Post on 29-Oct-2015
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 1/112
NP 007 - SINAIS E SISTEMAS
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 2/112
2
Nota de Aula – I – SINAIS E SISTEMAS
1. Introdução
Esta seção tem o objetivo de mostrar ao aluno, conceitos necessários para o
tratamento com Séries de Fourier e Integrais de Fourier e Laplace.
Nas próximas notas de aula começaremos a análise da série de da transformada
de Fourier.
2. Sinais
2.1 Sistema de Comunicação
Um sistema básico de comunicação é composto por transmissor, canal e
receptor, conforme mostra a figura a seguir:
Estação Trasnmissora Estação Receptora
CANAL
Figura 1 – Sistema de Comunicação
Este tipo de transmissão pode ser modelado matematicamente como:
x(t) y(t)
Y(f)X(f) Y(f)=X(f).H(f)
y(t)=x(t)*h(t)
Figura 2 – Representação de um sistema
O sistema acima permite esclarecer em grande parte o motivo de realizaremos a
análise de Fourier e Laplace.
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 3/112
3
A entrada sofrerá uma convolução no tempo com a resposta impulsiva do
sistema e produzirá uma saída como forma original alterada.
Na análise em freqüência ocorrerá uma multiplicação entre a entrada e a função
de transferência do sistema.
2.2 Classificação
a) Sinais contínuos e sinais discretos
Um determinado sinal x(t) é um sinal de tempo contínuo se ele for definido para
todo tempo t. A figura a seguir representa um sinal de tempo contínuo cuja amplitude ou
valor varia continuamente com o tempo.
0
x(t)
t
Figura 3 – Sinal de tempo Contínuo
Por outro lado, um sinal de tempo discreto freqüentemente é derivado de um
sinal de tempo contínuo fazendo-se uma amostragem do mesmo a uma taxa uniforme.
Digamos que T represente o período de amostragem e n represente um número quepossa assumir valores positivos e negativos. A amostragem de um sinal de tempo
contínuo x(t) no instante t = nΤ produz uma amostra de valor x(nΤ ). Pôr conveniência
de representação, escrevemos:
x[n] = x(nT), n = .......,-2,1,0,1,2,........
A figura a seguir detalha um sinal discreto.
x[n]
n
Figura 4 – Sinal de tempo discreto
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 4/112
4
b) Sinais pares e ímpares
Par - x(-t) = x(t) , para todo t
Ímpar - x(-t) = -x(t) , para todo t
c) Sinais periódicos e não periódicos
Periódico - x(t) = x(t+T) , para todo t
Aperiódico- qualquer sinal x(t) para o qual não haja nenhum valor de T para
satisfazer a condição da equação acima.
A figura abaixo mostra: a) sinal periódico, b) sinal não periódico
x(t)
t
-1 0
T
A
x(t)
0
T1
A
t
(a) (b)
Figura 5 - Onda quadrada com amplitude A, período T. Pulso retangular de
amplitude A e duração T1.
d) Sinais determinísticos e aleatóriosUm sinal determinístico é um sinal sobre o qual não existe nenhuma incerteza
com respeito a seu valor em qualquer tempo. Consequentemente, consideramos que os
sinais determinísticos podem ser modelados como funções de tempo completamente
especificadas.
Um sinal aleatório é um sinal sobre o qual há incerteza antes de sua ocorrência
real. Este tipo de sinal pode ser visto como pertencente a um grupo de sinais tendo cada
sinal do conjunto uma forma de onda diferente. O conjunto de cada sinal dentro do
conjunto tem certa probabilidade de ocorrência. O conjunto desses sinais é chamadoprocesso aleatório. O ruído gerado no amplificador de um receptor de rádio ou televisão
é um exemplo de sinal aleatório.
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 5/112
5
e) Sinais de energia e sinais de potência
( ) ( )∞
∞−−∞→
== dt t xdt t xE T
T T
22 /
2 /
2lim
( ) ( )−−
∞→==
2 /
2 /
22 /
2 /
2 11limT
T
T
T T
dt t xT
dt t xT
P
Um sinal é chamado de sinal de energia se e somente se a energia total do
sinal satisfizer a condição:
∞<< E 0
Um sinal é chamado de sinal de potência se e somente se a potência média do
sinal satisfizer a seguinte condição:
∞<< P0
As classificações de energia e potência de sinais são mutuamente exclusivas. Em
especial, um sinal de energia tem potência média zero, enquanto que um sinal de
potência tem energia infinita. É interessante observar também que sinais periódicos e
sinais aleatórios normalmente são vistos como sinais de potência, enquanto que os
sinais que são tanto determinísticos como não periódicos são sinais de energia.
2.3 Operações básicas em Sinais
a) Operação executadas na variáveis dependentes
1- Mudança de escala de amplitude : Se x(t) representa um sinal de tempo
contínuo, o sinal y(t) resultante da mudança de escala da amplitude aplicada a x(t) é
definida por:
( ) ( )t cxt y =
Em que c é o fator de mudança de escala. Um exemplo físico de um dispositivo
que executa mudança de escala de amplitude é um amplificador eletrônico.
2 - Adição : Digamos que ( ) ( )t xet x 21 representem um par de sinais de tempo
contínuo. O sinal ( )t y obtido pela adição de ( ) ( )t xet x 21 é definido por:
( ) ( ) ( )t xt xt y 21 +=
Um exemplo físico de dispositivo que adiciona sinais é o misturador de áudio, o
qual combina sinais de música e de voz.
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 6/112
6
3 - Multiplicação : Digamos que ( ) ( )t xet x 21 representem um par de sinais de
tempo contínuo. O sinal ( )t y resultante da multiplicação de ( ) ( )t xet x 21 é definido por:
( ) ( ) ( )t xt xt y 21 .=
Ou seja para cada tempo t prescrito, o valor de y(t) é dado pelo produto dos
valores correspondentes de ( ) ( )t xet x 21 . Um exemplo físico de y(t) é um sinal de rádio
AM, no qual ( )t x1 consiste de um sinal de rádio mais um componente dc(direct current
– corrente contínua), ( )t x2 consiste em um sinal senoidal chamado onda portadora.
4 - Diferenciação : Se ( )t x representa um sinal de tempo contínuo, a derivada de
( )t x com respeito ao tempo é definida por:
( ) ( )t xdt
d
t y =
Como exemplo, temos um indutor que realiza diferenciação. Digamos que i(t)
denote uma corrente que flui através de um indutor de indutância L, como mostra a
figura 6. A tensão v(t) desenvolvida no indutor é definida por:
( ) ( )t idt
d Lt v =
i(t)
v(t)
+
-
L
Figura 6 – Indutor com a tensão v(t) em seus terminais induzindo a corrente i(t).
5 - Integração – Digamos que x(t) denote um sinal de tempo contínuo. A integral
de x(t) com respeito ao tempo t é definida por:
( ) ( ) τ τ d xt y
t
∞−=
Em que τ é a variável de integração. Por exemplo, um capacitor realiza
integração. Digamos que i(t) denote a corrente que flui através de um capacitor de
capacitância C , como mostra a figura 7. A tensão v(t) desenvolvida através do capacitor
é definida por:
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 7/112
7
( ) ( ) τ τ d iC
t v
t
∞−
=1
i(t)
v(t)
+
-
C
Figura 7 - Capacitor com corrente i(t) induzindo a tensão v(t) em seus terminais.
b) Operação realizadas na variável independente
1 - Mudança de escala de tempo : Digamos que x(t) represente um sinal de
tempo contínuo. O sinal y(t) obtido pela mudança de escala da variável independente,
tempo t por um fator α, é definido por :
( ) ( )t xt y α =
Se α>1, o sinal y(t) é uma versão comprimida de x(t). Se, por outro lado,
0<α<1, ο sinal y(t) é uma versão expandida (estendida) de x(t). Estas duas operações
são ilustradas na figura 8.
1
1-1 0 t
1
0 t
1
2 -2 0 t
2
1−
2
1
)2
1()( t xt y =)2()( t xt y =)(t x
(a) (b) (c)
Figura 8 - Operação de mudança de escala de tempo: (a) sinal de tempo contínuo x(t),
(b) versão comprimida de x(t) por um fator de 2, e (c) versão expandida de x(t) por um
fator de 2.
2 - Reflexão : Digamos que x(t) represente um sinal de tempo contínuo. Se y(t)
representa o sinal observado substituindo-se o tempo t por –t , como é mostrado por:
( ) )( t xt y −=
O sinal y(t) representa uma versão refletida de x(t) em relação ao eixo de
amplitude. O dois casos a seguir são de especial interesse:
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 8/112
8
a) Sinais pares, para os quais temos x(-t) = x(t) para todo tempo t; ou seja, um
sinal par é o mesmo que sua versão refletida.
b) Sinais ímpares, para os quais temos x(-t) = -x(t) para todo tempo t; ou seja,
um sinal ímpar é o negativo de sua versão refletida.
3 - Deslocamento no tempo : Digamos que x(t) represente um sinal de tempo
contínuo. A versão de x(t) deslocado no tempo é definido por:
( ) )( 0t t xt y −=
Em que 0t é o deslocamento de tempo. Se 0t >0, a forma de onda que representa
x(t) é deslocada para a direita(atrasada), em relação ao eixo de tempo. Se 0t <0, ela é
deslocada para a esquerda(adiantada).
4 – Regra de procedência para deslocamento no tempo e mudança de escala de
tempo.
Digamos que y(t) represente um sinal de tempo contínuo que é derivado de outro
sinal de tempo contínuo x(t) através de uma combinação de deslocamento no tempo e
mudança de escala de tempo, como descrevemos aqui:
( ) )( bat xt y −=
Esta relação entre y(t) e x(t) satisfaz as seguintes condições:
( ) )(0 b x y −=
)0( xa
b y =
As quais permitem verificações úteis em y(t) em termos de valores
correspondentes de x(t). Devemos assim estabelecer uma ordem correta para realizar
estas operações. A ordem apropriada baseia-se no fato de que a operação de mudança
de escala sempre substitui t por α t, enquanto a operação de deslocamento no tempo
sempre substitui t por t-b. Deste modo, a operação de deslocamento no tempo é
executada primeiro em x(t), resultando em um sinal intermediário v(t) definido por:
( ) )( bt xt v −=
O deslocamento no tempo substituiu t em x(t) por t-b. Em seguida, a operação de
mudança de escala de tempo é executada em v(t). Esta substitui t por α t , resultando na
saída desejada
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 9/112
9
( ) ( )
( ) ( )bt xt y
t vt y
−=
=
α
α
Um exemplo prático é um sinal de voz registrado num gravador de fita
magnética. Se a fita for executada numa velocidade mais rápida do que a velocidade de
gravação original, obteremos uma compressão (isto é α>1). Se, por outro lado, a fita for
executada numa velocidade mais lenta do que a velocidade original, obteremos uma
expansão(isto é α<1). A constante b, supostamente positiva, é responsável por um
retardo na execução da fita.
Exemplo:
Considere um pulso retangular x(t) de amplitude unitária e duração 2 unidades
de tempo descrito na figura 9(a). Esboce y(t) = x(2t+3).
x(t)
0
1
t
(a)
v(t)=x(t+3)
0
1
t
(b)
y(t)=v(2t)
0
1
t
(c)-1 1 -3-4 -2 -1 -2-3 -1
Figura 9 - A ordem apropriada na qual as operações de escala de tempo e deslocamento
no tempo devem ser aplicadas. (a) Pulso retangular x(t)de amplitude 1 e duração 2,
simétrico em relação à origem. (b) Pulso intermediário v(t), representando uma versãode x(t) deslocado no tempo. (c) Sinal desejado y(t), resultante da compressão de v(t) por
um fator de 2.
2.4 –Sinais Elementares
a) Sinais Exponenciais
Um sinal exponencial em sua forma mais geral pode ser expresso como:
( ) at e Bt x .=
Em que tanto B como a são parâmetros reais. O parâmetro B é a amplitude dosinal exponencial medido no instante t=0. Dependendo de se o outro parâmetro “a” é
positivo ou negativo, podemos identificar dois casos especiais:
• Exponencial decrescente, para a qual a>0.
• Exponencial crescente, para qual a<0.
Estas duas formas de onda exponencial são ilustradas na figura 10.
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 10/112
10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.5
1
1.52
2.5
3
3.5
4
4.5
5
x(t)
tempo t(s)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 15
10
15
20
25
30
35
40
x(t)
tempo t(s)
(a) (b)
Figura 10 - (a)Forma exponencial crescente de sinal de tempo contínuo. (b)Forma
exponencial decrescente de sinal de tempo contínuo.
b) Sinal Senoidal Exponencialmente AmortecidoA multiplicação de um sinal senoidal por um sinal exponencial decrescente de
valor real resulta em um novo sinal, denominado sinal senoidal exponencial amortecido.
Especialmente multiplicar o sinal exponencial de tempo contínuo )sen( φ +wt A pelo
exponencial t e α − resulta no sinal senoidal exponencial amortecido:
( ) 0),sen( >+=− α φ α wt Aet x t
A figura 11 mostra a forma de onda do sinal do sinal correspondente a A=60,
06 == φ e . Para o tempo crescente t , a amplitude da oscilação senoidal decrescente
de maneira exponencial, aproximando-se de zero no tempo infinito.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
Figura 11 – Sinal senoidal exponencialmente amortecido )sen(wt e t α , com 0>α .
Os demais tipos de sinais serão tratados nos próximas capítulos.
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 11/112
11
3. Funções Singulares
3.1 Função Degrau
( ) ( )t uout U 1−
( ) (a)aDescontínu0,1
0,01 →=
>
<=− ot
t
t t U
( ) (b)aDescontínu,1
,01 →=
>
<=−− at
at
at at U
( ) (c)aDescontínu,
,0* 1 →=
>
<=−− at
at A
at at U A
U-1(t)
t
U-1(t-a)
a
1
t
A*U-1(t-a)
a
A
t
1
(a) (b) (c)
Figura 12 – Função degrau
3.2 Função Rampa
( ) ( )t r out U 2−
( ) ( ) (a)0,
0,012 t U t
t t
t t U −− =
≥
≤=
( ) ( ) ( ) (b),
,012 at U at
at at
at at U −−=
≥−
≤=− −−
U-2(t)
t
U-2(t-a)
a
1
t(a) (b)
0 0
Figura 13 – Função Rampa
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 12/112
12
3.3 Função Parábola
( ) ( )t sout U 3
( ) ( ) (a)20,
2
0,0
1
2
23 t U t
t t
t
t U −− =
≥
≤
=
( ) ( )( )
( ) (b)2,
2
,0
1
2
23 at U
at
at at
at
at U −−
=
≥−
≤
=− −−
U-3(t)
t
U-3(t-a)
a
1
t(a) (b)
0 0
Figura 14 - Função parábola
3.4 Função Impulso Unitário
( ) ( )t out U δ 0
( ) ( ) ( ) 0,0000
lim ≠==→
t t U t U t pa
( )∞
∞−
= 10 dt t U
1/a
a 0
p(t)
t 0
U o (t)
t
Figura 15 - Função impulso
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 13/112
13
3.5 Diagrama Representativo das Funções Singulares
U-1(t)U-2(t)
-2
U-3(t)
-3 0
U o (t)
1 2
U N (t)
n -1
U 1(t) U 2 (t)
( )t δ ( )t 'δ ( )t ''δ ( )t u( )t r ( )t s
Figura 16 – Funções Singulares
3.6 Decomposição em Funções Singulares
Seja a seguinte função f(t):
1
4320 51
-1
f(t)
t
1
4320 51
-1
f ' (t)
t
1
4
32
0
51
- 1
f '' (t)
t
2U 0 (t-4)
-U 0 (t-5)-U 0 (t-2)-U 0 (t-1)
U 0 (t)
Figura 17 – Decomposição em funções singulares
Após derivarmos a função f(t), o segundo passo é integrar o mesmo no de vezes
que derivamos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5040220100''
−−−+−−−−= t U t U t U t U t U t f , logo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5242222122 −−−−−+−−−−−−−= t U t U t U t U t U t f
realizando a síntese da função, teremos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5242222122 −−−−−+−−−−−−−= t U t U t U t U t U t f
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 14/112
14
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )51541422121111 −−−−−−−+−−−−−−−−−= t U t t U t t U t t U t t tU t f
( )
≥
≤≤−
≤≤+−
≤≤
≤≤
≤
=
5,0
54,542,3
21,1
10,
0,0
t
t t t t
t
t t
t
t f
___________________________________________________________
Prg – MatLab para geração de uma função impulso e uma função degrau, com
possibilidade de deslocamento no tempo.
