José Sá da Costa T11 - Análise de Sistemas no Tempo - Resp. estacionária 1

Sinais e Sistemas Mecatrónicos

José Sá da Costa

Análise de Sistemas no Domínio do Tempo Resposta Estacionária

José Sá da Costa T11 - Análise de Sistemas no Tempo - Resp. estacionária 2

Resposta Estacionária

( ) ( ) ( )C s T s R s=( ) ( ) ( )E s R s C s= − ( ) [1 ( )] ( )E s T s R s= −

Caracterização da resposta estacionário A caracterização da resposta estacionária quantifica o erro da saída do sistema em seguir a sua entrada. Duas situações são possíveis:

Erro estacionário em anel aberto – é necessário criar um ramo directo que compare a entrada com a saída.

0 0( ) lim ( ) lim ( ) lim [1 ( )] ( )

t s se e t sE s s T s R s

→∞ → →∞ = = = −

Anel aberto Anel fechado (realimentação unitária)

Do Teorema do Valor Final

José Sá da Costa T11 - Análise de Sistemas no Tempo - Resp. estacionária 3

Resposta Estacionária

( ) ( ) ( )C s G s E s=( ) ( ) ( )E s R s C s= −( )( )

1 ( )R sE sG s

=+

Erro estacionário em sistemas com realimentação unitária sendo a FT em anel aberto G(s)

0

( )( ) lim1 ( )s

sR seG s→

∞ =+

Nota: Esta é a situação mais normal no cálculo de erros estacionários, uma vez que caso este seja diferente de zero é necessário minimizá-lo ou torná-lo nulo através da modificação do ganho ou da introdução de uma factor integral na acção de controlo.

Do Teorema do Valor Final

Classificação de sistemas com realimentação

No caso de sistemas com realimentação unitária o erro estacioná-rio depende do tipo N do sistema (nº de pólos na origem da função de transferência do anel aberto) e do sinal de referência utiliza-do. Realimentação unitária FT em anel aberto G(s)

Realimentação não unitária FT em anel aberto G(s)H(s) José Sá da Costa T11 - Análise de Sistemas no Tempo - Resp. estacionária 4

Resposta Estacionária

G(s) =K (Tas +1)(Tbs +1)sN (T1s +1)(T2s +1)

G(s)H (s) =K (Tas +1)(Tbs +1)sN (T1s +1)(T2s +1)

Classificação de sistemas com realimentação (cont.)

Sistema do tipo 0 se N = 0 Sistema do tipo 1 se N = 1 Sistema do tipo 2 se N = 2 Etc.

À medida que o tipo do sistema aumenta, a exactidão melhora; contudo, o aumento do tipo do sistema agrava a estabilidade do sistema. Exemplo:

Sistema do tipo 0

Notar que esta classificação é diferente da referente à ordem do sistema.

José Sá da Costa T11 - Análise de Sistemas no Tempo - Resp. estacionária 5

Resposta Estacionária

Classificação de sistemas com realimentação (cont.)

Exemplos:

Sistema do tipo 2 Exemplo:

Sistema do tipo 1

José Sá da Costa T11 - Análise de Sistemas no Tempo - Resp. estacionária 6

Resposta Estacionária

Constantes de erro

As constantes de erro são figuras de mérito dos sistemas com realimentação.

Quanto mais elevadas são estas constantes de erro mais pequeno é o erro estacionário.

Independentemente das grandezas físicas consideradas (mecâni-cas, eléctricas, fluídicas, térmicas, etc.) designaremos, no contex-to da análise do erro estacionário, posição à saída do sistema, velocidade à variação da saída do sistema e aceleração à variação da velocidade do sistema.

Por exemplo, num sistema térmico em que a saída é a temperatura, esta representa a posição, a velocidade representa a variação da temperatura e a aceleração representa a variação da variação da temperatura, i.e. a variação da velocidade.

