Post on 06-Dec-2015
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE TECNOLOGIA
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
Kelvin Alves Pinheiro
(201102140098)
INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS INDUSTRIAIS.
Belém – Pará
Abril de 2015
2
Kelvin Alves Pinheiro
(201102140098)
SISTEMAS FÍSICOS LINEARES – MODELAGEM MATEMÁTICA
MODELAGEM DE CÍRCUITOS ELETRICOS
PROBLEMA 11 [OGATA].
Trabalho apresentado como requisito
para obtenção de nota da primeira
avaliação da disciplina
instrumentação e controle de
processos industriais do curso de
engenharia mecânica da
Universidade Federal do Pará,
orientado pelo professor Petronio
Vieira Jr.
Belém – Pará
Abril de 2015
3
Problema 11 [OGATA]: Obtenha as equações de estados para o circuito elétrico
mostrado abaixo, sendo 𝑒𝑖 a tensão de entrada e 𝑒0 a tensão de saída.
Figura 1. Circuito problema 11.
SOLUÇÃO
1. LEIS FÍSICAS DO SISTEMA
Para a solução do problema devemos conhecer as leis físicas que regem o sistema, nos
sistemas elétricos as equações do circuito obedecem a Lei de Kirchhoff que estabelecem
que:
1. A soma algébrica das diferenças de potencial ao longo da malha é igual a zero. Isto
e, percorrendo o circuito fechado, a soma das tensões aplicadas é igual a somadas quedas
de tensão.
2. A soma algébrica das correntes em um nó é igual a zero, em outras palavras, a soma
das correntes que chegam ao nó é igual a soma das correntes que saem dele.
2. LEIS DOS ELEMENTOS
As quedas de tensão aparecem nos terminais dos três elementos elétricos básicos, que
são eles, o resistor, o indutor e o capacitor.
2.1 Resistor
A queda de tensão sobre um resistor é dada pela Lei de Ohm que estabelece que a
queda de tensão sobre um resistor é igual ao produto da corrente que atravessa o resistor
pela resistência deste. Simbolicamente temos que
𝑒𝑅 = 𝑅𝑖 𝑜𝑢 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖, 𝑖 =𝑒𝑅𝑅
Figura 2. Elemento Resistor.
4
2.2 Indutor
A queda de tensão em um indutor é dada pela Lei de Faraday, que estabelece que a
queda de tensão é igual ao produto da indutância pela taxa de variação da corrente no
tempo. Um valor positivo de derivada implica um aumento de corrente,
consequentemente uma queda de tensão positiva; um valor negativo de derivada implica
em diminuição da corrente, logo uma queda de tensão negativa.
𝑒𝐿 = 𝐿𝑑𝑖
𝑑𝑡
Figura 3. Elemento Indutor.
2.3 Capacitor
Uma queda de tensão em um capacitor, orientada no sentido positivo, é definida em
magnitude pela relação entre a magnitude da carga positiva de sua placa positiva pelo
valor da capacitância. A carga da placa do capacitor é igual a integral da corrente entrando
na placa do instante inicial até um instante 𝑡 final.
𝑒𝐶 =𝑞
𝐶=1
𝐶∫ 𝑖 𝑑𝑡𝑡
0
𝑜𝑢 𝑖 = 𝐶𝑑𝑒𝐶𝑑𝑡
Figura 4. Elemento Capacitor.
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Dado o circuito da Figura 5 mostrada abaixo.
Figura 5. Circuito elétrico problema 11.
Escrevendo a Lei de Kirchhoff para as malhas 𝑖1 e 𝑖2 temos que.
𝑒𝑖 − 𝑒𝑅1 − 𝑒𝐿 = 0 (1)
𝑒𝐿 − 𝑒𝑅2 − 𝑒𝐶 = 0 (2)
Onde 𝑒𝑅1 e 𝑒𝑅2 são as tensões no resistor 1 e 2 respectivamente, 𝑒𝐿 é a tensão do
indutor e 𝑒𝐶 a tensão no capacitor.