Programa - Matlab
Função Degrau
function [x,n] = degrau(n0,n1,n2) % Gera x(n) = degrau(n-n0); n1 <= n,n0 <= n2
% [x,n] = degrau(n0,n1,n2)
if ((shift < n1)|(shift > n2)|(n1 > n2)) error('Use n1<=n0<=n2')
end
n = ([n1:n2]);
x = ([(n-shift) >= 0]);
axes('position',[0.05 0.05 0.6 0.4]);
plot(n,x); grid on; xlabel('n');ylabel('degrau unitario');
title('degrau unitario deslocado no tempo')
Função Impulso
function [x,n] = impseq(shift,n1,n2)
% Gera x(n) = delta(n-n0); n1 <= n,n0 <= n2
% [x,n] = impulso(n0,n1,n2)
if ((shift< n1)|(shift > n2)|(n1 > n2)) error('Use n1<=n0<=n2')
end
n =([(n1):(n2)]),
x =([(n-(shift)) == 0]),
axes('position',[0.05 0.57 0.6 0.4])
stem(n,x); grid on; xlabel('n');ylabel('impulso unitario');
title('impuso unitario deslocado no tempo')
__________________________________________________________
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 15/112
15
4. Números complexos
4.1.1. - Introdução
Esta seção é uma breve revisão sobre números complexos, fundamental para o
entendimento da análise de Fourier e Laplace:
• A análise de Fourier : sinal composto de parte real (R) e parte imaginária (I).
• Resumem equações usadas em DSP, e habilitam técnicas que seriam difíceis
ou impossíveis somente com números reais.
• Neste tópico será utilizado a matemática de números complexos e os modos
elementares de utilização na ciência e engenharia.
• Posteriormente será discutido técnicas baseadas nos números complexos
como : Transformada complexa de Fourier e Transformada de Laplace.
• Um propriedade importante é que os números complexos e representam, e
manipulam duas variáveis como uma quantidade única, representado por
duas partes.
NÚMERO COMPLEXO
PARTE REAL + PARTE IMAGINÁRIA
• Números complexos Originam um plano de duas dimensões chamado
plano complexo
• j=−1
1j2j3j4j5j
6j
-6j-5j-4j-3j-2j-1j
Imaginário
Real1 2 3 4 5 6
-5 -4-3 -2 -1-6
A
B
C
III
III IV
2+j6
-4-j2
3-j5
Figura 18 – Plano complexo
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 16/112
16
• Utilizando os seguintes operadores: Re(.) e Im(.) obtém-se uma separação do
número complexo em parte real e imaginária respectivamente.
5Im,3Re
2Im,4Re
6Im,2Re
−==
−=−=
==
C C
B B
A A
• O operador Im(.) não inclui o j: Im(2+j6) é igual a 6 , e não j6 .
• Uma das finalidades dos números complexos é meramente providenciar um
modo formalizado de guardar duas componentes num único vetor.
4.1.2. - Propriedades
• Adição
( ) ( ) ( ) ( )d b jca jd c jba +++=+++
• Subtração
( ) ( ) ( ) ( )d b jca jd c jba −+−=+−+
• Multiplicação
( )( ) ( ) ( )ad bc jbd ac jd c jba ++−=++ .
• Divisão
( )( )
+
−+
+
+=
+
+2222 d c
ad bc j
d c
bd ac
jd c
jba
As próximas propriedades são derivadas pela “quebra” de cada uma das
variáveis dentro de partes reais e imaginárias. Trabalhando com álgebra obtemos:
• Comutativa
BA AB =
• Associativa
( ) ( )C B AC B A ++=++
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 17/112
17
• Distributiva
( ) AC ABC B A +=+
4.1.3. - Manipulação
• 1) 1,,1,1 432=−=−==− j j j j j
• 2) Eliminando o termo do denominador de uma fração.
• É realizado pela multiplicação do numerador e denominador pelo termo
chamado complexo conjugado.
• Complexo conjugado é o nome geral dado quando comutamos o sinal da
parte imaginária do número complexo.
Exemplo:
jba Z jba Z −=+=*
θ θ j j er jba Z er jba Z −=−==+=
*
• O produto de um número complexo por seu conjugado é sempre um número
real.
4.1.4. - Representação
• Notação : - Retangular
- Polar
4.1.4.1. – Retangular
( ) ( ) Z j Z jba Z ImRe +=+=
4.1.4.2. – Polar
( )( )( )
=
+=
∠=
Z
Z arctg
Z Z M
M Z
ReIm
)Im(Re22
θ
θ
• Magnitude Comprimento do vetor começando na origem e terminando no
ponto complexo.
• Angulo de fase Medida entre este vetor e o eixo real positivo.
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 18/112
18
4.1.5.- Conversão Retangular ⇔ Polar
A figura a seguir mostra um diagrama no plano complexo com todas as
variáveis.
Imaginário
Real
Z b
a
M ( )θ sen M
( )θ cos M
θ
Figura 19 – Plano Z
Retangular Polar
0
22
θ
θ
∠
=+=
M
a
barctgba M
Polar Retangular
( ) ( )
jba
M b M a
+
== θ θ sen.cos.
Assim a mudança do número complexo da forma ( ) ( )ZImeZRepara e θ M ,
ficará:
( ) ( )
( ) ( )θ
θ
senIm
cosRe
M Z
M Z
=
=
Na forma retangular a informação é carregada nas variáveis: a e b, mas a
propriedade do número complexo é a expressão inteira: a + jb.
Na forma polar a informação esta contida em : M e θ . A pergunta é: Qual a
expressão útil para o número complexo:( ) ( )( )θ θ sencos j M jba +=+
A equação chave na utilização de números complexos em engenharia é a relação
de Euler .
( ) ( ) x j xe jx sencos +=
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 19/112
19
Reescrevendo ( ) ( )( )θ θ sencos j M jba +=+ usando Euler, resulta no mais útil
modo de expressar um número na notação polar, denominado exponencial complexa.
θ je M jba =+
Ou( ) ( )( )θ θ θ θ sencos j M M e M jba j
+=∠==+
Números complexos nesta forma são utilizados na matemática para modelar
sistemas em comunicações.
Uma das razões da utilização desta forma exponencial, é o fato de ser muito
simples de multiplicar e dividir números complexos.
• Multiplicação
( )21212121
θ θ θ θ +=⋅
j j j e M M e M e M
• Divisão
( )21
2
1
2
1
2
1 θ θ
θ
θ −
=
j j
j
e M
M
e M
e M
Para a Adição e subtração é mais conveniente convertermos para a forma
retangular, realizando as operações necessárias, e depois reconverter para a forma polar.
4.1.6. - Identidades Importantes
2*. M Z Z =
( ) ( ) j
Z Z Z
Z Z Z
2Im
2Re
**−
=+
=
( )2
cosθ θ
θ j j ee −+=
( ) j
ee j j
2sen
θ θ
θ −
−=
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 20/112
20
( ) ( )( ) y j yee x Z sencos. +=
4.1.7. - Representação Complexa de Senóides
Em eletrônica e processamento de sinais, os números complexos são muito
importantes porque eles são um modo compacto para representar e manipular a mais útil
de todas as formas de onda: seno e coseno
Forma convencional de representar uma senóide:
( )
( ) ( ) Retangularsencos
Polarcos
+
+
wt Bwt A
wt M φ
( ) ( )
-bB eaA
complexo)(número al)convencionação(represent
Retangularsencos
↔↔
+⇔+ jbawt Bwt A
Isto não é uma equação, mas sim um modo de fazer um número complexo
representar uma senóide.
( )
φ θ
φ θ
- eMM
complexo)(número al)convencionação(represent
Polarcos
↔↔
⇔+je M wt M
Estas mudanças no sinal da parte imaginária e o ângulo de fase é realizada para a
substituição aparecer na mesma forma da transformada complexa de Fourier.
Isto pode é permitido pois muitas das regras e leis que governam os números
complexos são as mesmas que governam as senóides. Porém, duas condições devem ser
satisfeitas:
1) Todas as senóides precisam ter a mesma freqüência.
2) As operações representadas precisam ser lineares.
Ex: convolução, análise de Fourier.
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 21/112
21
Exemplos:
( ) ( ) 11213,21213,2sen1213,2cos1213,2
34
wt3cos
complexa)ação(Represent al)convencionação(represent
4
jwt wt
ej
+↔−
↔
+
−π
π
O método de substituição de números complexos por ondas coseno e seno é
chamada transformação fasorial. Mais formalmente os engenheiros elétricos definem
transformação fasorial como uma multiplicação por um termo complexo : jwt e , tomando
a parte real.
4.1.8. - Teorema de Moivre
Afirma que para neθ arbitrários, onde n é inteiro
( ) ( )( ) ( ) ( )θ θ θ θ n jn j n sencossencos ±=±
Em particular se n é inteiro positivo:
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )θ θ θ θ
θ θ θ θ
n jn j
n jn jn
n
−±−=±
±=±
− sencossencos
sencossencos
( ) ( )
( ) ( ))sen(cos
)sen(cos
θ θ
θ θ
n jnr Z
n jnr Z
nn
nn
−=
+=
−−
Exemplo:
( )( )
31638416384
321
21
32768
300sen300cos32768
3003276860.5834400
0055
j
j
j
j
−=
−=
+=
∠=∠=+
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 22/112
22
Série de Exercícios
1)Usando a relação de Euler deduzir as seguintes expressões:
a) ( )θ θ θ j j ee −+=
2
1cos
b) ( )θ θ θ j j ee j
−−=
2
1sen
c) ( )θ θ 2cos12
1cos2
+=
2)Usando a relação de Euler ou a figura abaixo:
x
θ
¡
y
x
(a) Determine a expressão para x e y em termos de θ er .
(b) Determine expressões para θ er em temos de x e y.
3)Façamos z0 ser um número complexo com coordenadas polares 00 θ er e
coordenadas cartesianas x0, y0 . Determine expressões para as coordenadas cartesianas
dos seguintes números complexos em termos de x0 e y0. Esboce os gráficos de z1, z2, z3
em um plano complexo quando 4,2 00π θ ==r e quando 2,2 00
π θ ==r . Indique em
seu gráfico a parte real e imaginária.
000 θ ∠= r Z 2
0
2
00 y xr +=
000 jy x Z += 0
00 x
yarctg=θ
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 23/112
23
==
==
2,2
4,2
0
0
π θ
π θ
r
r , indicando no gráfico a parte real e imaginária
y
x0θ
0r
0 y
0 x
a) θ jer Z −= .01
b) 02 r Z =
c) ( )π θ +
= 0.03 jer Z
4) Façamos z representar uma variável complexa
θ jre jy x z =+=
O complexo conjugado de z é representado por z* sendo dado por
θ jre jy x z −=−=*
Derive cada uma das relações abaixo, onde z, z1 e z2 são números complexos
arbitrários:
(a)2
*. r z z =
(b) θ 2
* je
z
z=
(c) ze z z ℜ=+ .2*
(d) z j z z Im.2* =−
(e) ( ) *2
*1
*21 z z z z +=+
(f)*
2
*1
*
2
1
z
z
z
z=
(g) 22
21
221 .. z z z z =
(h)2
1
2
1
z
z
z
z=
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 24/112
24
5) Expresse cada um dos seguintes números complexos na forma cartesiana e
faça o gráfico no plano complexo, indicando a parte real e parte imaginária de
cada número.
(a) j
j
2143
−
+
(b)( )
( )( ) j j
j j
−+
+
21
2
(c)( )( ) j
j j
−
+
31
22
(d) 4 / 4 π je
(e) ( )4 / 25.2 π je
(f) ( )4 / 11π j je
(g) ( ) ( )π π 74 23 j j ee +
6) Expressar cada um dos seguintes números complexos na forma polar e plotar
eles no plano complexo, indicando a magnitude e ângulo de cada número.
(a) 31 j+ b) -5
(c)5-5j d )3+4j
7) Dado o complexo Z construa o gráfico:(a) de seu conjugado
(b) (z1+z2)* = z1* + z2*
(c) (-z2)* = - z2* , (z1-z2)* = z1* - z2*
Referências Bibliográficas
Alan V. Oppenheim, “ Signals and Systems”, Editora Prentice Hall International
“Notas de aula 1” – seção 4 – Números Complexos.
Simon Haykin, “ Sinais e Sistemas”, Editora Bookman.
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 25/112
25
Notas de Aula – II - SINAIS E SISTEMAS
5. - Funções Periódicas
5.1 - Definição
Uma função y = f(x) se diz periódica quando existe um número positivo T, tal
que:
x x f T x f dealorqualquer vpara)()( =+ (2.1)
Ainda posso dizer que p menor T que satisfaz a equação anterior denominamos
“período primitivo” da função.
Exemplos:
a) y=sen(x)
b)
x
-1 0 1 2 3 4 5
T=2
A B
C E
D F
G H
I J
5.2 - Onda
É a porção da curva representativa da função periódica compreendendo em
período. No gráfico anterior ABCDE ; BCDEF.
5.3 - Função Periódica Alternada
Uma função y = f(x) se diz periódica alternada quando cada onda é constituída
de duas semi - ondas, de tal modo que:
x x f T
x f dealorqualquer vpara)()2
( −=+ (2.2)
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 26/112
26
Exemplo:
a)
1
-1
x1 2 3 4-1-2
y(x)
Aplicando a equação 2.2, verificamos que a função é periódica alterna alternada.
Por inspeção também é possível obter este mesmo resultado.
5.4 - Propriedades das Funções Periódicas1 - Se T é o período de uma função f(x), então também será período o número
nT , onde : nn ±±±±= ..,,.........3,2,1 .
( ) ( )nT x f x f += (2.5)
2 - Se T é o período de uma função f(x), então também será período das funções:
( ) ( ) ( ) constanteumaékonde,.→++
k x f ek x f x f k
(2.6)
3- Se f 1(x) e f 2(x) são funções periódicas de mesmo período T , então as funções
f 1(x)+f 2(x) e f 1(x)-f 2(x) também são periódicas de mesmo período T .
4 - Se f 1(x) e f 2(x) são funções periódicas de mesmo período T , então as funções
f 1(x) * f 2(x) e f 1(x) / f 2(x) admitem o período T .
