Resseguroquantitativo: preciﬁcação,retençõese...

ResseguroDivisão de risco

Formas de resseguroEfeito de resseguro

PrecificaçãoAvaliação de resseguro

Resseguro quantitativo: precificação, retenções etítulos de catástrofe

Florian Voigtländer

Allianz Versicherungs-AG, Munique

8CBA, Rio de Janeiro, 12 de agosto de 2010

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Resseguro

Definição:Resseguro é a transferência de uma parte dos riscos, assumidospor uma seguradora (primária), a um segundo carregador derisco que não se encontra numa relação direta com o segurado.

O segundo carregador de risco se chama resseguradora.A resseguradora recebe uma parte dos prêmios para os riscostransferidos para ela.

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Resseguro

Definição:Resseguro é a transferência de uma parte dos riscos, assumidospor uma seguradora (primária), a um segundo carregador derisco que não se encontra numa relação direta com o segurado.O segundo carregador de risco se chama resseguradora.

A resseguradora recebe uma parte dos prêmios para os riscostransferidos para ela.

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Resseguro

Definição:Resseguro é a transferência de uma parte dos riscos, assumidospor uma seguradora (primária), a um segundo carregador derisco que não se encontra numa relação direta com o segurado.O segundo carregador de risco se chama resseguradora.A resseguradora recebe uma parte dos prêmios para os riscostransferidos para ela.

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Divisão de risco

Seja Z = (Z1, ...,ZN) um vetor aleatório representando o sinistrooriginal da seguradora.

Uma família (rN)N∈N de funções mensuráveis rN : RN+ 7→ R+

tal que

rN(Z1, ...,ZN) ≤N∑

é chamada uma família de funções de retenção ou uma formade resseguro. Do ponto de vista da seguradora primária, adecomposição

N∑i=1

Zi = rN(Z1, ...,ZN) + tN(Z1, ...,ZN)

é uma divisão de risco,3 / 47

Divisão de risco

tN(Z1, ...,ZN) :=N∑

Zi − rN(Z1, ...,ZN)

é o sinistro cedido (transferido) para a resseguradora e

rN(Z1, ...,ZN)

o sinistro retido na própria carteira.

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Resseguro proporcionalResseguro não-proporcionalResseguro mistoTítulos de catástrofe (Cat Bonds)

Quota-parte (QS)

A divisão de risco implica automaticamente a divisão de sinistrose prêmios. Os prêmios originais são dividos da mesma forma pro-porcional como os sinistros menos uma comissão reembolsadapela resseguradora.

A seguradora retém de cada sinistro a mesma porcentagem q,chamada quota de retenção. O sinistro retido é

rQSq (Z ) := q · Z

e o sinistro cedido

tQSq (Z ) = Z − rQS

q (Z ) = (1− q) · Z .

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Quota-parte (QS)

A divisão de risco implica automaticamente a divisão de sinistrose prêmios. Os prêmios originais são dividos da mesma forma pro-porcional como os sinistros menos uma comissão reembolsadapela resseguradora.A seguradora retém de cada sinistro a mesma porcentagem q,chamada quota de retenção. O sinistro retido é

rQSq (Z ) := q · Z

e o sinistro cedido

tQSq (Z ) = Z − rQS

q (Z ) = (1− q) · Z .

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Excedente de responsabilidade (SPL)

A quota varía conforme a exposição de cada risco na carteira.Uma prioridade global m > 0 é determinado, chamado linhade retenção. Riscos com medida de exposição v > 0 (im-portância segurada, perda máxima provável) menor ou igual am permanecem na carteira da seguradora. Para os demais riscoscom v > m, sinistros e prémios são divididos entre a seguradorae a resseguradora proporcionalmente pelo percentual v−m

A quota de retenção do sinistro Z (v) dum risco com exposiçãov é

qv ,m = 1 ∧ mv

= min{1, mv}

e a quota de cessão é

1− qv ,m =(1− m

v −mv

1{v>m}.

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Excedente de responsabilidade (SPL)

A quota varía conforme a exposição de cada risco na carteira.Uma prioridade global m > 0 é determinado, chamado linhade retenção. Riscos com medida de exposição v > 0 (im-portância segurada, perda máxima provável) menor ou igual am permanecem na carteira da seguradora. Para os demais riscoscom v > m, sinistros e prémios são divididos entre a seguradorae a resseguradora proporcionalmente pelo percentual v−m

v .A quota de retenção do sinistro Z (v) dum risco com exposiçãov é

qv ,m = 1 ∧ mv

= min{1, mv}

e a quota de cessão é

1− qv ,m =(1− m

v −mv

1{v>m}.

