MÉTRICA EM ESPAÇOS DE CURVATURA CONSTANTE

•métrica de uma projeção estereográfica sobre um plano

P1

R

P1

(projetado sobre o plano) P2

P2

(r’,)r’

transformação de coordenadas:

2

cot2, gRr

esféricas:ds2=R2d2+R2sin2d2

22,2,2

2

2,

2

41

1 drdr

Rr

ds

1. perímetro de um círculo geodésico

r’ é fixo dr’→0

2

2,

,

41

Rr

drds

2

2,

2

2,

4

,0

2 4

,

1

2

1Rr

Rr

rd

rdsC

2. área de um círculo geodésico

ddrggdArr

,,,

2

2,

,

2

2,

4

2,0

2 0

,

4

,

11Rr

r

Rr

rdr

rdA

Como para uma superfície esférica: 2

1

R

22,2,22,

2

41

1 drdrr

ds

métrica de um planoem coordenadaspolares

deformação que uma esfera deve sofrer paratranformar-se num plano ou vice-versa.

22,2,22,

2

41

1 drdrr

ds

reescrevendo

x1=r’cosx2=r’sin

][)](1[

1 22

2122

2214

2 dxdxxx

ds

Métrica válida para superfície de curvatura constante de qualquer sinal

Forma generalizada a um no de dimensões n

]...[)]...(1[

1 222

21222

2214

2n

n

dxdxdxxxx

ds

Métricas 3D para espaço de Ҝ constante

Em coordenadas esféricas :x1=r sin cosx2=r sin sinx3=r cos

]sin[]1[

1 2222222

4

22 drdrdr

Kds

r

Forma + comum da métrica na cosmologia :

r

x3

x1x2

)(sin1

22222

22 dda

Ka

dads

41

2rK

ra

Nota: a não é o raio próprio.

R

r

a

Ex. caso 2D Coordenadas (a,)

222

22

1da

a

dads

r = raio próprio medido sobre a superfície

Cálculo do raio próprio

Fixando os ângulos e :

voltando a superfície 3D...

21 Ka

dads

)(sin1

22222

22 dda

Ka

dads

,

021

a

Ka

dadsr

APLICAÇÃO : HIPER-ESFERA

Definição: espaços de curvatura positiva e constante

)(sin1

22222

22 dda

Ka

dads

com K > 0 e constante

)arcsin(1

102

aKa

dar

a

•raio próprio deuma esfera geodésica

• área (de uma esfera de raio a dentro deste espaço)

2 0

2

0

2

4

sin

a

ddadddagggdA aa

)sin(

1)( rra

A área de uma esfera de raio próprio r imersa em umespaço de Ҝ > 0 e constante:

)(sin4

)( 2 rrA

•r cresce: área máxima quando

1

2

r

4maxA

• quando

r 0min A

O volume de uma esfera de raio a dentro de um espaço Ҝ > 0 e constante

para uma métrica ortogonal :

321332211 dxdxdxgggdV

a

aaaa

daaddV

0

22/32

2

0

2

0

1)arcsin(4

1sin

Vmáx volume engloba todo o espaço de Ҝ > 0 e constante:

2/3

2

max

2

V

volume finito ! espaço de Ҝ > 0 e constante é finito

mas sem bordas...

Espaço de Ҝ 0 e constante são infinitos

Entretanto...

Ex.: uma esfera de volume V(a) dentro de um espaço decurvatura negativa

)1ln(12

1sin)(

222/3

02

2

0

2

0

aaaa

a

addaV

a

Quando a→∞ V(a) →∞ Espaços deste tipo sãoditos espaços infinitos

Se Ҝ=0 , o volume de uma esfera em um espaço euclidiano é:

V(a)=(4/3)a3 Tb quando a→∞ V(a) →∞

Espaços Riemannianos

Definição: sempre que ds2 for representado por uma formadiferencial qualdrática MÉTRICA RIEMANNIANA

Ex. para uma superfície

),(, 21

2221

21

2

1,

2

xxfCeBA

CdxdxBdxAdxdxdxgds

Característica importante: métrica riemanniana é localmenteeuclidiana !!

Demonstração: nas viz. De um ponto P0, A0, B0 e C0 são números:

22

0

00

2

2

0

010

220210

210

2

42dx

A

BCdx

A

BdxA

dxCdxdxBdxAds

Fazendo:

2

2/1

0

20

0,2

2

0

010

,1

2

2

xA

BCx

xA

BxAx

ds2=dx’1+dx’2Nas viz. De ponto sobre uma superfícieRiemanniana a métrica pode ser aproximadacomo uma métrica euclidiana

Através de medidas de ângulos,perímetros ou áreas sobre uma dadasuperfície podemos medir a Ҝ

Ir até as galáxias mais distantes efazer medidas por triangulação (!!!!??)

Número de galáxias num dado volume

Galáxias uniformemente distribuídas:aumentando o raio aumenta o no de galáxias

Se raio → 2raio:

K=0:N → 8N

k=+1:N < 8N

k=-1:N > 8N

Modelos cosmológicos R(t)

esférica hiperbólica