Exemplos:
a)
( ) ( )
( ) ( ) π
π
2cos2
2sen1
==
==
T x x f
T x x f (2.7)
b)
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 27/112
27
( )
( )( ) π π π π 3,2,1,1
2
1±±±=== nT T xtg
x f
x f (2.8)
5 – Se Té o período de f(x), também o será de f’(x).Exemplo:
a)
( )
( ) ( ) π
π
2cos'
2)sen(
==
==
T x x f
T x x f (2.9)
6 – Se f(x) é uma função periódica de período T , então:
( ) ( )++
=T b
b
dx x f T a
a
dx x f (2.10)
5.5 - Freqüência
Denomina-se freqüência de uma função periódica f(x) de período T ao inverso
do período e denota-se:
T f
1= (2.11)
5.6 - Pulsação
Seja a função y = sen(wx), seu período w
T π 2
= :
f T
w π π
22
== (2.12)
Ao número w, inteiro ou fracionário, denomina-se pulsação ou freqüênciaangular.
Ela representa o número de períodos contidos em 2π , ou seja o número de
ondas contidas em 2π .
Exemplo:
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 28/112
28
( )3
233sen2
π == T w x (2.13)
5.7 - Forma Geral das Funções Senoidais ou Harmônicas
5.7.1.- - Noção Elementares
As funções senoidais são de forma geral:
( )ϕ ++= wx A y y sen0 (2.14)
ou
( )ϕ ++= wx A y y cos0 (2.15)
Onde:y0 – Valor médio da função
A – Amplitude - 0 y y A MÁX −=
W – Pulsação -T
wπ 2
=
ϕ - Fase inicial
t(s)
Amplitude
y0
a b
y0
a b
f(x)
x
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 29/112
29
( ) ( )dx
b
a
x f ab y =−0 (2.16)
( )( )dx
b
a
x f ab
y −= 10 (2.17)
Para funções periódicas :
( )dx
T d
d
x f T
y +
=1
0 (2.18)
Exemplos:
1 – Encontre o valor médio da seguinte função f(x):
Solução
π 2 π 3 π 4π π −π 2−π 3−π 4− 0
f(x)
x
5
A equação da reta é: xπ
5, assim:
2
502
5.0*
10 === y y Área
T y
π π 2.19
Ou,
( ) 2
5
02
2
2
5
002
2
2
5
00
5
*0
1
0 ===−=
=
y y
x
y xdx y
T
π
π
π
π
π
π π
π
2.20
2) Encontre ϕ ,,,,, 0 w y A f T da função: )3(sen21 2 x y +=
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 30/112
30
Solução
01263
23
36
2
)6cos(22
)6cos(121
0=∴=∴=∴==∴=∴==
∴−=∴
−+=
ϕ π
π
π
π π
A yww f T T
x y x
y
5.8 - Funções Pares e Funções Ímpares
Uma função f(x) definida em um intervalo I , se diz par, neste intervalo, quando:
( ) ( ) Iqualquer x, ∈=− x f x f (2.21)
E ímpar quando:
( ) ( ) Iqualquer x, ∈−=− x f x f (2.22)
Exemplos:
1) ( ) ℜ∈= x,2 x x f
( ) ( ) ( ) PAR x f x x x f ==−=−22
2) ( ) 20,2<<= x x x f
Não é par nem ímpar
3) ( ) )cos( x x f =
Par(simetria em relação ao eixo y)
4) ( ) )sen( x x f =
ímpar(simetria em relação a origem)
5.8.1.- Propriedades
Se I(x) - é impar e P(x) – par, então:
1) ( ) ( ) ( ) xP xP xP =21 .
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 31/112
31
2) ( ) ( ) ( ) xP xP xP =21 /
3) ( ) ( ) ( ) xP x I x I =21 /
4) ( ) ( ) ( ) x I x I xP =11 .
5) ( ) ( ) ( ) x I xP x I =11 .
6) ( ) ( ) ( ) xP x I x I =21 /
7) ( ) ( ) ( ) x I xP x I =11 /
8) ( ) ( ) −
=
a
a
a
dx xPdx xP
0
2
9) ( )−
=
a
a
dx x I 0
5.8.2. - Decomposição
Se f(x) é uma função que não é nem par nem ímpar, podemos decompor em duas
partes:
( ) ( ) ( ) x I xP x f += (2.23)
( ) ( ) ( ) x I xP x f −+−=− (2.24)
( ) ( ) ( ) x I xP x f −=− (2.25)
Somando 2.23 e 2.25 obtemos,
( )( ) ( )
2
x f x f xP
−+= (2.26)
Subtraindo 2.23 e 2.25, temos,
( ) ( ) ( )2
x f x f x I −−= (2.26)
Exemplo :
Encontre as componentes par e ímpar da função indicada a seguir:
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 32/112
32
f(x)
x
1
10
f(x)
x -1
1
0
(a) (b)
(a)
( )
≥
≤≤+−
≤
=
1,0
10,1
0,1
x
x x
x
x f
(b)
( )
≥
≤≤−+
−≤
=
0,1
01,1
1,0
x
x x
x
x f
Assim,
( )
≥
≤≤+−
≤≤−+
−≤
=
1,2
1
10,2
2
01,2
2
1,21
x
x x
x x
x
xP
( )
≥−
≤≤−
≤≤−−
−≤
=
1,2
1
10,2
01,2
1,21
x
x x
x x
x
x I
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 33/112
33
P(x)
x
1/2
I(x)
x
1/2
-1/2
-1
1
5.9 - Funções Seccionalmente Contínuas
Uma função f(x) é seccionalmente contínua num intervalo[a,b] se a subdivisão
deste intervalo em N partes fizer com que a função f(x) em cada subintervalo fique
contínua com limites laterais finitos:
b
f(x)
xa x
1 x2
6. – Convolução
6.1 - Definição
É uma operação matemática importante que explica vários aspectos físicos dos
sinais em um sistema.
Como exemplo pode-se considerar um canal de comunicação, onde um sinal na
entrada é modificado pela ação do canal de comunicação.
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 34/112
34
Este tipo de transmissão pode ser modelado matematicamente como:
( ) ( ) ( )t ht xt y ∗=
( ) ( ) ( ) τ τ τ d t h xt y −= ∞
∞−
.
Exemplo: Calcule a seguinte integral de convolução entre dois sinais:
a)
( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]22 −−+=
=
∗=
−
t ut ut xt uet h
t ht xt y
t γ
b)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]1
1
−−=
−−=
∗=
t ut ut x
t ut ut h
t ht xt y
x(t) y(t)
Y(f)X(f)Y(f)=X(f).H(f)
y(t)=x(t)*h(t)
Estação Trasnmissora Estação Receptora
CANAL
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 35/112
35
6.1.1.Resposta ao impulso em um sistema linear
( ) )(t ht y =
( ) ( )t t x δ =
h(t)0 T4T0
h(t)
( )t x0 T ?
( ) ?=t y
0 2T 0 5T
0 3T
0 3T
0 3T?
)(t h( )t x
0 3T
( ) ( ) )(t ht xt y ∗=
Resposta ao impulso
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 36/112
36
7. - Propriedades da Função Impulso
7.1 - Definição
Algumas considerações são interessantes de serem abordadas sobre esta função,que
pode ser muito útil na análise de Fourier .
( ) ( ) ( )∞
∞−
= 0..)1 φ φ δ dt t t
( ) ( ) ( ) ( )t f t t f δ δ .0.3 =
( ) ( )t t δ δ =−)4
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )t t f t t f t t f δ δ δ ...)5 '''+=
( ) ( ) ( )∞∞
∞−
=
0
...)6 dt t dt t t u φ φ
( ) ( ) ( )t f t t f =δ *)7
( ) ( ) ( )00*)8 t t f t t t f +=+δ
( ) ( )
=∞
≠=
0,
0,0
t se
t set t U o δ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ooo t dt t t t dt t t t φ φ δ φ δ =+=− ∞
∞−
∞
∞−
....2
( )∞
∞−
=1.dt t δ
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 37/112
37
8. Propriedades dos Sistemas
8.1 – Estabilidade
Diz-se que um sistema é do tipo BIBO(Bounded Input Bounded Output) se aentrada limitada produz uma saída limitada. A saída não diverge se a entrada não
diverge.
( ) ∞<≤ y M t y
Sempre que o sinal de entrada x(t) respeita a condição:
( ) ∞<≤ x M t x
8.2 – Causalidade
Diz-se que um sistema é do tipo causal se o valor atual do sinal de saída
depende somente dos valores presentes e/ou passados do sinal de entrada.
8.3 – Linearidade
Diz-se que um sistema é do tipo linear se ele satisfaz o princípio da
superposição.
( ) ( ) ( ) ( )( )321321 .... aaat xt xat xat xa ++=++
y
x
0
y
x
0-3
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 38/112
38
8.4 – Memória
Diz-se que um sistema possui memória se sua saída depender de valores passado
do sinal de entrada.
Caso Contínuo:
Resistor: sem memória
Indutor: com memória
Caso Discreto:
Adição: Sem memória
Filtro: Com memória
8.5 – Invariância no tempoDiz-se que um sistema é invariante(IT) no tempo se um retardo de tempo ou
avanço de tempo do sinal de entrada levar a um deslocamento idêntico no sinal de saída.
8.6 – Montagem de um Sistema
Um sistema consiste em diversos subsistemas conectados, como mostra a figura.
Encontra saída y(t) supondo que a entrada seja um pulso retangular de duração de 1s.
x
y
( ) ( )21 −= t xt y
2 3
1=∆
x
y
( ) ( )32 −= t xt y
3 4
1a
2a
3a
+ x ( )t y
+x ( )t y
1a
2a
3a
x
x
( )t x
( )t x
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )t xt y H
t xt y H
t xt y H
21:
:
1:
33
22
11
+=
=
−=
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 39/112
39
H 2
H 1
+
+
-
+( )t x ( )t y
+
+
H 3
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 40/112
40
___________________________________________________________
Programas - Matlab
(1)Espelhar function [y,n] = espelhar(x,n)% implementa y(n) = x(-n)% [y,n] = espelhar(x,n)y = fliplr(x); n = -fliplr(n);
(2)Par-Impar function [xp,xi,m]=parimpar(x,n)% Decomposiçao de sinal real em partes pares e impares%[xp,xi,m]=parimpar(x,n)if any(imag(x)~=0)
error('x nao e uma sequencia real')endm=-fliplr(n);m1=min([m,n]);m2=max([m,n]);m=m1:m2;nm=n(1)-m(1);n1=1:length(n);x1=zeros(1,length(m));x1(n1+nm)=x;x=x1;xp=0.5*(x+fliplr(x));xi=0.5*(x-fliplr(x));
(3)Cos-Sen
% senos e cosenos% "flower petal"theta = -pi:0.01:pi; % faixarho(1,:) = 2*sin(5*theta).^2;rho(2,:) = cos(10*theta).^3;rho(3,:) = sin(theta).^2;rho(4,:) = 5*cos(3.5*theta).^3;for i = 1:4polar(theta,rho(i,:)) % saída gráficapauseend
RELAÇÕES ÚTEIS
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 41/112
41
θ θ
θ θ
2cos2
1
2
12cos
2cos2
1
2
12sen
+=
−=
( )
( )
( ) 3232333
3232333
2222
babbaaba
babbaaba
bababa
−+−=−
+++=+
++=+
bababa
abbaba
sensencoscos)cos(
cossencossen)sen(
=±
±=±
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 42/112
42
Notas de Aula III – ANÁLISE DE FOURIER
9. Introdução à Análise de Fourier
Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) foi um matemático e físico,celebrado por iniciar a investigação das Séries de Fourier e a sua aplicação aos
problemas da condução de calor. A Transformada de Fourier também foi assim
designada em sua homenagem.
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 43/112
43
A análise de Fourier têm muitas aplicações em vários ramos científicos, Física,
Teoria dos números, Teoria das probabilidades, Processamento digital de sinais, Óptica,
Acústica, Geometria, etc...
Engenharia de Telecomunicações:
• TV digital(OFDM)• Padrão DVB-T• Padrão ISDB-T• Wimax IEEE 802.16• Processamento digital de sinais• Modulação de sinais analógicos
• Modulação de sinais digitais• Amostragem dos sinais• Conversores ADC / DAC• Filtragem de sinais
9.1 Conceito
7.1.1. Série de Fourier:
senoidasesCompoenent PERIÓDICAFUNÇÃO
7.1.2. Transformada de Fourier:
PERIÓDICOS NÃOSINAIS
sinalumdeEspectrodaTransformaSérie +
Espectro:
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 44/112
44
1. Descreve o conteúdo de freqüência do sinal,2. Mais conveniente que a descrição do sinal no domínio do tempo.
9.2 Condições de Dirichlet
São condições que quando satisfeitas garantem a convergência em média da
série generalizada de Fourier para a sua função f(t), definida no intervalo : bt a ≤≤
assim se:
1) A função f(t) tem um número finito de descontinuidades num período.2) A função f(t) tem um número finito de máximos e mínimos num período.3) A função f(t) é absolutamente integrável em um período, isto é.
∞<=b
a
finitadt t f )(
Dizemos que uma função f(t) é seccionalmente contínua no intervalo finito
[-T/2,T/2] se ela satisfizer às condições (1) e (2).
Assim podemos dizer que a série generalizada de Fourier , converge em média
para f(t), se t é um ponto de continuidade e para( ) ( )
2−+
+ t f t f , se t é um ponto de
descontinuidade (Fenômeno de Gibbs).
9.3 Série Trigonométrica de Fourier
Qualquer função f(t) de período T que satisfaça as condições de Dirichlet, pode
ser expandida em uma série trigonométrica de Fourier , da seguinte forma:
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 45/112
45
( ) .......2sensen....2coscos2 2121
0 ++++++= wt bwt bwt awt aa
t f 7.1
ou
( ) ( )
∞
=
++=
1
0 sencos2n
nn nwt bnwt aat f 7.2
onde
( )−
=
2 /
2 /
0
2T
T
dt t f T
a ( ) ( )−
=
2 /
2 /
cos2
T
T
n dt nwt t f T
a ( ) ( )−
=
2 /
2 /
sen2
T
T
n dt nwt t f T
b
a0 /2 é o valor médio de f(t) em um período.
Em geral, não é necessário que o intervalo de integração destas expressões seja
simétrico em relação à origem. A única exigência é que a integral seja
considerada em todo o período.
9.4 Série Exponencial Complexa de Fourier
Para expressarmos o conceito da série de Fourier de forma compacta e mais
adequada, adotaremos a forma conhecida como série exponencial de Fourier, que
explora a relação existente entre seno, coseno e a função exponencial, conhecida como
fórmula de Euler , a qual é mostrada a seguir:
( )
∞
−∞==
n
t on j
n eF t f
...
.
ω
( )
−−
=
20
20
...
.
1
T
T
t on j
n dt et f T F
ω
Fourier de complexos escoeficientnF
Algumas informações são importantes de serem observadas.
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 46/112
46
• Um sinal periódico contém todas as freqüências (+ e -) que são harmonicamenterelacionadas com a fundamental f = 1/T .
• Freqüências negativas – modelo matemático.
• Funções complexas – descrição matemática compacta.• Sinal periódico – Série de Fourier Complexa.• f(t) com período T possui componentes nas freqüências ,3,2,,0 f f f ±±± • Freqüência fundamental f = 1/T .• Componentes de freqüência – espectro de freqüências.• Na série de Fourier o espectro é discreto.• Sinal periódico pode ser especificado de dois modos equivalentes:
Representação no domínio do tempo.
Representação no domínio da freqüência.
• Ambas as relações são inter-relacionadas:
FreqüênciaTempo ⇔
complexonúmeronF ( )( )nF jn eF arg
nF=
( )t f n-ésima deharmônicacomponentedaamplitudeFn
( )t f f dediscretoamplitudedeespectroFGráfico n ×
( ) ( )t f f dediscretofasedeespectroFargGráfico n ×
Caso f(t) for periódica e real, então:
Par funçãoF n =− nF ( ) ( ) Ímpar FunçãoF F nn −−= argarg
Exercício: Encontre a série exponencial de Fourier do trem de pulsos retangulares de
com duração T e período T 0.
