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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
ROSANA APARECIDA DA COSTA VAZ
SARESP/2005: UMA ANÁLISE DE QUESTÕES DE MATEMÁTICA DA
7ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL, SOB A ÓTICA DOS NÍVEIS
DE MOBILIZAÇÃO DE CONHECIMENTOS E DOS REGISTROS DE
REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
São Paulo
2008
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
ROSANA APARECIDA DA COSTA VAZ
SARESP/2005: UMA ANÁLISE DE QUESTÕES DE MATEMÁTICA DA
7ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL, SOB A ÓTICA DOS NÍVEIS
DE MOBILIZAÇÃO DE CONHECIMENTOS E DOS REGISTROS
DEREPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para
obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM ENSINO DE
MATEMÁTICA, sob a orientação da Profª Drª. Barbara Lutaif
Bianchini.
São Paulo
2008
Banca Examinadora
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta
Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________
À minha família
Meu amor Daniel (in memorian)
Minhas filhas Milena e Carolina
Minha mãe Maria e
A todos os meus oito irmãos
Aos Pais: (Rui Barbosa) “... Se um dia, já homem feito e respeitado, sentires que a terra ceda a teus pés, que tuas belas obras se desmoronaram que não há ninguém à tua volta para te estender a mão, esquece tua maturidade, passa pela tua mocidade, volta à tua infância e balbucia, entre lágrimas e esperanças, as últimas palavras que sempre te restaram na alma: Meu Pai, minha Mãe”
AGRADECIMENTOS
A Deus, pelo privilégio de proporcionar-me condições de desenvolver esta pesquisa.
À Professora Doutora Barbara Lutaif Bianchini, pela extrema competência, bondade, dedicação e amizade dedicadas a mim em sua orientação.
À Professora Doutora Miriam Cardoso Utsumi e à Professora Doutora Sílvia Dias de Alcântara Machado, integrantes da banca examinadora, pelas orientações e valiosas sugestões dadas na qualificação, o que com certeza enriqueceram este trabalho.
À Professora Atalita, quem tenho elevada consideração, pela suas prestigiosa ajuda.
Às minhas filhas Milena e Carolina por todo carinho e compreensão pelas horas de ausência.
A toda equipe de direção da Escola Estadual Dr. Antonio Braz Gambarini pela autorização, cooperação e confiança a mim dispensada e à Escola Estadual Professor Oguimar Rugeri pelos horários difíceis de ser montados.
Aos alunos da 7ª série de 2008 da Escola Estadual Dr. Antonio Braz Gambarini pela disposição e colaboração indispensáveis na realização deste trabalho, como também a seus pais, por permitirem que seus filhos participassem.
Enfim, a todos que, de alguma forma, contribuíram para a realização deste sonho.
RESUMO
Esta pesquisa tem como objetivo analisar o desempenho dos alunos na resolução de
algumas questões do SARESP/2005 relacionadas à Álgebra em questões referentes
a equações e expressões envolvendo a conversão do registro de representação
semiótica da língua natural para o registro algébrico (DUVAL, 2003). Para isso,
utilizamos como instrumento de pesquisa, três questões da prova do SARESP/2005
aplicadas ao 8º ano do Ensino Fundamental em 2008. Esta pesquisa possui uma
abordagem qualitativa, fundamentada na metodologia da engenharia didática
(ARTIGUE, 1996). Para análise dos dados obtidos nos protocolos dos alunos,
baseamo-nos nos níveis de mobilização dos conhecimentos de Aline Robert (1998).
As provas foram aplicadas em dois momentos: no primeiro, as questões foram
reaplicadas da mesma maneira como no SARESP/2005, ou seja, com as alternativas
e, no segundo, num intervalo de quinze dias, reaplicamos, porém, sem as
alternativas. Analisando o desempenho apresentado por nossos alunos, notamos
que todos se encontram no nível técnico, resolvendo as questões utilizando apenas
operações com números, não realizando a conversão do registro da língua natural
para o registro algébrico. Acreditamos que para que haja uma boa compreensão dos
conceitos algébricos, faz-se necessário um trabalho da Álgebra com suas várias
representações, em níveis de conhecimento diferentes, exigindo do aluno a
mobilização de seus conhecimentos e articulação de estratégias para a resolução de
uma atividade. Espera-se com essa pesquisa, mostrar que o desempenho dos
alunos nas avaliações internas deveria ser analisado qualitativamente pelos órgãos
oficiais e pelos professores, pois só assim poderiam servir efetivamente para
redimensionar e implementar novos procedimentos e estratégias em sala de aula
capazes de contribuir para a melhoria do processo de ensino e de aprendizagem.
Palavras-chave: Álgebra, Registros de representação semiótica, Níveis de
mobilização de conhecimentos pelos alunos.
ABSTRACT
The main objective of this work is to analyze students performance on solving some
SARESP\2005’s Algebraic questions which referred to equations and expressions
involving the conversion of semiotic representation of nature language register to
algebraic register (DUVAL, 2003). For this purpose, we used three of the
SARESP\2005’s questions applied to the seventh grade of Elementary School
students in 2008 as a searching tool. This work has a qualitative approach based on
didactic engineer methodology (ARTIGUE, 1996). To analyze the results in students’
records, we based ourselves on Aline Robert’s knowledge mobilization stages (1998).
The tests were applied during two different moments: during the first, tests were
reapplied in the same way as on SARESP\2005, i.e., using alternatives and, after
fifteen days, in the second moment, we reapplied them but without alternatives.
Analyzing our students’ performance it was noted that all of them are in a technical
stage, solving questions using only operations with number instead of doing the
conversion of nature language register to algebraic one. We believe that it is
necessary to do an Algebra work including its several representations, on different
stages of knowledge, which requires the students’ knowledge mobilization and the
strategies articulation to solve some questions so that they can have a good
understanding of algebraic concepts. Through this work, we expect to show that it
would be better to do a qualitative analysis of students’ performance in internal
evaluations from official bodies and from teachers, once it could be used to measure
and implement new procedures and strategies capable of contributing to make the
teaching and learning process in classroom better.
Keywords: Algebra, semiotic representation Registers, students knowledge
mobilization stages
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO............................................................................................................17
CAPÍTULO 1
1. SOBRE O SARESP E OS PCN .............................................................................23
1.1 SOBRE O SARESP.........................................................................................23
1.2 SOBRE OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS-PCN.................28
CAPÍTULO 2
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA..............................................................................45
2.1 A LINGUAGEM MATEMÁTICA.........................................................................45
2.2 SOBRE OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA.....................47
2.3 SOBRE OS NÍVEIS DE MOBILIZAÇÃO DE CONHECIMENTOS....................52
CAPÍTULO 3
3. REVISÃO DE LITERATURA..................................................................................57
CAPÍTULO 4
4. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS...............................................................77
4.1 A ESCOLA E OS ALUNOS................................................................................79
4.2 O INSTRUMENTO DE PESQUISA....................................................................82
4.3 ANÁLISE A PRIORI...........................................................................................84
4.4 PROCEDIMENTOS DA PRIMEIRA APLICAÇÃO.............................................91
4.5 PROCEDIMENTOS DA SEGUNDA APLICAÇÃO.............................................93
4.6 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS........................................94
CONSIDERAÇÕES FINAIS......................................................................................107
REFERÊNCIAS........................................................................................................113
ANEXOS................................................................................................117
ANEXO 1 : MATRIZ DE ESPECIFICAÇÃO DE MATEMÁTICA – 7ª SÉRIE
DO ENSINO FUNDAMENTAL.................................................................117
ANEXO 2: CONHEÇA O SARESP...........................................................................119
ANEXO 3: RESOLUÇÃO SE 81, de 19/10/2005......................................................125
ANEXO 4: COMUNICADO DA SEE/SP...................................................................131
ANEXO 5: ORIENTAÇÕES DISPONIBILIZADAS PELA DIRETORIA REGIONAL
DE ENSINO DA CIDADE DE OSASCO...................................................133
ANEXO 6: MODELO DE AUTORIZAÇÃO DA DIREÇÃO DA ESCOLA...................137
ANEXO 7: MODELO DE AUTORIZAÇÃO DO RESPONSÁVEL PELO ALUNO......139
ANEXO 8: QUESTÕES DA 1ª APLICAÇÃO.............................................................141
ANEXO 9: QUESTÕES DA 2ª APLICAÇÃO.............................................................143
LISTA DE TABELAS
TABELA 1: DIAGNÓSTICO GERAL DO ESTADO DE SÃO PAULO POR
SÉRIE E POR PERÍODO ........................................................................36
TABELA 2: DIAGNÓSTICO GERAL DA DIRETORIA REGIONAL DE OSASCO
POR SÉRIE E POR PERÍODO...............................................................37
TABELA 3: DIAGNÓSTICO GERAL DA ESCOLA E.E. DR. ANTONIO BRAZ
GAMBARINI POR SÉRIE E POR PERÍODO..........................................38
TABELA 4: PERCENTUAL DE ACERTOS DOS ALUNOS NAS 1ª E 2ª
APLICAÇÕES.........................................................................................95
LISTA DE GRÁFICOS
GRÁFICO 1: COMPARATIVO DO DESEMPENHO DOS ALUNOS DA 7ª
SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL..................................................39
GRÁFICO 2: PERCENTUAL DE ACERTOS DA REDE ESTADUAL DE
ENSINO DE SÃO PAULO DAS QUESTÕES ANALISADAS................83
LISTA DE QUADROS
QUADRO 1: DESENHO DO SARESP DE 1996 A 2005............................................23
QUADRO 2: MATRIZ DE ESPECIFICAÇÃO DE MATEMÁTICA – 7ª SÉRIE
DO ENSINO FUNDAMENTAL...............................................................35
QUADRO 3: ESCALA DE DESEMPENHO DE MATEMÁTICA – 7ª SÉRIE DO
ENSINO FUNDAMENTAL.....................................................................41
QUADRO 4: ELEMENTOS BÁSICOS DE CARACTERIZAÇÃO DO CAMPO
CONCEITUAL DA ÁLGEBRA................................................................65
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1: REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS.....................................................................58
FIGURA 2: PROTOCOLO DO ALUNO 1 – QUESTÃO 7.........................................96
FIGURA 3: PROTOCOLO DO ALUNO 2 – QUESTÃO 7.........................................96
FIGURA 4: PROTOCOLO DO ALUNO 3 – QUESTÃO 7.........................................97
FIGURA 5: PROTOCOLO DO ALUNO 4 – QUESTÃO 7.........................................97
FIGURA 6: PROTOCOLO DO ALUNO 5 – QUESTÃO 7.........................................98
FIGURA 7: PROTOCOLO DO ALUNO 6 – QUESTÃO 7.........................................98
FIGURA 8: PROTOCOLO DO ALUNO 7 – QUESTÃO 8.........................................99
FIGURA 9: PROTOCOLO DO ALUNO 8 – QUESTÃO 8.......................................100
FIGURA 10: PROTOCOLO DO ALUNO 9 – QUESTÃO 8.......................................100
FIGURA 11: PROTOCOLO DO ALUNO 10 – QUESTÃO 8.....................................101
FIGURA 12: PROTOCOLO DO ALUNO 11 – QUESTÃO 8.....................................101
FIGURA 13: PROTOCOLO DO ALUNO 12 – QUESTÃO 8.....................................102
FIGURA 14: PROTOCOLO DO ALUNO 13 – QUESTÃO 9.....................................103
FIGURA 15: PROTOCOLO DO ALUNO 14 – QUESTÃO 9.....................................103
FIGURA 16: PROTOCOLO DO ALUNO 15 – QUESTÃO 9.....................................104
INTRODUÇÃO
Como professora da rede pública do Estado de São Paulo desde 1987,
formada pela Faculdade de Ciências e Letras Oswaldo Cruz, participei de várias
reuniões em que discutimos as dificuldades enfrentadas no ensino e na
aprendizagem em matemática.
Tais discussões levaram-me a procurar métodos diferenciados para trabalhar
os conteúdos nas diferentes séries.
Nesse sentido, em 2003 resolvi inscrever-me em um curso de pós-graduação
lato sensu em educação matemática na mesma instituição em que me graduei,
concluindo em 2005.
Sentindo ainda a necessidade de prosseguir com os estudos, ingressei no
curso de Mestrado Profissional em Educação Matemática da Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo-PUC/SP o qual, pelo programa apresentado, atendia às
minhas expectativas como profissional da educação.
Neste curso estudamos as teorias de vários pesquisadores relacionados com
a educação matemática sendo, uma delas, a teoria da pesquisadora Aline Robert
(1998), sobre os níveis de mobilização de conhecimentos esperados pelos alunos.
Em reunião oferecida pela Diretoria Regional de Ensino de Osasco a
professores da rede pública da região, com o objetivo de analisar os resultados
obtidos pelos alunos da rede pública estadual nas provas do Sistema de Avaliação
de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo – SARESP/2005, foi nos informado
que a referida prova constava de exercícios com graus de dificuldades diferentes, de
modo a contemplar os níveis de mobilização de conhecimentos pelos alunos
conforme Aline Robert (1998).
Neste momento, recordei-me do artigo da referida pesquisadora, do qual tive
conhecimento somente no curso de mestrado, e passei a me perguntar: Se os níveis
de funcionamento do conhecimento como define Robert (1998) realmente estão
18
INTRODUÇÃO Rosana Ap. da Costa Vaz
presentes nos apontamentos oficiais e que efetivamente foram cobrados nas
questões do SARESP/2005, então, porque não foi divulgado o resultado sobre o
desempenho dos alunos de acordo com esses mesmos níveis?
Algumas discussões relacionadas com o desempenho dos alunos nas
avaliações internas e externas, principalmente no que se refere à leitura e
interpretação de textos matemáticos, à atividade algébrica com significado e ao
trabalho das diferentes representações da linguagem matemática, nos indicam a
necessidade de adequarmos nosso trabalho como professores e pesquisadores,
procurando atender às suas dificuldades.
Nos resultados da prova do SAEB (Sistema Nacional de Avaliação de
Educação Básica), por exemplo, itens referentes à álgebra raramente atingem o
índice de 40% de acerto em muitas regiões do país (BRASIL, 1998, p.116), sendo
esse um dos fatores que tem levado os pesquisadores da área de educação
matemática à análise e revisão dos currículos dessa disciplina, bem como da
metodologia utilizada no ensino básico.
No SARESP, Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São
Paulo, os resultados não são diferentes. Em 2005, a média de desempenho dos
alunos em matemática nessa avaliação não passou de 37% (SÃO PAULO, 2006).
Para que o ensino da álgebra seja efetivado, faz-se necessário que o
professor tenha clareza dos diferentes papéis que ela assume, como por exemplo,
álgebra como ferramenta, álgebra como estrutura, álgebra como linguagem, álgebra
como aritmética generalizada, álgebra como cultura (Lee, 2001, apud SILVA, 2006,
p. 26) e, com seus alunos, construa o conhecimento algébrico, principalmente com
relação à sua linguagem e representação.
Aparentemente, nem sempre são trabalhadas com os alunos atividades que
privilegiem o pensamento algébrico e as mudanças de registros de representação
19
INTRODUÇÃO Rosana Ap. da Costa Vaz
semiótica (DUVAL, 2003)1, sendo dada atenção apenas a mecanismos de cálculo,
muitas vezes sem que estejam relacionadas a um contexto real e com significado.
O ensino da álgebra comumente conhecida como um amontoado de símbolos tem sofrido um abandono e vem perdendo espaço no Ensino Básico. Esse contexto demanda estudo sobre visões, dimensões e concepções deste campo da Matemática, pois posições pouco ancoradas podem gerar maiores lacunas no ensino aprendizagem dos alunos em qualquer nível. (SILVA, 2006, p.114)
Essa tem sido uma das preocupações do Grupo de Pesquisa em Educação
Algébrica – GPEA, do programa de estudos pós-graduados em Educação
Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP, cujo
principal objetivo é investigar “Qual a Álgebra a ser ensinada em cursos de formação
de professores de matemática”, no qual vêm sendo realizados estudos e projetos de
pesquisa sobre álgebra e do qual essa pesquisa faz parte.
A preocupação do grupo origina-se no fato de terem sido observadas
descontinuidades existentes no ensino de álgebra entre os diversos níveis de ensino
por meio de pesquisas realizadas pelos seus membros.
Maranhão, Machado e Coelho (2004), pesquisadoras desse grupo, enfatizam
que, se por um lado a álgebra é o caminho para estudos futuros e para idéias
matematicamente significativas, por outro, ela é freqüentemente um obstáculo no
desenrolar da aprendizagem de muitos alunos.
O grupo possui subgrupos de estudos, os quais realizam pesquisas sobre
álgebra com o objetivo de investigar dimensões, visões e tendências no ensino e na
aprendizagem.
Mediante o acima exposto e levando em consideração que durante minha
experiência profissional tenho percebido que os alunos, tanto do ensino fundamental,
1
Expressão Utilizada por Raymond Duval (2003), cuja teoria será explicada no Capítulo 2.
20
INTRODUÇÃO Rosana Ap. da Costa Vaz
como do ensino médio, possuem uma grande dificuldade na leitura e interpretação
de textos matemáticos, bem como não conseguem modelizar uma situação-problema
para sua resolução, preocupei-me em pesquisar o assunto, inserindo-me no projeto
Expressões, Equações e Inequações – pesquisa, ensino e aprendizagem.
Este projeto tem como objetivo caracterizar o ensino e a aprendizagem sobre
expressões, equações e inequações, com a finalidade de contribuir para a crítica e
implementação de propostas curriculares nacionais e para o debate internacional
sobre o assunto.
Ribeiro (2007) remete-nos às pesquisas realizadas por Kieran (1992), as quais
apontam para a ênfase dada aos aspectos procedimentais no ensino e na
aprendizagem da Álgebra, e levanta o fato de haver um trabalho demasiado com o
aspecto processual, que não contribui para que os alunos consigam equacionar uma
situação-problema e utilizá-la para a resolução de problemas.
Dessa forma, desenvolverei minha pesquisa analisando o desempenho2 dos
alunos na resolução de algumas questões do SARESP/2005, de acordo com os
níveis de mobilização dos conhecimentos de Aline Robert (1998): nível técnico,
mobilizável e disponível, uma vez que, como já foi dito, a SEE/SP orientou para
que as questões da referida avaliação fossem fundamentadas nesta teoria, no
entanto, quando da análise do desempenho dos alunos, não levaram referida teoria
em consideração.
Robert (1998) ressalta que um trabalho que considera esses três níveis de
conhecimentos ajuda na análise e na preparação de atividades que permitam a
construção do conhecimento matemático em diferentes níveis, bem como auxilia na
identificação dos conhecimentos prévios necessários para a resolução de uma
situação-problema.
_______________________________________________________
2 Considera-se como desempenho a maneira como o aluno resolveu a questão.
21
INTRODUÇÃO Rosana Ap. da Costa Vaz
As questões analisadas são referentes ao tema equações e expressões, as
quais exigem do aluno a passagem do registro de representação semiótica da língua
natural para o registro algébrico.
Esperamos, através desta pesquisa, verificar o desempenho dos alunos do 8º
ano na resolução de questões que envolvem a conversão de registro de
representação semiótica da língua natural para o registro algébrico (DUVAL, 2003),
sob a ótica dos níveis de mobilização de conhecimentos pelos alunos, bem como
mostrar que tal desempenho deveria ser analisado qualitativamente pelos órgãos
oficiais e pelos professores, pois só assim poderia servir efetivamente para
redimensionar e implementar novos procedimentos e estratégias capazes de
contribuir para a melhoria do processo de ensino e de aprendizagem.
As atividades que estimulam o pensamento algébrico devem ser
desenvolvidas ao longo do Ensino Fundamental (LINS e GIMENEZ, 1998), porém,
como o trabalho com a álgebra, seguindo uma concepção letrista, ou seja, o uso das
letras por meio de abstrações no trabalho com situações concretas é, atualmente,
introduzido no 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental, nossa pesquisa estará
direcionada a estas séries, mais especificamente ao oitavo ano (antiga 7ª série do
Ensino Fundamental).
Para tanto, daremos a esta pesquisa uma abordagem qualitativa, baseando-
nos nas fases da engenharia didática.
Assim sendo, apresentaremos no Capítulo 1, um esclarecimento sobre o
SARESP – Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo; o
que é, para que serve, seus objetivos e como é realizado, juntamente com a
abordagem dada à álgebra pelos PCN (BRASIL, 1998), seus objetivos e o que é
abordado sobre a resolução de problemas e sobre o pensamento algébrico, uma vez
que este documento procura oferecer aos professores subsídios de ordem didática e
cunho construtivista para o ensino e para a aprendizagem, enfatizando uma
articulação teórico-prática.
22
INTRODUÇÃO Rosana Ap. da Costa Vaz
Como neste trabalho de pesquisa analisaremos algumas questões do
SARESP/2005, as quais exigem do aluno a conversão do registro de representação
semiótica da língua materna para o registro algébrico, teremos como fundamentação
teórica os estudos realizados por Raymond Duval (2003), os quais serão
apresentados no Capítulo 2.
Considerando que a análise qualitativa do desempenho dos alunos nas
questões escolhidas será realizada sob a ótica dos níveis de mobilização de
conhecimentos de Aline Robert (1998), ainda nesse capítulo, faremos uma síntese
sobre esta teoria.
Sabemos que a linguagem matemática, com seus códigos e representações,
desempenham um papel significativo dentro da matemática e da cultura, porém, só
apreendida com o apoio da língua materna. Nessa perspectiva, achamos
conveniente descrever trabalhos sobre a linguagem matemática e algumas
concepções e abordagens dadas à álgebra, o que será feito na forma de revisão de
literatura apresentada no Capítulo 3.
Os procedimentos metodológicos utilizados serão apresentados no Capítulo 4,
no qual realizamos uma breve descrição sobre o perfil da escola e sobre os alunos
participantes desta pesquisa, bem como uma análise a priori das questões aplicadas.
A apresentação e análise qualitativa dos resultados obtidos nessa pesquisa
estarão descritas no Capítulo 5, seguidas, por fim, de nossas considerações finais.
Esperamos com esta pesquisa levar professores e órgãos oficiais
responsáveis pelas avaliações externas a uma reflexão sobre a análise do
desempenho dos alunos nessas avaliações.
23
CAPÍTULO 1
SOBRE O SARESP E OS PCN
1.1 SOBRE O SARESP
O Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo –
SARESP é uma avaliação externa aplicada a alunos da rede pública estadual, pela
qual a Secretaria da Educação - SEE/SP avalia o sistema de ensino, verificando o
rendimento escolar dos alunos de diferentes séries e períodos, identificando os
fatores que interferem nesse rendimento.
O SARESP teve início em 1996 sendo aplicado nos anos que se seguiram,
com exceção de 1999 e 2006.
Apresentamos, abaixo, um quadro referente ao ano e série em que houve
aplicação da referida avaliação.
QUADRO 1: Desenho do SARESP de 1996 a 2005
Retirado do site www.rededosabersp.gov.br/contentes/SIGS-curso/Sigsc/upload.br/, acesso em janeiro/2008.
1996
1997
1998
2000
Séries Aplicadas
2001
2002
2003
Ensino Médio
Ano
Ensino Fundamental
7ª 8ª 6ª 5ª 3ª 4ª 2ª 3ª 1ª 2ª 1ª
2004
2005
24
CAPÍTULO 1 Rosana Ap. da Costa Vaz
De acordo com a Secretaria da Educação do Estado de São Paulo – SEE/SP,
o objetivo principal do SARESP é o de obter informações que possam ajudar
educadores e gestores de ensino no desenvolvimento de ações e elaboração de
propostas que possam intervir no sistema de ensino, a fim de superar os problemas
de aprendizagem existentes, bem como em propostas de ensino e de aprendizagem
significativas para o aluno.
Nessa perspectiva, o SARESP funciona como uma “bússola” no sentido de
orientar a SEE-SP quanto aos problemas de ensino e de aprendizagem. A SEE-SP o
considera como uma prova avaliativa, não punitiva, e fomentadora de mudanças
qualitativas na educação.
Como já foi dito, esta avaliação é dirigida a alunos da rede pública, porém, as
escolas da rede privada e da rede municipal também podem participar, por meio de
adesão.
