©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 1/22Matemática Discreta 2

Matemática Discreta 1 – MD 1 Prof. Lineu Mialaret

Aula 5: Combinatória (3)

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP

Campus de Caraguatatuba

Tecnólogo em Análise e Desenvolvimento de Sistemas

20 Semestre de 2013

©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 2/22Matemática Discreta 2

Princípio das Casas de Pombos (1)

Seja o seguinte problema:Quantas pessoas (no mínimo) têm que estar presentes em

uma sala para garantir que duas delas têm o último nome (sobrenome) começando com a mesma letra?

Ou este outro problema:Quantas vezes é preciso jogar (no mínimo) um dado de

modo a garantir que um mesmo valor apareça duas vezes?

©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 3/22Matemática Discreta 2

Princípio das Casas de Pombos (2)

O Princípio das Casas de Pombos (Pigeonhole Principle) surgiu a partir da seguinte idéia:Se mais de k pombos entram em k casas de pombos,

então pelo menos uma casa vai ter mais de um pombo.

Pode ser aplicado a muitos problemas (cenários).

©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 4/22Matemática Discreta 2

Princípio das Casas de Pombos (2)

Princípio generalizado:Se mais de k itens são colocados em k caixas, então pelo

menos uma caixa contém mais de um item.

Exemplos práticos de aplicação:Suponha que um departamento possui 13 professores.

Então dois dos professores nasceram no mesmo mês.

Suponha que um saco de lavanderia contém meias vermelhas, brancas e azuis. Então é necessário pegar apenas quatro meias para se ter certeza de obter um par com uma única cor.

©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 5/22Matemática Discreta 2

Princípio das Casas de Pombos (2)

Achar o menor número de elementos que devem ser escolhidos em um conjunto S = {1,2,3,...,9} para se ter certeza de que dois números somem 10.

Os conjuntos de dois números que somam 10 são {1,9}, {2,8}, {3,7}, {4,6}, {5,5}. Logo qualquer escolha de seis elementos de S garante que dois dos números somam 10.

©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 6/22Matemática Discreta 2

Princípio das Casas de Pombos (1)

Exercício 1 - Seja o seguinte problema:Quantas pessoas têm que estar presentes em uma sala

para garantir que duas delas têm o último nome (sobrenome) começando com a mesma letra?

©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 7/22Matemática Discreta 2

Princípio das Casas de Pombos (1)

Exercício 1 - Seja o seguinte problema:Quantas pessoas têm que estar presentes em uma sala

para garantir que duas delas têm o último nome (sobrenome) começando com a mesma letra?

Resposta:O alfabeto tem 26 letras. Se a sala tiver 27 pessoas, então

existem 27 letras iniciais (itens) para se colocar em 26 caixas, de modo que uma caixa vai conter mais de uma letra inicial do alfabeto.

©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 8/22Matemática Discreta 2

Princípio das Casas de Pombos (1)

Exercício 2 - Seja o seguinte problema:Quantas vezes é preciso jogar (no mínimo) um dado de

modo a garantir que um mesmo valor apareça duas vezes?

©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 9/22Matemática Discreta 2

Princípio das Casas de Pombos (1)

Exercício 2 - Seja o seguinte problema:Quantas vezes é preciso jogar (no mínimo) um dado de

modo a garantir que um mesmo valor apareça duas vezes?

Resposta: Supondo que o resultado de 6 jogadas dos dados no

melhor cenário seja 1,2,3,4,5 e 6, para que um valor se repita, é só jogar o dado novamente. Logo é necessário jogar o dado 7 vezes.

©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 10/22Matemática Discreta 2

Teorema Binomial (1)

O binômio de Newton permite escrever na forma canônica o polinômio correspondente à potência de um binômio. O nome é dado em homenagem ao físico e matemático

Isaac Newton. A expressão para o quadrado de um binômio é bastante

conhecida:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Esse é o caso particular de se elevar ao quadrado um binômio a uma potência inteira não negativa n.A fórmula genérica para (a + b)n envolve a combinação de

n elementos.Há um algoritmo simples para calcular os coeficientes

binomiais (obtidos na expansão do binômio).

©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 11/22Matemática Discreta 2

Teorema Binomial (2)

O Triângulo de Pascal leva o esse nome devido ao matemático Blaise Pascal.A linha n do triângulo abaixo (n 0) consiste de todos os

valores de C(n,r), 0 r n. O triângulo tem então o seguinte formato:

©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 12/22Matemática Discreta 2

Teorema Binomial (3)

Calculando-se os valores das combinações, tem-se o triângulo com os seguintes valores:

Observando atentamente o triângulo, constata-se que qualquer número que não esteja na borda pode ser obtido somando-se os dois elementos diretamente acima na linha anterior.

©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 13/22Matemática Discreta 2

Teorema Binomial (4)

A observação anterior implica que C(n,k) = C(n - 1,k - 1) + C(n - 1,k), para 1 k n - 1.

Esta equação é conhecida como Fórmula de Pascal.

©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 14/22Matemática Discreta 2

Teorema Binomial (5)

Pesquisa (vai cair na prova):Provar que

C(n,k) = C(n - 1,k - 1) + C(n - 1,k), para 1 k n - 1.

(1) (2)

Dica: partir de (2) e chegar em (1).

©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 15/22Matemática Discreta 2

Teorema Binomial (6)

Demonstração Combinatória de C(n,k) = C(n - 1,k - 1) + C(n - 1,k), para 1 k n - 1.

Deseja-se calcular C(n,k), o número de maneiras de se escolher k objetos entre n objetos. Tais escolhas podem classificadas em duas categorias distintas: o objeto 1 é um dos k objetos ou não.

Se o objeto 1 for um dos k objetos, então os k - 1 objetos que faltam têm que ser escolhidos entre os n - 1 objetos, retirando-se o objeto 1, e existem C(n - 1,k - 1) escolhas possíveis.

Se o objeto 1 não é um dos k objetos, então todos os k objetos têm que ser escolhidos entre os outros n - 1 objetos e existem C(n - 1,k) escolhas possíveis.

O número total de escolhas é a soma das escolhas desses dois casos disjuntos.

©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 16/22Matemática Discreta 2

Teorema Binomial (7)

Na expressão abaixo, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Os coeficientes da expansão 1, 2, e 1, representam a segunda linha do Triângulo de Pascal.

Calcular (a + b)3 e (a + b)4

(a + b)3 = (a +b)(a2 + 2ab + b2)

(a + b)4 = ?

©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 17/22Matemática Discreta 2

Teorema Binomial (8)

Uma análise dos coeficientes nas expansões anteriores sugere um resultado geral, ou seja, que os coeficientes na expansão (a + b)n são os elementos na linha n no Triângulo de Pascal. Isso é formalizado no teorema abaixo.

Devido a seu uso no teorema binomial, a expressão C(n, r) também é chamada de coeficiente binomial.

©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 18/22Matemática Discreta 2

Teorema Binomial (9)

Exemplo – Expandir (x -3)4

©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 19/22Matemática Discreta 2

Teorema Binomial (10)

Exercício: Expandir (x - 3)5

©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 20/22Matemática Discreta 2

Teorema Binomial (11)

Exercício: Expandir (x - 3)5

Resposta:?

©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 21/22Matemática Discreta 2

Teorema Binomial (12)

Exercício: Expandir (x + y)6

©Prof. Lineu MialaretAula 4 - 22/22Matemática Discreta 2

Teorema Binomial (13)

Exercício: Expandir (x + y)6

Resposta:?