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Métodos Matemáticos en Física III
Ec. Diff-Deriv. ParEc.Ondas, Laplace, Poisson, Ec. Difusion
Problemas
ESTACIONARIOS o No estacionarios
PROCESOS FísicosEn 1D / 2D Ondas en solidos, gases o liquidos, Conduccion de calor,Electroestatica
Cond. ContornoCC1-3;CC para solución en infinito
Examen Parcial Oct.27 /2014 FORMULACION MATEMATICA
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
APL: 6.1 Oscilaciones transversales de una membrana rectangular (BORDES FIJOS)
Escojamos el sistema de coordenadas de tal manera que la membrana se encuentre enel cuadrante positivo con uno de sus vértices en el origen.
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
Ondas estacionarias
Es razonable pensar que, de entre todo el conjunto de movimientos permitidos, existan algunos de ellos en los que se conserve un determinado perfil de desplazamientos
Sustituimos en Ec. 1
=-
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
Tenemos que resolver 2 ecuaciones
Para que cumplan CC, necesitamos que:
2
3
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
Como contorno es perpendicular, podemos buscar auto funciones como
Para que cumplan CC anteriores, necesitamos que:
4
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
22 2
2
[ ] [ ] [ ] [ ]
1 1[ ] [ ] => -
>
-
=
d d d dXY XY Y X X Ydx dy dx dy
XY XY
d dX YX dx Y dy
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
Sustituyendo (4): v(x,y)=X*Y en Ec.3 obtenemos:
donde
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Autofunciones y autovalores ya hemos calculado antes:
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Entonces:
con
Ortoganalidad de autofunciones vnm
NOTA: se suman de cuadrados de frecuenciasPara obtener cuadrado de frec. angular total
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
Para cada nm tenemos ecuación
Con solución general ( autovalores son positivos)
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
Frecuencia mas baja
Tiene perfil
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Autovalores degenerados: ejemplo de membrana cuadrada
El perfil de desplazamientos asociado
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Movimiento de la membrana como superposición de ondas estacionarias
Suponemos Cond. Iniciales
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
Usando CI
Multiplicando por Y integrando entre 0Lx;Ly
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o
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
Analógicamente, de segunda CI (error en el libro APL)
1/nm
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
CLASE (1p):Membrana con bordes:2 libres + 2 fijosAutovalores+Autofuncones de problema SL
2 Problemas SL con CC
2
x
y
izquierdo: u(0,y)=0LIBRE derecho: u (a,y)=0
LIBRE abajo u (x,0)=0
arriba : u(x,b)=0
ttu c u
Fijo
Fijo
x
y
a
b
libre
libreFijo
Fijo
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
CLASE:Membrana con bordes:2 libres + 2 fijos
Problema SL (x)
2
n
2 2
xx
X(0)=0
( ) ( , )
0 izquierdo: u(0,y)=0 =>
LI X (a)BRE derecho: u (a,y)=0 =>=>
X (x)=Sen[ (2 1) ]2
[ (2 1)]
0
2
=
xx
u T t v x yv
vv XY
X XFijo
n xa
na
x
y
a
b
libre
libreFijo
Fijo
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
CLASE:Membrana con bordes:2 libres + 2 fijos
Problema SL (x)
2
m
y
2
2
y
0
LIBRE abajo u (x,0)=0 = Y (0)=0
Y(b)=0
>
arriba : u(x,b)=0 =>
(x)=Cos[ (2 1) ]2
yy
vv
v XY
Y Y
Fijo
Y m yb
x
y
a
b
libre
libreFijo
Fijo
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
Autovalores y autofunciones de problema SL:
2 2, [ (2 1)] [ (2 1)]
2 2
( , ) [ (2 1) ]*Cos[ (2 1) ]2 2
n m
nm
n ma b
v x y Sen n x m ya b
x
y
a
b
libre
libreFijo
Fijo
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
Membrana con TODOS bordes libres
Problema SL conCC
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
Auto función que corresponde a autovalor CERO
analógicamente con procedimiento anterior Encontramos lafrecuencia mas baja
Perfil correspondiente:
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
La frecuencia principal de una membrana cuadradacuyos extremos se pueden desplazar libremente se encuentra doblemente degenerada.
Con A,B arbitrarias
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
Metodo de Separación de Variables para resolver Ec. Fourier en 2D(Libro Asmar)
a
b
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
Aplicamos método de separación de variables
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
Aplicamos método de separación de variables
CC para variable espacial
= -2
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
Suma de funciones de variables independientes puede ser CONST solo que cada de estas funciones es CONST
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
Aplicamos método de separación de variables
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
Aplicamos método de separación de variables
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
Ec. diferencial para variable temporal
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SOLUCION GENERAL
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
Hallamos coeficientes de CI
Multiplicando por Y integrando de 0a
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como
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
Multiplicando por Y integrando de 0b
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Métodos Matemáticos en FísicaL.5B Método Fourier: membrana rectangular
Entonces