Os resultados da avaliação e uma série de estudos estatísticos e pedagógicos
são colocados à disposição pela SEE-SP aos professores e gestores de ensino para
que tomem conhecimento sobre a qualidade do ensino oferecido no Estado, a fim de
que, a partir desses dados, adotem procedimentos e estratégias capazes de
contribuir efetivamente para a melhoria do processo de ensino e de aprendizagem.
A SEE/SP orienta que em todo início de ano que segue a aplicação do
SARESP, no período de planejamento escolar, os professores, juntamente com o
coordenador pedagógico, analisem o desempenho dos alunos em cada questão,
verificando em quais habilidades a média dos alunos obteve baixo índice de
desempenho e discutam quais estratégias devem ser desenvolvidas e que
conteúdos devem ser trabalhados com o objetivo de sanar as defasagens apontadas
pela referida avaliação.
25
CAPÍTULO 1 Rosana Ap. da Costa Vaz
Embora os objetivos gerais do SARESP venham se mantendo em todas as
suas edições, seu desenho apresentou algumas variações ao longo dos anos,
seguindo metodologias distintas, dificultando uma comparação entre os seus
resultados, como podemos verificar a seguir.
De 1996 a 1998 as provas do SARESP tiveram um caráter diagnóstico e seu
foco principal era o ensino. Realizaram-se no início do ano letivo, tratando-se,
portanto, de uma avaliação de entrada, na qual se examinavam conteúdos vistos
pelos alunos na série anterior.
Apenas duas séries do ensino fundamental participavam da avaliação, a qual
foi censitária em termos de escolas, porém, amostral em termos de alunos3.
Os componentes curriculares envolvidos foram o de Língua Portuguesa, com
Redação, e Matemática para as primeiras séries do ensino fundamental e, após a 4ª
série desse nível de ensino incluiu-se Ciências, História e Geografia.
Em 2000 o desenho original do SARESP foi mantido e iniciou-se a avaliação
do Ensino Médio, porém, as provas, tanto para o Ensino Fundamental quanto para o
Ensino Médio, foram realizadas ao final do ano letivo, com conteúdos da própria
série, tratando-se, portanto, de uma avaliação de saída.
Os componentes curriculares envolvidos foram: Língua Portuguesa (com
Redação), Matemática e Ciências para o Ensino Fundamental, e Língua Portuguesa
(com Redação), Matemática e Biologia para o Ensino Médio.
No ano seguinte, 2001, a avaliação foi censitária em termos de escolas e
alunos, com questões relacionadas à disciplina de Língua Portuguesa (com
Redação). Apenas os alunos das 4ª e 8ª séries do Ensino Fundamental participaram
dessa avaliação, a qual teve como foco principal o aluno e não mais o ensino, como
no início. 3 Censitária porque todas as escolas da Rede Pública Estadual participaram e amostral porque os alunos da Rede
Municipal e da Rede Particular não participaram da avaliação.
26
CAPÍTULO 1 Rosana Ap. da Costa Vaz
Nesse ano, os alunos que apresentaram um percentual de acertos menor que
50% tiveram que participar de uma recuperação chamada de “recuperação de férias”
e passaram por outra prova no âmbito do SARESP/2001, a partir da qual puderam
ser encaminhados para prosseguimento dos estudos ou para uma recuperação de
ciclo, realizada durante todo o ano letivo seguinte.
Dessa forma, os alunos que novamente obtiveram um desempenho abaixo da
média desejada, ou seja, 50% de acertos, foram matriculados na mesma série em
que cursavam, em uma sala constituída apenas com alunos nessas condições, os
quais, segundo orientações da SEE/SP, deveriam receber um tratamento
diferenciado de aprendizagem, porém, avaliados da mesma forma que os demais
alunos.
Em 2002, o SARESP voltou a ter como foco principal o ensino. Com
características amostrais em termos de alunos e censitárias em termos de escola, as
provas também foram aplicadas apenas para as séries finais dos ciclos I e II do
Ensino Fundamental, envolvendo somente o componente curricular de Língua
Portuguesa (com Redação).
Ressaltamos que, de um ano para outro, como pudemos verificar, as
mudanças foram feitas, porém, sem qualquer comunicado prévio ou justificativas do
porquê.
Em 2003 e 2004 o SARESP ampliou sua abrangência, avaliando todos os
alunos, escolas, séries e períodos do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, por
meio de uma prova que contemplava as habilidades de Leitura e Escrita.
Somente a partir de 2003, a SEE-SP passou a fornecer a cada escola
participante do sistema o resultado individual de seus alunos.
Como ocorrido em 2004, em 2005 o SARESP caracterizou-se novamente
como uma avaliação externa, com a finalidade de avaliar as habilidades cognitivas
27
CAPÍTULO 1 Rosana Ap. da Costa Vaz
adquiridas pelos alunos ao longo do Ensino Fundamental e do Ensino Médio. Nesse
ano, além de Língua Portuguesa foram avaliadas também as habilidades em
Matemática.
Para atingir os objetivos propostos pela SEE/SP, as provas do SARESP
foram constituídas de 3 instrumentos, a saber:
• Dois cadernos de provas destinados à 1ª e à 2ª séries do ensino fundamental,
voltados à área de Leitura e Escrita e Matemática, com questões abertas.
• Cadernos de provas destinados às demais séries do ensino fundamental e às
séries do ensino médio constituídos de 26 questões objetivas de múltipla
escolha de Leitura/Escrita, seguidas de 26 questões, também objetivas de
múltipla escolha de Matemática.
• Um caderno com o tema para Redação e com um questionário sócio-
econômico e cultural, por meio do qual se obtém dados com o objetivo de que
possa traçar o perfil dos alunos e verificar as possíveis interferências desses
fatores na aprendizagem.
Neste ano, pela primeira vez, as provas foram aplicadas em dois dias. Os
alunos do Ensino Fundamental e do Ensino Médio realizaram, no primeiro dia, as
provas de Língua Portuguesa e Matemática e, no segundo dia, a Redação e o
questionário. As provas foram realizadas no mesmo horário das aulas das
respectivas séries e aplicadas pelos professores da própria unidade escolar, porém
de outras séries e turmas que não aquelas em que aplicaram a prova.
As questões objetivas foram formuladas por uma empresa de assessoria
externa contratada.
28
CAPÍTULO 1 Rosana Ap. da Costa Vaz
Vale ressaltar que, segundo orientações da SEE/SP, as provas são
elaboradas com questões diferentes, por série e por período, porém, as provas de
uma mesma série, mas de períodos diferentes, devem ser equivalentes tanto nas
habilidades quantos nos processos cognitivos exigidos em cada questão.
Segundo a SEE-SP, a seleção e a definição dessas habilidades estavam, em
2005, fundamentadas nas Propostas Curriculares da Coordenadoria de Estudos e
Normas Pedagógicas - CENP/SEE (São Paulo, 1997) e nos Parâmetros Curriculares
Nacionais - PCN do Ensino Fundamental (BRASIL, 1998).
1.2 SOBRE OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS-PCN
Os PCN (BRASIL, 1998) constituem um documento de ordem didática e cunho
construtivista, que contém orientações relativas a conceitos e procedimentos
matemáticos, permitindo uma análise sobre os obstáculos que podem surgir na
aprendizagem de certos conteúdos dessa disciplina, sugerindo alternativas que
possam favorecer sua superação pelos professores em sua prática escolar.
Foi estabelecido pela União, em colaboração com os estados, o Distrito
Federal e os municípios e elaborado com o objetivo de definir diretrizes para nortear
os currículos nas escolas.
Os Parâmetros Curriculares Nacional da área de Matemática para o Ensino Fundamental (7 a 14 anos) buscaram expressar a contribuição das investigações e das experiências na área de Educação Matemática. Eles explicitaram o papel da Matemática pela proposição de objetivos que evidenciam a importância de o aluno valorizá-la como instrumental para compreender o mundo à sua volta, e de vê-la como área do conhecimento que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas (PIRES, 2005, p.16).
29
CAPÍTULO 1 Rosana Ap. da Costa Vaz
Dessa forma, acreditamos que a implantação das orientações propostas
pelos PCN (BRASIL, 1998), ou seja, a sua incorporação à prática de sala de aula
pelos professores, protagonistas dessa implantação, bem como a apresentação de
um currículo oficial que sirva de referência para o sistema escolar do país, fazem
com que as pessoas envolvidas com a produção de livros didáticos, paradidáticos e
outros materiais relacionados à educação se adaptem aos currículos estabelecidos
como parâmetro no referido documento.
Essa é uma visão que faz parte do estudo realizado por Chevallard (1991),
denominada transposição didática.
[...] a transposição didática diz respeito ao processo de mudanças e adaptações que sofre o saber formal, tal qual é cultivado nos laboratórios e demais ambientes acadêmicos em que é produzido, quando se deseja passar (ou transpor) tal saber para os currículos e programas da formação escolar.(DA ROCHA FALCÃO, 2003, p.1)
Nossa compreensão sobre os objetivos dos Parâmetros Curriculares Nacional
de Matemática - PCN (BRASIL,1998) é de que vem oferecer aos profissionais da
educação, subsídios para uma discussão sobre o ensino e sobre a aprendizagem da
matemática.
Para que tais objetivos sejam atingidos faz-se necessário ao professor:
• Identificar as principais características dessa ciência, de seus
métodos, de suas ramificações e aplicações. • Conhecer a história de vida de seus alunos, seus conhecimentos
informais sobre um dado assunto, suas condições sociológicas, psicológicas e culturais.
• Ter clareza de suas próprias concepções sobre a matemática, uma vez que a prática em sala de aula, as escolhas pedagógicas, a definição de objetos e conteúdos de ensino e as formas de avaliação estão intimamente ligadas a essas concepções. (BRASIL, 1998, p.36).
30
CAPÍTULO 1 Rosana Ap. da Costa Vaz
De acordo com os PCN (BRASIL, 1998), a resolução de problemas deveria
ser o ponto de partida para a construção de um conhecimento matemático
significativo, em que os alunos se sintam desafiados e se dediquem a desenvolver
habilidades, construir estratégias de resolução, comprovar essas estratégias e
justificar os resultados obtidos.
Tais conhecimentos exigem do aluno a iniciativa pessoal e o trabalho em
equipe, favorecendo a autonomia e confiança em sua própria capacidade.
A adoção da solução de problemas como atividade nas diversas disciplinas que compõem a grade curricular é indicada com o objetivo de possibilitar aos alunos o desenvolvimento de suas habilidades e estratégias para solucionar problemas, uma vez que, sem procedimentos adequados e eficazes, quer dizer, habilidades e estratégias, o aluno não será capaz de solucionar problemas. (QUINTILIANO e BRITO, 2006, p. 5).
Todavia, tal atividade dificilmente tem sido desenvolvida com sucesso, tendo
em vista a dificuldade de muitos na leitura e na interpretação dos textos
matemáticos.
Dessa forma, a resolução de problemas passa a ser apenas uma atividade
para aplicação de conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos e não como
uma atividade de ponto de partida, o que seria adequado.
Segundo Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), uma situação-problema só pode
ser considerada como algébrica se sua resolução necessitar, de forma retórica ou
simbólica, de operações, incógnitas e leis aritméticas que legitimem as
transformações entre os dois membros de uma igualdade.
Os PCN (BRASIL, 1998) nos apresentam alguns princípios para a resolução
de problemas sendo um deles de que uma situação-problema pode servir como
ponto de partida para a atividade matemática e não como definição.
31
CAPÍTULO 1 Rosana Ap. da Costa Vaz
No processo de ensino e de aprendizagem, os conceitos matemáticos devem
ser abordados mediante a exploração de problemas, de forma que os alunos
precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-los.
Segundo os PCN (BRASIL, 1998), uma atividade em que o aluno aplica, de
forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório não se caracteriza
em um problema. Só existirá problema se o aluno for desafiado e motivado a
interpretar o enunciado da questão que lhe é proposta e a modelizar, estruturar a
situação que lhe é apresentada para a sua resolução.
Para resolver certo tipo de problema o aluno mobiliza conhecimentos
adquiridos e os utiliza para apreensão de novos conceitos, procedimentos e atitudes
matemáticas, o que exige do aluno conjecturas, transferências, retificações e
verificações de hipóteses.
Concluímos, dessa forma, que os princípios estabelecidos pelos PCN
(BRASIL, 1998) vão ao encontro do estudo sobre os níveis de mobilização de
conhecimentos (técnico, mobilizável e disponível), realizados pela pesquisadora
Aline Robert (1998), os quais podem nos auxiliar a detectar em que nível se encontra
nossos alunos, para que possamos propor atividades que envolvam conceitos
matemáticos, fazendo com que eles, ao realizarem tais atividades, construam seus
conhecimentos e trabalhem em diferentes níveis.
Sabemos que os conhecimentos necessários para a resolução de um
problema podem não estar disponíveis para o aluno em um primeiro momento e que
isso nem sempre é explicitado pelo professor, o qual parte do pressuposto de que
seus alunos possuem tais conhecimentos e os utilizem para estruturar uma solução.
32
CAPÍTULO 1 Rosana Ap. da Costa Vaz
Quando isso acontece, ou seja, quando não há disponibilidade de
conhecimentos necessários por parte dos alunos, o professor poderá mediar,
fazendo com que eles relembrem tais conteúdos.
Assim, para que o aluno alcance uma solução bem sucedida quando resolve
um problema, é necessário que siga alguns passos ou etapas propostas por Polya
(1978), ou seja, o aluno deve compreender o problema, elaborar um plano e buscar
estratégias de resolução, reconhecer os procedimentos necessários para a resolução
e, finalmente, comparar, verificar e interpretar a solução encontrada.
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (BRASIL, 1998),
o ensino de matemática deve ter como objetivo o desenvolvimento do pensamento
algébrico, o qual deve ocorrer por meio de situações de aprendizagem que levem o
aluno a reconhecer diferentes representações algébricas, as quais permitam
generalizar propriedades e compreender os procedimentos envolvidos na resolução
de uma situação-problema.
O estudo da álgebra constitui um espaço bastante significativo para que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização, além de lhe possibilitar a aquisição de uma poderosa ferramenta para resolver problemas. (BRASIL, 1998, p. 115).
Os PCN do Ensino Fundamental (BRASIL, 1998), estabelecem que as noções
e linguagens algébricas devem ser exploradas por meio de generalizações e
representações matemáticas para que o pensamento algébrico não se resuma em
um ato mecânico, com o simples objetivo de resolver equações.
Dessa forma, com relação ao terceiro ciclo, os PCN (BRASIL, 1998) nos
dizem que o pensamento algébrico deve ser desenvolvido por meio de situações de
aprendizagem que levem o aluno a:
33
CAPÍTULO 1 Rosana Ap. da Costa Vaz
• Reconhecer que representações algébricas permitem expressar
generalizações sobre propriedades das operações aritméticas, traduzir situações-problema e favorecer as possíveis soluções.
• Traduzir informações contidas em tabelas e gráficos em linguagem algébrica e vice-versa, generalizando regularidades e identificar os significados das letras.
• Utilizar os conhecimentos sobre as operações numéricas e suas propriedades para construir estratégias de cálculo algébrico. (BRASIL, 1998, p.64).
Relativamente ao quarto ciclo, ou seja, oitavo e nono ano (antiga sétima e
oitava séries do ensino fundamental), o ensino de matemática deve priorizar o
desenvolvimento do pensamento algébrico por meio da exploração de situações-
problema que permitam ao aluno produzir e interpretar diferentes representações
algébricas como expressões, equações e inequações, bem como compreender os
procedimentos algébricos envolvidos para resolução de tal conteúdo.
O pensamento algébrico pode ser caracterizado por elementos diferentes, em
atividades que exijam percepção de regularidades, percepções de aspectos
invariantes em contraste com outros que variam, tentativas de expressar ou explicitar
a estrutura de uma situação-problema e a presença do processo de generalização.
(FIORENTINI, MIORIM E MIGUEL, 1993, p.87).
Os conceitos e procedimentos algébricos são bastante complexos aos alunos,
os quais, além de apresentarem dificuldade na interpretação do texto matemático e
de encarar a necessidade de mobilizar conhecimentos a fim de modelizar o
problema, confundem o papel da letra, ou seja, a noção de variável e incógnita.
Utilizamos a letra como uma incógnita quando ela estiver representando um
número desconhecido. Quando ela pode assumir vários valores num conjunto
específico, estabelecendo, também, uma relação entre dois conjuntos é chamada de
variável.
34
CAPÍTULO 1 Rosana Ap. da Costa Vaz
[...] O ensino da álgebra precisa continuar garantindo que os alunos trabalhem com problemas que lhes permitam dar significado à linguagem e às idéias matemáticas. Ao se proporem situações-problema bastante diversificadas, o aluno poderá reconhecer diferentes funções da álgebra (ao resolver problemas difíceis do ponto de vista aritmético, ao mobilizar, generalizar e demonstrar propriedades e fórmulas, estabelecer relações entre grandezas) (BRASIL, 1998, p. 84).
Um professor pode reconhecer facilmente que um conteúdo matemático pode
estar diretamente ligado a outro conteúdo, ou seja, para a compreensão de um novo
conhecimento é necessário mobilizar alguns conhecimentos já interiorizados, fato
esse que nem sempre é percebido pelos alunos.
O trabalho com a álgebra, suas diferentes linguagens e representações, não
exclui essa idéia, ao contrário, estará sempre presente em atividades e problemas
envolvendo outros conteúdos matemáticos, os quais exigirão do aluno a manipulação
de conceitos já adquiridos para, e em muitos deles, realizarem a conversão da
representação da língua natural para a linguagem algébrica.
No SARESP/2005 os conteúdos algébricos avaliados foram operações com
números racionais, problemas de contagem, proporcionalidade, porcentagem e juros
simples, expressões algébricas, equações polinomiais do primeiro grau, sistemas de
equações polinomiais do primeiro grau e inequações do primeiro grau, como
observado no Quadro 2, no qual consta a descrição das habilidades exigidas para os
alunos do 8º ano (antiga 7ª série do Ensino Fundamental), divulgadas pela SEE/SP.
Salientamos que no Quadro 2 constam apenas as habilidades referentes ao
tema estudado nesta pesquisa, as quais foram retiradas de uma matriz de
especificação de matemática, anexa a este trabalho.
35
CAPÍTULO 1 Rosana Ap. da Costa Vaz
QUADRO 2: MATRIZ DE ESPECIFICAÇÃO - MATEMÁTICA 7ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL
CONTEÚDOS DESCRIÇÃO DAS HABILIDADES
1. Resolver situação-problema, compreendendo diferentes significados das operações, envolvendo números racionais.
2. Resolver situação-problema de contagem que envolve o
princípio multiplicativo. 3. Resolver situação-problema que envolve grandezas diretamente
proporcionais. 4. Resolver situação-problema que envolve grandezas
inversamente proporcionais.
5. Resolver situação-problema que envolve cálculo de juros simples 6. Resolver equações do 1º grau com uma incógnita. 7. Resolver situação-problema por meio de equação do primeiro grau. 8. Resolver situação-problema por meio de um sistema de equações do primeiro grau,
9. Resolver situação-problema por meio de inequação do primeiro grau.
NÚMEROS E
OPERAÇÕES
10. Efetuar operações com expressões algébricas.
Acreditamos que para que haja uma boa compreensão dos conceitos
algébricos, faz-se necessário um trabalho da Álgebra com suas várias
representações, em níveis de conhecimento diferentes, exigindo do aluno a
mobilização de seus conhecimentos e articulação de estratégias para a resolução de
uma atividade.
Os resultados da avaliação do SARESP/2005 e uma série de estudos
estatísticos e pedagógicos foram colocados à disposição pela SEE-SP aos
36
CAPÍTULO 1 Rosana Ap. da Costa Vaz
professores e gestores de ensino para que tomem conhecimento sobre a qualidade
do ensino oferecido na Rede Estadual de São Paulo, a fim de que, a partir desses
dados, adotassem procedimentos e estratégias capazes de contribuir efetivamente
para a melhoria do processo de ensino e de aprendizagem.
Apresentamos, a seguir, os resultados da prova de matemática realizada no
SARESP/2005, os quais foram divulgados pela SEE-SP para conhecimento e
análise, e que estão disponíveis no site da Secretaria de Educação do Estado de
São Paulo.
TABELA 1: DIAGNÓSTICO GERAL DO ESTADO DE SÃO PAULO POR SÉRIE E POR PERÍODO
Matemática Percentual médio de acerto
SÉRIE MANHÃ TARDE NOITE3 EF 50,1 50,7 -4 EF 42,5 41,6 -5 EF 39,7 41,1 43,26 EF 41,8 40,9 40,27 EF 37,1 35,1 32,68 EF 31,8 30,5 32,21 EM 35,4 32,3 36,52 EM 29,9 32,2 29,63 EM 27,7 31,4 28,8
Fonte: http://saresp.edunet.sp.gov.br/2005/, acesso em março/2008.
Analisando os dados acima, constata-se que a média de acertos dos alunos
do ensino público estadual não ultrapassa os 37%.
Percebe-se, ainda, que de todas as séries avaliadas, apenas a 3ª série do
Ensino Fundamental, tanto do período da manhã quanto do período da tarde, obteve
um percentual médio de acerto acima dos 50% e que as séries finais de ciclos (4ª
série e 8ª série do Ensino Fundamental e 3º ano do Ensino Médio) tiveram uma
média de acertos menor em relação às séries precedentes.
37
CAPÍTULO 1 Rosana Ap. da Costa Vaz
Nota-se também que, com relação à 7ª série, os alunos do período da manhã
atingiram um índice maior que os alunos dos outros períodos, com uma diferença de
2% em relação ao período da tarde e de 4,5% em relação ao noturno.
TABELA 2: DIAGNÓSTICO GERAL DA DIRETORIA DE ENSINO DE OSASCO, POR SÉRIE E POR PERÍODO
Matemática Percentual médio de acerto
Fonte: http://saresp.edunet.sp.gov.br/2005/, acesso em março/2008.
Com relação à 7ª série do ensino fundamental, o percentual médio de acertos
dos alunos pertencentes à Diretoria de Ensino de Osasco foi de 35,25%.
É interessante notar, na tabela acima, que todas as séries do período noturno
tiveram um melhor desempenho em relação a outros períodos, o que nos chama
atenção e nos leva a refletir sobre qual o motivo desse dado. Será que o
desempenho dos alunos do noturno está relacionado à sua maturidade, uma vez que
a maioria dos alunos desse período são trabalhadores?
Novamente constatamos o fato de que na Diretoria Regional as séries finais
de ciclos também foram as que tiveram o menor desempenho em relação às séries
precedentes.
SÉRIE MANHÃ TARDE NOITE
3 EF 49,9 44,4 -
4 EF 39,6 39,9 -
5 EF 38,7 41,3 -
6 EF 38,6 39,8 -
7 EF 35,1 35,4 -8 EF 31,1 29,7 37
1 EM 33,3 28,3 35,2
2 EM 27,9 - 29,13 EM 26,1 - 27,5
38
CAPÍTULO 1 Rosana Ap. da Costa Vaz
TABELA 3: DIAGNÓSTICO GERAL DA ESCOLA E. E. DR. ANTONIO BRAZ GAMBARINI, POR SÉRIE E POR PERÍODO
Matemática Percentual médio de acerto
SÉRIE MANHÃ TARDE NOITE
- - - -
- - - -
5 EF - 45,4 -
6 EF - 42,1 -
7 EF 38,2 37,4 -8 EF 31,6 - -
1 EM 34,8 - 38,8
2 EM 26,7 - 30,43 EM 23,4 - 27
Fonte: http://saresp.edunet.sp.gov.br/2005/, acesso em março/2008.
A tabela acima se refere ao percentual médio de acertos obtido na escola em
que fizemos a aplicação das questões utilizadas nesta pesquisa.
Verifica-se que a média de acertos dos alunos pertencentes à 7ª série do
ensino fundamental foi de 37,8%%, sendo superior ao percentual de acertos obtidos
tanto no Estado, quanto na Diretoria de Ensino.
Acreditamos que esse resultado, ainda que melhor, porém não satisfatório,
deve-se ao fato de que há um número bastante razoável de professores efetivos que
atuam nesta unidade escolar já há um bom tempo, havendo assim, um número
reduzido da rotatividade de professores, como aparentemente ocorre em muitas
escolas.