Escrevendo a Lei de Kirchhoff para os nós em 𝑎 e 𝑏 temos que.
𝑖𝑅1 − 𝑖𝑅2 − 𝑖𝐿 = 0 (3)
𝑖𝑅2 − 𝑖𝐶 = 0 (4)
Onde 𝑖𝑅1 e 𝑖𝑅2 são as correntes nos resistores respectivamente, 𝑖𝐿 é a corrente que
passa através do indutor e 𝑖𝐶 é a corrente que passa pelo capacitor.
Escrevendo a lei de cada elemento, temos que.
𝑖𝐶 = 𝐶𝑑𝑒𝑐𝑑𝑡 (5)
𝑒𝐿 = 𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡 (6)
𝑖𝑅1 =𝑒𝑅1𝑅1 (7)
𝑖𝑅2 =𝑒𝑅2𝑅2 (8)
3. SUBSTITUIÇÕES
Faremos agora as devidas substituições de maneira a formar as equações dinâmicas e
consequentemente as equações de estado, ambas em função da tensão de entrada, 𝑒𝑖, e
dos parâmetros do circuito.
Substituindo (5) em (4)
6
𝑖𝑅2 = 𝐶𝑑𝑒𝐶𝑑𝑡
(9)
Substituindo (8) em (9)
𝑒𝑅2𝑅2
= 𝐶𝑑𝑒𝐶𝑑𝑡
(10)
De (3) temos que
𝑖𝑅2 = 𝑖𝑅1 − 𝑖𝐿 (11)
Substituindo (7) e (8) em (11)
𝑒𝑅2𝑅2
=𝑒𝑅1𝑅1 − 𝑖𝐿 (12)
Rearranjando (12)
𝑒𝑅2 =𝑅2𝑅1𝑒𝑅1 − 𝑅2𝑖𝐿 (13)
De (1)
𝑒𝑅1 = 𝑒𝑖 − 𝑒𝐿 (14)
Substituindo (6) em (14)
𝑒𝑅1 = 𝑒𝑖 − [𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡] (15)
Substituindo (15) em (13)
𝑒𝑅2 =𝑅2𝑅1[𝑒𝑖 − 𝐿
𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡] − 𝑅2𝑖𝐿 (16)
𝑒𝑅2 =𝑅2𝑅1𝑒𝑖 −
𝑅2𝑅1𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡 − 𝑅2𝑖𝐿 (17)
Substituindo (17) em (10)
[𝑅2𝑅1𝑒𝑖 −
𝑅2𝑅1𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡 − 𝑅2𝑖𝐿 ]
1
𝑅2𝐶=𝑑𝑒𝐶𝑑𝑡
(18)
𝑑𝑒𝐶𝑑𝑡
=𝑒𝑖𝑅1𝐶
−1
𝑅1𝐶𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡
−𝑖𝐿𝐶 (19)
Substituindo (6) e (17) em (2)
[𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡] − [
𝑅2𝑅1𝑒𝑖 −
𝑅2𝑅1𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡 − 𝑅2𝑖𝐿] − 𝑒𝐶 = 0 (20)
𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡
−𝑅2𝑅1𝑒𝑖 +
𝑅2𝑅1𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡
+ 𝑅2𝑖𝐿 − 𝑒𝐶 = 0 (21)
7
(1 +𝑅2𝑅1) 𝐿
𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡
−𝑅2𝑅1𝑒𝑖 + 𝑅2𝑖𝐿 − 𝑒𝐶 = 0 (22)
(𝑅1 + 𝑅2𝑅1
)𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡
= 𝑒𝐶 − 𝑅2𝑖𝐿 +𝑅2𝑅1𝑒𝑖 (23)
𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡
= (𝑅1
𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝐶 − (
𝑅1𝑅1 + 𝑅2
)𝑅2𝑖𝐿 + (𝑅1
𝑅1 + 𝑅2)𝑅2𝑅1𝑒𝑖 (24)
𝐿𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡
=𝑅1
𝑅1 + 𝑅2𝑒𝐶 −
𝑅1 𝑅2𝑅1 + 𝑅2
𝑖𝐿 +𝑅2
𝑅1 + 𝑅2𝑒𝑖 (25)
𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡
=𝑅1
𝐿(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝐶 −
𝑅1 𝑅2𝐿(𝑅1 + 𝑅2)
𝑖𝐿 +𝑅2
𝐿(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝑖 (26)
