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©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 1/22Matemática Discreta 2

Matemática Discreta 1 – MD 1 Prof. Lineu Mialaret

Aula 5: Combinatória (3)

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP

Campus de Caraguatatuba

Tecnólogo em Análise e Desenvolvimento de Sistemas

20 Semestre de 2013


Princípio das Casas de Pombos (1)

Seja o seguinte problema:Quantas pessoas (no mínimo) têm que estar presentes em

uma sala para garantir que duas delas têm o último nome (sobrenome) começando com a mesma letra?

Ou este outro problema:Quantas vezes é preciso jogar (no mínimo) um dado de

modo a garantir que um mesmo valor apareça duas vezes?



O Princípio das Casas de Pombos (Pigeonhole Principle) surgiu a partir da seguinte idéia:Se mais de k pombos entram em k casas de pombos,

então pelo menos uma casa vai ter mais de um pombo.

Pode ser aplicado a muitos problemas (cenários).



Princípio generalizado:Se mais de k itens são colocados em k caixas, então pelo

menos uma caixa contém mais de um item.

Exemplos práticos de aplicação:Suponha que um departamento possui 13 professores.

Então dois dos professores nasceram no mesmo mês.

Suponha que um saco de lavanderia contém meias vermelhas, brancas e azuis. Então é necessário pegar apenas quatro meias para se ter certeza de obter um par com uma única cor.



Achar o menor número de elementos que devem ser escolhidos em um conjunto S = {1,2,3,...,9} para se ter certeza de que dois números somem 10.

Os conjuntos de dois números que somam 10 são {1,9}, {2,8}, {3,7}, {4,6}, {5,5}. Logo qualquer escolha de seis elementos de S garante que dois dos números somam 10.



Exercício 1 - Seja o seguinte problema:Quantas pessoas têm que estar presentes em uma sala

para garantir que duas delas têm o último nome (sobrenome) começando com a mesma letra?



Exercício 1 - Seja o seguinte problema:Quantas pessoas têm que estar presentes em uma sala

para garantir que duas delas têm o último nome (sobrenome) começando com a mesma letra?

Resposta:O alfabeto tem 26 letras. Se a sala tiver 27 pessoas, então

existem 27 letras iniciais (itens) para se colocar em 26 caixas, de modo que uma caixa vai conter mais de uma letra inicial do alfabeto.



Exercício 2 - Seja o seguinte problema:Quantas vezes é preciso jogar (no mínimo) um dado de




Exercício 2 - Seja o seguinte problema:Quantas vezes é preciso jogar (no mínimo) um dado de


Resposta: Supondo que o resultado de 6 jogadas dos dados no

melhor cenário seja 1,2,3,4,5 e 6, para que um valor se repita, é só jogar o dado novamente. Logo é necessário jogar o dado 7 vezes.


Teorema Binomial (1)

O binômio de Newton permite escrever na forma canônica o polinômio correspondente à potência de um binômio. O nome é dado em homenagem ao físico e matemático

Isaac Newton. A expressão para o quadrado de um binômio é bastante

conhecida:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Esse é o caso particular de se elevar ao quadrado um binômio a uma potência inteira não negativa n.A fórmula genérica para (a + b)n envolve a combinação de

n elementos.Há um algoritmo simples para calcular os coeficientes

binomiais (obtidos na expansão do binômio).



O Triângulo de Pascal leva o esse nome devido ao matemático Blaise Pascal.A linha n do triângulo abaixo (n 0) consiste de todos os

valores de C(n,r), 0 r n. O triângulo tem então o seguinte formato:



Calculando-se os valores das combinações, tem-se o triângulo com os seguintes valores:

Observando atentamente o triângulo, constata-se que qualquer número que não esteja na borda pode ser obtido somando-se os dois elementos diretamente acima na linha anterior.



A observação anterior implica que C(n,k) = C(n - 1,k - 1) + C(n - 1,k), para 1 k n - 1.

Esta equação é conhecida como Fórmula de Pascal.



Pesquisa (vai cair na prova):Provar que

C(n,k) = C(n - 1,k - 1) + C(n - 1,k), para 1 k n - 1.

(1) (2)

Dica: partir de (2) e chegar em (1).



Demonstração Combinatória de C(n,k) = C(n - 1,k - 1) + C(n - 1,k), para 1 k n - 1.

Deseja-se calcular C(n,k), o número de maneiras de se escolher k objetos entre n objetos. Tais escolhas podem classificadas em duas categorias distintas: o objeto 1 é um dos k objetos ou não.

Se o objeto 1 for um dos k objetos, então os k - 1 objetos que faltam têm que ser escolhidos entre os n - 1 objetos, retirando-se o objeto 1, e existem C(n - 1,k - 1) escolhas possíveis.

Se o objeto 1 não é um dos k objetos, então todos os k objetos têm que ser escolhidos entre os outros n - 1 objetos e existem C(n - 1,k) escolhas possíveis.

O número total de escolhas é a soma das escolhas desses dois casos disjuntos.



Na expressão abaixo, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Os coeficientes da expansão 1, 2, e 1, representam a segunda linha do Triângulo de Pascal.

Calcular (a + b)3 e (a + b)4

(a + b)3 = (a +b)(a2 + 2ab + b2)

(a + b)4 = ?



Uma análise dos coeficientes nas expansões anteriores sugere um resultado geral, ou seja, que os coeficientes na expansão (a + b)n são os elementos na linha n no Triângulo de Pascal. Isso é formalizado no teorema abaixo.

Devido a seu uso no teorema binomial, a expressão C(n, r) também é chamada de coeficiente binomial.



Exemplo – Expandir (x -3)4



Exercício: Expandir (x - 3)5



Exercício: Expandir (x - 3)5

Resposta:?



Exercício: Expandir (x + y)6



Exercício: Expandir (x + y)6

Resposta:?

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