Verifica-se, ainda, que o resultado desta escola no Ensino Médio do período
noturno está condizente com o resultado obtido pela Diretoria de Ensino.
39
CAPÍTULO 1 Rosana Ap. da Costa Vaz
Aproveitamos os dados anteriormente apresentados e fizemos um gráfico
comparativo das três tabelas, referentes aos resultados obtidos pelos alunos da 7ª
série do Ensino Fundamental, para uma melhor análise.
33,5
34
34,5
35
35,5
36
36,5
37
37,5
38
38,5
PERCENTUAL DEACERTOS DO ESTADO
PERCENTUAL DEACERTOS DA D.E.
PERCENTUAL DEACERTOS DA ESCOLA
7ª sériemanhã
7ª sérietarde
Gráfico 1: Comparativo do Desempenho dos alunos da 7ª série do E.F.
Podemos observar que embora o percentual de acertos da escola pesquisada
esteja acima da média de acertos dos outros dois níveis, nenhum deles atingiu a
média de 50% de acertos.
Dessa forma, os dados oferecidos a partir da realização do SARESP servem
como ferramenta de orientação para realização do planejamento do professor e na
elaboração de planos e estratégias, a fim de melhorar as práticas pedagógicas em
cada unidade escolar.
Já foi dito no início desta pesquisa que o SARESP/2005 teve como
fundamento teórico os níveis de mobilização de conhecimentos pelos alunos de Aline
Robert, como podemos observar por meio das orientações dadas pela SEE-SP.
(SÃO PAULO, 2005, p. 5).
40
CAPÍTULO 1 Rosana Ap. da Costa Vaz
[...] Para as provas, as questões devem ser elaboradas a partir de contextos que confiram significados. É fundamental que na formulação de questões seja considerado o nível de conhecimento mobilizado na resolução da questão, de modo a promover uma diversidade de possibilidades. Sugerimos como referência a classificação de Aline Robert, que em seu artigo “Ferramentas de análise de conteúdos a ensinar” (1998) classifica o funcionamento de conhecimento pelos alunos em três níveis: técnico, mobilizável e disponível [...] A porcentagem para essa distribuição pode ser a seguinte:
Deve-se privilegiar a resolução de problemas em todos os itens em especial as de nível mobilizável e disponível. (SÃO PAULO, 2005, p. 5).
Apesar de tal orientação ter sido dada às Diretorias regionais do Estado de
São Paulo, somente foram repassadas a alguns professores após a realização da
referida prova, quando, em nossa opinião, deveria ser repassada a todos os
professores, antes da realização da prova, uma vez que são eles sujeitos, gestores e
reguladores do processo de ensino e da aprendizagem com seus alunos.
Gostaríamos de registrar o fato de que, de acordo com nossa experiência,
percebemos que grande parte dos professores da rede estadual de ensino não tem
conhecimento de tal teoria, ou seja, não foram capacitados para trabalhar com seus
alunos de acordo com esta orientação.
Além disso, como a avaliação do SARESP/2005 está fundamentada na teoria
de Robert (1998), acreditamos que a análise sobre o desempenho dos alunos
também deveria contemplar tal teoria, a fim de que pudéssemos verificar em que
nível os alunos se encontram.
No entanto, a análise feita pela SEE/SP foi realizada em níveis de escalas de
desempenho, como mostrado no Quadro 3.
Nível Percentual
Técnico 20
Mobilizável 50
Disponível 30
41
CAPÍTULO 1 Rosana Ap. da Costa Vaz
QUADRO 3: ESCALA DE DESEMPENHO DE MATEMÁTICA – 7ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL NÍVEL DESCRIÇÃO
ABAIXO DO
NÍVEL 1
Alunos que não demonstram domínio das habilidades avaliadas pelos itens da prova
. NÍVEL 1
Os alunos resolvem situação-problema compreendendo diferentes operações com números naturais.
NÍVEL 2
Os alunos resolvem situação-problema envolvendo grandezas direta e inversamente proporcionais. Utilizam propriedades de triângulos (como o reconhecimento dos casos de congruência). Associam dados de uma tabela simples a um gráfico de setores e resolvem situação-problema simples de contagem envolvendo o princípio multiplicativo.
NÍVEL 3
Os alunos resolvem situação-problema por meio de inequação do primeiro grau. Resolvem situação-problema envolvendo unidade de medida de tempo e fazem conversões. Reconhecem figuras tridimensionais representadas por diferentes vistas e utilizam relações de igualdade ou de suplementaridade entre ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal. Resolvem situação-problema com dados expressos em tabelas simples e de dupla entrada e associam dados de tabelas simples a um gráfico de colunas.
NÍVEL 4
Os alunos resolvem situações-problema envolvendo cálculo de juros simples. Resolvem problemas envolvendo a resolução de uma equação do primeiro grau com uma incógnita ou um sistema de equações do primeiro grau. Identificam arestas paralelas em paralelepípedos retângulos e determinam o número de diagonais de um quadrado. Resolvem situação-problema envolvendo grandezas determinadas pela razão de duas outras (velocidade e tempo, por exemplo).
NÍVEL 5
Os alunos efetuam operações com expressões algébricas. Calculam área de superfícies planas por meio da composição e decomposição de figuras e determinam a soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer. Identificam o espaço amostral adequado para analisar um experimento aleatório.
Fonte: Relatório do SARESP/2005. (SÃO PAULO, 2006, p. 82).
42
CAPÍTULO 1 Rosana Ap. da Costa Vaz
De acordo com o Quadro 3, percebemos que, na análise feita pela SEE/SP,
um aluno que é capaz de resolver uma situação-problema compreendendo diferentes
operações com números naturais estará no nível 1.
Se o aluno possuir, além da habilidade do nível 1, a capacidade de resolver
situação-problema envolvendo grandezas direta e inversamente proporcionais,
utilizar propriedades de triângulos, associar dados de uma tabela simples a um
gráfico de setores e ainda resolver situações-problema simples de contagem estará
no nível 2.
Verificamos, ainda, que se o aluno for capaz de resolver uma situação-
problema por meio de uma inequação do primeiro grau estará no nível 3, no entanto,
se ele for capaz de resolver uma situação-problema envolvendo uma equação
polinomial do primeiro grau estará no nível 4.
Fizemos a seguinte reflexão:
Em primeiro lugar, a expressão “resolver uma situação-problema por meio de
uma inequação” significa que o aluno deverá utilizar uma inequação em sua
resolução, ou seja, utilizar-se do registro de representação algébrico para a
resolução, entretanto, como a prova do SARESP/2005 era composta por questões
alternativas e a correção foi realizada observando-se somente a alternativa
assinalada, como é que saberemos se o aluno resolveu a situação-problema “por
meio de uma inequação”?
Em segundo lugar, um aluno no nível 4 é capaz de resolver uma situação-
problema envolvendo uma equação do primeiro grau. O fato da situação-problema
envolver uma equação, não obriga o aluno a se utilizar dessa estratégia, além disso,
como um aluno com essa habilidade poderá estar em um nível superior a um aluno
que é capaz de resolver uma situação-problema por meio de uma inequação, sendo
43
CAPÍTULO 1 Rosana Ap. da Costa Vaz
que o ensino sobre o conteúdo de equações polinomiais do primeiro grau precede ao
ensino de inequações do primeiro grau?
Observamos, ainda, o fato de que um aluno que é capaz de efetuar operações
com expressões algébricas está no nível 5, porém, de acordo com nossa
experiência, se o aluno é capaz de resolver uma equação e/ou uma inequação do
primeiro grau, ele opera com as expressões algébricas pois de acordo com Duval
(2003), as operações com expressões algébricas ocorrem no tratamento que é feito
na resolução de uma equação e de uma inequação do primeiro grau.
Diante do acima exposto, ficamos com dúvida: Em que nível estará o aluno
que é capaz de efetuar operações com expressões algébricas, resolver uma
situação-problema que envolve uma equação do primeiro grau, mas não é capaz de
resolver situações-problema por meio de uma inequação do primeiro grau?
As questões acima colaboram para acreditarmos que a teoria sobre os níveis
de mobilização dos conhecimentos de Aline Robert (1998) nos ajudaria para uma
análise mais eficaz sobre o desempenho dos alunos.
No capítulo seguinte, apresentaremos com maior aprofundamento a teoria de
Aline Robert (1998), a qual reafirmamos que deveria ser utilizada também para a
análise do desempenho dos alunos no SARESP/2005, uma vez ter sido orientação
da SEE/SP sua utilização para elaboração das questões.
45
CAPÍTULO 2
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
A escolha deste referencial deveu-se ao fato de que, segundo documento
enviado às Diretorias Regionais de Ensino, as questões do SARESP/2005 deveriam
estar fundamentadas na teoria de Robert (1998).
Considerando, ainda, que as questões que utilizamos como instrumento de
análise do desempenho dos alunos são questões que poderiam ser solucionadas
utilizando-se uma mudança de registro de representação semiótica, ou seja, a
passagem do registro da língua natural para um registro na linguagem algébrica, nos
apoiaremos também na teoria de Duval (2003).
Contudo, achamos conveniente iniciarmos com a descrição de alguns
trabalhos sobre a linguagem matemática, por considerarmos que os registros de
representação estão diretamente ligados com esta linguagem.
2.1 A LINGUAGEM MATEMÁTICA
A linguagem matemática é um sistema simbólico de caráter formal, cuja elaboração é indissociável do processo de construção do conhecimento matemático e tem como função principal converter conceitos matemáticos em objetos mais facilmente manipuláveis e calculáveis, possibilitando inferências, generalizações e novos cálculos que, de outro modo, seriam impossíveis. (GRANELL, 1997, apud SANTOS, 2005, p. 117).
As dificuldades de aprendizagem em matemática têm muitas origens, mas
grande parte delas decorre das diferentes formas de linguagem, mais precisamente
da linguagem matemática (SANTOS, 2005).
46
CAPÍTULO 2 Rosana Ap. da Costa Vaz
Nas aulas de matemática, a comunicação entre professores e alunos é
realizada empregando-se vários tipos de linguagem: corporal, gestual, gráfica,
escrita, verbal e matemática.
Segundo Lorenzato (2006), entende-se por comunicação toda produção de
mensagens realizadas em sala de aula, chamadas de linguagem, sejam elas
correntes, escritas, pictóricas, gestuais e outras.
A linguagem representa um sistema simbólico que permite a comunicação
entre os sujeitos envolvidos e a expressão de idéias, estabelecendo relações e
significados entre objetos.
A matemática, apesar de seu caráter de linguagem precisa e formal, necessita
do conhecimento da língua materna, mesmo que na forma oral, para o
desenvolvimento de seus conceitos.
Salmazo (2005) apresenta em sua pesquisa, algumas expressões utilizadas
em nosso cotidiano, nas quais a linguagem usual e a linguagem matemática se
misturam.
[...] Chegar a um denominador comum. Dar as coordenadas. Aparar as arestas. Sair pela tangente. Ver de um outro ângulo. O xis da questão. O círculo íntimo. A esfera do poder. Possibilidades infinitas. Perdas incalculáveis, Numa fração de segundos. No meio do caminho. Semelhança, equivalência, estrutura, função, categoria, etc. (MACHADO, 1993, p. 97, apud SALMAZO, 2005, p. 28).
Para Machado (1993), nunca houve uma articulação entre o ensino da
matemática e o da língua materna, com o objetivo de uma ação conjunta para a
obtenção de uma relação mais próxima, minimizando suas diferenças.
Viali e Silva (2007) reafirmam a teoria de Duval (2003) quando ressaltam que
em determinada etapa da escolaridade, as situações-problema exigem dos alunos,
além da leitura e de conhecimentos específicos, o domínio dos códigos e
47
CAPÍTULO 2 Rosana Ap. da Costa Vaz
nomenclatura da linguagem matemática, a compreensão e interpretação de
diagramas, tabelas e gráficos e a relação entre estas formas de registros com a
linguagem discursiva.
Ler e escrever na língua materna não é a única forma de interpretar, explicar e analisar o mundo. A Matemática é outra dessas formas que tem seus códigos e linguagem própria e um sistema de comunicação e de representação da realidade construído ao longo de sua história. A linguagem matemática desempenha um papel significativo dentro da Matemática e da cultura (VIALI e SILVA, 2007, p.2).
Acreditamos, portanto, que nós professores devemos estar atentos aos
diferentes tipos de linguagem utilizados em sala de aula, deixando claro aos alunos
que a linguagem matemática, assim como a língua materna, possui o seu rigor
próprio de escrita.
2.2 SOBRE OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA
Segundo Duval (2003), na aprendizagem de matemática pelos alunos devem
ser observadas duas características: a importância das representações semióticas e
a grande variedade dessas representações.
Duval (2003) designa como registros os vários tipos de representações
semióticas que utilizamos em matemática, ou seja, língua natural, simbólico
(numérico ou algébrico), figuras geométricas e gráficos cartesianos.
Como o principal objetivo dessa pesquisa é o de analisar o desempenho dos
alunos do 8º ano (antiga 7ª série do Ensino Fundamental) na resolução de questões
que envolvem a conversão do registro de representação semiótica da língua natural
para o registro algébrico, nos prenderemos a apenas três tipos de registros: língua
48
CAPÍTULO 2 Rosana Ap. da Costa Vaz
natural (apresentado no enunciado do exercício), numérico (quando o aluno se
utilizar apenas de processos aritméticos para a resolução) e o registro algébrico
(quando o aluno se utilizar de equações/expressões algébricas para a resolução).
A língua natural é, segundo Duval (2003), um registro multifuncional, ou seja,
os tratamentos não são algoritmizáveis e, o registro numérico são registros
monofuncionais, possuem algoritmos próprios.
Uma situação-problema exige do aluno conhecer ao menos dois registros de
representação semiótica ao mesmo tempo, podendo, porém, um deles, ser mais
utilizado do que o outro.
Os registros de representação semiótica podem sofrer dois tipos de
transformações denominadas por Duval (2003) de tratamentos e conversões.
Os tratamentos ocorrem quando, apesar da transformação, o registro
permanece no mesmo sistema, como, por exemplo: Dada a equação polinomial do 1º
grau 2x + 5 + 3x = 10, fazendo um tratamento algébrico, isto é, aplicando o princípio
de equivalência temos 5x = 5.
As conversões ocorrem quando há a mudança de sistema, porém, conservam-
se as mesmas referências ao objeto estudado.
Na resolução de uma situação-problema a conversão ocorre quando da
passagem do enunciado na língua natural para o registro numérico ou algébrico,
como por exemplo, a representação da sentença: “Qual é o número que, adicionado
a 2 resulta em 3?” que, fazendo a conversão para o registro algébrico temos x + 2 =
3 e, para o registro numérico 1 + 2 = 3.
Duval (2003) observa que, do ponto de vista matemático, a conversão não é
tão importante, porém, do ponto de vista cognitivo ela é uma atividade fundamental,
subjacente à compreensão e também muito complexa, principalmente quando se
trata do registro da língua natural.
49
CAPÍTULO 2 Rosana Ap. da Costa Vaz
[...] A situação se torna mais complexa quando um dos registros é um registro plurifuncional, como o da língua natural ou das figuras geométricas. Basta lembrar, aqui, as questões – há decênios recorrentes - de compreensão dos mais simples enunciados de problemas de aplicação de aritmética ou álgebra, em que seria suficiente “traduzir” os dados do enunciado. Na realidade, a passagem de um enunciado em língua natural a uma representação em um outro registro toca um conjunto complexo de operações para designar objetos. (DUVAL, 2003, p.18).
Para Duval (2003) é importante estar atento ao sentido da conversão, ou seja,
os registros de partida e os de chegada, e devem ser trabalhadas atividades
matemáticas que exijam dos alunos a inversão desses sentidos, o que, em nossa
prática docente temos percebido que isso nem sempre ocorre, ou seja, vemos muitas
atividades que exigem dos alunos a conversão do registro de representação
semiótica da língua natural para o registro algébrico, porém, dificilmente são
apresentadas atividades escritas no registro algébrico, que façam com que nossos
alunos esquematizem uma situação-problema que as representem.
Estudos mostram que as dificuldades dos alunos nas diferentes séries
aumentam quando lhes é exigida uma mudança de registro ou quando se faz
necessária a mobilização de mais de um registro, isto porque, segundo Duval, [...]
passar de um registro de representação a outro não é somente mudar de modo de
tratamento, é também, explicar as propriedades ou os aspectos diferentes de um
mesmo objeto. (2003, p.22).
Nessa perspectiva, Duval (2003) ressalta que a originalidade da atividade
matemática está na possibilidade de mobilizar pelo menos dois registros de
representação ao mesmo tempo, ou de ser capaz de, a cada momento, mudar o tipo
de registro de representação semiótica.
Dessa forma, para que o processo de ensino e de aprendizagem ocorra, há
necessidade de se dar atenção à relação entre conteúdo e método de ensino, bem
50
CAPÍTULO 2 Rosana Ap. da Costa Vaz
como à manifestação de diferentes formas de comunicação e aos muitos significados
presentes nas noções matemáticas em sala de aula.
Saber matemática não é saber apenas operar símbolos ou fazer cálculos, mas
sim, até mais importante, é a capacidade de interpretar, analisar, sintetizar, significar,
justificar, conceber, projetar, estimar.
No ensino aprendizagem da Matemática, os aspectos lingüísticos precisam ser considerados inseparáveis dos aspectos conceituais para que a comunicação e, por extensão, a aprendizagem aconteçam. (SANTOS, 2005, p.119).
A versatilidade da linguagem matemática faz com que professores e alunos
tenham dificuldades para entendê-la, pois uma mesma propriedade pode ser
apresentada sob várias visões. Vejamos o exemplo dado por Lorenzato (2006).
[...] o produto (a + b) (a + b), isto é, (a + b)2, o qual, quando alunos, decoramos ser igual a (a2+2ab+b2), na linguagem simbólica algébrica; na linguagem retórica algébrica, (a+b)2 seria assim escrito: “o quadrado da adição de dois números é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo”. Particularizando, na linguagem simbólica aritmética, teríamos (2+5)2 = 22+2.2.5+52. Esta mesma verdade seria apresentada pela linguagem operacional aritmética assim: 2 + 5 x 2 + 5 10+25 4+10 4+20+25 Finalmente, na linguagem geométrica, teríamos:
51
CAPÍTULO 2 Rosana Ap. da Costa Vaz
[...] a linguagem matemática, devido às suas características atuais, é muito útil; no entanto, ela pode tornar-se um forte complicador para a aprendizagem da matemática e, por isso, demanda especial atenção do professor. (LORENZATO, 2006, p.48).
Diante disso, acreditamos na importância do desenvolvimento de um trabalho
nas aulas de matemática sobre os termos próprios dessa ciência e seus significados,
uma vez que estão diretamente ligados à aprendizagem dos alunos.
Segundo Lochhead e Mestre (1995), para amenizar as dificuldades que
freqüentemente aparecem em tarefas que envolvem a conversão do registro da
língua natural para o registro algébrico, é necessário que o professor faça um amplo
trabalho com seus alunos, da tradução de sentenças que exigem tal conversão,
isolada de outros aspectos da resolução de problemas.
Um trabalho desenvolvido com o objetivo acima, propicia, inclusive, a
interdisciplinaridade, ou seja, um trabalho em conjunto com professores da Língua
Portuguesa, podendo sanar parte das dificuldades encontradas pelos alunos quando
da leitura de enunciados de atividades matemáticas.
Para elucidar o leitor, escrevemos, abaixo, dois enunciados de uma mesma
atividade.
1. Em uma rodovia devem ser instalados dois telefones públicos entre o
quilômetro 6 e o quilômetro 24. Sabendo que nos quilômetros 6 e 24 já
existe telefone público instalado, determine em quais quilômetros os dois
outros telefones devem ser instalados, de maneira que a distância entre
eles sejam iguais.
2. Interpole dois meios aritméticos entre 6 e 24.
No primeiro, contextualizado, o aluno, mesmo sem saber qual o conteúdo
envolvido, sabe o que deverá ser feito. Fixando a representação dos quilômetros 6 e
52
CAPÍTULO 2 Rosana Ap. da Costa Vaz
24 sobre um segmento de reta, verificará que para a instalação de mais dois
telefones entre esses dois quilômetros deverá dividir a distância entre eles em três
partes iguais, ou seja, 26 – 6 = 18 e 18:3 = 6. Portanto, os novos telefones deverão
ser instalados a uma distância de 6 quilômetros entre eles, ou seja, quilômetros
12, o mesmo que 6 + 6, e 18 o mesmo que 12 + 6.
Já no segundo enunciado, as expressões interpole e meios aritméticos são
utilizadas muito mais na disciplina de matemática, quando se estuda progressões
aritméticas e, se não forem explicadas, os alunos não saberão como realizar a
atividade, ou seja, não saberão que interpolar é o mesmo que inserir, colocar entre 6
e 24 e, meios aritméticos significa que os marcos quilométricos deverão estar em
uma progressão aritmética.
2.3 SOBRE OS NÍVEIS DE MOBILIZAÇÃO DE CONHECIMENTOS
Robert (1998), afirma que para que o aluno realize uma atividade ele deve ser
capaz de mobilizar conhecimentos em três níveis: técnico, mobilizável e
disponível.
Assegura que um trabalho que considera os três níveis de conhecimentos
apresentados permite ao professor diagnosticar os conhecimentos prévios esperados
dos alunos e o auxilia na elaboração de tarefas que envolvam conceitos
matemáticos, permitindo aos mesmos, quando da realização da tarefa, construírem
conhecimentos.
Esclarecemos que as palavras “tarefa” e “atividade” para a autora possuem
significados diferentes, ou seja, considera-se como “tarefa” o enunciado do exercício
e como “atividade” o trabalho efetivo do aluno.
53
CAPÍTULO 2 Rosana Ap. da Costa Vaz
NÍVEL TÉCNICO
Uma situação-problema está em um nível técnico quando, em seu enunciado,
encontramos todos os elementos necessários para a sua resolução.
Uma tarefa neste nível deixa explícito, ainda, qual o caminho e estratégia que
o aluno deverá percorrer. Estas tarefas são, geralmente, apresentadas com o
objetivo de fazer com que o aluno compreenda e aplique uma determinada definição.
Para esclarecimento do leitor, daremos, a seguir, como exemplo de uma tarefa
neste nível, a questão de número 6 da prova do SARESP – 2005, aplicada ao 8º ano
(antiga 7ª série do Ensino Fundamental) do período da manhã.
Ao resolver a equação, 3x – 6 = 10 – 7x, encontramos: (A) x = 0,5 (B) x = 1 (C) x = 1,6 (D) x = 4
Percebemos que o enunciado da questão acima deixa claro o que o aluno
deve fazer para a sua resolução, ou seja, resolver a equação do 1º grau para achar o
valor de x.
Para a resolução dessa questão é necessário que o aluno tenha
conhecimento das operações no conjunto dos números inteiros, operações com
monômios e o princípio de equivalência.
Devemos considerar a possibilidade de alguns alunos utilizarem as
alternativas para verificar a veracidade da equação, ou seja, a partir da alternativa
descobrir a solução do problema.
54
CAPÍTULO 2 Rosana Ap. da Costa Vaz
NÍVEL MOBILIZÁVEL
Espera-se que um aluno neste nível de conhecimento consiga utilizar as
ferramentas específicas para realização da atividade. A tarefa deixa explícito o que
deve ser feito, porém, o aluno deverá mobilizar conhecimentos já interiorizados para
obter uma estratégia de resolução.
Para elucidar ao leitor, daremos como exemplo de tarefa neste nível a questão
número 7, retirada do SARESP-2005, aplicada ao 8º ano (antiga 7ª série do Ensino
Fundamental) do período da manhã.
As medidas dos lados de um retângulo são dadas, respectivamente, pelas expressões x + 5 e x + 8. Sabendo que o perímetro do retângulo, que é igual à soma das medidas de seus lados, é igual a 66 cm, as medidas dos lados do retângulo são:
(A) 13 cm e 20 cm (B) 14 cm e 19 cm (C) 15 cm e 18 cm (D) 16 cm e 17 cm
Podemos verificar que os dados necessários para a realização da atividade
estão totalmente explícitos na tarefa, porém, o aluno deverá ter conhecimento de
quantos lados possui um retângulo, bem como, saber que esses lados são, dois a
dois, paralelos e que, portanto, possuem as mesmas medidas.
