Revisao Metodos de Contagem Professor Danilo

IntroducaoPrincıpios Fundamentais

Permutacoes/Arranjos/CombinacoesExercıcios Propostos

Material de ApoioAlguns Metodos de Contagem

Danilo Salotti

Centro Universitario da FEIDisciplina:Estatıstica Basica

8 de agosto de 2010

Danilo Salotti Material de Apoio

1 Introducao

2 Princıpios FundamentaisPrincıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo

3 Permutacoes/Arranjos/CombinacoesPermutacoesArranjosCombinacoes

4 Exercıcios Propostos

Sumario

1 Introducao

Para que servem os metodos de contagem ?

Em muitos casos da teoria da probabilidade temos a necessidadede algum procedimento de contagem para depois, podermosrealizar alguns calculos probabilısticos.

Considerando o jogo damega-sena, onde ha bolas distintas enumeradas de 1 a 60, quantosresultados diferentes podemos obter ao extraırmos 6 bolas semreposicao? Que tal contar na raca ? Melhor nao!Nesse exemplo percebemos a inviabilidade de contarmos uma auma cada possibilidade, sugerindo alguma tecnica de enumeracao.Embora essas tecnicas parecam ser complicadas inicialmente,estudaremos dois princıpios (aditivo e multiplicativo)primeiramente para resolvermos questoes analogas ao problema doexemplo citado e assim deduzirmos alguns metodos de contagemnos casos mais gerais.

Em muitos casos da teoria da probabilidade temos a necessidadede algum procedimento de contagem para depois, podermosrealizar alguns calculos probabilısticos.Considerando o jogo damega-sena, onde ha bolas distintas enumeradas de 1 a 60, quantosresultados diferentes podemos obter ao extraırmos 6 bolas semreposicao? Que tal contar na raca ? Melhor nao!

Nesse exemplo percebemos a inviabilidade de contarmos uma auma cada possibilidade, sugerindo alguma tecnica de enumeracao.Embora essas tecnicas parecam ser complicadas inicialmente,estudaremos dois princıpios (aditivo e multiplicativo)primeiramente para resolvermos questoes analogas ao problema doexemplo citado e assim deduzirmos alguns metodos de contagemnos casos mais gerais.

Em muitos casos da teoria da probabilidade temos a necessidadede algum procedimento de contagem para depois, podermosrealizar alguns calculos probabilısticos.Considerando o jogo damega-sena, onde ha bolas distintas enumeradas de 1 a 60, quantosresultados diferentes podemos obter ao extraırmos 6 bolas semreposicao? Que tal contar na raca ? Melhor nao!Nesse exemplo percebemos a inviabilidade de contarmos uma auma cada possibilidade, sugerindo alguma tecnica de enumeracao.Embora essas tecnicas parecam ser complicadas inicialmente,estudaremos dois princıpios (aditivo e multiplicativo)primeiramente para resolvermos questoes analogas ao problema doexemplo citado e assim deduzirmos alguns metodos de contagemnos casos mais gerais.

Princıpio MultiplicativoPrincıpio Aditivo

Sumario

1 Introducao

Aprendendo a contar ...

Exemplo

Imaginemos que uma pessoa tenha dinheiro suficiente para realizardois passeios em um dia, ela ira a um e apenas um restaurante edepois da mesma forma ira a apenas um cinema, mas ela esta emduvida na escolha dos 3 restaurantes (R1, R2, R3) e dos 2 cinemas(C1, C2) de sua preferencia. De quantas maneiras diferentes elapodera realizar o passeio?

Realizando procedimento 1 e procedimento 2

Total de Maneiras

Podemos observar que existem seis possıveis diferentes passeiosque a pessoa podera escolher. Note que a cada escolha fixa dorestaurante, ela depois pode escolher um dentre dois cinemas, mascomo existem tres restaurantes temos que o total de passeios econtado por 2 + 2 + 2 = 2× 3 = 6 .

Total de Maneiras

Podemos observar que existem seis possıveis diferentes passeiosque a pessoa podera escolher. Note que a cada escolha fixa dorestaurante, ela depois pode escolher um dentre dois cinemas, mascomo existem tres restaurantes temos que o total de passeios econtado por 2 + 2 + 2 = 2× 3 = 6 .