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 47/112
47
( )
≤≤−
=
fora,022
, 00 T t
T A
t x
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 48/112
48
Nota de Aula – IV – ANÁLISE DE FOURIER
8. Transformada de Fourier
8.1. Conceito
Considere a figura a seguir.
Para entenderemos a transformada de Fourier faremos algumas modificações noprimeiro sinal no sentido de torná-lo não periódico e montaremos uma análise. Assim,observando a série exponencial tem-se:
( ) ∞
−∞=
=
n
t own jn eF t f .... ( 1 )
( )−
−=
2
2
....1
T
T
t own jn dt et f
T F ( 2 )
Fazendo : wharmônicosentredistância,. ∆== wwn o
wwT
o ∆=
π π 22 ( 3 )
( ) ( ),....2,,0,. .. wwweF t f w
w
t w jn ∆±∆±==
∞=
−∞=
( 4 )
( )−
−∆=
2
2
....2
T
T
t w jw dt et f
wF
π ( 5 )
( )t f p
t
0
2
0T
2
0T −
( )t f
t
0
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 49/112
49
Relacionando 4 em 3, tem-se
( ) ( ) ∞
−∞=
−
−
∆
=
w
t w jt w j
T
T
edt et f w
t f ....
2
2
..2π
( 6 )
( ) ( ) wedt et f T
t f w
t w jt w j
T
T
∆
= ∞
−∞=
−
−
...1 ....
2
2
( 7 )
Quando →→∆∞→ ,, dwwT
( ) ( )
=
∞
∞−
−
∞
∞−
dwedt et f t f t w jt w j ....2
1 ....
π ( 8 )
A equação acima é chamada de Intergral de Fourier , onde :
Transformada “Direta” de Fourier
( ) ( ) ( )[ ]t f dt et f wF t w jℑ≅∆
−
∞
∞−
.... ( 9 )
Transformada “Inversa” de Fourier
( ) ( ) ( )[ ]wF dwewF t f t w j 1....2
1 −
∞
∞−
ℑ≅∆ π ( 10 )
( ) ( ) ( )[ ]t f jwF wF ℑ== ( 11 )
Em geral :
( ) ( ) ( ) Retangular→+= w jX w RwF ( 12 )
( ) ( ) ( ) Polar..
→=w jewF wF θ ( 13 )
Onde :
( ) ( ) ( )w X w RwF 22+= ( 14 )
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 50/112
50
( )( )( )
( )( )w R
w X tg
w R
w X arctgw 1−
==θ ( 15 )
Onde:
( ) AmplitudesdeEspecroGráfico →→wF ( 16 )
( ) fasedeEspectroGráfico →→wθ ( 17 )
Exemplos1) Construir o espectro de amplitudes da seguinte função:
f(t)
t
A
0 d
Solução
( ) ( ) ( ) −
∞
∞−
−=→=
d
t w jt w j dt e AwF dt et f wF 0
.... ....
( ) ( )
−−
−=→
−=
−−−
w j
e
w j
e AwF
w j
e AwF
w jd w jd
t w j
...
..
0....
0
..
( ) ( ) ( )
−
=→−=
−
−
2...
.2
2
2..1.
2
..
2
..
2
..
2
..
2
..
..
d w j
d w j
d w j
d w j
d w j
d w j ee
ew j
AwF
e
eew j
AwF
( )
−
=
−−
j
ee
w
e AwF
d w j
d w j
d w j
.2.
..2 2
..
2
..
2
..
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 51/112
51
( ) ( )( )
( )( )
x
x
x
d w
w
e AwF
d w j
.
.senxSincou
xsenxSa:obs,
2
.sen.
..2 2
..
π
π ==
=
−
( ) ( )
=→
= −−
2....
2
.2
.sen
... 2
.
.2
.
. d wSaed AwF d w
d w
ed AwF d w
j
d w
j
Logo :
( ) 2
..
.2
...
d w j
ed w
Sad AwF −
= ( 18 )
Como:
( ) ( ) θ ..
jewF wF == ( 19 )
Então
( ) ( )2
.,
2
...
d ww
d wSad AwF −=
= θ ( 20 )
0
nF
Ad
d
π 2
d
π 2−
d
π 4
d
π 6
d
π 4−
d
π 6−
w
Algum resultado interessante pode ser retirado deste exemplo. Consideremos a
seguinte situação:
Em f(t) do exemplo 1, façad
A1
=
Então, no domínio do tempo fazendo:
( ) ( )t U t f Od
=→0
lim ( 21 )
• Amplitude ∞→ • Largura 0→
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 52/112
52
E no domínio da freqüência em F(w), sed
A1
= :
( ) 1lim0
=→
wF d
( 22 )
A figura a seguir mostra o par de transformadas para esta situação, onde umimpulso no tempo possui como sua transformada de Fourier uma constante na
freqüência.
( )t U O
t0
( )wF
w0
1ℑ
Assim, pode-se escrever:
( ) 1][ 0 =ℑ t U ( 23 )
2) Calcular a ( )][ t f ℑ , onde :
( ) ( ) 0,. 1.
>= −
− α α t U et f t ( 24 )
t e .α −
t
( )t f
1
0
( ) ( ) ( ) ∞
−−
∞
∞−
−=→=
0
..... .... dt eewF dt et f wF t w jt t w j α ( 25 )
( ) ( ) ( )( )
( ) jwe t jw
wF dt t jwewF +−
+− ∞
=→∞
+−=
α
α α
00
.. ( 26 )
( )( )
( ) ( )
+−
→−
+−
∞→+−=
t jwet
t jwet jw
wF α α
α 0limlim.
1 ( 27 )
Faremos em primeiro lugar uma investigação dos limites:
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 53/112
53
( ) ( ):análiseseguintease-tem,
0
0
0
:supondo ,....lim
=
<
>
−−
∞→α
α
α
ϕ ρ
α t
t w jet
t et
( 28 )
• ( )
∴==
1,0 t ρ α circulo de raio 1, limite indeterminado:
• ( ) ∞→∴∞→< limite,0 t ρ α
• ( ) 0 limite0,0 →∴→> t ρ α
0<α
0>α
0=α
σ
ω . j
Logo se a função f(t) não satisfaz à condição ( )∞
∞−
∞<dt t f . , não podemos
aplicar a definição, para calcular sua transformada de Fourier .
( )( )
( ) pois ,101
−+−
= jw
wF α
( 29 )
( )( )
0,1
].[ 1.
>+
=ℑ −− α
α
α
jwt U e t
( 30 )
3) Se f(t) for real mostre que:
( ) ( ) ( )∞
∞−
= dt wt t f w R .cos. ( 31 )
( ) ( ) ( )∞
∞−
−= dt wt t f w X .sen. ( 32 )
Em seguida prove que :
( ) ( ) PARfunção→−= w Rw R ( 33 )
( ) ( ) ÍMPARfunção→−=− w X w X ( 34 )
( ) ( )wF wF *=− ( 35 )
Solução
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 54/112
54
1)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]dt wt jwt t f dt et f w jX w RwF t f t w j .sencos...][ ..∞
∞−
∞
∞−
−−==+==ℑ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dt wt t f jdt wt t f wF t f .sen..cos.][ ∞
∞−
∞
∞−
−==ℑ
Logo:
( ) ( ) ( )∞
∞−
= dt wt t f w R .cos. ( 36 )
( ) ( ) ( )∞
∞−
−= dt wt t f w X .sen. ( 37 )
2)
( ) ( )w Rw R −= ( 38 )
( ) ( ) ( )∞
∞−
= dt wt t f w R .cos.
( ) ( ) ( )∞
∞−
−=− dt wt t f w R .cos.
( ) ( ) ( ) x f x f wt =−→ parfunçãocos
( ) ( ) ( ) ( ) ( )w Rw Rdt wt t f w R =−→=− ∞
∞−
.cos.
( ) ( )w X w X −= ( 39 )
( ) ( ) ( )∞
∞−
−= dt wt t f w X .sen.
( ) ( ) ( )
∞
∞−−−=− dt wt t f w X .sen.
( ) ( ) ( ) x f x f wt −=−→ ímparfunçãosen
( ) ( ) ( ) ( ) ( )w X w X dt wt t f w X −=−→=− ∞
∞−
.sen.
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 55/112
55
( ) ( )wF wF *=− ( 40 )
( ) ( ) ( )w jX w RwF += ( 41 )
( ) ( ) ( )w jX w RwF −+−=− ( 42 )
( ) ( ) ( )w jX w RwF −=− ( 43 )
Logo:
( ) ( )wF wF *=− ( 44 )
4) Se f(t) é real, mostre que o espectro de amplitudes é par e o espectro de fases é
ímpar.
( ) ( )
( ) ( )
=−=
=+=
−=−
−=
− θ
θ
θ θ .*
.
.
.,
j
j
eC jba Z
eC jba Z
ww
wF wF ( 45 )
Solução
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
−=−
=
−w j
w j
ewF wF
ewF wF θ
θ
.
.
.
.
Do exemplo anterior:
( ) ( )wF wF *=−
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ÍmparFunção
ParFunção
.. ..
−=−
=−
=−−−
ww
wF wF
ewF ewF w jw j
θ θ
θ θ
( 46 )
5) Se f(t) é real e par, sua transformada é real e par e se f(t) é real e ímpar, sua
transformada de Fourier é um imaginário puro.
a) Se f(t) é real e par:( ) ( )t f t f =− ( 47 )
( ) ( ) ( )w jX w RwF += ( 48 )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dt wt t f jdt wt t f wF .sen..cos.
ÍMPARPARÍMPAR PARPAR PAR
∞
∞−
∞
∞−
−=
( 49 )
Considerando que :
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 56/112
56
( ) ( )∞
∞−
= ímparfortgse,0.dt t g ( 50 )
( ) ( ) ( ) ∞
∞−
∞
=
0
parfortgse,.2. dt t gdt t g ( 51 )
Logo:
( ) ( ) ( )dt wt t f wF .cos.20∞
= ( 52 )
b) f(t) é real e ímpar.
( ) ( )t f t f −=− ( 53 )( ) ( ) ( )w jX w RwF += ( 54 )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞
∞−
∞
∞−
−= dt wt t f jdt wt t f wF .sen..cos.
PARÍMPAR
ÍMPAR ÍMPAR PAR ÍMPAR
( 55 )
Logo utilizando a Equação ( 54 ).
( ) ( )w jX wF = ( 56 )
( ) ( ) ( )∞
−=
0
sen.2 dt wt t f jwF ( 57 )
8.2. Propriedades da Transformada de Fourier
1) Linearidade
Se ( )[ ] ( )wF t f 11 =ℑ e ( )[ ] ( )wF t f 22 =ℑ , 21 e aa são constantes arbitrárias então:
( ) ( )[ ] ( ) ( )wF awF at f at f a 22112211 .. +=+ℑ ( 58 )
Demonstração :
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 57/112
57
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )
dt et f at f at f at f a jwt
t f
...... 22112211−
∞
∞−
+=+ℑ
( ) ( )[ ] ( ) ( )∞
∞−
−∞
∞−
−+=+ℑ dt et f adt et f at f at f a jwt jwt ...... 22112211
( ) ( )[ ] ( ) ( )wF awF at f at f a 22112211 .. +=+ℑ ( 59 )
2) EscalonamentoSe ” a” for uma constante real e ( )[ ] ( )wF t f =ℑ , então:
( )[ ]
=ℑ
a
wF
at a f .
1. ( 60 )
Demonstração:
Para a > 0 , teremos:
( )[ ] ( )∞
∞−
−=ℑ dt et a f t a f jwt ....
Façamos a seguinte substituição:
a
dxdt
a
xt xt a === ,.
∞→∞→
∞→∞→
-x,-tpara
x,tpara
( )[ ] ( )∞
∞−
−
=ℑa
dxe x f t a f a
x jw
...
( )[ ] ( )∞
∞−
−
=ℑ dxe x f a
t a f w
a
x j
..1
...
( )[ ]
=ℑ
a
wF
aa
wF
a
t a f .1
.1
.
Para a < 0 , teremos:
( )[ ] ( )∞
∞−
−=ℑ dt et a f t a f jwt ....
Façamos a seguinte substituição:
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 58/112
58
a
dxdt
a
xt xt a === ,.
∞→∞→
−∞→∞→
x,-tpara
x,tpara
( )[ ] ( )−∞
∞
−
=ℑa
dxe x f t a f a
x jw
...
( )[ ] ( )∞
∞−
−
−=ℑ dxe x f a
t a f w
a
x j
..1
...
( )[ ] 0a pois,.1
.1
. <
−=ℑ
a
wF
aa
wF
at a f ( 61 )
Nota:
( )[ ] ( )wF t f −=−ℑ ( 62 )Exemplo:
Sabendo que a função f(t) abaixo tem transformada F(w) determine a
transformada de g(t).
f(t)
t
2
2-1 0
g(t)
t
2
1-2 0
Solução
( ) ( )t gt f −=
( ) ( )t f t g −=
( )[ ] ( )[ ]t f t g −ℑ=ℑ
( ) ( )wF wG −=
**********************************************************************
***
Exercícios:
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 59/112
59
1) Determine a transformada de Fourier da função g(t).
1
2-2
g(t)
t
Solução :
( )[ ] ( ) ( )∞
∞−
−==ℑ dt et gwGt g t w j .. ..
Mas, se a função é par, utilizaremos a propriedade já demostrada.
( ) ( ) ( ) ( )∞
==
0
.cos.2 dt wt t gw RwG
( ) ( ) ( )=
2
0
.cos.12 dt wt wG
( ) ( ) ( ) ( )[ ]02sen.2
sen.2
2
0
−== ww
wGwt w
wG
( ) ( ) ( )( )
==
w
wwGw
wwG
2
2sen.42sen.
2.
2
2
( ) ( )wSawG 2.4=
2) Determine a transformada de Fourier de ( )t g1 :
1
1-1
g 1
(t)
t 0
Solução:
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 60/112
60
( ) ( )t gt g 21 =
( )[ ] ( )[ ] :se-tem2,epropriedadautilizando ,.21 t gt g ℑ=ℑ
( )[ ]
=ℑ
α α
α w
Gt g .1
.
( )[ ]
=ℑ
2.
2
1.1
wGt g
( )[ ]
=ℑ
2.2sen.
2
2.
2
1.1
ww
t g
( )[ ] ( ) ( )wSaww
t g .2sen.2
.1 ==ℑ
**********************************************************************
***
3) Deslocamento no tempo
Se ( )[ ] ( ) :então ,wF t f =ℑ
( )[ ] ( ) ot w jo ewF t t f ... ±
=±ℑ ( 63 )
Demonstração:
( )[ ] ( )∞
∞−
−±=±ℑ dt. .. t w j
oo et t f t t f
Façamos a seguinte substituição
dxdt t xt xt t ===± ,00
−∞→∞→
∞→∞→
x,-tpara
x,tpara
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) dxe x f x f t t f t xw jo .. 0..
∞
∞−
−=ℑ=±ℑ
( )[ ] ( ) dxee x f x f
t w j xw j
...0....
∞
∞−
±−=ℑ
( )[ ] ( ) dxe x f e x f xw jt w j∞
∞−
−±=ℑ ... .... 0
Assim provamos que:
( )[ ] ( )wF et t f t w jo .0..±
=±ℑ ( 64 )
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 61/112
61
Exemplo:
1
31
g 2 (t)
t 0 2
Utilizando o exemplo anterior, considerando calculada a transformada de g1(t),
tem-se:
( ) ( )212 −= t gt g
( )[ ] ( )[ ]212 −ℑ=ℑ t gt g
( )[ ] ( ) 2..12 . w jewGt g −
=ℑ
( )[ ] ( ) 2..2 .sen.