Além disso, o aluno deverá utilizar o conceito de perímetro para conseguir
equacionar a situação, achar o valor da incógnita e, posteriormente, as medidas dos
lados.
55
CAPÍTULO 2 Rosana Ap. da Costa Vaz
Acreditamos que um aluno que consegue realizar tal atividade já possui um
pensamento algébrico construído, necessitando, apenas, ser motivado a obter novos
conhecimentos, o que lhe será oferecido em séries posteriores.
NÍVEL DISPONÍVEL
Neste nível, o aluno encontra na tarefa todos os dados necessários para a sua
resolução, porém, não lhe é dada nenhuma pista sobre qual estratégia deverá ser
utilizada, nem a ferramenta que o auxiliará na sua realização.
Quando um aluno se depara com uma tarefa neste nível poderá tentar
solucioná-la por meio de tentativas ou aproximações.
Um exemplo de uma tarefa neste nível é a questão número 20, retirada da
prova do SARESP-2005, do 8º ano (antiga 7ª série do Ensino Fundamental) do
período da manhã.
Com velocidade média de 70 km/h, o tempo gasto em uma viagem da cidade A para a cidade B é de 2h e 30 min. Lúcia gastou 3h e 30 min para fazer este percurso. Podemos afirmar que a velocidade média da viagem de Lúcia foi de: (A) 36 km/h (B) 45 km/h (C) 50 km/h (D) 85 km/h
Verificamos que todos os dados necessários para a realização da atividade
são dados na tarefa acima, porém, não é claro para o aluno qual o caminho a seguir,
ou seja, necessitará de outros conteúdos, buscar outros conhecimentos e pensar em
uma estratégia para sua realização, ou seja, terá que perceber a necessidade da
transformação das unidades de medida de tempo (horas em minutos ou minutos em
horas), bem como dispor de conhecimentos sobre razão, proporcionalidade e
grandezas direta ou inversamente proporcionais.
56
CAPÍTULO 2 Rosana Ap. da Costa Vaz
Para esta pesquisa, selecionamos algumas leituras realizadas sobre as
concepções dadas à Álgebra, as quais apresentaremos no capítulo seguinte.
57
CAPÍTULO 3
REVISÃO DE LITERATURA
Entendemos que a linguagem simbólica formal é essencial para o
prosseguimento dos estudos em álgebra. Para tanto, o estudo das concepções de
Álgebra, bem como de outras pesquisas apresentadas neste capítulo, nos
possibilitará uma reflexão sobre o ensino e aprendizagem da álgebra, facilitando a
análise de algumas questões do SARESP de 2005, sob a visão dos níveis de
mobilização de conhecimentos pelos alunos, com enfoque na representação
algébrica de situações-problema dadas em língua natural.
Há consenso entre estudiosos em educação matemática sobre a necessidade
de se desenvolver conceitos, propriedades e procedimentos, de álgebra e de
aritmética, de modo articulado, envolvendo atividades reais, a fim de se construir um
aprendizado com significado.
Alguns pesquisadores como Lins e Gimemez (1998), acreditam que a ruptura
da aritmética para a álgebra não ocorre de uma hora para outra, uma vez que o
desenvolvimento de uma está implicado no desenvolvimento da outra, no entanto,
ainda há divergências sobre quando e como deve ser realizado tal ensino.
É preciso começar mais cedo o trabalho com a álgebra, e de modo que esta e
a aritmética se desenvolvam juntas, uma implicada no desenvolvimento da outra.
(LINS e GIMENEZ 1998, p.10).
Para eles, a idéia de que o estudo da Aritmética deve preceder ao estudo da
Álgebra é infundada e prejudicial.
58
CAPÍTULO 3 Rosana Ap. da Costa Vaz
[...] isso não deve ser interpretado como uma afirmação de que a Álgebra deva preceder à aritmética, pelo motivo simples de que há um conjunto de experiências aritméticas, extra-escolares, que as crianças trazem consigo ao iniciar o trabalho escolar; o que devemos buscar é a coexistência da educação algébrica com a aritmética, de modo que uma esteja implicada no desenvolvimento da outra. (LINS e GIMENEZ, 1998, p.159).
A atividade algébrica para esses autores é descrita como “fazer ou usar
álgebra”.
Os autores ressaltam que a diferença entre a Álgebra e a Aritmética está
apenas no tratamento dado a cada atividade, no entanto, faz-se necessário entender
como elas se ligam e o que elas têm em comum, o que nos faz pensar na Educação
Aritmética e Educação Algébrica como algo único.
Lins e Gimenez (1998) destacam, também, algumas abordagens e
concepções feitas por pesquisadores, estabelecendo associações entre a atividade
algébrica e concepções da Álgebra. Alguns consideram a atividade algébrica como
sendo uma atividade caracterizada pelo uso de notações, resumindo a Álgebra a
cálculos com letras e algoritmos.
Outros, ainda numa concepção letrista, consideram que a capacidade para se
trabalhar com expressões algébricas é introduzida com abstrações, utilizando objetos
manipulativos, tais como a balança para se ensinar equações.
Como exemplo dessa abordagem, os autores apresentam sobre o uso de
áreas para se “ensinar” produtos notáveis:
Figura 1: Representação geométrica do quadrado da soma de dois termos.
59
CAPÍTULO 3 Rosana Ap. da Costa Vaz
Para os autores, tal abordagem é tida como “facilitadora”, porém, não em um
sentido otimista, pois, se por um lado esses recursos amenizam parte das
dificuldades no ensino e na aprendizagem da álgebra, por outro, trazem problemas
quanto à articulação entre o que aconteceu no trabalho com o concreto e o que
aconteceu no trabalho com o formal.
Uma outra linha da atividade algébrica é caracterizada pela presença de
determinados conteúdos, os quais são apresentados através de exemplos reais, com
o objetivo de relacionar a situação com o conteúdo apresentado. Nesta abordagem,
as atividades apresentadas são de investigação, como as baseadas em modelagem
matemática.
Uma terceira linha citada pelos autores é de uma atividade algébrica
caracterizada por uma aritmética generalizada e, apesar dessa concepção ser
resultante da ação do pensamento algébrico e de buscar o envolvimento dos alunos,
ela também é centrada em conteúdos e prioriza as propriedades operatórias.
Vale a pena ressaltar que, para Lins e Gimenez (1998), há uma distinção
entre generalização e generalidade. A primeira ocorre quando se passa a falar de
algo que é comum a vários casos particulares, já generalidade ocorre quando se
trata diretamente do que é geral em uma situação, sem intermediação dos casos
particulares.
Na opinião dos autores, todas as abordagens acima visam à aprendizagem do
aluno, porém, pecam quando não consideram o que o aluno já sabe, ou seja,
consideram que o aluno estará sempre disponível, o que significa que conseguirá e
terá condições de mobilizar conhecimentos para entender um novo conteúdo.
60
CAPÍTULO 3 Rosana Ap. da Costa Vaz
Podemos começar oferecendo o que pensamos que seja a atividade algébrica: A atividade algébrica consiste no processo de produção de significados para a Álgebra e, naturalmente, temos de dizer o que seja a Álgebra para nós: A Álgebra consiste em um conjunto de afirmações para as quais é possível produzir significados em termos de números e operações aritméticas, possivelmente envolvendo igualdades ou desigualdades. (LINS e GIMENEZ, l998, p.137).
Lins e Gimenez (1998) consideram que a educação algébrica deve conter dois
objetivos centrais:
• Permitir que os alunos sejam capazes de produzir significados.
• Permitir que os alunos desenvolvam a capacidade de pensar algebricamente. (LINS e GIMENEZ, 1998, p. 152).
Para eles, as técnicas manipulativas são conseqüências dos objetivos acima e
não devem precedê-los.
Diante do acima exposto, verificamos que a definição de atividade algébrica
proposta por Lins e Gimenez (1998) vai ao encontro da proposta sugerida nos PCN
(BRASIL, 1998), ou seja, o professor deve possibilitar aos seus alunos a produção de
significados para a Álgebra, permitindo que estes desenvolvam o pensamento
algébrico.
A atividade algébrica e o pensamento algébrico definido por esses autores,
favorecem a aprendizagem algébrica, principalmente em temas como expressões e
equações algébricas.
Reproduzimos, abaixo, um exemplo de atividade dado pelos autores (1998,
p.153-155), a qual, além de envolver significado e permitir ao aluno produzir
afirmações, oferece a possibilidade de trabalhar com as transformações das
expressões e ou igualdades obtidas, ou seja, o “fazer ou usar a álgebra”.
61
CAPÍTULO 3 Rosana Ap. da Costa Vaz
Escreva uma fórmula para calcular o número de azulejos brancos se você
souber o número de azulejos pretos.
Neste exemplo os autores utilizam “P” para os azulejos pretos e ”B” para os
brancos.
Uma variedade de fórmulas pode aparecer. Estas são representadas como
crenças-afirmações e a partir delas são acrescentadas possíveis justificativas.
Crença-afirmação: “B = 2P + 6”
Justificativa: “Para cada preto há dois brancos, um em cima e outro embaixo;
além disso, há sempre três em pé, em cada ponta, num total de 6”.
Crença-Afirmação: “B = 2 (P + 2) + 2” Justificativa: “A linha de cima e a linha
de baixo têm, cada uma, P + 2 azulejos; além disso, há um branco em cada
extremidade da fileira de pretos”.
Os autores colocam que as justificativas foram realizadas em relação a um
mesmo núcleo e que, no caso dessa atividade, todas as expressões são
equivalentes, embora os alunos não percebam tal fato.
62
CAPÍTULO 3 Rosana Ap. da Costa Vaz
Ao perceberem tal fato, podemos escrever que, “2P + 6 =2 (P + 2) + 2”,
chegando à conclusão que “2 (P + 2) = 2P + 4”
Este é o momento para se instigar os alunos fazendo a seguinte colocação:
Que expressão do tipo “2 (...+...)” é o mesmo que 2P + 6 ?
Dependendo da resposta dos alunos, continua-se instigando, fazendo com
que produzam outras crenças-afirmações e justificações.
Devemos admitir o fato de que o ritmo dessa atividade pode variar pois
depende de vários fatores, como concentração da turma, ou a existência de
experiências anteriores com esse tipo de atividade.
Segundo os autores, um tratamento tradicional dessa situação seria apenas
produzir as fórmulas com base em uma tabela de dados numéricos:
P 1 2 3 4 5 6 7 8....
B 8 10 12 14 16 18 20 22.....
Reafirmamos o pensamento dos autores de que a Álgebra e a Aritmética
precisam ser pensadas em termos de significados produzidos no interior de
atividades, e não como termos de técnicas ou conteúdos (ibidem,1998, p. 161) e
atividades dessa natureza somente serão eficazes se os alunos forem capazes de
entender o que está sendo feito.
Vale lembrar que a clareza como uma atividade é colocada para um aluno
influencia na maneira de sua resolução.
Para ilustrar o que queremos dizer, criamos como exemplo a seguinte
situação-problema:
Milena pagou 15 reais por duas bolas. Qual foi o preço de cada uma?
63
CAPÍTULO 3 Rosana Ap. da Costa Vaz
A maioria responderia 7 reais e cinqüenta centavos, porque admitiria que as
duas bolas teriam o mesmo valor. Um aluno que quisesse equacionar tal situação
escreveria, ainda que 2x = 15.
É uma situação aparentemente fácil, entretanto, por falta de clareza no
enunciado do problema, acaba sendo interpretada erroneamente, pois é uma
questão aberta, ou seja, permite várias respostas.
Podemos observar que não é colocado no enunciado da questão que o preço
das bolas é igual, dessa forma, algumas respostas possíveis seriam: Uma custa
R$7,00 e a outra R$8,00; uma custa R$10,00 e outra R$5,00; uma R$6,00 e outra
R$ 9,00, além de outras respostas, não podendo, portanto, ser equacionada como
2x = 15.
Cabe ao professor utilizar-se de uma linguagem clara e objetiva, bem como
discutir as questões de linguagem com seus alunos, habituando-os a atentar para o
real significado das palavras, ou falta delas, em uma situação-problema.
Analogamente, Da Rocha Falcão (2003, p.1) também critica o fato de que a
Álgebra deve “esperar” para ser apresentada depois que os alunos já tiverem
conseguido o domínio de alguns princípios aritméticos.
Segundo Da Rocha Falcão (2003), existem duas razões para que isso ocorra.
Primeiro por razões pedagógico-institucionais, que fazem com que haja um currículo
oficial, servindo de referência em todo sistema escolar do país e sendo coordenado e
fiscalizado pelo Estado.
Diante disso, os conteúdos de vários saberes específicos seguem uma ordem
do que se tem, do que pode ser ensinado, em que nível e em que ordem de ensino.
Uma segunda razão é de ordem pedagógico-psicológica, a qual está
estreitamente relacionada com os conceitos da transposição didática de Yves
64
CAPÍTULO 3 Rosana Ap. da Costa Vaz
Chevallard (1991), os quais lidam com o processo de mudanças e adaptações
sofridas pelo saber formal, bem como, a forma como são encarados os processos de
aprendizagem.
Essa é uma abordagem que trabalha com a idéia de que é necessário que o
aluno esteja pronto cognitivamente para receber determinados conteúdos (DA
ROCHA FALCÃO, 2003, p.2).
Nesse sentido, acredita-se que a Aritmética, por estar mais próxima da
realidade diária do sujeito, representa um campo mais acessível que a Álgebra, que,
por sua vez, é mais abstrata e trabalha com procedimentos formalizadores e
generalizantes.
[...] é verdade que a álgebra retoma uma série de relações entre números, estabelecidas no domínio da Aritmética, para agora generalizá-las como letras (representando variáveis e/ou incógnitas): da mesma forma que 5 + 3 = 3 + 5, x + y = y + x (para qualquer x e qualquer y). (DA ROCHA FALCÃO, 2003, p.4).
Para Da Rocha Falcão (2003), a Álgebra é uma ferramenta essencial e
poderosa de resolução de problemas e sua apresentação posterior à Aritmética deve
ser analisada e discutida, uma vez que tal prioridade parece responsável por
alguns obstáculos didáticos importantes para os alunos do 7º e 8º ano do Ensino
Fundamental, quando a Álgebra, em uma abordagem letrista, é introduzida.
Ressalta, inclusive, que em suas pesquisas foram obtidos dados e observados
aspectos que dão margem empírica de que é possível introduzir o ensino da Álgebra
antes do que é sugerido oficialmente.
Reproduzimos, a seguir, os elementos básicos dados por Da Rocha Falcão
(2003), da caracterização do campo conceitual da Álgebra, a qual, para muitos
pesquisadores, possui uma dupla função: representar fenômenos e relações, e
auxiliar na resolução de problemas matemáticos.
65
CAPÍTULO 3 Rosana Ap. da Costa Vaz
QUADRO 4: ELEMENTOS BÁSICOS DE CARACTERIZAÇÃO DO CAMPO CONCEITUAL DA ÁLGEBRA (a partir das contribuições de F.G. Bodanskii, G. Vergnaud e Da Rocha Falcão e colaboradores).
Atividades em álgebra
Ferramenta representacional Ferramenta de Resolução de problemas
Modelização: captura e descrição dos Fenômenos do real. Generalização: passagem de descrições específicas, ligadas a um contexto para leis gerais. Função: explicitação simbólica de relações elementares. Generalização: passagem de descrições específicas, ligadas a um contexto, para leis gerais.
Algoritmos, regras sintáticas, prioridade de operações, princípio da equivalência entre equações
Elementos básicos do campo conceitual algébrico
Números, medidas, incógnitas e variáveis, regras de atribuição de símbolos, gama de acepções do sinal de igual, trânsito entre formas de linguagem.
Operadores, sintaxe, prioridade de operações, princípio de equivalência, conhecimentos-em-ação vinculados a experiências extra-escolares de compensação e equilíbrio,fatos aritméticos instrumentais (ex: elemento neutro da adição).
(DA ROCHA FALCÃO, 2003, p.4-5).
Da Rocha Falcão (2003) nos sugere que a partir dos pontos acima, é possível
pensar em atividades centrais, enfocando conceitos da Álgebra, as quais poderiam
ser exploradas de forma efetiva desde o início do ensino fundamental.
[...] Essa é, em última análise, a tarefa básica do professor de Matemática em qualquer nível: responsabilizar-se por recortes de aspectos que julga relevantes, estabelecer uma ordem de representação dos conteúdos recortados, e se munir de bom arsenal de exemplificação, de atividades que metaforizem os conceitos a ser introduzidos. (DA ROCHA FALCÃO, 2003, p.10).
66
CAPÍTULO 3 Rosana Ap. da Costa Vaz
Em síntese, Da Rocha Falcão (2003) nos deixa claro que é bem-vinda a idéia
de se considerar o ensino da Álgebra nas séries iniciais do Ensino Fundamental,
desde que sejam analisados quais conteúdos podem ser contemplados e de que
forma isso deve ser feito, tomando o cuidado para que as atividades selecionadas
contemplem aspectos relevantes do campo algébrico, possibilitando às crianças um
nível de representação conceitual ao seu alcance.
Um estudo sobre o desempenho de alunos do Ensino Fundamental em tarefas
envolvendo os conceitos de equações e expressões algébricas foi realizado por
Quintiliano e Brito (2006).
Os dados foram coletados a partir de um questionário informativo e 2 provas,
uma contendo questões que envolviam o conceito de equações e expressões
algébricas, variável e incógnita e outra com problemas que exigiam a utilização de
procedimentos algébricos.
As provas e o questionário foram aplicados a 96 alunos da 8ª série do Ensino
Fundamental da rede pública de ensino de Bauru/SP, com o objetivo principal de
investigar se os estudantes conseguiram traduzir sentenças da língua corrente para
a linguagem simbólica.
Os resultados revelaram que os alunos não conseguem traduzir uma sentença
envolvendo equação apresentada na língua natural para a linguagem algébrica, bem
como, quando lhes são solicitadas a resolução de problemas, utilizam procedimentos
aritméticos e não algébricos, o que demonstra que possivelmente estes alunos não
aprenderam a “pensar algebricamente”.
A questão apresentada abaixo faz parte de uma das provas aplicadas na
pesquisa.
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CAPÍTULO 3 Rosana Ap. da Costa Vaz
Resolva: a) Encontre um número tal que, se 8 mais o triplo deste número for dividido por 2, o resultado será o triplo deste número menos 11.
b) 2
)38( x+ 113 −= x
(QUINTILIANO E BRITO, 2006, p. 9)
As pesquisadoras apresentaram tal questão em duas partes, com o propósito
de verificar se haveria diferença no desempenho dos participantes, e se estes
conseguiriam traduzir a sentença apresentada em linguagem natural para uma
representação algébrica.
Ao analisar os resultados obtidos, verificou-se que, com relação ao item a),
apenas 8,3% dos participantes acertaram e, ao item b), 9,4% acertaram.
Quintiliano e Brito concluem, com seu trabalho, que uma das razões que faz
com que os alunos não consigam equacionar um problema na forma de uma
equação deve-se ao fato dos conceitos relacionados a estes conteúdos serem
apresentados de forma totalmente desarticulada de conceitos aritméticos, o que faz
com que os alunos sintam dificuldade em estabelecer relações entre os conceitos
aprendidos.
Ressaltam que o ensino da álgebra deveria estar articulado com os conceitos
aritméticos desde os ciclos iniciais, permitindo ao aluno o desenvolvimento do
pensamento algébrico de forma sólida, o que irá ajudá-lo na generalização de
conceitos em séries mais avançadas.
Lee (2001), como citada por Silva (2006) apresenta seis visões sobre a
Álgebra: Álgebra é uma linguagem, Álgebra é um modo de pensar, Álgebra é uma
68
CAPÍTULO 3 Rosana Ap. da Costa Vaz
atividade, Álgebra é uma ferramenta, Álgebra é uma aritmética generalizada e
Álgebra é uma cultura, e discute a adequação, ou não, de cada tipo de visão na
Educação Básica.
Para Lee (2001), a Álgebra vista como uma linguagem, não deve ser
introduzida em qualquer nível escolar, principalmente se os alunos ainda não tiverem
um pensamento algébrico construído, uma vez que essa linguagem se refere às
muitas regras de manipulação.
Existe, segundo Lee (2001), expressões algébricas como, por exemplo, a
expressão (x + 5)2, que nem todos interpretam como sendo a área de uma figura
geométrica plana, quadrada, cujo lado mede x + 5.
Para Lee (2001), o pensamento que age com símbolos algébricos dirigidos por
comandos ou moldes, são pensamentos que não só abarcam operações, ações ou
transformações, como também pensamentos sobre relações.
Diante do acima exposto, Lee (2001) considera que envolver símbolos
algébricos não é apropriado para a introdução da Álgebra em qualquer nível escolar,
principalmente para a Educação Básica.
A Álgebra, como um modo de pensar, para Lee (2001), é adequada para a
introdução do pensamento algébrico, desde que seja pensada sobre um sistema
matemático aritmético, o qual está envolvido na revelação de modelos, padrões e no
ato de dizer ou escrever padrões.
Essa visão da Álgebra envolve pensamentos que não só se utilizam de
operações, ações ou transformações, como também de relações. Como tal raciocínio
também envolve símbolos algébricos, Lee (2001) também considera não ser
apropriado para a Educação Básica.
Lee (2001) apresenta alguns elementos que considera adequado que estejam
presentes em uma atividade quando da introdução da Álgebra.
69
CAPÍTULO 3 Rosana Ap. da Costa Vaz
• Raciocínio sobre modelos (em gráficos, padrões numéricos,
formas, etc.), fortalecendo e ignorando, detectar semelhanças e diferenças, repetições e outros.
• Generalização ou pensamento em torno do geral, notando o geral no particular.
• Trabalhar mentalmente o desconhecido, invertendo e revertendo operações.
• Pensar sobre relações matemáticas ao invés de objetos matemáticos. (LEE, 2001, 394, apud SILVA, 2006, p.28).
Apresenta-nos, também, os elementos que são menos adequados para essa
introdução:
• Pensamentos denotativos, transformacionais e manipulativos, envolvendo resolução ou encontro de contrastes. • Pensamento formal. • Pensamento com símbolos. • Pensamento mecânico. • Pensar em referência aos componentes de Álgebra. (LEE,
2001, 394,apud SILVA, 2006, p.28).
Já em 1996, Nobre nos apresentava uma série de obstáculos apontados por
outros pesquisadores, os quais são enfrentados por crianças que se iniciam no
estudo da álgebra.
• A dificuldade em aceitar a falta de fechamento, ou seja, que os alunos têm em dar sentido a uma expressão algébrica, que para eles é uma afirmação incompleta.
• O dilema nome – processo, que é a dificuldade em considerar expressões algébricas como respostas “legítimas”. A dificuldade é relacionada à distinção entre adição aritmética e adição algébrica. Na adição aritmética, “3+5” é vista como sendo a questão, e “8” como a resposta, todavia, na adição algébrica, a expressão “x + 3” descreve tanto a operação de “somar 3 a x”, como o resultado a ser obtido.
• A diferença de sentido na concatenação de símbolos, que na
aritmética significa adição implícita ( 34043 += e 2
144
21 += )
e na álgebra significa multiplicação (4 a = 4 x a). • A falta de referencial numérico no uso das letras. • A atribuição de significado concreto às letras
70
CAPÍTULO 3 Rosana Ap. da Costa Vaz
• A dificuldade de interpretação da variável, os alunos têm
dificuldade em pensar em uma letra como significando um número qualquer.
• A passagem de língua natural para a algébrica. • A interpretação dos símbolos + e =, os quais, na aritmética,
são interpretados como ações a serem desempenhadas, e esta visão parcial é um empecilho para a compreensão algébrica.
• O sentido diferente das letras na aritmética. A letra m, por exemplo, pode ser usada para representar metros e não o número de metros, como na álgebra. (NOBRE, 1996, p. 29-31).
Nobre (1996) realizou uma pesquisa com alunos da 6ª série do Ensino
Fundamental com o objetivo de analisar se um aluno no início do estudo da álgebra é
capaz de criar códigos próprios para a resolução de um problema aritmético e,
paulatinamente, adaptá-los à notação algébrica.
Com esta pesquisa, Nobre (1996) corroborou com outras pesquisas que
mostram que o aluno identifica a letra como um rótulo e não como um número.