Resultado do Princıpio Multiplicativo

De uma maneira geral, vamos supor que o procedimento 1 podeser realizado de n1 maneiras e que o procedimento 2 pode serrealizado por n2 maneiras. Utilizando o esquema apresentadoacima, o numero de maneiras diferentes de realizarmos oprocedimento 1 e o procedimento 2 sera:

n2 + n2 + · · ·+ n2︸︷︷︸n1 vezes

= n1 · n2 (1)

Resultado do Princıpio Multiplicativo

De uma maneira geral, vamos supor que o procedimento 1 podeser realizado de n1 maneiras e que o procedimento 2 pode serrealizado por n2 maneiras. Utilizando o esquema apresentadoacima, o numero de maneiras diferentes de realizarmos oprocedimento 1 e o procedimento 2 sera:

n2 + n2 + · · ·+ n2︸︷︷︸n1 vezes

= n1 · n2 (1)

Princıpio Multiplicativo

Exemplo 2 :

Uma embalagem de produto pode apresentar 4 tamanhos e 5 coresdiferentes. De acordo com o princıpio mutiplicativo, podemos ter??? maneiras distintas de produzir tal embalagem.

Exemplo 2 :

Uma embalagem de produto pode apresentar 4 tamanhos e 5 coresdiferentes. De acordo com o princıpio mutiplicativo, podemos ter??? maneiras distintas de produzir tal embalagem.

Figura: Novamente realizando procedimento 1 e procedimento 2

Exemplo 2 :

Uma embalagem de produto pode apresentar 4 tamanhos e 5 coresdiferentes. De acordo com o princıpio mutiplicativo, podemos ter20 maneiras distintas de produzir tal embalagem.

Figura: Novamente realizando procedimento 1 e procedimento 2

Generalizando...

Observacao:

Podemos aplicar ainda o princıpio multiplicatico para tresprocedimentos ou mais, desde que cada maneira escolhida em umdos procedimentos, possa ser seguida de qualquer outra maneira deoutro procedimento.

Logo, se executarmos m procedimentos e oprocedimento de numero j (denominado pj) puder ser realizado denj maneiras, o procedimento geral(aquele que representa aexecucao de p1, depois de p2 e assim ate a execucao de pm) podeser realizado de

m∏j=1

nj = n1 · n2 · . . . · nm maneiras distintas. (2)

Generalizando...

Observacao:

Podemos aplicar ainda o princıpio multiplicatico para tresprocedimentos ou mais, desde que cada maneira escolhida em umdos procedimentos, possa ser seguida de qualquer outra maneira deoutro procedimento.Logo, se executarmos m procedimentos e oprocedimento de numero j (denominado pj) puder ser realizado denj maneiras, o procedimento geral(aquele que representa aexecucao de p1, depois de p2 e assim ate a execucao de pm) podeser realizado de

m∏j=1

Generalizando...

Observacao:

Podemos aplicar ainda o princıpio multiplicatico para tresprocedimentos ou mais, desde que cada maneira escolhida em umdos procedimentos, possa ser seguida de qualquer outra maneira deoutro procedimento.Logo, se executarmos m procedimentos e oprocedimento de numero j (denominado pj) puder ser realizado denj maneiras, o procedimento geral(aquele que representa aexecucao de p1, depois de p2 e assim ate a execucao de pm) podeser realizado de

m∏j=1

Exemplo 3:

Suponha que alem das escolhas dos restaurantes e dos cinemas, apessoa possa ainda assistir uma peca de teatro dentre 2 possıveis(T1 e T2). O que acabamos de fazer e incluir um procedimento 3e de acordo com cada uma das seis escolhas possıveisanteriormente, temos duas novas possibilidades, ou seja, a pessoanesse caso podera realizar ??? passeios distintos.

Exemplo 3:

Suponha que alem das escolhas dos restaurantes e dos cinemas, apessoa possa ainda assistir uma peca de teatro dentre 2 possıveis(T1 e T2). O que acabamos de fazer e incluir um procedimento 3e de acordo com cada uma das seis escolhas possıveisanteriormente, temos duas novas possibilidades, ou seja, a pessoanesse caso podera realizar 6 + 6 = 12 passeios distintos.

