Revisão Matemática

Prof. Luciano Stropper

UFRGS 2013

Distribuição das questões

26 E.FUNDAMENTAL

27 E.FUNDAMENTAL

28 E.FUNDAMENTAL

29 FUNÇÕES

30 EQUAÇÕES

31 GRÁFICOS (INTERPRETAÇÃO)

32 PA e LOG

33 GEO. ANALÍTICA e PA

34 PG e GEO. PLANA

35 FUNÇÕES

36 LOG

37 POLINOMIOS

38 TRIGONOMETRIA

39 GEO. PLANA

40 GEO. PLANA (TALES)

41 GEO. ESPACIAL

42 GEO. PLANA+TRIGONOMETRIA+GEO. ANALÍTICA

43 GEO. PLANA

44 GEO. PLANA

45 GEO. ESPACIAL

46 GEO. ANALÍTICA

47 GEO. ANALÍTICA

48 SISTEMAS LINEARES

49 PROBABILIDADE

50 PROBABILIDADE

GEOMETRIA PLANA

Polígonos convexos

Polígonos não-convexos

Os lados AB, AC, CD, DE, EF e FA.

Os vértices A, B, C, D, E e F.

Os ângulos internos A, B, C, D, E e F. é ângulo externo relativo ao vértice A. A diagonal BD.

A

B C

D

EF

Polígono regular

• Chama-se polígono regular qualquer polígono que tem todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes.

B

A

C

D

EF

Soma dos ângulos internos

• A soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é dado por Si = (n – 2).180º.

Si = (n – 2).180ºA2

A3

A4

A5

AnA1

TEOREMA DE PITÁGORAS TEOREMA DE TALES

c² = a² + b²

Apótema Polígonos Regulares

E

F

D

C

BA

O

M

Rm

O

A B

m θR

L/2

O

A B

m θR

L/2

Área de polígonos

Área do quadrado

L

L A = L2

Exemplo

Calcular a medida de cada lado e de cada uma das diagonais de um quadrado, cuja área mede 18 cm2.

L

LD

A = L2 ⇒ L2 = 18 ⇒ L = 3√2

D2 = L2 + L2 ⇒ D = L√2

⇒ D = 3√2.√2

⇒ D = 6 cm

Área do retângulo

Base (b)

Altura (h)

A = b . h

Exemplo

Calcular o perímetro de um retângulo de 18 m2 de área, sabendo que um de seus lados é o dobro do outro.

2x

x

A = 18 ⇒ x.2x = 18

⇒ 2x2 = 18 ⇒ x2 = 9

⇒ x = 3

Os lados medem 3 m e 6 m.

P = 2.3 + 2.6 = 18 m

Área do Paralelogramo

h

A = b . h

base (b)

6

4

60º

Exemplo

Os lados de um paralelogramo medem 4 cm e 6 cm e formam, entre si, ângulo de 60º. Obter a sua área.

h

sen 60º = h

4⇒ h = 4. sen 60º = 4.

2

√3⇒ h = 2√3

A = b . h = 6. 2√3 ⇒ A = 12√3

Área do Losango

d1

d2 A = d1 . d2

2

L

L

L

L

Área do Triângulo

A =b . h

2

h

base (b)

b . c. sen α

2A = A=√p.(p-a).(p-b).(p-c)

Área do Triângulo Eqüilátero

L

L

Lh

h =L√3

2

A =L2√3

4

Área do Hexágono regular

L

LL

L

L

L

A =6L2√3

4

CÍRCULO ou CIRCUNFERENCIA??

A = π R²

C = 2. π. R

UFRGS 2012 1+1/2+1/4+1/8 = 15/8

C= 2.pi.r = 2. 3,14 . 1C=6,28 (1 volta)

Como serão 10 voltas

C= 62,8 (letra B)

x

x+6

Elementos de um poliedro

• Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais.

Face de poliedro é cada um dos polígonos que o delimitam.

GEOMETRIA ESPACIAL

Elementos de um poliedro

• Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais.

Aresta de poliedro é cada um dos lados das faces. É cada “quina” do poliedro.

