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1 CONHECIMENTOS GEOMÉTRICOS - ENEM
D
SOLUÇÃO PC1.
[A]
Admitindo que S seja á área do triângulo ABX e d a distância entre P e B, podemos determinar S de dois
modos diferentes.
10 d 5 6S ou S
2 2
Portanto,
10 d 5 6d 3 m
2 2
SOLUÇÃO PC2.
[B]
3 3 3M M
mM
V VH 21 27 21 21 3h 14
8V h h 8 h h 2V
27
Portanto, a distância solicitada é:
d H h d 21 14 d 7 (Número primo)
SOLUÇÃO PC3.
[C]
Volume de uma barra com um metro de comprimento em 3m . 2
3 9V
1000 1000000
ππ
Portanto a densidade, em 3kg / m , será dada por:
30,222 222000kg / m .
9 9
1000000
π π
SOLUÇÃO PRATIQUE EM CASA
2 CONHECIMENTOS GEOMÉTRICOS - ENEM
SOLUÇÃO PC4.
[C] A área lateral total envernizada em cada banco é dada por
2
2
4 (4 3 40 2 3 ) 2 30 (5 30) 1992 6594
8.586cm .
π
Desse modo, para envernizar toda a produção mensal, serão necessários 40 8586
4,3 L80000
e, portanto, o
marceneiro deverá comprar 5 latas de verniz.
SOLUÇÃO PC5.
[A] Sabemos que todos os sólidos possuem a mesma altura. Portanto, podemos concluir que:
Volume do cubo 3x
Volume da pirâmide x (um terço do volume do cubo)
Volume do cilindro 3y
Volume do cone y (um terço do volume do cilindro)
Somando o volume de 2 cubos e de 2 cilindros, obtêm-se 3180 cm .
2 3x 2 3y 180 x y 30
Portanto, a soma dos volumes, em 3cm , de um cubo, um cilindro, dois cones e duas pirâmides é dada por:
3x 3y 2x 2y 5 (x y) 5 30 150
SOLUÇÃO PC6.
[C] Vamos considerar que o copo tenha a forma de um tronco de cone circular de bases paralelas, com diâmetro da
base maior igual a 100mm e diâmetro da base menor igual 60mm,
O volume V de um tronco de cone circular é dado pela seguinte fórmula:
2 2hV R R r r
3π
‘
3 CONHECIMENTOS GEOMÉTRICOS - ENEM
onde:
R é a medida do raio da base maior,
r é a medida do raio da base menor e
h é a altura do tronco de cone. Portanto, o volume do copo será dado por:
2 2
3
12V 3 5 5 3 3
3
V 12 49
V 588 cm 588 mL
Portanto, se o enunciado tivesse apresentado todas as informações necessárias, a resposta correta seria
500mL V 600mL 0,5L V 0,6L, ou seja, alternativa [C].
SOLUÇÃO PC7.
[D] Segue abaixo com a numeração das figuras utilizadas:
Considerando que os triângulos 6 e 7 são congruentes e que o triângulo 6 não aparece como opção de
resposta, consideraremos como opção correta a letra [D]. SOLUÇÃO PC8.
[D] De acordo com o problema, temos a seguinte figura:
O valor de y será calculado aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo de hipotenusa BC.
2 2 2 2y 12 15 y 81 y 9
Como y é uma medida de comprimento, temos y 9.
Portanto, a medida da base DC será dada por:
DC 5 10 9 24m.
4 CONHECIMENTOS GEOMÉTRICOS - ENEM
SOLUÇÃO PC9.
[A]
Se a área do trapézio vale 10, então
x 32 10 x 7.
2
Daí, como o trapézio é isósceles, segue que os lados não paralelos medem 2 2 cada.
Por outro lado, sendo 7 a diagonal do quadrado, podemos concluir que seus lados medem 7 2
2 e, portanto, a
resposta é
7 23 2 2 2 7 4 10 18 2.
2
SOLUÇÃO PC10.
[A]
Para que as áreas dos terrenos sejam iguais, devemos considerar que BD DC 10m.
