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Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret

Aula 3: Vetores

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP

Campus de Caraguatatuba

Licenciatura em Matemática

10 Semestre de 2013

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Introdução (1)

Várias grandezas físicas, tais como por exemplo comprimento, área, volume, tempo, massa e temperatura são completamente descritas uma vez que a magnitude (intensidade) é fornecida.Tais grandezas são chamadas de escalares e são

modeladas por números reais. Outras grandezas físicas não são completamente

caracterizadas até que uma magnitude, uma direção e um sentido sejam especificados. Exemplos são deslocamento,velocidade e força.

Tais grandezas são chamadas de vetoriais e são modeladas por vetores.

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Introdução (2)

Sejam os valores financeiros de transações de cartões de crédito de vários clientes dados pela lista abaixo, como segue, 78, 63, 73, 62, 88, 73, 81, 97

Usando-se apenas um símbolo, x, e índices subscritos, pode-se denotar os valores dessa lista, como segue,x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8

Uma lista de valores como essa,x = (x1, x2, x3, ... , x8)

É denominada de vetor.

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Vetor (1)

Definição: Um vetor x de ordem (p x 1) é um conjunto de números reais (que podem ser chamados de escalares), os quais podem ser representados como:

Notação: a usual em publicações científicas, ou seja, letras minúsculas em negrito (ou não) ou em itálico. X, Y, x, y, a, b. X, Y, x, y, a, b.

p

p

xxxx

x

xxx

,...,,,ou 3213

2

1

xx

Vetor coluna

Vetor linha

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Vetor (2)

Os escalares xi são conhecidos como componentes ou elementos do vetor. Na representação anterior, o vetor coluna consiste de p

linhas e 1 coluna (p também é a dimensão do vetor), e o vetor linha consiste de 1 linha e p colunas.

Exemplo 1: O vetor x apresentado a seguir é um vetor coluna de dimensão 5.

54321

x

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Vetor (3)

Em algumas notações, um vetor pode ou não ter um apostrofe simples agregado ao seu nome para representar que ele é um vetor transposto (e vice-versa).

Exemplo 2: Seja o vetor x abaixo, o qual é um vetor linha de dimensão p.

O vetor x no formato transposto x ou xT é representado como segue,

][x 321 pxxxx

px

xxx

...x 3

2

1

p

T

x

xxx

...x 3

2

1

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Vetor (4)

Vetores podem ser representados graficamente no ℝ2. Exemplo 3: Sejam x e y os vetores apresentados a

seguir e sua representação em ℝ2.

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Vetor (5)

Álgebra Vetorial:

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Soma de Vetor (1)

Exemplo 4: Soma de Vetores.4.1) Sejam os vetores a = (2,4,-5) e b = (1,-6,9).

Então a + b = ((2+1),(4-6),(-5+9)) = (3,-2,4).

4.2) Sejam os vetores a = (2,4,-5) e b = (0,0,0). Então a + b = ((2+0),(4+0),(-5+0)) = (2,4,-5).

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Soma de Vetor (2)

Exemplo 5: Soma de Vetores - Geometria

y

2

22 y

xp

xx2

y2

0 x1+x2x1

1

11 y

xp

y1

y1+y2

p 1+p 2

21

21

2

2

1

121 yy

xxyx

yx

pp

1221 pppp

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Propriedades da Soma

Na adição de vetores há algumas propriedades.Comutatividade

u + v = v + uAssociatividade

(u + v) + w = u + (v + w)Vetor Identidade para adição, o Vetor 0

u, u + 0 = uInversa aditiva para a adição

u, há um vetor inverso tal que u + (-u) = 0

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Multiplicação Escalar de Vetor (1)

Exemplo 6: Multiplicação por Escalar.6.1) Seja o vetor p = (2,4,-5) e escalar = 7.

Então p = (7(2),7(4),7(-5)) = (14,28,-35)

6.2) Seja o vetor p = (2,4,-5). Então -p = (-1)(2,4,-5) = (-2,-4,5)

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Exemplo 7: Multiplicação por Escalar – Geometria.

yx

p

y

x0 x

y

a < 0

yaxa

yx

aap

0 < a < 1 a > 1

ax

ay

Multiplicação Escalar de Vetor (2)

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Propriedades da Multiplicação

Na multiplicação de vetores há algumas propriedades.Associatividade

(u) = ()u, para , escalaresDistributividade

(+ )u = u + u, para , escalaresIdentidade escalar

u, u = u, para =1

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Combinação Linear de Vetores

Sejam u1, u2, u3, ..., um vetores de ℝn e os escalares r1, r2, r3, ..., rm de ℝ.