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Excesso de danos por risco (XL)

Em caso de resseguro não-proporcional, a resseguradora tem quecalcular o prêmio para o sinistro cedido de maneira independentedo prêmio original.

A resseguradora assume uma parte de cada sinistro individual Xem excesso de um determinado limite d > 0, chamado dedutívelou prioridade, típicamente dentro de uma faixa limitada (d , d+c] com cobertura limitada c > 0 e a seguradora volta a pagarpara sinistros acima de d + c . Se c =∞, se fala de coberturailimitada. A notação para esse tipo de contrato é

c xs. d .

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Em caso de resseguro não-proporcional, a resseguradora tem quecalcular o prêmio para o sinistro cedido de maneira independentedo prêmio original.A resseguradora assume uma parte de cada sinistro individual Xem excesso de um determinado limite d > 0, chamado dedutívelou prioridade, típicamente dentro de uma faixa limitada (d , d+c] com cobertura limitada c > 0 e a seguradora volta a pagarpara sinistros acima de d + c . Se c =∞, se fala de coberturailimitada. A notação para esse tipo de contrato é

c xs. d .

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Formalmente, em caso de cobertura ilimitada, o sinistro retido é

rXLd ,∞(X ) := X ∧ d = min{X , d}

e o sinistro cedido

tXLd ,∞(X ) := X − X ∧ d = (X − d)+ = (X − d)1{X>d}.

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Em caso de cobertura ilimitada, pode decompor

X =(X ∧ d + (X − (d + c))+

)+ (X − d)+ ∧ c

de que segue a identidade de faixas limitadas para o sinistro cedido

tXLd ,c(X ) := (X − d)+ ∧ c = (X − d)+ − (X − (d + c))+.

A seguradora volta a pagar para sinistros acima de d+c e seu sinistroretido vira

rXLd ,c(X ) := X − tXL

d ,c(X ) =(X ∧ d + (X − (d + c))+

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Excesso de danos por ocorrência (CatXL)

Isto é uma cobertura XL por ocorrência onde a seguradoraretém uma prioridade de > 0 por evento 1 ≤ e ≤ n (terremoto,tempestade, sêca, granizo). O sinistro agregado original doevento e é

ZCate =

Ne∑i=1

onde Xi ,e é o i-ésimo sinistro individual do evento e e Ne seunúmero de sinistros.

O sinistro cedido de todos eventos com o vetor de prioridadesd = (d1, ..., dn) e coberturas c = (c1, ..., cn) é

ZCatXLd,c =

n∑e=1

tXLde ,ce

(ZCate ) =

n∑e=1

(ZCate − de)

+ ∧ ce .

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Excesso de danos por ocorrência (CatXL)

Isto é uma cobertura XL por ocorrência onde a seguradoraretém uma prioridade de > 0 por evento 1 ≤ e ≤ n (terremoto,tempestade, sêca, granizo). O sinistro agregado original doevento e é

ZCate =

Ne∑i=1

onde Xi ,e é o i-ésimo sinistro individual do evento e e Ne seunúmero de sinistros.O sinistro cedido de todos eventos com o vetor de prioridadesd = (d1, ..., dn) e coberturas c = (c1, ..., cn) é

ZCatXLd,c =

n∑e=1

tXLde ,ce

(ZCate ) =

n∑e=1

(ZCate − de)

+ ∧ ce .

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Excesso de danos agregado (SL)

Se trata de um contrato XL coletivo aplicado ao sinistro agregadoanual Z =

∑Ni=1 Xi da seguradora onde Xi é o i-ésimo sinistro in-

dividual e N o número de sinistros num determinado período. Osinistro cedido é

tSLD,C (Z ) =

Xi − D

com prioridade agregada anual D > 0 e cobertura agregadaanual C > 0.

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Resseguro misto

Se trata de uma composição de várias funções de retenção, i.e. essascombinações são da forma

r(Z ) = (r (k) ◦ r (k−1) ◦ ... ◦ r (1))(Z )

para funções de retenção r (i) : RNi+ → R+, 1 ≤ i ≤ k . Existem com-

binações com funções proporcionais, com não-proporcionais ou umamistura de funções proporcionais com funções não-proporcionais:

Quota-parte com excedente de responsabilidade (SPL-QS)Por-quota com excesso de danos agregado (SL-QS)Quota-parte com excesso de danos (XL-QS)Excesso de danos após excedente de responsabilidade (SPL-XL)Excesso de danos agregado após excesso de danos por risco(SL-XL)

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Zero coupon bond com recuperação parcial

O tempo de parada τD é o instante quando o processo quedescreve o fluxo catastrófico, faz o primeiro salto que resultanum sinistro agregado acima da prioridade D > 0, i.e.

