Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz

José Eustáquio Rangel de Queiroz

Marcelo Alves de Barros

ErrosErros

Cálculo NuméricoCálculo NuméricoMódulo IIIMódulo III

2

Erros - Roteiro

Existência

Tipos

Propagação

3

Erros - Existência I

Erro InerenteErro Inerente

Erro Erro semsempprere presente nas soluções presente nas soluções numéricas devido à incerteza sobre o numéricas devido à incerteza sobre o valor realvalor real

Ex. 01: Representação intervalar de dados

(50,3 ± 0,2) cm

(1,57 ± 0,003) ml(110,276 ± 1,04) Kg

4

Erro de TruncamentoErro de Truncamento

Erro proveniente da limitação do Erro proveniente da limitação do número de iterações dos métodos número de iterações dos métodos numéricos durante a determinação de numéricos durante a determinação de um valor de interesseum valor de interesse Número de iteraçõesNúmero de iterações

TeóricoTeórico Infinito ou muito Infinito ou muito grandegrande

PráticoPrático Limitado por Limitado por restrições associadas à capacidade de restrições associadas à capacidade de processamento/ armazenamento do processamento/ armazenamento do sistemasistema

Erros - Existência II

5

Erro de RepresentaçãoErro de Representação

Aproximação do valor de um número real para sua representação com um número finito de dígitos.

Erros - Existência III

6

Erros - Existência III

Erro de RepresentaçãoErro de Representação x Erro de Erro de truncamentotruncamento

Erro de RepresentaçãoErro de Representação Associada à conversão numérica entre

bases (representação humana e de máquina) ou à realização de operações aritméticas

Erro de TruncamentoErro de Truncamento Associada à quantidade de informação que

a máquina pode conter sob a forma de um número

7

Representação dos números reais com um número finito de dígitos (aproximação)

Ex. 02: Cálculo da área de uma circunferência de raio 100 m

Possíveis resultados:

(1) A = 31400 m2

(2) A = 31416 m2

(3) A = 31414,92654 m2

Erro de Representaç

ão

Erro de Representaç

ão não tem representação finita - não tem representação finita - 3,14 3,14 (1), (1), 3,14163,1416 (2) e (2) e 3,1415926543,141592654 (3) (3)

não tem representação finita - não tem representação finita - 3,14 3,14 (1), (1), 3,14163,1416 (2) e (2) e 3,1415926543,141592654 (3) (3)

Erros - Existência IV

8

Representação dos números reais com um número finito de dígitos (aproximação)

Dependência da representação numérica da máquina utilizada

Um número pode ter Um número pode ter representação finita em representação finita em uma base e não finita em uma base e não finita em outraoutra

Um número pode ter Um número pode ter representação finita em representação finita em uma base e não finita em uma base e não finita em outraoutra

Erros - Existência V

Erro de Representaçã

o

Erro de Representaçã

o

Operações com dados Operações com dados imprecisos ou incertos imprecisos ou incertos acarretam a acarretam a propagação do propagação do erroerro..

Operações com dados Operações com dados imprecisos ou incertos imprecisos ou incertos acarretam a acarretam a propagação do propagação do erroerro..

(0,1)10 = (0,00011001100110011...)2

9

Erros - Existência VI

Ex. 03: Cálculo de

usando uma calculadora e um computador, para xi = 0,5 e xi = 0,1

3000

1i

ixS

xiCalculador

aComputador

0,5 S= 1500 S= 1500

0,1 S= 300S=300,00909424 (precisão simplessimples)

S=299,999999999999720 (precisão dupladupla)

10

Erros - Existência VII

Ex. 04: Fazer a conversão de O,1 de base 10 para a base 2

(0,1)10 = (0,00011001100110011...)2

(0,1) 10 não tem representação exataexata na base 2

A representação de um número A representação de um número depende da depende da basebase em uso e do em uso e do número máximo de dígitosnúmero máximo de dígitos usados usados em sua representação.em sua representação.

A representação de um número A representação de um número depende da depende da basebase em uso e do em uso e do número máximo de dígitosnúmero máximo de dígitos usados usados em sua representação.em sua representação.