José Sá da Costa T11 - Análise de Sistemas no Tempo - Resp. estacionária 7

Resposta Estacionária

Constantes de erro de posição

No caso de um sistema com realimentação unitária o erro estacio-nário para um degrau unitário (erro de posição) é

A constante de erro de posição é definida por Resultando um erro estacionário de posição

José Sá da Costa T11 - Análise de Sistemas no Tempo - Resp. estacionária 8

Resposta Estacionária

0 0

( ) 1 1( ) lim lim1 ( ) 1 ( ) 1 (0)ss s s

sR s se eG s G s s G→ →

= ∞ = = =+ + +

0lim ( ) (0)p s

K G s G→

= =

11ss

pe

K=

+

Constantes de erro de posição (cont.)

Para um sistema do tipo 0 teremos Para um sistema do tipo 1 ou superior Logo, para sistemas do tipo 0, a constante de erro de posição Kp é finita, resultando um erro finito, enquanto que para sistemas do tipo 1 ou superior Kp é infinito, resultando um erro nulo.

José Sá da Costa T11 - Análise de Sistemas no Tempo - Resp. estacionária 9

Resposta Estacionária

01 2

( 1)( 1)lim( 1)( 1)

a bp s

K T s T sK KT s T s→

+ += =

+ +

LL

01 2

( 1)( 1)lim , 1( 1)( 1)a b

p Ns

K T s T sK Ns T s T s→

+ += =∞ ≥

+ +

LL

Constantes de erro de velocidade

No caso de um sistema com realimentação unitária o erro estacio-nário para uma rampa unitária (erro de velocidade) é

A constante de erro de velocidade é definida por Resultando um erro estacionário de velocidade

José Sá da Costa T11 - Análise de Sistemas no Tempo - Resp. estacionária 10

Resposta Estacionária

20 0 0

( ) 1 1( ) lim lim lim1 ( ) 1 ( ) ( )ss s s s

sR s se eG s G s sG ss→ → →

= ∞ = = =+ +

0lim ( )v s

K sG s→

=

1ss

ve

K=

Constantes de erro de velocidade (cont.)

Para um sistema do tipo 0 teremos Para um sistema do tipo 1 Para um sistema do tipo 2 ou superior

José Sá da Costa T11 - Análise de Sistemas no Tempo - Resp. estacionária 11

Resposta Estacionária

01 2

( 1)( 1)lim 0( 1)( 1)

a bv s

sK T s T sKT s T s→

+ += =

+ +

LL

01 2

( 1)( 1)lim , 2( 1)( 1)a b

v Ns

sK T s T sK Ns T s T s→

+ += =∞ ≥

+ +

LL

01 2

( 1)( 1)lim( 1)( 1)

a bv s

sK T s T sK Ks T s T s→

+ += =

+ +

LL

1 10ss

ve

K= = =∞

1 1ss

ve

K K= =

1 0ssv

eK

= =

Constantes de erro de aceleração

No caso de um sistema com realimentação unitária o erro estacio-nário para uma parábola unitária (erro de acele-ração) é

A constante de erro de aceleração é definida por Resultando um erro estacionário de aceleração

José Sá da Costa T11 - Análise de Sistemas no Tempo - Resp. estacionária 12

Resposta Estacionária

2( ) 2, 0r t t t= ≥

3 20 0 0

( ) 1 1( ) lim lim lim1 ( ) 1 ( ) ( )ss s s s

sR s se eG s G s s s G s→ → →

= ∞ = = =+ +

2

0lim ( )a s

K s G s→

=

1ss

ae

K=

Constantes de erro de aceleração cont.

Para um sistema do tipo 0 teremos Para um sistema do tipo 1 Para um sistema do tipo 2

José Sá da Costa T11 - Análise de Sistemas no Tempo - Resp. estacionária 13

Resposta Estacionária

2

01 2

( 1)( 1)lim 0( 1)( 1)

a ba s

s K T s T sKT s T s→

+ += =

+ +

LL

2

201 2

( 1)( 1)lim( 1)( 1)

a ba s

s K T s T sK Ks T s T s→

+ += =

+ +

LL

2

01 2

( 1)( 1)lim 0( 1)( 1)

a ba s

s K T s T sKs T s T s→

+ += =

+ +

LL

1 10ss

ae

K= = = ∞

1 10ss

ae

K= = = ∞

1 1ss

ae

K K= =

Constantes de erro de aceleração cont.