Nessa situacao, a pessoa realizara 3 procedimentos. Escolher orestaurante (p1), o cinema (p2) e o teatro (p3), onde n1 = 3,n2 = 2 e n3 = 2. Assim, pelo princıpio multiplicatico no caso 2, onumero total de passeios diferentes e:

n1 · n2 · n3 = 3× 2× 2 = 12

n1 · n2 · n3 =

3× 2× 2 = 12

n1 · n2 · n3 = 3× 2× 2 = 12

Princıpio Aditivo

Vamos admitir que agora, os procedimentos 1 e 2 nao possam serrealizados conjuntamente, o princıpio aditivo diz que podemocorrer no total:

n1 + n2 maneiras distintas (3)

de realizar o procedimento 1 ou o procedimento 2.

Princıpio Aditivo

Vamos admitir que agora, os procedimentos 1 e 2 nao possam serrealizados conjuntamente, o princıpio aditivo diz que podemocorrer no total:

n1 + n2 maneiras distintas (3)

de realizar o procedimento 1 ou o procedimento 2.

Princıpio Aditivo

Exemplo 4:

Imagine a situacao do exemplo 1 acima, porem agora a pessoa sotem dinheiro para ir ao teatro ou ao cinema, sendo assim o numerototal de passeios diferentes que ela podera fazer e ??? , utilizandoo resultado anterior .

Princıpio Aditivo

Exemplo 4:

Imagine a situacao do exemplo 1 acima, porem agora a pessoa sotem dinheiro para ir ao teatro ou ao cinema, sendo assim o numerototal de passeios diferentes que ela podera fazer e ??? , utilizandoo resultado anterior .

Figura: 5 possibilidades no totalDanilo Salotti Material de Apoio

Princıpio Aditivo

Exemplo 4:

Imagine a situacao do exemplo 1 acima, porem agora a pessoa sotem dinheiro para ir ao teatro ou ao cinema, sendo assim o numerototal de passeios diferentes que ela podera fazer e 2+3=5,utilizando o resultado anterior .

Figura: 5 possibilidades no totalDanilo Salotti Material de Apoio

Princıpio Aditivo

Observacao : Aqui tambem podemos estender o resultado para tresprocedimentos ou mais, desde que quaisquer dois procedimentosnao possam ser realizados conjuntamente. Teremos entao que onumero total de realizar p1, ou p2, ...,ou pm e dado por :

m∑i=1

ni = n1 + n2 + . . . + nm maneiras diferentes. (4)

Princıpio Aditivo

Observacao : Aqui tambem podemos estender o resultado para tresprocedimentos ou mais, desde que quaisquer dois procedimentosnao possam ser realizados conjuntamente. Teremos entao que onumero total de realizar p1, ou p2, ...,ou pm e dado por :

m∑i=1

ni = n1 + n2 + . . . + nm maneiras diferentes. (4)

PermutacoesArranjosCombinacoes

Sumario

1 Introducao

Permutando 3 objetos diferentes

Seja Pn o numero total de maneiras de dispor n objetos diferentes .Para ilustrar, considere 3 objetos (a,b,c), segue todas as possıveispermutacoes :

Nesse caso, temos P3 = 6.

Nesse caso, temos P3 =

Comoda com 7 compartimentos e 7 camisas para guardar...

E se tivessemos 7 objetos ?

Podemos utilizar o princıpiomutiplicativo estudado para obter P7, observe que permutar 7objetos equivale a ”guardar”7 camisas em uma comoda com 7gavetas. Para tal, devemos abrir a primeira gaveta , escolherqualquer uma das 7 (c1 ou c2 ou...c7) camisas e guarda-la, damesma forma, abrimos a segunda gaveta, escolhemos uma das 6camisas restantes e assim ate guardarmos a unica camisa restantena ultima gaveta. Importante lembrar que o procedimento”guardar as camisas”foi separado em outros 7 procedimentos queforam realizados conjuntamente, ou seja, guardar c1(proc.1) eguardar c2(proc.2) e assim sucessivamente ate guardar c7(proc.7).

c4 c6 c1 c5 c3 c2 c7

Tabela: uma possıvel escolha

E se tivessemos 7 objetos ? Podemos utilizar o princıpiomutiplicativo estudado para obter P7, observe que permutar 7objetos equivale a ”guardar”7 camisas em uma comoda com 7gavetas.

