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Mini-curso: Introdução à otimização sob incerteza
Aula 1 – Otimização Estocástica
Prof. Fabrício Oliveira fabricio.oliveira@puc-rio.br
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
UNESP, 9-‐13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira
1. Exemplo – o problema do fazendeiro 2. Modelos estocásticos de dois estágios com recurso
3. Indicadores “de qualidade” • EVPI
• VSS
4. Tipos de recurso 5. Modelos multi-‐estágio!
Conteúdo programado!
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
UNESP, 9-‐13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira
Introdução – o caso do fazendeiro
Vamos iniciar com um exemplo: § O fazendeiro John possui 500ha de terra
disponíveis. Ele é especialista em 3 cultivos: trigo, milho e cana-‐de-‐açucar. Durante o inverno, o mesmo precisa decidir quanto da terra dedicar a cada uma das 3 culturas;
§ Outra restrição importante é que John precisa produzir pelo menos 200ton. de milho e 240ton. de trigo para poder alimentar seu gado. Caso seja necessário, ele pode comprar estes produtos em um mercado local. Um eventual excesso também pode ser comercializado, porém a preços inferiores aos de compra.
§ A cana-‐de-‐açucar é cultivada exclusivamente para gerar lucro: toda produção é vendida para atacadistas à R$36,00/ton. No entanto, o governo impõe uma cota de produção de 6000ton., de forma que qualquer quantidade produzida acima deste valor deve ser vendida por apenas R$10,00/ton.
CANA-‐DE-‐ACUCAR TRIGO
MILHO
Trigo Milho Cana-‐de-‐açucar
Rendimento médio (ton./ha) 2.5 3.0 20
Custo de produção (R$/ha) 150 230 260
Preço de venda (R$/ton) 170 150 36 ou 10
Preço de compra(R$/ton) 238 210 -‐
Requerimento mínimo (ton) 200 240 -‐
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Introdução – o caso do fazendeiro
§ Sejam as seguintes variáveis de decisão: § x1 – acres dedicados ao trigo § x2 – acres dedicados ao milho § x3 – acres dedicados a cana-‐de-‐açúcar § w1 – toneladas de trigo vendidas § y1 – toneladas de trigo compradas § w2 – toneladas de milho vendidas § y2 – toneladas de milho compradas § w3 – toneladas de cana-‐de-‐açúcar vendidas ao preço mais favorável
§ w4 – toneladas de cana-‐de-‐açúcar vendidas ao preço menos favorável
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Introdução – o caso do fazendeiro
§ O problema que maximiza o lucro do fazendeiro é dado por:
min z =150x1 + 230x2 + 260x3 + 238y1 � 170w1+
210y2 � 150w2 � 36w3 � 10w4
s.a:
x1 + x2 + x3 500
2, 5x1 + y1 � w1 � 200
3x2 + y2 � w2 � 240
w3 + w4 20x3
w3 6000
x1, x2, x3, y1, y2, w1, w2, w3, w4 � 0
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Introdução – o caso do fazendeiro
§ O problema que maximiza o lucro do fazendeiro é dado por:
Custos de produção
Lucro com trigo
Lucro com milho
Receita com cana-‐de-‐açucar
Limite de terra
Req. de trigo e milho
Limites para cana-‐de-‐açucar
min z =150x1 + 230x2 + 260x3 + 238y1 � 170w1+
210y2 � 150w2 � 36w3 � 10w4
s.a:
x1 + x2 + x3 500
2, 5x1 + y1 � w1 � 200
3x2 + y2 � w2 � 240
w3 + w4 20x3
w3 6000
x1, x2, x3, y1, y2, w1, w2, w3, w4 � 0
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Introdução – o caso do fazendeiro
§ Solução ótima:
§ Essa solução não é tão didícil de entender: § Lucro da cana (favorável) por acre: 20 x 36 – 260 = R$460 § Lucro do trigo por acre: 2,5 x 170 – 150 = R$275 § Lucro do milho por acre: 3 x 150 – 230 = R$220 § Lucro da cana (desfavorável) por acre: 20 x 10 – 260 = -‐R$60
120
80 300
Distribuição da plantação (ha) Trigo Milho Cana-‐de-‐açucar
Total Produzido
Total Comprado
Total Vendido
Trigo 300 -‐ 100
Milho 240 -‐
Cana-‐de-‐açucar 6.000 -‐ 6.000
Lucro total R$118.600
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Introdução – o caso do fazendeiro
§ Solução ótima:
§ Estratégia ótima: § 1) Maximizar produção de cana na faixa favorável; § 2) Atende requisitos mínimos de milho e trigo; § 3) Planta-‐se trigo com o que sobrar de terra.
120
80 300
Distribuição da plantação (ha) Trigo Milho Cana-‐de-‐açucar
Total Produzido
Total Comprado
Total Vendido
Trigo 300 -‐ 100
Milho 240 -‐
Cana-‐de-‐açucar 6.000 -‐ 6.000
Lucro total R$118.600
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Introdução – o caso do fazendeiro
§ Solução ótima:
§ Agora, o que aconteceria se, por contas de condições climáticas, os rendimentos por hectare não forem exatamente os valores históricos médios?
120
80 300
Distribuição da plantação (ha) Trigo Milho Cana-‐de-‐açucar
Total Produzido
Total Comprado
Total Vendido
Trigo 300 -‐ 100
Milho 240 -‐
Cana-‐de-‐açucar 6.000 -‐ 6.000
Lucro total R$118.600
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Introdução – o caso do fazendeiro
Vamos considerar dois cenários distintos: § Cenário 1: condições climáticas favoráveis fazem os rendimentos serem
20% melhores.
§ Note que, neste caso, a estratégia é a mesma, mas a alocação de terra é completamente diferente, sendo necessárias áreas menores.
183.33
66.67
250
Distribuição da plantação (ha) Trigo Milho Cana-‐de-‐açucar
Total Produzido
Total Comprado
Total Vendido
Trigo 550 -‐ 350
Milho 240 -‐ -‐
Cana-‐de-‐açucar 6000 -‐ 6000
Lucro total R$167.700
Lucro 41% maior
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Introdução – o caso do fazendeiro
Vamos considerar dois cenários distintos: § Cenário 2: condições climáticas desfavoráveis fazem os rendimentos
serem 20% piores.
