Reflexão

Tarefa

Num parque de campismo pretende-se colocar um pequeno contentor de lixo igualmente distanciado de duas tendas aí existentes.Considera que os pontos A e B representam as tendas.

Dos pontos assinalados na figura, identifica aqueles onde pode ser colocado o contentor.

Mediatriz de um segmento de reta

Mediatriz de um segmento de reta num dado plano é a reta perpendicular a esse segmento no respetivo ponto médio.

Ponto médio

Mediatriz

MEDIATRIZ DE UM SEGMENTO DE RETA

À reta perpendicular a um segmento, no seu ponto médio, dá-se o nome de mediatriz m do segmento e todos os seus pontos se encontram equidistantes dos extremos do segmento.

Propriedades da mediatriz de um segmento de reta:

•Os pontos da mediatriz de um segmento de reta são equidistantes das respetivas extremidades;

•Um ponto equidistante das extremidades de um segmento de reta pertence à respetiva mediatriz.

Como desenhar a mediatriz de um segmento de reta?

1. Traça um segmento de reta [AB];

2. Com o compasso, mantendo sempre a mesma abertura, traça dois arcos de centro em A e dois de centro em B;

Como desenhar a mediatriz de um segmento de reta?

3. Assinala os pontos J e K, que são equidistantes de A e de B;

4. Traça a reta que passa por J e K – mediatriz do segmento de reta [AB];

Praticar

Tarefa

No teu caderno, assinala dois pontos O e M.

Determina o ponto M’ pertencente à reta OM, tal que 'OMOM

Dizemos que M’ é a imagem de M pela reflexão central de centro O.

Dados dois pontos O e M, o ponto M’ é a imagem de M pela reflexão central de centro O, quando O for o ponto médio do segmento de reta [MM’].

A imagem do ponto O pela reflexão central de centro O é o próprio O.

Os pontos M e M’ são colineares, ou seja pertencem à mesma reta.

REFLEXÃO CENTRAL: IMAGEM DE UM PONTO

Sendo O, o ponto médio de [MM’], M’ é a imagem do ponto M, reflexão central de centro O.

A imagem do ponto O pela reflexão central de centro O é o próprio O.

Praticar

REFLEXÃO CENTRAL: IMAGEM DE UM SEGMENTO DE RETA

No teu caderno, desenha um segmento de reta [AB], com 2 cm de comprimento.

Marca um ponto O que não pertença ao segmento de reta.

Traça uma reta que passe por A e por O.

Com a ajuda do compasso, marca na reta o ponto A’, de modo que 'AOAO

Repete os passos anteriores para marcares o ponto B’.

REFLEXÃO CENTRAL: IMAGEM DE UM SEGMENTO DE RETA

A imagem de um segmento de reta por uma reflexão central é um segmento de reta com o mesmo comprimento, cujas extremidades são as imagens das extremidades do segmento de reta original.

[A’B’] é a imagem de [AB] pela reflexão central de centro O.

REFLEXÃO CENTRAL: IMAGEM DE UM SEGMENTO DE RETA

Pelo critério LAL, de igualdade de triângulos, os triângulos [AOB] e [A’OB’] são iguais.

Pois,

Considera os triângulos [AOB] e [A’OB’]:

][BB' do médio ponto o é O ,'

][AA' do médio ponto o é O ,'

opostos ente verticalmsão ,'ˆ'ˆ

BOOB

AOOA

AOBBOA

REFLEXÃO CENTRAL: IMAGEM DE UM ÂNGULO

No teu caderno, assinala os pontos O, A, B e C e determina as suas imagens por uma reflexão central de centro O.

REFLEXÃO CENTRAL: IMAGEM DE UM ÂNGULO

C''B e A''BC,BA,B semirretas as Traça

Os ângulos ABC e A´B´C´ serão iguais?

