Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE – UFCGAv Aprígio Veloso, S/N – Bodocongó – CEP: 58109-190 – Campina Grande – PBwww.ufcg.edu.br/ – Fones: (0xx83) 310 1467/1192 – Fax: (0xx83) 310 1273

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Roteiro

7 Processamento no Domínio da Freqüência Introdução Séries de Fourier Transformada de Fourier Filtragem no Domínio da Freqüência

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Função e Transformada

Função Regra para a obtenção de um resultado

y y sendo dada alguma entrada xx

Transformada Regra para a obtenção de uma função FF a

partir de outra ff Explicitação de propriedades relevantes

de ff Representação mais compacta de ff

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Função Periódica

Definição f(t)f(t) é periódica se existir PP tal que

f(t+P) = f(t)f(t+P) = f(t) Período de uma função Menor

constante PP que satisfaz a condição f(t+P) = f(t)f(t+P) = f(t)

f(t)f(t)

tttt11 tt11+P+P

f(tf(t11))

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Atributos de uma Função Periódica I

Amplitude (AA) Valor máximo de f(t)f(t) em qualquer

período

Período (PP) Intervalo de tempo no qual a função

assume todos os valores possíveis e volta a se repetir

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Atributos de uma Função Periódica II

Freqüência (1/P1/P) Número de repetições da função na

unidade de tempo (1 ciclo/s = 1 Hertz) Fase ()

Posição da função dentro de um período

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Atributos de uma Função Periódica III

Representação gráficaf(t)f(t)

tttt11+P+P

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.brJean Baptiste Joseph

Fourier21/03/1768 Auxerre, França

1807 On the Propagation of Heat in Solid Bodies (Séries de

Fourier)

16/05/1830 Paris

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Analogia Físico-Matemática

F(0)F(1)

F(M-1)

Prisma x Transformada de Fourier

Feixe de luz branca

Transformada de Fourier

Luz branca decompostaem diferentes

Função decomposta

em diferentes

Função no domínio espacial

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Tempo e Freqüência I

Exemplo 01 I h(h(tt) = sen(2) = sen(2fftt) +) + 11//33 sen(6sen(6fftt))

h(t)h(t)

11//33

f(t)f(t) g(t)g(t)

f(t)f(t)

g(t)g(t)

11//33 P P

h(t)h(t) == f(t) f(t) ++ g(t)g(t)

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Tempo e Freqüência II

Exemplo 01 - Aproximação com 2 harmônicos ímpares f(f(tt) = sen(2) = sen(2fftt) +) + 11//33 sen(6sen(6fftt))

g(t) h(t)F(f)

0 f 2f 3f

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Tempo e Freqüência III

Exemplo 02 - Aproximação com 6 harmônicos

Forma de Onda

Espectro

Aproximação daOnda Quadrada

Termo A Fase

f(t)Forma de Onda

Espectro

Aproximação daOnda Quadrada

Termo A Fase

1f)ft2(sen

f1)t(f

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Tempo e Freqüência IV

Forma de Onda Valor instantâneo em função do tempo

Espectro Amplitude em função da freqüência

Forma de

Espectro

Amplitude

Freqüência

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Tempo e Freqüência V

Forma da função distante de uma forma de onda regular Expansão de Fourier incluirá um número

infinito de componentes de freqüência

Forma de

Espectro

Forma de

Espectro

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Domínio da Freqüência

Espectro do domínio da freqüência Faixa de freqüências

Largura de faixa do domínio da freqüência Largura do espectro

Componente DC Componente de freqüência zero

Componentes AC Todas as demais componentes

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Séries de Fourier Séries trigonométricas infinitas formadas

por senos e/ou co-senos Seja a expressão

Séries de Fourier I

Lxm(senb)

Lxmcos(a(

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Séries de Fourier No conjunto de pontos nos quais a

expressão converge Definição de uma função ff, cujos valores em cada xx é a soma da série para aquele valor de xx Série de FourierSérie de Fourier de ff

