Raiz quadrada exata de números inteiros

Matéria: MatemáticaProfessora: Mariane KrullTurma: 7º anoObs: Toda matéria desta apresentação encontra-se no capítulo 1 do livro.

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Quadrados perfeitos Os números quadrados perfeitos são os resultados de números elevados ao

quadrado, mais a frente veremos que um quadrado perfeito são números que possuem raiz quadrada exata.

Veja:

Importante: Os quadrados perfeitos são infinitos.2

Potenciação Cálculo Quadrado perfeito ( Resultado)

1² 1 x 1 1

2² 2x2 4

3² 3x3 9

4² 4x4 16

5² 5x5 25

6² 6x6 36

7² 7x7 49

... ... ...

Raiz quadrada de um número

Representação: É representada pelo seguinte símbolo:

Veja alguns exemplos da representação de raiz quadrada:a) Lê-se: raiz quadrada de 1.b) Lê-se: raiz quadrada de 9.c) Lê-se: raiz quadrada de 16.

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Cálculo de uma raiz quadradaSó é possível calcular a raiz quadrada exata de um número, quando este

número for um quadrado perfeito.

(Exemplo) Calcule a raiz quadrada dos casos abaixo:

Resolução:a) = 2, pois 2² = 2 x 2= 4 , Lê-se: raiz quadrada de quatro é igual a dois.

b) = 3, pois 3² = 3 x 3= 9 Lê-se: raiz quadrada de nove é igual a três.

c) = 4, pois 4²= 4 x 4= 16 Lê-se: raiz quadrada de dezesseis é igual a quatro.

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Cálculo de uma raiz quadradaContinuação:d) = 5, pois 5² = 5 x 5= 25 Lê-se: raiz quadrada de vinte e cinco é igual a cinco.

e) = 6, pois 6²= 6 x 6= 36 Lê-se: raiz quadrada de trinta e seis é igual a seis.

f) = 7, pois 7² = 7 x 7= 49 Lê-se: raiz quadrada de quarenta e nove é igual a sete.

g) = 8, pois 8² = 8 x 8= 64 Lê-se: raiz quadrada de sessenta e quatro é igual a oito.

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Termos de uma raiz quadrada Qualquer raiz quadrada é composta de termos, estes

termos recebem nomes. Observe:

Onde:• 2 é o índice ( não aparece, mas é 2);

• 9 é o radicando;

• é o radical;

• 3 é a raiz ( o resultado);

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Raiz quadrada não exata

Vimos que somente os quadrados perfeitos possuem raiz quadrada exata;

Veja alguns exemplos abaixo de números que não possuem raiz quadrada exata:

a)

b) c) d)

Você conhece outros números que não possuem raiz quadrada exata? Escreva 5 exemplos.

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Outras raízes

Além da raiz quadrada existem outros tipos de raízes. Veja:

a) Raiz cúbica de um número. Veja alguns exemplos abaixo: = 1 , pois 1x1x1= 1 = 2 , pois 2x2x2= 8 = 3 , pois 3x3x3= 27 = 4 , pois 4x4x4= 64

Obs: Devemos pensar em um número que multiplicado por ele mesmo 3 vezes dê um resultado igual ao radicando.

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Outras raízes

Lembrando que os termos de uma raiz recebem nomes:

3 é o índice;

27 é o radicando;

é o radical;

3 é a raiz ( o resultado);

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Outras raízesExemplos de outros tipos de raízes:

= 5, pois 5 x 5 x 5 x 5= 625 Lê-se: raiz quarta de seiscentos e vinte cinco é igual a cinco.

= 4, pois 4 x 4 x 4 x 4= 256Lê-se: raiz quarta de duzentos e cinquenta e seis é igual a quatro.

= 2, pois 2 x 2 x 2 x 2= 32Lê-se: raiz quinta de trinta e dois é igual a dois.

Obs: existem inúmeros outros tipos de raízes.

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IMPORTANTE:O foco do nosso estudo neste momento será somente a raiz

quadrada.

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Outras raízesExemplos de outros tipos de raízes:

= 5, pois 5 x 5 x 5 x 5= 625 Lê-se: raiz quarta de seiscentos e vinte cinco é igual a cinco.