§ Neste caso, a estratégia ainda é a mesma, sendo necessárias áreas maiores. § Aqui a estratégia é abortada no “passo 2” e o milho é complementado com o mercado
Total Produzido
Total Comprado
Total Vendido
Trigo 200 -‐ -‐
Milho 60 180 -‐
Cana-‐de-‐açucar 6000 -‐ 6000
Lucro total R$59.500
Lucro 50% menor
100 25
375
Distribuição da plantação (ha) Trigo Milho Cana-‐de-‐açucar
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Introdução – o caso do fazendeiro
§ Claramente, o fazendeiro se vê nas mãos dos meteorologistas, o que não é exatamente vantajoso para o fazendeiro! § O Fazendeiro precisa de precisão na previsão para antever a produtividade da terra è variável aleatória
§ Dependendo das condições climáticas, o lucro do fazendeiro pode variar de R$59.950 a R$167.667, assumindo que ele saberá qual vai ser a produtividade exata da terra;
§ O dilema do fazendeiro: quanto plantar de cana-‐de-‐açúcar ? -‐ Se plantar muito, pode acontecer de haver uma superprodução que será
prejudicada pelo preço pouco favorável (prejuízo), além da necessidade eventual de comprar trigo e milho;
-‐ Se plantar pouco, pode deixar de ganhar com o lucro da cana e ter que se contentar com o lucro baixo de um eventual excedente de trigo e/ou milho;
§ Obviamente, não existe uma solução que seja perfeita em todos os casos. Mas será que poderíamos fazer algo que, em geral, seja satisfatório?
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Introdução – o caso do fazendeiro
§ Fica clara a necessidade de obtermos uma solução que leve em conta todos os cenários possíveis simultaneamente § conceito de otimização estocástica.
§ Dessa forma, buscaremos por soluções que, em média, apresentem melhor desempenho § Para medir a qualidade da solução face aos possíveis cenários, usa-‐se o valor esperado;
§ Dado que o fazendeiro pensa no longo-‐prazo, essa é uma premissa razoável;
§ Note que existe uma relação temporal entre a tomada das decisões e a realização da incerteza § A terra precisa ser distribuída antes de se saber a produtividade § Compra e venda só será realizada após colheita (quando será conhecida a produtividade)
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Introdução – o caso do fazendeiro
§ Dessa forma, seja s = {1, 2, 3} o conjunto de cenários. § Cenário è possível realização do fenômeno incerto;
§ Rededinindo as variáveis do problema tal que: § yjs – quantidade de j comprada, caso ocorra cenário s
§ wis – quantidade de i vendida, caso ocorra cenário s
§ Note que, neste caso a variável x não precisa ser rededinida § A quantidade plantada não pode ser dependente dos cenários de produtividade, pois não há como esperar a ocorrência da incerteza para se tomar tal decisão;
Decide plantação
Decide compra e venda
Decide compra e venda
Decide compra e venda
s = 2
Estágio 1
Estágio 2
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Introdução – o caso do fazendeiro
§ Esta divisão entre momentos de tomada de decisão é o que se caracteriza por um estágio § No exemplo, temos um problema de 2 estágios;
§ No caso de haver vários momentos onde há tomada de decisão, teremos um problema do tipo multi-‐estágio;
§ O ganho em se considerar o problema desta forma advém justamente da ]lexibilidade de se postergar parte das decisões do problema, segundo a realização da incerteza.
Decide plantação
Decide compra e venda
Decide compra e venda
Decide compra e venda
s = 2
Estágio 1
Estágio 2
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Introdução – o caso do fazendeiro § Desta forma, a formulação do problema do fazendeiro como um
problema estocástico de 2 estágios é dado por: Custo 1o estágio
Custo cenário 1
Custo cenário 2
Custo cenário 3
Restrições cenário 1
Restrições cenário 2
Restrições cenário 3
min z =150x1 + 230x2 + 260x3
� 1
3(170w11 � 238y11 + 150w21 � 210y21 + 36w31 + 10w41)
� 1
3(170w12 � 238y12 + 150w22 � 210y22 + 36w32 + 10w42)
� 1
3(170w13 � 238y13 + 150w23 � 210y23 + 36w33 + 10w43)
s.a: x1 + x2 + x3 500
3x1 + y11 � w11 � 200, 3, 6x2 + y21 � w21 � 240
w31 + w41 20x3, w31 6000
2, 5x1 + y12 � w12 � 200, 3x22 + y22 � w22 � 240
w32 + w42 20x3, w32 6000
2x1 + y13 � w13 � 200, 2, 4x23 + y23 � w23 � 240
w33 + w43 20x33, w33 6000
x1, x2, x3 � 0
y11, y21, y12, y22, y13, y23 � 0
w11, w21, w31, w41, w12, w22, w32, w42, w13, w23, w33, w43 � 0
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170
80
250
Distribuição da plantação (ha) Trigo Milho Cana-‐de-‐açucar
Introdução – o caso do fazendeiro
§ A solução para o problema estocástico é dada por: Total
Produzido Total
Comprado Total
Vendido
s=1 Trigo 510 -‐ 310 Milho 288 -‐ 48
Cana-‐de-‐açucar 6000 -‐ 6000 Lucro no cenário: R$167000 (-‐0.42%)
s=2 Trigo 425 -‐ 225 Milho 240 -‐ -‐
Cana-‐de-‐açucar 5000 -‐ 5000 Lucro no cenário: R$109350 (-‐7.80%)
s=3 Trigo 340 -‐ 140 Milho 192 48 -‐
Cana-‐de-‐açucar 4000 -‐ 4000 Lucro no cenário: R$48820 (-‐18.57%) Lucro total (esperado) R$108390
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Otimização estocástica
§ Algumas observações: 1. Para consideração da distribuição de probabilidade da
incerteza, usamos uma aproximação discreta § Pode-‐se usar a distribuição real de probabilidade, mas o cálculo do valor esperado rapidamente torna-‐se impossível (mais sobre isso em alguns slides)
2. As decisões corretivas, tomadas após a realização da incerteza são conhecidas como decisões de recurso § Do inglês recourse.
3. A formulação apresentada é conhecida como equivalente determinístico (ED) ou forma estendida § Alguns autores separam e/ou confundem essas noções. Aqui usaremos para a formulação com a incerteza representada por cenários previamente dedinidos.