2 w jeww
t g −=ℑ
4) Variação na Freqüência
Se wo for uma constante real e,
( )[ ] ( ) então,wF t f =ℑ ( 65 )
( ) ( ),. ..o
t w j wwF et f o =ℑ± ( 66 )
Deslocamento no domínio da freqüência:
Demonstração :
( )[ ] ( )∞
∞−
−±±=ℑ dt eet f et f t w jt w jt w j oo .... ......
( )[ ] ( ) ( )∞
∞−
−±=ℑ dt et f et f t ww jt w j oo .... ....
( ) ( )ot w j wwF et f o =ℑ
± ...
Pois:
( ) ( )∞
∞−
−= dt et f wF t w j .. ..
5) Multiplicação por Coseno
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 62/112
62
Se ( )[ ] ( ),wF t f =ℑ então:
( ) ( )[ ] ( ) ( )ooo wwF wwF t wt f −++=ℑ .2
1.
2
1cos. ( 67 )
Demonstração :
( ) ( )[ ] ( ) .2
.cos.....
+ℑ=ℑ
− t w jt w j
o
oo eet f t wt f
Multiplicando e usando a propriedade da linearidade, tem-se:
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ...2
1cos. .... t w jt w j
ooo et f et f t wt f −
ℑ+ℑ=ℑ
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ooo wwF wwF t wt f ++−=ℑ2
1cos.
( ) ( )[ ] ( ) ( )ooo wwF wwF t wt f −++=ℑ2
1
2
1cos. ( 68 )
De modo análogo se multiplicarmos por seno:
( ) ( )[ ] ( ) ( )ooo wwF j
wwF j
t wt f −−+=ℑ22
sen. ( 69 )
6) Propriedade da Derivada
Se ( )[ ] ( )wF t f =ℑ e ( ) 0→t f quando ±∞→t , então:
( ) ( )wF jwt f .'=ℑ ( 70 )
A figura a seguir ilustra uma função onde pode-se aplicar a propriedade da
derivada.
( )t f
t
∞→t
( ) 0→t f ( )t f ←0
t ←∞
Demonstração:
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 63/112
63
( )[ ] ( ) dt et f t f jwt ..''∞
∞−
−=ℑ
Utilizando a técnica de integração por partes, tem-se:
( ) ( )t f vdt t f dvew jdueu
t w jt w j
=→=
−=→=−−
...
'
....
( ) ( ) ( ) ( )[ ]∞
∞−
−∞
∞−
∞
∞−
−−−−= dt e jwt f et f dt et f t w jt w jt w j ..... ......'
Desde que ( ) 0→t f quando ±∞→t :
( ) ( )∞
∞−
−∞
∞−
−= dt et f jwdt et f t w jt w j .... ....'
( ) ( )wF jwdt et f t w j .. ..'
∞
∞−
− =
Notas:
1) Desde que a derivada( )
n
n
dt
t f d exista podemos ter que a transformada:
( )( ) ( )wF jw
dt
t f d nn
n
.=
ℑ ( 71 )
2) A função f(t) pode apresentar descontinuidades finitas e a propriedade pode
ser aplicada, porém quando f(t) apresenta descontinuidades infinitas a propriedade não
pode ser aplicada.
Exemplos
1) Encontre a transformada de Fourier da seguinte função, utilizando a
propriedade da derivada:
1
2-2
g(t)
t 0
G(w) = ?
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 64/112
64
Solução
(1).Uo(t+2)
2
-2
g'(t)
t
(-1).Uo(t-2)
( ) ( ) ( )22 00'
−−+= t U t U t g
( )[ ] ( ) ( )[ ]22'
−−+ℑ=ℑ t U t U t g OO Do exemplo anterior:
( ) ( )[ ] ( )[ ]22.. −ℑ−+ℑ= t U t U wGw j OO
( ) ( )[ ] ( )[ ] 2..2.. .... w jO
w jO et U et U wGw j −
ℑ−ℑ=
( ) ( ) ( ) 2..2.. .1.1.. w jw j eewGw j −−=
( )w j
eewG
w jw j
.
2..2.. −−
=
( ) jee
wwG
w jw j
.2.2.1 2..2.. −−
=
( ) ( )ww
wG .2sen.2
=
( ) ( )ww
wG .2sen.2
.2
2=
( ) ( )wSawG .2.4=
Exercícios
3) Determine a transformada de Fourier das seguintes funções:
a) ( ) ( ) ( )2.2.31 1 −+−= t U t U t f o
Solução
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 65/112
65
( )[ ] ( ) ( )[ ]2.2.31 1 −+−ℑ=ℑ t U t U t f o
( ) [ ] ( )[ ] ( )[ ]2.2.31 1 −ℑ+ℑ−ℑ= t U t U wF o
( ) ( ) ( ) ( )( ) 2...1..21.3..2 w jo e jwwU wF −+−= π
( ) ( ) 2....23..2 w jo e jwwU wF −
+−= π
b)
1
1-1
f(t)
t
Aplicando a propriedade da derivada, tem-se:
1
1
-1
f'(t)
t
-1
1
1-1
f''(t)
t
-2.Uo(t)
Uo(t+1) U
o(t -1)
( ) ( ) ( ) ( )1.21''−+−+= t U t U t U t f ooo
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]1.21''−ℑ+ℑ−+ℑ=ℑ t U t U t U t f ooo
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )11.21. 1..1..2 −+−=
w jw j eewF jw
( ) w jw j eewF w ..2 2. −+−=−
( ) ( )wwF w cos.22.2+−=−
( ) ( )( ) 0,cos12
2≠−= ww
wwF
Obs:
( ) ( ) 0wpara,.. ..==
∞
∞−
− dt et f wF t w j
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 66/112
66
( ) ( )∞
∞−
−= dt et f F t j ..0 .0.
( ) ( ) ( )tf funçãodaárea,.0 ∞
∞−
= dt t f F
( )( )( )
=
≠−=
0wpara,1
0wpara,cos12
2w
wwF
7) Propriedade da Simetria
Se ( ) ( )[ ]t f wF ℑ= , então:
( )[ ] ( )w f t F −=ℑ
..2π ( 72 )Demonstração:
( ) ( )∞
∞−
= dwewF t f t w j ...2
1 ..
π
( ) ( )∞
∞−
= dwewF t f t w j ....2 ..π
Substituindo “ t “ por” –t “ na expressão tem-se:
( ) ( )∞
∞−
−=− dwewF t f t w j ....2 ..π
Permutando “ t” em “w” acima :
( ) ( )∞
∞−
−=− dt et F w f t w j ....2 ..π
( ) ( )[ ]t F w f ℑ=−..2π
( )[ ] ( )w f t f −=ℑ ..2π
8) Propriedade da Integração
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 67/112
67
Se ( )[ ] ( )wF t f =ℑ , então:
( ) ( ) ( ) ( )wF
w j
wU F d f o
t
.
.
1.0.. +=
ℑ
∞−
π λ λ ( 73 )
( ) ( )∞
∞−
= dt t f F .0 ( 74 )
8.3. Propriedades da Função Impulso
Algumas considerações são interessantes de serem abordadas sobre esta função,
que pode ser muito útil na análise de Fourier .
8.3.1. Definição:
( ) ( )
=∞
≠=
0,
0,0
t se
t set t U o δ ( 75 )
( )∞
∞−
= 1.dt t U o ( 76 )
Considere a função ( ) →t φ continua e identicamente nula fora de certo intervalo
finito, então podemos observar o seguintes aspectos:
1 - ( ) ( ) ( )∞
∞−
= 0.. φ φ δ dt t t ( 77 )
2 - ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ooo t dt t t t dt t t t φ φ δ φ δ =+=− ∞
∞−
∞
∞−
.... ( 78 )
Se a função g(t) é contínua em t = t o e se a < b, então:
3 - ( ) ( )( )
<<
<<=− atb para , 0
bta para ,..
o
oob
ao
t gdt t gt t δ ( 79 )
4 - ( ) ( ) ( ) ( )t f t t f δ δ .0. = ( 80 )
5 - ( ) ( )t t δ δ =− ( 81 )
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 68/112
68
6 - ( ) ( )t t δ α
α δ .1
. = ( 82 )
7 - ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )t t f t t f t t f δ δ δ ... '''+= ( 83 )
8 - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t f t f t t f δ δ δ .0.0. ''' −= ( 84 )
Se ( )t δ é derivada da função u(t) então:
9 - ( ) ( ) ( )∞∞
∞−
=
0
... dt t dt t t u φ φ ( 85 )
10 - ( ) ( ) ( )t f t t f =δ * ( 86 )
11 - ( ) ( ) ( )00* t t f t t t f +=+δ ( 87 )
8.4. Cálculo dos Coeficientes de Fourier (Série Complexa e Série trigonométrica)
por Diferenciação utilizando a Transformada de Fourier
Utiliza-se as seguintes expressões para obtermos os coeficientes da série
complexa e trigonométrica de Fourier .
Série Complexa de Fourier
( )00 ..1
wnF T
F n = ( 88 )
wwn =0. ( 89 )
Série Trigonométrica de Fourier
[ ]nn F a Re.2= ( 90 )
[ ]nn F b Im.2−= ( 91 )
Exemplo
1) Determinar as séries Exponencial e Trigonométrica de Fourier da seguinte
função periódica
1
1-1
f(t)
t -2-3 2 30
f 0 (t)
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 69/112
69
( )[ ] ( ) ( )[ ]t f wF wnF T
F n 0000 ..1
ℑ=→=
Do exercício 3-b, resolvido nesta nota de aula tem-se:
( ) ( )( ) π ==−= 020 2,cos1.2
wT ww
wF
π π π
===2
.2.2 pois 0 T
w
( ) ( )[ ]π ..2
1..
1000 nF wnF
T F n ==
( ) ( )( )
−=
π π .cos1..
2
2
1
2 nnF n
( )( )( )π
π .cos1.
.
12
nn
F n −=
( ) ∞
−∞=
=n
t wn jn eF t f ... 0.
( )( )
( )( ) ComplexaSérie..cos1.
1 ...2
−= ∞
−∞=
t n j
n
enn
t f π π π
Agora procede-se a análise da Série trigonométrica
[ ]nn F a Re.2=
[ ]nn F b Im.2−=
( )−
==2
2
00 ..
1
2
T
T
dt t f T
F a
( )( )
( ) ( )inspeção2
1
2.
.cos1
.20
0
2=
−==
a
n
n
ab nn π
π
( )( )
( )( ) ( ) ricaTrigonométSérie.cos..cos1.
2
2
1
12
−+= ∞
=
t nnn
t f n
π π π
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 70/112
70
8.5. Transformada Inversa de Fourier
A definição é expressa por:
( ) ( )∞
∞−
= dwewF t f t w j ...21 ..
π ( 92 )
Exemplo
1) Encontre a transformada inversa de Fourier , onde o espectro de amplitude e
fase do sinal é representado graficamente a seguir:
A
0-wc
w w
c
( )wF
0
-wc w
wc
( )wφ
2
π
2
π −
Solução
( ) ( ) ( )w jewF wF φ ..=
( )
>
<<
<<−
−<
=
−
c
c
j
c
j
c
ww
wwe A
wwe A
ww
wF
,0
0,.
0,.
,0
2.
2.
π
π
( ) ( )∞
∞−
= dwewF t f t w j ...2
1 ..
π
( )
+=
∞
∞−−
−
dwee Adwee At f t w j j
w
t w j j
c
.......2
1 ..2.0
..2. π π
π
j jej
−=
−
=
−
2sen.
2cos2
. π π π
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 71/112
71
j je j
=
+
=
2sen.
2cos2
. π π π
( )
+−=
−
c
c
wt w j
w
t w j
t j
e A j
t j
e A jt f
0
..0..
.
..
.
..
.2
1
π
( )
−+
−−=
−
t jt j
e A j
t j
e
t j A jt f
t w jt w j cc
.
1
...
..
1..
.2
1 ....
π
( )
−++−=
−
t
A
t
e A
t
e A
t
At f
t w jt w j cc ....
....2
1π
( ) [ ]11..2
....−++−=
− t w jt w j cc eet
At f
π
( ) ( )[ ]t wt
At f ccos.22..2
+−=π
( ) ( )[ ]1cos.
−= t wt
At f c
π
8.6. Transformada de uma Função Periódica
Seja f(t) uma função periódica de período T.
( ) ∞
−∞=
==n
ot wn j
n T wondeeF t f o
π .2,. ... ( 93 )
( )[ ]
ℑ=ℑ
∞
−∞=n
t wn jn
oeF t f .... ( 94 )
( ) [ ]∞
−∞=
ℑ=n
t wn jn
oeF wF .... ( 95 )
( ) ( )∞
−∞=
−=n
oon wnwU F wF ...2. π ( 96 )
Logo:
( ) ( )∞
−∞=
−=n
oon wnwU F wF ....2π
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 72/112
72
8.7. Transformada do Produto de Duas Funções
(Teorema da Convolução)
( ) ( )[ ] ( ) ( )( )wF wF t f t f 2121 ..21. ∗=ℑπ
( 97 )
( ) ( )[ ] ( ) ( )( )wF wF t f t f 2121 .=∗ℑ ( 98 )
8.8. Teorema de Parseval
O teorema de Parseval afirma que:
( ) ( )
∞
∞−
∞
∞−
= dwwF dt t f ..21. 221π ( 99 )
( ) ( ) ( ) ( )dt t f dwewF dt t f t f t w j ......21
.. 2..
121 ∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
=
π ( 100 )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
∞
∞−
−
∞
∞−
∞
∞−
= dwdt et f wF dt t f t f
wF
t w j
2
.....2
1.. ..
2121π
( 101 )
( ) ( ) ( ) ( )
∞
∞−
∞
∞−
−= dwwF wF dt t f t f .....2
1..
2121 π ( 102 )
Se f 1(t) e f 2(t) são funções reais:
( ) ( )
( ) ( )wF wF
wF wF *
22
*11
=−
=− ( 103 )
( ) ( ) ( ) ( ) ∞
∞−
∞
∞−
= dwwF wF dt t f t f ....2
1.. *
2121π
( 104 )
Se f 1(t) = f 2(t)
( ) ( ) ( ) ∞
∞−
∞
∞−
= dwwF wF dt t f ....21
. *11
21
π ( 105 )
( ) ( ) ( )w jewF wF φ .11 .= ( 106 )
( ) ( ) ( )w jewF wF φ .1
*1 . −
= ( 107 )
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 73/112
73
( ) ( ) ∞
∞−
∞
∞−
= dwwF dt t f ...2
1.
21
21
π ( 108 )
Se supormos que f(t) é a tensão de uma fonte aplicada a uma resistência de 1Ω
,então a quantidade :
( )∞
∞−
dt t f .2
1
é igual a energia total liberada pela fonte. Mas pelo teorema de Parseval:
( ) ( ) ( ) ∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
=== df wF dwwF dt t f E ....2
1.
222
π ( 109 )
Esta equação afirma que a energia latente de f(t) é dada por π
2
1vezes a área sob
a curva ( )2
wF . Por esta razão a quantidade ( )2
wF é chamada de espectro de energia
ou função densidade espectral de energia de f(t).