Elementos de um poliedro

A

B C

D

E

F G

H

• Alguns elementos de um poliedro recebem nomes especiais.

Vértice de poliedro é cada um dos vértices das faces. É cada “ponta” do poliedro.

O PRISMA e suas formas

• Observe os objetos abaixo. Todos têm forma de poliedro, mas apresentam algumas características comuns. Eles estão associados a um tipo de poliedro muito especial: o prisma.

Definição

• Observe a animação.

r

O conjunto de todos esses segmentos é um sólido poliédrico chamado prisma.

Elementos principais do prisma

O prisma tem dois tipos de faces

A

B C

D

EF

A’

B’ C’

D’

E’F’

bases (polígonos congruentes).

faces laterais (paralelogramos).

Superfície total do prisma é a união da superfície lateral com as duas bases do prisma.

Elementos principais do prisma

O prisma tem dois tipos de arestas

A

B C

D

EF

A’

B’ C’

D’

E’F’

arestas das bases(AB, A’B’, ..., FA, F’A’).

arestas laterais(AA’, BB’, CC’, ... ,FF’ ).

Elementos principais do prisma

h

A

B C

D

EF

A’

B’ C’D’

E’F’

A distância h entre as duas bases do prisma é a altura do prima.

Classificação dos prismas

• Um prisma é classificado pelo tipo de polígono que constitui suas bases.

P. hexagonalhexágono

P. pentagonalpentágono

P. quadrangularquadrado

P. triangulartriângulo

PrismaPolígonos das bases

Veja alguns desses prismas

Prisma triangular Prisma Pentagonal

Classificação dos prismas

Prisma triangular reto Prisma Pentagonal oblíquo

hh

Prisma regular

• Todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares é chamado de prisma regular.

O prisma é reto eABC é triângulo eqüilátero⇒

A

B

C

Prisma triangular regular

O prisma é reto e aBase é hexágono regular⇒

Prisma hexagonal regular

Prismas quadrangulares

• Se as bases de um paralelepípedo reto são retângulos, ele é chamado paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo.

Paralelepípedo retângulo ou ortoedro

Prismas quadrangulares

• Se todas as arestas de um paralelepípedo retângulo são congruentes entre si, ele é chamado cubo ou hexaedro regular.

Cubo ou hexaedro regular

Estudo do cubo

• O cubo é o mais simples dos prismas. Ele é um prisma quadrangular regular, cujas faces são quadrados congruentes. Por isso qualquer de suas faces pode ser considerada como base.

a → medida de cada uma das arestasa

aa

a

a

a

Diagonais no cubo

• Num cubo, distinguimos dos tipos de diagonais.

a → medida de cada uma das arestas

d

D

d → diagonal da face

D → diagonal do cubo

Diagonais no cubo

• Obtendo os valores d e D em função da medida a da aresta.

a

a

a

d

D

a

d2 = a2 + a2

⇒ d = 2a2

⇒ d = a√2

Diagonais no cubo

• Obtendo os valores d e D em função da medida a da aresta.

a

a

a

d

Da

D2 = a2 + d2

⇒ D = a2 + 2a2

⇒ D = 3a2

⇒ D = a√3

Área da superfície total do cubo

• Planificando a superfície total de um cubo de aresta a, obtemos a figura.

a

aa

a

a

a

a

AT = 6a2

Volume do cubo

a

aa

a

a

a

a

V = a³

Estudo do paralelepípedo retângulo

• O paralelepípedo retângulo é um prisma quadrangular. Suas faces são duas a duas congruentes.

a, b e c → As dimensões do paralelepípedo.

ac

b

Suas doze arestas são quatro a quatro congruentes. As medidas dessas arestas são as dimensões do paralelepípedo.

b

a

Diagonal do paralelepípedo

• Diagonal de um paralelepípedo é todo segmento cujos extremos são dois vértices não-pertencentes a uma mesma face.

d → diagonal da face inferior

D → diagonal do paralelepípedo

c

d

D

b

a

Cálculo da diagonal do paralelepípedo

• Obtendo o valor de D em função das dimensões a, b e c do paralelepípedo.

c D

d2 = a2 + b2 e D2 = d2 + c2

d

D2 = a2 + b2 + c2⇒ D = √a2 + b2 + c2

Exemplo

O comprimento e a largura de um paralelepípedo medem 12 cm e 4 cm. Uma de suas diagonais mede 13. Obter a medida de sua altura?