No triângulo ABD, temos:
2 2 2AD 21 10 AD 23m
Então, o comprimento total do muro será dado por, aproximadamente:
21 29 20 23 93m
Portanto, a área total de muro construída será de, aproximadamente, 293 3 279m .
E o valor total da construção será de, aproximadamente, 279 90 25.110,00, ou seja, aproximadamente 25
milhares de reais. SOLUÇÃO PC11.
[E]
Seja A a área semiárida da região Nordeste, então: 2A 0,2 181000 A 905000 km
SOLUÇÃO PC12.
[D] Vamos, inicialmente, dividir a área ocupada pelas pessoas em retângulos.
‘
5 CONHECIMENTOS GEOMÉTRICOS - ENEM
A área A ocupada pelas pessoas será a soma das áreas dos retângulos:
1 2 3 4A A A A A
A 15 0,5 40 1 40 1,2 0,8 25
A 7,5 40 48 20
A 115,5
Como haviam duas pessoas por metro quadrado, o número n de pessoas presentes no desfile foi de:
n 115,5 2 231.
SOLUÇÃO PC13.
[A]
Seja a largura do jardim de inverno. Logo, temos 6 15, ou seja, 2,5 m. Daí, segue que a área do jardim
de inverno é 2 22 (2,5) 12,5 m . Portanto, a área pedida é igual a 245,5 12,5 58 m .
SOLUÇÃO PC14.
[D]
Sabendo que o terreno é retangular e que sua área é de 220 m , pode-se deduzir suas medidas, sendo h o
comprimento do terreno:
5 h 20 h 4 metros
Se o terreno tem ao todo 4 metros de comprimento, então o lago terá comprimento igual a:
4 1 0,5 2,5 metros
Sabendo a área total do terreno e considerando como x a largura do deque e do lago, pode-se escrever:
2grama lago deque 20 m
0,48 20 2,5 x 4 x 20 6,5x 10,4 x 1,6 metros
Logo, a área do lago será igual a:
22,5 1,6 4 m
SOLUÇÃO PC15.
[D]
De acordo com os dados do enunciado, pode-se deduzir que o triângulo ABC é do tipo 30/60/90. Logo, o lado
BC mede 4km.
O triângulo ABC e o triângulo EDC são semelhantes, logo:
AB BC 2 4 3 2 3DE DC
DE DC DE 3 32 3 4DE
Aplicando o Teorema de Pitágoras e calculando a área dos polígonos, tem-se:
6 CONHECIMENTOS GEOMÉTRICOS - ENEM
2 2
2 2 2 2
ABC
EDC
ABDE
ABDE ABDE
EDC EDC
2 3 3DC EC DE EC EC 1
3 3
2 2 3S 2 3
2
1 3 3S
2 3 6
3 11 3S 2 3
6 6
S S11 3 611
S 6 S3
SOLUÇÃO PC16.
[A] Com os dados do enunciado, pode-se calcular:
22
prisma
3 33
prisma
x 3V 2 4 3 x x
4
x xV 2 4 3 4 3 2 x 8 x 2
4 4
SOLUÇÃO PC17.
[D]
A área A da coroa circular será dada por: 2 2 2A (15 10 ) 3 125 375 mπ
SOLUÇÃO PC18.
[A] Área de cada triângulo:
3 2A 3
2Δ
Cada tetraedro possui dois triângulos cobertos e a pipa possui 16 tetraedros em sua estrutura. Portanto, a área pedida será dada por:
2A 16 2 A 96cmΔ
SOLUÇÃO PC19.
[B] Calculando as áreas de cada uma das pizzas, tem-se:
2
2
Pizza broto inteira 15 225
Pizza gigante inteira 20 400
π π
π π
Utilizando a regra de três, pode-se escrever:
225 27
400 x
x 48 reais
π
π
Como a pizza gigante possui 10 pedaços, cada um sairá por R$ 4,80.
‘
7 CONHECIMENTOS GEOMÉTRICOS - ENEM
SOLUÇÃO PC20.