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Otimização estocástica
§ Modelo estocástico 2 estágios: § Consiste da versão mais “bem comportada” de modelos estocásticos;
§ Se adequa a uma vasta gama de problemas; § Amplamente estudado e possuidor de diversas propriedades desejáveis.
§ Sejam: § x – decisões de primeiro estágio è decisões tomadas antes da realização da incerteza, de caráter de]initivo
§ y – decisões de segundo estágio è decisões tomadas após realização da incerteza, de caráter corretivo
§ ξ – vetor aleatório è representa os valores incertos
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Otimização estocástica
§ Assim, a formulação geral de problemas estocásticos de 2 estágios com recurso é dada por:
§ Onde:
§ Neste caso, ξ é o vetor cujo componentes são q, h e T e que representa os valores que os parâmetros incertos podem assumir.
min c
Tx+ E⇠ [Q(x, ⇠)]
s.a Ax = b
x � 0
Q(x, ⇠) = min�q(⇠)T y(⇠) | W (⇠)y(⇠) = h(⇠)� T (⇠)x, y � 0
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Otimização estocástica
§ No caso do fazendeiro, temos que:
§ Aqui, ξ = {t1(s), t2(s), t3(s)} , sendo q, W, e h dixos § Exercício: identidicar quem são essas matrizes no problema do fazendeiro!
Q(x, s) = min 238y1(s)� 170w1(s) + 210y2(s)� 150w2(s)� 36w3(s)� 10w4(s)
s.a: t1(s)x1 + y1(s)� w1(s) � 200
t2(s)x2 + y2(s)� w2(s) � 240
w3(s) + w4(s) t3(s)x3
w3(s) 6000
y1(s), w1(s), y2(s), w2(s), w3(s), w4(s) � 0
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Otimização estocástica
§ Vamos precisar de um pouco mais de notação: § Vamos considerar que ω representa um possível acontecimento, ou seja, uma realização possível da incerteza;
§ E vamos considerar ξ como sendo o valor (ou vetor de valores) que nosso parâmentro incerto asume, por conta do acontecimento de ω
§ Assim sendo, temos que, em problema de dois estágios, a seguinte sequência de acontecimentos norteia a formulação:
§ Por se tratar de uma variável aleatória, devemos assumir que conhecemos algumas informações a respeito do comportamento de ξ:
§ Função de distribuição de probabilidade (pdf) e/ou
§ Função de probabilidade acumulada (cdf)
x ! ⇠(!) ! y(!, x)
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§ E aí, voltando ao nosso problema original, podemos reescrever a formulação deixando tudo mais “claro”:
§ Porque eu gosto mais dessa formulação: § Deixa claro quem é decido antes (independente de ω) e quem é decido depois (dependente de ω);
§ Evidencia que quanto mais acontecimentos possíveis, maior o problema (mais sobre isso adiante)
§ Possui um nome: Equivalente Determinístico
min c
Tx+ E⇠
⇥q(!)T y(!)
⇤
s.a Ax = b
T (!)x+W (!)y(!) = h(!), 8! 2 ⌦
x, y(!) � 0
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Otimização estocástica
§ Uma consideração sobre o valor esperado da função de recurso:
§ Note que:
§ Só é possível calcular caso haja “fórmulas fechadas” e para distribuições bem-‐comportadas; § Vide B&L, exemplo do Fazendeiro e Jornaleiro no Capítulo 1
§ Pode ser não linear e sofrer de problemas de convexidade.
E⇠
⇥q(!)T y(!)
⇤=
Z 1
�1q(⇠)T y(⇠)f⇠(⇠)d⇠
min c
Tx+ E⇠
⇥q(!)T y(!)
⇤
s.a Ax = b
T (!)x+W (!)y(!) = h(!), 8! 2 ⌦
x, y(!) � 0
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Otimização estocástica
§ Assim, consideraremos aproximações discretas
§ Onde:
§ Soma dinita, linear e convexa; § Representa uma aproximação do fenômeno real, tão redinada quanto se queira, desde que esteja disposto a “pagar” por isso;
§ Cada elemento da representação recebe o nome de cenário
E⇠
⇥q(!)T y(!)
⇤=
SX
s=1
P (⇠s)q(⇠s)T y(⇠s)
min c
Tx+ E⇠
⇥q(!)T y(!)
⇤
s.a Ax = b
T (!)x+W (!)y(!) = h(!), 8! 2 ⌦
x, y(!) � 0
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Otimização estocástica
§ Nossa formulação dinal para o ED de um problema de dois estágios é dada por :
min c
Tx+
SX
s=1
P (⇠s)q(⇠s)T y(⇠s)
s.a Ax = b
T (⇠s)x+W (⇠s)y(⇠s) = h(⇠s), 8s = 1, . . . , S
x, y(⇠s) � 0
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min c
Tx+
SX
s=1
P (⇠s)q(⇠s)T y(⇠s)
s.a Ax = b
T (⇠s)x+W (⇠s)y(⇠s) = h(⇠s), 8s = 1, . . . , S
x, y(⇠s) � 0
Otimização estocástica
§ Nossa formulação dinal para o ED de um problema de dois estágios é dada por :
Primeiro estágio
Segundo estágio
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Exemplo: conceito de estágio
§ Problema de localização: § clientes i = 1, …, m § locais potenciais para receber facilidade j = 1, …, n § receita de atendimento = qij = (ri – vj – tij )di
§ (receita – custo prod. – frete)demanda
i1 i2
i3 i4
j1
j2
j5
j4 j3
i1 i2
i3 i4
j1
j2
j5
j4 j3
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Exemplo: conceito de estágio
§ Problema de localização: § clientes i = 1, …, m § locais potenciais para receber facilidade j = 1, …, n § receita de atendimento = qij = (ri – vj – tij )di
i1 i2
i3 i4
j1
j2
j5
j4 j3
i1 i2
i3 i4
j1
j2
j5
j4 j3
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Exemplo: conceito de estágio
§ Problema de localização: § clientes i = 1, …, m § locais potenciais para receber facilidade j = 1, …, n § receita de atendimento = qij = (ri – vj – tij )di
i1 i2
i3 i4
j1
j2
j5
j4 j3
max
x,y
z(x, y) = �nX
j=1
c
j
x
j
+
mX
i=1
nX
j=1
q
ij
y
ij
s.a
nX
j=1
y
ij
1, i = 1, . . . ,m
0 y
ij
x
j
, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n
x
j
2 {0, 1}, j = 1, . . . , n
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max
x,y
z(x, y) = �nX
j=1
c
j
x
j
+
mX
i=1
nX
j=1
q
ij
y
ij
s.a
nX
j=1
y
ij
1, i = 1, . . . ,m
0 y
ij
x
j
, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n
x
j
2 {0, 1}, j = 1, . . . , n
Exemplo: conceito de estágio
§ Problema de localização: § clientes i = 1, …, m § locais potenciais para receber facilidade j = 1, …, n § receita de atendimento = qij = (ri – vj – tij )di
i1 i2
i3 i4
j1
j2
j5
j4 j3
Lucro líquido Custo instalação
Fração atendida Decisão instalação
Limite demanda
Limite oferta
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Exemplo: conceito de estágio
Caso 1: custos e receita incertos (ri , vj e tij estocásticos) § Neste caso temos:
§ Primeiro estágio: instalação e alocação
§ Segundo estágio: -‐ (?!) § Por formalidade, vamos
dedinir wij(ω) = yij para todo ω como sendo nossa variável de segundo estágio. E⇠
2
4mX
i=1
nX
j=1
qij(!)wij(!)
