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Escola Politécnica da Universidade de São Paulo – Departamento de Engenharia Mecânica 1
Av. Prof. Mello Moraes, 2231, São Paulo, SP, Tel: (11) 3091-5355
PME-2350 – MECÂNICA DOS SÓLIDOS II
AULA #5: RELAÇÕES DEFORMAÇÕES-DESLOCAMENTOS1
5.1 Motivação e objetivos
O objetivo destas notas é recordar as relações cinemáticas entre o campo de deslocamentos dos
pontos de um sólido deformável e o campo de deformações existente nas vizinhanças dos pontos do
sólido. Tais relações, estudadas na disciplina PME-2300 – Mecânica dos Sólidos I, utilizando o sistema
de coordenadas cartesianas, serão também apresentadas segundo outros sistemas de coordenadas, como
as coordenadas cilíndricas e esféricas.
As relações deslocamentos-deformações expressas nos diferentes sistemas de coordenadas citados
podem ser também encontradas em várias referências que tratam do tema, como:
� Em Timoshenko e Goodier [1]: ver cap.1 (item 5) e cap.4 (item 30);
� Em Sokolnikoff [2]: ver cap.1 (itens 7 e 11) e cap.4 (item 48);
� Em Love [3]: ver cap.I (itens 10 e 22);
Alguns artigos de interesse e que utilizam tais equações na solução de problemas estruturais também
podem ser citados, como por exemplo: Yong e Keogh [4], Eslami, Babaei e Poultangari [5], Imaninejad
e Subhash [6] e Rattanawangcharoen et al. [7].
5.2 As relações deformações-deslocamentos em coordenadas cartesianas
Consideremos o sólido deformável indicado na fig. 4, em duas configurações possíveis: a
configuração inicial (também designada configuração de referência, ou não-deformada), a partir da
qual os deslocamentos relativos são medidos, e a configuração final (também designada configuração
corrente, ou deformada), obtida após a aplicação de determinados esforços ao sólido. No sistema de
coordenadas cartesianas Oxyz indicado, designemos as componentes de deslocamento de um ponto P
genérico pertencente ao sólido, medidas respectivamente nas direções dos eixos cartesianos Ox, Oy e
Oz, por � = �(�,�, �), � = �(�,�, �) e � = �(�,�, �). Conforme visto na disciplina PME-2300,
Mecânica dos Sólidos I, em condições de linearidade geométrica (ou seja, pequenos deslocamentos,
pequenas rotações e pequenas deformações), as relações entre as deformações (medidas na vizinhança
do ponto P) e as componentes de deslocamento são dadas por:
1 Notas de Aula preparadas pelo Prof. Dr. Roberto Ramos Jr., email: rramosjr@usp.br
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�� ���
�� Eq.(1)
�� ���
�� Eq.(2)
�� ���
� Eq.(3)
�� ���
�����
�� Eq.(4)
�� ���
����
�� Eq.(5)
�� ���
�����
� Eq.(6)
Fig. 4 Sólido deformável: configurações de referência (linha tracejada) e deformada (linha cheia).
É importante lembrar que os alongamentos ��, �� e ��, dados por Eq.(1-3), representam os
alongamentos das fibras que passam pelo ponto P, e cujos versores tangentes, tomados em P na
configuração de referência, têm as direções dos versores � �, � � e � � (ver Fig.4). Ainda, com relação às
distorções ��, ��, ��, lembramos que elas representam as variações dos ângulos (inicialmente retos),
medidas em radianos, entre os versores tangentes às fibras que, na configuração de referência, passam
x
y
z
� � � �
� �
Fibras passando por um ponto P na
configuração de referência.
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pelo ponto P e têm as direções dos versores ��� e ��� (para a distorção ��), dos versores ��� e ��� (para a distorção ��), ou ainda dos versores ��� e ��� (para a distorção ��).
