Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 6: Matrizes (3)

©Prof. Lineu MialaretAula 6 - 1/35Cálculo Numérico

Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret

Aula 6: Matrizes (3)

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP

Campus de Caraguatatuba

Licenciatura em Matemática

10 Semestre de 2013


Seja a matriz A e os seguintes vetores u e v apresentados como se segue.

E sejam as seguintes transformações operadas em A que resultam em:

Autovalores e Autovetores (1)


As transformações realizadas podem ser apresentadas graficamente, como apresentado a seguir.



Generalizando, tomando como foco as transformações lineares do tipo Ax = λx, com λ constante, têm-se transformações nas quais o vetor x tem seu tamanho expandido ou diminuído.



Exemplo 1: Seja a matriz A e o vetor x como apresentados a seguir.

Tem-se que a matriz Ax apresenta o seguinte formato:



Um autovetor para uma matriz A de ordem k é um vetor x, não nulo, tal que Ax = x, para algum escalar .

Um escalar é chamado de autovalor de uma matriz A se há uma solução não trivial x para a equação Ax = x.

Obs.:O escalar e a matriz x são chamados de autovalor e

autovetor associado; e Normalmente, os autovetores são dados num formato

padronizados e, tal que

em que



Considere a transformação Ax = λx, então tem-se que

Ax − λx = (A − λI)x = 0.A matriz quadrada A − λI é uma matriz singular e

pode-se resolver a equação matricial a seguir,

Ax − λIx = (A − λI)x = 0

para λ, usando-se o fato que o determinante de (A − λI) deve ser 0, ou seja, |A − λI| = 0.

Essa equação é conhecida como Equação ou Função Característica. Dessa forma, deve-se obter os valores de λ que são raízes da função característica.

Seja A uma matriz quadrada de ordem k, então existem k autovalores λ1, λ2, λ3, ..., λk que satisfazem a equação polinomial |Ax − λI| = 0. Assim sendo, existem k autovetores e1, e2, ..., ek associados.



Exemplo 2: Seja a matriz A apresentada a seguir.

Então tem-se que

E chega-se na seguinte equação polinomial



Tem-se o cálculo das seguintes raízes

Finalmente, os autovalores da matriz A são



Para o cálculo dos autovetores associados, deve-se calcular Autovetor e1 associado ao autovalor λ1 = 3

Tem-se que x11 = 0 e x12 pode ser qualquer valor, e será considerado igual a 1. O primeiro autovetor é x′1 = (0,1). Padronizando x1, tem-se



Autovetor e2 associado ao autovalor λ2 = 1

Tem-se que x21 = -2x22. Fazendo x22 = 1, então x21 fica igual a x21 = -2 e o segundo autovetor é x′2 = (-2,1). Padronizando o autovetor x2 , tem-se



Exercício 1: Calcular os autovalores e autovetores associados à matriz A apresentada a seguir.



Seja uma a matriz A simétrica de ordem k, então A pode escrita por


Têm-se os autovalores λi e

autovetores ei associados.

Decomposição Espectral (1)


Portanto,



Defina-se uma matriz ortogonal U cujas colunas consistem nos autovetores e1, e2 , ..., ek , e da mesma forma, definindo-se uma matriz ortogonal V, tal que V = U′, ou seja,

Defina-se ainda uma matriz Λ (lambda) formada

pelos autovalores λ1, ..., λk , ou seja,

Pode-se escrever que

ou



Para o caso de uma matriz de ordem 2, tem-se que

e

Assim, uma matriz A de ordem 2 pode ser representada por



Exemplo 4: Para o caso da matriz A, apresentada a seguir,

Têm-se as matrizes U e Λ apresentadas a seguir

e



Seja a matriz x′Ax. Como se tem apenas termos quadráticos x2

i e termos cruzados xixj, essa matriz recebe o nome de Forma Quadrática.

Se uma matriz simétrica A de ordem k é tal que

Então se diz que a matriz A é uma Matriz Definida Positiva.Se uma matriz A de ordem k é definida positiva, então seus

autovalores são todos positivos, ou seja,

Matriz Definida Positiva (1)


Exemplo 5: Seja a forma quadrática 6x12 + 4x1x2 + 3x2

2 , então

Sabendo-se que

Então a matriz A é definida positiva



Algumas propriedades:Se x′Ax ≥ 0, ∀x não nulo, então a matriz A é semi-definida

positiva;Se x′Ax < 0, ∀x não nulo, então a matriz A é definida

negativa; eSe x′Ax ≤ 0, ∀x não nulo, então a matriz A é semi-definida

negativa.

Casos Especiais:Matriz Inversa - a inversa de uma matriz simétrica A de

ordem k pode ser obtida fazendo-se

ou



Matriz Raiz Quadrada - a Matriz Raiz Quadrada de uma matriz A definida positiva de ordem k, é uma matriz tal que A1/2A1/2 = A, e pode ser obtida fazendo-se

ou

Em que a matriz Λ1/2 é dada por



Há outra relações que envolvem a matriz raiz quadrada:A−1/2 = (A−1/2 )−1 = UΛ −1/2 U′;A−1/2 A−1/2 = A−1.


Então tem-se (de exemplo anterior) que

e



Fazendo-se

Tem-se que



A matriz A1/2 é a matriz raiz quadrada de A, sendo que

Fazendo-se

Tem-se que



E assim,



Seja A uma matriz de valores m x k. Há uma matriz U de ordem m x n e uma matriz V de ordem k x k, ambas ortogonais, tais que

Em que a matriz Λ é uma matriz do seguinte tipo

Onde r = rank de A e a matriz D é uma matriz diagonal com os r valores singulares de A.

Pode-se entender a decomposição em valores singulares como uma expressão numa relação matricial que depende do rank da matriz.

Decomposição em Valores Singulares (1)


Dado que m > k, então existem r constantes positivas λ1, λ2 , ..., λr, r autovetores u1, u2, ..., ur de dimensão m x 1 e r autovetores v1,v2, ..., vr , de dimensão k x 1 tal que

Onde as matrizes definidas abaixo são ortogonais

E a matriz Λr é uma matriz diagonal do tipo



Neste cenário, λ1, λ2 , ..., λr e u1, u2, ..., ur são pares de autovalores e autovetores de AA′, obtidos de

Em que λ1 > λ2 > . . . > λr > 0, são valores estritamente positivos.

Os vetores vi, por sua vez, estão relacionados aos autovetores ui, i = 1, 2, ..., r, pela relação abaixo

Alternativamente, vi, i = 1, 2, ..., r, são autovetores associados aos mesmos autovalores positivos λ1 > λ2 > . . . > λr > 0 de A′A.



Desta forma, a decomposição em valores singulares pode ser escrita pela expressão a seguir,




Então tem-se AA′ é



Os autovalores de AA′ são

Os autovetores associados são

Os vetores v1 e v2 são obtidos como se segue



Dessa forma, a matriz A pode ser escrita como se segue,

Ou seja,



Bibliografia (1)

Referência Básica 1 GERSTING, J. L.

Fundamentos Matemáticos para Ciência da Computação. 5ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2004


Bibliografia (2)

Referência Básica 2 LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M.

Matemática Discreta. 2ª ed., São Paulo: Bookman, 2004.


Bibliografia (3)

Referência Básica 3 LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M.

Álgebra Linear. 4ª ed., São Paulo: Bookman, 2011.

Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 6: Matrizes (3)

Documents

Transcript of Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 6: Matrizes (3)