[C] A resposta é dada por
2
2
1 1(ADFE) (DFC) (BCE) 50 50 25 25 25
2 2
34 625 625
2
1.562,5 m .
SOLUÇÃO PC21.
[A] Considere a vista superior do filtro.
Desde que OA 3cm, OB 6cm e AOB 30 , pela Lei dos Cossenos, temos
2 2 2
2 2 2
AB OA OB 2 OA OB cosAOB
3AB 3 6 2 3 6
2
AB 3 5 2 3 cm.
Portanto, segue que a área da superfície do filtro é dada por
212 3 5 2 3 10 360 5 2 3 cm .
SOLUÇÃO PC22.
[C] Calculando:
22
total total
2 2cinza cinza
2 22cinza cinza
2total total
122A A 61
2
A 2 6,1 A 12,2
A A12,2 12,2 1 1
A 61 5 A 2561
π π
π π
π
π
8 CONHECIMENTOS GEOMÉTRICOS - ENEM
SOLUÇÃO PC23.
[C]
321232345
32
3
2
3
360
x
x
xsen
SOLUÇÃO PC24.
[E]
lV
mV
V
V
hAV b
74400
4,74
641,3
6)2(
3
2
l
Vcarros
84006600074400
66000551200
SOLUÇÃO PC25.
[A] Admitindo que r seja o raio da circunferência, temos:
2r 900 r 30,π π portanto, a equação da circunferência será dada por:
2 2 2 2 2(x 0) (y 10) 30 x y 20y 800 0
SOLUÇÃO PC26.
[A] Considerando os triângulos retângulos destacados na figura, temos:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
AB 10 5 AB 125 AB 5 5m
BC 20 15 BC 625 BC 25m
CD 10 20 CD 500 CD 10 5
Portanto, o deslocamento d da pessoa será dado por: d AB BC CD
d 5 5 25 10 5
d 15 5 25
d 5 (3 5 5)m
‘
9 CONHECIMENTOS GEOMÉTRICOS - ENEM
SOLUÇÃO PC27.
[D]
2 22 2d 7 5 6 1 d 144 25 d 13
SOLUÇÃO PC28.
[E]
Se mn 0, então m e n têm sinais iguais. Daí, certamente o ponto E não pertence à reta y mx n, pois
n 100m implica em m e n com sinais distintos.
SOLUÇÃO PC29.
[A] A equação da reta que geometricamente representa a rua é dada por:
Logo um possível ponto para a casa de Paulo é aquele que satisfaz a equação. Assim concluímos pelo ponto (12,25). SOLUÇÃO PC30.
[B]
SOLUÇÃO PC31.
[C]
Considerando os triângulos PAB e PCS semelhantes na figura, podemos escrever:
km4,1315789x150000000x114
150000000xx115115
1
150000000x
x
690000
6000
150000000x
x
Ou seja, aproximadamente 1.300.000 km.
10 CONHECIMENTOS GEOMÉTRICOS - ENEM
SOLUÇÃO PC32.
[C]
A área A pedida será o triplo da área de um setor circular de 30 , o que corresponde à área de um setor circular
de 90 , ou seja 1
4 da circunferência. Portanto:
2100A 25 m
4
ππ
SOLUÇÃO PC33.
[C]
Excetuando-se o triângulo equilátero, cada polígono pode ser dividido em 2n triângulos retângulos congruentes, com n sendo o número de lados do polígono. Além disso, sejam c, p e g, respectivamente, as frações da área
de cada polígono, correspondentes às quantidades de carboidratos, proteínas e gorduras. Desse modo, para o losango, o pentágono, o hexágono e o octógono, respectivamente, temos:
1 1 3(c, p, g) , , ;
2 8 8
6 1 3
(c, p, g) , , ;10 10 10
7 1 1
(c, p, g) , ,12 12 4
e 3 1 3
(c, p, g) , , .4 16 16
Em particular, para o triângulo equilátero, considere a figura.
É fácil ver que 5 1 1
(c, p, g) , , .9 9 3
Portanto, o único polígono que satisfaz é o pentágono. SOLUÇÃO PC34.