τD := inf{t > 0 :

N(t)∑i=1

Xi > D}.

Pode considerar também o processo indicador (MD(t))t∈R+ comvalores em {0, 1} definido por

MD(t) := 1{∑N(t)i=1 Xi>D} = 1{τD≤t}

com E[MD(t)] = F∑N(t)i=1 Xi

(D) = P(τD ≤ t) e vale

1{τD>t} = 1−MD(t).

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O tempo de parada τD é o instante quando o processo quedescreve o fluxo catastrófico, faz o primeiro salto que resultanum sinistro agregado acima da prioridade D > 0, i.e.

τD := inf{t > 0 :

N(t)∑i=1

Xi > D}.

Pode considerar também o processo indicador (MD(t))t∈R+ comvalores em {0, 1} definido por

MD(t) := 1{∑N(t)i=1 Xi>D} = 1{τD≤t}

com E[MD(t)] = F∑N(t)i=1 Xi

(D) = P(τD ≤ t) e vale

1{τD>t} = 1−MD(t).

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O comprador do título recebe no final do contrato em t = To valor nominal completo, se até a maturidade nenhum eventocatastrófico ocorreu. Se um evento catastrófico ocorreu e atéT a prioridade agregada D é transgredida, o investidor apenasrecebe o valor parcial q ·V0 do valor nominal com q ∈ [0, 1] e aseguradora pode usar o valor (1 − q) · V0 retido para pagar ossinistros que resultam do evento catastrófico.

O fluxo de caixa em t = T com recuperação q · V é dado por

VD(T ) = V01{τD>T} + q · V01{τD≤T} = V0(1+ (q − 1)MD(T ))

onde V0 é o valor nominal.

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O comprador do título recebe no final do contrato em t = To valor nominal completo, se até a maturidade nenhum eventocatastrófico ocorreu. Se um evento catastrófico ocorreu e atéT a prioridade agregada D é transgredida, o investidor apenasrecebe o valor parcial q ·V0 do valor nominal com q ∈ [0, 1] e aseguradora pode usar o valor (1 − q) · V0 retido para pagar ossinistros que resultam do evento catastrófico.O fluxo de caixa em t = T com recuperação q · V é dado por

VD(T ) = V01{τD>T} + q · V01{τD≤T} = V0(1+ (q − 1)MD(T ))

onde V0 é o valor nominal.

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Número de excessosSeveridadeExcessoExtrapolação de frequênciaCurva de exposição

Distribuição induzida

Seja {N(t)t∈R+ , (Xn)n∈N} um modelo coletivo da seguradora. Onúmero do sinistro cedido é dado por

Nd =N∑

1{Xi>d}.

A distribuição de Nd é

pNd (n) =∑k∈N

X (d)Fn−kX (d)pN(k)

onde pN(k) = P(N = k).

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Seja {N(t)t∈R+ , (Xn)n∈N} um modelo coletivo da seguradora. Onúmero do sinistro cedido é dado por

Nd =N∑

1{Xi>d}.

A distribuição de Nd é

pNd (n) =∑k∈N

X (d)Fn−kX (d)pN(k)

onde pN(k) = P(N = k).

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A função geratriz de probabilidade de Nd é

gNd (ξ) = E[ξNd ] = gN(FX (d)ξ + FX (d)).

O valor esperado de Nd

λd := E[Nd ] = FX (d)E[N].

é chamado frequência de excessos com E[Nd ] < E[N].Nd é um p-emagrecimento de N com p = FX (d).

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λd := E[Nd ] = FX (d)E[N].

é chamado frequência de excessos com E[Nd ] < E[N].

Nd é um p-emagrecimento de N com p = FX (d).

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λd := E[Nd ] = FX (d)E[N].

é chamado frequência de excessos com E[Nd ] < E[N].Nd é um p-emagrecimento de N com p = FX (d).

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Estabilidade distribucional

1. Se N ∼ Poisλ com λ > 0, então

Nd ∼ Poisλd

onde λd = FX (d)λ.3. Se N = NegBinα,β com α > 0 e β > 0, então

Nd ∼ NegBinα,βd

onde βd = βFX (d)1−β+βFX (d)

3. Se N ∼ Binn,φ com n ≥ 1 e φ ∈ (0, 1), então

Nd ∼ Binn,φd

onde φd = FX (d)φ.17 / 47

Distribuições induzidas

A distribuição do sinistro retido sob resseguro excesso de danos

L(0,d ][Z ] := Z ∧ d = min{Z , d}

é dada pela mistura

FL(0,d ][Z ](z) = FZ (z)1{Z<d} + 1{z≥d}.