= 4, pois 4 x 4 x 4 x 4= 256Lê-se: raiz quarta de duzentos e cinquenta e seis é igual a quatro.

= 2, pois 2 x 2 x 2 x 2= 32Lê-se: raiz quinta de trinta e dois é igual a dois.

Obs: existem inúmeros outros tipos de raízes.

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Exercícios13

Calculando a raiz quadrada de um número através da fatoração

Antes de aprendermos a calcular a raiz quadrada de um número por fatoração, precisamos relembrar alguns conceitos:

1) Números primos:

Um número primo é todo número que tem somente dois divisores: o 1 e ele mesmo.

Exemplos:a) O número 2 é primo? Sim, porque só conseguimos ter divisão do 2 por 1 e por ele mesmo;

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Relembrando números primosExemplos:b) O número 3 é primo? Sim, porque só conseguimos ter divisão do 3 por 1 e por ele mesmo;

c) O número 42 é primo? Não, pois temos divisão exata do 42 por vários números: pelo 1, 2, 3, 6, 7, 14 e 42.

Existem infinitos números primos. Porém, os mais utilizados são:2 , 3, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Observe abaixo a tabela com esses principais números primos:

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Relembrando fatoração

O que é fatoração?É transformar um número qualquer em um produto de números primos.

Exemplos:a) 36 = 2 . 2 . 3 . 3b) 15 = 3 . 5c) 8 = 2 . 2 . 2

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Relembrando fatoração

Como é feita a fatoração?Veja através do exemplo abaixo como fatorar um número qualquer. Lembre-se, é importante ter em mente os números primos.

(Exemplo 1) Fatore o número 16.

16 2 Quando dá, sempre começo dividindo por 2. 8 2 4 2 2 2 1

16 = 2 . 2 . 2. 2 17

Relembrando fatoração

(Exemplo 2) Fatore o número 15.

15 3 Não deu para começar por 2, tento pelo próximo número primo, que é 3. 5 5 1

15 = 3 . 5

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Relembrando fatoração

(Exemplo 3) Fatore o número 85.

85 5 Só deu para começar por 5.17 17 1

85 = 5 . 17

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Calculando raiz quadrada exata através da fatoração

A fatoração é utilizada como ferramenta no cálculo da raiz quadrada de um número qualquer, principalmente quando não sabemos “ de cabeça” a raiz quadrada desse número.

(Exemplo 1) Calcule a .1º Passo: Fatorar 400.

400 2200 2

100 2 50 2 25 5 5 5 1 20

Calculando raiz quadrada exata através da fatoração

Por estarmos calculando uma raiz quadrada, vamos agrupar os números primos iguais utilizados na fatoração de dois em dois. Veja:

400 2200 2

100 2 50 2 25 5 5 5 1 = = 2 . 2 . 5 = 20 Resposta

Obs.: Podemos tirar de dentro da raiz todos os números que estão elevados a 2.

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2²

2²

5²

Calculando raiz quadrada exata através da fatoração

(Exemplo 2) Calcule a .

144 2 72 2

36 2 18 2 9 3 3 3 1

= = 2 . 2 . 3 = 12 Resposta

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2²

2²

3²

Calculando raiz quadrada exata através da fatoração

(Exemplo 3) Calcule a .

3969 31323 3

441 3 147 3 49 7 7 7 1

= = 3 . 3 . 7= 63 Resposta

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3²

3²

7²

EXERCÍCIOS

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Raiz quadrada exata de um número inteiro

E como calculamos a raiz quadrada exata de números positivos e negativos?

1) Raiz quadrada exata de números positivos:Calcula-se da mesma forma que aprendemos até aqui.

Exemplos:

a) = + 2b) = + 3c) = + 10

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Raiz quadrada exata de um número inteiro

2) Raiz quadrada exata de números negativos:Simplesmente não existe. Dizemos então que é impossível em Z ( conjunto dos números inteiros)Exemplos:

a) = Impossível em Z.b) = Impossível em Z.c) = Impossível em Z.

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EXERCÍCIOS

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FIM !28