D = √a2 + b2 + c2 ⇒ 13 = √122 + 42 + c2

⇒ 169 = 144 + 16 + c2 ⇒ c2 = 169 – 160

⇒ c2 = 9 ⇒ c = 3

Área da superfície total do paralelepípedo

• Planificando a superfície total de um paralelepípedo de dimensões a, b e c obtemos a figura.

ac

b

a

b

c

ab

ab

ac

ac

bc bc

AT = 2ab + 2ac + 2bc

AT = 2(ab + ac + bc)

Exemplo

A área da superfície total de um paralelepípedo é 248 cm2. suas dimensões são proporcionais a 2, 3 e 5. Calcular a medida da diagonal do paralelepípedo?

As dimensões a, b e c são proporcionais a 2, 3 e 5 indica que a = 2k, b = 3k e c = 5k.

AT = 248 ⇒ 2(ab + ac + bc) = 248

⇒ ab + ac + bc = 124

:(2)

⇒ 2k.3k + 2k.5k + 3k.5k = 124

⇒ 6k2 + 10k2 + 15k2 = 124 ⇒ 31k2 = 124

⇒ k2 = 4 ⇒ k = 2

Volume do paralelepípedo retângulo

• Analise as duas figuras a seguir.

cubo unitárioV = 1 u3

V = 5.3.4 = 60 u3

5 u3 u

4 u

De modo geral, o volume de um paralelepípedo de dimensões a, b e c é dado por

V = a.b.c

Exemplos

Uma das dimensões de um paralelepípedo é aumentada em 20%; outra, aumentada em 30%; a terceira em 10%. O que ocorre com o volume do paralelepípedo?

Suponhamos que as dimensões sejam x, y e z. Então, o volume original é V = xyz.

Se x aumenta 20%, a nova dimensão passa para 1,2 x.

Se y aumenta 30%, a nova dimensão passa para 1,3 y.

Se z aumenta 10%, a nova dimensão passa para 1,1 z.

V’ = 1,2x . 1,3 y . 1,1 z = 1,404.xyz = 1,404.V

Concluímos que o volume aumenta 40,4%.

Estudo geral do prisma

• Vamos aprender a calcular áreas e volumes em prismas quaisquer. Em geral. Vamos considerar prismas retos em que

As arestas laterais são alturas;

As faces laterais são retângulos;

A

B

C

Áreas no prisma

• No prisma as áreas.

Área Lateral (AL) – Soma das áreas dos retângulos;

Área da base (AB) – Área do polígono da base;

Área total (AT) – Soma da área lateral com as bases

AT = AL + 2AB

Exemplo

A figura a seguir mostra um prisma triangular reto, com as dimensões indicadas. Calcular a área lateral e a área total desse prisma.

3

5

64

AL = 3.6 + 4.6 + 5.6

AL = 18 + 24 + 30 = 72

AB = (3.4)/2 = 6

AT = AL + 2.AB

AT = 72 + 2.6 = 84

Exemplo

Num prisma hexagonal regular, a altura mede 6 m e a área de cada base é 24√3 m2. Achar sua área lateral.

x

6

A = 24√3 ⇒

4

6x2√3= 24√3

⇒ x2 = 16 ⇒ x = 4

Af = b.h ⇒ Af = 4.6 = 24

AL = 6.Af ⇒ AL = 6.24 = 192 m2

Princípio de Cavalieri

• Bonaventura Cavalieri nasceu na Itália, no final do século XVI. Discípulo de Galileu, ele deixou contribuições importantes nas áreas de óptica e geometria.