Em particular, L(0,d ][Z ] não é contínuo, independente do sin-istro original Z , com átomo em d > 0 tal que P(L(0,d ][Z ] =

d) = FZ (d). Seu valor esperado

LEVZ (d) := E[L(0,d ][Z ]] =

0FZ (z)dz

é chamado valor esperado limitado.18 / 47

Distribuições induzidas

A distribuição do sinistro cedido sob resseguro excesso de danos

L(d ,∞)[Z ] := (Z − d)+ = (Z − d)1{Z>d}

é a mistura

FL(d,∞)[Z](z) = FZ(d)1{z=0} + FZ(z+ d)1{z>0}.

Em particular, L(d ,∞)[Z ] não é contínuo, independente do sin-istro original Z , com átomo em zero tal que P(L(d ,∞)[Z ] =0) = FZ (d). Seu valor esperado

SLTZ (d) := E[L(d ,∞)[Z ]] =

∫ ∞d

FZ (z)dz

é chamado transformada stop-loss.19 / 47

Distribuição de excessos

Omodelo coletivo {(N(t))t∈R+ , (E(d ,∞)[Zn])n∈N} tem a desvantagempara a resseguradora que ela típicamente não pode observar o pro-cesso original N. Por isso é melhor considerar o sinistro observávelpela resseguradora, o excesso da prioridade d > 0 dado por

E(d ,∞)[Z ] := Z − d |Z > d

que é o indenização na faixa ilimitada (d ,∞). Vale

E(d ,∞)[Z ] = L(d ,∞)[Z ]|(L(d ,∞)[Z ] > 0)

e sua distribuição é

Fd (z) := FE(d,∞)[Z ](z) =FZ (d + z)− FZ (d)

FZ (d).

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Excesso médio

O par {(Nd (t))t∈R+ , (E(d ,∞)[Zn])n∈N} é um modelo coletivo talque

N(t)∑i=1

L(d ,∞)[Zi ] =

Nd (t)∑j=1

E(d ,∞)[Zj ].

O valor esperado

MEZ (d) := E[E(d ,∞)[Z ]] =SLTZ (d)FZ (d)

FZ (d)

∫ ∞d

FZ (z)dz

é chamado excesso médio.

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Excesso médio

O par {(Nd (t))t∈R+ , (E(d ,∞)[Zn])n∈N} é um modelo coletivo talque

N(t)∑i=1

L(d ,∞)[Zi ] =

Nd (t)∑j=1

E(d ,∞)[Zj ].

O valor esperado

MEZ (d) := E[E(d ,∞)[Z ]] =SLTZ (d)FZ (d)

FZ (d)

∫ ∞d

FZ (z)dz

é chamado excesso médio.

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Excesso médio

Vale a relação

SLTZ (d) = FZ (d)MEZ (d).

Se FZ (0) = 1 e FZ é contínua, vale

FZ (d) =MEZ (0)MEZ (d)

(−∫ d

dzMEZ (z)

Se FZ é contínua e

limd→∞

MEZ (d) =∞

segue que a distribuição FZ possui uma "cauda pesada".

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Excesso médio

Vale a relação

(−∫ d

dzMEZ (z)

limd→∞

MEZ (d) =∞

segue que a distribuição FZ possui uma "cauda pesada".

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Excesso médio

Vale a relação

(−∫ d

dzMEZ (z)

limd→∞

MEZ (d) =∞

segue que a distribuição FZ possui uma "cauda pesada".22 / 47

Modelo de Pareto

Teorema de Pickands-Balkema-deHaan: Se FZ é de suporteinfinito, existe um ξ ∈ R e uma função β : R+ → R+ tal que

limd→∞

supz≥0|Fd (z)− GPξ,β(d)(z)| = 0

sse FZ pertence ao domínio de atração de uma distribuição devalor extremo onde

GPξ,β(z) :=

{1− (1+ ξ

β z)−1ξ se ξ 6= 0

1− exp(− zβ ) se ξ = 0

é a distribuição de Pareto generalizada.

Sob as condições acima é justificado de supor que para uma pri-oridade suficientemente alta, a distribuição de excessos é aprox-imadamente Pareto generalizada.

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Modelo de Pareto

Modelo de Pareto (generalizado): Se fala do modelo dePareto (generalizado) se para cada z ≥ 0

Fz0(z) = GPξ,β(z)

para um ponto de observação z0 > 0 suficientemente alto.

