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TE220
DINÂMICA DE FENÔMENOS ONDULATÓRIOS
Bibliografia:
1. Fundamentos de Física. Vol 2: Gravitação, Ondas e
Termodinâmica. 8va edição. Halliday D., Resnick R. e Walker J.
Editora LTC (2008). Capítulos 15, 16 e 17.
2. Fundamentals of Waves & Oscillations. Ingard K.U.
Cambridge University Press (1988)
3. The Feynman Lectures on Physics. Vol I. Feynman R.P.,
Leighton R.B., Sands M. Addison-Wesley Publishing Company
(1977)
4. Física Vol 1. 4ta edição. Tipler P. LTC editora (1999)
Conteúdo sobre oscilações
➢Deslocamento, velocidade e aceleração no Movimento
Harmônico Simples - MHS.
➢Energia no MHS.
➢Exemplos de MHS: sistema massa mola, pêndulo
matemático, pêndulo físico, pêndulo de torção.
➢Oscilador Harmônico amortecido.
➢Oscilações forçadas/ressonância.
➢Oscilações não lineares. Osciladores 2D.
➢Resposta em frequência.
➢Osciladores acoplados.
2
Des
loca
men
to
Tempo (t)
( ) cosmx t x t 2
2 fT
Exemplo de um Movimento
Harmônico Simples (MHS)
O movimento é periódico, ou seja se repete com o tempo. O tempo
necessário para uma repetição é chamado período (símbolo T, unidade: s).
O número de repetições por unidade de tempo é chamado frequência
(símbolo f, unidade: Hz). f = 1/T .
O deslocamento da partícula é dado pela equação x(t)= xmcos(t+).
A fig. (b) é o gráfico de x(t) contra t. xm é chamada amplitude do
movimento. Ela expressa o deslocamento máximo possível do objeto que
oscila. “” é chamada frequência angular do oscilador. Ela é determinada
pela equação:
3
A figura mostra duas partículas P e Q com a mesma .
Escolhemos t=0 quando P passa pelo eixo x.
Q passa pelo eixo x no momento t=t1 (na figura abaixo t1 = T/8)
Portanto a dependência temporal da coordenada x para P e Q é:
xp = A cos(t) xq = A cos[(t-t1)]
O movimento harmônico de Q se diz atrasado respeito de P em t1
O valor negativo de t1 indica que Q está detrás de P
O argumento da função cosseno, (t-t1) é chamada de fase.
O deslocamento angular =t1 é chamado de ângulo de fase.
Fase e ângulo de fase
Vamos utilizar como
definição do movimento
harmônico:
x = A cos[(t-t1)]
= A cos(t- )
4
Des
loca
men
toV
elo
cid
ade
Ace
lera
ção
( ) cosmx t x t “” é o ângulo de fase do oscilador, é determinado
a partir do deslocamento x(0) e da velocidade v(0)
em t = 0. Na fig. (a) x(t) é desenhado contra t para
= 0. x(t) = xm cos t.
Velocidade no MHS
tsenxtxdt
d
dt
tdxtv mm cos
)()(
“xm” é chamado amplitude da velocidade vm. Ele
expressa o máximo valor possível de v(t).
Na fig. (b) a velocidade v(t) é desenhada contra t
para = 0. v(t) = -xm sen t.
Aceleração no MHS xtxtsenxdt
d
dt
tdvta mm
22 cos)(
)(
“2xm” é chamado amplitude da aceleração am. Ele expressa o máximo valor
possível de a(t). Na fig. (c) a aceleração a(t) é desenhada contra t para = 0.
a(t) = -2xm cos t.5
1. Qual a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma
amplitude de 2,20 cm a uma frequência de 6,60 Hz ?
22 2 2(2 ) 2 6.60 Hz 0.0220 m 37.8 m/s .m m ma x f x
2.Uma partícula com massa igual a 1,00 10-20 kg está oscilando em um
MHS com um período de 1,00 10-5 s e uma velocidade máxima de 1,00
103 m/s. Calcule (a) a frequência angular e (b) o deslocamento máximo
da partícula.