3
5 =mX
i=1
nX
j=1
E⇠ [qij(!)wij(!)] =
mX
i=1
nX
j=1
E⇠ [qij(!)] yij
Onde:
max
x,y
z(x, y) = �nX
j=1
c
j
x
j
+ E⇠
2
4mX
i=1
nX
j=1
q
ij
(!)w
ij
(!)
3
5
s.a
nX
j=1
y
ij
1, i = 1, . . . ,m
0 y
ij
x
j
, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n
x
j
2 {0, 1}, j = 1, . . . , n
w
ij
(!) = y
ij
, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n, 8!
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Exemplo: conceito de estágio
Caso 1: custos e receita incertos (ri , vj e tij estocásticos) § Neste caso temos:
§ Primeiro estágio: instalação e alocação
§ Segundo estágio: -‐ (?!) § Por formalidade, vamos
dedinir wij(ω) = yij para todo ω como sendo nossa variável de segundo estágio. E⇠
2
4mX
i=1
nX
j=1
qij(!)wij(!)
3
5 =mX
i=1
nX
j=1
E⇠ [qij(!)wij(!)] =
mX
i=1
nX
j=1
E⇠ [qij(!)] yij
Onde:
Ou seja, sem poder para atuar no segundo estágio, dá no mesmo que otimizar considerando a
média
max
x,y
z(x, y) = �nX
j=1
c
j
x
j
+ E⇠
2
4mX
i=1
nX
j=1
q
ij
(!)w
ij
(!)
3
5
s.a
nX
j=1
y
ij
1, i = 1, . . . ,m
0 y
ij
x
j
, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n
x
j
2 {0, 1}, j = 1, . . . , n
w
ij
(!) = y
ij
, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n, 8!
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
UNESP, 9-‐13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira
Exemplo: conceito de estágio
Caso 2: demanda incerta (di estocásticos) § Neste caso temos:
§ Primeiro estágio: instalação e alocação
§ Segundo estágio: -‐ excesso e falta
§ Nesse caso, vamos dedinir: § wij
+(ω) = total em falta; § wij
-‐(ω) = total em excesso;
max
x,y
z(x, y) = �nX
j=1
c
j
x
j
�mX
i=1
nX
j=1
(v
j
+ t
ij
)y
ij
+
E⇠
"�
mX
i=1
q
+i
w
+i
(!)�mX
i=1
q
�i
w
�i
(!) +
mX
i=1
r
i
d
i
(!)
#
s.a
mX
i=1
y
ij
Mx
j
, j = 1, . . . , n
w
+i
(!)� w
�i
(!) = d
i
(!)�nX
j=1
y
ij
, i = 1, . . . ,m
x
j
2 {0, 1}, j = 1, . . . , n
y
ij
� 0, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n
w
+i
(!), w
�i
(!) � 0, i = 1, . . . ,m
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
UNESP, 9-‐13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira
Exemplo: conceito de estágio
Caso 2: demanda incerta (di estocásticos) § Neste caso temos:
§ Primeiro estágio: instalação e alocação
§ Segundo estágio: -‐ excesso e falta
§ Nesse caso, vamos dedinir: § wij
+(ω) = total em falta; § wij
-‐(ω) = total em excesso;
max
x,y
z(x, y) = �nX
j=1
c
j
x
j
�mX
i=1
nX
j=1
(v
j
+ t
ij
)y
ij
+
E⇠
"�
mX
i=1
q
+i
w
+i
(!)�mX
i=1
q
�i
w
�i
(!) +
mX
i=1
r
i
d
i
(!)
#
s.a
mX
i=1
y
ij
Mx
j
, j = 1, . . . , n
w
+i
(!)� w
�i
(!) = d
i
(!)�nX
j=1
y
ij
, i = 1, . . . ,m
x
j
2 {0, 1}, j = 1, . . . , n
y
ij
� 0, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n
w
+i
(!), w
�i
(!) � 0, i = 1, . . . ,m
Neste caso não há poder de “atuação” propriamente, mas há variáveis que aplicam ações de recurso
(dependem de ω).
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Exemplo: conceito de estágio
Caso 3: demanda incerta (di estocásticos) § Neste caso temos:
§ Primeiro estágio: instalação e capacidade alocada
§ Segundo estágio: -‐ alocação
§ Nesse caso, vamos dedinir: § yij (ω) = distribuição; § gj = custo de
investimento por unidade
max
x,y
z(x, y) = �nX
j=1
c
j
x
j
�nX
j=1
(g
j
w
j
+ E⇠
2
4mX
i=1
nX
j=1
q
ij
(!)y
ij
(!)
3
5
s.a
nX
j=1
y
ij
(!) 1, i = 1, . . . ,m
d
i
(!)y
ij
(!) w
j
, j = 1, . . . , n
0 y
ij
(!) x
j
, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n
x
j
2 {0, 1}, wj
� 0, j = 1, . . . , n
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
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Exemplo: conceito de estágio
Caso 3: demanda incerta (di estocásticos) § Neste caso temos:
§ Primeiro estágio: instalação e capacidade alocada
§ Segundo estágio: -‐ alocação
§ Nesse caso, vamos dedinir: § yij (ω) = distribuição; § gj = custo de
investimento por unidade
Fica claro quem é quem?
max
x,y
z(x, y) = �nX
j=1
c
j
x
j
�nX
j=1
(g
j
w
j
+ E⇠
2
4mX
i=1
nX
j=1
q
ij
(!)y
ij
(!)