Princípio de Cavalieri

• Dados dois ou mais sólidos apoiados em um mesmo plano , se

Todos têm a mesma altura;

Todo plano paralelo a e que corte os sólidos determina, em todos eles, seções planas de mesma área;

Então os sólidos têm o mesmo volume.

Volume do prisma

• Vamos deduzir uma fórmula para o cálculo do volume do prisma. Para isso, vamos aplicar o princípio de Cavalieri.

V = AB.h

PIRÂMIDE

A pirâmide tem dois tipos de faces

A base (polígono ABCDEF).

Faces laterais (triângulos).

Superfície total da pirâmide é a união da base com a superfície lateral.

V

A

B C

D

EF

Elementos principais da pirâmide

A pirâmide tem dois tipos de arestas

arestas da base(AB, BC, CD, DE, EF e FA).

arestas laterais(VA, VB, VC, VD, VE e VF ).

V

A

B C

D

EF

Elementos principais da pirâmide

h

A distância h do vértice ao plano da base é a altura da pirâmide.

V

A

B C

D

EF

Classificação

• Uma pirâmide é classificado pelo tipo de polígono que constitui sua base.

P. hexagonalhexágono

P. pentagonalpentágono

P. quadrangularquadrado

P. triangulartriângulo

PirâmidePolígono da base

Veja algumas dessas pirâmides

Pirâmide triangular Pirâmide Pentagonal

Pirâmides regulares

A base da pirâmide é um quadrado ⇒

Pirâmide quadrangular regular

A base da pirâmide é um hexágono regular⇒

Pirâmide hexagonal regular

V

h

O

V

h

O

V

A B

CD

Apótema da pirâmide

VM é o apótema (p) da pirâmidep

M

⇒

BM = MC

Segmentos notáveis na pirâmide regular

VO = h, altura;

V

B

A

MO

ah

m

r

p

b

VA = a, aresta lateral;

AB = b, aresta da base;

Segmentos notáveis na pirâmide regular

OM = m, apótema da base;

V

B

A

MO

ah

m

r

p

b

OA = r, raio da base;

VM = p, apótema pirâmide;

A pirâmide e o teorema de Pitágoras

p2 = h2 + m2

V

B

A

MO

h

m

p

A pirâmide e o teorema de Pitágoras

V

A

O

ah

r

a2 = h2 + r2

A pirâmide e o teorema de Pitágoras

a2 = p2 + (b/2)2

V

B

A

M

ap

b/2

Volume da pirâmide

• Se um prisma e uma pirâmide têm alturas iguais e suas bases têm a mesma área, então o volume da pirâmide é a terça parte do volume do prisma.

AB.hV =3

1

Tronco de Pirâmide R

C

A

h

B

D

A’ B’

C’D’h’

C

A

h – h’

B

D

A’ B’

C’D’R

A’ B’

C’D’h’

Tronco de pirâmide

Razão de semelhança - Comprimentos

R

C

A

h

D

R

A’ B’

C’D’h’

B

=RA’

RA

A’B’

AB=... =

h’

h= k

Razão de semelhança

Razão de semelhança - ÁreasR

C

A

h

D

R

A’ B’

C’D’h’

B

=A’B

AB

A’L

AL=

A’T

AT

CONES

ESFERAS

Área: A = 4πr2

Volume:

g

g

eixo

90º90ºBase

Base

O**

O**R

h

A Fig. mostra um Cilindro Oblíquo.

R é raio da base

h é altura

g é geratriz

Cilindro

Cilindro Circular Reto

OO**

g gh

1) o eixo é perpendicular aos planos das bases.

RDC

ou Cilindro de Revoluçãoou Cilindro de Revolução

R

BAO’O’**

2) g = h

A B

D C

A B

D C

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução::

Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

Cilindro de RevoluçãoCilindro de Revolução::

Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um retângulo em torno de um dos seus lados.

A B

D C

A B

D C

A B

D C

A B

D C

A B

D C

A B

D C

A B

D C

A B

D C

A B

D C

A B

D C

A B

D C

A B

D C

A B

D C

A B

D C

A B

D C

A B

D C

A B

D C

A B

D C

A B

D C

A B

D C

Retângulo ABCD é a seção meridiana do cilindro.

