Capítulo 1 – Conjuntos

IMPLICAÇÃO LÓGICA INCLUSÃO ENTRE CONJUNTOS

significa

Exemplo:

significa

Seja o Conjunto Universo.

i) (Princípio do Terceiro Excluído)

ii) (Princípio da Não-Contradição)

iii)

Se então:

i) (reflexibilidade)

ii) Se e então (anti-simetria)

iii) Se e então (transitividade)

Contra-positiva

Exemplo de Contra-positiva:

se é um múltiplo de 4 então é par se não é par então não é múltiplo de 4

Resolver uma equação é utilizar uma sequência de implicações lógicas.

Operações de reunião e intersecção entre conjuntos

Comutativa

e

Associativa

e

Distributiva

e

e

e

Capítulo 2 – Números Naturais

Axiomas de Peano

i) Todo número natural tem um único sucessor;

ii) Dois números com o mesmo sucessor são iguais;

iii) Existe um único número natural (chamado um) que não é sucessor de nenhum outro;

iv) Se e tal que e então (Axioma da Indução)

Adição e Multiplicação

Entre os números naturais estão definidas duas operações fundamentais: a adição, que aos números faz

corresponder a soma e a multiplicação, que lhes associa o produto .

A soma é o número natural que se obtém a partir de aplicando-se vezes seguidas a operação de tomar um

sucessor. Quanto ao produto, põe-se por definição e, quando , é a soma de parcelas iguais a .

Adição

: sucessor de

Esta última igualdade diz que se sabemos somar a todos os números naturais , sabemos também somar : a

soma é simplesmente o sucessor de . O axioma da indução garante que a soma está

definida para qualquer .

Multiplicação

Multiplicar um número por não o altera. E se sabemos multiplicar todos os números naturais por , sabemos

também multiplicá-los por : basta tomar . Por indução, sabemos multiplicar todo por qualquer

.

Ordem entre os números naturais

Dados dizemos que é menor que , para significar que existe algum tal que .

Se então:

i) se e então (transitividade);

ii) , vale uma, e somente uma, das alternativas:

, ou (tricotomia)

iii) se então, para qualquer , tem-se e

Princípio da Boa Ordenação

“Todo subconjunto não vazio possui um menor elemento”.

Isto significa que existe um elemento que é menor do que todos os demais elementos de .

Capítulo 3 – Números Cardinais

Função Injetiva

Uma função chama-se injetiva quando elementos diferentes em são transformados por em elementos

diferentes em , ou seja, é injetiva, quando

ou (contrapositiva)

Função Sobrejetiva

Diz-se que uma função é sobrejetiva quando, para qualquer elemento , pode-se encontrar (pelo

menos) um elemento tal que .

Função Bijetiva

Uma função chama-se bijeção, ou uma correspondência biunívoca entre e quando é ao mesmo tempo

injetiva e sobrejetiva.

Correspondência Biunívoca

Diz-se que dois conjuntos e têm o mesmo número cardinal quando se pode definir uma correspondência

biunívoca .

Conjuntos Finitos

Dado , indiquemos com a notação o conjunto dos números naturais de até . Assim, ,

, e, mais geralmente, um número natural pertencente a se, e somente se, .

Seja um conjunto. Diz-se que é finito, e que tem elementos quando se pode estabelecer uma

correspondência biunívoca . O número chama-se então número cardinal . Para todo , o conjunto é finito e

seu cardinal é . Diz-se que um conjunto é infinito quando ele não e finito.

i) O número de elementos de um conjunto finito é o mesmo, seja qual for a contagem que se adote;

ii) Todo subconjunto de um conjunto finito é . Tem-se somente quando ;

iii) Se e são finitos então é finito e tem-se ;

iv) Sejam , conjuntos finitos. Se , nenhuma função é injetiva e nenhuma função é

sobrejetiva (Princípio da Casa dos Pombos ou Princípio das Gavetas).

