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CAPÍTULO 1

NOÇÕES MATEMÁTICAS PRELIMINARES

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1.1 INTRODUÇÃO

• serão vistos aqui noções de cálculo que serão amplamente utilizadas neste nos capítulos vindouros:

– gradiente, divergente, rotacional;

– circulação;– Teorema da divergência;

– Teorema de Stokes.

• conceitos tidos como conhecidos:

– derivação, integração, diferenciação;

– noções elementares de cálculo vetorial.

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1.2 CARÁTER VETORIAL **

Muitas grandezas físicas possuem um caráter vetorial, como por ex:

» velocidade;

» deslocamento;

» força;

» aceleração;

» campo elétrico, magnético;

» etc.

junto às quais estão associadas as noções de direção e sentido.

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já outras grandezas dissociadas destas noções são tidas como escalares:

• massa;

• distância;

• temperatura;

• entropia;

• potencial elétrico, etc.

Campo é uma função que especifica uma grandeza particular, escalar ou vetorial, em algum lugar do espaço.

Campo vetorial:

• velocidade de um gás

num tubo;

• força gravitacional de

um corpo no espaço;

• velocidade do pingos

da chuva;

• campos elétricos e

magnéticos em uma

dada região, etc.

Campo escalar:

• distribuição de

temperatura em uma

sala;

• intensidade de som em

um teatro;

• potencial elétrico em

uma região, etc.

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Exercício: desenhar os campos de vetores:

a) F = x ax + y a y

b) G = (-y ax + x a y) / (x2 + y2)1/2

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1.3 DERIVAÇÃO VETORIAL

1.3.1 Notações Básicas

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1.3.1 O operador nabla

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1.3.2 Gradiente, Divergente e Rotacional através de

Atividade: vamos calcular estas 3 expressões, que são as definições algébricas de divergente, rotacional e gradiente.

= Laplaciano do escalar U

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Ilustração de Divergente e Rotacional de um campo de vetores em um ponto P:

div > 0

P PP

P

div < 0

div = 0

rot = 0 rot = 0

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1.4 O Gradiente

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Pela noção de produto escalar, nota-se que os vetores gradU e dM são ortogonais, mas resta encontrar o sentido de gradU.

(1.5)

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Suponhamos que o deslocamento de M a M’ seja na direção dos U crescentes, conforme a Fig. 1.2, onde U2 > U1

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Resumindo o conceito de Gradiente:

o Gradiente de uma função escalar é um vetor com módulo, direção e sentido que representa a máxima taxa de crescimento desta função escalar. (ou seja aponta para o máximo crescimento da função e éperpendicular à superfície no ponto)

Exemplo prático: capacitor++++++++++++++++

---------------------------

E

V = 10

V = 0

grad V = - Eou

V = - E

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1.5 DivergenteO divergente de um vetor mede a variação do fluxo deste vetor.

E

E

E E o campo elétrico é divergente

H o campo magnético não é divergente

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1.5.1 Fluxo de um vetor qualquer A

é a quantidade do vetor A que passa por uma determinada superfície.

por ex. uma superfície dS:

dΦΦΦΦ = A. dS = A dS cosθ

dSA

A

dS

θθθθ

Convenciona-se dS sempre apontando para fora e perpendicular a uma superfície fechada.

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1.5.2 Teorema da Divergência

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1.5.3 Fluxo ConservativoSeja um tubo de fluxo tal que o campo de vetores A seja tangente às

paredes laterais do tubo:

portanto, o fluxo total será:

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Resumindo o conceito de Divergente:

O Divergente de um vetor, mede a variação do fluxo deste vetor.

divA > 0, existe uma fonte de A

divA < 0, existe um sorvedouro de A

divA = 0, fluxo entra = fluxo que sai (fluxo conservativo)

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1.5.4 Exemplos de divergente1-

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2-

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1.6 Rotacional1.6.1 Circulação de um vetor

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1.6.2 O Teorema de Stokes

malha

equivalente

A

dS

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1.6.3 Exemplo de rotacional

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1.7 Operadores de 2ª ordem

rot div A (1.21a)

Quais das combinações acima são iguais a zero e quais que não podem existir?

Vamos calcular:

div grad U = = ∆∆∆∆ U

que é o Laplaciano escalar de U.

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OBS -