11

Erros - Existência VIII

ExatidãoExatidão (AcuráciaAcurácia) x Precisão Precisão II Uso incorreto como sinônimos na

linguagem cotidiana (e mesmo em linguagem técnica) ExatidãoExatidão Grau de concordância

entre o resultado de uma medição e um valor verdadeiro do mensurando Exatidão é um conceito qualitativo

PrecisãoPrecisão Grau de concordância entre resultados de medição obtidos sob as mesmas condições (repetitividade) Exatidão é um conceito qualitativo

12

Erros - Existência VIII

ExatidãoExatidão (AcuráciaAcurácia) x Precisão Precisão IIII

PrecisãoPrecisão

Exati

dão (

Acu

rácia

)Exati

dão (

Acu

rácia

)

13

Erros - Tipos I

AbsolutoAbsoluto Diferença entre o valor exato de um Diferença entre o valor exato de um

númeronúmero e o seu valor aproximadoe o seu valor aproximado

xxEAx

14

Erros - Tipos II

RelativoRelativo Razão entre o erro absoluto e o valor Razão entre o erro absoluto e o valor

aproximadoaproximado

x)x(x

ERx

Erro PercentualErro Percentualxx = ER = ERxx x x

100%100%Erro PercentualErro Percentualxx = ER = ERxx x x

100%100%

15

Erros - Tipos III

Erro Absoluto - Erro Absoluto - Considerações IConsiderações I

EAEAxx só poderá ser determinado se só poderá ser determinado se xx for conhecido com exatidãofor conhecido com exatidão

Na prática, costuma-se trabalhar com Na prática, costuma-se trabalhar com um limitante superior para o erro, ao um limitante superior para o erro, ao invés do próprio erro (invés do próprio erro (||E E | < | < εε, onde , onde εε é o limitante)é o limitante)

Ex. 05: Para (3,14, 3,15)01,0EA

16

Erros - Tipos III

Erro Absoluto - Erro Absoluto - Considerações IIConsiderações II

Ex. 05: Sejam a = 3876,373 a = 3876,373 e b = 1,373b = 1,373

Considerando-se a parte inteira de Considerando-se a parte inteira de a a ((a’a’) ) o o erro absolutoerro absoluto será: será:

EAa = |a - a'|= 0,373

e a parte inteira de e a parte inteira de bb, , b’b’, o , o erro erro absolutoabsoluto será: será:

EAb = |b - b'|= 0,373

17

Erros - Tipos III

Erro Absoluto -Erro Absoluto - Considerações III Considerações III

Obviamente, o resultado do erro Obviamente, o resultado do erro absoluto é o mesmo nos dois casosabsoluto é o mesmo nos dois casos

Entretanto, o peso da aproximação Entretanto, o peso da aproximação em em bb é maior do que em é maior do que em aa

18

Erros - Tipos IV

Erro Relativo -Erro Relativo - Consideração Consideração

O erro relativo, entretanto, pode traduzir perfeitamente este fato, pois:

4a 100,000096

38760,373

ER

0b 1050,373

10,373

ER

19

Ex. 06: Cálculo do erro relativo considerando-se os números ā = 2112,9, ē = 5,3 e |EA| < 0,1

|ERa| = |a - ā|/|ā| = 0,1/2112,9 4,7 x 10-5

|ERe| = |e - ē|/|ē| = 0,1/5,3 0,02

Conclusão: a é representado com maior precisão do que e

Erros - Tipos V

20

Arredondamento

Truncamento

Quanto Quanto menormenor for o for o erroerro, , maior será a maior será a precisãoprecisão do do resultado da operação.resultado da operação.

Quanto Quanto menormenor for o for o erroerro, , maior será a maior será a precisãoprecisão do do resultado da operação.resultado da operação.

Erros - Tipos VIII

21

Erros - Tipos VI

Arredondamento

Ex. 07: Cálculo de utilizando uma calculadora digital

  Valor apresentado: 1,4142136Valor real: 1,41421356...