3
5
s.a
nX
j=1
y
ij
(!) 1, i = 1, . . . ,m
d
i
(!)y
ij
(!) w
j
, j = 1, . . . , n
0 y
ij
(!) x
j
, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n
x
j
2 {0, 1}, wj
� 0, j = 1, . . . , n
min c
Tx+
SX
s=1
P (⇠s)q(⇠s)T y(⇠s)
s.a Ax = b
T (⇠s)x+W (⇠s)y(⇠s) = h(⇠s), 8s = 1, . . . , S
x, y(⇠s) � 0
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Indicadores de qualidade
§ Tradicionalmente, modelos estocásticos possuem a reputação de serem muito complicados de resolver computacionalmente
§ Alternativas naturais: § Resolver problemas determinísticos considerando a média dos parâmetros incertos;
§ Resolver problemas determinísticos para cada cenário e depois combinar as soluções heuristicamente.
§ Felizmente, é possível (na maioria dos casos) medir de forma precisa o quanto de otimalidade está sendo perdida ao se desprezar a incerteza (VSS) e o quão longe estamos do perfeito (EVPI)
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Indicadores de qualidade
§ Expected Value of Perfect Information (EVPI) § Mede o valor máximo que o tomador de decisões estaria disposto a pagar pela informação completa (e precisa) sobre o que acontecerá no futuro.
§ Algumas dedinições que precisaremos: § ξ representando os cenários possíveis para o parâmetro incerto; § Para toda realização da incerteza, conseguimos uma solução x viável e portanto possível de ser avaliada
§ Sejam então: § Solução espere-‐e-‐veja (wait-‐and-‐see): imagine que você pudesse esperar pela realização da incerteza antes de tomar uma decisão ótima x e obter o respectivo valor z. Assim, dedinimos WS como sendo:
WS = E⇠
hminx
z(x, ⇠)i= E
⇠
[z(x(⇠), ⇠)]
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Indicadores de qualidade
§ Expected Value of Perfect Information (EVPI) § Mede o valor máximo que o tomador de decisões estaria disposto a pagar pela informação completa (e precisa) sobre o que acontecerá no futuro.
§ Algumas dedinições que precisaremos: § ξ representando os cenários possíveis para o parâmetro incerto; § Para toda realização da incerteza, conseguimos uma solução x viável e portanto possível de ser avaliada
§ Sejam então: § Solução aqui-‐e-‐agora (here-‐and-‐now): consiste da solução do modelo estocástico, considerando todos os cenários simultaneamente. Chamando de RP tal valor, temos:
RP = minx
E⇠
[z(x, ⇠)]
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Indicadores de qualidade
§ Expected Value of Perfect Information (EVPI) § Finalmente, temos que:
§ Ex.: problema do fazendeiro:
EV PI = |RP �WS|
Quanto o fazendeiro está disposto a pagar pela previsão do tempo perfeita.
RP = �$108.390
WS = �$167.700 + $118.600 + $59.900
3= �$115.406
EV PI = $7.016
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Indicadores de qualidade
§ Value of Stochastic Solution (VSS) § Mede o benedício obtido em se considerar a incerteza para obtenção da solução, quando comparada ao que você teria feito sem levar em conta a incerteza;
§ Compara o desempenho da decisão tomada considerando valores médios e aquela tomada levando em conta a incerteza;
§ Seja então: § Valor esperado da solução obtida usando o valor esperado (EEV): para obter este valor, primeiro resolvemos o problema considerando o valor médio de ξ.
onde: EV = min
x
z(x, ⇠)⇠ = E⇠ [⇠]
x(⇠) -‐ solução ótima de EV
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Indicadores de qualidade
§ Value of Stochastic Solution (VSS) § Mede o benedício obtido em se considerar a incerteza para obtenção da solução, quando comparada ao que você teria feito sem levar em conta a incerteza;
§ Compara o desempenho da decisão tomada considerando valores médios e aquela tomada levando em conta a incerteza;
§ Seja então: § Valor esperado da solução obtida usando o valor esperado (EEV): e dinalmente, dixamos essa solução para ser avaliada considerando a incerteza.
EEV = E⇠
⇥z(x(⇠), ⇠)
⇤
Pense no EEV como uma medida de como se sai ao permitirmos que as decisões de segundo estágio sejam tomadas como função de e ξ
x(⇠)
x(⇠)
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Indicadores de qualidade
§ Value of Stochastic Solution (VSS) § Finalmente, temos que:
§ Ex.: problema do fazendeiro:
Quanto o fazendeiro ganha por consultar você antes de realizar a plantação
V SS = |EEV �RP |
RP = �$108.390
EEV = �$107.240
V SS = $1.150
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Indicadores de qualidade
§ Observações: § Alguns limites importantes:
§ EVPI ≥ 0; § VSS ≥ 0; § WS ≤ RP ≤ EEV (minimização!)
§ Existem diversos estudos que tentam obter indícios que permitam concluir quando teremos altos ou baixos EVPI e VSS. A triste notícia é que até atualmente, nenhuma evidência generalizada está disponível. § Pode ter relação com a proporção da incerteza; § São conhecidos outros bounds (vide B&L cap. 4).
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Tipos de recurso
§ Modelos de 2 estágios podem ser clasidicados segundo o “tipo de recurso” que o mesmo apresenta.
§ Relembrando a notação, podemos escrever nosso problema de 2 estágios como sendo:
min c
Tx+ E⇠
⇥q
T⇠ y⇠
⇤
s.a Ax = b
T⇠x+W⇠y⇠ = h⇠, 8⇠ 2 ⌅
x � 0, y⇠ � 0, 8⇠ 2 ⌅
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min c
Tx+ E⇠
⇥q
T⇠ y⇠
⇤
s.a Ax = b
T⇠x+W⇠y⇠ = h⇠, 8⇠ 2 ⌅
x � 0, y⇠ � 0, 8⇠ 2 ⌅
Tipos de recurso
§ Modelos de 2 estágios podem ser clasidicados segundo o “tipo de recurso” que o mesmo apresenta.
