Até agora vimos que a análise de um conjunto de dados por meio de técnicas numéricas nos permite calcular medidas de posição (média, mediana, moda) e medidas de dispersão (variância e desvio padrão).

Poderemos caracterizar uma massa de dados, com o objetivo de organizar e resumir informações.

Essas medidas são chamadas de estimativas associadas a populaçõesdas quais os dados foram extraídos na forma de amostras.

Agora estudaremos os chamados modelos probabilísticosmodelos probabilísticos.

1

Modelos probabilísticos Modelos probabilísticos Modelos probabilísticos Modelos probabilísticos

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DefiniçãoDefinição:

Experimento determinístico é a situação, fenômeno ou acontecimento cujos resultados que ao serem repetidos nas mesmas

condições conduzem ao mesmo resultado.

Geometria: dado o lado de um quadrado, a área está determinada.

ExemploExemplo:

Física: Todo corpo permanece em estado de repouso ou em movimento retilíneo uniforme, a menos que uma força externa atue sobre ele.

Computadores: se você clicar sobre um ícone, você sabe (ou não sabe)o que vai acontecer.

3

DefiniçãoDefinição:

Experimento aleatório é a situação, fenômeno ou acontecimento cujos resultados não podem ser previstos com certeza.

Metereologia: Condições climáticas do próximo domingo.

Processos probabilísticos,

os resultados têm um componente

aleatório

ExemplosExemplos:

Economia: Taxa de inflação do próximo mês.

Demografia: O sexo da próxima criança que irá nascer na cidade.

Jogo de moedas (ou de dados): Ao lançar uma moeda uma vez, não sabe sesairá cara ou coroa.

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Até o presente momento, estudamos, de forma impírica, isto é, sem uma justificativa científica (só descrevendo, mas não explicando), o comportamento

dos fenômenos através da construção das distribuições de frequências.

Aqui, temos especial interesse em experiências aleatórias, casuais, ou seja, experiências das quais não podemos saber o seu resultado a priori.

ExemplosExemplos:

Não é possível saber qual será a produção por hectare de uma linhagem

5

Em situações como estas, modelos probabilísticos podem ser estabelecidos para quantificar as incertezas

das diversas ocorrências.

Não é possível saber qual será a produção por hectare de uma linhagem “X” de feijão.

Germinação de sementes.

Sobrevivências de enxertos.

Cor da flor resultante de um cruzamento entre duas plantas, etc....

Modelos probabilísticos Modelos probabilísticos

São modelos que permitem, sem a observação direta do fenômeno aleatório,reproduzir de maneira razoável a distribuição de frequências, as quais só poderiam ser construídas quando o fenômeno fosse observado diretamente.

1. Deve ser sempre possível repetir a experiência indefinidamente, fixadacertas condições iniciais.

Condições / PressuposiçõesCondições / Pressuposições

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certas condições iniciais.

2. Deve ser impossível influenciar no resultado de uma particular repetição da experiência.

Os resultados podem apresentar VARIAÇÕES, mesmo quando repetidos em condições uniformes (equiprováveis), sem que se possa ter controle

sobre os mesmos. Entretanto, os possíveis resultados podem ser identificados previamente.

ProbabilidadeProbabilidade

Disciplina: 221171

ProbabilidadeProbabilidade

Prof.a Dr.a Simone Daniela Sartorio de Medeiros

DTAiSeR-Ar

7

É um ramo da matemática com grande aplicação na estatística.

HistóriaHistória

A idéia de resultado aleatório (que ocorre ao acaso) surgiu com os Jogos de azar(jogos de dados, jogo de cartas, loterias, roleta) século XVII com:

Chevalier de Meré:jogador/apostador que viveu na França epensou ter descoberto uma maneira deganhar dinheiro com apostas em umjogo de dados.

Pierre de Fermat Blaise Pascal

Levando-o ao sucesso e a falência.

Intrigado, Méré escreveu uma cartapara Pascal que resolveu o problema emconjunto com Fermat.