Para Lee (2001), o pensamento algébrico, caracterizado como generalização,
somente pode ser desenvolvido por meio de atividades que envolvam de fato os
alunos.
O pensamento da Álgebra como uma atividade está associada a uma
atividade construtivista de manipulação de objetos.
Lee (2001) ressalta que talvez a chave para a álgebra básica esteja na palavra
representação, e que não só as letras x e y podem representar variáveis. Estas
também podem ser representadas por blocos, caixas de fósforos, etc. Sugere que as
situações-problema podem ser solucionadas utilizando desenhos ou trabalhos
manuais. Em síntese, deixa claro que as manipulações algébricas podem ser úteis
para pensar, representar e comunicar propriedades gerais de números e padrões.
71
CAPÍTULO 3 Rosana Ap. da Costa Vaz
Outra visão a ser considerada é a Álgebra como uma ferramenta para a
resolução de problemas, não só da disciplina de matemática, como também em
outras ciências como a química, física e biologia e até mesmo no cotidiano.
A autora esclarece, ainda, que se houver um trabalho envolvendo a Álgebra
como ferramenta, como uma atividade e pensamento algébrico, a Álgebra letrista, ou
seja, utilizando símbolos e letras, poderá ser experimentada no Ensino Médio,
todavia, se as ferramentas algébricas envolverem apenas letras e símbolos, então a
Álgebra como ferramenta também não deve ser introduzida na escola básica.
Para Lee (2001), a Álgebra como uma aritmética generalizada, também
conhecida como: Aritmética de letras ou pré-álgebra, Álgebra de generalizações de
padrões numéricos, um estudo da estrutura aritmética e um estudo de expressões
com letras é excelente candidato para a introdução da Álgebra nos primeiros anos
escolares.
Atividades baseadas na visão da Álgebra como Aritmética generalizada, para
Lee (2001), enriquecem o ensino básico. Salienta ainda, que [...] a ruptura da
aritmética e álgebra de forma abrupta pode privar os alunos de esquemas
poderosos, tornando mais difícil a aprendizagem em séries posteriores. (LEE, 2001,
apud SILVA, 2006, p.30)
A Álgebra como uma cultura é um pensamento que parte de uma visão
antropológica da Álgebra. Elementos de cultura algébrica possuem valores, crenças,
práticas, tradições, história e processos para sua transmissão.
Diante disso, a autora considera que as dificuldades em Álgebra podem ser
vistas a partir de um conflito cultural e, a introdução à Álgebra, como um processo
extra cultural. A cultura não está separada do ensino de matemática básica e sim
envolvida no currículo, tanto quanto a aritmética e geometria têm estado juntas
historicamente.
72
CAPÍTULO 3 Rosana Ap. da Costa Vaz
Após tais estudos, Lee (2001) identifica o compromisso com atividades
algébricas, a promoção e disciplina de um pensamento algébrico e a comunicação
em uma linguagem algébrica como elementos para a álgebra nos primeiros anos
escolares.
Para que haja um compromisso com as atividades algébricas, relaciona
atividades que envolvam:
• Demonstrações aritméticas gerais sobre o comportamento dos números em relação às operações sobre eles.
• Demonstrações geométricas gerais sobre formas e padrões geométricos.
• Demonstrações gerais sobre medidas e freqüências de medidas em contextos estatísticos.
• Trabalhos com uma diversidade de materiais e representações algébricas.
• Sistematização e resolução de problemas utilizando uma variedade de ferramentas algébricas. (LEE, 2001, p. 397, apud SILVA, 2006, p. 32).
Com relação à comunicação em linguagem algébrica, Lee (2001) considera
que deve ser iniciada com uma linguagem natural ou uma linguagem construída em
sala de aula. De acordo com as visões expostas, coloca de lado o uso de símbolos
algébricos tradicionais, pois, acredita que a manipulação dessas representações tem
sido colocada inadequadamente aos alunos em qualquer nível de ensino.
Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) a partir do estudo do desenvolvimento
histórico da Álgebra, identificaram algumas concepções freqüentes da Álgebra, a
saber:
• Processológica – a Álgebra é um conjunto de técnicas algorítmicas,
métodos, artifícios próprios para trabalhar alguns problemas, como uma
“receita passo-a-passo” para resolvê-los.
73
CAPÍTULO 3 Rosana Ap. da Costa Vaz
• Lingüístico-estilística – a Álgebra é uma linguagem específica, criada para
representar “ao pé da letra” as técnicas algorítmicas da concepção
processológica. Essa concepção procura expressar o pensamento
algébrico sem se preocupar como esse pensamento se manifesta.
• Lingüístico-sintático-semântica – como a anterior, encara a Álgebra como
uma linguagem específica, uma linguagem simbólica, porém,
estabelece a diferença entre o uso da letra para representar quantidades
discretas ou contínuas e o uso da letra para representar quantidades
genéricas.
• Lingüístico postulacional – considera que a Álgebra estrutura todas as
partes da matemática, inclusive a lógica.
Os autores defendem o fato de que as concepções da Álgebra se relacionam
com as concepções dominantes da Educação Algébrica: lingüístico-pragmática,
fundamentalista-estrutural e fundamentalista-analógica.
A lingüística-pragmática considera a Álgebra como uma ferramenta para se
resolver problemas, vinculada à concepção lingüístico-sintático-semântica. Considera
que para um aluno conseguir resolver problemas, basta dominar técnicas e
procedimentos de cálculos algébricos.
A concepção fundamentalista-estrutural é baseada na concepção lingüística
postulacional da Álgebra e se contrapõe à concepção anterior. Esta considera a
Álgebra como fundamentadora de todos os outros campos da Matemática.
Uma outra concepção da Educação Algébrica é a fundamentalista-analógica,
a qual também vincula a Álgebra a uma ferramenta para a resolução de problemas,
porém, utiliza-se do visual, de materiais concretos, acreditando que essa etapa,
chamada de geométrico-visual, caminha junto com a abordagem simbólico-formal.
74
CAPÍTULO 3 Rosana Ap. da Costa Vaz
Para os autores, essas três concepções da Educação Algébrica reduzem o
pensamento algébrico à linguagem algébrica e o ensino-aprendizagem da Álgebra à
simples manipulação de operações, que esses autores tratam como um
“transformismo algébrico”.
O pensamento algébrico pode ser caracterizado por elementos diferentes em
atividades que exijam “percepção de regularidades, percepção de aspectos
invariantes em contraste com outros que variam, tentativas de expressar ou explicitar
a estrutura de uma situação-problema e a presença do processo de generalização”
(FIORENTINI, MIORIM e MIGUEL, 1993, p.87).
[...] Não existe uma única forma de se expressar o pensamento algébrico. Ele pode expressar-se através da linguagem natural, através da linguagem aritmética, através da linguagem geométrica ou através da criação de uma linguagem específica para esse fim, isto é, através de uma linguagem algébrica, de natureza estritamente simbólica”. (FIORENTINI, MIORIM e MIGUEL, 1993, p. 89).
Os autores consideram que um trabalho efetivo em educação algébrica deve
seguir três etapas essenciais.
A primeira é a introdução desse trabalho com situações-problema que
garantam o exercício dos elementos caracterizadores do pensamento algébrico,
possibilitando uma linguagem simbólica, uma representação algébrica que tenha
significado para o aluno.
Numa segunda etapa deve-se percorrer o caminho inverso, ou seja, partir de
expressões e/ou equações algébricas e construir uma representação na língua
natural, atribuindo a essas expressões e/ou equações, significações que as
comportem.
Somente percorridas as duas etapas acima é que devemos partir para a
terceira, ou seja, trabalhar os procedimentos, as técnicas e propriedades necessárias
para transformar as expressões e/ou equações em outras equivalentes.
75
CAPÍTULO 3 Rosana Ap. da Costa Vaz
Em síntese, verificamos que tanto para Lins e Gimenez (1998), como para Da
Rocha Falcão (2003), o ensino da Álgebra deve ocorrer simultaneamente ao ensino
da Aritmética, desde as séries iniciais.
Consideram, também, ser a Álgebra uma ferramenta poderosa para a
resolução de problemas e seu ensino posterior ao ensino da Aritmética, como
normalmente ocorre, é responsável por alguns obstáculos didáticos para os alunos.
Já Lee (2001), defende que a linguagem algébrica não deve ser introduzida
em qualquer nível escolar e sim quando os alunos já tiverem o pensamento algébrico
construído.
Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) defendem o fato de que um trabalho efetivo
em educação algébrica deve ser realizado em qualquer época, desde que sejam
seguidas três etapas essenciais na ordem abaixo apresentadas:
• Introdução com situações-problema que possibilitam uma linguagem algébrica
que tenha significado para o aluno.
• Trabalho em sentido contrário à etapa anterior, ou seja, partir da linguagem
algébrica para a construção de situações-problema.
• Trabalhar os procedimentos, técnicas e propriedades.
Os estudos apresentados nos fazem entender, entre outras reflexões, que há a
necessidade de um trabalho por parte de todos os sujeitos envolvidos no processo
educacional, de maneira a proporcionar reflexões sobre o ensino e a aprendizagem
de matemática, especialmente da educação algébrica, possibilitando a construção de
significados pelos alunos.
Os resultados obtidos na pesquisa de Quintiliano e Brito (2006), de que os
alunos não conseguem traduzir uma sentença da língua natural para a linguagem
76
CAPÍTULO 3 Rosana Ap. da Costa Vaz
algébrica, partindo, assim, para uma resolução utilizando-se apenas de números são
confirmados em nossas análises dos resultados, apresentadas no Capítulo IV.
Acreditamos que o fato acima despertado deve-se, entre outras razões, ao
estudo da álgebra separado do estudo da aritmética, bem como ao distanciamento
sobre o que é prescrito em documentos oficiais e o que realmente é trabalhado com
os alunos por parte dos professores.
77
CAPÍTULO 4
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
O objetivo dessa pesquisa é o de analisar, segundo os níveis de mobilização
dos conhecimentos estudados por Aline Robert (1998), o desempenho dos alunos da
7ª série do Ensino Fundamental em algumas questões da prova do SARESP/2005,
que envolvam a conversão dos registros de representação semiótica estudados por
Duval (2003).
Dessa forma, daremos a esta pesquisa uma abordagem qualitativa, baseando-
nos nas fases da metodologia qualitativa da engenharia didática, a qual fundamenta-
se, enquanto procedimento metodológico, em registros de estudos de casos, cuja
validação é interna.
Artigue (1996) compara o trabalho da engenharia didática com o trabalho de
um engenheiro, o qual necessita se apoiar em conhecimentos científicos, porém é
obrigado a trabalhar com objetos mais complexos, enfrentando problemas que a
ciência não quer ou não pode levar em conta.
Estaremos nos baseado nas 4 fases do processo da engenharia didática.
A primeira fase é quando ocorrem as análises preliminares, em que se
considera o quadro teórico geral e os conhecimentos já adquiridos sobre o assunto
em questão.
Em nossa pesquisa, esta primeira fase está sendo contemplada ao
verificarmos os resultados do SARESP/2005, apresentarmos a fundamentação
teórica utilizada, bem como a análise sobre o que diz os PCN (BRASIL, 1998) sobre
o tema estudado e a revisão de literatura sobre as visões e concepções de Álgebra.
78
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
Na segunda fase ocorre a análise a priori das questões, na qual o
pesquisador, de acordo com as análises preliminares, delimita o número de variáveis
referentes ao sistema sobre os quais o ensino atua.
Neste trabalho faremos a análise a priori das questões de matemática da
prova do SARESP/2005, as possíveis estratégias de resolução, destacando os
conhecimentos prévios necessários para a resolução. Esta análise será apresentada
ainda neste capítulo.
A terceira fase, quando acontece a experimentação, é realizada com certa
população de alunos. Nesta fase supõem-se as condições de realização da
pesquisa, a aplicação dos instrumentos de pesquisa e os registros das observações
feitas sobre a experimentação.
A experimentação supõe: � A explicitação dos objetivos e condições de realização da
pesquisa à população de alunos que participará da experimentação.
� O estabelecimento do contrato didático. � A aplicação dos instrumentos de pesquisa. � O registro das observações feitas durante a experimentação
(observação cuidadosa descrita em relatório, transcrição dos registros audiovisuais, etc.). (MACHADO, 1999, p. 206).
A quarta é caracterizada pela realização da análise a posteriori, quando então
estaremos analisando os resultados obtidos.
Esta última fase é apresentada em nosso trabalho na análise das resoluções
dos alunos.
79
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
4.1 A ESCOLA E OS ALUNOS
Para realização desta pesquisa, foi escolhida uma escola da rede estadual de
ensino, situada na região oeste da cidade de São Paulo.
Tal escolha deveu-se ao fato de, além de estar localizada próxima a minha
residência, é a instituição na qual atuo como professora titular de cargo da disciplina
de matemática no Ensino Médio há 20 anos.
Essa escola funciona em três períodos com 1876 alunos matriculados, um
diretor efetivo e dois vice-diretores.
Dos alunos matriculados, 674 são do Ensino Médio e 1202 são do Ensino
Fundamental, sendo que 279 estão cursando o 8º ano (antiga 7ª série do Ensino
Fundamental), divididos em sete turmas no período da manhã e uma turma no
período da tarde.
A escola conta com um total de 65 professores, dos quais 13 lecionam a
disciplina de matemática.
Ressaltamos que a média de idade dos alunos dessa escola que estão
cursando o 8º ano é de 12 anos e que há quatro professores de matemática
diferentes , dentre eles apenas dois são titulares de cargo.
Para a realização do trabalho pedagógico a escola dispõe como ferramenta de
apoio, de aparelhos de televisão, vídeo-cassete e aparelhos de DVD em cada sala
de aula.
Possui, também, um considerável acervo de livros didáticos e paradidáticos,
jogos e mapas históricos e geográficos, mas, infelizmente, não estão dispostos em
uma biblioteca, sendo assim, de difícil acesso aos alunos, apesar de os professores
80
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
poderem utilizá-los em sala de aula, desde que seja feita uma prévia solicitação à
direção.
Após a escolha da escola, solicitamos a autorização da diretora para a
realização da pesquisa com os alunos. Posteriormente, reunimo-nos com os
professores que lecionavam no 8º ano, expondo o objetivo da pesquisa e pedindo
permissão para que pudéssemos conversar com os alunos, convidando-os a
participarem como voluntários em nosso trabalho.
Nesse momento, esclarecemos o objetivo da pesquisa aos alunos, explicando
que se tratava de um trabalho necessário para obtenção do título de mestre na área
de Educação Matemática.
Houve certo espanto por parte dos ouvintes, pois os mesmos não sabiam o
que era um curso de mestrado.
Fizemos então, um breve relato sobre os níveis de escolaridade, graduação,
especialização, mestrado e doutorado, ressaltando a importância das pesquisas
realizadas pelos alunos desses cursos.
Posteriormente, deixamos claro que a realização do trabalho seria na própria
escola, no horário de aula, e que, caso fossem participar, precisariam trazer a
autorização que lhes foi entregue, assinada por seus responsáveis.
Esclarecemos, também, que seriam duas avaliações diferentes, contendo três
questões cada, as quais deveriam ser resolvidas individualmente, como no SARESP,
porém, uma seria com questões de múltipla escolha e outra com questões sem
alternativas.
Percebemos a preocupação de alguns alunos que se manifestaram
perguntando se os resultados iriam interferir em suas notas escolares, quando então,
esclarecemos que, apesar dos resultados dessas avaliações não alterarem suas
notas, gostaríamos que fossem resolvidas com seriedade.
81
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
Após a explicação descrita, 26 alunos se propuseram a participar, porém,
apenas 10 trouxeram a autorização dos pais no dia marcado para a devolução.
Fizemos uma nova visita aos alunos, os quais alegaram ter esquecido a
autorização em suas residências.
Aproveitamos o momento para ressaltar a importância da participação dos
mesmos, bem como da autorização assinada.
Dessa vez, todos os 35 alunos se propuseram a participar, porém, o número
de autorizações entregue no dia marcado foi de 33.
Após recolher a autorização de cada responsável, marcamos nosso primeiro
encontro, data em que seria aplicada a primeira etapa das questões.
Para realização desta primeira etapa escolhemos três questões da prova do
SARESP/2005 aplicada à 7ª série do Ensino Fundamental do período da tarde, uma
do nível disponível e duas do nível mobilizável, as quais exigem do aluno a
conversão do registro de representação semiótica da língua natural para o registro
algébrico, e, como já foi dito, aplicamos aos alunos em duas etapas.
Na primeira etapa, as questões foram reaplicadas aos alunos da mesma
maneira como foram apresentadas no SARESP/2005, ou seja, com alternativas.
Na segunda etapa de nossa pesquisa, optamos por reaplicar as mesmas
questões, porém, sem as alternativas, e procuramos deixar bem claro aos alunos a
necessidade e importância de que deixassem a resolução da questão na folha e que
justificassem suas respostas, pois somente assim seríamos capazes de obter as
informações necessárias.
O objetivo da realização de dois tipos de prova com as mesmas questões foi
para que pudéssemos comparar o desempenho dos alunos nos dois tipos de prova,
82
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
bem como analisar, pela prova dissertativa, qual foi a estratégia de resolução e se
conseguiriam equacionar a situação-problema.
Esclarecemos que, em virtude de utilizarmos as mesmas questões, achamos
conveniente um prazo de quinze dias entre as duas etapas, pois, acreditamos ser um
prazo suficiente para que os alunos, mesmo que se lembrassem das questões da
primeira avaliação, não lembrariam das alternativas e, assim, não seriam
influenciados pelas mesmas.
4.2 O INSTRUMENTO DE PESQUISA
O instrumento utilizado na primeira aplicação foi composto por 3 questões, as
quais foram selecionadas por nível de mobilização de conhecimentos, referentes a
situações-problema que necessitam de uma conversão do registro de representação
semiótica da língua natural para o registro de representação algébrica referentes ao
tema expressões/equações polinomiais do primeiro grau.
Para isso, analisamos as questões das provas do SARESP/2005 aplicadas à
7ª série do Ensino Fundamental do período da manhã e do período da tarde, que
exigiam a conversão do registro de representação semiótica da língua natural para o
registro de representação algébrica, referentes ao tema expressões/equações
polinomiais do primeiro grau e obtivemos os seguintes resultados tanto na prova do
período da manhã quanto na prova do período da tarde:
• 1 questão no nível técnico
• 3 questões no nível mobilizável
• 2 questões no nível disponível
Como destacamos, encontramos apenas uma questão no nível técnico
referente ao tema, porém, esta única questão não exige do aluno a conversão do
registro da língua natural para o registro algébrico.
83
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
Diante disso, as questões escolhidas foram as de número 7, 8 e 9, pois são
questões que, além de estarem ligadas ao tema expressões/equações, possibilitam-
nos analisar como nossos alunos equacionam a situação-problema e em que nível
de mobilização de conhecimentos eles se encontram.
O gráfico a seguir apresenta os resultados obtidos pelos alunos na avaliação
do SARESP/2005 em nível Estadual, referentes às questões utilizadas nesta
pesquisa, o que irá nos possibilitar uma comparação com os resultados obtidos
neste trabalho.
Gráfico 2: Percentual de acertos da Rede Estadual de Ensino de São Paulo, das questões analisadas.
Fizemos uma análise a priori dessas três questões.
Procuramos, nesta análise, destacar o objetivo da questão, as habilidades e
os conhecimentos necessários para a sua resolução, a classificação sob a ótica dos
níveis de mobilização de conhecimentos pelos alunos estudados por Aline Robert
(1998) e as estratégias possíveis de resolução.
Como já dissemos, as questões foram escolhidas por serem questões que,
além de estarem ligadas ao tema expressões/equações, nos possibilitam analisar
como nossos alunos equacionam a situação-problema e em que nível de mobilização
dos conhecimentos eles se encontram.
0
10
20
30
40
50
Q. 7 Q. 8 Q.9
manhã
tarde
84
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
4.3. ANÁLISE A PRIORI
QUESTÃO 7: Zeca entrou num jogo com certo número de fichas. Na primeira rodada, perdeu a terça parte, mas, na segunda rodada ganhou três fichas, ficando com 11 fichas no final. As fichas de Zeca no início do jogo eram em número de: A) 11 B) 12 C) 14 D) 20
O objetivo da questão é verificar se o aluno possui a habilidade de operar com
números racionais e resolver problemas que envolvam uma equação polinomial do
primeiro grau.
Podemos constatar que, apesar de no enunciado dessa questão constar todos
os dados necessários para sua resolução, o aluno deverá mobilizar seus
conhecimentos sobre números racionais na forma fracionária e trabalhar com um
número desconhecido, portanto, de acordo com os níveis de mobilização de
conhecimento, classificamos esta questão como sendo do nível mobilizável.
Para que um aluno consiga resolver a referida questão, é necessário que
mobilize os seguintes conhecimentos: operações de adição, multiplicação e divisão
com os números racionais, noções de equivalência, resolução de equações
polinomiais do primeiro grau.
Existem pelo menos três maneiras diferentes para que o aluno resolva tal
questão:
85
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
• Equacionando a situação-problema
1133
1=+−
x
x , reduzindo ao mesmo denominador temos:
3
33
3
9
3
1
3
3=+−
xx
, aplicando o princípio de equivalência temos:
242 =x , portanto, 12=x .
• Utilizando apenas operações com números
Considerando que Zeca ficou com o total de 11 fichas após ganhar três, o
aluno poderá deduzir que, anteriormente ao referido ganho, o total era de 8 fichas.
Essas 8 fichas refere-se a 3
2 do total inicial, uma vez que havia perdido
3
1,
então, se 8 fichas equivale a duas partes de três, conclui-se que uma parte de três
são 4 fichas e, portanto, todas as partes juntas seriam 12 fichas.
• Utilizando as alternativas
Como a questão é do tipo alternativa, o aluno poderá, a partir de cada
resultado dado e, por tentativas, constatar qual fará com que a situação dada se
verifique, ou seja:
Se o resultado for a alternativa A), ou seja, 11, teremos:
3
111− . 11311 =+
113
1114
1133
1111
=−
=+−
86
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
113
31
113
11
3
42
=
=−
Verificando que não é a alternativa A).
Se o resultado for a alternativa B), ou seja, 12, teremos:
3
112 − . 11312 =+
11415
1133
1212
=−
=+−
Verificando que a alternativa satisfaz a igualdade.
Segundo Kieran (1992), a maneira como foi resolvida, tanto aritmeticamente
como por tentativas, utilizando as alternativas, é chamada de processual da álgebra,
ou seja, considera-se as operações aritméticas realizadas apenas com números,
obtendo-se como resultado também números. Os objetos trabalhados não foram as
expressões algébricas e sim numéricas.
Em nossa pesquisa pretendemos, como já foi dito, analisar em que nível
nossos alunos se encontram e se conseguem equacionar a situação dada.
Nessa perspectiva, espera-se que o aluno seja capaz de perceber que o
número de fichas inicial tem o papel de uma incógnita e, portanto, resolva a questão
algebricamente.
87
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
QUESTÃO 8: A soma das mesadas de Marta e João é R$200,00. No mês passado, Marta gastou R$70,00 e João gastou R$40,00 e, ao final do mês, estavam com as mesmas quantias. A mesada de Marta é: A) R$115,00 B)R$120,00 C)R$135,00 D)R$152,00
O objetivo dessa questão é verificar se o aluno é capaz de resolver problemas
envolvendo um sistema de equações polinomiais do primeiro grau.
Classificamos esta questão como sendo do nível disponível pois, apesar dos
dados estarem totalmente explícitos no enunciado, não fica claro ao aluno qual o
caminho a ser seguido.
Os conhecimentos necessários para a resolução desta situação-problema são:
operações de adição, subtração, multiplicação e divisão dos números racionais,
equação polinomial do primeiro grau e sistemas de equações polinomiais do primeiro
grau.
O aluno poderá, para a resolução da referida questão, tomar três caminhos,
sendo eles:
• Equacionando a situação-problema
Marta e João possuem juntos R$200,00.
Considerando M a mesada de Marta e J a mesada de João teremos:
M + J = R$200,00 (equação I)
Se Marta gastou R$70,00, obtemos como expressão M – R$70,00 e se João
gastou R$40,00, obtemos como expressão J – R$40,00.