§ Relembrando a notação, podemos escrever nosso problema de 2 estágios como sendo:
Primeiro estágio Segundo estágio
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Tipos de recurso
§ A questão por trás de classidicar o recurso é basicamente referente a viabilidade do problema de segundo estágio.
§ Vamos considerar nosso problema subdividido em duas parte:
onde:
min c
Tx+ E⇠ [Q(x, ⇠)]
s.a Ax = b
x � 0
Q(x, ⇠) = min�q
T⇠ y⇠ | W⇠y⇠ = h⇠ � T⇠x, x � 0, y⇠ � 0. 8⇠ 2 ⌅
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Tipos de recurso
§ Recurso Simples: § Dizemos que o problema possui recurso simples quando temos a matriz W como sendo uma matriz identidade.
§ O que signidica isso? Que podemos reescrever o problema de segundo estágio como sendo:
Q(x, ⇠) =min q
+T⇠ y
+⇠ + q
�T⇠ y
�⇠
s.a: Iy+⇠ � Iy
�⇠ = h⇠ � T⇠x, 8⇠ 2 ⌅
x � 0
y
+⇠ , y
�⇠ � 0, 8⇠ 2 ⌅
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Tipos de recurso
§ Recurso Simples: § Neste caso, para qualquer vetor hξ – Tξx (i.e., para qualquer solução x), uma solução viável está prontamente disponível e vale: § hξ – Tξx , se hξ > Tξx § Tξx – hξ , se hξ < Tξx
§ Note que as variáveis y representam uma formalidade somente (forma canônica)
Q(x, ⇠) =min q
+T⇠ y
+⇠ + q
�T⇠ y
�⇠
s.a: Iy+⇠ � Iy
�⇠ = h⇠ � T⇠x, 8⇠ 2 ⌅
x � 0
y
+⇠ , y
�⇠ � 0, 8⇠ 2 ⌅
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Tipos de recurso
§ Recurso Simples: § Exemplo clássico: problema do jornaleiro (vide B&L, cap 1 -‐ ”News vendor problem”) § Todos os dias o jornaleiro compra x ≤ u jornais por c
§ Vende durante o dia ξ (demanda, que é estocástica) a q > c § Revende, ao dim do dia, os “encalhados” por r < c
min c
Tx+ E⇠ [Q(x, ⇠)]
s.a 0 x u
Q(x, ⇠) = min � qy⇠ � rw⇠
s.a: y⇠ ⇠
y⇠ + w⇠ x
y⇠, w⇠ � 0
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Tipos de recurso
§ Recurso Simples: § Exemplo clássico: problema do jornaleiro (vide B&L, cap 1 -‐ ”News vendor problem”) § Todos os dias o jornaleiro compra x ≤ u jornais por c
§ Vende durante o dia ξ (demanda, que é estocástica) a q > c § Revende, ao dim do dia, os “encalhados” por r < c
min c
Tx+ E⇠ [Q(x, ⇠)]
s.a 0 x u
Q(x, ⇠) = min � qy⇠ � rw⇠
s.a: y⇠ ⇠
y⇠ + w⇠ x
y⇠, w⇠ � 0
y
⇤⇠ = min{⇠, x}w
⇤⇠ = max{x� ⇠, 0}
Esse tipo de recurso permite que soluções triviais sejam obtidas no que se refere ao problema de recurso!
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Tipos de recurso
§ Recurso Fixo § Basicamente signidica que a matriz de recurso (nome popular de W) não é afetada pela incerteza.
§ Neste caso, temos que:
§ Possuir recurso dixo garante algumas propriedades úteis, principalmente em termos numérico. § A principal: Q(x, ξ) convexo e linear por partes quando Ξ é dinito
Q(x, ⇠) =min qT⇠ y⇠
s.a: Wy⇠ = h⇠ � T⇠x, 8⇠ 2 ⌅
x � 0, y⇠ � 0, 8⇠ 2 ⌅
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Tipos de recurso
§ Recurso Completo § Estamos agora preocupados com a questão da viabilidade de Q(x, ξ). Podemos sempre assumir que Q(x, ξ) é viável?
§ Seja o conjunto Y(χ, ω), tal que:
Dizemos que Y(χ, ω) possui recurso completo se o mesmo é não-‐vazio para todo e qualquer valor de χ. § Fazendo χ = h(ω) – T(ω)x, dicamos com:
Que basicamente expressa a condição de viabilidade do segundo estágio, a qual deve valer para todo h(ω) – T(ω)x, o que, indiretamente, é o mesmo que valer para todo x.
Y (�,!) = {y | W (!)y � �}
Y (h(!)� T (!)x,!) = {y | W (!)y � h(!)� T (!)x}
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Tipos de recurso
§ Recurso Completo § Já o conceito de recurso relativamente completo é um pouco menos extenuante. § Exigir recurso completo pode ser infactível em termos práticos.
§ Nesse contexto, vamos dedinir χ da seguinte forma:
onde Ω representa o conjunto de todas as possíveis realizações e X representa o conjunto de viabilidade do primeiro estágio. § Repare que a sutileza estar em não ser mais viável para toda e qualquer coisa que aconteça com X, mas ser sempre viável, dado um X viável.
� = {h(!)� T (!)x | (!, x) 2 ⌦⇥X}
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Tipos de recurso
§ Recurso Completo § Algumas observações:
§ B&L (Cap. 3) usa uma notação bem particular (e bastante difundida) para representar viabilidade, a qual ajuda bastante na prova de propriedades importantes.
§ Algumas propriedades importantes:
§ Se K2(ξ) é um poliédro convexo e fechado è K2P fechado e convexo § Se Ξ é dinito è K2P = K2
§ Recurso dixo è K2 = K2P e K2 fechado e convexo
min c
Tx+ E⇠ [Q(x, ⇠)]
s.a: x 2 K1 \K2
K1 = {x | Ax = b, x � 0}K2 = {x | E⇠ [Q(x, ⇠)] < 1}K2(⇠) = {x | Q(x, ⇠) < 1}
K
P2 = {x | Q(x, ⇠) < 1 8⇠ 2 ⌅} =
\
⇠2⌅
K2(⇠)
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Problemas multi-estágio
§ Em alguns casos, a tomada de decisão segue um dluxo sequencial dinâmico. § Especialmente em problemas que levam em conta horizontes de tempo; § Pode ser importante revisar ou postergar decisões para momentos posteriores, quando mais da incerteza estiver disponível.