2R

SeçãoSeçãoMeridianaMeridiana

A

B

C

DOO**

O’O’**h Se ABCDSe ABCD

é um quadrado é um quadrado cilindro eqüiláterocilindro eqüilátero

Cilindro eqüilátero é o cilindro reto em que h = Cilindro eqüilátero é o cilindro reto em que h = 2R2R

Seção Seção MeridianaMeridiana

Planificação :

Rx

h

Rx

h

Planificação :

Rx

h

Planificação :

Rx

h

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :

R

h

x

Planificação :Planificação :

R

h

xR

R

2R

Planificação :

Áreas e Volumes

AALL = 2 = 2 Rh RhAALL = 2 = 2 Rh Rh

At = AL+ 2 AbAt = AL+ 2 Ab

V = R R22. hV = R R22. h

Área Lateral( AL )

Área Total( At )

Volume( V )

AAbb = = R R22AAbb = = R R22Área Base( Ab )

UFRGS 2012

Tomando a aresta da base a e a altura h temos o volume V:

Dobrando a aresta da base e reduzindo a altura a metade teremos o novo volume V1:

Estudo da reta

GEOMETRIA ANALÍTICA

x

y

O (0, 0)

1º quadrante2º quadrante

3º quadrante 4º quadrante

eixo das abscissas

eixo das ordenadas

Origem

Plano cartesiano

P

x

y

O

4

3

P(3, 4)

Coordenadas no plano

3 é a abscissa de P;

4 é a ordenada de P;

3 e 4 são as coordenadas de P;

P(x, y)

Em geral:

Bissetrizes no plano

x

y

y = xy = –x

1ª bissetriz2ª bissetriz

Equação geral da reta

• A toda reta contida no sistema xOy de coordenadas cartesianas está associada uma equação de 1.º grau, nas variáveis x e y. Essa equação se verifica para todos os pontos da reta, e só eles.

Retas paralelas aos eixos;

Retas não-paralelas aos eixos;

Retas paralelas aos eixos

• A figura mostra duas retas r e s, contidas no plano cartesiano xOy.

x

y

O 4

2

r

s

Equação da reta r: x = 4

Equação da reta s: y = 2

Retas não-paralelas aos eixos

• A figura mostra a reta r, contidas no plano cartesiano xOy, determinada pelos pontos A(2, 1) e B(3, 3).

x

y

O 3

1

r

2

3

P(x, y) ∊ AB A, B e P ⇒estão alinhados

x y 1

1 2 1

3 3 1= 0

x + 3y + 6 – 3 – 3x – 2y = 0

⇒ y – 2x + 3 = 0

A

BP(x, y)

Exemplos

• Analisar se M(2, –1) e N(3, 5) são pontos da reta de equação geral 5x + y – 9 = 0.

⇒ 5.2 + (–1) – 9 = 0

Para que cada ponto pertença à reta, suas coordenadas devem satisfazer a equação.

M(2, –1) ⇒ 10 –1 – 9 = 0 ⇒ 0 = 0

⇒ 5.3 + 5 – 9 = 0N(3, 5) ⇒ 15 + 5 – 9 = 0 ⇒ 11 ≠ 0

Concluímos que M é ponto da reta dada, mas N não é.

40 m

Inclinação de uma reta

• Imagine um carro subindo uma rampa reta, conforme figura. Suponha que para cada 40 m percorridos na horizontal, a pista se eleve 6 m.

40 m

6 m

O ângulo α que a rampa forma com a horizontal é o ângulo de inclinação da rampa. O valor de tg α é a inclinação da rampa.

6 mInclinação = tg α = = 0,15

Inclinação de uma reta

• Vamos analisar agora duas situações extremas.

Quando o carro percorre um trecho horizontal, dizemos que a rampa tem inclinação 0 e que o ângulo de inclinação é 0º. (tg 0o = 0).

α = 0o ⇒ Inclinação = tg α = tg 0o = 0

Inclinação de uma reta

• Vamos analisar agora duas situações extremas.

