Post on 05-Dec-2014
Capítulo 1 – Conjuntos
IMPLICAÇÃO LÓGICA INCLUSÃO ENTRE CONJUNTOS
significa
Exemplo:
significa
Seja o Conjunto Universo.
i) (Princípio do Terceiro Excluído)
ii) (Princípio da Não-Contradição)
iii)
Se então:
i) (reflexibilidade)
ii) Se e então (anti-simetria)
iii) Se e então (transitividade)
Contra-positiva
Exemplo de Contra-positiva:
se é um múltiplo de 4 então é par se não é par então não é múltiplo de 4
Resolver uma equação é utilizar uma sequência de implicações lógicas.
Operações de reunião e intersecção entre conjuntos
Comutativa
e
Associativa
e
Distributiva
e
e
e
Capítulo 2 – Números Naturais
Axiomas de Peano
i) Todo número natural tem um único sucessor;
ii) Dois números com o mesmo sucessor são iguais;
iii) Existe um único número natural (chamado um) que não é sucessor de nenhum outro;
iv) Se e tal que e então (Axioma da Indução)
Adição e Multiplicação
Entre os números naturais estão definidas duas operações fundamentais: a adição, que aos números faz
corresponder a soma e a multiplicação, que lhes associa o produto .
A soma é o número natural que se obtém a partir de aplicando-se vezes seguidas a operação de tomar um
sucessor. Quanto ao produto, põe-se por definição e, quando , é a soma de parcelas iguais a .
Adição
: sucessor de
Esta última igualdade diz que se sabemos somar a todos os números naturais , sabemos também somar : a
soma é simplesmente o sucessor de . O axioma da indução garante que a soma está
definida para qualquer .
Multiplicação
Multiplicar um número por não o altera. E se sabemos multiplicar todos os números naturais por , sabemos
também multiplicá-los por : basta tomar . Por indução, sabemos multiplicar todo por qualquer
.
Ordem entre os números naturais
Dados dizemos que é menor que , para significar que existe algum tal que .
Se então:
i) se e então (transitividade);
ii) , vale uma, e somente uma, das alternativas:
, ou (tricotomia)
iii) se então, para qualquer , tem-se e
Princípio da Boa Ordenação
“Todo subconjunto não vazio possui um menor elemento”.
Isto significa que existe um elemento que é menor do que todos os demais elementos de .
Capítulo 3 – Números Cardinais
Função Injetiva
Uma função chama-se injetiva quando elementos diferentes em são transformados por em elementos
diferentes em , ou seja, é injetiva, quando
ou (contrapositiva)
Função Sobrejetiva
Diz-se que uma função é sobrejetiva quando, para qualquer elemento , pode-se encontrar (pelo
menos) um elemento tal que .
Função Bijetiva
Uma função chama-se bijeção, ou uma correspondência biunívoca entre e quando é ao mesmo tempo
injetiva e sobrejetiva.
Correspondência Biunívoca
Diz-se que dois conjuntos e têm o mesmo número cardinal quando se pode definir uma correspondência
biunívoca .
Conjuntos Finitos
Dado , indiquemos com a notação o conjunto dos números naturais de até . Assim, ,
, e, mais geralmente, um número natural pertencente a se, e somente se, .
Seja um conjunto. Diz-se que é finito, e que tem elementos quando se pode estabelecer uma
correspondência biunívoca . O número chama-se então número cardinal . Para todo , o conjunto é finito e
seu cardinal é . Diz-se que um conjunto é infinito quando ele não e finito.
i) O número de elementos de um conjunto finito é o mesmo, seja qual for a contagem que se adote;
ii) Todo subconjunto de um conjunto finito é . Tem-se somente quando ;
iii) Se e são finitos então é finito e tem-se ;
iv) Sejam , conjuntos finitos. Se , nenhuma função é injetiva e nenhuma função é
sobrejetiva (Princípio da Casa dos Pombos ou Princípio das Gavetas).