Para tal, devemos abrir a primeira gaveta , escolherqualquer uma das 7 (c1 ou c2 ou...c7) camisas e guarda-la, damesma forma, abrimos a segunda gaveta, escolhemos uma das 6camisas restantes e assim ate guardarmos a unica camisa restantena ultima gaveta. Importante lembrar que o procedimento”guardar as camisas”foi separado em outros 7 procedimentos queforam realizados conjuntamente, ou seja, guardar c1(proc.1) eguardar c2(proc.2) e assim sucessivamente ate guardar c7(proc.7).

c4 c6 c1 c5 c3 c2 c7

E se tivessemos 7 objetos ? Podemos utilizar o princıpiomutiplicativo estudado para obter P7, observe que permutar 7objetos equivale a ”guardar”7 camisas em uma comoda com 7gavetas. Para tal, devemos abrir a primeira gaveta , escolherqualquer uma das 7 (c1 ou c2 ou...c7) camisas e guarda-la, damesma forma, abrimos a segunda gaveta, escolhemos uma das 6camisas restantes e assim ate guardarmos a unica camisa restantena ultima gaveta. Importante lembrar que o procedimento”guardar as camisas”foi separado em outros 7 procedimentos queforam realizados conjuntamente, ou seja, guardar c1(proc.1) eguardar c2(proc.2) e assim sucessivamente ate guardar c7(proc.7).

c4 c6 c1 c5 c3 c2 c7

E se tivessemos 7 objetos ? Podemos utilizar o princıpiomutiplicativo estudado para obter P7, observe que permutar 7objetos equivale a ”guardar”7 camisas em uma comoda com 7gavetas. Para tal, devemos abrir a primeira gaveta , escolherqualquer uma das 7 (c1 ou c2 ou...c7) camisas e guarda-la, damesma forma, abrimos a segunda gaveta, escolhemos uma das 6camisas restantes e assim ate guardarmos a unica camisa restantena ultima gaveta. Importante lembrar que o procedimento”guardar as camisas”foi separado em outros 7 procedimentos queforam realizados conjuntamente, ou seja, guardar c1(proc.1) eguardar c2(proc.2) e assim sucessivamente ate guardar c7(proc.7).

c4 c6 c1 c5 c3 c2 c7

Encontrando P7 ...

Agora aplicando o princıpio multiplicativo por vezes repetidas(formula 2), temos que:

P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 .Logo, de uma maneira geral podemos deduzir :

Pn = (n) · (n − 1) · (n − 2) · · · (2) · (1) = n! (5)

Lembrando que 0!=1.

Encontrando P7 ...

Agora aplicando o princıpio multiplicativo por vezes repetidas(formula 2), temos que:P7 = 7 ·

6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 .Logo, de uma maneira geral podemos deduzir :

Pn = (n) · (n − 1) · (n − 2) · · · (2) · (1) = n! (5)

Lembrando que 0!=1.

Encontrando P7 ...

Agora aplicando o princıpio multiplicativo por vezes repetidas(formula 2), temos que:P7 = 7 · 6 ·

5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 .Logo, de uma maneira geral podemos deduzir :

Pn = (n) · (n − 1) · (n − 2) · · · (2) · (1) = n! (5)

Lembrando que 0!=1.

Encontrando P7 ...

Agora aplicando o princıpio multiplicativo por vezes repetidas(formula 2), temos que:P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 .Logo, de uma maneira geral podemos deduzir :

Pn = (n) · (n − 1) · (n − 2) · · · (2) · (1) = n! (5)

Lembrando que 0!=1.

Encontrando P7 ...

Pn = (n) ·

(n − 1) · (n − 2) · · · (2) · (1) = n! (5)

Lembrando que 0!=1.

Encontrando P7 ...

Pn = (n) · (n − 1) ·

(n − 2) · · · (2) · (1) = n! (5)

Lembrando que 0!=1.