O auto não sobe uma rampa vertical. Nesse caso, não se define a inclinação da rampa e o ângulo de inclinação é 90º. (tg 90º = Não é definido).

α = 90o

⇓

Inclinação não se define.

Q

Inclinação de uma reta

• Considere uma reta r, não paralela aos eixos x e y, contida no plano cartesiano xOy.

x

y

O

yQ

yP

xQxP

P

M

xQ – xP

yQ – yP

Inclinação = tg α

yQ– yP

xQ– xP

a = tg α =

x

y a =

r

Inclinação de uma reta

• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:

a = tg 30º =

x

y

O30ºM

3√3

Inclinação de uma reta

• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:

a = tg 45º = 1

x

y

O45ºM

Inclinação de uma reta

• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:

a = tg 60º = √3

x

y

O

60ºM

Inclinação de uma reta

• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:

x

y

O

120º

M

a = tg 120º = – tg 60º = –√3

Inclinação de uma reta

• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:

a = tg 135º = – tg 45º = – 1

x

y

O

135º

M

Inclinação de uma reta

• Convém lembrar as tangentes de alguns ângulos importante:

a = tg 150º = – tg 30º =

x

y

O

150º

M

3–√3

Exemplos

• Em cada caso, obter a inclinação e classificar o ângulo α de inclinação da reta MN.

x

y

Oα

M

N

–2 1

3

5

xN – xM

yN – yM a = tg α =

1 – (–2)5 – 3

a =

32

a =

a > 0 e α é agudo(α < 90º)

a) M(–2, 3) e N(1, 5)

Inclinação de uma reta - resumo

• O ângulo de inclinação α de uma reta é tal que 0º ≤ α ≤ 180º.

• Sua inclinação a pode ser positiva, negativa ou nula,

conforme a medida do ângulo α (α ≠ 90º).

α = 0º ⇔ a = 0.

0º < α < 90º ⇔ a > 0.

α = 90º ⇔ a inclinação a não é definida.

90º < α < 180º ⇔ a < 0.

Exemplos

• Achar as inclinações das retas r, s e t da figura abaixo.

x

y

O120º45º 45º

r st

ar = tg 45º = 1

as = tg 45º = 1 at = tg 120º – √3= – tg 60º =

Equação reduzida da reta

• Uma reta é determinada, quando são dados sua inclinação e um de seus pontos. Suponhamos no plano xOy, uma reta r que passa por A(2, 3) e têm ângulo de inclinação α = 135º.

• Vamos obter a equação da reta r.

x

y

O

135º

A

2

3M(x, y)

xM – xA

yM – yA

a = tg 135º = –1.

x – 2

y – 3 –1 = a =

y – 3 = –1(x – 2)

y – 3 = –1x + 2

y = –1x + 5

⇒

y = –x + 5

Equação reduzida da reta – Caso Geral

• Suponhamos que uma reta r de inclinação a = tg α e que passe pelo ponto P(xP, yP), como mostra a figura.

x

y

Oα

P

xP

yP

M (x, y) xM – xA

yM – yA

x – xP

y – yP a = a =

y – yP = a(x – xP)

⇒

⇒ y – yP = ax – axP ⇒ y = ax + (–axP + yP)

⇒ y = ax + b Equação reduzida da reta

Equação reduzida da reta

• Na equação reduzida y = ax + b, temos:

Significa que a reta passa pelo ponto (0, b) → ponto do eixo y.

x = 0 ⇒ y = a.0 + b

⇒ y = b

O coeficiente a é a inclinação da reta; ele é também chamado, por isso, coeficiente angular da reta.

O coeficiente b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y; ele é chamado de coeficiente linear da reta.

Exemplos

• Veja a representação da reta r: 2x – y + 4 = 0 no plano xOy.

x

y

O

r

–2

4

y = 2x + 4

Exemplos

• O gráfico a seguir mostra uma reta s. Encontrar a equação reduzida e uma equação geral para essa reta.

x

y

O

s

45º

2

y = ax + b

A reta corta o eixo y no ponto de ordenada 2, ponto (0, 2), logo b = 2.