88
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
Como ficaram com quantias iguais obtemos a seguinte igualdade:
M – R$70,00 = J – R$40,00, aplicando o princípio de equivalência obtemos
M – J = R$30,00, ou, M = R$30,00 + J (equação II).
Substituindo a equação II na equação I temos R$30,00 + J + J = R$200,00
2J = R$170,00 e, portanto, J = R$85,00.
Achamos a mesada de João que é de R$ 85,00, então, a mesada de Marta é
de R$115,00.
Nesta situação-problema o aluno poderá, ainda, resolver algebricamente,
porém, não utilizando um sistema de equações polinomiais do primeiro grau, mas
apenas de uma única equação, vejamos:
Chamando o valor da mesada de Marta de x, que juntando com a mesada de
João resulta em R$200,00, podemos chamar a mesada de João, de R$200,00 - x.
Subtraindo R$70,00 da mesada de Marta escrevemos x – R$70,00 e,
subtraindo R$40,00 da mesada de João escrevemos R$200,00 - x – R$40,00.
Como resulta em quantidades iguais, temos:
x – R$70,00 = R$200,00 - x – R$40,00.
Aplicando o princípio de equivalência obtemos 2x = R$230,00, então
x = R$115,00, portanto, a mesada de Marta é R$115,00.
• Utilizando apenas operações com números
Somando-se os gastos feitos por Marta, R$70,00, com os gastos de João,
R$40,00, teremos um total de R$110,00. Subtraindo-se esse valor do total da
mesada resulta em R$90,00.
89
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
Considerando-se que os dois, após os gastos ficaram com quantias iguais
teremos R$90,00 divido por dois, resultando R$45,00.
Somando-se esse valor com o valor gasto por cada um, chega-se ao seguinte
resultado: Marta R$ 70,00 + R$ 45,000 = R$ 115,00 e João R$ 40,00 + R$ 45,00 =
=R$ 85,00.
• Utilizando as alternativas
Se a mesada de Marta for R$115,00, verifica-se que a de João é R$85,00
pois, as duas juntas deve ser de R$200,00.
Como Marta gastou R$70,00, ficou com R$45,00 e como João gastou
R$40,00, também ficou com R$45,00, ou seja, a alternativa A) é a correta.
Para confirmar, o aluno poderá verificar a alternativa B), procedendo da
mesma maneira, chegando à conclusão de que tal alternativa não satisfaz aos dados
da situação-problema.
QUESTÃO 9: O preço de uma corrida de táxi é composto de uma parte fixa, chamada de bandeirada, de R$3,00, mais R$0,50 por quilômetro rodado. Uma firma contratou um táxi para levar um executivo para conhecer a cidade, estipulando um gasto menor que R$60,00. O número x de quilômetros que o motorista do táxi pode percorrer nesse passeio é representado por: A) x < 50 B) x < 60 C) x < 114 D) x < 120
O objetivo dessa questão é verificar se o aluno possui a habilidade de resolver
uma situação-problema utilizando uma inequação do primeiro grau.
90
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
O nível de conhecimento dessa questão é classificado como nível mobilizável
uma vez que os dados estão todos explícitos no enunciado, não é uma mera
aplicação de fórmulas, ou seja, o aluno deverá mobilizar alguns conhecimentos para
sua resolução, como: operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com
números racionais e inequação do primeiro grau.
Gostaríamos de ressaltar que, de acordo com nossa análise, essa questão
deveria, na época da aplicação do SARESP/2005, ser anulada, pois, a pergunta
deveria ser: “O número máximo de x quilômetros que o motorista de táxi pode
percorrer nesse passeio é representado por...”
Da maneira como está, a questão permite mais do que uma alternativa
correta. O motorista de táxi pode percorrer, por exemplo, 20 quilômetros, o que daria
um valor total de R$13,00 e, a resposta 20 quilômetros satisfaz todas as alternativas
dadas.
Diante do acima exposto, nossa análise será feita considerando-se a mudança
por nós proposta.
Para a resolução dessa situação-problema o aluno poderá fazer da seguinte
forma:
• Equacionando a situação-problema
114
5,0
57
3605,0
605,03
<
<
−<
<+
x
x
x
x
• Utilizando apenas operações com números
O valor máximo que pode gastar deve ser menor que R$60,00. Como a
bandeirada, que é um valor fixo, é de R$3,00 teremos R$60,00 –R$3,00 =R$57,00.
91
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
Considerando que para cada quilômetro pagará R$0,50, temos que para 4 km
pagará R$2,00, para 10km pagará R$5,00 e para 100km pagará R$ 50,00. Somando
os valores temos R$57,00, o que corresponde a 114 quilômetros.
� Utilizando as alternativas
Se a alternativa A) for a correta, o número de quilômetros terá que ser menor
que 50. Considerando-se um número de 50 quilômetros, resultará no valor de
R$25,00. Somando esse valor com o valor fixo da bandeirada teremos um total de
R$ 28,00. O que sobrará dinheiro para percorrer mais quilômetros.
Fazendo o mesmo com a alternativa B), 60 quilômetros, resultará em um valor
total de R$ 33,00. Com a alternativa C), 114 quilômetros, o valor total será de
exatamente R$ 60,00, concluindo-se, portanto, ser esta a alternativa correta.
Descrevemos a seguir, os procedimentos para aplicação das duas etapas da
pesquisa.
4.4. PROCEDIMENTOS DA PRIMEIRA APLICAÇÃO
No dia e horário combinado para a realização da primeira aplicação, os alunos
teriam aula da geografia, no entanto, conversamos anteriormente com o professor da
referida disciplina, o qual colaborou com esta pesquisa disponibilizando sua aula
para tal.
Estavam presentes nesta primeira etapa, além dos 33 alunos e desta
pesquisadora, o professor da sala da disciplina de geografia.
Apesar do professor acima citado não ser um observador para este trabalho,
pedimos ao mesmo que, caso tivesse algo a dizer sobre o trabalho que estava sendo
realizado, que o fizesse por escrito.
92
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
Procuramos criar um ambiente em classe para que as questões fossem
realizadas tal como acontece no SARESP, ou seja, provas individuais.
Agradecemos a cooperação a todos os alunos e explicamos aos mesmos que
as questões poderiam ser resolvidas a lápis ou à caneta e que, apesar de constar na
folha com as questões um espaço para identificação do aluno, isto não seria
obrigatório.
Ressaltamos, ainda, que seria muito importante que fizessem com dedicação,
e que não precisariam ficar preocupados com os resultados, uma vez que estes não
iriam interferir em suas notas escolares.
De posse da folha com as questões, os alunos fizeram alguns
questionamentos, os quais descrevemos a seguir:
Para tal descrição, utilizaremos como identificação “A” para a fala do aluno e
“P” para a fala da pesquisadora.
A1: Professora, precisa resolver?
P: Para você assinalar uma alternativa, é necessário que leiam a questão,
pensem em como vão resolver e façam a resolução.
A2: Posso pegar uma folha de rascunho?
P: Pode fazer seu rascunho na própria folha de avaliação.
A3: Precisa por nome?
P: Só se você quiser. Não é obrigatório.
A3: Posso por só o primeiro nome?
P: É uma boa idéia. Como existem várias pessoas com o mesmo nome, você
não será identificado.
Gostaríamos de registrar que os alunos iniciaram a resolução das questões às
10h10 min e terminaram às 10h25 min.
93
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
Após recolhermos todas as avaliações, agradecemos novamente a
participação dos alunos e marcamos um segundo encontro.
A rapidez com que os alunos resolveram as questões pode ser notada
também nas avaliações do SARESP, as quais são elaboradas com 26 questões de
Matemática e 26 questões de Língua Portuguesa a serem resolvidas em um período
de 4 horas e, no entanto, de acordo com nossa experiência, após 40 minutos do
início da prova, 50% dos alunos já querem entregá-las, pois sabem que já estarão
liberados das atividades escolares do dia.
4.5. PROCEDIMENTOS DA SEGUNDA APLICAÇÃO
É interessante registrar que durante o intervalo dado entre a primeira e a
segunda aplicação, vários alunos me paravam pelos corredores da escola,
indagando sobre o dia do nosso próximo encontro, o que já tinha sido esclarecido.
No dia marcado para a segunda aplicação, conversamos novamente com os
alunos no intuito de conscientizá-los a resolverem as questões com seriedade,
deixando a resolução na folha. Pedimos, inclusive, que não apagassem os
rascunhos, pois esses também seriam objetos de análise.
Nessa segunda aplicação, além da pesquisadora e do mesmo professor da
aplicação anterior, contamos com a presença de 32 alunos.
A aplicação teve início às 10h05min e término às 10h40min.
Ressaltamos que, apesar do tempo decorrido entre as aplicações, apenas
cinco alunos se colocaram dizendo que as questões eram as mesmas da primeira
aplicação.
94
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
4.6. APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS
Neste capítulo apresentamos a análise dos resultados obtidos nas duas
aplicações.
Resolvemos apresentar, primeiramente, uma análise quantitativa, da mesma
forma como é divulgado pela SEE-SP, seguida de uma análise qualitativa, baseando-
nos nos níveis de mobilização dos conhecimentos de Aline Robert (1998) como
achamos que poderia ser feito, pois, em nossa opinião, tal análise seria de fato uma
ferramenta a ser utilizada para a realização dos planejamentos sobre as habilidades
a serem trabalhadas pelos professores.
De acordo com Ludke e André (1986), uma pesquisa qualitativa tem como
uma de suas características, o ambiente em que é realizada, o qual deve ser um
ambiente natural, sem qualquer manipulação intencional do pesquisador e seu
objetivo é compreender um fenômeno do ponto de vista dos participantes.
Os dados de uma pesquisa qualitativa são descritivos e sua análise procura
identificar tendências e padrões importantes, os quais deverão, em um segundo
momento, ser reavaliados, a fim de se descobrir as relações e interferências entre
eles.
Na primeira aplicação em que o instrumento possuía alternativas a serem
assinaladas, participaram 33 alunos e na segunda aplicação, sem as alternativas
participaram 32 alunos.
A porcentagem dos acertos por questão e aplicação é descrita na tabela a
seguir:
95
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
Tabela 4: Percentual de acertos dos alunos na 1ªªªª e 2ªªªª aplicações
1ª Aplicação 2ª Aplicação
TOTAL DE ALUNOS
33 32
QUESTÃO 7 7 acertos 21,2% 7 acertos 21,8%
QUESTÃO 8 8 acertos 24,2% 5 acertos 15,6%
QUESTÃO 9 7 acertos 21,2% 0 acertos 0%
Observou-se que na primeira aplicação, 37,1% dos alunos não acertaram
nenhuma questão, enquanto que, na segunda aplicação, esse percentual foi de
71,9%.
Podemos atribuir o número de acertos e/ou de erros nessa primeira etapa, ao
fato das questões terem sido apresentadas com as alternativas, as quais
acreditamos terem influenciado na escolha das respostas pelos alunos.
Apresentamos a seguir, a análise por questão.
A questão 7, de acordo com a análise a priori, envolvia as habilidades de
resolver situação-problema compreendendo diferentes significados das operações
envolvendo números racionais e resolver situação-problema por meio de equação do
primeiro grau. Classificamos essa questão como sendo do nível de conhecimento
mobilizável.
Levando em consideração as estratégias utilizadas pelos alunos para a
resolução dessa questão, concluímos que nenhum deles desenvolveu as habilidades
necessárias para a resolução, uma vez que todos os alunos que acertaram a referida
questão resolveram utilizando apenas operações com números, como podemos
verificar no protocolo do aluno 1.
Esclarecemos que todos os protocolos apresentados nesta pesquisa são
referentes às resoluções feitas pelos alunos na segunda aplicação, ou seja, sem as
alternativas.
96
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
Figura 2: Protocolo do aluno 1 – questão 7
Percebemos, por esta resolução, que o aluno tem conhecimento do significado
da expressão “terça parte”. Foi calculada a terça parte quando dividiu 12 por 3,
verificou o resultado ao efetuar 4+4+4 = 12, porém, partiu do resultado para a
resolução, o que nos faz acreditar que ele resolveu por tentativas e depois
apresentou a resolução como uma verificação dos resultados.
Dos 32 alunos, apenas dois tentaram equacionar a situação-problema
proposta, considerando o número de fichas no início do jogo como uma incógnita, ou
seja, um número desconhecido, entretanto não obtiveram sucesso na conversão do
registro da língua natural para o registro algébrico, como se observa pelas Figuras 3
e 4.
Figura 3: Protocolo do aluno 2 – questão 7
97
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
Figura 4: Protocolo do aluno 3 – questão 7
Percebe-se, analisando a Figura 3, que o aluno considerou o número de fichas
no início do jogo como sendo um número desconhecido. Representou esse número
com a letra x, porém, apesar da expressão a terça parte estar, para o aluno,
relacionada com o algarismo 3, o mesmo não fez distinção entre o significado da
palavra triplo e a terça parte.
Alguns alunos apresentaram um resultado correto, porém, escreveram uma
igualdade falsa, como pode ser verificado na Figura 5.
Figura 5: Protocolo do aluno 4 – questão 7
O aluno, ao escrever 113
112 =− , mentalmente calculou
3
112 − . 1112 = .
Acreditamos que o fato dessa questão envolver números racionais na forma
fracionária contribuiu para o baixo desempenho dos alunos.
98
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
Um grande percentual dos alunos que errou a questão, ou seja, 68,8%,
também relacionou a expressão a terça parte com o algarismo 3, mas não
reconheceu que a terça parte de uma quantidade é essa mesma quantidade dividida
em três, como pode ser visto no protocolo do aluno 5.
Figura 6: Protocolo do aluno 5 – questão 7
Dos 32 alunos, 4 apresentaram a solução abaixo.
Figura 7: Protocolo do aluno 6 – questão 7
Pode-se dizer que esses alunos, ou estão com dificuldades ainda nas quatro
operações básicas, ou procuraram apresentar qualquer resposta, simplesmente para
cumprir a tarefa.
Com relação ao raciocínio algébrico, pode-se dizer que apenas os alunos que
acertaram a questão encontram-se no nível mobilizável, porém, com relação à
conversão dos registros de representação semiótica encontram-se no nível técnico,
99
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
uma vez que, do total de alunos, apenas dois tentaram a conversão dos registros,
entretanto, sem sucesso.
Na questão 8, cuja habilidade exigida era resolver situação-problema por meio
de um sistema de equações do primeiro grau e que, em nossa análise a priori,
classificamos como sendo do nível disponível, os alunos também se utilizaram
apenas de operações com números para a resolução, como podemos verificar no
protocolo do aluno 7.
Figura 8: Protocolo do aluno 7 – questão 8
Observou-se que o aluno 5 somou os gastos de João e Marta tendo obtido
R$110,00. Depois retirou do valor da soma das mesadas, obtendo R$90,00. Como o
problema citava que os dois ficavam com quantias iguais, o aluno dividiu R$90,00
por dois e, acrescentando R$45,00 aos gastos de cada um chegou ao valor das
mesadas de João e Marta.
A estratégia utilizada pelo aluno foi a mesma apresentada em nossa a priori,
utilizando apenas operações com números, porém, esperávamos que algum aluno
fosse capaz de resolver essa questão utilizando-se do registro algébrico.
100
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
Alguns alunos, mais precisamente 2 dos 32, tiveram um raciocínio análogo ao
apresentado acima, porém, não conseguiram concluir uma resposta satisfatória,
como pode-se observar nas Figuras 9 e 10.
Figura 9: Protocolo do aluno 8 – questão 8
Figura 10: Protocolo do aluno 9 – questão 8
Na figura 9, observa-se que o aluno efetuou todos os cálculos corretamente,
porém, apresentou o resultado 120. O correto seria concluir a resolução somando
R$45,00 com os gastos de Marta que foi de R$70,00, obtendo R$115,00 como
resposta.
Os tipos de erros foram variados, porém, percebemos que grande parte
tiveram sua causa na má interpretação do texto ou na falta de atenção nos dados
apresentados, uma vez que 31,5% dos alunos consideraram que Marta e João
ganhavam mesadas no mesmo valor como mostramos nas resoluções apresentadas
nas Figuras 11 e 12.
101
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
Figura 11: Protocolo do aluno 10 – questão 8
Verificamos que o aluno 10 considerou que tanto Marta como João possuíam
mesadas iniciais de R$200,00 e simplesmente subtraiu os gastos realizados por
cada um.
Os alunos não possuem o costume de validar suas respostas pois, se assim o
fizessem, poderiam repensar a sua resolução. Esses alunos sequer atentaram para o
fato de que R$130,00 + R$160,00 ultrapassa os R$200,00 informados no início do
problema.
Figura 12: Protocolo do aluno 11 – questão 8
Neste caso, o aluno também considerou mesadas iguais para Marta e João e
dividiu R$ 200,00 por dois. Subtraiu os gastos de cada um e somou os gastos,
voltando ao valor inicial.
102
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
Na Figura 13, podemos perceber que alguns alunos fazem uma interpretação
correta do enunciado, resolvem a situação-problema, mas não deixam registrada
qual a estratégia utilizada.
Figura 13: Protocolo do aluno 12 – questão 8
Concluímos que, com relação ao pensamento algébrico, apenas 14,3% dos
alunos conseguem realizar tarefas que encontram-se no nível disponível, no entanto,
com relação à conversão de registros de representação semiótica, todos os alunos,
inclusive os que conseguiram chegar em uma solução correta, não resolveram as
questões que estão tanto no nível disponível quanto no nível mobilizável, pois não o
fizeram equacionando a situação-problema.
A questão 9 exigia a habilidade de resolver situação-problema por meio de
uma inequação do primeiro grau, e foi classificada no nível mobilizável de
conhecimentos pelos alunos.
Como podemos ver na tabela 4, nenhum aluno acertou essa questão.
Em nossa reflexão, acreditamos que um dos fatores que levou a esse
resultado é de cunho social, pois o contexto da questão envolve um dado que muitos
não sabem o que significa: bandeirada, ou seja, para a resolução do exercício não
consideraram o valor da bandeirada como um valor fixo, como pode-se observar no
protocolo do aluno13.
103
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
Figura 14: Protocolo do aluno 13 – questão 9
Verificamos que esse aluno dividiu os R$60,00 pelo valor cobrado por cada
quilômetro, chegando a um resultado de 120 quilômetros.
Do total de alunos, 9, o que corresponde a 28%, apresentaram resolução
análoga.
As Figuras 15 e 16 nos mostram que alguns alunos ignoram os dados
apresentados no enunciado e, além de resolverem erroneamente, desconsideram as
unidades envolvidas.
Figura 15: Protocolo do aluno 14 – questão 9
104
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
O aluno 14 somou o valor da bandeirada com o valor cobrado por quilômetro
rodado, obtendo R$3,50. Subtraiu esse resultado do valor máximo estipulado
resultando em R$56,50, no entanto, desconsiderando que subtraindo dinheiro de
dinheiro o resultado só pode ser dinheiro, apresentou a resposta em quilômetros.
Figura 16: Protocolo do aluno 15 – questão 9
Analogamente, vemos que o aluno 15 desconsiderou as unidades de medida
e, somando R$3,00 com R$60,00, obteve R$63,00, mas apresentou como resposta
63km.
Nesta questão, também não observamos nenhuma tentativa de equacionar a
situação-problema.
Como nesta questão não houve acertos, concluímos que, com relação ao
nível de mobilização de conhecimentos, todos os alunos estão no nível técnico.
Diante do acima exposto e à luz da análise qualitativa das resoluções feitas
pelos alunos nessa pesquisa, percebemos a forte tendência na resolução utilizando
apenas operações com números, ou seja, fazendo a conversão do registro de
representação semiótica da língua natural para o registro numérico, resultado
semelhante ao apresentado por Booth (1995, p. 34).
Apenas na questão 7, a qual classificamos como sendo do nível mobilizável,
tivemos duas resoluções apresentadas no registro algébrico, porém, sem sucesso,
105
CAPÍTULO 4 Rosana Ap. da Costa Vaz
uma vez que dos 21,8% de acertos todos foram obtido por uma resolução
apresentada no registro numérico.
É importante que o professor aceite a estratégia empregada pelo aluno,
porém, é necessário que proponha situações-problema que o faça perceber a
importância de se utilizar o registro algébrico para a sua resolução.
Compartilhamos da opinião de Booth o qual afirma que [...] o uso de métodos
informais em aritmética pode também ter implicações na habilidade do aluno para
estabelecer (ou compreender) afirmações gerais da álgebra. (BOOTH, 1995, p.35).
Verificamos, também, que os alunos não possuem o costume de validar a
resposta encontrada, pois, se assim o fizesse, poderiam perceber o erro cometido e
refazer a atividade.
107
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A presente pesquisa, de abordagem qualitativa, teve como principal objetivo
analisar o desempenho dos alunos do 8º ano (antiga 7ª série do Ensino
Fundamental) na resolução de questões que envolvem a conversão do registro de
representação semiótica da língua natural para o registro algébrico (DUVAL, 2003),
sob a ótica dos níveis de mobilização de conhecimentos (ROBERT, 1998).
As questões analisadas foram retiradas da prova do SARESP/2005, do
período da tarde, referentes ao tema equações/expressões.
Para esta pesquisa pautamo-nos na teoria de Aline Robert (1998) e na teoria
de Raymond Duval (2003).
Aline Robert (1998) ressalta que um trabalho que considera os três níveis de
conhecimentos (técnico, mobilizável e disponível) ajuda na análise e na preparação
de atividades que permitam a construção do conhecimento matemático em diferentes
níveis, bem como auxilia na identificação dos conhecimentos prévios necessários
para a resolução de uma situação-problema.
Duval (2003, p. 31) considera que uma pluralidade de registros de
representação semiótica de um mesmo objeto e a articulação desses diferentes
registros são condições necessárias para a compreensão em matemática.
O interesse de se realizar esta pesquisa surgiu do fato de que, segundo
orientações da SEE/SP, a prova de matemática do SARESP/2005 deveria estar
fundamentada na teoria de Robert (1998), com questões nos três níveis: técnico,
mobilizável e disponível, no entanto, quando da análise realizada sobre o
desempenho dos alunos da prova em questão, tal teoria não foi contemplada.
Levando em consideração nossa experiência em sala de aula, e conhecendo
a dificuldade que muitos alunos encontram na resolução de situações-problema,
principalmente naquelas que envolvessem a conversão do registro da língua natural
108
CONSIDERAÇÕES FINAIS Rosana Ap. da Costa Vaz
para o registro algébrico, escolhemos questões que envolvesse esse tipo de
conversão.
O referencial metodológico deste trabalho foi pautado na metodologia da
engenharia didática (ARTIGUE, 1996), da qual utilizamos as quatro fases a seguir:
análises preliminares, análise a priori, experimentação e, por fim, análise posteriori e
validação.
Em nossas análises preliminares, além de buscarmos fundamentação nas
teorias de Robert (1998) e Duval (2003), acima citadas, procuramos conhecer um
pouco mais sobre as visões e concepções referentes à Álgebra, por alguns
pesquisadores, citados no capítulo III.
Buscamos, ainda, conhecer um pouco mais sobre o SARESP e o que é
apresentado nos PCN (BRASIL, 1998) sobre o tema estudado.
Para a elaboração do instrumento de pesquisa, analisamos as questões da
prova do SARESP/2005 aplicada à antiga 7ª série do Ensino Fundamental, do
período da tarde, referentes ao tema expressões/equações.
Procuramos nessa análise, identificar quais questões envolviam a conversão
dos registros de representação semiótica da língua natural para o registro algébrico,
classificando-as nos níveis de mobilização de conhecimentos técnico, mobilizável e
disponível, quando descobrimos que não havia nenhuma questão no nível técnico
que exigisse tal conversão.
De início, nosso objetivo era utilizar uma questão de cada nível de mobilização
de conhecimentos, entretanto, diante do obstáculo apresentado, resolvemos
selecionar duas questões no nível mobilizável e uma questão no nível disponível.
O instrumento de pesquisa foi aplicado a uma turma do 8º ano (antiga 7ª série
do Ensino Fundamental) de uma escola da rede pública de ensino do estado de São
Paulo, no período de aula, em duas etapas: na primeira etapa as questões foram de
109
CONSIDERAÇÕES FINAIS Rosana Ap. da Costa Vaz
múltipla escolha, como no SARESP e, na segunda etapa, após um intervalo de
quinze dias, reaplicamos as questões sem as alternativas, para que pudéssemos
analisar as resoluções feitas.