Estabilidade distribucional: Sob o modelo de Pareto componto de observação z0 > 0, a distribuição de excessos sobretoda prioridade d > z0 é Pareto generalizada, i.e. para todoz ≥ 0,

Fd (z) = GPξ,βd (z)

βd := β + (d − z0)ξ > 0.

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Modelo de Pareto

Modelo de Pareto (generalizado): Se fala do modelo dePareto (generalizado) se para cada z ≥ 0

Fz0(z) = GPξ,β(z)

para um ponto de observação z0 > 0 suficientemente alto.Estabilidade distribucional: Sob o modelo de Pareto componto de observação z0 > 0, a distribuição de excessos sobretoda prioridade d > z0 é Pareto generalizada, i.e. para todoz ≥ 0,

Fd (z) = GPξ,βd (z)

βd := β + (d − z0)ξ > 0.

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Extrapolação de frequência

Seja d > x0 > 0 onde x0 é o ponto de observação com experiênciasuficiente. Então

Nx0 =N∑

1{Xi>x0}

é o número de excessos de x0. O número de excessos de d > x0 é

Nd =N∑

1{Xi>d} =

Nx0∑i=1

1{Xi>d |X>x0}

com valor esperado

E[Nd ] = E[Nx0 ]P(X > d |X > x0).

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Para o fator

ϕx0(d) :=E[Nd ]

E[Nx0 ]

ϕx0(d) = P(X > d |X > x0) =FX (d)FX (x0)

= F x0(d − x0)

onde Fx0 é a distribuição de excessos. Disso segue a fórmula deextrapolação de frequência

E[Nd ] = ϕx0(d) · E[Nx0 ] = F x0(d − x0) · E[Nx0 ].

Sob o modelo de Pareto generalizado com ξ > 0,

ϕx0(d) = GPξ,β(d − x0) =

(1+ (d − x0)

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O essencial dessa fórmula é que para obter um estimador donúmero de excessos de d , basta conhecer o número de excessosde x0 e os parâmetros ξ e β ao respeito de E(x0,∞)[X ] e não deE(d ,∞)[X ] onde possívelmente não existe um número suficientede observações ou até experiência nenhuma.

Se existe um estimador λ̂x0 da frequéncia dos sinistros de x0 eestimadores ξ̂ e β̂ baseados nas observações dos sinistros acimade x0, a fórmula sugere um estimador empírico λ̂d para a fre-quência de sinistros acima de d

λ̂d =

(1+ (d − x0)

) 1ξ̂

λ̂x0 .

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O essencial dessa fórmula é que para obter um estimador donúmero de excessos de d , basta conhecer o número de excessosde x0 e os parâmetros ξ e β ao respeito de E(x0,∞)[X ] e não deE(d ,∞)[X ] onde possívelmente não existe um número suficientede observações ou até experiência nenhuma.Se existe um estimador λ̂x0 da frequéncia dos sinistros de x0 eestimadores ξ̂ e β̂ baseados nas observações dos sinistros acimade x0, a fórmula sugere um estimador empírico λ̂d para a fre-quência de sinistros acima de d

λ̂d =

(1+ (d − x0)

) 1ξ̂

λ̂x0 .

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Curva de exposição

A função

EZ (d) :=LEVZ (d)E[Z ]

0FZ (z)dz

é chamada curva de exposição.

EZ (d) é a porcentagem do sinistro retido esperado no sinistrooriginal esperado com prioridade d > 0.EZ (d) é uma função de distribuição com cauda

EZ (d) = 1− EZ (d) =SLTZ (d)E[Z ]

∫ ∞d

FZ (z)dz .

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A função

0FZ (z)dz

é chamada curva de exposição.EZ (d) é a porcentagem do sinistro retido esperado no sinistrooriginal esperado com prioridade d > 0.

EZ (d) é uma função de distribuição com cauda

EZ (d) = 1− EZ (d) =SLTZ (d)E[Z ]

∫ ∞d

FZ (z)dz .

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A função

0FZ (z)dz

é chamada curva de exposição.EZ (d) é a porcentagem do sinistro retido esperado no sinistrooriginal esperado com prioridade d > 0.EZ (d) é uma função de distribuição com cauda

EZ (d) = 1− EZ (d) =SLTZ (d)E[Z ]

∫ ∞d

FZ (z)dz .

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Vale a relação

FZ (d) =E ′Z (d)E ′Z (0)

Apesar disso, propriedades específicas como a de subexponen-cialidade de FZ em geral não são herdadas por EZ sem condiçõesadicionais.