Inexistência de forma de representação de números irracionais com uma quantidade finita de algarismos

Apresentação de uma aproximação do número pela calculadora Erro de arredondamento

2

22

Erros - Tipos VII

Truncamento Associação ao método de aproximação

empregado para o cálculo de uma função exata, a partir do uso de fórmulas aproximadas

Ex. 08: Cálculo do valor de ex e partir da série

Impossibilidade de determinação do valor exato da função

...4!x

3!x

2!x

x1e432

x

23

x = 0,2345 x 103 + 0,7 x 10-1

fx = 0,2345

gx = 0,7

Erros de Truncamento e Arredondamento - Demonstração Em um sistema que opera em ponto

flutuante de t dígitos na base 10, e seja x:

x = fxx10e + gxx10e-t (0,1 fx 1 e 0,1 gx 1)

Para t = 4 e x = 234,57, então:

Arredondamento e Truncamento

24

Erros - Truncamento

No truncamento, gxx10e-t é desprezado e

visto que gx <1

,

pois 0,1 é o menor valor possível para fx

tetexx 1010gxxEA

ex 10fx

1te

te

ex

texx

x 10100,1

10

10f

10g

x

EAER

25

No arredondamento simétrico (forma mais utilizada):

, se (gx é desprezado)

, se (soma “1” ao último dígito de fx)

Erros – Arredondamento I

teex

ex

1010f

10f

x21

gx

21

gx

26

Erros - Arredondamento II

Se :

21

gx

1te

te

ex

texx

x 1021

100,1

105,0

10f

10g

x

EAER

tetexx 10

21

10gxxEA

27

Erros – Arredondamento III

Se

e

21

gx

tee

xte

xe

xx 1010f10g10fxxEA

1te

te

ex

te

teex

tex

x 1021

100,1

101/2

10f

101/2

1010f

101/2

x

EAER

tetex

tetexx 10

21

101g1010gEA

28

Erros de Truncamento e Arredondamento

Sistema operando em ponto flutuante - Base 10 Erro de Truncamento

e

Erro de Arredondamento

e

tex 10EA 1t

x 10ER

1tx 10

21

ER tex 10

21

EA

Arredondamento e Truncamento

ee - n - nºº de dígitos inteiros de dígitos inteirostt - n - nºº de dígitos de dígitosee - n - nºº de dígitos inteiros de dígitos inteirostt - n - nºº de dígitos de dígitos

29

Arredondamento e Truncamento

Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, precisão dupla

Ex. 09: Seja x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x 102. Calcular x + y

Alinhamento dos pontos decimais antes da soma

x = 0,937 x 104 e y = 0,001272 x 104,

x+y = 0,938272 x 104

Resultado com 4 dígitos

Arredondamento : x+y = 0,9383 x 104

Truncamento: x+y = 0,9382 x 104

30

Arredondamento e Truncamento

Ex. 10: Seja x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x 102. Calcular x.y.

x.y = (0,937 x 104) x (0,1272 x 102)x.y = (0,937 x 0,1272) x 106

x.y = 0,1191864 x 106

Resultado com 4 dígitos

Arredondamento: x.y = 0,1192 x106

Truncamento: x.y = 0,1191 x106

31

Considerações Ainda que as parcelas ou fatores de

uma operação possam ser representados exatamente no sistema, não se pode esperar que o resultado armazenado seja exato.

x e y tinham representação exata, mas os resultados x+y e x.y tiveram representação aproximada.

Arredondamento e Truncamento

32

Erros – Propagação

Propagação dos Erros:

Durante as operações aritméticas de um método, os erros dos operandos produzem um erro no resultado da operação

Propagação ao longo do processo

Determinação do erro no resultado final obtido

33

Erros – Propagação

Ex. 11: Suponha-se que as operações a seguir sejam processadas em uma máquina com 4 dígitos significativos e fazendo-se: x1 = 0,3491x104 e x2 = 0,2345x100, tem-se:

(x2 + x1) − x1 == (0,2345x100 + 0,3491x104) − 0,3491x104

= 0,3491x104 − 0,3491x104 = 0,0000

x2 + (x1 − x1) == 0,2345x100 + (0,3491x104 − 0,3491x104)= 0,2345 + 0,0000 = 0,2345

34

Erros – Propagação

Os dois resultados são diferentes, quando não deveriam ser, pois a adição é uma operação distributiva.

(x2 + x1) − x1 = 0,0000 ex2 + (x1 − x1) = 0,2345

Causa da diferença arredondamento feito na adição (x2 + x1), cujo resultado tem 8 dígitos

A máquina só armazena 4 dígitos (desprezando os menos significativos)

35

Erros – Propagação

Resolução numérica de um problema

Importância do conhecimento dos efeitos da propagação de erros

Determinação do erro final de uma operação numérica

Conhecimento da sensibilidade de um determinado problema ou método numérico

36

Erros – Propagação

Ex. 12: Calcular o valor de √2 - e3 .