A análise quantitativa dos resultados confirma o que o SARESP/2005 já havia
apresentado, ou seja, um número insatisfatório de acertos.
Este tipo de análise nos permitiu perceber que há problemas, como já
sabemos, no ensino e/ou na aprendizagem de matemática, porém, não é possível,
apenas com os resultados quantitativos, diagnosticar dificuldades e erros bem como
suas possíveis origens.
Acreditamos que uma análise qualitativa, de acordo com os níveis de
mobilização dos conhecimentos de Robert (1998), nos proporcionará, além de
identificar as dificuldades dos alunos, verificar quais conhecimentos são capazes de
mobilizar.
Dos 32 alunos que participaram desta pesquisa, apenas dois tentaram a
conversão do registro da língua natural para o algébrico, porém, sem sucesso não só
na conversão dos registros como também na manipulação destes.
Sabemos que a matemática ensinada em algumas escolas é voltada ao treino
das habilidades, à mecanização da Álgebra e simples memorização de regras,
entretanto, pudemos verificar que ainda assim, mesmo na manipulação dos termos
algébricos ou numéricos, os alunos não apresentaram um rendimento satisfatório.
Tanto na questão 8 (15,6% de acertos), classificada em nossa análise como
sendo do nível disponível, como na questão 9 (0% de acertos), classificada no nível
mobilizável, não houve nenhuma resolução utilizando-se o registro algébrico.
Os erros encontrados nas resoluções dos alunos foram muitos.
110
CONSIDERAÇÕES FINAIS Rosana Ap. da Costa Vaz
Não fez parte dessa pesquisa investigar, com a realização de entrevistas aos
alunos ou outras estratégias, as origens desses erros, o que propomos para uma
próxima pesquisa, entretanto, analisando os protocolos, verificamos que as
dificuldades dos alunos estão presentes tanto na interpretação do enunciado e no
processo de conversão dos registros de representação semiótica (numérico quando
resolveram utilizando apenas números e, algébrico, quando tentaram equacionar),
quanto no tratamento desses registros, ou seja, na manipulação com as operações
numéricas e algébricas.
Nossa conclusão é de que, desconsiderando a estratégia utilizada para a
resolução das questões propostas em nossa pesquisa, alguns alunos conseguem
resolver questões que estão no nível disponível, porém, com relação à conversão
dos registros de representação semiótica da língua natural para o registro algébrico,
nenhum aluno obteve sucesso.
Lochhead e Mestre propõem como sugestão para amenizar as dificuldades
que os alunos encontram nesse tipo de conversão, que seja realizada uma prática
ampla do processo de tradução, isolada dos outros aspectos da resolução de
problemas. (1995, p.149).
Fazer com que os alunos adquiram o hábito de validar e justificar os
resultados encontrados também é uma estratégia bastante útil, o que permite,
inclusive, quando realizada em conjunto, discussões sobre os possíveis resultados,
momento em que o professor poderá abordar conceitos que, apesar de já terem sido
estudados, ainda não estão prontos na estrutura cognitiva do aluno.
Na sala de aula, percebemos, enquanto professores, que a aprendizagem de
alguns alunos não ocorre de uma hora para outra, havendo assim, a necessidade de
várias atividades que contemplem todos os níveis de mobilização de conhecimentos.
O curso de mestrado me fez enxergar que não estou sozinha nessa difícil
tarefa de se ensinar matemática.
111
CONSIDERAÇÕES FINAIS Rosana Ap. da Costa Vaz
Apesar de sabermos que as dificuldades encontradas pelas crianças no
aprendizado desta ciência são grandes, aprendi, com esta pesquisa, que uma
análise qualitativa das atividades realizadas pelos alunos, tanto nas provas como o
SARESP e principalmente naquelas propostas pelo professor em sala de aula, ajuda
a diagnosticar as dificuldades e investigar a origem de possíveis erros, partindo,
assim, para o planejamento de novos conteúdos e estratégias a serem ensinadas.
Não basta dizer que um aluno acertou ou errou uma questão, o que é feito por
muitos professores. É necessário instigá-lo a descobrir onde e porque errou.
[...] Um levantamento contínuo do que envolve exatamente o aprendizado de novos tópicos de matemática, acompanhado por uma análise dos erros cometidos pelos alunos e de suas causas, pode nos proporcionar instrumentos extremamente úteis para decidir sobre os meios de ajudar as crianças a melhorarem sua compreensão da matemática. (BOOTH, 1995, p. 36).
Nesse sentido, acreditamos que uma análise qualitativa de acordo com os
níveis de Aline Robert (1998) nos ajudará não só a identificar os possíveis erros e
dificuldades dos alunos, como também verificar quais conhecimentos nossos alunos
são capazes de mobilizar e se estão prontos para enfrentar novas tarefas em níveis
mais avançados.
A teoria de Robert ajuda o professor a selecionar atividades de todos os níveis
(técnico, mobilizável e disponível) e a aplicá-las a seus alunos no momento certo.
Como um dos objetivos do SARESP é de que professores e gestores tomem
conhecimento sobre a qualidade do ensino oferecido no Estado e, considerando as
orientações da SEE/SP de que todo início de ano que segue a aplicação do
SARESP, no período de planejamento escolar, os professores, juntamente com o
coordenador pedagógico, analisem o desempenho dos alunos em cada questão,
verificando em quais habilidades a média dos alunos obteve baixo índice de
desempenho e discutam estratégias a serem desenvolvidas e os conteúdos a serem
112
CONSIDERAÇÕES FINAIS Rosana Ap. da Costa Vaz
trabalhados, no sentido de sanar as defasagens apontadas pela referida avaliação,
esperamos, com esta pesquisa, ter mostrado que a análise deve ser feita de forma
qualitativa, pois só assim servirá para um trabalho efetivo em prol da aprendizagem
dos alunos.
113
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117
ANEXOS
ANEXO 1 : MATRIZ DE ESPECIFICAÇÃO – MATEMÁTICA Ensino Fundamental – 7ª Série
Conteúdos Habilidades
1. Resolver situação-problema, compreendendo diferentes significados das operações, envolvendo números naturais.
2. Resolve situação-problema de contagem, que envolve o princípio multiplicativo.
3. Resolver situação-problema que envolve grandezas diretamente proporcionais.
4. Resolver situação-problema que envolve grandezas inversamente proporcionais.
5. Resolver situação-problema que envolve cálculo de juros simples.
6. Resolver equações do 1º grau com uma incógnita.
7. Resolver situação-problema por meio de equação do primeiro grau.
8. Resolver situação-problema por meio de um sistema de equações do primeiro grau.
9. Resolver situação-problema por meio de inequação do primeiro grau.
Números e operações
10. Efetuar operações com expressões algébricas.
11. Analisar, em paralelepípedo retângulo, a posição relativa de duas arestas (paralelas, perpendiculares, reversas) e de duas faces (paralelas, perpendiculares).
12. Reconhecer figuras tridimensionais representadas por diferentes vistas.
13. Utilizar relações de igualdade ou de suplementaridade entre ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal para resolver situação-problema.
14. Utilizar propriedades de triângulos e quadriláteros pelo reconhecimento dos casos de congruência de triângulos.
15. Identificar as alturas, bissetrizes, medianas e mediatrizes de um triângulo e propriedades.
Espaço e forma
16. Reconhecer a transformação de uma figura no plano por meio de reflexão em reta, translação, rotação ou composição dessas, identificando medidas que permanecem invariantes nessas transformações (medidas dos lados, dos ângulos).
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17. Determinar a soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer.
18. Determinar o número de diagonais de um polígono convexo qualquer.
19. Resolver situação-problema envolvendo grandezas como capacidade, tempo ou massa e respectivas unidades de medida, fazendo conversões adequadas.
20. Resolver situação-problema envolvendo grandezas determinadas pela razão de duas outras (densidade e velocidade).
21. Estabelecer a razão aproximada entre a medida do comprimento de uma circunferência e seu diâmetro.
Grandezas e medidas
22. Calcular a área de superfícies planas por meio da composição e decomposição de figuras ou por meio de fórmulas.
23. Resolver situação-problema cujos dados estão expressos em tabelas de dupla entrada.
24. Resolver situação-problema cujos dados estão expressos em gráficos de colunas, barras ou setores.
25. Associar uma tabela simples a um gráfico de colunas ou setores.
Tratamento da informação
26. Identificar espaços amostrais de um evento aleatório.
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ANEXO 2: CONHEÇA O SARESP
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo - SEE/SP - vem avaliando sistematicamente a Educação Básica no Estado, desde 1996, por meio do Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo - Saresp. O Saresp tem aferido anualmente o rendimento escolar de centenas de milhares de estudantes, colocando à disposição dos educadores e gestores do ensino, bem como das famílias e da sociedade civil, os resultados da avaliação e uma série de estudos estatísticos e pedagógicos. Esse conjunto de informações subsidia professores e técnicos das diferentes redes de ensino no desenvolvimento de ações para a superação de problemas de aprendizagem e na proposição de situações de ensino cada vez mais significativas para os alunos. Ao mesmo tempo, instrumentaliza estudantes e pais para uma participação mais efetiva da gestão da escola, tendo em vista o seu aperfeiçoamento. Os dados colhidos, enfim, permitem que a sociedade civil acompanhe e fiscalize os serviços educacionais oferecidos à população, bem como efetue novas demandas. Até o momento houve oito edições do Saresp, a mais recente das quais realizada em novembro de 2004, com a participação de mais de 5 milhões de alunos, sendo 4.700.000 da rede estadual, 390.000 da rede municipal e 32.000 da rede particular. Nessa ocasião, foram avaliados todos os alunos dos Ensinos Fundamental e Médio das escolas urbanas e rurais da rede estadual na modalidade de ensino regular, e também das escolas da rede particular e das redes municipais que aderiram ao sistema. No final do ano letivo de 2005, será realizada a 9ª edição do Saresp, quando serão avaliados todos os alunos do Ensino Fundamental e Médio das escolas urbanas e rurais da rede estadual no modalidade de ensino regular. Nessa edição, como em 2004, serão também envolvidas as redes municipal e particular que aderirem ao sistema. As orientações contidas neste documento têm a finalidade de informar sobre os principais objetivos, procedimentos, compromissos e responsabilidades dos parceiros da SEE no Saresp. 1. O que é o Saresp? O Saresp é o Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo. Desde sua criação, em meados da década de 90, vem avaliando sistematicamente o sistema de ensino paulista, verificando o rendimento escolar dos alunos de diferentes séries e períodos e identificando os fatores que interferem nesse rendimento. 2• Quais são os objetivos do Saresp? O principal propósito do Saresp é obter indicadores educacionais que possam subsidiar a elaboração de propostas de intervenção técnico-pedagógica no sistema de ensino, visando a melhorar a sua qualidade e a corrigir eventuais distorções detectadas. O Saresp constitui, assim, uma espécie de “bússola” para a reorientação das ações da SEE/SP, especialmente no que diz respeito à capacitação dos recursos humanos do magistério, e do trabalho das escolas participantes. Mais ainda: ao envolver diretamente professores, alunos e pais em suas atividades, pretende contribuir para o fortalecimento e o aperfeiçoamento de uma
120
cultura avaliativa não-punitiva e fomentadora de mudanças qualitativas na Educação no Estado de São Paulo. 3. A quem se dirige o Saresp? A preocupação central do Saresp é disponibilizar às escolas, às equipes pedagógicas e aos órgãos centrais da SEE/SP, bem como aos estudantes e suas famílias e à sociedade civil. em geral, informações consistentes sobre a qualidade do ensino oferecido no Estado. Com isso, possibilita aos responsáveis pelas políticas educacionais, bem como aos educadores, o aprimoramento da gestão do sistema educacional e a adoção de procedimentos e estratégias pedagógicas capazes de contribuir efetivamente para a melhoria do processo de ensino-aprendizagem. O Saresp permite também que os alunos e suas respectivas famílias, ao tomar ciência dos aspectos positivos e negativos da escola, participem de forma mais efetiva de sua gestão, e que a sociedade civil obtenha elementos que lhe possibilitem melhor acompanhar, fiscalizar e demandar os serviços educacionais oferecidos à população. 4. Qual é a abrangência do Saresp? A participação no Saresp é compulsória para todas as escolas estaduais administradas pela SEE/SP. A participação das demais redes de ensino (municipal e particular) ocorre por adesão. 5. O que o Saresp avalia? Em suas primeiras edições, o Saresp avaliou habilidades cognitivas desenvolvidas pelos alunos durante o processo de escolarização em séries e componentes curriculares diversos. Nos últimos anos, porém, o Sistema vem se centrando na avaliação das habilidades cognitivas de Leitura e Escrita adquiridas pelos alunos ao longo de todas as séries dos Ensinos Fundamental e Médio e, para esse ano será acrescido a área de Matemática. A seleção e a definição dessas habilidades está fundamentada nas Propostas Curriculares da Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas - CENP/SEE, nos Parâmetros Curriculares Nacionais - PCNs e no que de fato ocorre no sistema de ensino paulista. 6. Quais instrumentos de avaliação são utilizados pelo Saresp? O Saresp utiliza basicamente dois tipos de instrumentos de avaliação para atingir seus objetivos. O primeiro consiste na aplicação de provas para medir o desempenho dos alunos em Leitura/Escrita e Matemática, constituída cada uma de questões objetivas, tanto no Ensino Fundamental (3ª a 8ª séries), quanto no Ensino Médio. Essas provas apresentam também um tema para Redação do tipo narrativo-descritivo para o Ensino Fundamental. No Ensino Médio o tema é dissertativo-argumentativo. Já para a 1ª e 2ª séries do Ensino Fundamental, as provas serão constituídas de questões predominantemente abertas. Para cada série e período, serão construídos instrumentos diferentes, mas com questões equivalentes. O segundo instrumento consiste em questionário aplicado aos alunos, por meio do qual são coletadas informações sobre suas características pessoais, o contexto socioeconômico e cultural em que vivem, sua trajetória escolar, suas percepções acerca dos professores e da gestão da escola e, também, sua participação nos projetos da SEE/SP. Objetiva-se, com este questionário, traçar os perfis dos alunos nos diferentes níveis de escolaridade e verificar as possíveis interferências desses fatores na aprendizagem. 7. Quem é responsável pela aplicação das provas do Saresp?
121
A responsabilidade pela aplicação do Saresp é da SEE/SP, por meio de suas Coordenadorias (CENP, COGSP e CEI), da Fundação para o Desenvolvimento da Educação, das Diretorias de Ensino, das escolas, dos diretores e dos professores aplicadores. Em 2004, a avaliação contou, ainda, com a participação das Secretarias e Conselhos Municipais de Educação, além de representantes da rede particular de ensino Todos os anos é contratada, enfim, uma empresa responsável pela assessoria técnica ao Sistema e pela logística da avaliação. 8. Como são disponibilizadas as informações sobre a aplicação do SARESP? Os educadores da rede estadual responsáveis pelo Saresp passam por um processo de capacitação, realizado em nível central, regional e local, a partir de ações presenciais e videoconferências. São fornecidos a todos os envolvidos, além disso, manuais com orientações a respeito dos procedimentos padronizados adotados em cada etapa do Saresp. As redes municipal e particular, por sua vez, recebem todas as informações sobre a aplicação e correção das provas nos treinamentos organizados pelas Diretorias de Ensino, juntamente com as escolas da rede estadual. 9. Quando é aplicado o SARESP? A aplicação das provas ocorre no final do ano, no mesmo horário de início das aulas nos períodos da manhã, tarde e noite, em dois dias consecutivos. O primeiro dia é destinado à aplicação da prova de Leitura e Matemática. Já no segundo dia os alunos produzem um texto e respondem ao questionário. 10. O que acontece nos dias da aplicação do SARESP? Nos dias da aplicação do Saresp, a escola toda se mobiliza para a avaliação. Os aplicadores das provas são os professores do próprio estabelecimento de ensino, coordenados pelo diretor. Há um aplicador para cada turma de alunos. Os aplicadores do período chegam à escola meia hora antes do início da prova e seguem rigorosamente os procedimentos do Manual de Aplicação discutido no treinamento. Pais de alunos também se fazem presentes, acompanhando e fiscalizando a aplicação. 11. Como são corrigidas as provas do Saresp? Com relação à 1ª e à 2ª séries do Ensino Fundamental, as questões abertas que compõem a prova são corrigidas e transcritas pelos professores, seguindo as orientações do Roteiro de Correção das Provas. No que diz respeito às provas da 3ª à 8ª séries do Ensino Fundamental e àquelas do Ensino Médio, a parte objetiva é corrigida por meio de processamento eletrônico efetuado pela empresa contratada. A correção das redações é feita pelos professores capacitados para esta etapa avaliativa.
12. Como e qua 12. Quando é feita a divulgação dos resultados do SARESP?
A divulgação dos resultados do Saresp é feita por meio de uma série de informes e relatórios, enviados a cada instância envolvida e/ou disponibilizados no site da SEE/SP ( www.educacao.sp.gov.br ) a tempo de serem utilizados no planejamento escolar. Entre eles, destacam-se: • o Quadro diagnóstico das habilidades avaliadas por turma e aluno – apresenta os resultados de cada aluno;
122
• o Informe personalizado de resultados da avaliação por escola – com dados de abrangência, estatísticas básicas por prova, série e período, bem como resultados por habilidades série e período e dados da rede de ensino à qual o estabelecimento se filia; e • o Informe personalizado de resultados da avaliação por rede – com dados de abrangência série e período, do conjunto das escolas de cada rede. Além desses informes, são divulgados os gabaritos das provas de todas as séries e períodos, juntamente com as matrizes de especificação das habilidades avaliadas, no site da SEE/SP. É divulgado, também, por rede de ensino, um relatório quantitativo acerca do perfil dos alunos. A devolução de resultados a cada estabelecimento de ensino ocorre em caráter confidencial e tem cunho formativo, já que o Saresp adota um enfoque centrado no uso da informação como instrumento de aprendizagem profissional para os gestores e educadores. Os resultados globais do Saresp, por sua vez, são divulgados através da imprensa, para que a população possa conhecer os resultados da avaliação do ensino oferecido, e por meio de um relatório final da avaliação. 13. Como os gestores e os educadores utilizam os resultados do Saresp? Os resultados do Saresp constituem importantes instrumentos de monitoramento do ensino. Eles subsidiam a tomada de decisão e o estabelecimento de políticas públicas no campo da Educação no Estado de São Paulo. Reorientam também o trabalho pedagógico em termos de demandas de capacitação e de elaboração de planos e estratégias de ação, com vistas a melhorar as práticas pedagógicas em cada unidade escolar. Condições de adesão das redes municipal e particular 14. Como as redes municipal e particular participam do SARESP?: A participação das escolas das duas redes se dará por adesão, desde que: • assumam as despesas decorrentes do processo avaliativo, mediante contrato a ser firmado com a empresa externa prestadora de serviços; • contem com a participação de todas as escolas urbanas e rurais de cada município que oferecem Ensino Fundamental e/ou Ensino Médio. No caso da rede particular de ensino, cada escola deverá manifestar a sua adesão ao sistema de avaliação; • participem com a totalidade dos alunos que freqüentam as escolas nos períodos da manhã, tarde e noite da 3ª à 8ª séries do Ensino Fundamental e da 1ª à 3ª séries do Ensino Médio; em classes regulares, exceto alunos da Educação de Jovens e Adultos (EJA) e classes multisseriadas; • indiquem, no caso da rede municipal, representantes de suas Secretarias / Departamentos e/ou dos seus Conselhos Municipais de Educação, para atuarem como coordenadores regionais da avaliação. Já as escolas da rede particular deverão participar do processo, por meio de representantes de suas entidades sindicais e/ou associativas. A avaliação das primeiras séries do Ensino Fundamental está vinculada à existência de professores nas redes municipal e particular que participaram do Programa de Formação de Alfabetizadores (PROFA) ministrado pelo Ministério da Educação ou do Projeto Letra e Vida, em desenvolvimento pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo. Essa decisão se justifica em razão da especificidade da avaliação das 1as e 2as séries na rede da SEE que, vinculada aos pressupostos desse Projeto, requer procedimentos específicos para a aplicação e correção de provas. 15. Como viabilizar a participação no SARESP?
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É necessário que cada rede de ensino indique um coordenador da avaliação em sua cidade e/ou região, para atuar como um elo entre as escolas e a Diretoria de Ensino, com o seguinte perfil: • seja dinâmico e ágil nas tomadas de decisões; • tenha interesse pela área de avaliação e capacitação de recursos humanos; • tenha boa articulação pessoal e profissional com as equipes técnicas da sua rede de ensino e das escolas; • tenha disponibilidade e tempo para desenvolver as ações previstas pelo sistema de avaliação. Assim, este coordenador terá como atribuições: • mapear as suas escolas quanto ao número de alunos por série, período e turma; • divulgar o SARESP; • participar da capacitação em nível de Diretoria de Ensino; • capacitar as equipes escolares; • receber e distribuir os materiais de aplicação; • zelar pelo sigilo das provas; • supervisionar a aplicação; • divulgar os resultados para as escolas. 16. Até quando e como é possível fazer a adesão no SARESP? A adesão poderá ser feita até final de julho de 2005, por meio eletrônico. Para tanto, acesse o site da SEE – www.educacao.sp.gov.br . Clique no ícone Saresp/2005 - Condições de adesão e preencha a ficha de adesão, informando todos os dados solicitados. Posteriormente, a SEE entrará em contato para confirmar os dados coletados, como também para prestar informações complementares a respeito do processo de implantação da avaliação, em 2005. A adesão ao Saresp se formalizará mediante assinatura de contrato entre o município ou escola particular com a empresa licitada pela SEE para prestar serviços na área de avaliação. 17. O que fazer em caso de dúvidas no andamento das etapas do SARESP? Em caso de dúvidas e/ou maiores informações sobre diferentes aspectos relacionados ao processo de aplicação das provas, ligar para a Equipe de Avaliação da FDE, nos telefones (11)3327-4225/4226/4230 ou por e-mail gaa@fde.sp.gov.br (retirado do site http://saresp.edunet.sp.gov.br, acesso em 28.02.2008)
125
ANEXO 3: Resolução SE Nº 81, de 19/10/2005
Dispõe sobre a realização das provas de avaliação relativas ao Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo – Saresp-2005
O Secretário de Estado da Educação, considerando:
• • a relevância que o sistema de avaliação assume para os educadores das escolas que oferecem Educação Básica;
• • a participação das escolas da rede estadual no Saresp e a importância da adesão das escolas das redes municipal e particular na ampliação desse processo;
• • os resultados dessa avaliação como indicadores para a elaboração de ações e projetos pedagógicos inovadores, além de programas de formação continuada para os educadores das diferentes redes de ensino;
• • a necessidade de avaliar competências e habilidades dos alunos das redes estadual, municipal e particular de ensino ao final de cada série de aprendizagem;
• • a necessidade de se assegurar às diferentes redes de ensino as condições necessárias para uma efetiva operacionalização desse processo,
resolve: Artigo 1º - A avaliação do Saresp – 2005 será realizada nos dias 9 e 10 de novembro, nos períodos da manhã, tarde e noite, e abrangerá, obrigatoriamente, todos os alunos do ensino regular matriculados no Ensino Fundamental e no Ensino Médio das escolas da rede estadual de ensino, além dos alunos das escolas municipais e particulares que aderiram à proposta de participação.
§ 1º - No caso da rede estadual de ensino a avaliação envolverá, ainda, alunos das Classes de Aceleração, de Recuperação de Ciclo e de Flexibilização. § 2º - Nos dias de aplicação das provas, nas escolas da rede estadual, haverá aula para os alunos das modalidades de ensino que não serão objeto de avaliação do Saresp 2005. Artigo 2º - A avaliação de que trata o artigo anterior visa aferir o domínio das competências e habilidades básicas previstas para o término de cada série e consistirá de provas de Leitura/Escrita e de Matemática.
Artigo 3º - As provas serão realizadas em dois dias consecutivos, no horário de início regular das aulas adotado pelas escolas participantes, conforme quadros anexos – I e II - que integram a presente resolução.
Parágrafo único: Os alunos realizarão as provas na escola e classe que vêm freqüentando no ano em curso.
