Teoremas da Incompletude de Godel

Teoremas da Incompletude de Godel

Helio H. L. C. Monte-AltoAnderson da Silva Marcolino

Lucas de Oliveira Teixeira

2012

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Teoremas da Incompletude de Godel

Sumario

Sumario I

1 Sumario

2 Visao geral

3 Definicoes

4 Demonstracao

5 Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

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Visao geral

Visao geral

Kurt Godel

Matematico austrıaco

Desenvolveu os dois teoremas da incompletude em 1931

Matematica no inıcio do seculo XX

Positivismo

Acreditava-se que seria possıvel encontrar um conjunto deaxiomas completo e consistente para toda matematica

Segundo problema de Hilbert: provar que a aritmetica econsistente

Os teoremas da incompletude sao largamente aceitos comouma resposta negativa a este problema

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Teoremas da Incompletude de Godel

Visao geral

Teoremas - Visao geral

Definicao informal:

1 Qualquer teoria axiomatica recursivamente enumeravel ecapaz de expressar aritmetica elementar nao pode ser, aomesmo tempo, consistente e completa.

2 Para qualquer teoria formal recursivamente enumeravel T queinclui verdades aritmeticas basicas e tambem certas verdadesda teoria da prova, se T inclui uma afirmacao de sua propriaconsistencia, entao T e inconsistente

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Definicoes

Definicoes

Um sistema e consistente se nao e possıvel deduzircontradicoes a partir de seus axiomas.

Um sistema e completo se e de possıvel deduzir todas asformulas verdadeiras a partir de seus axiomas.

Uma teoria axiomatica e uma teoria baseada num conjunto deaxiomas a partir dos quais sao deduzidos teoremas utilizandoprocedimentos bem definidos.

Em sıntese, Godel provou que, se a aritmetica e consistente, entaoe incompleta.

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Demonstracao

Demonstracao

Princıpio: auto-referencia

Reescrita de um sistema formal utilizando a linguagem dosnumeros naturais

Exemplo: Problema de Smullyan

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Demonstracao

Problema Godeliano de Smullyan

Seja um programa que imprime cadeias com os seguintes sımbolos

¬, I ,N, (, )

Uma cadeia X e imprimıvel se o programa pode imprimi-la.Supomos que o programa imprimira, mais cedo ou mais tarde,todas as cadeias imprimıveis.A norma de uma cadeia X e a cadeia X (X ).Uma sentenca e uma cadeia de uma das quatro formas abaixo:

1 I (X )

2 IN(X )

3 ¬I (X )

4 ¬IN(X )

onde X e uma cadeia.7 / 28

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Demonstracao

Problema Godeliano de Smullyan

Seja a sentenca ¬IN(¬IN).Por definicao, esta sentenca e verdadeira se e somente se a normada cadeia ¬IN nao e imprimıvel.No entanto, a norma de ¬IN e justamente a sentenca ¬IN(¬IN),logo esta sentenca e verdadeira se e somente se ela nao eimprimıvel. Temos duas hipoteses:

a sentenca e imprimıvel, mas falsa - contradicao, pois oprograma so imprime sentencas verdadeiras;

a sentenca e verdadeira, mas nao imprimıvel;

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Demonstracao

Problema Godeliano de Smullyan

Analogia:

O programa nao e capaz de imprimir todas as sentencasverdadeiras

Um sistema formal possuira afirmacoes verdadeiras que naopodem ser provadas

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

Os teoremas foram inicialmente provados para o sistemaformal da aritmetica (Aritmetica de Peano)

Prova mais generica: utilizando Sistemas de RepresentacaoAbstratos (SRA)

SRAs permitem representar sistemas de alta diversidade deestruturas sintaticas

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

Sistemas de Representacao Abstratos

Um sistema de representacao abstrato (SRA) Z e uma setupla〈E , g ,S, T ,R,P,Φ〉 ondeE e um conjunto enumeravel de elementos chamados deexpressoes;g e uma funcao de E em N, bijetora, chamada de enumeracao deGodel;S ⊆ E : sentencas;T ⊆ S sentencas verdadeiras, ou teoremas;R ⊆ S sentencas falsas, ou anti-teoremas;P ⊆ E e um conjunto de predicados unarios;Φ, chamada de funcao de representacao, e uma funcao de E × Nem E , que atribui a cada expressao H e numero natural n, aexpressao Φ(H, n), que sera abreviada por H(n).

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

Sistemas de Representacao Abstratos

Figure : Sistemas Abstratos de Representacao (SRA).

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

Sistemas de Representacao Abstratos

Exemplo: Teoria dos numeros - Numeros primos

Seja o predicado Primo.