Séries de Fourier II

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Séries de Fourier III

Periodicidade das funções senoseno e co-seno I Função periódicaperiódica com período T > 0T > 0

Domínio de ff contém (x+T)(x+T) sempre que contiver xx e

TT Período fundamental

Se TT é um período de f f 2T2T também o é, como qualquer múltiplo inteiro de TT

x. (x), f T)f(x

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Séries de Fourier IV

Periodicidade das funções senoseno e co-seno II Em particular,

sen [(msen [(mx)/T]x)/T]e

cos [(mcos [(mx)/T]x)/T], m = 1, 2, ...m = 1, 2, ...,são periódicasperiódicas com período fundamental T = 2L/mT = 2L/m

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Séries de Fourier V

Ortogonalidade das funções senoseno e co-seno II Duas funções uu e vv são ditas ortogonaisortogonais

em ≤ x ≤ ≤ x ≤ se seu produto internoproduto interno é nulonulo, i.e., se

0dx)x(v)x(u

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Séries de Fourier VI

Ortogonalidade das funções senoseno e co-seno III sen [(msen [(mx)/T] x)/T] e cos [(mcos [(mx)/T]x)/T], m = 1, 2, ...m = 1, 2, ...,

formam um conjunto ortogonalortogonal de funções no intervalo -L ≤ x ≤ L-L ≤ x ≤ L. Seja

u(x) = v(x) = sen [(mu(x) = v(x) = sen [(mx)/T]x)/T]

então:

nmse0nmseL

xn(sen.)

nmse0nmseL

xn(sen.)

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Séries de Fourier VII

Ortogonalidade das funções senoseno e co-seno IV sen [(msen [(mx)/T] x)/T] e cos [(mcos [(mx)/T]x)/T], m = 1, 2, ...m = 1, 2, ...,

u(x) = v(x) = cos [(mu(x) = v(x) = cos [(mx)/T]x)/T]

então:

nmse0nmseL

xn(cos.)

nmse0nmseL

xn(cos.)

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Séries de Fourier VIII

Ortogonalidade das funções senoseno e co-seno V sen [(msen [(mx)/T] x)/T] e cos [(mcos [(mx)/T]x)/T], m = 1, 2, ...m = 1, 2, ...,

u(x) = sen [(mu(x) = sen [(mx)/T]x)/T]e

v(x) = cos [(mv(x) = cos [(mx)/T]x)/T]

então:

n,m,0dx)L

xn(cos.)

n,m,0dx)L

xn(cos.)

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Séries de Fourier IX

Supondo que uma série da forma

converge e Considerando as propriedades de

ortogonalidade apresentadas, conclui-se que:

Lxm(senb)

Lxmcos(a(

...2,1,0n,dx)L

xncos()x(fL1a

...2,1,0n,dx)L

xncos()x(fL1a

...2,1,0n,dx)L

xn(sen)x(fL1b

...2,1,0n,dx)L

xn(sen)x(fL1b

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Séries de Fourier X

Funções ParesPares e ImparesImpares ff é uma função parpar se seu domínio

contém o ponto -x-x sempre que contiver o ponto xx e se f(x) = f(-x)f(x) = f(-x) para cada xx do domínio de ff.

Analogamente, ff é uma função ímparímpar se seu domínio contém o ponto -x-x sempre que contiver o ponto xx e se f(-x) = -f(x)f(-x) = -f(x) para cada xx do domínio de ff.

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Séries de Fourier XI

Propriedades Elementares I1. A soma/diferença e o produto/ quociente

de duas funções parespares é parpar.2. A soma/diferença de duas funções

ímparesímpares é ímparímpar, enquanto o produto/quociente de duas funções ímparesímpares é parpar.

3. A soma/diferença de uma função parpar e uma função ímparímpar não é par nem ímpar, enquanto o produto/quociente é ímparímpar .