Encontrando P7 ...

Pn = (n) · (n − 1) · (n − 2) · · ·

(2) · (1) = n! (5)

Lembrando que 0!=1.

Encontrando P7 ...

Pn = (n) · (n − 1) · (n − 2) · · · (2)

· (1) = n! (5)

Lembrando que 0!=1.

Encontrando P7 ...

Pn = (n) · (n − 1) · (n − 2) · · · (2) · (1) =

n! (5)

Lembrando que 0!=1.

Encontrando P7 ...

Pn = (n) · (n − 1) · (n − 2) · · · (2) · (1) = n! (5)

Lembrando que 0!=1.

Estudando os Arranjos ...

Imagine agora que dos nossos n objetos distinguıveis, vamosescolher k deles com 0 ≤ k ≤ n

e mais uma vez iremospermuta-los. Considere An

k o numero total de maneiras de realizartal procedimento.

Escolhendo exatamente 3 camisas

Pretendemos escolher 3 camisas (k=3) das 7 possıveis (n=7) parautilizarmos em 3 dias consecutivos, lembrando que nao queremosrepetir de camisa em dias diferentes.

No primeiro dia, posso escolher qualquer uma das 7(procedimento 1).

Imagine agora que dos nossos n objetos distinguıveis, vamosescolher k deles com 0 ≤ k ≤ n e mais uma vez iremospermuta-los. Considere An

No segundo dia, posso escolher qualquer uma das 6restantes(procedimento 2).

No terceiro dia, posso escolher qualquer uma das 5restantes(procedimento 3).

Mas uma vez, vamos executar os procedimentos conjuntamente.Logo, pelo princıpio multiplicativo temos :

P73 = 7 · 6 · 5 = 210.

Por outro lado,

(7− 3)!=

7 · 6 · 5 · 4!

Concluımos que ha 210 maneiras diferentes de escolher 3 objetosdentre 7 distinguıveis e permuta-los.

Mas uma vez, vamos executar os procedimentos conjuntamente.Logo, pelo princıpio multiplicativo temos : P7

7 · 6 · 5 = 210.Por outro lado,

(7− 3)!=

7 · 6 · 5 · 4!

3 = 7 ·

6 · 5 = 210.Por outro lado,

(7− 3)!=

7 · 6 · 5 · 4!

3 = 7 · 6 ·

5 = 210.Por outro lado,

(7− 3)!=

7 · 6 · 5 · 4!

3 = 7 · 6 · 5 =

210.Por outro lado,

(7− 3)!=

7 · 6 · 5 · 4!

3 = 7 · 6 · 5 = 210.

Por outro lado,

(7− 3)!=

7 · 6 · 5 · 4!

3 = 7 · 6 · 5 = 210.Por outro lado,

(7− 3)!=

7 · 6 · 5 · 4!

Generalizando os Arranjos...

Assim, de uma maneira geral segue que:

Ank = (n) · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1) , ou seja

(n − k)!(6)

Assim, de uma maneira geral segue que:Ank =

(n) · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1) , ou seja

(n − k)!(6)

Assim, de uma maneira geral segue que:Ank = (n) ·

(n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1) , ou seja

(n − k)!(6)

Assim, de uma maneira geral segue que:Ank = (n) · (n − 1) ·

(n − 2) · . . . · (n − k + 1) , ou seja

(n − k)!(6)

Assim, de uma maneira geral segue que:Ank = (n) · (n − 1) · (n − 2) ·

. . . · (n − k + 1) , ou seja

(n − k)!(6)

Assim, de uma maneira geral segue que:Ank = (n) · (n − 1) · (n − 2) · . . . ·

(n − k + 1) , ou seja

(n − k)!(6)

Assim, de uma maneira geral segue que:Ank = (n) · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1) , ou seja

(n − k)!(6)

Assim, de uma maneira geral segue que:Ank = (n) · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1) , ou seja

(n − k)!(6)

Combinacoes: Escolhendo os k objetos, mas sempermuta-los

Aqui teremos mais uma vez n objetos distinguıveis, escolheremos kdeles com 0 ≤ k ≤ n mas dessa vez nao vamos levar emconsideracao o ordem dos mesmos,

denotaremos por Cnk o numero

de maneiras de fazer a escolha acima. Considere os objetos a,b,c ed (n=4) e k=2, segue todas as combinacoes possıveis:

ab ac ad bc bd cd

Assim, C 42 = 6.

