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Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 1

Aula 07

Modelos Probabilísticos – Variável Discreta


Modelos de probabilidade

Os modelos probabilísticos são construídos a partir de

certas hipóteses ou conjeturas sobre o problema em questão e

constituem-se de duas partes:

1) dos possíveis resultados – o espaço amostral e

2) de uma certa lei que nos diz quão provável é cada

resultado (ou grupos de resultados) – as probabilidades.


Variável aleatória

Uma variável aleatória pode ser entendida como uma variável

quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores aleatórios.

Exemplos:

– número de defeitos em um azulejo que sai da linha de

produção;

– número de pessoas que visitam um determinado site, num

certo período de tempo;


Exemplos:– volume de água perdido por dia, num sistema de

abastecimento;

– resistência ao desgaste de um certo tipo de aço, num teste padrão;

– tempo de resposta de um sistema computacional;

– grau de empeno em um azulejo que sai da linha de produção.


Variável aleatória

Formalmente, uma variável aleatória é uma função que associa

elementos do espaço amostral ao conjunto de números reais.

X = número de famílias que usam PAP numa amostra de 2 famílias.

0 1 2

x

Ω = (não, não), (sim, não), não,sim), (sim, sim)

X:


Modelo de Bernoulli

Exemplo: Num certo bairro, indagar a uma família se ela costuma

utilizar-se de algum programa de alimentação popular.

Ω = não, sim

X:x

0 1

P(X=x)= 1 – p p

60% usa PAP 40% 60%


Modelo de Probabilidades de Bernoulli

x 1 0p(x) = Pr(X=x) p 1-p

px=Pr X=x=px 1−p1−x

Sendo a função de probabilidades dada por:

p x0 e ∑ px=1 satisfazendo


Média, Variância e Desvio padrão

x 1 0p(x) = Pr(X=x) p 1-p

2= Var X = p 1−p

= DP X = p 1−p

= EX = p


Modelo Binomial

Exemplo: Numa amostra de 3 famílias indagar quantas utilizaram

algum programa de alimentação popular nos últimos dois meses.

Ω = (nnn), (nns), (nsn), (snn), (nss), (sns), (ssn), (sss)

X:x

0 1 2 3

60% usa PAP


Uma experiência binomial é um processo que apresenta as seguintes

características:

Possui n ensaios de Bernoulli.

Em cada ensaio há dois tipos de resultados possíveis.

P(S) = p e P(F) = 1 – p = q.

Todos os ensaios são independentes (p cte nos ensaios).

Define-se a variável aleatória discreta X: número de “sucessos”

obtidos em n ensaios de Bernoulli.


A função de probabilidades de X é dada por:

xx )1(x

)xXPr()x(p −−

=== nppn

x = 0, 1, 2, ..., n !x!)x(x −=

nnn !

= DP X = np 1−p

2 = Var X = np1−p

= E X = np


Exemplo:

Em uma população, onde 70% dos eleitores são favoráveis ao

governo do estado, retira-se uma amostra aleatória de 10 eleitores, a

fim de realizar uma pesquisa de opinião. Qual é a probabilidade de 7

indivíduos da amostra serem favoráveis ao governo?


Modelo de Poisson

Podemos considerar uma variável aleatória X igual ao número de

“sucessos” que ocorrem num intervalo contínuo. Por exemplo:

a) o número de bactérias por volume unitário de um fluído;

b) o número de insetos vivos por m2 de uma grande área de rocio;

c) o número de acidentes que ocorrem num certo cruzamento no período

de 1 hora.


p x X xe

x

x( ) Pr ( )

.!

= = =− λ λ x = 0, 1, 2, ...

µ = E(X) = λ = σ2 = Var(X)

= DP X =


Exemplo:

Se uma gota de água for depositada em uma lâmina e examinada ao

microscópio, o número de X de um tipo particular de bactéria presente em

uma gota d’água apresenta distribuição de Poisson. Suponha que o

número máximo dessa bactéria por gota de água seja 5. Se a média

desse conteúdo, em uma certa experiência, for de 2 bactérias em uma

única gota testada, pode-se esperar que o número máximo admitido seja

ultrapassado?

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