√2 (erro de arredondamento)

e3 (erro de truncamento)

Propagação dos erros nos valores de √2 e e3 para o resultado de √2 - e3

37

Erros – Propagação

Ex. 13: Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1, calcular a + b

Variação de a 47 a 53 Variação de b 20 a 22

Menor valor da soma 47 + 20 = 67 Maior valor da soma 53 + 22 = 75

a + b = (50 + 21) ± 4 = 71 ± 4 67 a 75

38

Erros – Propagação

Ex. 14: Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1, calcular a – b Variação de a 47 a 53 Variação de b 20 a 22 Menor valor da diferença 47 - 22 =

25 Maior valor da diferença 53 - 20 = 33

a – b = (50 – 21) ± 4 = 29 ± 4 25 a 33Na subtração, os erros absolutos Na subtração, os erros absolutos se somamse somam, , pois sempre se admite o pior caso; pois sempre se admite o pior caso; nuncanunca se se subtraem erros, contando com a sorte; prevê-subtraem erros, contando com a sorte; prevê-se, sempre, o caso se, sempre, o caso mais desfavorávelmais desfavorável..

Na subtração, os erros absolutos Na subtração, os erros absolutos se somamse somam, , pois sempre se admite o pior caso; pois sempre se admite o pior caso; nuncanunca se se subtraem erros, contando com a sorte; prevê-subtraem erros, contando com a sorte; prevê-se, sempre, o caso se, sempre, o caso mais desfavorávelmais desfavorável..

39

Erros – Propagação

Ex. 15: Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1, calcular a . b

Variação de a 47 a 53 Variação de b 20 a 22

Menor valor do produto 47 . 20 = 940

Maior valor do produto 53 . 22 = 1166

40

Erros – Propagação

Ex. 15: Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1, calcular a . B

a . b = (50 ± 3) x (21 ± 1) 1050 ± (3 x 21 + 50 x 1) 1050 ± 113 937 a 1163

Despreza-se o produto 3 x 1, por ser muito pequeno diante de (3 x 21 + 50 x 1 ) = 113

Ligeiramente diferente do verdadeiro intervalo, exatamente pelo abandono do produto 1 x 3, considerado desprezível

41

Erros – Propagação

Análise dos Erros Absoluto e Relativo:

Fórmulas para os erros nas operações aritméticas

Erros presentes nas parcelas ou fatores e no resultado da operação

Supondo um erro final arredondado, sendo x e y, tais que:

yx EAy yEAxx e

42

Erros – Propagação

Adição

Erro Absoluto

Erro Relativo

yx

yER

yxx

ERyx

EAER yx

yxyx

43

Erros – Propagação

Subtração

Erro Absoluto

Erro Relativo

yxy

ERyx

xER

yx

EAEAER yx

yxyx

44

Erros – Propagação

Multiplicação

Erro Absoluto

Erro Relativo

yxyxyx .EAEAEAx.EAyy.xEAy.EAxx.y

muito pequeno

yxy.x ERERER

45

Erros – Propagação

Divisão Erro Absoluto

Erro Relativo

y

EA1

1.

yEAx

EAyEAx

yx

y

x

y

x

Simplificação:

...y

EA

y

EA

y

EA1

y

EA1

13

y

2

yy

y

(desprezam-se os termos de potência >1)

2yx

2x

y

EAx.EAy

yEAyx

yEA

yx

yx

yxx/y ERERER

46

Erros – Análise

RAER

RAyx

EAER

yx

yxyx

EAx=EAy= 0, EAx+y=0

1tyx 10

21

RAER

Ex. 16: Cálculo de ER(x+y)

Como Como xx e e yy são representados exatamente, são representados exatamente, ERERx+yx+y se resume ao se resume ao Erro Relativo de Erro Relativo de

ArredondamentoArredondamento ( (RARA) no resultado da soma.) no resultado da soma.

Como Como xx e e yy são representados exatamente, são representados exatamente, ERERx+yx+y se resume ao se resume ao Erro Relativo de Erro Relativo de

ArredondamentoArredondamento ( (RARA) no resultado da soma.) no resultado da soma.