Entao Φ(Primo, n) e a sentenca Primo(n), lida como ”n eprimo”.

Supondo que n = 5 temos que Primo(5) e uma sentencaverdadeira (Primo(5) ∈ T ) e que se n = 6 temos quePrimo(6) e uma sentenca falsa (Primo(6) ∈ R).

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

SRAs - Consistencia e Completude

Seja Z = 〈E , g ,S, T ,R,P,Φ〉 um SRA. Dizemos que Z e:Consistente Se T ∩ R = ∅;Completo Se T ∪ R = S;Saturado Se Z e consistente e completo.

Z e completo se, e somente se, toda sentenca de Z e decidıvel emZ

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

Diagonalizacao, numeros e sentencas de Godel

Diagonalizacao

Seja Z um SRA e X uma expressao de Z, cujo numero de Godel eg(X). A expressao Φ(X , g(X )) e a diagonalizacao ou norma de X.Caso X seja um predicado H, Φ(H, g(H)) e uma sentenca,chamada de sentenca diagonal, que denotamos por H(h).

Numeros de Godel

Seja Z um SRA e W ⊆ E . W∗ e o conjunto dos numeros de Godeldas expressoes X cuja diagonalizacao Φ(X ,Xγ) ∈ W, isto e:

W∗ = {Xγ |Xγ = g(X ) e Φ(X ,Xγ) ∈ W}

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

Diagonalizacao, numeros e sentencas de Godel

Figure : Diagonalizacao de duas expressoes: a de uma expressao Xqualquer e a de um predicado H.

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

Sentencas de Godel

Sentencas de Godel

Seja X uma sentenca e A um conjunto de numeros. Dizemos queX e uma sentenca de Godel para A se e somente se X tem apropriedade: X ∈ T ⇐⇒ Xγ ∈ A.

Intuitivamente, uma sentenca de Godel afirma que o numero deGodel de um predicado satisfaz o predicado.X e uma sentenca de Godel para um conjunto A de numerosquando g(X ) (o significado de X em N) pertence ao conjunto A see somente se este fato (sua pertinencia) e provavel no sistema, istoe, pertence a T .

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

Sentencas de Godel

Exemplo - Analogia

Conjunto das palavras que gozam da propriedade implicadapor seu significado

Ex: proparoxıtono e uma proparoxıtona

Vamos chamar as palavras que nao gozam dessa propriedadede heterossignificantes.

Pergunta: heterossignificante e heterossignificante?

CONTRADICAO!!

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

Sentencas de Godel

Exemplo - Analogia

Conjunto das palavras que gozam da propriedade implicadapor seu significado

Ex: proparoxıtono e uma proparoxıtona

Vamos chamar as palavras que nao gozam dessa propriedadede heterossignificantes.

Pergunta: heterossignificante e heterossignificante?CONTRADICAO!!

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

Sentencas de Godel

Sentencas de Godel

Seja X uma sentenca e W um conjunto de expressoes. Dizemosque X e uma sentenca de Godel para W se e somente se X tem apropriedade: X ∈ T ⇐⇒ X ∈ W.

Podemos concluir disso que todas as sentencas de Godel seencontram na regiao (T ∩ g−1(A)) ∪ (S − (T ∪ g−1(A)))

Figure : Sentencas de Godel para um conjunto numerico A [1].

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

Sentencas de Godel

Figure : Sentencas de Godel para W.

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

Sentencas de Godel

Primeiro lema da diagonalizacao

Seja Z um SRA e W ⊆ E . Se W∗ e representavel em Z entao Wadmite (existe) uma sentenca de Godel. Mais especificamente, seH e um predicado que representa W∗, entao H(h) e uma sentencade Godel para W .

Teorema 1

Seja Z um SRA. O conjunto T ∗ nao e representavel em Z.Demonstracao: Suponha que T ∗ e representavel. Entao existe umpredicado H que o representa em Z. Pelo Lema da diagonalizacao,H(h) e uma sentenca de Godel para T ∗. Desse modo, H(h) ∈ T see somente se H(h) ∈ T , o que e um absurdo. Logo, T ∗ nao erepresentavel.

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

Sentencas de Godel

Primeiro lema da diagonalizacao

Seja Z um SRA e W ⊆ E . Se W∗ e representavel em Z entao Wadmite (existe) uma sentenca de Godel. Mais especificamente, seH e um predicado que representa W∗, entao H(h) e uma sentencade Godel para W .

Teorema 1

Seja Z um SRA. O conjunto T ∗ nao e representavel em Z.Demonstracao: Suponha que T ∗ e representavel. Entao existe umpredicado H que o representa em Z. Pelo Lema da diagonalizacao,H(h) e uma sentenca de Godel para T ∗. Desse modo, H(h) ∈ T see somente se H(h) ∈ T , o que e um absurdo. Logo, T ∗ nao erepresentavel.