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Séries de Fourier XII

Propriedades Elementares II4. Se ff é uma função parpar, então

5. Se ff é uma função ímparímpar, então

dx)x(f2dx)x(fL

0dx)x(fL

L 0dx)x(f

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Séries de Fourier XIII

Propriedades Elementares III Como conseqüência das Propriedades 44 e

55, os coeficientes de Fourier de ff no caso do co-seno (par) são dados por

...2,1,0n,dx)L

xncos()x(fL2a

0n ...2,1,0n,dx)

Lxncos()x(f

...2,1,0n,0bn ...2,1,0n,0bn

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Propriedades Elementares IV Analogamente, os coeficientes de Fourier

de ff no caso do seno (ímpar) são dados por

Então, a série de Fourier será dada por

xncos(a)x(f1n n

Lxncos(a)x(f

...2,1,0n,dx)L

xn(sen)x(fL2b

0n ...2,1,0n,dx)

Lxn(sen)x(f

...2,1,0n,0an ...2,1,0n,0an

Séries de Fourier XIV

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Propriedades Elementares V Analogamente, os coeficientes de Fourier

de ff no caso do seno (ímpar) são dados por

Então, a série de Fourier será dada por

...2,1,0n,dx)L

xn(sen)x(fL2b

0n ...2,1,0n,dx)

Lxn(sen)x(f

...2,1,0n,0an ...2,1,0n,0an

Séries de Fourier XV

xn(senb)x(f1n n

Lxn(senb)x(f

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Fato Possibilidade de representação de

qualquerqualquer sinal periódico como uma soma de ondas senoidais e cossenoidais com freqüências harmônicas Se a freqüência fundamental de uma

função for ff Harmônicas serão funções com freqüências nfnf (nn inteiro)

Transformada de Fourier I

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Transformada de Fourier II

ii sensenttcoscosiittee ++== tt

Fórmula de Euler I

Vetor Rotativo (Fasor) eeiitt é periódico |e|eiitt| = 1| = 1

Freqüências negativas: Rotação na direção oposta

ReRe11

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Transformada de Fourier III

Fórmula de Euler II

sensenttcoscosAAkk ++kk ttkkBBkk

eeikikttAAkk

22ee-ik-ikttAAkk

22++==

eeikikttBBkk

22ee-ik-ikttBBkk

22++--

eeikikttCCkk ee-ik-iktt++== CC-k-k

(e(eiitt½½ ee-i-itt))++==ttcoscos

(e(eiitt-½-½ ee-i-itt))--==ttsensen

(A(Akk½½ iBiBkk), k>0), k>0--==CCkk

(A(A|k||k|½½ iBiB|k||k|), k<0), k<0--==CCkk

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Transformada de Fourier IV

Possibilidade de representação funções nãonão periódicas como somatórios de funções senoidais e cossenoidais de (possivelmente) todas as freqüências

ii sensenttcoscosiittee tt

dd]]ii sensentt[cos[cos))((FF))tt((ff

tt2211

))((FF))tt((ff

iittee dd2211

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F(F()) EspectroEspectro da função f(x)f(x) Distribuição de freqüências presentes

na função Computação a partir de f(x)f(x) mediante a

Transformada deTransformada de FourierFourier

Transformada de Fourier V

))((FF))tt((ff

iittee dd2211

))((FF ))tt((ff

-i-ittee dtdt))tt((ff[[ ]]

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.br ))((FF ))tt((ff

-i-ittee dtdt))tt((ff[[ ]]

-1-1 -i-i//22(e(e

111/21/2

-i-ittee dtdt1/21/2

ii - e- e )) ffffsensen

f(x)f(x)

Transformada de Fourier VI

Exemplo 02 I – Função boxbox

xx0,0,22

11xx1,1,))xx((ff

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Transformada de Fourier VII

Exemplo 02 I – Função boxbox

ffffsensen))((FF

ff sincsinc

F(F())

22-2-2 44-4-4 66-6-6

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= 0= 0

xx1,1,

))xx((ffff

ffsensen ≠ ≠ 00, x, x

Transformada de Fourier VIII

Exemplo 03 – Função sincsinc

f(x)f(x)

