4B2

é sempre estável.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Seja então A > 2B

U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2, W∗ =

A +√

A2 − 4B2

é sempre instável.

• O ponto fixo

U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2, W∗ =

A−√

A2 − 4B2

é sempre estável.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Seja então A > 2B

U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2, W∗ =

A +√

A2 − 4B2

U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2, W∗ =

A−√

A2 − 4B2

é sempre estável.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Seja então A > 2B

U∗ =2B

A +√

A2 − 4B2, W∗ =

A +√

A2 − 4B2

U∗ =2B

A−√

A2 − 4B2, W∗ =

A−√

A2 − 4B2

é sempre estável.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Análise do Modelo VII

• Assim, se A > 2B, e B > 2, temos dois pontos fixos estáveis, cada qualcom a sua bacia de atração .

• Podemos representar a situação no gráfico abaixo:

Figure: Mantivemos B fixo, e fizemos o gráfico de U∗ ( ou seja, abiomassa) em termos de A. Representamos a solução “desértica” (U∗ = 0)e a solução estável com cobertura vegetal.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese

• A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva àseguinte situação .

• Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente.• Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num

dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.• Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0.

DESERTIFICAÇÃO !!!.• Suponha agora que A comece a crescer. Como U∗ = 0 é estável, mesmo

com A > 2B continuaremos na região desértica.• EM SUMA: se começamos num certo valor de A, diminuirmos até

A < 2B e voltarmos ao valor inicial, saímos de um valor de U∗ 6= 0 masnão voltamos para este valor.

• A este fenômeno, chamamos de Histerese.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese

• Tomemos B fixo.

E consideremos que A pode variar lentamente.• Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese

• Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente.

• Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Numdado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.

• Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0.DESERTIFICAÇÃO !!!.

• Suponha agora que A comece a crescer. Como U∗ = 0 é estável, mesmocom A > 2B continuaremos na região desértica.

• EM SUMA: se começamos num certo valor de A, diminuirmos atéA < 2B e voltarmos ao valor inicial, saímos de um valor de U∗ 6= 0 masnão voltamos para este valor.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese

• Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente.• Comecemos na região de bi-estabilidade.

E deixemos A diminuir.Numdado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese

• Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente.• Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.

Numdado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese

dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese

dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B.• Neste momento teremos uma mudança brusca,

um salto, em que U∗ → 0.DESERTIFICAÇÃO !!!.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese

DESERTIFICAÇÃO !!!.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese

DESERTIFICAÇÃO !!!.• Suponha agora que A comece a crescer.

Como U∗ = 0 é estável, mesmocom A > 2B continuaremos na região desértica.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese

com A > 2B continuaremos na região desértica.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese

com A > 2B continuaremos na região desértica.• EM SUMA:

se começamos num certo valor de A, diminuirmos atéA < 2B e voltarmos ao valor inicial, saímos de um valor de U∗ 6= 0 masnão voltamos para este valor.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese

A < 2B e voltarmos ao valor inicial,

saímos de um valor de U∗ 6= 0 masnão voltamos para este valor.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese II

Figure: B está fixo. A sai de um valor A′

com U∗ = U′, diminui, passa por

A = 2B. Neste momento, U∗ → 0. Quando voltamos a aumentar A, mesmo comA > 2B, temos U∗ = 0.

Uma vez atingido o estado desértico, não basta reverter as condições externas (no nosso modelo, a quantidade de chuva) para que voltemos ao estadonão-desértico.TERRÍVEL

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese II

Uma vez atingido o estado desértico, não basta reverter as condições externas

(no nosso modelo, a quantidade de chuva) para que voltemos ao estadonão-desértico.TERRÍVEL

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese II

Uma vez atingido o estado desértico, não basta reverter as condições externas (no nosso modelo, a quantidade de chuva)

para que voltemos ao estadonão-desértico.TERRÍVEL

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese II

Uma vez atingido o estado desértico, não basta reverter as condições externas (no nosso modelo, a quantidade de chuva) para que voltemos ao estadonão-desértico.

TERRÍVEL

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Histerese II

Uma vez atingido o estado desértico, não basta reverter as condições externas (no nosso modelo, a quantidade de chuva) para que voltemos ao estadonão-desértico.TERRÍVEL

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Glórias e Misérias do Modelo

Glórias

Figure: Estimativa da cobertura da vegetal na região do atual deserto do Sahara.Observa-se uma mudança brusca ao redor de 5500 anos atrás, gerando umestado desértico estável.

• A existência de um transições bruscas e estados desérticosestáveis pode ser observada em séries temporais. O modelode Klausmeier é compatível com estes fatos.

• O modelo é SIMPLES.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Glórias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Glórias

• A existência de um transições bruscas e estados desérticosestáveis pode ser observada em séries temporais.

O modelode Klausmeier é compatível com estes fatos.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Glórias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Glórias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Glórias e Misérias do ModeloMisérias

Figure: Região em processo dedesertificação na China

Figure: Senegal, na região doSahel, fronteira do Sahara ( ao sul).

• O modelo é MUITO SIMPLES

• Em particular, prevê uma queda àzero (exatamente). Não é muitorealista em se tratando dedesertificação recente.Pode haveruma vegetação remanescente.