Números Reais

consiste de um corpo ordenado completo:

Corpo: porque estão definidas as quatro operações: adição, subtração, multiplicação e divisão;

Ordenado: porque existe a relação que está interligada com a adição e a multiplicação pelas leis da

monotonicidade

Completeza: equivale a continuidade da reta.

Irracionalidade de

Suponhamos que , com primos entre si.

Alguns exemplos de expressões decimais

“A geratriz de uma dízima periódica composta é a fração cujo numerador é igual à parte não periódica seguida do período

menos a parte não-periódica e cujo denominador é formado por tantos noves quantos são os algarismos do período,

seguidos de tantos zeros são os algarismos da parte não periódica.”

Desigualdades – Propriedades Básicas

P1) Dado um número real , há três possibilidades que se excluem mutuamente: ou é positivo, ou ou – é positivo;

P2) A soma e o produto de números positivos são ainda números positivos.

Propriedades Essenciais

1) Tricotomia: dados vale uma, e somente uma, das alternativas seguintes: , ou ;

2) Transitividade: se e então ;

3) Monotonicidade da adição: se então, para todo tem-se ;

4) Monotonicidade da multiplicação: se então e é positivo tem-se ;

5) Se então (todo quadrado, exceto 0, é positivo);

6) Se então (quanto maior for um número positivo, menor será seu inverso);

7) Se e é negativo então (quando se multiplicam os dois membros de uma desigualdade por um

número negativo, o sentido dessa desigualdade se inverte).

Intervalos

Sejam números reais, com . Os nove subconjuntos de abaixo são chamados intervalos.

Capítulo 5 – Funções Afins

Produto Cartesiano

A fim de que um subconjunto seja o gráfico de alguma função é necessário e suficiente que cumpra

as seguintes condições:

G1) Para todo existe um par ordenado cuja primeira ordenada é ;

G2) Se e são pares pertencentes a com a mesma primeira coordenada então (isto é,

).

Função Afim

Dados , com , o número chama-se taxa de crescimento da função no intervalo de

extremos

LEMBRETE: Uma função , com , chama-se:

crescente: quando ;

decrescente: quando ;

monótona não-decrescente: quando ;

monótona não-crescente: quando .

TEOREMA

“O gráfico de uma função afim é uma linha reta.”

Para ver isto basta mostrar que três pontos quaisquer são colineares.

Função Linear

TEOREMA FUNDAMENTAL DA PROPORCIONALIDADE

Seja uma função crescente. As seguintes afirmações são equivalentes:

1) para todo e todo ;

2) Pondo , tem-se para todo ;

3) para quaisquer

CARACTERIZAÇÃO DA FUNÇÃO AFIM

Seja uma função injetiva. Se o acréscimo depender apenas de , mas não de ,

então é uma função afim.

Capítulo 6 – Funções Quadráticas

Exemplo de resolução de equação do 2º grau

Generalizando

Forma Canônica

para temos:

“Sejam três números reais distintos e números tais que são

não-colineares em . Existe uma, e somente uma, função quadrática , tal que

.”

“Se a parábola é o gráfico da função , sua tangente no ponto , onde

, é a reta que passa por esse ponto e tem inclinação igual a .”

Parábola

Parábola de foco F e diretriz d é o conjunto de pontos que eqüidistam de F e de d.

TEOREMA

“O gráfico da função é a parábola de foco e diretriz .”

Seja a função afim

Seja a função quadrática

CARACTERIZAÇÃO

Se então é um polinômio do 2º grau.

CARACTERIZAÇÃO DAS FUNÇÕES QUADRÁTICAS

“A fim de que a função contínua seja quadrática é necessário e suficiente que toda progressão aritmética não

constante seja transformada por numa progressão aritmética de segunda ordem não degenerada

.”

Exemplo: A sequência

3 , 7 , 13 , 21 , 31 , 43 , ... é uma P.A. de segunda ordem

4 , 6 , 8 , 10 , 12 , ... é uma P.A. de primeira ordem

d: primeiro termo = 4

r: razão = 2