F(F())

))((FF

-i-ittee ddffffsensen

xx0,0,22

11xx1,1,))xx((ff

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Transformada de Fourier IX

Exemplo 04 – Função coscosxx

Se f(x)f(x) for par F(F() ) também será par

11-1-1

F(F())

f(x)f(x)

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Transformada de Fourier X

Exemplo 04 – Função sensenxx

Se f(x)f(x) for ímpar F(F() ) também será ímpar

F(F())

---1-1

f(x)f(x)

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Transformada de Fourier XI

Exemplo 05 – Função constanteconstante

Se f(x)f(x) for constante F(F() ) só conterá a componente de freqüência 0

f(x)f(x)

F(F())

Função na origem

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Transformada de Fourier XII

Exemplo 06 – Função impulso unitárioimpulso unitário

A transformada de Fourier e sua inversa são qualitativamentequalitativamente a mesma O conhecimento de uma direção conduz à outra

f(x)f(x)1/21/2

F(F())

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Transformada de Fourier XIII

Exemplo 07 I – Função combcomb

A função combcomb é uma seqüência infinita de impulsos uniformemente distribuídos no tempo (ou espaço)

f(x)f(x)

combcombTT(x) =(x) =∑∑(x (x –– nTnT))n = n = --∞∞

∞∞combcombTT(x) =(x) =∑∑(x (x –– nTnT))

n = n = --∞∞

∞∞

g(x)g(x)

TT 2T2T 3T3T 4T4T-4T-4T -3T-3T -2T-2T -T-T

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Transformada de Fourier XIV

Exemplo 07 II – Função combcombA transformada de Fourier de uma função combcomb é também uma função combcomb

f(x)f(x)

TT 2T2T 3T3T 4T4T-4T-4T -3T-3T -2T-2T -T-T

combcombTT(x) =(x) =∑∑(x (x –– nTnT))n = n = --∞∞

∞∞combcombTT(x) =(x) =∑∑(x (x –– nTnT))

n = n = --∞∞

∞∞

00 22/T/T- 2- 2/ T/ T

F(F())

combcombTT ∑∑n = n = --∞∞

∞∞combcombcombTTT(x)) =(x)) = ∑∑

n = n = --∞∞∞(( - - 22nn//TT ))(( 22//TT

combcombTTcombcombcombTTT (x)) =(x)) = 22//TT combcomb22/T /T

(())((

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Transformada de Fourier XV

Exemplo 08 – Função gaussianagaussiana

A transformada de Fourier e sua inversa são qualitativamentequalitativamente a mesma O conhecimento de uma direção conduz à outra

f(x)f(x)

F(F())

-0,02-0,02

0,030,03

0,080,08

0,180,18

0,130,13 22xx22

ee2211

00-0,02-0,02

0,030,03

0,080,08

0,180,18

0,130,13

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Propriedades Qualitativas Espectro de uma função Quantidade

relativa de altas e baixas freqüências Aguçamento de bordas Realce de

freqüências altas Suavização de regiões Realce de

freqüências baixas Função limitada em faixalimitada em faixa Espectro sem

freqüências acima de um limite máximo Exemplos Funções seno e cosseno Contra-exemplos Funções box e

gaussiana

Transformada de Fourier XVI

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Imagens Funções 2D discretas Transformada de Fourier 2D Uso do

produto de senos e cossenos Transformada de Fourier de uma

imagem discreta Possibilidade de armazenamento no mesmo espaço de armazenamento da imagem

Algoritmo Numérico Computação de transformadas discretas a partir da Transformada Rápida de FourierTransformada Rápida de Fourier (FFTFFT)

Transformada de Fourier XVII

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Transformada Transformada InversaInversa 1D 1D

iixxddxxff

22F(F()e)e))(( ))))((((

====xx

iixxdxdxFF

-2-2f(x)ef(x)e))(( ))))(((( xxff==

Transformada 1D Transformada 1D

Transformada Contínua de Fourier I

Transformada Contínua 1D

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Transformada Contínua de Fourier II