Em caso de cobertura ilimitada vale

E[L(d ,∞)(Z )] = SLTZ (d) = EZ (d)E[Z ]

e em caso de cobertura limitado por c > 0,

E[L(d ,d+c](Z )] = (EZ (d + c)− EZ (d))E[Z ].

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Vale a relação

FZ (d) =E ′Z (d)E ′Z (0)

Apesar disso, propriedades específicas como a de subexponen-cialidade de FZ em geral não são herdadas por EZ sem condiçõesadicionais.Em caso de cobertura ilimitada vale

E[L(d ,∞)(Z )] = SLTZ (d) = EZ (d)E[Z ]

e em caso de cobertura limitado por c > 0,

E[L(d ,d+c](Z )] = (EZ (d + c)− EZ (d))E[Z ].

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Precificação por exposiçãoCarregamento de segurançaPrincípios de prêmiosPrêmio econômico

Precificação por exposição

A história de várias companhias é agregada em segmentos diferentes:

1. Os segmentos deveriam ser suficientemente homogênios tal quea companhia individual não seja muito diferente do seu seg-mento industrial. Por outro lado, os segmentos deveriam sersuficientemente grandes para garantir estabilidade.

2. Para determinar o prêmio dum contrato de uma companhia par-ticular o segmento integral da indústria ao qual a companhiapertence é considerado. Na base dessa exposição, o prêmio écalculado.

3. A vantagem é que fornecemos de mais informação do passado eassim a incerteza em faixas altas é menor do que na precificaçãopor experiência.

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4. A desvantagem é que não descrevemos a companhia específicapara a qual queremos calcular o prêmio, mas o segmento com-pleto da indústria. Possívelmente existem fatores individuais dacompanhia que não são refletidos no resto dos membros do seg-mento. Assim temos incerteza constante em cada faixa. Istoimplica que em faixas baixas, a incerteza na precificação porexposição é maior do que na precificação por experiência.

5. Dependendo do ramo de seguro, existem métodos diferentes:

Danos materiais e incêndio: curvas de exposição (analíticas(MBBEFD) ou empíricas)Responsabilidade civil: curvas ILF (fator de limite aumentado)Riscos naturais: modelos geofísicos

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LR[Z ] :=Z

é a sinistralidade de Z segue a relação

E[L(d ,d+c][Z ]] = (EZ (d + c)− EZ (d)) · E[LR[Z ]] · P[Z ].

O prêmio original P[Z ] é determinado prospectivamente no iní-cio do período segurado, enquanto o sinistro Z é realizado futu-ramente. Se LR0[Z ] é a realização de LR[Z ] no fim do períodoanterior (ou uma outra estimativa melhor), o prêmio de ex-posição com cobertura limitada é

P[L(d ,d+c][Z ]] := (EZ (d + c)− EZ (d)) · LR0[Z ] · P[Z ].

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LR[Z ] :=Z

é a sinistralidade de Z segue a relação

E[L(d ,d+c][Z ]] = (EZ (d + c)− EZ (d)) · E[LR[Z ]] · P[Z ].

O prêmio original P[Z ] é determinado prospectivamente no iní-cio do período segurado, enquanto o sinistro Z é realizado futu-ramente. Se LR0[Z ] é a realização de LR[Z ] no fim do períodoanterior (ou uma outra estimativa melhor), o prêmio de ex-posição com cobertura limitada é

P[L(d ,d+c][Z ]] := (EZ (d + c)− EZ (d)) · LR0[Z ] · P[Z ].

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Carregamento de segurança

Suponha que não exista risco de modelo e apenas risco de processoe de parâmetros. Para incorporar esses tipos de risco, é naturalconsiderar o carregamento de segurança

SL[Z ] := P[Z ]− E[Z ] > 0

o que representa a diferença entre o prêmio pago P[Z ] e o valoresperado (princípio de equivalência), assim,

P[Z ] = E[Z ] + SL[Z ].

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Princípios de prêmios

O prêmio puro é

Pθ[Z ] := E[Z ] + θ · E[Z ]

com fator de carregamento de segurança θ > 0.

O princípio de desvio-padrão

Pα[Z ] := E[Z ] + α√Var [Z ]

com fator de carregamento de segurança α > 0.

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Princípios de prêmios

O prêmio puro é

Pθ[Z ] := E[Z ] + θ · E[Z ]

com fator de carregamento de segurança θ > 0.O princípio de desvio-padrão

Pα[Z ] := E[Z ] + α√Var [Z ]

com fator de carregamento de segurança α > 0.

