Post on 18-Apr-2015
SINAIS
Prof. Marcelo de Oliveira Rosa
Sinais
Função de uma ou mais variáveis que carrega informação sobre um determinado fenômeno 1 variável sinal unidimensional n variáveis sinal multidimensional
Exemplos: Sinal de voz/fala e sinais biológicos Sinal de vídeo Precificação de ações (séries temporais) Movimentação de máquinas elétricas
(vibração)
Sinais
Quanto à(s) variável(is) independente(s) Contínuo (analógico) Discreto
Quanto à amplitude: Contínuo (analógico) Discreto
Quanto a aleatoriedade em amplitude: Determinístico Aleatório (Random)
Sinais
Classificação Depende da discretização ou não da
amplitude e da variável independente. Geralmente a variável independente será
tempo (t) Casos:
Amplitude contínua com tempo contínuo Sinal analógico
Amplitude contínua com tempo discreto Amplitude discreta com tempo contínuo Amplitude discreta com tempo discreto
Sinal digital
Sinais
Para facilitar Sinais com tempo discreto Seqüência
Amplitude contínua com tempo discreto Amplitude discreta com tempo discreto
Sinais
Notações Tempo contínuo: x(t)
t = tempo (em segundos) (t ∈ R) O sinal x(t) é função do tempo
Tempo discreto: x[n] n = instante (adimensional) (n ∈ Z) A seqüência x[n] é função do instante Reforçando: não existe n = 1,5, por exemplo.
Sinais
Pode apresentar descontinuidades!!! A continuidade está ligada a (t ∈ R) Existem instante t0 tal que: )t(xlim)t(xlim 0
00
0
Sinais
Sinais periódicos e não-periódicos Inclui exponenciais complexas
Sinais
Sinais periódicos e não-periódicos x(t) = x(t + T), para todo t ∈ R.
T é o período “fundamental” do sinal (T ∈ R+) f = 1/T freqüência “fundamental”.
Em Hertz ω = 2π/T
Em radianos/s
Sinais
Sinais periódicos e não-periódicos Exemplos:
x(t) = cos(300π t + π/3) x(t) = 10 cos(1G π t)
Sinais senoidais puros x(t) = A cos(2 π f0 t + θ)
θ fase (em radianos) x(t) = 10 e-10t
x(t) = 10-6 e-1000t cos(3000 π t – π/2) Sinais exponenciais complexos x(t) = A e-σ0 t [cos(2 π f0 t) + j sen(2 π f0 t)]
σ0 constante de amortecimento
Sinais
Sinais periódicos e não-periódicos Lembre-se:
Relação de Euler e±jωt = cos(ωt) ± j sen(ωt) + cos(ωt) = Re{e±jωt} ± sen(ωt) = Im{e±jωt}
Relações trigonométricas sen(a ± b) = sen(a) cos(b) ± sen(b) cos(a) cos(a ± b) = cos(a) cos(b) ∓ sen(a) sen(b)
Sinais
Sinais periódicos e não-periódicos Exemplos/Exercícios
Sinais
Sinais com descontinuidades/singularidades Sinais com descontinuidades
Em algum t0:
Representação de fenômenos como: Chave liga-desliga Sinais discretos/digitais Variações lineares Amostragem de sinais contínuos
)t(xlim)t(xlim 00
00
Sinais
Sinais com descontinuidades/singularidades Degrau unitário:
Descontinuidade tem t=zero. Formulação consistente com séries e
transformadas de Fourier para representação de chaves liga-desliga.
0t,1
0t,21
0t,0
)t(u
Sinais
Sinais com descontinuidades/singularidades Representações alternativas do Degrau
unitário:
Formas ligadas a fenômenos físicos Carecem de rigor formal (teoria de Fourier)
Se excitarem um sistema qualquer Produzem mesmo resultado!!!
0t1
0t0)t(u
0t1
0t0)t(u
0t1
0t0)t(u
Sinais
Sinais com descontinuidades/singularidades Degrau unitário
Exemplos/Exercícios Demonstre que Degrau unitário formal e suas
variações alternativas são equivalentes.
Sinais
Sinais com descontinuidades/singularidades Sinal unitário
Indica o sinal de t Matematicamente: sgn(t) = 2 u(t) – 1
Admite versão alternativa, como u(t)
0t,1
0t,0
0t,1
)tsgn(
Sinais
Sinais com descontinuidades/singularidades Rampa unitária
Este sinal é definido por:
0tt
0t0)t(rampa
)t(tud)(u)t(rampat
Sinais
Sinais com descontinuidades/singularidades Impulso unitário
Representação gráfica
1dt)t(
0t,0)t(
Área = 1
δ(t)t
Sinais
Sinais com descontinuidades/singularidades Impulso unitário
Derivações importantes: Relação entre sinal impulso e sinal degrau
unitário
Extração de valor pontual de função genérica
)t(ud)()t(dt
)t(du t
dt)t(g)t()0(g
Sinais
Sinais com descontinuidades/singularidades Impulso unitário
Derivações importantes: Extração de valor pontual de função genérica
Propriedade de escala
dt)t(g)tt()t(g 00
)tt(a
1)tt(a 00
Sinais
Sinais com descontinuidades/singularidades Trem de impulsos
Note que o trem de impulsos é periódico Período T = T0
Útil para representar matematicamente a amostragem.