Transformada Contínua 2DTransformada 2D Transformada 2D

i(i(x+x+y)y)dxdydxdy,,FF

-2-2f(x,y)ef(x,y)e))(( ))))(((( x,yx,yff==

,,i(i(x+x+y)y)

ddddx,yx,yff

22))(( ))))((((

,,FF )e)e((

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Transformada Discreta de Fourier I

Sinais Discretos

Função discreta f f :{ f(0), f(1), f(2), … , f(N-1) }{ f(0), f(1), f(2), … , f(N-1) }

f(x)f(x)

f(xf(x00))f(xf(x00++x)x)

f(xf(x00+2+2x)x)f(xf(x00+3+3x)x)

xx00 xx00++xx xx00+2+2xx xx00+3+3xx xx00

f(x)f(x)

f(xf(x00))f(xf(x00++x)x)

f(xf(x00+2+2x)x)f(xf(x00+3+3x)x)

xx00 xx00++xx xx00+2+2xx xx00+3+3xx xx00

f(n) = f(xf(n) = f(x00 + n+ nx)x)f(x)f(x)

11 22 33 …… xx00 44

f(n) = f(xf(n) = f(x00 + n+ nx)x)f(x)f(x)

11 22 33 …… xx00 44

f(x)f(x)

11 22 33 …… xx00 44

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∑∑==NN -- 11

00==xx

iix/Nx/NuuFF

-2-2f(x)ef(x)e))(( 11

Transformada Discreta de Fourier II

Transformada Discreta 1D

∑∑==NN -- 11

iix/Nx/Nxxff

22F(F()e)e))((

= 0, 1, 2, ..., N-1

x = 0, 1, 2, ..., N-1

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Transformada Discreta de Fourier III

Transformada Discreta 2D

∑∑==NN -- 11

00==xx

i(i(x/N+x/N+y/M)y/M),,FF

-2-2f(x,y)ef(x,y)e))(( 11

NN11MM ∑∑

MM -- 11

00==yy

∑∑==NN -- 11

i(i(x/N+x/N+y/M)y/M)x,yx,yff

22F(F(,,)e)e))(( ∑∑

MM -- 11

= 0, 1, 2, ..., N-1 = 0, 1, 2, ..., M-1

x = 0, 1, 2, ..., N-1y = 0, 1, 2, ..., M-1

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Transformada Discreta 2D – Nota Prática Consideração de xxijij como uma matriz

Possibilidade de computação da DFT 2D Computação da transformada 1D em

todas as linhas da imagem (seguida da) Computação da transformada 1D em

todas as colunas da imagem

Transformada Discreta de Fourier III

Resultado similar com a inversão Resultado similar com a inversão do processo de computação da do processo de computação da transformada 1Dtransformada 1D

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f(x,y) F(,)

Propriedades da FT I

Linearidade I

af(x,y) + bg(x,y) af(x,y) + bg(x,y) aF( aF(, , ) + bG() + bG(, , ) )

g(x,y) G(, )

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Propriedades da FT II

Linearidadeaf(x,y) + bg(x,y) af(x,y) + bg(x,y) aF( aF(,,) + bG() + bG(,,) )