Substituindo (25) em (19)
𝑑𝑒𝐶𝑑𝑡
=𝑒𝑖𝑅1𝐶
−1
𝑅1𝐶[
𝑅1𝑅1 + 𝑅2
𝑒𝐶 −𝑅1 𝑅2𝑅1 + 𝑅2
𝑖𝐿 +𝑅2
𝑅1 + 𝑅2𝑒𝑖] −
𝑖𝐿𝐶 (27)
𝑑𝑒𝐶𝑑𝑡
=𝑒𝑖𝑅1𝐶
−1
𝐶(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝐶 +
𝑅2𝐶(𝑅1 + 𝑅2)
𝑖𝐿 −𝑅2
𝐶𝑅1(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝑖 −
𝑖𝐿𝐶 (28)
𝑑𝑒𝐶𝑑𝑡
= −1
𝐶(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝐶 + (
𝑅2𝐶(𝑅1 + 𝑅2)
−1
𝐶) 𝑖𝐿 + (
1
𝑅1𝐶−
𝑅2𝐶𝑅1(𝑅1 + 𝑅2)
) 𝑒𝑖 (29)
𝑑𝑒𝐶𝑑𝑡
= −1
𝐶(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝐶 + (
𝐶𝑅2 − 𝐶(𝑅1 + 𝑅2)
𝐶2(𝑅1 + 𝑅2)) 𝑖𝐿 + (
𝐶𝑅1(𝑅1 + 𝑅2) − 𝑅1𝑅2𝐶
𝐶2 𝑅12(𝑅1 + 𝑅2)
) 𝑒𝑖 30
𝑑𝑒𝐶𝑑𝑡
= −1
𝐶(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝐶 +
𝐶[𝑅2 − (𝑅1 + 𝑅2)]
𝐶2(𝑅1 + 𝑅2)𝑖𝐿 +
𝐶𝑅1[(𝑅1 + 𝑅2) − 𝑅2]
𝐶𝑅1𝐶𝑅1(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝑖 (31)
𝑑𝑒𝐶𝑑𝑡
= −1
𝐶(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝐶 −
𝑅1𝐶(𝑅1 + 𝑅2)
𝑖𝐿 +𝐶𝑅1[(𝑅1 + 𝑅2) − 𝑅2]
𝐶𝑅1𝐶𝑅1(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝑖 (32)
𝑑𝑒𝐶𝑑𝑡
= −1
𝐶(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝐶 −
𝑅1𝐶(𝑅1 + 𝑅2)
𝑖𝐿 +1
𝐶(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝑖 (33)
4. EQUAÇÕES DINÂMICAS
Portando as Equações dinâmicas são:
{
𝑑𝑒𝐶𝑑𝑡
= −1
𝐶(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝐶 −
𝑅1𝐶(𝑅1 + 𝑅2)
𝑖𝐿 +1
𝐶(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝑖
𝑑𝑖𝐿𝑑𝑡
=𝑅1
𝐿(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝐶 −
𝑅1 𝑅2𝐿(𝑅1 + 𝑅2)
𝑖𝐿 +𝑅2
𝐿(𝑅1 + 𝑅2)𝑒𝑖
8
5. EQUAÇÕES DE ESTADO
As Equações de estado são:
[
𝑒�̇�
𝑖�̇�
] =
[ −
1
𝐶(𝑅1 + 𝑅2)−
𝑅1𝐶(𝑅1 + 𝑅2)
𝑅1𝐿(𝑅1 + 𝑅2)
−𝑅1 𝑅2
𝐿(𝑅1 + 𝑅2)]
. [
𝑒𝐶
𝑖𝐿
] +
[
1
𝐶(𝑅1 + 𝑅2)
𝑅2𝐿(𝑅1 + 𝑅2)]
. 𝑒𝑖
6. SISTEMA COMO SENDO REAL
Este sistema elétrico poderia ser representado por um painel solar de corrente contínua
que está ligado a duas lâmpada onde as resistências são representadas pelas lâmpadas 𝐿1
e 𝐿2 respectivamente. O sistema durante o dia está ligado ao painel solar que fornece uma
tensão de entrada 𝑒𝑖 fazendo acender 𝐿1, já que passado um tempo 𝑡 o indutor terá
equivalência a um curto circuito, agindo como um fio de ligação normal. A lâmpada 𝐿2
também é acesa porém por um período menor de tempo, tempo esse até o capacitor
carregar completamente e a corrente deixar de fluir tornando-o equivalente a um circuito
aberto. A noite o painel sem energia solar deixa de fornecer a tensão de entrada 𝑒𝑖, fazendo
que 𝐿1 apague. A carga acumulada no capacitor e no indutor começam a descarregar
fazendo 𝐿2 acender.
