Post on 23-Nov-2015
Controlo de Sistemas No Lineares Exemplos 1
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Controlo de Sistemas No-lineares
J. Miranda LemosProfessor Associado (Agregado) do IST
2000
Controlo de Sistemas No Lineares Exemplos 2
J. Miranda Lemos IST-DEEC
Sumrio
Exemplos de Sistemas No LinearesComportamento de Sistemas Lineares e No LinearesPlano de estadoMtodo das isoclnicasTraado qualitativo das soluesOscilaes; Mtodo da Funo DescritivaSegundo Mtodo de LyapunovControladores para sistemas no lineares
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Exemplos de Sistemas No-Lineares
Objectivo: Mostrar que muitos sistemas de interesse prtico, em reas muito diversificadaspodem ser modelados como sistemas no lineares.
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Os sistemas lineares formam uma classe importante, para a qual vlido oPrincpio de Sobreposio
De acordo com o princpio de sobreposio, suponhamos que aplicamos a um dado sistema: primeiro uma entrada u1 , obtendo-se uma sada y1
em seguida, uma entrada u2 , obtendo-se uma sada y2 :
u1y1
u2 y2
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Sendo vlido para o sistema o princpio de sobreposio:Se aplicarmos a entrada u u1 2+ , obtm-se a sada y y1 2+
u2
u1 y1
y2
u u1 2+ y y1 2+
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Os sistemas lineares so muito importantes porque existe uma teoria muito completa sobre o seufuncionamento e projecto.
Isto possvel porque os sistemas lineares so definidos a partir de uma propriedade unificadoramuito forte:
O Princpio de Sobreposio.
No entanto, h muitos exemplos de sistemas importantes em engenharia do controlo para osquais no vlido o Princpio de Sobreposio.
Para estes sistemas (no lineares), no possvel ter uma teoria to completa e geral, mas hresultados muito importantes que encontram aplicao crescente.
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Exemplos de Sistemas no-lineares Motor elctrico
Vlvula com saturao
Campo de colectores solares
Brao robot
Reactor Qumico
Produo de Penicilina por fermentao
A estes exemplos poderiam ser acrescentados muitos outros, de interesse em Engenharia.De um modo geral, sempre que h variaes apreciveis do ponto de trabalho, todos ossistemas se comportam como no-lineares.H no entanto sistemas cujo comportamento apenas pode ser compreendido tendo em conta oseu carcter no-linear.
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Motor Elctrico de corrente contnuaUm motor elctrico de corrente contnua possui dois circuitos: Um circuito associado ao estator, que, quando percorrido por uma corrente elctrica cria um
campo magntico; Denomina-se circuito de campo Um circuito constituido pelos enrolamentos do rotor; Quando percorrido por uma corrente
(denominada corrente de armadura) actuado por uma fora (devida existncia de cargasem movimento no campo criado pelo circuito de campo) que fora o motor a girar.
H duas configuraes possveis para o controlo do motor:
Controlo pela corrente de armadura, em que a corrente do estator se mantm constante(um motor de imn permanente cabe nesta classe)
Controlo pela corrente de campo, em que a corrente do rotor se mantm constante
No exemplo seguinte considera-se a segunda alternativa.
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Controlo pela corrente de campo:
ArmaduraCampo
Fonte decorrenteconstante
i m
R
L
+
-
u if
u if
im
T
d idt
Ri uf f( )
+ = i f
T K i if m= ( )
J ddt
T Tres =
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Vlvula com Saturao e histerese
u Q
0 u[%] 1000
100u Q1
1+ s
Constante de tempo
No linearidade
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Campo de colectores solares
u=caudal
y=temperatura
A dinmica da relao entre o caudal de fluido a aquecer e a tremperatura sada depende doprprio caudal.A dinmica varia consoante a limpidez da atmosfera, e portanto consoante o caudal mdio.
Espelho
Por um tubo situado no foco de um espelho que concentra a luzsolar, circula um fluido (oleo, capaz de se manter no estadolquido at 300C).A energia solar armazenada neste fludo,
0 0.5 1 1.5 2 2.5150
200
250
300
t [h]
Tout
[C]
Fixed gains PID Fgs=11.0
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Produo de Penicilina por fermentaoMotor deagitao
Caldo deculturaAr
gua derefrigerao
Nutrientes eaditivos
Sada degua derefrigerao
dXdt
x S X FV
X
dPdt
S X FV
P k PdSdt
X S X FV
S FV
S
in
inh
in inin
=
=
= +
pi
( , )
( )
( , )
X a concentrao de BiomassaP a concentrao de PenicilinaS a concentrao de substractoFin o caudal de entradaV o volume do reactorAs taxas de crescimento , pi, dependem de X e S
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Reactor Qumico (CSTR)CSTR = Reactor qumico contnuo, bem agitado (h homogeneidade no espao, pelo que osistema pode ser descrito por equaes diferenciais ordinrias)
dcdt
FV
c c k e c
dTdt
FV
T T Jk e c kQ
A iAi A
E RTA
ii o
E RTA
=
= +
( )
( )
/
/
0
Motor deagitao
gua derefrigerao
Entrada doreagente A comconcentrao c
Sada degua derefrigerao
Mistura bemagitada
Concentrao c
D-se umareacoexotrmica A B
Sada doreactor
A B+calor
Ai
A
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Pontos de equilbrio do CSTR:
A
B
C
Temperaturado reactor, T
Calor gerado pelareaco
Calor extradopelo refrigerante
T1 T2 T2' T3
H trs pontos de equilbrio (A, B, C). Para estes, o calor gerado pela reaco igual ao calorremovidop pela gua de refrigerao.Os pontos A e C so estveis. O ponto B instvel.
Partindo do ponto de equilbrio B,suponhamosque h um ligeiro aumento de temperatura, quepassa a ser T2.Neste caso, o calor gerado pela reaco superiorao removido pelo refrigerante.A temperatura vai aumentar cada vez mais, peloque o ponto B instvel.
Algo de anlogo sucede se a temperatura diminuir.
O que acontece nos pontos A e C?
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Brao Robot
q
q
1
2
H q C q g q Tq q( ) ( , ) ( )
+ + =
Matriz 2 2 dos momentosde inrcia do manipuilador
Foras de CoriolisForas gravitacionais
Binrios externos(entradas do sistema)
Repare-se que o momento de inrcia visto pelo troo 1 do brao dependeda posio do troo 2. O sistema claramente no-linear.