Importante ressaltar que para obtermos A42, apenas devemos

multiplicar C 42 por 2! , uma vez que cada parzinho formado acima,

nos resultaria em duas possibilidades no arranjo. Por exemplo, opar (ab) resultaria tambem num possıvel arranjo (ba).

Aqui teremos mais uma vez n objetos distinguıveis, escolheremos kdeles com 0 ≤ k ≤ n mas dessa vez nao vamos levar emconsideracao o ordem dos mesmos, denotaremos por Cn

k o numerode maneiras de fazer a escolha acima. Considere os objetos a,b,c ed (n=4) e k=2, segue todas as combinacoes possıveis:

ab ac ad bc bd cd

Assim, C 42 = 6.

ac ad bc bd cd

Assim, C 42 = 6.

ad bc bd cd

Assim, C 42 = 6.

ab ac ad

bc bd cd

Assim, C 42 = 6.

ab ac ad bc bd cd

Assim, C 42 = 6.

ab ac ad bc bd cd

Assim, C 42 = 6.

Generalizando as Combinacoes...

Assim,(2!) · C 4

2 = A42 = 12

Logo, generalizando na escolha de k objetos:

(k!)Cnk = An

k ⇒ Cnk =

Assim,(2!) · C 4

2 = A42 = 12

(k!)Cnk = An

Assim,(2!) · C 4

2 = A42 = 12

(k!)Cnk = An

k ⇒ Cnk =

Assim,(2!) · C 4

2 = A42 = 12

(k!)Cnk = An

k ⇒ Cnk =

n!(n−k)!

Assim,(2!) · C 4

2 = A42 = 12

(k!)Cnk = An

k ⇒ Cnk =

n!(n−k)!

Portanto,

(k!) · (n − k)!(7)

Assim,(2!) · C 4

2 = A42 = 12

(k!)Cnk = An

k ⇒ Cnk =

n!(n−k)!

Portanto,

(k!) · (n − k)!(7)

Observacao: Outra notacao muito utilizada e o coeficiente binomial(nk

(k!) · (n − k)!

Sumario

1 Introducao

Exercıcios

1) Quantas senhas de 4 dıgitos podem ser formadas usando asletras A,B,C,D,E e F se:a)Nenhuma letra pode ser repetida?b)Qualquer letra pode ser repetida qualquer numero de vezes ?

Exercıcios

2) Dentre 11 pessoas, quantas comissoes de 3 pessoas podem serescolhidas?

Exercıcios

3) Dentre 8 pessoas(5 homens e 3 mulheres), quantas comissoescom 3 pessoas podem ser formadas tendo exatamente 2 homens ?

Exercıcios

4) Em um concurso, serao sorteados 3 premios, o principal para oprimeiro colocado, o premio (mais ou menos) para o segundocolocado e por fim o premio (sem graca) para o terceiro colocado.Se 25 pessoas concorrem aos premios e levando em consideracaoque nao ha empates nas colocacoes, de quantas maneiras maneirasdiferentes a premiacao pode ser feita?

Desafios...

1 Numa determinada festa, voce deve convitar 5 amigos dentre14 possıveis. Mas dois deles sao desafetos e nao podem serconvidados juntos. De quantas maneiras voce pode realizar osconvites ?

2 Quantos subconjuntos de Ω = a1, a2, . . . , an existem ?

3 Interprete as seguintes igualdades:

n − k

(n − 1k − 1

(n − 1k

)c)(a + b)n =

n∑k=0

)· ak · bn−k

Desafios...

n − k

(n − 1k − 1

(n − 1k

)c)(a + b)n =

n∑k=0

)· ak · bn−k

Desafios...

n − k

(n − 1k − 1

(n − 1k

)c)(a + b)n =

n∑k=0

)· ak · bn−k

Referencias

Meyer, P. , Probabilidade - Aplicacoes a Estatıstica, 2a edicao,Livros Tecnicos e Cientıficos Editora,2003.

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