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Transformada de Esscher

O princípio de Esscher define o prêmio como

Pκ[Z ] := EQκ [Z ] =E[ZeκZ ]mZ (κ)

com κ > 0 tal que os valores esperados sejam finitas. Se Zé contínuo com densidade fZ , isto é o valor esperado sob umamedida equivalente Qκ com distribuição

FQκZ (z) :=1

mZ (κ)

0eκx fZ (x)dx

chamada transformada de Esscher da distribuição FZ .

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O carregamento de segurança é explícitamente dado por

SLκ[Z ] = EQκ [Z ]− E[Z ] =Cov [Z , eκZ ]E[eκZ ]

Para a função geratriz de momentos vale a relação

mQκZ (ξ) =mZ (ξ + κ)

mZ (κ).

Em particular, para o modelo coletivo (Poisson-composto) comZ =

∑Ni=1 Xi com N ∼ Poisλ e X ∼ FX tal que mX (ξ) < ∞

mQκZ (ξ) = exp(λ ·mX (κ)

(mX (ξ + κ)

mX (κ)− 1))

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O carregamento de segurança é explícitamente dado por

SLκ[Z ] = EQκ [Z ]− E[Z ] =Cov [Z , eκZ ]E[eκZ ]

Para a função geratriz de momentos vale a relação

mQκZ (ξ) =mZ (ξ + κ)

mZ (κ).

Em particular, para o modelo coletivo (Poisson-composto) comZ =

∑Ni=1 Xi com N ∼ Poisλ e X ∼ FX tal que mX (ξ) < ∞

mQκZ (ξ) = exp(λ ·mX (κ)

(mX (ξ + κ)

mX (κ)− 1))

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Estabilidade distribucional: Segue que sob a transformada deEsscher, N ∼Qκ PoisλQκ e X ∼Qκ FQκX com frequência

λQκ = λ ·mX (κ) > λ

e sinistro individual médio

EQκ [X ] =E[XeκX ]mX (κ)

> E[X ].

Princípio de equivalência sob Qκ: O processo

M(t) := Z (t)− P[Z (t)]

é um Qκ-martingal se

EQκ [Z (t)] = P[Z (t)] = E[Z (t)] + SL[Z (t)].

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Estabilidade distribucional: Segue que sob a transformada deEsscher, N ∼Qκ PoisλQκ e X ∼Qκ FQκX com frequência

λQκ = λ ·mX (κ) > λ

e sinistro individual médio

EQκ [X ] =E[XeκX ]mX (κ)

> E[X ].

Princípio de equivalência sob Qκ: O processo

M(t) := Z (t)− P[Z (t)]

é um Qκ-martingal se

EQκ [Z (t)] = P[Z (t)] = E[Z (t)] + SL[Z (t)].

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O prêmio dum zero coupon bond com recuperação parcial soba transformada de Esscher como medida de precificação nummercado incompleto com taxa de juros determinística em tempot = 0 com maturidade T é

PCaT0,T := e−rTEQκ [VD(T )] = e−rTV0

(1+ (q − 1)FQκZ(T )

A transformada de Esscher minimiza a entropia a respeito damedida física P.

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O prêmio dum zero coupon bond com recuperação parcial soba transformada de Esscher como medida de precificação nummercado incompleto com taxa de juros determinística em tempot = 0 com maturidade T é

PCaT0,T := e−rTEQκ [VD(T )] = e−rTV0

(1+ (q − 1)FQκZ(T )

A transformada de Esscher minimiza a entropia a respeito damedida física P.

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Medidas de risco

Valor em rsico:

ρα[Z ] := VaRα[Z ] := F←Z (α)

Valor em rsico da cauda:

ρα[Z ] := E[Z |Z > VaRα[Z ]] = VaRα[Z ] + MEZ (VaRα[Z ])

Se Z é contínuo,

ρα[Z ] = Eα[Z ] :=1

1− α

αVaRx [Z ]dx

e vale a subaditividade (diversificação positiva)

Dρα [Z1, ...,Zn] :=n∑

Eα[Zi ]− Eα[n∑

Zi ] ≥ 0.

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Medidas de risco

Valor em rsico:

ρα[Z ] := VaRα[Z ] := F←Z (α)

Valor em rsico da cauda:

ρα[Z ] := E[Z |Z > VaRα[Z ]] = VaRα[Z ] + MEZ (VaRα[Z ])

Se Z é contínuo,

ρα[Z ] = Eα[Z ] :=1

1− α

αVaRx [Z ]dx

e vale a subaditividade (diversificação positiva)

Dρα [Z1, ...,Zn] :=n∑

Eα[Zi ]− Eα[n∑

Zi ] ≥ 0.