REFLEXÃO CENTRAL: IMAGEM DE UM ÂNGULO

]C'[A' e [AC] Traça

Pelo critério de igualdade geométrica de ângulos, podemos afirmar que os ângulos são iguais.

REFLEXÃO CENTRAL: IMAGEM DE UM ÂNGULO

Uma reflexão central transforma um ângulo noutro com a mesma amplitude.

Construção do transformado de uma figura por reflexão central utilizando régua e compasso

Desenha um triângulo [ABC] e um ponto O que não pertença ao triângulo.

Construção do transformado de uma figura por reflexão central utilizando régua e compasso

Construção do transformado de uma figura por reflexão central utilizando régua e compasso

Construção do transformado de uma figura por reflexão central utilizando régua e compasso

• Uma figura geométrica é transformada numa figura geometricamente igual.

Tarefa

Traça uma reta r e assinala um ponto P que não pertença à reta r.

Determina um ponto P’ tal que r seja a mediatriz do segmento de reta [PP’].

Tarefa

Podemos considerar P’ como imagem do ponto P em relação à reta r.

P’ é a imagem de P pela reflexão axial de eixo r.

Praticar

2. Reflexão AxialA reflexão é a transformação geométrica de uma figura ou de um ponto a ser refletido em relação a uma reta que funciona como um espelho.

Para definir uma reflexão é necessário fixar o eixo de reflexão.

Clica para ver a

reflexão.

Reflexão Axial

Eixos de Reflexão

Em qual das situações está representada uma reflexão?

Que condições devem existir para que ocorra uma reflexão?

A reflexão à reta r (eixo de reflexão), transforma um ponto P num ponto P’, tal que:

Q

O P

Q'

P' O'

r[ [d d

• os pontos P e P’ estão numa reta perpendicular ao eixo r;

• os pontos P e P’ estão à mesma distância da reta r.

Os comprimentos e as amplitudes dos ângulos mantêm-se, mas o sentido dos ângulos é invertido.

Propriedades da reflexão axial

Propriedades das reflexões

 • Um segmento de reta é

transformado num segmento de reta com o mesmo comprimento.

• Uma reta e uma semirreta são transformadas numa reta e numa semirreta respetivamente.

• Um ângulo orientado é transformado num ângulo orientado com a mesma amplitude mas com sentido inverso.

Q

O P

Q'

P' O'

r

[ [

d d

• Qualquer ponto do eixo de reflexão transforma-se em si próprio.• A distância de um ponto original ao eixo de reflexão é igual à distância

da imagem desse ponto ao eixo.

Assinala a figura em que os triângulos representados são simétricos em relação à linha traçada.

PRATICANDOPRATICANDO

Construção da imagem de uma figura geométrica por uma reflexão axial

Dada a figura original e o eixo de reflexão

Construção do transformado de uma figura…

Desenha a imagem de C por reflexão em r .

PRATICANDOPRATICANDO

Constrói o transformado da figura por reflexão em relação à reta r.

PRATICANDOPRATICANDO

Observa a figura que se encontra a seguir.           1.1- Desenha o transformado da letra E por reflexão segundo o eixo vertical e. 1.2- Desenha o transformado de E’ por reflexão segundo o eixo vertical e’.

PRATICANDOPRATICANDO

PRATICANDOPRATICANDO

Construção da imagem de uma figura geométrica por uma reflexão axial

Dada a figura original e a imagem de um dos seus pontos

NOTA

Simetrias de Reflexão ou axial

Esta figura tem 5 eixos de simetria.

e1

e2

e3

e4

e5

Uma figura tem simetria axial quando existe pelo menos uma reta que a divide em duas partes que se podem sobrepor ponto por ponto por dobragem. Essa reta chama-se eixo de simetria.

Simetria axial

Symmetry exists in architecture all around the world.  The best known example of this is the Taj Mahal.

As figuras serão todas simétricas?

a. b. c. d. e.

As figuras seguintes têm eixos de simetria? Se sim, quantos eixos?