47

Erros – Análise

Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, precisão dupla. Ex. 17: Seja x = 0,937x104,

y = 0,1272x102 e z = 0,231x101, calcular x+y+z e ER(x+y+z), sabendo que x, y e z estão exatamente representados. Solução:

Alinhando as vírgulas decimais

x = 0,937x104

y = 0,001272x104 ez = 0,000231x104

48

Erros – Análise

Ex. 17: Solução:

A soma é feita por partes: (x+y)+z

x+y = 0.9383 x 104

x+y+z = 0,9383 x 104 + 0,000231 x 104

x+y+z = 0,938531x 104

x+y+z = 0,9385x 104 (após o arredondamento)

x+y+z= 0,9385 x 104

49

Erros – Análise

Ex. 17:

Solução:

EAz=0, ERz=0

1zyx

yxRARA

zyx

yxRAER

RAzyx

yxERER

RAzyx

yxER

zyx

yxERER

szyx

szyx

zszyx

1tzyx 10

21

1zyx

yxER

50

Erros – Análise

Ex. 17:

Solução:

1tzyx 10

21

1zyx

yxER

34

4

zyx 1021

1100,9385

100,9383ER

3zyx 100,9998ER

51

Erros – Análise

Ex. 18: Supondo que x é representado num computador por x, que é obtido por arredondamento. Obter os limites superiores para os erros relativos de

ex2u xxw

52

Erros – Análise

Ex. 18:

Solução:

1tu 10ER

1tx2.

x2x2.

1021

2.ER

RA2.RARARAERERER

x2u

53

Erros – Análise

Ex. 18: Solução:

xxw

RAxx

xER

xx

xERER xxw

RA2.RAxx

xRA2.ERw

1t1tw 1010

21

2.RA2.ER

1tuw 10ERER

54

Erros – Sumário I

1. Erro relativo da soma Soma dos erros relativos de cada parcela, ponderados pela participação de cada parcela no total da soma.

2. Erro relativo da subtração Soma dos erros relativos do minuendo e do subtraendo, ponderados pela participação de cada parcela no resultado da subtração.

55

Erros – Sumário II

1. Erro relativo do produto Soma dos erros relativos dos fatores.

2. Erro relativo da divisão Soma dos erros relativos do dividendo e do divisor.

56

Erros – Exercícios

1. Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, base decimal e com acumulador de precisão dupla. Dados os números x = 0,7237x104, y = 0,2145x10-3 e z = 0,2585x101, efetuar as seguintes operações e obter o erro relativo nos resultados, supondo que x, y, e z estão exatamente representados.

a) x+y+z b) x-y-z c) x/y

d) (x.y)/z e) x.(y/z) f) (x+y).z

57

2. Supondo que x é representado num computador por x, onde este é obtido por arredondamento, obter os limites superiores para os erros relativos de

a) b)

c) d)

Erros – Exercícios

x3u xxxw x4u xxxxw

58

3. Sejam x e y as representações de x e y obtidas em um computador por arredondamento. Deduzir expressões de limitante de erro, a fim de mostrar que o limitante de erro relativo de é

Erros – Exercícios

yx3u

yxxxv

59

Erros – Exercícios

4. Um computador armazena números reais utilizando 1 bit para o sinal do número, 7 bits para o expoente e 8 bits para a mantissa. Admitindo que haja truncamento, como ficariam armazenados os seguintes números decimais?

a) n1 = 25,5 b) n2 = 120,25 c) n3 = 2,5

d) n4 = 460,25 e) n5 = 24,005

60

Erros - Bibliografia

Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computacionaiscomputacionais. MAKRON Books, 1996, 2. MAKRON Books, 1996, 2ªª ed. ed.

Asano, C. H. & Colli, E. Asano, C. H. & Colli, E. Cálculo Numérico: Cálculo Numérico: Fundamentos e AplicaçõesFundamentos e Aplicações. Departamento de . Departamento de

Matemática Aplicada – IME/USP, 2007.Matemática Aplicada – IME/USP, 2007. Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Métodos Métodos

NuméricosNuméricos. DI/UFPR, 2006.. DI/UFPR, 2006. Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e

Propagação de Erros, Propagação de Erros, Notas de aulaNotas de aula, SE/ DM/ , SE/ DM/ IST IST [Online] [Online] http://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semeshttp://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semestre_1_2004-2005/PE_erros.pdftre_1_2004-2005/PE_erros.pdf [Último acesso [Último acesso 07 de Junho de 2007].07 de Junho de 2007].