Surgimento de um novo ramo namatemática, a Probabilidade.

Chevalier de Meré

8

A base matemática surgiu com:

BERNOUILLI (1713), faz a relação entre PROBABILIDADE

e FREQUÊNCIA RELATIVA.

MOIVRE (1718), estendeu os problemas de jogos de azar para

estudo de problemas de SEGUROS, DEMOGRAFIA, etc.

História da ProbabilidadeHistória da Probabilidade

GAUSS e QUETELET (século XIX) publicaram trabalhos relacionados com

TEORIA DOS ERROS e DEMOGRAFIA.LAPLACE (1818)

mostrou outras aplicações. 9

Se quiserem saber mais:

HojeHoje

Essa teoria é amplamente aplicada em diversos campos:

CIÊNCIAS EXATAS;

PSICOLOGIA;

ECONOMIA; ECONOMIA;

ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS;

MEDICINA;

VETERINÁRIA;

ZOOTECNIA;

AGRONOMIA FLORESTAL...etc.

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Em palavras:

Probabilidade é uma afirmação numérica sobre a possibilidade de que

O que é probabilidade?O que é probabilidade?

ProbabilidadeProbabilidadeÉ uma função P(.) que atribui valores numéricos aos eventos de um

espaço amostral.

Probabilidade é uma afirmação numérica sobre a possibilidade de que algo ocorra, quantifica o grau de incerteza dos eventos,

variando de 0 a 1 ou 0% a 100%.

InterpretaçãoInterpretação:Seja A um evento qualquer de , sua probabilidade será denotada por P(A), que é um número entre 0 e 1, que indica a chance de ocorrência de A.

Quanto mais próxima de 1 é P(A), maior é a chance de ocorrência de A; e Quanto mais próxima de 0 é P(A), menor é a chance de ocorrência de A.

11

ProbabilidadeProbabilidade

Uma função P(.), definida nos subconjuntos de e com valores em [0,1] é uma probabilidade se satisfaz as condições

(Axiomas de Kolmogoroff):

1. 0 P(A) 1, A Ω;

Matematicamente:

1. 0 P(A) 1, A Ω;

2. P(Ω)=1 e P()=0;

3. Para Aj eventos disjuntos tem-se que:

n

jj

n

jj APAP

11

)(

12

ExemploExemploLançar um dado, admitindo que o dado foi construído de forma homogênea e

com medidas rigorosamente simétricas (dado não viciado).

Como atribuir probabilidades aos elementos do espaço amostral?Como atribuir probabilidades aos elementos do espaço amostral?

• Existem duas maneiras:

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a) Primeira maneira: Não temos nenhuma razão para privilegiar uma ou outra face do dado, pois ele é não viciado. Então podemos considerar que

todas as faces tem a mesma probabilidade de ocorrência, ou seja:

P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6.

Como atribuir probabilidades aos elementos do espaço amostral?Como atribuir probabilidades aos elementos do espaço amostral?

Definição Definição frequentistafrequentista

Seja A , então:

n

nAP A)(

n. de ocorrências do evento A

n. de observações (resultados possíveis)

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O jogo da mega sena consiste em escolher 6 dezenas entre 01 e 60.

Mega SenaMega Sena

1) Qual é a probabilidade de ganhar o prêmio máximo?

Exemplo 1Exemplo 1

15

O jogador pode marcar num cartão de 6 a 15 dezenas. Os custos (em reais) de cada

jogo estão relacionados na tabela:

Dezenas Custo6 3,50

Mega SenaMega Sena

2) Porque o jogo com 8 dezenas custa R$ 98,00?

Tarefa 1Tarefa 1

Porque com 7 dezenas podemos formar jogos de 7 dezenas.

76

76,7

C

Ou seja, fazer um jogo com 7 dezenas ou 7 jogos com 6 dezenas são ações equiprováveis

(equivalentes em termo de probabilidade ganhar).