𝑒𝑖 = 30,4 𝑉
De
𝑃 =𝑒2
𝑅
Onde 𝑃 é a potência da lâmpada e vale 40 𝑊, temos que
𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅 = 23,1 Ω
𝐿 = 50 𝜇𝐻
𝐶 = 45 𝜇𝐹
Substituindo os valores
[
𝑒�̇�
𝑖�̇�
] =
[ −
1
𝐶(2𝑅)−
𝑅
𝐶(2𝑅)
𝑅
𝐿(2𝑅)−
𝑅2
𝐿(2𝑅)]
. [
𝑒𝐶
𝑖𝐿
] +
[
1
𝐶(2𝑅)𝑅
𝐿(2𝑅)]
. 𝑒𝑖
[
𝑒�̇�
𝑖�̇�
] = [−
1
2𝐶𝑅−1
2𝐶1
2𝐿−𝑅
2𝐿
] . [
𝑒𝐶
𝑖𝐿
] + [
1
2𝐶𝑅1
2𝐿
] . 𝑒𝑖
9
[
𝑒�̇�
𝑖�̇�
] = [−
1
2. 45.10−6𝐹. 23,1Ω−
1
2. 45.10−6𝐹1
2.50. 10−6 𝐻−
23,1Ω
2.50. 10−6 𝐻
] . [
𝑒𝐶
𝑖𝐿
] + [
1
2. 45.10−6𝐹. 23,1Ω1
2.50.10−6 𝐻
] . 𝑒𝑖
[
𝑒�̇�
𝑖�̇�
] =
[ −
1
2079.10−6[𝐹Ω]−
1
90.10−6𝐹1
100. 10−6 𝐻−
23,1Ω
100.10−6 𝐻] . [
𝑒𝐶
𝑖𝐿
] +
[
1
2079.10−6[𝐹Ω]1
100. 10−6 𝐻 ] . 𝑒𝑖
[
𝑒�̇�
𝑖�̇�
] = [
−481 [𝐹Ω] −11111 [𝐹]
10000 [𝐻] −231000 [Ω
𝐻]] . [
𝑒𝐶
𝑖𝐿
] + [481 [𝐹Ω]
10000 [𝐻]] . 𝑒𝑖
7. BIBLIOGRAFIA
D’AZZO, J. J.; HOUPIS, C. H. Análise e Projeto de Sistemas de Controle Lineares.
Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1984.
NISE, Norman S., Engenharia de Sistemas de Controle, LTC – Livros Técnicos
Editora AS, 2011, 5 Ed.
http://macao.communications.museum/por/exhibition/secondfloor/moreinfo/2_3_6_
ResistanceInductance.html <Acessado em 05 de Abril de 2015>
http://macao.communications.museum/por/exhibition/secondfloor/MoreInfo/2_3_5_
ChargingCapacitor.html <Acessado em 05 de Abril de 2015>
https://www.neosolar.com.br/loja/fileuploader/download/download/?d=0&file=cust
om%2Fupload%2FFile-1404153588.pdf <Acessado em 03 de Abril de 2015>