8.9. Aplicação de Fourier à Teoria das Comunicações
8.9.1 Modulação em Amplitude
O método de processar um sinal para uma transmissão mais eficiente é chamado
de modulação. Um dos tipos de modulação comumente utilizado baseia-se no seguinte
teorema da translação de freqüência (às vezes chamado de teorema da modulação) da
transformada de Fourier . Este teorema afirma que a multiplicação de um sinal f(t) por
um sinal senoidal de freqüência cw translada seu espectro de cw± .Os tipos de
modulação em amplitude (AM) são: AM-DSB(Double-Sideband Amplitude
Modulation), AM-DSB-SC(Double-Sideband Supressed Carrier Amplitude
Modulation), AM-SSB(Single-Sideband Amplitude Modulation), AM-VSB(Vestigial-
Sideband Amplitude Modulation). Cada um destes tipos de modulação é caracterizado
por cinco propriedades básicas:
1) Representação no domínio temporal do sinal modulado.2) Representação no domínio da freqüência do sinal modulado.3) Largura de faixa do sinal sinal modulado.4) Potência contida no sinal modulado.
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 74/112
74
5) Relação sinal ruído (SNR) depois da demodulação.O objetivo deste curso é fornecer subsídios para a análise e interpretação da
relação entre representações no domínio de tempo e freqüência que serão expressas
através da relação de transformação de Fourier .
Exemplo
1) Determine o espectro e a transformada de Fourier de um sinal f(t)
multiplicado por um cos(wc.t).
cos(w c .t)
f(t)
Multiplicador Solução
( )[ ] ( )wF t f =ℑ
( )[ ] ( ) ( )C C C wwU wwU t w −++=ℑ 00 ..cos π π
( ) ( )[ ] Convoluçãodateoremapelocos. ℑ t wt f C
( ) ( )[ ] ( ) ( )( )wF wF t f t f 2121 ..21
. ∗=ℑπ
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] C C C wwU wwU wF t wt f −++∗=ℑ 00 ...2.1cos. π π π
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) C C C wwU wF wwU wF t wt f −∗++∗=ℑ 00 ...2.
1cos. π π
π
( ) ( )[ ] ( ) ( )C C C wwF wwF t wt f −++=ℑ .2
1.
2
1cos.
A multiplicação de um sinal f(t) por um sinal senoidal de freqüência C w
translada seu espectro de C w± .
w 0
( )wF
w m -w m
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 75/112
75
w C w− C w
( )C wwU −0.π ( )C wwU +0.π
( )[ ]t wC .cosℑ
w C w− C w
mC ww +mC ww +−mC ww −−
( ) ( )[ ]t wt f C .cos.ℑ
mC ww −0
2 ) Ache o espectro de freqüências de um sinal ordinário de AM, sabendo que
este sinal (AM) é habitualmente escrito na forma:
( ) ( )[ ] ( )t wt mK t f C .cos.1. +=
Onde a senoide ( )t wC cos é a portadora
portadoradaFreqüência.2
→=π C
C
w f
A figura a seguir mostra o exemplo de uma forma de onda de um sinal ordinário
de AM-DSB.(Amplitude Modulada com Dupla Faixa Lateral)
m(t)
t
m0
-m0
Sinal de Mensagem
1
-1
1+m0
1-m0
-1+m0
-1-m0
( ) ( )[ ] ( )t wt mt f C .cos.1+=
t Sinal AM-DSB
Desde que m(t)<1, observamos que k.[1+m(t)]>0 parra k>0
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 76/112
76
Solução
Aplicando a propriedade da linearidade (super posição) e o teorema da
translação de freqüência, a transformada de Fourier de f(t) fica:
( ) ( )[ ]t f wF ℑ=
( ) ( )[ ] ( )[ ]t wt mK wF C cos.1. +ℑ=
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ].cos...cos. t wt mK t wK wF C C ℑ+ℑ=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )C C C C ww M K ww M K wwU K wwU K wF ++−+++−= .2
1.
2
1.... 00 π π
Onde ( )[ ] ( )w M t m =ℑ
m(w)
w -w
m w
m 0
-w C -w
m
w 0 -w
C +w
m w
C w
C -w
m -w
C w
C +w
m
( )wF
0..
2
1 M K
( )C wwK +δ π .. ( )C wwK −δ π ..
FLI FLS
A potência conduzida pela portadora representa perda de potência de 33%
3) Supondo que o sinal de mensagem m(t) em um sinal ordinário de AM:
( ) ( )[ ] ( )t wt mK t f C cos.1. +=
Seja um sinal senoidal.
( ) ( ) 10,,.cos.00
<<<= mwwt wmt mC mm
Encontre o espectro do sinal AM, neste caso:
Solução
O sinal AM para este caso é dado por,
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 77/112
77
( ) ( )[ ] ( )t wt wmK t f C m cos..cos.1. 0+=
usando a identidade trigonométrica:
( ) ( ) ( ) ( ) B A B Aba ++−= coscos21
cos.cos
podemos escrever a expressão novamente como:
( ) ( ) ( ) ( )t wwmK t wwmK t wK t f C mC mC ++−+= cos...2
1cos...
2
1.cos. 00
então usando:
( )[ ] ( ) ( )00000 ...cos wwU wwU t w ++−=ℑ π π
teremos:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]mC mC mC mC C C wwwU wwwU wwwU wwwU mK wwU wwU K wF −−++−++++−++++−= 0000000 ..2
1.. π π
Assim as faixas laterais ficam como impulsos em mC www±=
.F(w)
w C w− C w
mC ww +mC ww −mC ww +−mC ww −−
( )C wwU K −0..π ( )C wwU K −0..π
( )mC wwwU mK −−00 ....2
1π ( )mC wwwU mK −−00 ....
2
1π
4) Mostre que o espectro de um sinal modulado pode ser convenientemente
recolocado na sua posição original, multiplicando no receptor, o sinal modulado por
( )t wC cos .
Solução
Supondo que o sinal modulado é expresso como:
( ) ( ) ( )t wt mt f C .cos.= Onde m(t) é um sinal limitado em faixa.
Então como indica a figura a seguir multiplicando o sinal recebido f(t) por
( )t wC cos , temos:
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 78/112
78
Multiplicador F.P.F
( )t wC .cos
m(t)( ) ( )t wt m C .cos. 2( ) ( ) ( )t wt mt f C .cos.=
( ) ( ) ( ) ( ) == t wt mt wt f C C .cos..cos. 2
( ) ( ) ( ) ( )( )t wt mt wt f C C ..2cos1.2
1..cos. +=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t wt mt mt wt f C C ..2cos..2
1.
2
1.cos. +=
( )[ ] ( ) ( ) mww M w M t m >==ℑ w para ,0 e , assim
( ) ( )[ ] ( ) ( )t wt mt wt f C C .cos..cos. 2ℑ=ℑ ,
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
ℑ+
ℑ=ℑ t wt mt mt wt f C C ..2cos..
2
1.
2
1.cos. ,
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )C C C ww M ww M w M t wt f .2.4
1.2.
4
1.
2
1.cos. ++−+=ℑ ,
F(w)
w C w− C w
mC ww +mC ww −mC ww +−mC ww −−
0.2
1 M
0
w C w.2−
0.2
1 M
0
( ) ( )[ ]t wt f C .cos.ℑ
C w.2
Filtro
8.9.2. Teorema da Amostragem
O teorema da amostragem uniforme do tempo afirma que, se uma função do
tempo f(t) não contém componentes de freqüências mais altas que f M hertz então f(t)
pode ser completamente determinada por seus valores situados em intervalos uniformes
e de separação menores que 1/(2.f M ) segundos.
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 79/112
79
Este processo pode ser implementado de diversas maneiras, sendo que o mais
popular é a operação de amostragem e retenção. Nesta operação um mecanismo
de chaveamento e armazenagem ( tal como um transistor e um capacitor)
formam uma seqüência de amostras de uma forma de onda continua de entrada.
Na saída o processo de amostragem é chamado de modulação por amplitude de
pulso( PAM – Pulse Amplitude Modulation), devido aos sucessivos intervalos
de saída poderem ser descritos, como uma seqüência de pulsos com amplitudes
derivadas das amostras da forma de onda de entrada.
Assim uma importante pergunta é: O quanto próximo pode uma forma de onda
PAM aproximar-se da forma de onda original de entrada? A resposta a esta questão é
justamente o que determina o teorema da amostragem. Um sinal de banda limitada com
nenhuma componente espectral acima de f m hertz pode ser pode ser determinada pelosvalores amostrados para intervalos uniformes de :
sec.2
1
m
S f T ≤ ,
Analisando em termos da freqüência de amostragem ou taxa de amostragem,
temos:
mS f f .2≥ ,
Em particular a taxa de amostragem mS f f .2= é também chamada taxa de
Nyquist. O critério de Nyquist é uma condição teoricamente suficiente para permitir que
um sinal analógico possa ser reconstruído completamente a partir de um conjunto de
amostras de tempo discreto espaçadas uniformemente.
A seguir analisaremos o teorema da amostragem utilizando uma aproximação de
amostragem por impulsos.
8.9.2.1. Amostragem Impulsiva
Aqui demonstraremos o teorema da amostragem utilizando a propriedade da
convolução da Transformada de Fourier . Vamos analisar o caso de amostragem ideal
com uma seqüência da função impulso unitário. Assuma uma forma de onda analógica,
x(t) como mostrado na Figura (1a), com uma transformada de Fourier, X(f), o qual é
zero fora do intervalo mm f f f <<− , como ilustra a Figura (1b). A amostragem de x(t)
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 80/112
80
pode ser vista como o produto de x(t) com um trem periódico de funções impulsos
unitários
t xδ , ilustrado na Figura (1c) e definido como:
( ) ( )
∞
∞−=−=
nS T nt t x .δ δ ,
Onde Ts é o período de amostragem e
t δ é o impulso unitário ou função delta
de Dirac. Façamos a seguinte escolha: mS f T .2 / 1= , o qual satisfaz a mínima condição
do critério de Nyquist. A propriedade do deslocamento temporal da função impulso
estabelece que:
000 .. t t t xt t t x −=− δ δ ,
Usando esta propriedade, nós podemos ver que
t xS , a versão amostrada de
x(t) ilustrada na Figura (1e) , é dada por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞
∞−=
−==n
S S T nt t xt xt xt x ... δ δ ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞
∞−=
−==n
S S S T nt T n xt xt xt x .... δ δ ,
Utilizando a propriedade da convolução da Transformada de Fourier , nós
podemos transformar o produto no domínio do tempo
t xt x δ . da equação acima
para uma convolução no domínio da freqüência
∗
f X f X δ , onde:
∞
∞−=
−=
n
S S
f n f T
f X .1
δ δ
é a Transformada de Fourier do trem de impulsos
t xδ e onde S S T f / 1= é a
freqüência de amostragem. Notando que a transformada de Fourier de um trem deimpulsos é um outro trem de impulsos; os valores de período dos dois trens estãorelacionados um com o outro . A Figura (1c) e a Figura (1d) ilustram o trem de impulsos
t xδ e sua transformada de Fourier
f X δ , respectivamente.
A convolução com uma função impulso simplesmente desloca a função originalcomo segue:
−=
−∗
S S f n f X f n f f X ..δ
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 81/112
81
Nós podemos agoram resolver a transformada
f X S de uma forma de onda
amostrada:
−∗
=
∗
=
∞
∞−=
..1
n
S S
S f n f
T
f X f X f X f X δ δ
∞
∞−=
−=
∗
=
n
S S
S f n f X T
f X f X f X .1
δ
Nós assim concluímos que dentro da largura de banda original, o espectro
f X S do sinal amostrado
t xs está dentro de um fator constante (1/T S ) exatamente
o mesmo de x(t). Em adição, o espectro repete-se periodicamente na freqüência a cada f S hertz. Os impulsos agem como função amostragem. Daí, a convolução pode ser
realizada graficamente pela varredura do trem de impulsos
f X δ na Figura (1d)
através da transformada
f X na Figura (1b).Esta amostragem de
f X realizado
para cada passo na varredura das réplicas de
f X para cada posição de freqüência do
trem de impulsos, resulta em
f S X , mostrado na Figura (1f).
Quando a taxa de amostragem é escolhida, tal como m f s f .2= , cada replicaespectral é separada de cada um de seus vizinhos por uma largura de faixa exatamente
igual a s f hertz, e a forma de onda analógica pode teoricamente ser completamenterecomposta por amostras, utilizando filtragem. Entretanto, um filtro com precisão exataseria necessário. Se a taxa de amostragem fosse escolhida como m f s f .2> , as replicasestariam separadas na freqüência, como ilustra a Figura (2a), facilitando a performancede operação do filtro. Um típico filtro com características passa baixas poderia serutilizado para separar o espectro em banda básica , é ilustrado na figura. Quando a taxade amostragem é reduzida para m f s f .2< , as replicas se sobrepõe, como ilustra a Figura(2b), e alguma informação será perdida. O fenômeno resultante de uma subamostragem(amostragem a uma taxa baixa) , tem o nome de aliasing. A taxa de Nyquist m f s f .2= , éa taxa de amostragem abaixo da qual o aliasing ocorre, para evitar aliasing, o critériode Nyquist m f s f .2≥ precisa ser satisfeito.
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 82/112
82
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 83/112
83
t
0
(f)
f s X
-f m f m
x(t)
0
(a)
f 0
(b)
f X
-f m
f m
-f S
f S -2.f
S
f
0
(d)
∞
∞−=
−=
n
s f n f sT
f X .1
δ δ
-f S f S
f -2.f S
0
(e)
0
(c)
∞
∞−=
−=
n
sT nt t X .δ δ
-2.T S 2.T S
f 4.T S -4.T S
=
t xt xt s x δ ..
4.T S 2.T S -2.T S -4.T S
sT 11
Figura – 1
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 84/112
84
0
(a)
f s X
-f m
f m -f
S f S
-2.f S
f 2.f
S
0
(b)
f s X
-f m
f m -f
S f S
-2.f S
f 2.f
S
Figura –2
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 85/112
85
Matlab
O sinal de mensagem representado por:
( )
<≤−
<≤
=
contráriocaso
t t
t
t t
t m
,03
.2
3,2
30,1
00
0
Modula a portadora ( ) ( )t f t c C ...2cos π = , utilizando um esquema convencional
de modulação AM-DSB. Assume-se que Hz f C 250= e 15.00 =t , determine :
a) Uma expressão para o sinal modulado.b) Faça a representação gráfica do sinal de mensagemc) Faça a representação gráfica do sinal modulado, com os seguintes índices de
modulação(a) : a) 30%, b) 50%, c) 70%, d) 85%, e)100%, f)140%.d) Represente graficamente o espectro da mensagem e do sinal modulado, para
o índice de modulação a = 50, a =0.85.e) Se a mensagem do sinal é periódica com período igual a t0 , detemine a
potência no sinal modulado e a eficiência de modulação.
f) Se um sinal de ruído é adicionado na mensagem com uma SNR na saída dodemodulador de 10dB, encontre o conteúdo de potência no sinal de ruído.
Programa Matlab
Arquivo –1
function u=am_mod(a,m,ts,fc)
% u=am_mod(a,m,ts,fc)
%AM_MOD takes signal m sampled at ts and carrier
% freq. fc as input and returns the AM modulated% signal. "a" is the modulation index.