α = 180º – 45º = 135ºa = tg 135º = –1.

y = – x + 2

⇒ x + y – 2 = 0

α

Exemplos

• Achar a equação reduzida da reta r que passa pelos pontos A(–2, 6) e B(1, –3).

xA – xB

yA – yB

–2 – 16 –(–3)

a =xy

= =

Primeiro vamos calcular a inclinação da reta.

–39

= ⇒ a = –3

Utilizando o ponto A(–2, 6), por exemplo, obtemos a equação

fundamental, em seguida a equação reduzida da reta.

y – yP = a(x – xP) ⇒ y – 6 = –3(x + 2)

⇒ y – 6 = –3x – 6 ⇒ y = –3x

Formulário Geometria Analítica

UFRGS 2012

(0-2)²+(0-3)²=10 ????

Exemplo 1: Construa o gráfico da função f:

dado por f(x) = 2x + 1 e determine o conjunto imagem.

Análise de Gráficos

1º) Iremos montar uma tabela atribuindo os pontos para o plano cartesiano:

x f (x) = 2.x + 1 (x ; y)

-2 2. (-2) + 1 = -3 (-2 ; -3)

-1 2. (-1) + 1 = -1 (-1 ; -1)

0 2. (0) + 1 = 1 (0 ; 1)

1 2. (1) + 1 = 3 (1 ; 3)

2 2. (2) + 1 = 5 (2 ; 5)

Como o domínio são todos os reais, podemos escolher qualquer valor para “x”

Análise de Gráficos

x f (x) = 2.x + 1 (x ; y)

-2 2. (-2) + 1 = -3 (-2 ; -3)

-1 2. (-1) + 1 = -1 (-1 ; -1)

0 2. (0) + 1 = 1 (0 ; 1)

1 2. (1) + 1 = 3 (1 ; 3)

2 2. (2) + 1 = 5 (2 ; 5)

Domínio: RContradomínio: RImagem: R

f (x) = 2x + 1y

x

Análise de Gráficos

Exemplo 2: O gráfico abaixo representa uma função. Determine o que se pede.

y

x-2 0 1 2 3

1

3f (-2) =

f (0) =

f (2) =

Domínio:

Imagem:

3

3

1

[-2 ; 3]

[1 ; 3]

Análise de Gráficos

Exemplo 3: Determine entre os gráficos abaixo quais deles representam uma função.

y

x

y

x

y

x

Não é função

É funçãoÉ função

É funçãoÉ funçãoNão é função

y

x

y

x

FUNÇÃO DO 1º GRAUCRESCENTE E DECRESCENTE – GRÁFICO

FUNÇÃO CRESCENTE: a > 0 FUNÇÃO DECRESCENTE: a < 0

FUNÇÃO DO 2º GRAU - GRÁFICO

ponto cponto c

Reta decrescenteb < 0

Reta crescenteb > 0

EXEMPLOS:

• EXEMPLO: (UFRGS – 2011)  O gráfico do polinômio de coeficientes reais p(x) = ax2 + bx + c está representado abaixo.

FUNÇÃO DO 2º GRAU - GRÁFICO

Com base nos dados desse gráfico, é correto afirmar que os coeficientes a, b e c satisfazem as desigualdades

a) a > 0; b < 0; c < 0.b) a > 0; b < 0; c > 0.c) a > 0; b > 0; c > 0.d) a > 0; b > 0; c < 0.e) a < 0; b < 0; c < 0.

y = x2 y = ( x + 1)2

y = ( x – 3)2

Translação Horizontal

y = x2 y = x2 + 2

y = x2 - 1

Translação Vertical

y = x2 y = (x + 1)2 – 3 y = (x – 2)2 + 1

Translação Horizontal + Vertical

y = x2

y = – x2

y = x2 – 4

y = – x2 + 4

y = x

y = | x |

Módulo de uma Função

y = x2 – 4 y = | x2 – 4 |

y = (x + 2)2 – 3 y = | (x + 2)2 – 3 |