i(i(xx++y)y)dxdydxdy

--22[[afaf(x,y) + (x,y) + bgbg(x,y)](x,y)] ee ==

(x,y)(x,y)==

--22afaf(x,y)(x,y) ee ++

dxdydxdybgbg ee i(i(xx++y)y)--22

dxdydxdyee i(i(xx++y)y)--22

(x,y)(x,y)==

dxdydxdybgbg ee i(i(xx++y)y)--22

dxdydxdyee i(i(xx++y)y)--22

--22f(x,y)f(x,y) ee ++

dxdydxdyg(x,y)g(x,y) ee

i(i(xx++y)y)--22

bbaa==

--22f(x,y)f(x,y) ee ++

dxdydxdyg(x,y)g(x,y) ee

i(i(xx++y)y)--22

==afaf(x,y) + (x,y) + bgbg(x,y)](x,y)][[

==(f(x,y))(f(x,y))== aa (g(x,y))(g(x,y))++ bb aaFF(( ,, ) +) + bbGG(( ,, ))==(f(x,y))(f(x,y))== aa (g(x,y))(g(x,y))++ bb aaFF(( ,, ) +) + bbGG(( ,, )) ==(f(x,y))(f(x,y))== aa (g(x,y))(g(x,y))++ bb aaFF(( ,, ) +) + bbGG(( ,, ))==(f(x,y))(f(x,y))== aa (g(x,y))(g(x,y))++ bb aaFF(( ,, ) +) + bbGG(( ,, ))

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f(x,y) F(,)

g(x,y) G(,)

Propriedades da FT III

Escalamento ou Ampliação

g(ax,by) g(ax,by) 11//|ab||ab|G(G(/a,/a,/b)/b)

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f(x,y) F(,)

g(x,y) G(,)

Propriedades da FT IV

Deslocamento

f(x-a,y-b) f(x-a,y-b) F( F(,,)e)e-i2-i2(a(a+b+b))

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Propriedades da FT V

Separabilidade

f(x,y) = f1(x)f2(y)

f(x,y) F(,)

ff11(x)f(x)f22(y) (y) F F11(()F)F22(() = F() = F(,,))

ff11(x) (x) F F11(())

ff22(y) (y) F F22(())

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Propriedades da FT VI

Invariância da Rotação

f(xcosf(xcos +ysen +ysen, -xsen, -xsen +ycos +ycos) ) FF11((cos cos + +sensen, -, -sensen + + coscos))

sensen

coscoscoscos

sensen

coscoscoscos

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f(x,y) F(,)

Propriedades da FT VII

Convolução

g(x,y) G(,)

dd dd ⇔ ⇔ F(F(,,)G()G(,,))f(f(,,))

g(x-g(x-,y-,y-))

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DFT Direta e Inversa 2D I

para u=0, 1, 2, ..., M-1u=0, 1, 2, ..., M-1, v=0, 1, 2, ..., N-1v=0, 1, 2, ..., N-1 e

N/vyM/uxj2ev,uFy,xf π

N/vyM/uxj2e)y,x(fMN

1v,uF π

N/vyM/uxj2e)y,x(fMN

1v,uF π

DFT Bidimensional

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DFT Direta e Inversa 2D II f(x,y)f(x,y) representa as amostras da função

f(xf(x00+x+xx,yx,y00+y +y y) y), para x=0, 1, 2, ..., M-1x=0, 1, 2, ..., M-1, e y=0, 1, 2, ..., N-1y=0, 1, 2, ..., N-1

Aplica-se o mesmo a F(u,v)F(u,v) Os incrementos nas amostras em ambos

os domínios estão relacionados por e

DFT Bidimensional

xM1uΔ

Δ yN1vΔ

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DFT Direta e Inversa 2D III f(x,y)f(x,y) é sempre considerada uma função

realreal de dimensão 22, tipicamente uma imagem.

F(u.v)F(u.v) é, em geral, uma função complexa.

DFT Bidimensional

v,ujIv,uR)v,u(F

v,ujev,uFv,uF

v,uRv,uItanv,u 1

2/122 v,uIv,uRv,uF

v,ujIv,uR)v,u(F

v,ujev,uFv,uF

v,uRv,uItanv,u 1

2/122 v,uIv,uRv,uF

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DFT Direta e Inversa 2D IV Espectro de Potência de f(x,y)f(x,y)

DFT Bidimensional

v,uIv,uRv,uF)v,u(P 222 v,uIv,uRv,uF)v,u(P 222

DSC/CCT/UFCG

Senos e Cossenos 2D I

cos[2cos[2(0,y)](0,y)] cos[2cos[2 (x,0)] (x,0)] sen[2sen[2 (0,y)] (0,y)] sen[2sen[2 (x,0)] (x,0)]