5.3 As relações deformações-deslocamentos em coordenadas cilíndricas
Para a obtenção das relações deformações-deslocamentos em coordenadas cilíndricas, serão
necessárias as seguintes relações:
• Equação de transformação de deformação (conf. Eq.(17) de [8]);
• Matriz de mudança de base, �����, conforme indicado em [8]; • Relações deformações-deslocamentos em coordenadas cartesianas;
• Matriz Jacobiana referente aos sistemas de coordenadas cilíndricas e cartesianas.
Em síntese, queremos determinar as componentes do tensor das (pequenas) deformações, agora
expresso no sistema de coordenadas cilíndricas e, portanto, escrito na nova base ′ = ����, ���, ����. Conforme visto em [8], a relação entre os tensores das deformações escritos na base anterior, =
����, ���, ����, e na nova base, ′ = ����, ���, ����, é dada por: ���� = ��������. ���. ������� (7)
Onde:
���� = ���� ��
��
��
��
�� ��
��
��
�� ��
�� é o tensor das deformações na base � = ����, ���, ����;
��� =
����� �� ��
��
��
�� ��
��
��
�� ��
��� é o tensor das deformações na base = ����, ���, ����;
����� = ����� −���� 0���� ���� 00 0 1
é a matriz de mudança de base, de para � (ver [8]).
Assim, para obter as relações deformações-deslocamentos em coordenadas cilíndricas, basta utilizar
a Eq.(7). Porém, antes, é preciso rescrever as relações dadas por Eq.(1-6) como as derivadas das
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componentes de deslocamentos em coordenadas cilíndricas (ou seja, ��, ��, ��) em relação às próprias
coordenadas cilíndricas (isto é, em relação à r, �, z). Em outras palavras, é preciso escrever o tensor das deformações, expresso na base antiga = ����, ���, ����, em função das derivadas de ��, �� e �� em
relação a r, �, z 2. Para tanto, basta utilizar as seguintes relações: ��� =
�!�� + !��� �2
(8)
Onde, !�� é o tensor denominado gradiente dos deslocamentos (conforme visto em PME-2300),
expresso na base = ����, ���, ����, e dado por:
!�� =
�������"�"� "�"� "�"�"�"� "�"� "�"�"�"� "�"� "�"� ��
�����=
$%&%'���(%)%*. + ""� ""� ""�, (9)
Ou, ainda, de forma abreviada:
!�� = -�.�/�. 01∇..�2�3� (10)
Porém, como visto em [8], podemos escrever:
-�.�/� = �����. -�.�/�� (11)
E, com relação ao operador gradiente, 1∇..�2, temos:
1∇..�2�=
$%%&%%'
""�""�""�(%%)%%*=
�������"4"� "�"� "�"�"4"� "�"� "�"�"4"� "�"� "�"���
�����.
$%%&%%'
""4""�""�(%%)%%* (12)
Ou, ainda, de forma abreviada:
2 Note, contudo, que, apenas após o uso de Eq.(7), é que teremos o tensor das deformações escrito na base ��
=
���� , ��, ���.
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1∇..�2�= �5������. 1∇..�2�� (13)
Onde 5���� representa a matriz jacobiana da transformação (de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas) dada por:
5���� =�������"4"� "4"� "4"�"�"� "�"� "�"�"�"� "�"� "�"���
����� (14)
Considerando que a transformação inversa exista, são igualmente válidas as relações:
1∇..�2��=
$%%&%%'
""4""�""�(%%)%%*=
�������"�"4 "�"4 "�"4"�"� "�"� "�"�"�"� "�"� "�"���
�����.