[E]
m65,0cm65cm5,226egadaspol 26
Medida do raio:
m325,02
65,0R
Comprimento de uma roda:
C 2 R 2 3,1 0,325 2,015 mπ
Número de voltas:
425015,2
6,855n
Portanto, o número de voltas está situado entre 400 e 500 voltas.
‘
11 CONHECIMENTOS GEOMÉTRICOS - ENEM
SOLUÇÃO PC35.
[A]
Aplicando Teorema de Pitágoras, temos:
2 2 2
2
x 150 80
x 22500 6400
x 28900
x 170 m
SOLUÇÃO PC36.
[D] Resolvendo a equação dada para a:
3 3 3
2
324a 0 4a 32 0 4a 32 a 8 a 2 dm
a
Logo, sabendo que 1litro 1decímetro cúbico, e que o volume da embalagem é igual a 8 litros, pode-se
escrever: 3
2base
2
V 8 dm
V S h a h
8 2 h h 2 dm
SOLUÇÃO PC37.
[D]
Admitindo que LA seja a medida da área lateral do cilindro e V seja a medida de seu volume, temos:
L
2 2
A 2 R h 2 R h 5 (equação I)
V R h R h 10 (equação II)
π π π
π π π
Dividindo a equação II pela equação I, temos:
dm40m4R22
R
12 CONHECIMENTOS GEOMÉTRICOS - ENEM
SOLUÇÃO PC38.
[B] O volume externo aos cones e interno ao cilindro é dado por
2 2 21 h 2R h 2 R R h,
3 2 3π π π
ou seja, é igual ao dobro da soma dos volumes dos cones. SOLUÇÃO PC39.
[D] Para o dodecaedro regular, temos: 12 faces pentagonais.
12 530
2
arestas.
Utilizando a relação de Euler, temos:
V A F 2 2 30 12 V 20 (vértices)
Portanto, o poliedro formado terá:
12 12 2 22 faces (F 22)
30 30 5 55 arestas (A 55)
20 20 5 35 vértices (V 35)
A soma pedida será dada por:
V F A 35 22 55 112.
SOLUÇÃO PC40.
[B]
Considerando que x seja o raio da esfera e escrevendo que o volume da esfera é igual ao volume da água deslocada, pode-se escrever:
33 2 34 9R 27R 3
x R x x R3 16 64 4π π
‘
13 CONHECIMENTOS GEOMÉTRICOS - ENEM
SOLUÇÃO PC41.
[D] De acordo com o problema, temos a seguinte figura com x sendo a distância procurada.
m 400x4
3
x
100x
200
150
x
100xABE~ACD
ΔΔ
SOLUÇÃO PC42.
[D]
A área da superfície de uma pizza de 40cm é igual a
2240
1.200cm .2
π
Logo, a massa dessa pizza é
1200 1,5 1.800 g 1,8kg. Em consequência, seu preço é dado por 1,8 30 R$ 54,00.
SOLUÇÃO PC43.
[B]
Sendo 3 60 180 , vem
2 21R 50 24 R 800
2
0 R 28,2 m.
Portanto, o maior valor natural de R, em metros, é 28.
14 CONHECIMENTOS GEOMÉTRICOS - ENEM
SOLUÇÃO PC44.
[C]
Considerando x a medida do arco com extremidades nos pontos P e Q e y a medida do arco com
extremidades nos pontos R e S, podemos escrever:
2 3 60x
360
ππ
2 6 60y 2
360
ππ
Logo, o perímetro da figura será dado por:
P 3 3 x y 6 2 3 6π π π
SOLUÇÃO PC45.
[C]
As dimensões da tela são da forma 4x e 3x, já que a razão entre elas é de 4:3. A figura abaixo representa esta
tela:
Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos escrever que:
2 2 2 2 2(3x) (4x) 50 25x 2500 x 100 x 10.
Logo, as dimensões do retângulo são 40 e 30 polegadas e a área, em polegadas quadradas, será dada por
A 30 40 1200.