Conversão AD Impossível de criar fisicamente.
n
0T )nTt()t(
Sinais
Sinais com descontinuidades/singularidades Pulso retangular unitário
Pulso triangular unitário
21t,1
21t,21
21t,0
)t(rect
1tt1
1t0)t(tri
Sinais
Sinais especiais Sinc unitário
Usado na reconstrução de sinais analógicos a partir de seqüências discretas (conversão DA)
Gerador do fenômeno de Gibbs Veremos em transformada de Fourier
t
)tsin()tsinc(
Sinais
Sinais especiais Sinc unitário
Sinais
Sinais especiais Sinal de Dirichlet
Serve para representação matemática da conversão AD
Similaridade com sinc(t) N ímpar soma infinita de sinc(t) igualmente
espaçados. N par soma alternada de sinc(t)
Compare: sinal de Dirichlet trem de impulsos
)tsin(N
)Ntsin()t(diric
Sinais
Sinais especiais Sinal de Dirichlet
Sinais
Sinais pares e ímpares Equivalente a idéia de funções pares e
ímpares Sinal par:
x(t) = x*(–t), para todo t ∈ R. Conjugado simétrico
Sinal ímpar: x(t) = – x*(–t), para todo t ∈ R. Conjugado assimétrico
Todo x(t) = xp(t) + xi(t) Como obter as partes par e ímpar de x(t)?
Sinais
Sinais pares e ímpares Exemplos/Exercícios
Sinais
Operações básicas Soma e subtração de sinais Multiplicação e quociente de sinais
Multiplicação Modulação Observações importantes:
São realizadas ponto-a-ponto Equivalente a operações envolvendo funções Exemplo: w(t) = x(t) op y(t) op = +, -, *, /
w(t0) = x(t0) op y(t0) w(t1) = x(t1) op y(t1) ...
Sinais
Operações básicas Soma e subtração de sinais Multiplicação e quociente de sinais
Exemplos/Exercícios
Sinais
Operações básicas Deslocamento temporal
Operação de atraso ou avanço de sinais f(t) = g(t + t0) f(t) está adiantado em relação a g(t) h(t) = g(t – t0) h(t) está atrasada em relação a g(t)
Dado g(t) e t0 (tempo de atraso/avanço)
Exemplos: Efeito Doppler Representação de eco Atraso de propagação em meios de comunicação
Sinais
Operações básicas Deslocamento temporal
Exemplos/Exercícios
Sinais
Operações básicas Escala em amplitude
h(t) = α g(t) Dado g(t) e α (fator de ganho)
Pode representar: Amplificação Atenuação Reflexão
Sinais
Operações básicas Escala em amplitude
Exemplos/Exercícios
Sinais
Operações básicas Escala no tempo
h(t) = g(t/A) Dado g(t) e A(≠zero) (fator de
encolhimento/dilatação)
Pode representar: Amplificação Atenuação Reflexão (ou inversão temporal)
Disco sendo tocado de trás para frente.
Sinais
Operações básicas Escala em amplitude
Exemplos/Exercícios
Sinais
Operações básicas Integração/diferenciação
Diferenciação de g(t) Inclinação de g(t) no instante t.
Integração de g(t) Acumulação de g(t) até o instante t qualquer.
dt
)t(dg)t(h
td)(g)t(h
Sinais
Operações básicas Integração/diferenciação
Diferenciação Filtragem passa-alta
Integração Filtragem passa-baixa
Genericamente Diferenciação e integração são operações opostas Lembrar da constante de integração por se tratar
de sinais de duração infinita.
Sinais
Operações básicas Integração/diferenciação
Sinais
Operações básicas Integração/diferenciação
Sinais
Operações básicas Integração/diferenciação
Exemplos/Exercícios
Sinais
Energia e Potência de Sinais Abstração matemática
Tentativa de avaliar energia transferida pelo sinal
Exemplos: Corrente, fluxo de nêutrons, força aplicada,
temperatura
Energia de sinal
Calculada para sinais para o qual Ex converge!
dt)t(xE
2
x
Sinais
Energia e Potência de Sinais Potência de sinal
Propício para sinais periódicos Para esses, Ex não converge (Ex oscila) Neste caso, T = T0 (período do sinal)
2T
2T
2
Tx dt)t(x
T
1limP
Sinais
Energia e Potência de Sinais Classe de sinais:
Sinais com energia finita Sinais com potência finita
Com energia “infinita” Sinais com energia e potência infinitas
Sinais
Energia e Potência de Sinais Exemplos/Exercícios