Pode-se multiplicar os vetores pelos escalares e realizar a soma deles para se constituir o vetor

v = r1u1 + r2u2 + r3u3 + ... + rmum O vetor v é denominando de combinação linear dos

vetores u1, u2, u3, ..., um. Exemplo 8: Em ℝ2 o vetor v = (10,16) é uma combinação

linear dos vetores u1 = (1,2) e u2 = (3,4), pois

v = 4u1 + 2u2

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Produto Interno (1)

O produto interno (ou produto ponto ou produto escalar) de dois vetores a e b é o escalar denotado por ab , para dois vetores de mesma dimensionalidade e definido por

Usualmente se escreve esse resultado como o produto de um vetor (linha) a e um vetor (coluna) b

n

innii babababa

12211 ba

n

iii

nn

n

n

ba

bababa

b

bb

aaa

1

2211

2

1

21

ba

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Produto Interno (2)

O produto interno v.u é obtido com a multiplicação dos componentes correspondentes e com a soma dos produtos resultantes.

Diz-se que os vetores v e u são ortogonais ou perpendiculares, se seu produto interno for nulo (se v.u = 0).Ou seja,

n

innii uvuvuvuv

12211 0uv

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Produto Interno (3)

Exemplo 9: Sejam os seguintes vetores a = (1,-2,3), b = (4,5,-1) e c = (2,7,4). Calcular a.b e a.c.a.b = (1)(4) + (-2)(5) + (3)(-1) = 4 - 10 - 3 = -9. a.c = (1)(2) + (-2)(7) + (3)(4) = 2 - 14 - 12 = 0.

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Produto Interno (4)

Exercício 1: Sejam os seguintes vetores a = (1,2,3,4) e b = (6,,-8,2). Encontrar o valor do escalar tal que os vetores a e b sejam ortogonais.

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Propriedades do Produto Interno

No produto interno de vetores há algumas propriedades. Sejam u e v vetores em ℝn e um escalar em ℝ.(u + v).w = u.w + v.w;(u).v = (u.v);u.v = v.u; eu.u = 0 se e somente se, u = 0.

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Norma de um Vetor (1)

A norma ou comprimento de um vetor x de ℝn, denotado por é definida como sendo a raiz quadrada de x.x.

Ou seja, se x = (x1,x2,...,xn) então

é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos componentes de x. e se e somente se, x = 0. Um vetor x é chamado de vetor unitário se Ou seja, se x.x = 1.

x

n

iix

1

2xxxxx

x

0x 0x1x

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Norma de um Vetor (2)

Dado qualquer vetor não nulo y,

É o único vetor unitário de mesma direção e sentido de y; eO processo de se encontrar o vetor a partir do vetor y é

denominado de normalização de y.

yyy

yy

1ˆ

y

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Norma de um Vetor (3)

Exemplo 10: Seja o vetor u = (1,-2,-4,5,3). Obter .Pode-se calcular primeiramente ; eTomando-se o quadrado de cada componente e somando,

como se segue,

u2u

559251641)3()5()4()2()1( 222222 u

55u

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Norma de um Vetor (4)

Exemplo 11: Seja o vetor v = (1,-3,4,2) e w = (1/2,-1/6,5/6,1/6). Obter , e . Para se obter e calcula-se como se segue,

Normalizando o vetor v, como se segue, tem-se

Que é o único vetor unitário com a mesma direção e sentido do vetor v.

3041691)2()4()3()1( 22222 vv

v w

11361

365

361

369)6

1()65()6

1()21( 22222 uw

)30

2,30

4,30

3,30

1(ˆ vvv

v wv

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Norma de um Vetor (5)

Propriedades da norma:Dados quaisquer vetores u e v de ℝn, então segue que,

vuu.v

vuvu

Desigualdade de Schwarz

Desigualdade de Minkowski

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A distância entre os vetores u = (x1,x2,...,xn) e v = (y1,y2, ... ,yn) de ℝn é definida por

Exemplo 12: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). Calcular a distância d(u,v).

n

iii yxdist

1

2)()( vuvu,d v)(u,

Distância, Ângulos e Projeções (1)

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Distância, Ângulos e Projeções (2)

212

212 )()()( yyxxdist u-vvu,

12

12

1

1

2

2

yyxx

yx

yx

uv

y

xx1

y1

0 x2

y2

v

v-u

-u

(x2-x1)

(y2-y1)

u

v-u

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O ângulo entre dois vetores não nulos u e v de ℝn é definido por

Este ângulo está bem definido, pois

Se u.v = 0, então = 90º (ou /2).

vuu.v cos

Distância, Ângulos e Projeções (3)

11 vu

u.v

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A projeção de um vetor u sobre um vetor não nulo v é definida por

*uvv.vu.vv

vu.v v)(u, 2proj

Distância, Ângulos e Projeções (4)

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Exercício 2: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). Calcular a distância dist(u,v).

Distância, Ângulos e Projeções (5)

212

2121221 )()(),( yyxxdist pppp

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Exercício 3: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). Calcular o ângulo entre os dois vetores.

Distância, Ângulos e Projeções (6)

vuu.v cos

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Exercício 4: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). Calcular a projeção proj(u,v).

Distância, Ângulos e Projeções (7)

*uvv.vu.vv

vu.v v)(u, 2proj