§ Pode não fazer sentido tomar toda a decisão em um único ponto do tempo, enquanto espera-‐se que todas as ações de recurso dêem conta de toda incerteza;
Decide 1
Decide 2
Decide 2
Decide 2
Decide 2
Estágio 1
Fluxo temporal
Estágio 2
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Problemas multi-estágio
§ Em alguns casos, a tomada de decisão segue um dluxo sequencial dinâmico. § Especialmente em problemas que levam em conta horizontes de tempo; § Pode ser importante revisar ou postergar decisões para momentos posteriores, quando mais da incerteza estiver disponível.
§ Pode não fazer sentido tomar toda a decisão em um único ponto do tempo, enquanto espera-‐se que todas as ações de recurso dêem conta de toda incerteza;
Decide 1
Decide 2
Decide 2
Decide 3
Decide 3
Decide 3
Decide 3
Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3
Fluxo temporal
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Estágio e recurso!§ Dependendo da natureza do
problema, o problema pode possuir somente 2-estágios ou ser multi-estágio!1. Tipicamente problemas
multi-estágio são mais difíceis em termos computacionais;!
2. Em muitos casos opta-se por aproximar tais problemas por problemas 2-estágios;!
3. Em alguns casos isso não é possível, dada a “preciosidade” da informação adicional obtida em estágios posteriores.!
Problemas multi-estágio!
Decide 1
Decide 2
Decide 2
Decide 2
s=2
Estágio 1 Estágio 2
Decide 3
Decide 3
Decide 3
Decide 3
Decide 3
Decide 3
Decide 3
Decide 3
Decide 3
s=2
Estágio 3
s=2
s=2
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Problemas multi-estágio
§ A formulação genérica para um problema multi-‐estágio é dada por:
§ Observações:
§ H é o total de estágios; § Note o tipo de recurso. Não é requisito mas é o mais utilizado.
min cT1 x1 + E⇠2⇥c2(!)x2(!2) + . . .E⇠H [cH(!)xH(!H)]
⇤
s.a: W1x1 = h1
T1(!)x1 +W2x2(!2) = h2(!)
...
TH�1(!)xH�1(!H�1) +WHxH(!H) = hH(!)
x1 � 0, xt(!t) � 0, t = 2, . . . , H
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min cT1 x1 + E⇠2⇥c2(!)x2(!2) + . . .E⇠H [cH(!)xH(!H)]
⇤
s.a: W1x1 = h1
T1(!)x1 +W2x2(!2) = h2(!)
...
TH�1(!)xH�1(!H�1) +WHxH(!H) = hH(!)
x1 � 0, xt(!t) � 0, t = 2, . . . , H
Problemas multi-estágio
§ A formulação genérica para um problema multi-‐estágio é dada por:
Note o efeito aninhado das esperanças…
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min cT1 x1 + E⇠2⇥c2(!)x2(!2) + . . .E⇠H [cH(!)xH(!H)]
⇤
s.a: W1x1 = h1
T1(!)x1 +W2x2(!2) = h2(!)
...
TH�1(!)xH�1(!H�1) +WHxH(!H) = hH(!)
x1 � 0, xt(!t) � 0, t = 2, . . . , H
Problemas multi-estágio
§ A formulação genérica para um problema multi-‐estágio é dada por:
A dependência em ωH serve para destacar o
condicionamento da decisão a que aconteceu
A dependência em ω serve para destacar a incerteza no
parâmetro
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min c1x1 +X
⇠s22S
P (⇠s2)
2
4c2(⇠
s2)x2(⇠
s2) +
0
@X
⇠s32S
P (⇠s3)c3(⇠s3)x3(⇠
s3 | ⇠s2)
1
A
3
5
s.a:Ax b
T (⇠s2)x1 +W (⇠s2)x2(⇠s2) = h(⇠s2), 8⇠s2
T (⇠s3 | ⇠s2)x2(⇠s2) +W (⇠s3 | ⇠s2)x3(⇠
s3 | ⇠22) =
h(⇠s3 | ⇠s2), 8⇠s2, 8⇠s3x1 � 0
x(⇠s2) � 0, 8⇠s2x(⇠s3 | ⇠s2), 8⇠s2, 8⇠s3
§ No exemplo de 3 estágios apresentado, teriamos:
Problemas multi-estágio
x1
x2(ξ21)
x2(ξ22)
x2(ξ23)
x3(ξ31|ξ21)
x3(ξ32|ξ21)
x3(ξ33|ξ21)
x3(ξ31|ξ22)
x3(ξ32|ξ22)
x3(ξ33|ξ22)
x3(ξ31|ξ23)
x3(ξ32|ξ23)
x3(ξ33|ξ23)
ξ32
ξ32
ξ32
ξ22
⇠cenarioestagio
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Problemas multi-estágio
§ Por muito tempo (inclusive atualmente) os métodos que envolvem a solução de problemas desse tipo se baseiam na seguinte propriedade: § Note que o único elemento conectando os estágios é a realização de xt(ωt) § Dessa forma, podemos escrever um equivalente determinístico utilizando programação dinâmica (vide Introduction to Dynamic Programming, Nemhauser (66)) § Último estágio (H):
Decide H-‐1
Decide H
Decide H
Decide H
...
ω
QH(xH�1, ⇠H(!)) = min cH(!)xH(!)
s.a: WHxH(!) = hH(!)� TH�1(!)xH�1
xH(!) � 0
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Problemas multi-estágio
§ Por muito tempo (inclusive atualmente) os métodos que envolvem a solução de problemas desse tipo se baseiam na seguinte propriedade: § Note que o único elemento conectando os estágios é a realização de xt(ωt) § Dessa forma, podemos escrever um equivalente determinístico utilizando programação dinâmica (vide Introduction to Dynamic Programming, Nemhauser (66)) § Estágio t = 2, …, H-‐1:
Decide t-‐1
Decide t
Decide t
Decide t
...
ω
Qt+1(xt) = E⇠t+1 [Qt+1(xt, ⇠t+1(!)))]
...
...