% and ts << 1/2fc.
t=[0:length(m)-1]*ts;
c=cos(2*pi*fc.*t);
m_n=m/max(abs(m));
u=(1+a*m_n).*c;
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 86/112
86
Arquivo –2
% am.m
% Matlab demonstration script for DSB-AM modulation. The message signal% is +1 for 0 < t < t0/3, -2 for t0/3 < t < 2t0/3 and zero otherwise.
echo on
t0=.15; % signal duration
ts=0.001; % sampling interval
fc=250; % carrier frequency
snr=10; % SNR in dB (logarithmic)
a=0.85; % Modulation index
fs=1/ts; % sampling frequency
t=[0:ts:t0]; % time vector
df=0.2; % required frequency resolution
snr_lin=10^(snr/10); % SNR
% message signal
m=[ones(1,t0/(3*ts)),-2*ones(1,t0/(3*ts)),zeros(1,t0/(3*ts)+1)];
c=cos(2*pi*fc.*t); % carrier signal
m_n=m/max(abs(m)); % normalized message signal
[M,m,df1]=fftseq(m,ts,df); % Fourier transform
M=M/fs; % scaling
f=[0:df1:df1*(length(m)-1)]-fs/2; % frequency vector
u=(1+a*m_n).*c; % modulated signal
[U,u,df1]=fftseq(u,ts,df); % Fourier transform
U=U/fs; % scaling
signal_power=spower(u(1:length(t))); % power in modulated signal
% power in normalized message
pmn=spower(m(1:length(t)))/(max(abs(m)))^2;
eta=(a^2*pmn)/(1+a^2*pmn); % modulation efficiency
noise_power=eta*signal_power/snr_lin; % noise power
noise_std=sqrt(noise_power); % noise standard deviation
noise=noise_std*randn(1,length(u)); % generate noiser=u+noise; % add noise to the modulated signal
[R,r,df1]=fftseq(r,ts,df); % Fourier transform
R=R/fs; % scaling
pause % Press a key to show the modulated signal power
signal_power
pause % Press a key to show the modulation efficiency
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 87/112
87
eta
pause % Press any key to see a plot of the message
subplot(2,2,1)
plot(t,m(1:length(t)))
axis([0 0.15 -2.1 2.1])xlabel('Time')
title('The message signal')
pause
pause % Press any key to see a plot of the carrier
subplot(2,2,2)
plot(t,c(1:length(t)))
axis([0 0.15 -2.1 2.1])
xlabel('Time')
title('The carrier')
pause % Press any key to see a plot of the modulated signal
subplot(2,2,3)
plot(t,u(1:length(t)))
axis([0 0.15 -2.1 2.1])
xlabel('Time')
title('The modulated signal')
pause % Press any key to see a plots of the magnitude of the message and the
% modulated signal in the frequency domain.
subplot(2,1,1)
plot(f,abs(fftshift(M)))xlabel('Frequency')
title('Spectrum of the message signal')
subplot(2,1,2)
plot(f,abs(fftshift(U)))
title('Spectrum of the modulated signal')
xlabel('Frequency')
pause % Press a key to see a noise sample
subplot(2,1,1)
plot(t,noise(1:length(t)))
title('noise sample')
xlabel('Time')
pause % Press a key to see the modulated signal and noise
subplot(2,1,2)
plot(t,r(1:length(t)))
title('Signal and noise')
xlabel('Time')
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 88/112
88
pause % Press a key to see the modulated signal and noise in freq. domain
subplot(2,1,1)
plot(f,abs(fftshift(U)))
title('Signal spectrum')
xlabel('Frequency')subplot(2,1,2)
plot(f,abs(fftshift(R)))
title('Signal and noise spectrum')
xlabel('Frequency')
RESUMO TRANSFORMAÇÕES DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO
Domínio do
Tempo Periódico Não Periódico
Continuo
( )
( )
( ) T wT t x
dt et xT n
F
neF
T
T
t wn j
t wn jn
π .2
0
...1
.tx
2
2
...
...
0
0
Fourier-Séire
=→
=
∞
−∞=
=
−
−
( ) ( )
( ) ( )
∞
∞−
−
∞
∞−
=
=
dt et xw X
dwew X
t w j
t w j
..
...2
1tx
..
..
Fourier-daTransforma
π
Não
periódico
Discreto ContinuoDomínio da
Freqüência
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 89/112
89
Nota de Aula - V
9.5 12 – Transformada de LAPLACE
9.6 12.1 – Definição
Observando o estudo da transformada de Fourier sabe-se que:
( ) ( ) dt et f wF t w j .. ..∞
∞−
−= (
110 )
Então
( ) ?..
=ℑ− t
et f σ
( 111)
( ) ( ) dt eet f wF t w jt ... ...∞
∞−
−−=
σ ( 112
)
( ) ( ) ( ) dt et f wF t w j .. .∞
∞−
+−=
σ ( 113
)
sw j∆
=+ .σ ( 114
)
Logo tem-se:
( ) ( ) dt et f wF t s .. .∞
∞−
−=
( 115
)
A transformada de Laplace da equação acima é chamada de transformada de
Laplace Bilateral, pode existir ainda a unilateral definida abaixo:
Se f(t) é causal ( ) 0tpara,0 <=→ t f
( ) ( ) dt et f wF t s ..
0
.∞
−=
( 116
)Ou seja a transformada de Laplace muda um sinal dentro de outro de acordo
com algum conjunto fixado de regras ou equações.
Notamos que a transformada bilateral e unilateral são equivalentes se e somente
se
( ) 0tpara,0 <=t f .
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 90/112
90
Pode-se também estipular um plano denominado de S, mostrado a seguir:
w j.
σ
( )sF
Onde:
iaconvergêncdeAbscissa→σ ( 117
)
Anotação é a seguinte:( )[ ] ( ) LaplacededaTransformatf →= sF ( 118
)
( ) ( )[ ] LaplacedeinversadaTransformasF1→=
−t f ( 119
)
9.7 9.2 – Região de Convergência
A faixa de valores para a variável complexa s , onde a transformada de Laplace
converge é chamada de RDC (região de convergência) ou em inglês ROC (Region of
Convergence)
Exemplos
1) Considere o sinal :
( ) ( )t uet f t ..α −= ( 120
)
Onde α , é real. Então pela definição de transformada de Laplace de f(t)
tem-se:
( ) ( ) ( )[ ]∞
∞−
−−∞
∞−
−== dt et uedt et f sF t st t s ..... ... α
( 121
)
( ) ( ) ( ) ( ) asas
eas
dt esF t st as−>
+=
+−==
∞
+−∞
+−
Re,11
.0
.
0
. α ( 122
)
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 91/112
91
( ) ( ) ( ) ae t as
t −>>+=∴
+−
∞→sReou0asRese,somenteese,0limpois . ( 123
)
A seguir a figura ilustra como isto ocorre no plano complexo:
w j.
σ -a
Plano S
w j.
σ -a
Plano S
a < 0a > 0
Assim:
( )
( )RDC
>=
−>+=
1sRe-1a
1sRe1a
( 124
)
Na transformada de Laplace o plano complexo é designado como plano S. O
eixo
horizontal é designado como eixo σ . Oeixo vertical é designado como eixo jw.
2 ) Considere o sinal :
( ) ( )t uet f t −−=
− ..α ( 125
)
Onde α , é real. Então pela definição de transformada de Laplace de f(t) tem-
se:
( ) ( ) ( )[ ]∞
∞−
−−∞
∞−
−−−== dt et uedt et f sF t st t s ..... ... α
( 126
)
( ) ( ) ( ) ( ) asas
eas
dt esF t st as−<
+=
+=−=
∞−
+−
∞−
+−
<
Re,11
.
0
.0
.
0α
( 127
)
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 92/112
92
( ) ( ) ( ) ae t as
t −<<+=∴
+−
−∞→sReou0asRese,somenteese,0limpois . ( 128
)
A seguir a figura ilustra como isto ocorre no plano complexo:
w j.
σ -a
Plano S
w j.
σ -a
Plano S
a < 0a > 0
Comparando os exemplos (1) e (2) notamos que a expressão algébrica de
F(s) para
estes dois sinais são idênticas exceto pela RDC. Assim no sentido da
transformada de Fourier ser única para cada sinal f(t), a RDC precisa ser especificada
como parte da transformada.
9.8 9.3 – Interpretação de Pólos e Zeros
Normalmente F(s) poderá ser expresso por uma função racional :
( ) ( )
( ) ( )n
m
nnn
mmm
ps psb
zs zsa
bsbsb
asasasF
−−
−−=
+++
+++=
−
−
...........
...........
.........
.........)(
10
101
10
110
( 129
)
( )
( ) mnseimprópriaracionalfunção
mnseprópriaracionalfunção
positivosinteirossão e
reaisconstantessão e
≤→
>→
→
→
sF
sF
nm
ba k k
( 130
)
→k Z raízes do numerador polinomial são chamados de zeros de F(s), porque
F(s) = 0 para estes valores de S.
→k P raízes do denominador polinomial são chamados de pólos de F(s), porque
( ) ∞→sF ,para estes valores de S.
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 93/112
93
RDC
1) Os pólos de F(s) estão fora da RDC, pois F(s) não converge para pólos, pela
definição.
2) Os zeros por outro lado podem cair dentro ou fora da RDC.
Assim uma representação compacta de F(s) no plano S mostra a localização de
pólos e de zeros além da RDC.
Pólos – Representado por “x”.
Zeros – Representado por “o”.
Exemplo
1) ( ) ( )( )3.1
2
.23.4
4.22 ++
+
=++
+
= ss
s
ss
s
sF
note que F(s) tem:
• Zero em s = -2• Pólo em s = -1
s = -3
• RDC – Re(s) > -1 Representação gráfica do plano S, com a localização dos pólos e zeros.
w j.
σ -1
Plano S
-2-3
O seguinte site na Internet fornece simulações para o melhor entendimento sobre
este assunto: http://www.jhu.edu/~signals/explore/index.html.Programas do Matlab também são úteis para explorar o conceito de pólos e
zeros.
9.9 9.4 – Transformada de Laplace de algumas funções
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 94/112
94
1) ( ) ( )t u At f .=
( ) ( )∞
∞−
−= dt et f sF t s .. .
( 131
)
( ) ( )[ ] ( ) 0Re,......0
.
0
..>=
−===
∞−∞
−∞
∞−
−
ss
As
e Adt e Adt et u AsF t st st s ( 132
)
2) ( ) ( ) ( )t uet uet x t t .. .3.2 −−+=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )23Re,3
1.
12Re,2
1.
.3
.2
−>+
↔
−>+
↔
−
−
ss
t ue
ss
t ue
t
t
( 133
)
A RDC da equação (1) e (2) sobrepostas, fica:
( )( )( ) ( )( ) ( )( )32
2
5.2
32
5.2
32
23
3
1
2
1
++
+
=++
+=
++
+++=
++
+=
ss
s
ss
s
ss
ss
sss X
( 134
)
Re(s) > -2:
Zero :2
5−=s pólo :
3
2
2
1
−=
−=
s
sRDC – Re(s)>-2
Representação gráfica do plano S, com a localização dos pólos e zeros.
w j.
σ -2
Plano S
-3 -2,5
3) ( ) ( ) ( )t uet uet x t t −+=
−− .. .2.3 Comparando com as tabela dos principais pares de transformadas de Laplace
tem-se:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )asas
t ue
asas
t ue
t a
t a
ReRe,1
.
ReRe,1
.
.
.
−<+
↔−−
−>+
↔
−
−
( 135
)
Logo :
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 95/112
95
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )22Re,2
1.
13Re,3
1.
.2
.3
<−
−↔−
−>+
↔−
ss
t ue
ss
t ue
t
t
( 136
)
A RDC da equação (1) e (2) sobrepostas, fica:
( )( )( )32
5
2
1
3
1
+−
−=
−−
+=
sssss X
( 137
)
-3 < Re(s) < 2:
Zero : nenhum pólo :3
2
2
1
−=
=
s
sRDC – -3 <Re(s) <
2
Representação gráfica do plano S, com a localização dos pólos e zeros.
w j.
σ 2
Plano S
-3
4) ( ) ( ) ( )t ut t f .sen=
( ) ( )∞
∞−
−= dt et f sF t s .. .
( 138
)
( ) ( ) ( )[ ] ∞
−
−∞
∞−
−
−==
0
.
..
. ...2
...sen dt e jeedt et ut sF t s
t jt j
t s ( 139)
( ) ( ) ( )
−=
∞
+−
∞
−
0
.
0
. ...2
1dt edt e
jsF t s jt s j
( 140
)
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 96/112
96
( )( ) ( )
( )
+−
−−
−=
∞+
∞−
0
.
0
.
.2
1
s j
e
s j
e
jsF
t s jt s j
( 141
)
( )
+−
−=
js js jsF
11.
.2
1
( 142
)
( )( )
( )( ) 1
.2.
.2
1
..
.2
12
+
+−
−−+=
s
j
j js js
js js
jsF
( 143
)
( )1
12
+=
ssF , Re(s)>0
( 144
)
5) ( ) ( ) ( )t ut t f .cos=
( ) ( )∞
∞−
−= dt et f sF t s .. .
( 145
)
( ) ( ) ( )[ ] ∞
−−
∞
∞−
−
+==
0
...
. ..2
...cos dt eee
dt et ut sF t st jt j
t s ( 146
)
( )
+=
∞
−−
∞
−
0
..
0
.. ....2
1dt eedt eesF t st jt st j
( )( )
( )
( )
( )
+−
−−
−=
∞+∞−
0
.
0
.
2
1
s j
e
s j
esF
t s jt s j
( )( ) ( ) ( ) ( )
++
−=
++
−−=
js js jss jsF
11.
2
111.
2
1
( )( )
( )( ) 1
.2.
2
1
..
2
12
+
+−
−++=
s
s
js js
js jssF
( )12
+=
sssF , Re(s)>0
6) ( ) ( )t uet f t a ..±=
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 97/112
97
( ) ∞
−=
0
.. ... dt eesF t st a
( )( )
∞
−−
=0
.
.dt esF t as
( )( )
( ) ( )asasas
esF
t as
ReRe,1
)(0
.
−>=−−
=
∞−−
9.10 9.4.1 – Alguns Pares de Transformadas de LAPLACE
( )t x ( )s X RDC ( )t δ 1 stodo
( )t u s
1 ( ) 0sRe >
( )t u −− s
1 ( ) 0sRe <
( )t ut . 2
1
s ( ) 0sRe >
( )t ut K . 1!+K sK ( ) 0sRe >
( )t ue t a ..− as +
1 ( ) ( )aResRe −>
( )t ue t a−−
− .. as +
1 ( ) ( )aResRe −<
( )t uet t a .. .− ( )2
1
as + ( ) ( )aResRe −>
( )t uet t a −− − .. . ( )2
1
as + ( ) ( )aResRe −<
( ) ( )t ut w ..cos 0 20
2 ws
s
+ ( ) 0sRe >
( ) ( )t ut w ..sen 0 20
20
ws
w
+ ( ) 0sRe >
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 98/112
98
( ) ( )t ut we t a ..cos. 0.−
( ) 20
2 was
as
++
+ ( ) ( )aResRe −>
( ) ( )t ut we t a ..sen. 0.−
( )
2
0
2
20
was
w
++
( ) ( )aResRe −>
9.11 9.5 – Propriedades da Transformada de Laplace
1) Linearidade( ) ( )
( ) ( )sF t f
sF t f
22
11
↔
↔
2
1
RRDC
RRDC
=
=
Então:
( ) ( ) ( ) ( )sF asF at f at f a 22112211 .... +↔+ 21'RDC R R R ∩=
Representação gráfica de uma situação qualquer no plano S.
w j.
σ a
2
Plano S
w j.
σ
Plano S
a1
w j.
σ
Plano S
a1a2
21' R R R ∩=
2 R1 R
As demais propriedades considera-se a seguinte figura do plano S, como
referênciapara análise:
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 99/112
99
w j.