Para um sistema do tipo 3 ou superior Notar que o sistemas de tipo 0 e 1 são incapazes de seguir em regime estacionário uma parábola de entrada. O sistema de tipo 2 consegue seguir em regime estacionário a parábola de entrada, embora com erro finito. Sistemas de tipo 3 ou superior seguem perfeitamente em regime estacionário a parábola de entrada.

José Sá da Costa T11 - Análise de Sistemas no Tempo - Resp. estacionária 14

Resposta Estacionária

2

01 2

( 1)( 1)lim , 3( 1)( 1)

a ba Ns

s K T s T sK Ns T s T s→

+ += =∞ ≥

+ +

LL

1 1 0ssa

eK

= = =∞

José Sá da Costa T11 - Análise de Sistemas no Tempo - Resp. estacionária 15

Resposta Estacionária Tabela dos erros estacionários função do ganho K

José Sá da Costa T11 - Análise de Sistemas no Tempo - Resp. estacionária 16

Resposta Estacionária

1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) / ( ) e G s G s G s H s H G s= =

Erro estacionário em sistemas com realimentação não unitária Notar que neste caso o sinal de actuação Ea(s) não é o erro entre a entrada e a saída. É necessário convertê-lo num sistema de realimentação unitária.

José Sá da Costa T11 - Análise de Sistemas no Tempo - Resp. estacionária 17

Resposta Estacionária Erro estacionário em sistemas com realimentação não unitária (cont.)

Aplicando-se em seguida a metodologia do caso de realimentação unitária

José Sá da Costa T11 - Análise de Sistemas no Tempo - Resp. estacionária 18

Resposta Estacionária Comparação do erro estacionário em sistemas em anel aberto e sistemas com realimentação unitária

Considere-se o sistema em anel aberto, ao qual se aplica um degrau unitário. Neste caso teremos ou O erro estacionário ao degrau unitário virá

( ) ( ) ( )e t r t c t= -

( ) ( ) ( )E s R s C s= -

ess = lim

s→0sE(s) = lim

s→0s[1−G0(s)]

1s

= 1−G0(0)

Se o ganho dc for 1 o erro é nulo. Se por razões operacionais o ganho dc se alterar só volta a zero recalibrando.

José Sá da Costa T11 - Análise de Sistemas no Tempo - Resp. estacionária 19

Resposta Estacionária Comparação do erro estacionário em sistemas com realimentação unitária (cont.)

No caso do sistema em anel fechado, ao qual se aplica um degrau unitário. Teremos onde

( ) ( ) ( )E s R s C s= −( )( )

1 ( )R sE sG s

=+

( )1

pK KG s

Ts=

+

José Sá da Costa T11 - Análise de Sistemas no Tempo - Resp. estacionária 20

Resposta Estacionária Comparação do erro estacionário em sistemas com realimentação unitária (cont.)

Resultando o erro estacionário ao degrau Nos sistemas em anel fechado faz-se o ganho Kp elevado relativa-mente a 1/K. Desta forma o erro pode ser reduzido mas não é nulo. Vamos assumir que se verifica a seguinte alteração na função de transferência do sistema, i.e. variação do ganho

mantendo Kc e Kp constantes

0

1 1 1lim1 ( ) 1 (0) 1ss s p

seG s s G K K→

= = =+ + +

1K KTs+ Δ+

José Sá da Costa T11 - Análise de Sistemas no Tempo - Resp. estacionária 21

Resposta Estacionária Comparação do erro estacionário em sistemas com realimentação unitária (cont.)

Por exemplo, no caso de o ganho ser K =10 e variar de ∆K = 1, ou seja, ∆K/K = 0,1 o erro estacionário em anel aberto ao degrau unitário virá Para o caso do anel fechado teremos Ou seja o anel fechado é superior ao anel aberto quando há variações dos parâmetros do sistema devido ao uso ou alterações ambientais.

11 ( ) 1 1,1 0,1sse K KK

= − + Δ = − = −

1 1 1 0,0091001 (0) 1 1101 ( )sse G K K

K

= = = =+ ++ + Δ