...Qt(xt�1, ⇠t(!)) = min ct(!)xt(!) +Qt+1(xt)
s.a: Wtxt(!) = ht(!)� Tt�1(!)xt�1
xt(!) � 0
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Problemas multi-estágio
§ Por muito tempo (inclusive atualmente) os métodos que envolvem a solução de problemas desse tipo se baseiam na seguinte propriedade: § Note que o único elemento conectando os estágios é a realização de xt(ωt) § Dessa forma, podemos escrever um equivalente determinístico utilizando programação dinâmica (vide Introduction to Dynamic Programming, Nemhauser (66)) § Estágio 1:
Decide 1 ...
min c1x1 +Q(x1)
s.a: W1x1 = h1
x1 � 0
ω
Análise de Sensibilidade Petróleo Brasileiro S/A
UNESP, 9-‐13 de dezembro de 2013 Prof. Fabrício Oliveira
Problemas multi-estágio
§ Exemplo: problema de localização: § Considere a seguinte situação: assumindo incerteza na demanda e qij = (ri – vj – tij )di , queremos que a decisão de localização (x1) seja realizada agora, porém passível de revisão em 12 meses (x2).
§ Deseja-‐se planejar a operação e localização da cadeia, considerando um horizonte de 36 meses.
Fluxo temporal x
1x
2(!2)
y2(!2) y3(!3)t=0 (hoje) t=12 t=36
Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3
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Problemas multi-estágio
§ Exemplo: problema de localização: § Considere a seguinte situação: assumindo incerteza na demanda e qij = (ri – vj – tij )di , queremos que a decisão de localização (x1) seja realizada agora, porém passível de revisão em 12 meses (x2).
§ Deseja-‐se planejar a operação e localização da cadeia, considerando um horizonte de 36 meses. § x1 – decisão de instalação no estágio 1 § x2(ω2) – decisão de instalação no estágio 2 § y2(ω2) – decisão de alocação de dluxo no estágio 2 § y3(ω3) – decisão de alocação de dluxo no estágio 3
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Problemas multi-estágio
§ Exemplo: problema de localização: § Considere a seguinte situação: assumindo incerteza na demanda e qij = (ri – vj – tij )di , queremos que a decisão de localização (x1) seja realizada agora, porém passível de revisão em 12 meses (x2).
§ Deseja-‐se planejar a operação e localização da cadeia, considerando um horizonte de 36 meses.
max
x,y
z(x, y) = �nX
j=1
c
j
x
j
+ E⇠
2
2
4mX
i=1
nX
j=1
q
2ij
(!
2)y
2ij
(!
2)�
nX
j=1
c
2j
(!
2)x
2j
(!
2) + E
⇠
3|⇠2
2
4mX
i=1
nX
j=1
q
3ij
(!
3)y
3ij
(!
3)
3
5
3
5
s.a
nX
j=1
y
2ij
(!
2) 1, i = 1, . . . ,m
d
i
(!
2)y
2ij
(!
2) Mx
1j
, j = 1, . . . , n
nX
j=1
y
3ij
(!
3) 1, i = 1, . . . ,m
d
i
(!
3)y
3ij
(!
3) M(x
2j
(!
2) + x
1j
), j = 1, . . . , n
x
1j
+ x
2j
(!
2) 1, j = 1, . . . , n
x
j
2 {0, 1}, wj
� 0, j = 1, . . . , n
0 y
t
ij
(!
t
) 1, t = 1, 2, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n
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Problemas multi-estágio
§ Exemplo: problema de localização: § Vamos considerar o equivalente determinístico desse problema discretizando ω da seguinte forma: § Duas realizações para q(ω) por estágio: q11, q12, q21, q22;
§ Duas realizações para d(ω) por estágio: d11, d12, d21, d22;
§ Todos equiprováveis. § Note que, neste caso, o total de cenários são 16: § Cada trajetória representa um cenário; § O crescimento da árvore de cenários é exponencial!
q11d11
q12d11
q12d12
q11d12
q21d21
q22d21
q21d22
q22d22
q21d21
q22d21
q21d22
q22d22
q21d21
q22d21
q21d22
q22d22
q21d21
q22d21
q21d22
q22d22
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Problemas multi-estágio
§ Exemplo: problema de localização: max
x,y
z(x, y) = �nX
j=1
c
j
x
j
+
4X
s
2=1
1
4
2
4mX
i=1
nX
j=1
q
2ijs
2y2ijs
2 �nX
j=1
c
2js
2x2js
2 +
4X
s
3=1
1
4
2
4mX
i=1
nX
j=1
q
3ijs
3y3ijs
3
3
5
3
5
s.a
nX
j=1
y
2ijs
2 1, i = 1, . . . ,m, s
2= 1, . . . , 4
d
is
2y
2ijs
2 Mx
1j
, j = 1, . . . , n, s
2= 1, . . . , 4
nX
j=1
y
3ijs
3 1, i = 1, . . . ,m, s
3= 1, . . . , 4
d
is
3y
3ijs
3 M(x
2js
2 + x
1j
), j = 1, . . . , n, s
2= 1, . . . , 4, s
3= 1, . . . , 4
x
1j
+ x
2js
2 1, j = 1, . . . , n, s
2= 1, . . . , 4
x
j
2 {0, 1}, wj
� 0, j = 1, . . . , n
x
2js
2 2 {0, 1}, j = 1, . . . , n, s
2= 1, . . . , 4
0 y
ijs
t 1, t = 1, 2, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n, s
t
= 1, . . . , 4
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Problemas multi-estágio Take aways § Mais estágios implicam em uma aderência maior ao processo decisório… § Representa a tomada de decisão levando em conta que parte das decisões podem ser tomadas baseadas em mais informação
§ … porém também implicam em mais “trabalho” § Modelos de maior porte, que rapidamente se tornam intratáveis dado o número de cenários;
§ A geração de cenários requer mais so]isticação para representar adequadamente o problema
§ Métodos de decomposição se fazem necessários, porém precisam ser adaptados.
x1
x2(ξ21)
x2(ξ22)
x2(ξ23)
x3(ξ31|ξ21)
x3(ξ32|ξ21)
x3(ξ33|ξ21)
x3(ξ31|ξ22)
x3(ξ32|ξ22)
x3(ξ33|ξ22)
x3(ξ31|ξ23)
x3(ξ32|ξ23)
x3(ξ33|ξ23)
ξ32
ξ32
ξ32
ξ22
⇠cenarioestagio