7 24,508 98,009 294,00

10 735,0011 1.617,0012 3.234,0013 6.006,0014 10.510,5015 17.517,50

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3) Porque o jogo com 7 dezenas custa R$ 24,50?

Como atribuir probabilidades aos elementos do espaço amostral?Como atribuir probabilidades aos elementos do espaço amostral?

b) Segunda maneira: podemos jogar o dado 30 vezes e anotar as saídas, montar uma tabela de frequências e a probabilidade de ocorrência será igual a

frequência relativa de cada observação.

17

Vamos fazer um experimento?Vamos fazer um experimento?

AtividadeAtividade

Resultados

n. de lançamentos (2 moedas)

36 fr

(K, K)

(C,K)

(K,C)

Quando n tende ao infinito (n ) a

frequencia relativa parece se aproximar de um certo limite.

(K,C)

(C,C)

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O limite para o qual tende a frequência relativa é denominado probabilidade.

Tal propriedade empírica é chamada de estabilidade da frequência relativa.

OBS: Note que a forma pela qual a frequência relativa se aproxima do limite é bastante irregular.

Ele poderia ter medido essa probabilidade por meio de uma pesquisa de mercado, que seria

realizada por profissionais.

Exemplo 2Exemplo 2

Um empresário abre um restaurante em uma cidade turística, acreditando que tem 80% de probabilidade de sucesso.

estimativa subjetiva

Dessa forma, por exemplo, o controle da qualidade de produtos produzidos por uma empresa, só tem sentido se calcularmos as

frequências relativas.19

OBS: Isso custaria tempo e dinheiro, mas seria uma forma objetiva de estimar a probabilidade de sucesso no empreendimento

(ou o risco de fracasso).

Contudo, há situações em que a repetição do experimento não pode ser realizada e outra em que não pode ser realizada em idênticas condições:

Probabilidade subjetiva é um valor entre 0 e 1, que representa um ponto de vista pessoal sobre a possibilidade de ocorrer determinado evento.

a) Um paciente é submetido a um novo tipo de cirurgia e desejamos

(Predomina nas decisões administrativas, nas aplicações financeiras, na especulação e nos jogos de azar).

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a) Um paciente é submetido a um novo tipo de cirurgia e desejamossaber se ele ficará bom. (impossível repetir nas mesmas condições)

b) Desejamos saber se haverá um tremor de terra no Rio Grande doNorte no próximo ano. (caso raro)

c) Desejamos saber quem vencerá o próximo jogo entre São Paulo e Palmeiras. (as condições variam bastante)

Tabela: Dados referentes a alunos matriculados em 4 cursos de uma universidade no ano de 2018

Curso Total

Matemática pura (M) 110

Matemática aplicada (A) 30

Estatística (E) 30

Computação (C) 30

Total 200

Exemplo 4Exemplo 4

Evento M: escolher ao acaso um aluno e ele estar

matriculado no curso de matemática pura.

Total 200

1. Qual a probabilidade de escolher umaluno matriculado no curso dematemática pura?

21

2. Descreva graficamente o espaçoamostral.

3. Qual é a probabilidade de um aluno NÃO estar matriculado no curso dacomputação?

Curso \ Sexo Total

Matemática pura (M) 110

Matemática aplicada (A) 30

Estatística (E) 30

Computação (C) 30

Tabela: Dados referentes a alunos matriculados em 4 cursos de uma universidade no ano de 2018

PropriedadePropriedade

P(A) + P(Ac) = P(Ω) =1

Computação (C) 30

Total (Sexo) 200

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Tabela: Dados referentes a alunos matriculados em 4 cursos de uma universidade no ano de 2018

Curso \ SexoHomens

(H)Mulheres

(F)Total

Matemática pura (M) 70 40 110

Matemática aplicada (A) 15 15 30

Estatística (E) 10 20 30

Computação (C) 20 10 30

Total 115 85 200

Para o mesmo estudo, considere também a variável Sexo:

Total 115 85 200

5. Qual a probabilidade do aluno ser do sexo masculino?

23

4. Descreva graficamente o espaçoamostral.

6. Qual a probabilidade de um alunoser homem e estar matriculado nocurso matemática aplicada?

7. Qual a probabilidade de um aluno estar matriculado em matemática aplicadaou ser homem?

Tabela: Dados referentes a alunos matriculados em 4 cursos deuma universidade no ano de 2018

Curso \ SexoHomens

(H)Mulheres

(F)Total

Matemática pura (M) 70 40 110

Matemática aplicada (A) 15 15 30

Estatística (E) 10 20 30

Computação (C) 20 10 30

P(A H) = P(A) + P(H) – P(A H)

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Computação (C) 20 10 30

Total 115 85 200

Regra da adição de probabilidadesRegra da adição de probabilidades

• Considere os eventos U e V quaisquer, a regra da adiçãode probabilidades é dada por:

P(U V) = P(U) + P(V) – P(U V)

• Se U e V forem eventos mutuamente exclusivos oudisjuntos, a regra é dada por:

P(U V) = P(U) + P(V)

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Exemplo 5Exemplo 5

Dois dados são jogados e sua soma é anotada.

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

a) Determine a probabilidade de que a soma seja 4 = A.

b) Determine a probabilidade de que a soma seja 11 = B.

c) Determine a probabilidade de que a soma seja 4 ou 11.

P(A) = 3/36 = 1/12 = 0,083

P(B) = 2/36 = 1/18 = 0,056

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) = (3+2+0)/36 = 0,139

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

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Suponha que a cultura de feijão apresenta plantas resistentes e susceptíveis ao fungo daferrugem e associada à resistência ao fungo tem-se a característica de precocidade dacultura. Suponha que a tabela a seguir represente uma possível divisão de uma população deplantas de feijão.

Exemplo 6Exemplo 6

Precocidade

Resistência Precoce Intermediária Tardia Total

Resistente 160 60 30 250

Susceptível 40 50 100 190

Tabela 1. Distribuição de plantas de feijão segundo a resistência ao fungo da ferrugem e precocidade.

Calcule as probabilidades:

P(A) =P(B) =P(C) = P(D) =

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Susceptível 40 50 100 190

Total 200 110 130 440

Considere o experimento: Selecionar ao acaso umaplanta e determinar sua resistência ao fungo daferrugem e sua precocidade.

Considere ainda os seguintes eventos: Evento A: ser resistente ao fungo da ferrugem; Evento B: ser susceptível ao fungo da ferrugem; Evento C: ser uma variedade precoce; Evento D: ser uma variedade intermediária; Evento E: ser uma variedade tardia.

P(D) =P(E) =P(A B) =P(A C) =P(A D) =P(A E) =P(B C) =P(B D) =P(B E) =P(C D) =P(C E) =P(D E) =

P(A B) =P(A C) =P(A D) =P(A E) =P(B C) =P(B D) =P(B E) = P(C D) = P(C E) =P(D E) =

De um grupo de duas mulheres (M) e três homens (H), uma pessoa será sorteada para presidir uma reunião.

Tarefa 2Tarefa 2

Defina o espaço amostral. Ω = {H, M}

Defina os eventos: E1 = {H} ou E2 = {M}

Qual a probabilidade de o presidente ser:

a) do sexo masculino?

b) do sexo feminino?

Calcule as probabilidades.

P(E2) = 2/5 = 0,428

P(E1) = 3/5 = 0,6

• Considere o lançamento de dois dados.

Considere os eventos:

Tarefa 3Tarefa 3

A = soma dos números obtidos igual a 9 e

B = número no primeiro dado maior ou igual a 4.

a) Enumere os elementos de A e B.

b) Obtenha: A B ; A B ; e Ac.

c) Obtenha as probabilidades do item anterior.

A = {(3,6), (4,5),(5,4), (6,3)} B = {(4,1), (4,2),(4,3), (4,4), (4,5), (4,6),(5,1), (5,2),(5,3), (5,4), (5,5), (5,6),(6,1), (6,2),(6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

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