$%%&%%'
""�""�""�(%%)%%* (15)
Ou, de forma abreviada:
1∇..�2��= �5���� ��. 1∇..�2
� (16)
Sendo 5���� a matriz jacobiana da transformação (de coordenadas cilíndricas para coordenadas cartesianas) dada por:
5���� =
�������"�"4 "�"� "�"�"�"4 "�"� "�"�"�"4 "�"� "�"���
����� (17)
E, de Eq.(13) e Eq.(16), vem:
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5����. 5���� = 6� ⇔ 5���� = �5���� ��� (18)
No caso em pauta, a transformação de coordenadas (cilíndricas para cartesianas) é pautada pelas
relações:
��4, �, �� = 4. cos��� ��4,�, �� = 4. ������
�(4,�, �) = � (19)
Resultando:
5���� =
�������"�"4 "�"� "�"�"�"4 "�"� "�"�"�"4 "�"� "�"���
�����=
������cos(�) −4. ���(�) 0
���(�) 4. cos(�) 0
0 0 1������ (20)
E, portanto:
�5������ = �5���� ��� =�������cos(�) −
���(�)4 0
���(�) cos(�)4 0
0 0 1������� (21)
Após este longo, porém necessário, intervalo, retornamos à Eq.(10) que, combinada com Eq.(11) e
com Eq.(13), fica:
!�� = ������. -�.�/���. 1∇..�2��� . 5���� (22)
onde se deve ter claro que o operador 1∇..�2��
� está aplicado sobre o produto �����. -�.�/��, sendo 5����
apenas um termo multiplicativo. Pode-se ainda rescrever Eq.(22) na forma:
!�� = 81∇..�2��. ������. -�.�/����9� . 5���� (23)
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a qual deixa evidente que o operador 1∇..�2�� incide sobre a transposta de �����. -�.�/��.
Aplicando o procedimento descrito nesta seção, pode-se verificar que as seguintes relações
deformações-deslocamentos são aplicáveis no sistema de coordenadas cilíndricas:
�� ="��"4 Eq.(24)
�� =��4 +
14 ."��"� Eq.(25)
�� ="��"� Eq.(26)
�� ="��"4 +
14 ."��"� −��4 Eq.(27)
�� ="��"� +
"��"4 Eq.(28)
�� = "��"� +14 ."��"� Eq.(29)
O Anexo A mostra o passo-a-passo para a determinação destas relações utilizando o procedimento
descrito anteriormente com auxílio do software Maple.
5.4 As relações deformações-deslocamentos em coordenadas esféricas
De forma totalmente análoga ao procedimento visto no item 1.3, para a obtenção das relações
deformações-deslocamentos em coordenadas esféricas, serão necessárias as seguintes relações:
• Equação de transformação de deformação (conf. Eq.(17) de [8]);
• Matriz de mudança de base, �����, conforme indicado em [8]; • Relações deformações-deslocamentos em coordenadas cartesianas;
• Matriz Jacobiana referente aos sistemas de coordenadas esféricas e cartesianas.
Queremos agora determinar as componentes do tensor das (pequenas) deformações, expresso no
sistema de coordenadas esféricas e, portanto, escrito na nova base ′ = ����, �� , ����. Conforme visto em
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[8], a relação entre os tensores das deformações escritos na base anterior, = ����, ���, ����, e na nova base, ′ = ����, �� , ����, é dada por:
���� = ��������. ���. ������� (30)
Onde:
���� =����� �� ��
��
��
� ��
��
��
�� ��
��� é o tensor das deformações na base � = ����, �� , ����;
��� =
����� �� ��
��
��
�� ��
��
��
�� ��
��� é o tensor das deformações na base = ����, ���, ����;
����� = ����:. cos� ���:. cos� −�������:. ���� cos:. sen� cos����: −���: 0 é a matriz de mudança de base, de para � (ver [8]).
Para obter as relações deformações-deslocamentos em coordenadas esféricas, basta utilizar a
Eq.(30). Antes, porém, é preciso rescrever as relações dadas por Eq.(1-6) como as derivadas das
componentes de deslocamentos em coordenadas esféricas (ou seja, ��, � , ��) em relação às próprias
coordenadas esféricas (isto é, em relação à r, :, �). Em outras palavras, é preciso escrever o tensor das deformações, expresso na base antiga = ����, ���, ����, em função das derivadas de ��, � e �� em
relação a r, :, � 3. Para tanto, basta utilizar a relação: ��� =
�!�� + !��� �2
(31)
Onde, !��, conforme já mencionado, é o gradiente dos deslocamentos, expresso na base =
����, ���, ����, e dado por:
3 Note, contudo, que, apenas após o uso de Eq.(7), é que teremos o tensor das deformações escrito na base ��
=
����, ���, ���.