Exemplo 03 Normalização para ajuste ao intervalo [0:1][0:1]

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Senos e Cossenos 2D II

cos[2cos[2(3x,4y)](3x,4y)] cos[2cos[2 (5x,2y)] (5x,2y)] sen[2sen[2 (3x,-5y)] (3x,-5y)] sen[2sen[2 (-3x,6y)] (-3x,6y)]

Exemplo 04 Normalização para ajuste ao intervalo

[0:1][0:1]

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Periodicidade e Simetria do Conjugado

v,uFNv,MuFv,uF * v,uFNv,MuFv,uF * v,uFv,uF v,uFv,uF

Exemplo 05

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ImagemImagemoriginaloriginal

Transformada Transformada sem deslocamentosem deslocamento

OrigemOrigem

Transformada com Transformada com origem no centro origem no centro

da matrizda matriz

Exemplo 06

Translação

vu1 1u,vF2/Ny,2/Mxf

2/N,v2/MuF1x,yf yx e

vu1 1u,vF2/Ny,2/Mxf

2/N,v2/MuF1x,yf yx

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Uso de coordenadas polares

f(x,y)f(x,y) e F(u,v)F(u,v) se tornam f(r,f(r,)) e F(F(, , ))

Rotação

Imagem Imagem originaloriginal

Imagem Imagem rotacionadarotacionada

EspectrosEspectros

senωvcosωusenθrycosθrx senωvcosωusenθrycosθrx

00 θ,Fθθ,rf 00 θ,Fθθ,rf

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Visualização da FT em 2D I

Visualização usual como uma função de intensidade Facilidade de visualização

onde cc é uma constante arbitráriaarbitrária. )v,u(F1logc)v,u(D)v,u(F )v,u(F1logc)v,u(D)v,u(F

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Visualização da FT em 2D II

Exemplo 07

|F(u,v)||F(u,v)|

D(u,v)D(u,v)

)v,u(F1logc)v,u(D )v,u(F1logc)v,u(D

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Transformada de FourierTransformada de FourierImagemImagemCaracterísticas: Incrustações de óxido Bordas a ±45º±45º

Relações Espaço Espaço ×× Freqüência Freqüência

Filtragem no Domínio da Freqüência I

Imagem microscópica de um circuito integradoImagem microscópica de um circuito integrado

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Filtragem no Domínio da Freqüência

TransformadaTransformadade Fourierde Fourier X

f(x,yf(x,y))

g(x,y)g(x,y)

H(u,v)H(u,v)

G(u,vG(u,v))

F(u,v)F(u,v)Domínio daDomínio daFreqüênciaFreqüência

Parte Parte RealReal

Domínio do EspaçoDomínio do Espaço

TransformadaTransformadaInversa de FourierInversa de Fourier

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Filtragem no Domínio da Freqüência

Processo de Filtragem no Domínio da Freqüência Multiplica-se a imagem por (-1)(-1)x+yx+y para

centrar a origem das freqüências; Calcula-se F(u,v)F(u,v), i.e, a DFT da imagem; Multiplica-se a F(u,v)F(u,v) pela função filtro

F(u,v)F(u,v); Calcula-se a transformada inversa; Obtém-se a parte real do resultado de

(4); Multiplica-se o resultado em (5) por

(-1)(-1)x+yx+y.

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Filtros Básicos I

Notch Notch II

contráriocaso0,0v,use

,1,0v,uH

contráriocaso0,0v,use

,1,0v,uH

Imagem Original Imagem filtrada

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Filtros Básicos II

Notch II Valores negativos:

Imagens são restritas a valores positivos e para visualização são convertidas para a faixa de 0 a 255;

Removendo-se o nível médio, obtém-se valores negativos;

Valores negativos no slide anterior foram convertidos para 0;

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Filtros Básicos III

Notch III Visualização de uma imagem com valores

negativos no MATLAB Uso de imshowimshow

imshow(img, [low high])imshow(img, [low high])