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

Sentencas de Godel

Figure : Sentencas de Godel para W.

E se considerarmos W = R, quais seriam as sentencas de Godelpara R?

Corolario

Seja Z um SRA. Entao, toda sentenca indecidıvel e uma sentencade Godel para R.

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

Sentencas de Godel

Figure : Sentencas de Godel para W.

E se considerarmos W = R, quais seriam as sentencas de Godelpara R?

Corolario

Seja Z um SRA. Entao, toda sentenca indecidıvel e uma sentencade Godel para R.

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

Sentencas de Godel

Teorema ”Quase La”

Seja Z um SRA. Se R∗ e representavel em Z, entao Z einconsistente ou incompleto.Demonstracao: Se R∗ e representavel entao existe um predicado,digamos H, que o representa. Pelo lema da diagonalizacao, H(h) euma sentenca de Godel para R. Assim, H(h) ∈ T ⇐⇒ H(h) ∈ R.Isto significa que: (i) H(h) ∈ T ∩R e assim Z seria inconsistenteou (ii) H(h) /∈ T ∪R e neste caso Z seria incompleto.

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

Sentencas de Godel

Figure : As duas alternativas para um SRA.

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

Sistemas formais como SRAs

Teorema 1F

Seja Z uma SRAE. Se todo conjunto recursivo e representavel emZ, entao Z e um sistema formal indecidıvel.Demonstracao: Suponha que T fosse recursivo. Logo T tambemseria recursivo. Entao, T ∗ seria recursivo. Desta forma, T ∗ seriarepresentavel em Z, pela hipotese do teorema, o que contraria umdos teoremas mostrados.

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

Sistemas formais como SRAs

Teorema 2F

Seja Z uma SRA. Se Z e um sistema formal indecidıvel, entao Z einconsistente ou incompleto.Demonstracao: Se Z e saturado (negacao do teorema), tera ambosT e R como conjuntos recursivamente enumeraveis ecomplementares com respeito a S, portanto ambos T e R seriamrecursivos e portanto Z decidıvel. Logo Z e nao saturado, ou seja,inconsistente ou incompleto.

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

Teorema final

Primeiro Teorema de Godel

Se um sistema formal Z e suficientemente poderoso pararepresentar todos os conjuntos recursivos, entao Z e inconsistenteou incompleto.Demonstracao: Por hipotese todo conjunto pode ser representadoem Z, entao, pelo Teorema 1F, Z e indecidıvel e, portanto, peloTeorema 2F, Z e inconsistente ou incompleto.

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

Conclusoes

Ate hoje se especula as implicacoes dos Teoremas daIncompletude na matematica e na filosofia.

Godel discute exaustivamente em seus trabalhos posterioresquestoes que variam, desde o conceito de inteligencia ate aexistencia de Deus (argumento ontologico de Godel).Em teoria da computabilidade: os teoremas sao relacionados avarios resultados

Stephen Cole Kleene (1947) mostrou que se a aritmetica fosseconsistente e completa isto forcaria o problema da parada a serdecidıvel, o que implica em uma contradicao.

Sempre havera mais coisas que sao verdadeiras do que sepode provar;

Todos os sistemas fechados dependem de suposicoes feitasfora do sistema e que nao podem ser provadas;

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

[1] R. de Carvalho, Modelos de computacao e sistemas formais.DCC/IM, COPPE/UFRJ, NCE-UFRJ, 1998.

[2] O. Goldreich, Computational complexity - a conceptualperspective. Cambridge University Press, 2008.

[3] D. Hilbert, Mathematische Probleme, ser. Archiv derMathematik und Physik, M. W. English Translation, Ed.Bulletin of the American Mathematical Society 8, 1901, vol. 3,no. 1. [Online]. Available:http://aleph0.clarku.edu/∼djoyce/hilbert/problems.html

[4] J. Hopcroft, R. Motwani, and J. Ullman, Introduction toautomata theory, languages, and computation.Addison-wesley Reading, MA, 1979, vol. 2.

[5] S. Kleene, Mathematical logic. Dover publications, 2002.

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Prova usando Sistemas de Representacao Abstratos

[6] M. Sipser and R. de Queiroz, Introducao a teoria dacomputacao. Thomson Learning, 2007.

[7] R. Smullyan, Five Thousand BC and Other PhilosophicalFantasies. St. Martin’s Press, 1983.

[8] A. Whitehead and B. Russell, Principia mathematica.University Press, 1912, vol. 2.

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