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Alocação de capital de risco

Sejam Z1, ...,Zn sub-coletivos de sinistros e Z =∑n

i=1 Zi o sinistroagregado com diversificação Dρ[Z1, ...,Zn] ≥ 0.

Covariança proporcional:

ρ[Zi |Z ] :=Cov [Zi ,Z ]

Var [Z ]· ρ[Z ]

Co-TVaR:

ρα[Zi |Z ] := E[Zi |Z > VaRα[Z ]]

Esscher:

ρκ[Zi |Z ] :=Cov [Zi , eκZ ]E[eκZ ]

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Var [Z ]· ρ[Z ]

Co-TVaR:

Esscher:

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Var [Z ]· ρ[Z ]

Co-TVaR:

Esscher:

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Var [Z ]· ρ[Z ]

Co-TVaR:

Esscher:

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RAC, RoRAC, EVA e CoC

O capital de risco ajustado de Z é definido por

RAC [Z ] := ρ[Z ]− P[Z ]

onde ρ é uma medida de risco.

RoRAC [Z ] :=P[Z ]− ZRAC [Z ]

=P[Z ]− Zρ[Z ]− P[Z ]

o renda do capital de risco ajustado.O valor econômico adicionado é definido por (de maneirasimplificada)

EVA[Z ] := (P[Z ]− Z )− λ · RAC [Z ] = (P[Z ]− Z )− CoC [Z ]

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RAC [Z ] := ρ[Z ]− P[Z ]

onde ρ é uma medida de risco.Seja

=P[Z ]− Zρ[Z ]− P[Z ]

o renda do capital de risco ajustado.

O valor econômico adicionado é definido por (de maneirasimplificada)

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RAC [Z ] := ρ[Z ]− P[Z ]

onde ρ é uma medida de risco.Seja

=P[Z ]− Zρ[Z ]− P[Z ]

o renda do capital de risco ajustado.O valor econômico adicionado é definido por (de maneirasimplificada)

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CoC [Z ] := λ · RAC [Z ]

é o custo de capital e

λ = r + s

é a renda exigida sobre o capital de risco com r > 0 a taxa de jurossem risco e s > 0 a sobretaxa (compensação) para a possível perdado capital. Assim

E[RoRAC [Z ]] =P[Z ]− E[Z ]

ρ[Z ]− P[Z ]=E[EVA[Z ]]

RAC [Z ]+ λ.

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Da condição

E[RoRAC [Z ]] ≥ λ resp. E[EVA[Z ]] ≥ 0

segue a equação implícita para o prêmio mínimo

P[Z ] = E[Z ] + λ · RAC [Z ] = E[Z ] + λ · (ρ[Z ]− P[Z ]).

Disso segue o prêmio econômico

P[Z ] = E[Z ] +λ

λ+ 1(ρ[Z ]− E[Z ])

o que corresponde a um princípio de prêmios com carregamento es-pecificado em termos econômicos. Esse princípio pode ser general-izado para o caso de diversificação.

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EVABrut [Z ] := (P[Z ]− Z )− λ · RAC [Z ]

é o valor econômico adicionado antes de resseguro e

EVALiq[Z ] := ((P[Z ]− P[t(Z )])− r(Z ))− λ · RAC [r(Z )]

o valor econômico adicionado após resseguro,

RIEVA[Z ] := EVALiq[Z ]− EVABrut [Z ]

é o valor econômico adicionado por resseguro.

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E[RIEVA[Z ]] = λ · (RAC [Z ]− RAC [r(Z )])− SL[t(Z )]

SL[t(Z )] = P[t(Z )]− E[t(Z )] > 0

é o carregamento de segurança do prêmio de resseguro, dado pelomercado, representando o custo de resseguro para a seguradora.Pela preservação de ordem de riscos de ρ vale RAC [Z ] > RAC [r(Z )]e assim

λ · (RAC [Z ]− RAC [r(Z )]) > 0

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que é o custo marginal do capital de risco, i.e. a redução docapital de risco por resseguro multiplicado pela renda exigida sobre ocapital de risco. Se o custo de resseguro é menor que o custo marginaldo capital de risco, resseguro cria um valor econômico adicionadopositivo, ou seja, o contrato de resseguro tem que cumprir a condição

E[RIEVA[Z ]] > 0

para gerar valor econômico para a seguradora.

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OBRIGADO PELA ATENÇÃO!

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Resseguroquantitativo: preciﬁcação,retençõese...

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