= 2/(1.00 × 10–5 s) = 6.28 × 105 rad/s.(a)
(b) = =1.00 10
6.28 10= 1.59 10 .
3
5
3xv
mm
m / s
rad / s m
Exercícios
6
3. Em um barbeador elétrico, a lâmina se move para a frente e para trás por
uma distância de 2,00 mm em MHS, com uma frequência de 120 Hz.
Encontre (a) a amplitude, (b) a velocidade máxima da lâmina e (c) a
intensidade da aceleração máxima da lâmina.
(a)
(b)
(c)
xm = 1.0 mm
3= 2 = 2 120 Hz 1.0 10 m = 0.75 m/s.m mv fx
222 3 2 2= = 2 = 2 120 Hz 1.0 10 m = 5.7 10 m/s .m m ma x f x
Exercícios
Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (12) (16) (17)
Perguntas: (1) (2) (3)
7
k
m 2
mT
k
2m
TC
A lei da força para o MHS
Nos vimos que a aceleração de um objeto sob MHS é: a = -2x.
Aplicando a segunda lei de Newton obtemos: F = ma = - m2x = -(m2)x
O MHS acontece quando a força é proporcional ao deslocamento da
partícula com sinal contrário. A força pode ser representada por: F = - Cx
onde C é uma constante. Comparando as duas expressões para F obtemos:
m2 = C e
Considere o movimento de uma massa m ligada
a uma mola com uma constante de mola k sobre
uma superfície horizontal sem atrito como na
figura.
O módulo da força resultante F sobre m é dada pela lei de Hooke: F = -kx.
Comparando esta equação com a expressão F = -Cx identificamos que
neste caso C = k.
Agora podemos calcular a
frequência angular e o período T8
1. Um pequeno corpo com massa igual a 0,12 kg está sujeito a um MHS
com amplitude 8,5 cm e período de 0,20 s. (a) Qual a intensidade da força
máxima agindo sobre ele (b) Se as oscilações são produzidas por uma mola,
qual a constante da mola?
(a)
(b)
Exercícios
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2. Um oscilador é formado por um bloco de massa igual a 0,500 kg ligado a
a uma mola. Quando posto para oscilar com amplitude de 35,0 cm, o
oscilador repete seu movimento a cada 0,500 s. Determine (a) o período,
(b) a frequência, (c) a frequência angular, (d) a constante da mola, (e) a
velocidade máxima, (f) a intensidade da força máxima que a mola exerce
sobre o bloco.
(a) T = 0,500 s
(b) f = 1/T = 1/(0,500 s) = 2,00 Hz
= 2f = 2(2,00 Hz) = 12,6 rad/s(c)
(d)
(e)
k = m2 = (0,500 kg) (12,6 rad/s)2 = 79,0 N/m
vm = xm = (12,6 rad/s)(0,350 m) = 4,40 m/s
(f) Fm = kxm = (79,0 N/m)(0,350 m) = 27,6 N
Exercícios
10
Ener
gia
Ener
gia
Energia no MHS A energia mecânica E do MHS é a soma das suas
energia cinética K e potencial U
Energia potencial )(cos2
1
2
1 222 tkxkxU m
Energia cinética 2
2
1mvK
)(2
1)(
2
1 22222 tsenkxtsenxmK mm
Energia mecânica KUE
2222
2
1)(cos)(
2
1mm kxttsenkxE
Na figura se observa o comportamento da energia cinética K, a energia
potencial U e a energia mecânica E com o tempo.
U e K variam com o tempo entanto E permanece constante. A energia se
transfere de uma forma para a outra mantendo a soma constante. 11
1. A figura mostra a energia cinética K de um oscilador harmônico simples
em função da posição x. Qual é a constante elástica?
Exercícios
Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (30)
Perguntas: (9) (10)
½ k xm2 = 6,0 J k = 8,3 ×102 N/m
Inferimos do gráfico que E = 6,0 J = Umax
A amplitude é 12 cm, portanto:
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