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Função de Transferência Imagem resultante

Filtros Básicos IV

Passa-BaixasPassa-Baixas Uniformização de grandes regiõesUniformização de grandes regiões

Efeito de “borramento” da imagemEfeito de “borramento” da imagem

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Filtros Básicos V

Passa-AltasPassa-Altas Ênfase de detalhes finos (e.g., bordas, Ênfase de detalhes finos (e.g., bordas,

textura)textura) Efeito de “aguçamento” da imagemEfeito de “aguçamento” da imagem

Função de Transferência Imagem resultante

Origem

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Filtros Básicos VI

Passa-Baixas Ideal Passa-Baixas Ideal II

oo vu)v,u(D,Dv,uDse

Dv,uDse,0,1v,uH

oo vu)v,u(D,Dv,uDse

Dv,uDse,0,1v,uH

Função de Transferência

H(u, v)

D(u, v)D0

Espectro Freqüência de Corte

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Filtros Básicos VII

Passa-Baixas Ideal Passa-Baixas Ideal II – Exemplo 08II – Exemplo 08

Imagem 500×500 pixels Saída FPBI, raio=5 Saída FPBI, raio=15

Saída FPBI, raio=30 Saída FPBI, raio=80 Saída FPBI, raio=230

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Filtros Básicos VIII

Passa-Baixas Butterworth Passa-Baixas Butterworth II

n20D/v,uD1

0D/v,uD11v,uH

Freqüência de Corte

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Filtros Básicos IX

Passa-Baixas Ideal Passa-Baixas Ideal II – Exemplo 09II – Exemplo 09

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Filtros Básicos X

Passa-Baixas Gaussiano Passa-Baixas Gaussiano II

Freqüência de CorteAbertura

D2v,uD

eev,uH

D2v,uD

eev,uH

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Filtros Básicos XI

Passa-Baixas Gaussiano Passa-Baixas Gaussiano II – Exemplo 10II – Exemplo 10

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Filtros Básicos XII

Passa-Altas Passa-Altas II

Hfpai=1-Hfpbi

Hfpab=1-Hfpbb

Hfpag=1-Hfpbg

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Filtros Básicos XIII

Passa-Altas Passa-Altas IIII

Passa-altas Ideal

Passa-altas Butterworth

D0 = 15 D0 = 30 D0 = 80

Passa-altas Gaussiano

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José Eustáquio Rangel de QueirozProfessor Adjunto DSC/UFCG

E-mail: rangel@dsc.ufcg.edu.brrangel@dsc.ufcg.edu.br

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Site departamental: www.ufcg.edu.br/~rangelwww.ufcg.edu.br/~rangel

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DSC/CCT/UFCG Software Básico Introdução à Informática Prof.: José Eustáquio Rangel de Queiroz rangel@dsc.ufpb.br rangel@lmrs-semarh.ufpb.br Prof.: José

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Rangel@dsc.ufpb.br DSC/CCT/UFCG Carga Horária: 60 h Profs.: José Eustáquio Rangel de Queiroz Roberto Medeiros de Faria Ulrich Schiel José Eustáquio Rangel.

Rangel@asc.ufcg.edu.br CEEI asC Carga Horária: 60 horas Prof.: José Eustáquio Rangel de Queiroz rangel@asc.ufcg.edu.br rangeldequeiroz@gmail.com Prof.:

DSC/CCT/UFCG {joseana, rangel}@dsc.ufcg.edu.br Informática na Educação Profs.: Joseana Macêdo Fechine José Eustáquio Rangel de Queiroz {joseana, rangel}@dsc.ufcg.edu.br.

Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz José Eustáquio Rangel de Queiroz Marcelo Alves de Barros Erros Cálculo Numérico Módulo III.

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CONTRATO QUE ENTRE SI CELEBRAM A QUEIROZ E A EMPRESA ... · MIRON SOLER, brasileira, casada, maior, residente e domiciliado na Avenida Rangel Pestana, nº 14, nesta cidade de Queiroz,

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