1 1 2 2 4 4 22 00

Quais as letras que possuem simetria axial?

A B C D E FG H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Infinite number

Quais destas bandeiras têm eixos de simetria?

USA Canadá

Maryland Inglaterra

Quais os sinais de trânsito que têm eixos de simetria?

Clica para ver os eixos de simetriaClica para ver os eixos de simetria

Descobre todos os eixos de simetria de cada um dos polígonos regulares.

Observando a tabela que preencheste, a que conclusões podes chegar?

Simetria axial de polígonos regulares

Quantos eixos de simetria possui um triângulo equilátero?

1

2 3

1 23

4

Quantos eixos de simetria possui um quadrado?

2

3 4

5

1

Quantos eixos de simetria possui um pentágono?

1 2

3

4

5

6

Quantos eixos de simetria possui um hexágono?

Observa os polígonos...

Sugeres alguma regra?

Quantos eixos de simetria?

Heptágono Octógono

Observa os polígonos...

7 8

Heptágono Octógono

Descobre todos os eixos de simetria de cada um dos polígonos regulares.

Observando a tabela que preencheste, a que conclusões podes chegar?

Um polígono regular de n lados tem n eixos de simetria, ou seja, o número de eixos de simetria é igual ao número de lados do polígono regular.

Quantos eixos de simetria têm os polígonos regulares?

Simetria axial em triângulos

TAREFA

Existe uma relação entre as medidas dos lados de um triângulo e o número de eixos de simetria. Traça o(s) eixo(s) de simetria e descobre a relação.

1

2 3

Quantos eixos de simetria possui um triângulo equilátero?

Tem 3 lados congruentes;

Tem 3 ângulos congruentes;

Cada ângulo tem 60o ;

Tem 3 eixos de simetria;

É um polígono regular.

Propriedades de um triângulo equilátero

1

Quantos eixos de simetria possui um triângulo isósceles?

Tem 2 lados congruentes;

Tem 2 ângulos congruentes;

Tem 1 eixo de simetria;

É um polígono irregular.

Propriedades de um triângulo isósceles

Nenhum!

Quantos eixos de simetria possui um triângulo escaleno?

Propriedades de um triângulo escaleno

Não tem nenhum lado congruente;

Não tem nenhum ângulo congruente;

Não tem eixos de simetria;

É um polígono irregular.

Um triângulo equilátero tem 3 eixos de simetria, um triângulo isósceles tem 1 eixo de simetria. Um triângulo escaleno não tem eixos de simetria.

Simetria axial em triângulos

Um circulo tem uma infinidade de eixos de simetria, uma vez que qualquer reta que passe no seu centro é um eixo de simetria.

E um círculo, quantos eixos de simetria tem?

Partindo dos pontos indicados, constrói a figura geométrica na sua totalidade, sabendo que esta é simétrica em relação à reta r.

Descobre o termo seguinte desta sequência:

88

A imagem de baixo é reflexão da imagem de cima?

Não, porque …

Uma folha foi dobrada e furada com uma tesoura. A figura mostra essa folha desdobrada depois de ter sido furada. Descobre por onde foi dobrada a folha.

Bissetriz de um ângulo

A bissetriz de um ângulo é a semirreta que o divide em dois ângulos com a mesma amplitude. Logo, a reta que contém a bissetriz de um ângulo é um eixo de simetria desse ângulo.

Observa a imagem seguinte. Nota que a reta r é um eixo se simetria que bisseta o ABC.

Completa os espaços:

Transformações geométricas — reflexão — verifica dinamicamente o resultado de uma reflexão

http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_297_g_2_t_3.html?open=activities&from=category_g_2_t_3.html

Alphabet Symmetry Tool

http://www.misterteacher.com/alphabetgeometry/reflection.html (aplicação interativa para quadro interativo)

EXPLORANDO NA REDEEXPLORANDO NA REDE

Applets

Simetria de reflexão

Reflexão I

Reflexão II