• O modelo prevê que– por maisque chova – não há recuperação .Se houver uma vegetaçãoremanescente, chuva continuadasdeveriam ser capazes aumentar avegetação .

• Podemos escrever modelos maiscompletos.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• Em particular, prevê uma queda àzero (exatamente).

Não é muitorealista em se tratando dedesertificação recente.Pode haveruma vegetação remanescente.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• Em particular, prevê uma queda àzero (exatamente). Não é muitorealista em se tratando dedesertificação recente.

Pode haveruma vegetação remanescente.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• O modelo prevê que– por maisque chova – não há recuperação .

Se houver uma vegetaçãoremanescente, chuva continuadasdeveriam ser capazes aumentar avegetação .

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Modelos mais realistas

• Modelos mais realistas nos dariam ainda um fenômeno dehisterese, ilustrado abaixo:

Na figura ao lado, temos a curvada biomassa em termos do forneci-mento de recursos ( água, por exem-plo). A curva apresenta duas regiõesde transição Mais à esquerda, umatransição vegetação → deserto. Àdireita, uma transição no sentido re-verso.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Na figura ao lado, temos a curvada biomassa em termos do forneci-mento de recursos ( água, por exem-plo).

A curva apresenta duas regiõesde transição Mais à esquerda, umatransição vegetação → deserto. Àdireita, uma transição no sentido re-verso.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Na figura ao lado, temos a curvada biomassa em termos do forneci-mento de recursos ( água, por exem-plo). A curva apresenta duas regiõesde transição

Mais à esquerda, umatransição vegetação → deserto. Àdireita, uma transição no sentido re-verso.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Na figura ao lado, temos a curvada biomassa em termos do forneci-mento de recursos ( água, por exem-plo). A curva apresenta duas regiõesde transição Mais à esquerda, umatransição vegetação → deserto.

Àdireita, uma transição no sentido re-verso.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

• Outra curva demonstrando histerese.

Na figura ao lado, temos a curva dabiomassa em termos do fornecimentode recursos ( água, por exemplo). Acurva é semelhante à anterior, masneste caso U∗ não vai a zero.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Na figura ao lado, temos a curva dabiomassa em termos do fornecimentode recursos ( água, por exemplo).

Acurva é semelhante à anterior, masneste caso U∗ não vai a zero.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Na figura ao lado, temos a curva dabiomassa em termos do fornecimentode recursos ( água, por exemplo). Acurva é semelhante à anterior,

masneste caso U∗ não vai a zero.

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

R.A. Kraenkel

Modelos

Modelo

Histerese

Glóris e Misérias

Referências

Epidemias• J.D. Murray: Mathematical Biology I (Springer, 2002)• F. Brauer e C. Castillo-Chavez: Mathematical Models in

Population Biology and Epidemiology (Springer, 2001).• N.F. Britton: Essential Mathematical Biology ( Springer,

2003).

Dinâmica de vegetações em regiões áridas• M. Scheffer e S.R. Carpenter, Trends in Ecology and

Evolution 18, 648 (2003).• M. Rietkerk et alli., Science 305, 1926 (2004)• C.A. Klausmaier, Science 284, 1826 (1999).

Métodos Matemáticos em Biologia de POpulações

Travel

Transcript of Métodos Matemáticos em Biologia de POpulações

1 MÉTODOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA CURSOS DE BIOFÍSICA E BIOMEDICINA 2007 Gilberto Weissmüller, Nice Americano da Costa e Paulo Mascarello Bisch UNIVERSIDADE.

Artigos Matemáticos

Retos matemáticos

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações I

MODELOS MATEMÁTICOS PARA DINÂMICA DE POPULAÇÕES ...

Biologia das populações volume 3 (amabis e martho)

Estrutura genética de ... - Instituto de Biologia · Estrutura genética de populações de plantas: o uso de ferramentas genéticas em estudos de ecologia de populações •Milene

JOGOS MATEMÁTICOS

Biologia das Populações

Métodos Matemáticos em Biologia de Populações III

Ecologia de Populações Curso Especialização em Gestão de Recursos Hídricos Pinto-Coelho, R.M. Departamento de Biologia Geral Instituto de Ciências Biológicas.

Exercícios - Instituto de Biologia | Instituto de Biologia · NT238: Ecologia de Populações de Plantas Flavio Antonio Maës dos Santos O primeiro ponto a ser considerado é o fato

Pedro Roberto R. Prado MODELOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA.

Universidade Federal de Uberlândia Instituto de Biologia · carnívoros brasileiros estão ameaçadas de extinção devido à destruição ambiental, inclusive, trabalhos sobre populações

Licenciatura em Biologia - Fundamentos da Genética Humana e das Populações

Problemas matemáticos

Biologia de Populações 1 - sisne.orgsisne.org/Disciplinas/Grad/BiofisicaBio/Biologia%20de%20Popula%e7... · crescimento da população humana. Dados valores numéricos para λ e

Filogenia, Evolução e o Estudo de Patógenos Virais · Integração entre biologia molecular, biologia evolutiva e genética de populações . Resumo Evolução Mecanismos Evolutivos

Modelos matemáticos

jogos matemáticos jogos matemáticos