σ
Plano S
' R
β
2) Deslocamento Temporal
( ) ( )sF t f ↔ R=RDC
( ) ( )sF et t f ot s ..0
−↔− R=
'R
α
w j.
σ
Plano S
' R
β
3) Deslocamento no Domínio S
( ) ( )sF t f ↔ R=RDC
( ) ( )0. . ssF t f e t so −↔ ( )0
' ReR s R +=
( )osRe+α
w j.
σ
Plano S
' R
( )osRe+ β
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 100/112
100
4) Mudança de Escala
( ) ( )sF t f ↔ R=RDC
( )
↔
a
sF
at a f .
1. Ra R .'
=
α .a
w j.
σ
Plano S
' R
β .a
Exemplo
( )[ ] ?.sen =t a (
147 )
( )[ ] 1
1sen 2 += st
(
148 )
( )[ ]22
2
22
2
22
1.
1
1
1.
1
1
1.
1.sen
as
a
a
asa
a
sa
a
sat a
+=
+=
+
=
+
= (
149 )
5) Reversão temporal
( ) ( )
( ) ( ) R RsF t f
R RDC sF t f
−=−↔−
=↔
'
(
150 )
6) Derivação no domínio do tempo
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 101/112
101
( ) ( )
( )( ) R RsF s
dt
t f d
R RDC sF t f
⊃↔
=↔
'.
(
151 )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
'
0 onde0. ==−= t t f f f sF st f
(
152 )
( ) ( ) ( ) ( )00.. '2'' f f ssF st f −−= (
153 )
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )00.0.. '''23''' f f s f ssF st f −−−= (
154 )
.
.
.
( )[ ] ( )∞
−=
0
.'' .. dt et f t f t s (
155 )
Fazendo a seguinte transformação:
( ) ( )t f vdt t f dv
dt esdueu t st s
==
==−−
.
..'
..
(
156 )
Tem-se
( )[ ] ( )[ ] ( )∞
−
∞
− +=0
.0
.' .... dt et f st f et f t st s (
157 )
Exemplo
( ),......3,2,1,
.=↔ k s
dt
t U d k k o
k
(
158 )
7) Derivação no domínio S
( ) ( )
( )( )
R Rds
sF d t f t
R RDC sF t f
=↔−
=↔
'..
(
159 )
8) Integração no domínio do tempo
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 102/112
102
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0Re1
. '>∩=↔
=↔
∞−
s R RsF s
duu f
R RDC sF t f t
(
160 )
Introduz um pólo adicional s=0 pela multiplicação pors1 , pois a
integração é a
operação inversa da multiplicação.
9) Transformada de Laplace de potência de t
Se ( )[ ] ( ) ( ) ?., == t f t entãosF t f n
( )[ ] ( )∞ −
=0
. ..... dt et f t t f t t snn (161 )
( ) t snnn
t sn
t st s
t st s
t st s
t st s
et ds
ed
et ds
ed
et ds
ed
esdt
ed
esdt
ed
..
.22
.2
..
.22
.2
..
..1
.
.
.
.
−−
−−
−−
−−
−−
−=
∴
−=
−=
=
−=
(
162 )
( )n
t snnt sn
ds
ed et
.. .1.
−−
−= (
163 )
( )( ) ( ) ( )∞
−−
∞
−=−
0
..
0
...1..1. dt et f ds
d dt e
ds
d t f t s
n
nnt s
n
nn
(
164 )
( )( ) ( ) ( ) +−
∞
∈−=− Z nsF ds
d dt e
ds
d t f
n
nnt s
n
nn ,..1..1. .
0
(
165 )
10) Convolução
( ) ( )
( ) ( ) 222
111
R RDC sF t f
R RDC sF t f
=↔
=↔
(
166 )
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 103/112
103
Então ( ) ( ) ( ) ( ) 21'
2121 . R R RsF sF t f t f ∩⊃↔∗
11) Transformada de funções singulares
( )[ ]
( )[ ] sann
nn
esat U
st U .. −
=−
=
(
167 )
Exemplo
( )[ ]
( )[ ] ( )
∞
−−−
−
=
=
0
.44
4
..
?
dt et U t U
t U
t s
(
168 )
( ) ( ) ( )∞
−−−− →=
0
.1
3
1
3
4 ...!3
.!3
dt et U t
t U t
t U t s (
169 )
( ) ( )∞
−− =
0
.34 ..1..
!3
1dt et t U t s
(
170 )
( )[ ] [ ]14
34
!,
!3.
!3
1.
3
1+− ===
nn
s
nt pois
st t U
(
171 )
( )[ ] 444
1 −− == s
st U
(
172 )
Exemplos
1) Encontre a transformada de Laplace dos seguintes sinais
a) ( )( ) ( ) ( )t ut f t xs X
.?==
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 104/112
104
f(t)
t
1
1-1
x ' (t)
t
UO(t)
1
-1
0
x(t)
t
1
1-1
x "(t)
t
U1(t)
10
-UO(t)
UO(t-1)
( ) ( ) ( ) ( )1001'' −+−= t U t U t U t f (
173 )
Integrando-se tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )1221 −+−= −−− t U t U t U t f (
174 )
Logo através da tabela de propriedades de Laplace :
( ) sesss
sF −+−= .
11122
(
175 )
9.12 9.6 – Transformada Inversa de Laplace
9.6.1 – Definição e Representação
A transformada inversa de Laplace transforma o sinal do domínio S em
um sinal
que pode ser interpretado no domínio temporal.
( ) ( ) sF t f 1−=
(
176 )
9.6.2 – Métodos para determinar ( ) sF 1−
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 105/112
105
1) Fórmula de Inversão
( ) ( )
∞±
=
.
. ....2
1
jc
t s dsesF j
t f π
(
177 )
2) Utilizar tabela dos pares de transformada de Laplace
( ) ( ) ( ) ( )sF sF sF sF n+++= ........21 (
178 )
Uma tentativa de expressar F(s) em uma somatória onde F 1(s),
F 2(s),........., F n(s)
são funções com transformadas inversas conhecidas; f 1(t), f 2(t),......., f n(t), então
pela propriedade da linearidade tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )t f t f t f t f n+++= ........21 (
179 )
3) Expansão em Frações Parciais
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )n
m
ps ps
zs zsK
s D
s N s X
−−
−−==
........
.........
1
1 (
180 )
• Se X(s) é uma função racional própria ou seja, e m<n.
1) Caso : Pólo Simples:
Se todos os pólos são simples (ou distintos), então X(s) pode ser escrito
como:
( ) ( ) ( )n
n ps C ps C s X
−++
−= .........
1
1 (181 )
Onde os coeficientes Ck são dados por:
( ) ( )k psk k s X psC
=−= .
(
182 )
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 106/112
106
2) Caso : Pólos Múltiplos:
Se D(s) tem pólos múltiplos, isto é, se possui fatores da forma (s-pi)r ,
nós dizemos
que pi é pólo múltiplo de X(s) com multiplicidade r . Então a expansão de X(s)
consistirá de termos da forma:
( )( ) ( ) ( )r
i
r
ii ps ps pss X
−++
−+
−=
λ λ λ .........
221
(
183 )
( ) ( )[ ]i ps
r ik
k
k r s X psds
d
k =− −= ..
!
1λ
(
184 )
• Se X(s) é uma função racional imprópria, isto é, m ≥ n.
( )( )( )
( )( )( )s D
s RsQ
s D
s N s X +==
(
185 )
Onde N(s) e D(s) são numerador e denominador polinomial em s
respectivamente
de X(s), o quociente Q(s) é um polinômio em s com grau m-n , e o resto R(s) é
um polinômio em s com grau estritamente menor do que n.
Exemplos
1) Encontre a transformada inversa de Laplace
de: ( ) ( ) 1Re,.2
2>
−= s
ss
ss X .
( )( )
nm
p
p
z
ssss X <
=
=
=
−= ,
1
0
0
1..2
2
1
1
( )( ) ( ) ( )1
21
2
2
1
1
−+=
−+
−=
s
C
s
C
ps
C
ps
C s X
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 107/112
107
( ) ( ) ( )( )
21
1.2
1.
.2.1.1
111 ==
−−=−=
=
=
ss ss
sss X sC
( )( ) ( )
010
0.2
1.
.2..
0
02 =−
=−
==
=
=
s
s ss
sss X sC
( )( )1
20
−+=
sss X
Utilizando a tabela de Transformadas de Laplce e realizando uma análise
causal .A
RDC de X(s) é Re(s)>1, então:
( ) ( )t uet x t ..2=
2) Encontre a transformada inversa de Laplace de:
( )( )( )
( ) ( ) 2Re4Re,4.2
6−<>
−+= ses
sss X
( )( )( )
nm p
p
sss X <
+=
−=
−+= ,
4
2
4.2
6
2
1
( )( ) ( ) ( ) ( )42
21
2
2
1
1
−+
+=
−+
−=
s
C
s
C
ps
C
ps
C s X
( ) ( ) ( ) ( )( ) 142
6
4.2
6.2.2
221 −=−−=−++=+=
−=
−=
ss ssss X sC
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
124
6
4.2
6.4.4
442 =
+=
−+−=−=
+=
+=
ss ss
ss X sC
Substituindo:
( )( ) ( )
−+
+−
−+
+−=
−−
4
1
2
1
4
1
2
1 11
sssss X
( )
( )( )
( )
−<
+>
+−=
−
2Re2
4Re1,.
2
.4
1
.2
s RDC
s RDC t ueet x
RDC
t
RDC
t
Logo esta função x(t) não tem transformada X(s), pois a RDC não existe.
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 108/112
108
w j.
σ 4
Plano S
-2
3) Encontre a transformada inversa de Laplace de:
( )( )
( ) 1Re,4.1
12
−>++
+= s
s
ss X
Pela tabela de transformadas de Laplace temos:
( ) ( )( )
( ) ( )aswas
ast ut we
oo
t a ReRe,..cos.22
.−>
++
+↔
−
( ) ( ) ( )t ut et x t ..2cos.−=
4) Encontre a transformada inversa de Laplace de:
( )
( )( ) 0Re,
13.4.
13.5
2>
++
+= s
sss
ss X
( )( )
nm
p
j p
j p
sss
ss X <
=
+=
−=
++
+= ,
1
32
32
13.4.
13.5
3
2
1
2
( )13.4
.2
321
++
++=
ss
C sC
s
C s X
( ) 113.4
13.5.
0201 =
++
+==
==
ss ss
ss X sC
( ) 13.4
11
13.4.
13.5
13.4
.222
32
++
+−=−
++
+=
++
+
ss
s
ssss
s
ss
C sC
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 109/112
109
( )( ) 92
321
13.4
1122
++
−+−=
++
−−=
s
s
sss
s
ss X
( )( ) ( ) 92
3
92
2122
+++
++
+−=
ss
s
ss X
( )( ) ( ) 2222 32
3
32
21
+++
++
+−=
ss
s
ss X
Observando a tabela de transformadas de Laplace tem-se:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t ut et ut et ut x t t ..3sen...3cos. .2.2 −−+−=
( ) ( ) ( )( ) ( )t ut t et x t ..3sen.3cos.1 .2+−=
−
5) Encontre a transformada inversa de Laplace de:
( )( )( )
( ) 3Re,5.3
5.22
2
−>++
++= s
ss
sss X
( )( )( )
m p p
p
ss
sss X
−==
−=
++
++= ,
2ademultiplicdcompólo,5
simplespólo,3
5.3
5.2
32
12
2
( )( ) ( )2
211
553 ++
+−
+=
sss
C s X
λ λ
( )( )( ) ( )
24853569
5.35.2.3 2
32
2
1 ==+−
+−=+++++=
−=ssssssC
( )( )( )
102
51025
5.3
5.2..5..
!0
1
5
2
22
0
0
2 −=−
+−=
++
++=
−=sss
sss
ds
d λ
( )( )( )
( )( ) ( )(( )2
2
5
2
22
13
15.22.2.3
5.3
5.2..5..
!1
1
−=
+
++−++=
++
++=
ss
ssss
ss
sss
ds
d λ
( ) ( )( ) ( )35 130253 1.63 5.26.6.2.2 2
5
2
2
5
2
22
1+−
+−=
+++=
+−−−+++=
−=−= sss
sss
sssssλ
Daí :
( )( ) ( )25
10
5
1
3
2
+−
+−
+=
ssss X
λ
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 110/112
110
A RDC de X(s) é Re(s)>-3, assim x(t), é obtido pela tabela de
transformadas de Laplce.
( ) ( ) ( )t uet eet x t t t .5.5.3 ..10.2 −−−−−=
9.13 9.7 ) Função de Transferencia em Sistema LIT descrito por equação
diferencial linear com coeficiente constante
h(t)
( ) ( ) ( )t ht xt y ∗=( )t x
H(s)
( ) ( ) ( )s H s X sY .=( )s X
( )( )( )s X
sY s H =
(
186 )
( ) ( )
==
=
M
k K
K
K
N
k K
K
K dt
t xd b
dt
t yd a
00
.. (
187 )
Aplicando a propriedade da diferenciação:
( ) ( )==
=
M
k
K K
N
k
K K s X sbsY sa
00
.... (
188 )
( ) ( )==
=
M
k
K K
N
k
K K sbs X sasY
00
....(
189 )
( )( )
( )
=
=== N
k
K K
M
k
K K
sa
sb
s X
sY s H
0
0
.
.
(
190 )
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 111/112
111
A RDC precisa de informações adicionais como a causalidade ou
estabilidade.
Exemplo
1) A saída y(t) de um sistema LTI é dada por :
( ) ( )t uet y t ..2 .3−=
Quando a entrada x(t) é u(t), encontre a resposta impulsiva do sistema
h(t).
( ) ( )
( ) ( ) 3Re,3
2
0Re,1
−>+
=
>=
ss
sY
ss
s X
Então a função de transferencia H(s) é:
( )( )( )
( ) 3Re3
.2−>
+== s
s
s
s X
sY s H
Rescrevendo H(s), como:
( )( )( )
( )( ) 3Re,
3
62
3
63.2
3
.2−>
+−=
+
−+=
+== s
ss
s
s
s
s X
sY s H
E tomando a transformada inversa de Laplace de H(s), tem-se:
( ) ( ) ( )t uet t h t ..6.2 .3−−= δ
2) Encontre a função de transferencia para o sistema representado pela equaçãodiferencial abaixo e determine a reposta ao impulso:
( ) ( )( )
( )( )t x
dt
t dxt y
dt
t dy
dt
t yd .4.2.3
2
2+=+−
Solução
Aplicando a propriedade da derivada da transformada de Laplace:
7/15/2019 Notas Aula Sinais (1)
http://slidepdf.com/reader/full/notas-aula-sinais-1 112/112
112
( ) ( ) ( ) ( ) ( )s X s X ssY sY ssY s .4..2..3.2+=+−
( ) ( ) ( )( )4.2.3. 2+=+− ss X sssY
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
=
=
−−
+=
+−
+==
2
1
2.1
4
2.3
4
2
1
2 p
p
ss
s
ss
s
s X
sY s H
( ) ( ) ( ) ( )2121
2
2
1
1
−+
−
−+
− s
C
s
C
ps
C
ps
C
( )( )( )
51
5
21
41
2.1
4.1 11
11 −=→
−=→
−
+=
−−
+−=
=
C C ss
ssC
s
( )( )( )
61
6
12
42
2.1
4.2 22
22 =→=→
−
+=
−−
+−=
=
C C ss
ssC
s
( )( ) ( )2
61
5−
+−
−=ss
s H
Aplicando as propriedades da transformada de Laplace:
( ) ( ) ( )t ueet h t t ..6.5 .2+−=