Números Reais
consiste de um corpo ordenado completo:
Corpo: porque estão definidas as quatro operações: adição, subtração, multiplicação e divisão;
Ordenado: porque existe a relação que está interligada com a adição e a multiplicação pelas leis da
monotonicidade
Completeza: equivale a continuidade da reta.
Irracionalidade de
Suponhamos que , com primos entre si.
Alguns exemplos de expressões decimais
“A geratriz de uma dízima periódica composta é a fração cujo numerador é igual à parte não periódica seguida do período
menos a parte não-periódica e cujo denominador é formado por tantos noves quantos são os algarismos do período,
seguidos de tantos zeros são os algarismos da parte não periódica.”
Desigualdades – Propriedades Básicas
P1) Dado um número real , há três possibilidades que se excluem mutuamente: ou é positivo, ou ou – é positivo;
P2) A soma e o produto de números positivos são ainda números positivos.
Propriedades Essenciais
1) Tricotomia: dados vale uma, e somente uma, das alternativas seguintes: , ou ;
2) Transitividade: se e então ;
3) Monotonicidade da adição: se então, para todo tem-se ;
4) Monotonicidade da multiplicação: se então e é positivo tem-se ;
5) Se então (todo quadrado, exceto 0, é positivo);
6) Se então (quanto maior for um número positivo, menor será seu inverso);
7) Se e é negativo então (quando se multiplicam os dois membros de uma desigualdade por um
número negativo, o sentido dessa desigualdade se inverte).
Intervalos
Sejam números reais, com . Os nove subconjuntos de abaixo são chamados intervalos.
Capítulo 5 – Funções Afins
Produto Cartesiano
A fim de que um subconjunto seja o gráfico de alguma função é necessário e suficiente que cumpra
as seguintes condições:
G1) Para todo existe um par ordenado cuja primeira ordenada é ;
G2) Se e são pares pertencentes a com a mesma primeira coordenada então (isto é,
).
Função Afim
Dados , com , o número chama-se taxa de crescimento da função no intervalo de
extremos
LEMBRETE: Uma função , com , chama-se:
crescente: quando ;
decrescente: quando ;
monótona não-decrescente: quando ;
monótona não-crescente: quando .
TEOREMA
“O gráfico de uma função afim é uma linha reta.”
Para ver isto basta mostrar que três pontos quaisquer são colineares.
Função Linear
TEOREMA FUNDAMENTAL DA PROPORCIONALIDADE
Seja uma função crescente. As seguintes afirmações são equivalentes:
1) para todo e todo ;
2) Pondo , tem-se para todo ;
3) para quaisquer
CARACTERIZAÇÃO DA FUNÇÃO AFIM
Seja uma função injetiva. Se o acréscimo depender apenas de , mas não de ,
então é uma função afim.
Capítulo 6 – Funções Quadráticas
Exemplo de resolução de equação do 2º grau
Generalizando
Forma Canônica
para temos:
“Sejam três números reais distintos e números tais que são
não-colineares em . Existe uma, e somente uma, função quadrática , tal que
.”
“Se a parábola é o gráfico da função , sua tangente no ponto , onde
, é a reta que passa por esse ponto e tem inclinação igual a .”
Parábola
Parábola de foco F e diretriz d é o conjunto de pontos que eqüidistam de F e de d.
TEOREMA
“O gráfico da função é a parábola de foco e diretriz .”
Seja a função afim
Seja a função quadrática
CARACTERIZAÇÃO
Se então é um polinômio do 2º grau.
CARACTERIZAÇÃO DAS FUNÇÕES QUADRÁTICAS
“A fim de que a função contínua seja quadrática é necessário e suficiente que toda progressão aritmética não
constante seja transformada por numa progressão aritmética de segunda ordem não degenerada
.”
Exemplo: A sequência
3 , 7 , 13 , 21 , 31 , 43 , ... é uma P.A. de segunda ordem
4 , 6 , 8 , 10 , 12 , ... é uma P.A. de primeira ordem
d: primeiro termo = 4
r: razão = 2