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!�� =
�������"�"� "�"� "�"�"�"� "�"� "�"�"�"� "�"� "�"� ��
�����=
$%&%'���(%)%*. + ""� ""� ""�, = -�.�/�. 01∇..�2�3� (32)
Seguindo o mesmo procedimento visto em 1.3, o tensor gradiente dos deslocamentos dado pela
Eq.(32), pode ser rescrito na forma:
!�� = ������. -�.�/���. 1∇..�2��� . 5���� (33)
Onde,
1∇..�2��=
$%%&%%'
""4"":""�(%%)%%*=
�������"�"4 "�"4 "�"4"�": "�": "�":"�"� "�"� "�"���
�����.
$%%&%%'
""�""�""�(%%)%%* (34)
Ou, de forma abreviada:
1∇..�2��= �5���� ��. 1∇..�2
� (35)
Sendo 5���� a matriz jacobiana da transformação (de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas) dada por:
5���� =
�������"�"4 "�": "�"�"�"4 "�": "�"�"�"4 "�": "�"���
����� (36)
Neste caso, a transformação de coordenadas (esféricas para cartesianas) é pautada pelas relações:
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��4,:,�� = 4. ����:�. cos��� ��4,:, �� = 4. ����:�. ������
��4,:,�� = 4. cos(:) (37)
Resultando:
5���� =
������sen�:�cos(�) 4 cos�:� ���(�) −4����:����(�)���(:)���(�) 4 ����:� ���(�) 4���(:)cos(�)
cos(:) −4���(:) 0 ������ (38)
E, portanto:
�5������ = �5���� ��� =����������(:)cos(�) ���(:)���(�)4 −
���(�)4�;�(:)���(:)���(�) ���(:)���(�)4 cos(�)4���(:)
���(:) −���(:)4 0 ��
����� (39)
Aplicando o procedimento descrito nesta seção, pode-se verificar que as seguintes relações
deformações-deslocamentos são aplicáveis no sistema de coordenadas esféricas:
�� ="��"4 Eq.(40)
� =��4 +
14 "� ": Eq.(41)
�� =��4 +
14���(:)"��"� +� 4 ��<=(:) Eq.(42)
� =14 "��": −
� 4 +"� "4 Eq.(43)
�� =14���(:)"��"� −
��4 +"��"4 Eq.(44)
� =14���(:)"� "� +
14 "��": −��4 ��<=(:) Eq.(45)
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O Anexo B mostra o passo-a-passo para a determinação destas relações utilizando o procedimento
descrito anteriormente com auxílio do software Maple.
5.5 Referências
[1] Timoshenko., S.P., Goodier, J.N., Theory of Elasticity, 3rd ed., McGraw-Hill, 1970.
[2] Sokolnikoff, I.S., Mathematical Theory of Elasticity, 2nd ed., McGraw-Hill, 1956.
[3] Love, A.E.H., A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, 4th ed., Dover Pub., 1944.
[4] Yong, W.Y., Keogh, P.S., (2007), Annular component transient thermoelastic analysis using a state
space approach. J. Tribology, v.129, pp.818-828.
[5] Eslami, M.R., Babaei, M.H., Poultangari, R., (2005), Thermal and mechanical stresses in a
functionally graded thick sphere. Int. J. Pressure Vessels and Piping, v.82, pp.522-527.
[6] Imaninejad, M., Subhash, G., (2005), Proportional loading of thick-walled cylinders. Int. J. Pressure
Vessels and Piping, v.82, pp.129-135.
[7] Rattanawangcharoen, N., Bai, H., Shah, A.H., (2004), A 3D cylindrical finite element model for
thick curved beam stress analysis. Int. J. Numer. Meth. Engng, v.59, pp.511-531.
[8] www.poli.usp.br/d/pme2350, Aula #3 – Transformação de Tensão e de Deformação, 9 pg.
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Anexo A (página 2 / 2):
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Anexo B (página 1 / 2):
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Anexo B (página 2 / 2):