Artigo 4º - As provas terão a seguinte constituição: I – para as classes de 1a e 2a séries do Ensino Fundamental, questões abertas de Leitura/Escrita e de Matemática; II – para as classes de 3a e 4a séries do Ensino Fundamental, 40 questões de múltipla escolha - 20 de Leitura e 20 de Matemática – e uma proposta de redação; III – para as classes de 5a a 8a séries do Ensino Fundamental e 1ª a 3ª séries do Ensino Médio, 52 questões de múltipla escolha - 26 de Leitura e 26 de Matemática - e uma proposta de redação.
126
§ 1º - A proposta de redação será de um texto narrativo-descritivo para as séries do Ensino Fundamental ( 3a a 8a ) e de um texto dissertativo-argumentativo para o Ensino Médio ( 1a a 3ª ). § 2º - Serão aplicadas provas diferentes, com grau de dificuldade equivalente, para cada série e período ( manhã, tarde e noite ).
§ 3º - Além das provas, será aplicado um questionário socioeconômico, para o Ensino
Fundamental e Ensino Médio.
Artigo 5º - A prova terá a duração máxima de 3 (três) horas e o aluno do Ensino Fundamental ou Médio somente poderá ausentar-se após 1 (uma) hora e 30 minutos do seu início.
Artigo 6º - A aplicação da prova caberá aos professores da própria escola observando-se que: I Os professores das 1as e 2as séries do Ensino Fundamental deverão aplicar as provas em turmas diversas das séries em que lecionam. II Nas demais séries, as provas deverão ser aplicadas, preferencialmente, por professores que lecionam em turmas diferentes.
III Os professores serão acompanhados por profissionais da Diretoria de Ensino e por
representantes de pais de alunos, sob coordenação do diretor da escola.
Artigo 7º - As atividades de elaboração das provas, logística da avaliação, leitura ótica, processamento dos dados e elaboração de relatórios e informes com resultados das escolas, Diretoria de Ensino, Coordenadoria de Ensino e Estado, estarão sob a responsabilidade da Fundação Cesgranrio, em conformidade com as orientações da Secretaria de Estado da Educação e da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE.
Artigo 8º - As atividades necessárias à realização do Saresp, observados os prazos estabelecidos no cronograma a ser oportunamente divulgado, deverão ser desenvolvidas pelas equipes das Diretorias de Ensino e por profissionais das redes municipal e particular e das escolas estaduais, municipais e particulares, segundo as orientações e procedimentos contidos nos Manuais de Orientação, de Redação e do Aplicador e do Roteiro de Correção das Provas da 1ª e 2ª séries do Ensino Fundamental, e devidamente discutidos nas respectivas ações de capacitação.
Artigo 9º - Caberá ao diretor da unidade escolar:
I – zelar pela divulgação das condições, datas e horários de realização das provas, cuidando do cumprimento dos procedimentos formais; II – informar a população sobre a interrupção do atendimento ao público em geral nos dias das provas; III – garantir que os serviços internos de apoio escolar transcorram normalmente; IV – organizar e coordenar, na escola, todo o processo da avaliação; V – indicar, em consenso com o Conselho de Escola, três representantes de pais, por período, para acompanhar a avaliação; VI – indicar os professores de sua escola que exercerão a função de aplicador;
VII – conferir os materiais de aplicação, tendo como base o Manual de Orientação e a Planilha de Controle de Recebimento por Escola; VIII – organizar o processo de aplicação da prova, remanejando os professores para atuarem, preferencialmente, em turmas em que não ministrem aulas;
127
IX – organizar, na escola, junto com o professor coordenador e os professores participantes do Programa "Letra e Vida", quando houver, o processo de correção das provas de Leitura/Escrita e de Matemática das 1as e 2as séries, conforme orientações contidas no Roteiro de Correção; X – formar uma banca para correção das redações produzidas pelos alunos das 3as às 8as séries do Ensino Fundamental e pelos alunos do Ensino Médio, composta por professores do Ciclo I, professores de Língua Portuguesa do Ciclo II e do Ensino Médio, conforme orientações contidas no Manual de Redação; XI – organizar o processo de correção das redações, mantendo regularmente as atividades escolares para todos os alunos; XII – devolver o material correspondente à avaliação para a Diretoria de Ensino, tendo como base o Manual de Orientação e a Planilha de Controle de Devolução por Escola, em dois momentos:
a) primeiro momento: dia 11 de novembro de 2005; lb) segundo momento: dia 1º de dezembro de 2005.
XIII – armazenar os cadernos de provas respondidos pelos alunos até um ano após a data da aplicação. § 1º - Na impossibilidade de atender ao previsto no inciso IX deste artigo, o diretor de escola deverá encaminhar à DE o pacote contendo os cadernos de provas da 1ª e 2ª séries do Ensino Fundamental e as respectivas folhas de resposta em branco.
§ 2º - Na constituição da banca de que trata o inciso X deste artigo, cada professor
designado deverá corrigir redações de turmas diferentes daquelas em que ministra aulas.
Artigo 10 - Caberá ao dirigente regional de ensino: I – garantir o sigilo absoluto das informações contidas nos cadernos de provas, adotando medidas seguras nas etapas de armazenamento e distribuição; II – supervisionar a aplicação da prova a ser realizada nas unidades escolares sob sua jurisdição, auxiliado pelo coordenador de avaliação, função a ser desempenhada pelo supervisor de ensino ou pelo assistente técnico pedagógico; III – indicar os profissionais da Diretoria de Ensino que acompanharão a aplicação; IV – organizar, juntamente com o coordenador de avaliação, um plantão para esclarecimentos de dúvidas, nos dias de prova, na Diretoria de Ensino;
V - providenciar a infra-estrutura necessária para a realização da avaliação;
VI – zelar pelo cumprimento dos procedimentos e orientações necessárias à realização do processo de avaliação; VII – decidir sobre casos não previstos na presente resolução.
Artigo 11 - Caberá ao coordenador de avaliação da Diretoria de Ensino: I – promover reuniões de orientação na Diretoria de Ensino com os diretores das unidades escolares, a fim de informá-los sobre os instrumentos e procedimentos a serem adotados na realização da avaliação; II – capacitar os representantes das redes municipal e particular nas questões técnico-operacionais da avaliação; III – organizar e coordenar o recebimento e a distribuição dos materiais necessários para a realização da avaliação em todas as redes de ensino, de acordo com o Manual de Orientação e da Planilha de Controle de Recebimento por Escola; IV – organizar, na Diretoria de Ensino, sob a responsabilidade da Coordenadora Geral do Programa “Letra e Vida”, uma equipe constituída por coordenadores de grupos e professores que já tenham participado do Programa e pelo Assistente Técnico-Pedagógico
128
de Matemática, para a correção das provas dos alunos de 1as e 2as séries do Ensino Fundamental de Leitura/Escrita e de Matemática; V – organizar, na Diretoria de Ensino, uma equipe que, sob a coordenação do Assistente Técnico-Pedagógico de Língua Portuguesa, fará a análise da amostra das redações sorteadas entre as turmas de 3as a 8as séries do Ensino Fundamental e das três séries do Ensino Médio; VI – coordenar o plantão de dúvidas na Diretoria de Ensino; VII – organizar o acompanhamento da aplicação da prova do Saresp-2005, assegurando, nesses dias, a presença nas escolas de técnicos da Diretoria de Ensino;
VIII – realizar, com base no Manual de Orientação e na Planilha de Controle de Devolução por Escola, a conferência dos materiais de avaliação devolvidos pelas escolas estaduais, municipais e particulares, em dois momentos:
a) a) primeiro momento: dias 16 e 17 de novembro de 2005 – materiais a serem retirados na Diretoria de Ensino pela Fundação Cesgranrio;
b) b) segundo momento: até dia 6 de dezembro de 2005 – materiais a serem enviados pela Diretoria de Ensino à Fundação Cesgranrio, aos cuidados do Prof. Werner – Departamento de Concursos, Rua Santa Alexandrina, no 1.011, Rio Comprido – CEP 20261-235 – Rio de Janeiro, RJ – telefone (21) 2103-9600.
Artigo 12 - Caberá aos coordenadores de avaliação das redes municipal e particular: I – mapear as respectivas escolas quanto ao número de alunos, por série, período e turma; II – participar da capacitação promovida pela Diretoria de Ensino; III – capacitar as equipes escolares; IV – coordenar o recebimento e a distribuição dos materiais necessários à realização da avaliação das escolas de todas as redes; V – garantir o sigilo absoluto das informações contidas nos cadernos de provas, adotando medidas seguras na realização das etapas de armazenamento e distribuição; VI – providenciar a infra-estrutura necessária à realização da avaliação; VII – zelar pelo cumprimento dos procedimentos necessários à aplicação da prova; VIII – acompanhar e supervisionar todo o processo de aplicação da prova; IX – organizar um plantão para esclarecimento de dúvidas, nos municípios e em cada escola particular, Artigo 13 - A Secretaria de Estado da Educação disponibilizará, no dia 30 de novembro de 2005, no site www.educacao.sp.gov.br, os gabaritos, por série e período, e as respectivas tabelas de especificação com as habilidades avaliadas pelo Saresp-2005,
Artigo 14 - Caberá à Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CENP expedir instruções complementares à presente resolução.
Artigo 15 - Esta resolução entra em vigor na data de sua publicação.
ANEXOS DE QUE TRATA O ARTIGO 3º
ANEXO I
SARESP 2005 – Calendário de Atividades – Ensinos Fundamental e Médio
Data Atividades Séries
9 de novembro Prova de Leitura e Escrita 1a. e 2a. séries do E.F.
129
Prova de Leitura e Matemática 3a. série do E.F. até 3a. série do
E.M.
Prova de Matemática 1a. e 2a. séries do E.F.
Prova de Redação
10 de novembro
Aplicação de questionário
3a. série do E.F. até 3a. série do
E.M.
ANEXO II
SARESP 2005 – Horário das Provas – Ensinos Fundamental e Médio
Horário de Início das Aulas Período de Aplicação
Turmas que iniciam entre 6h45 e 10h59 Manhã
Turmas que iniciam entre 11h00 e 16h59 Tarde
Turmas que iniciam a partir das 17h00 Noite
O horário de início das provas será o mesmo do início das aulas.
http://paisonline.homestead.com/files/ResSE81191005.doc
131
ANEXO 4: Comunicado da SEE/SP
Saresp 2005 vai avaliar mais de cinco milhões de alunos das redes estadual,
municipal e particular
Quarta - feira 09 de Novembro de 2005 10h00 Nos dias 9 e 10 de novembro, mais de cinco milhões de alunos da Educação
Básica passam por avaliação de Leitura, Escrita e Matemática Mais de quatro milhões de alunos da rede pública estadual serão avaliados
em suas habilidades de Leitura, Escrita e Matemática, nos dias 9 e 10 de novembro, pelo Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (Saresp), que se tornou um modelo de referência de avaliação em todo o Brasil. Além da previsão dos 4.447.714 alunos de 5.279 escolas estaduais, participarão da nona edição do Saresp 791.468 alunos de 2.093 escolas municipais e mais 22.527 alunos de 71 escolas particulares.
Com esses números, a abrangência do Saresp 2005 deve alcançar um total
de 5.261.709 de alunos de todas as séries do Ensino Fundamental e Médio, das escolas urbanas e rurais da rede estadual e também das escolas das redes particular e municipal que aderiram ao sistema. No ano passado, passaram pela avaliação 390 mil alunos de redes municipais, um número que praticamente dobrou em 2005, com os 329 municípios que aderiram. As demais avaliações realizadas no País geralmente são por amostragem e não permitem uma análise global do ensino em todas as séries.
Matemática é a novidade do 2005 A principal novidade do Saresp 2005 é a inclusão de Matemática. Nas suas
primeiras edições, o Saresp avaliou as habilidades cognitivas desenvolvidas pelos alunos durante o processo de escolarização em séries e componentes curriculares diversos . Nós últimos anos, porém, o Sistema vem considerando as habilidades cognitivas de leitura e escrita adquiridas pelos alunos ao longo de todas as séries. Desde o ano de sua implantação, em 1996, até 2000, o sistema avaliava anualmente apenas duas séries (do Ensino Fundamental ou Médio). Em 2.000, foram avaliadas três séries. Em 2001 e 2002, foram avaliadas as séries de final de ciclo de 4ª e 8ª série do Ensino Fundamental. Já em 2003 e 2004 p articiparam todos os estudantes da 1ª a 8ª série do Ensino Fundamental e de 1ª a 3ª série do Ensino Médio.
O Saresp utiliza basicamente dois instrumentos de avaliação. O primeiro
consiste na aplicação de provas para medir o desempenho dos alunos em Leitura/Escrita e Matemática, constituída cada uma de questões objetivas, tanto para
132
o Ensino Fundamental (3 a a 8 a séries) quanto no Ensino Médio. Essas provas apresentam também um tema para redação do tipo narrativo descritivo para o Ensino Fundamental. No Ensino Médio o tema é dissertativo-argumentativo. Para a 1 a e 2 a séries do Ensino Fundamental as provas são constituídas de questões abertas.
O segundo instrumento é o questionário do aluno, por meio do qual são coletadas informações sobre suas características pessoais, seu contexto socioeconômico e cultural, sua trajetória escolar, suas percepções acerca dos professores e da gestão da escola, além de sua participação nos projetos da SEE.
Base para o planejamento escolar de 2006 Com os resultados do Saresp 2005, a Secretaria de Educação terá um
diagnóstico das habilidades do aluno em Leitura e Escrita e Matemática, que lhe servirá de base para o planejamento escolar de 2006, criando ainda os programas de recuperação e reforço. Num segundo momento, todas as escolas, diretorias de ensino e coordenadorias receberão um informe personalizado de resultados, com dados de abrangência e desempenho, dados comparativos de série a série e ano a ano, e escalas de habilidades com os níveis de desempenho em Leitura e Matemática.
O conjunto deste material, que se torna uma radiografia da realidade do
Ensino Básico em São Paulo, é o instrumento para definir políticas públicas, para reorientar programa e projetos educacionais e também o projeto pedagógico de cada escola na rede estadual. Essas iniciativas enriquecem todo o processo pedagógico oferecendo indicadores quantitativos e qualitativos importantes para direcionar as propostas pedagógicas de cada escola, o trabalho docente na sala de aula e os investimentos da Secretaria da Educação.
Vera Souza Dantas
Secretaria de Estado da Educação - 2004
Todos os direitos reservados - SEESP/GTI (retirada do site http://saresp.edunet.sp.gov.br/2005, acesso em 28.02.2008)
133
ANEXO 5: Orientações disponibilizadas pela Diretoria Regional de Ensino da Cidade de Osasco. No SARESP de Matemática relativa ao Ensino Fundamental, é importante que a avaliação leve em conta algumas discussões e propostas referentes ao ensino dessa disciplina: � o direcionamento do Ensino Fundamental para a aquisição de competências básicas necessárias ao cidadão e não apenas voltadas para a preparação de estudos posteriores; � a importância do desempenho de um papel ativo do aluno na construção do seu conhecimento; � a ênfase na resolução de problemas, na exploração da Matemática a partir dos problemas vividos no cotidiano e encontrados nas várias disciplinas e não a mera mecanização de regras e técnicas; � a importância de trabalhar com amplo espectro de conteúdos, incluindo além dos números e operações, a geometria, as grandezas e medidas e algumas noções de elementos de estatística, probabilidade e combinatória para atender à demanda social que indica a necessidade de abordar esses assuntos. É importante contemplar na avaliação as competências e habilidades as quais se pretende que os alunos do Ensino Fundamental construam ao longo de cada um dos anos de sua escolaridade, a saber: � identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo à sua volta; � perceber o caráter de jogo intelectual, característico da Matemática, como aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas; � fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos da realidade, estabelecendo inter-relações entre eles, utilizando o conhecimento matemático (aritmético, geométrico, métrico, algébrico, estatístico, combinatório, probabilístico); � selecionar, organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las criticamente; � resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como intuição, indução, dedução, analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis; � comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e
134
estabelecendo relações entre ela e diferentes representações matemáticas; � estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos e entre esses temas e conhecimentos de outras áreas curriculares; � sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a auto-estima e a perseverança na busca de soluções. No SARESP de Matemática relativa ao Ensino Médio, é importante que a avaliação leve em conta algumas discussões e propostas referentes ao ensino dessa disciplina: � o direcionamento do Ensino Médio para a aquisição de competências básicas necessárias ao cidadão e não apenas voltadas para a preparação de estudos posteriores; � a importância do desempenho de um papel ativo do aluno na construção do seu conhecimento; � a ênfase na resolução de problemas, na exploração da Matemática a partir dos problemas vividos no cotidiano e encontrados nas várias disciplinas e não a mera mecanização de regras e técnicas; � a importância de trabalhar com amplo espectro de conteúdos, incluindo além dos números e operações, a geometria, as grandezas e medidas e algumas noções de elementos de estatística, probabilidade e combinatória para atender à demanda social que indica a necessidade de abordar esses assuntos. É importante contemplar na avaliação as competências e habilidades as quais se pretende que os alunos do Ensino Médio construam ao longo de cada um dos anos de sua escolaridade, a saber: � compreender conceitos, procedimentos e estratégias Matemáticas que permitam a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação científica geral; � aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas, utilizando-os na interpretação da ciência, na atividade tecnológica e nas atividades cotidianas; � analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizando ferramentas Matemáticas para formar uma opinião própria que lhe permita expressar-se criticamente sobre problemas da Matemática, das outras áreas do conhecimento e da atualidade; � raciocinar e resolver problemas, de comunicação, bem como o espírito crítico e criativo; � utilizar com confiança procedimentos de resolução de problemas para desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos; � expressar-se escrita e graficamente em situações Matemáticas e valorizar a precisão da linguagem e as demonstrações em Matemática; � estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e o conhecimento de outras áreas do currículo;
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� reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionando procedimentos associados às diferentes representações; � promover a realização pessoal mediante o sentimento de segurança em relação às suas capacidades Matemáticas, o desenvolvimento de atitudes de autonomia e cooperação. Buscando contemplar essas premissas, para cada etapa do Ensino Fundamental e Ensino Médio, os descritores, apresentados nos quadros anexos, têm a finalidade de indicar os campos de conteúdo que serão explorados na avaliação, com a finalidade de orientar os elaboradores de questão e de divulgá-los aos sistemas de ensino.
Indicações para a elaboração da prova
1. As questões devem ser elaboradas a partir de contextos que confiram significados. 2. É fundamental que na formulação de questões seja considerado o nível de conhecimento mobilizado na resolução da questão, de modo promover uma diversidade de possibilidades. Sugerimos como referência a classificação de Aline Robert, que em seu artigo “Ferramentas de análise de conteúdos a ensinar” (1998) classifica o funcionamento de conhecimento pelos alunos em três níveis: técnico, mobilizável e disponível. O aluno põe em funcionamento um conhecimento de nível técnico quando resolve uma questão simples que corresponde a uma aplicação imediata de um conhecimento. Em geral, há indicação do método a utilizar. No nível de funcionamento mobilizável, os conhecimentos que serão utilizados estão bem identificados no enunciado da questão, mas necessitam de alguma adaptação ou de alguma reflexão antes de serem colocados em funcionamento. O nível de funcionamento disponível corresponde a resolver uma situação proposta sem nenhuma indicação ou sugestão em seu enunciado. É preciso achar os conhecimentos que favorecem a resolução da questão. A porcentagem para essa distribuição pode ser a seguinte:
Nível Percentual
Técnico 20
Mobilizável 50
Disponível 30
3. Deve-se privilegiar a resolução de problemas em todos os itens em especial as de
nível mobilizável e disponível.
137
ANEXO 6: MODELO DE AUTORIZAÇÃO DA DIREÇÃO DA ESCOLA
À Sra. Diretora
Maria Jeanette Pontim
E.E. Dr. Antonio Braz Gambarini
Venho pelo presente solicitar vossa autorização para que eu, Rosana Ap. da
Costa, possa desenvolver parte de meu trabalho de Mestrado, junto aos alunos do 8º
ano (antiga 7ª série do ensino fundamental) desta Unidade Escolar.
A pesquisa consiste em dois encontros, no período de duas aulas cada, com
aplicação de questões do SARESP/2005. O objetivo é analisar o desempenho dos
alunos em questões envolvendo o conteúdo expressões e equações, por nível de
mobilização de conhecimentos.
Informo que estou providenciando autorizações junto aos responsáveis para
que os alunos participem desse trabalho.
Certo de ser merecedora de vossa atenção envio meus agradecimentos.
________________________________ Rosana Ap. da Costa e-mail: rosanacostavaz@hotmail.com
139
ANEXO 7: MODELO DE AUTORIZAÇÃO DO RESPONSÁVEIS PELO ALUNO
AUTORIZAÇÃO PARA A REALIZAÇÃO DA PESQUISA
Osasco,....... de março de 2008.
Autorização do responsável legal do(a) aluno(a) _____________________
_______________ matriculado(a) no 8º ano do ensino fundamental II, a participar
como voluntário(a) de uma pesquisa sob responsabilidade da pesquisadora, Rosana
Ap. da Costa, aluna do curso de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática da
PUC-SP e da Professora Drª Barbara Lutaif Bianchini, orientadora da pesquisa e
docente do Programa de Mestrado da PUC-SP.
O objetivo da pesquisa é analisar o desempenho dos alunos em questões do
SARESP/2005, por nível de mobilização de conhecimentos. Serão dois encontros,
no horário de aula.
Conto com a autorização da Direção desta Instituição de Ensino e informo
que todas as publicações realizadas a partir desse trabalho, serão feitas preservando
a identidade dos alunos envolvidos.
____________________________________ Nome do responsável ______________________________________ Assinatura do responsável ________________________________ Rosana Ap. da Costa e-mail: rosanacostavaz@hotmail.com
141
ANEXO 8: QUESTÕES DA 1ª APLICAÇÃO NOME: ________________________________________________________
ESCOLA: ______________________________________________________
AS QUESTÕES ABAIXO FORAM RETIRADAS DA PROVA DO SARESP/2005, APLICADA À 7ª SÉRIE, PERÍODO DA TARDE. QUESTÃO 7:
Zeca entrou num jogo com certo número de fichas. Na primeira rodada, perdeu a terça parte, mas, na segunda rodada ganhou três fichas, ficando com 11 fichas no final. As fichas de Zeca no início do jogo eram em número de: A) 11 B) 12 C) 14 D) 20
QUESTÃO 8:
A soma das mesadas de Marta e João é R$200,00. No mês passado, Marta gastou R$70,00 e João gastou R$40,00 e, ao final do mês, estavam com as mesmas quantias. A mesada de Marta é: A) R$115,00 B)R$120,00 C)R$135,00 D)R$152,00
QUESTÃO 9:
O preço de uma corrida de táxi é composto de uma parte fixa, chamada de bandeirada, de R$3,00, mais R$0,50 por quilômetro rodado. Uma firma contratou um táxi para levar um executivo para conhecer a cidade, estipulando um gasto menor que R$60,00. O número x de quilômetros que o motorista do táxi pode percorrer nesse passeio é representado por: A) x < 50 B) x < 60 C) x < 114 D) x < 120
143
ANEXO 9: QUESTÕES DA 2ª APLICAÇÃO NOME: ________________________________________________________
ESCOLA: ______________________________________________________
AS QUESTÕES ABAIXO FORAM ADAPTADAS DA PROVA DO SARESP/2005, APLICADA À 7ª SÉRIE, PERÍODO DA TARDE. QUESTÃO 7:
Zeca entrou num jogo com certo número de fichas. Na primeira rodada, perdeu a terça parte, mas, na segunda rodada ganhou três fichas, ficando com 11 fichas no final. Determine o número fichas que Zeca tinha no início do jogo.
QUESTÃO 8:
A soma das mesadas de Marta e João é R$200,00. No mês passado, Marta gastou R$70,00 e João gastou R$40,00 e, ao final do mês, estavam com as mesmas quantias. Calcule o valor da mesada de Marta.
QUESTÃO 9:
O preço de uma corrida de táxi é composto de uma parte fixa, chamada de bandeirada, de R$3,00, mais R$0,50 por quilômetro rodado. Uma firma contratou um táxi para levar um executivo para conhecer a cidade, estipulando um gasto menor que R$60,00. Qual será o maior número possível de quilômetros que o motorista do táxi poderá percorrer nesse passeio?
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