Tipo Identidade Como o Tipo de Caminhos Computacionais

Defesa de DissertaçãoAluno: Arthur Freitas Ramos

Orientador: Ruy de Queiroz

Avaliadores: Rafael Dueire Lins

Edward Hermann Haeusler

Motivação

• Matemática cada vez mais abstrata e complexa: necessidade de verificadores de prova

• ZFC: Não construtiva e extensional

• Teoria dos Tipos: Tipo Identidade como ponte entre computação e matemática

• Abordagem mais intuitiva para o tipo identidade proposta por Ruy de Queiroz e Anjolina de Oliveira em 2011.

Teoria dos Tipos

• Teoria construtiva proposta por Martin-Löf em 1971

• Utilizada em verificadores automáticos de provas matemáticas

• Tipo como entidade básica

• Notação básica: a : A

• Exemplos: 2 : ℕ, 2 : épar(2)

• Família de tipos: épar

Igualdade proposicional vs definicional

• Definicional: f(x) ≡ x², f(3) ≡ 3²

• f(3) ≡ 9?

• Proposicional: Evidência p estabelece (f(3) ≡ 3²) =p 9 : ℕ

• Evidência p é elemento de um tipo conhecido como tipo identidade. Notação: p : Idℕ (3²,9).

Tipo Identidade Intensional

• Tipo das evidências p que servem como prova de igualdade proposicional entre dois objetos do mesmo tipo

• Conexão com a matemática: ligação do extensional com o intensional

• Teoria Homotópica dos Tipos: conexão semântica com a homotopia (caminhos)

• HOFMANN - STREICHER 1994: Estrutura de Grupóide refuta princípio da unicidade de provas da igualdade

• LUMSDAINE 2009: Estrutura de fraca

Tipo Identidade: Construção Formal

Tipo Identidade: Nova Abordagem

• Proposto por Anjolina de Oliveira e Ruy de Queiroz em 2011

• Objetivo de ser mais intuitiva que a abordagem clássica

• Baseada em Caminhos Computacionais, entidade proposta por Gabbay e Ruy de Queiroz em 1994

• Caminhos como estrutura sintática: Cálculo (ou álgebra) de caminhos

• Principais objetivos: Detalhar essa nova abordagem e que o novo tipo identidade também induz uma estrutura de grupóide

Beta Igualdade

• Dado termos P e Q do diz-se que se:

• Redução :

• Reduçao juntamente com : Teoria da

Teoria da Lambda-Beta-Eta Igualdade

• Axiomas:

• Regras de inferência:

Caminhos Computacionais

• Composição de axiomas e regras de inferência s que estabelecem a igualdade proposicional entre dois termos a : A e b : A

• Notação: a =s b : A

• Composição feita através da regra de transitividade

Caminhos Computacionais: Exemplo

• Caminho entre e :

De obtemos o caminho

De obtemos o caminho

Para obtermos o caminho completo entre e , basta concatenar os dois caminhos usando a transitividade, obtém-se:

Tipo Identidade como o Tipo de Caminhos Computacionais: Formalização

Tipo Identidade como o Tipo de Caminhos Computacionais: Formalização

Exemplo de Uso: Simetria

• Construção de :

Exemplo de uso: Transitividade

• Construção de :

Sistema de Reescrita de Termos – LNDEQ-TRS

• Reduções entre caminhos diferentes

• Exemplos básicos: e ; e

• Anjolina (1994) e Ruy & Anjolina (2011): Sistema de Reescrita de termos – LNDEQ-TRS

• Total de 39 regras de redundância – 7 relevantes no presente trabalho

Redundâncias envolvendo simetria e reflexividade

• Regras obtidas:

Redundâncias envolvendo transitividade

• Regras obtidas:

Redundâncias envolvendo transitividade

• Regra Obtida:

Igualdade rw

• Cada regra de LNDEQ-TRS é chamada de regra rw (rw – reescrita)

• De s para t em 1 regra:

• De s para t em várias regras:

• Igualdade rw s =rw t: sequência R0, ....., Rn ,com tal que:

• Igualdade rw é relação de equivalência (é o fecho simétrico, reflexivo e transitivo)

LNDRW-TRS2 – Redundâncias de caminhos de caminhos• Redundâncias causadas pela igualdade rw

• Possui uma versão para todas as reduções já vistas anteriormente.

• Exemplo:

Igualdade rw2

• Igualdade rw2: semelhante à igualdade rw

• Rw2 é classe de equivalência (análogo a rw)

• Regra especial cd2:

Categoria Arw Induzida por Caminhos Computacionais• Objetos: termos a: A

• Morfismos: Caminhos s entre objetos a,b: A. sse a =s b

• Composição:

• Identidade:

• Categoria Fraca: Igualdade apenas a nível de igualdade rw

• Associatividade:

• Leis de identidade:

ARW é grupóide fraca

• Provar que toda seta é isomorfismo

• Basta provar que todo morfismo s tem inversa t

• Faça :

Estrutura de segunda ordem: 2 - Arw

• Categoria A2rw(a,b) para cada par de objetos de Arw

• Objetos de A2rw(a,b) são caminhos s: a =s b e morfismos entre caminhos s, r são o conjunto de igualdades rw s =rw r

• Associatividade e transitividade sustentadas fracamente a partir das regras rw2 (análogo a Arw)

• Considerando classes de equivalência de rw2, igualdade se sustenta estritamente no segundo nível. Estrutura [2 – Arw]

• [2 – Arw] forma uma bicategoria? E uma 2-grupóide fraca?

Bicategoria

• Composição horizontal

• Associatividade e identidade da composição horizontal

• Lei da troca

• Leis de coerência: Pentágono e triângulo de Mac Lane

[2 – Arw] é uma bicategoria

• Composição horizontal :

Dados:

Definimos:

[2 – Arw] é uma bicategoria

• Associatividade assoc de : Isomorfismo natural entre

Dado por isomorfismo entre cada componente:

• Identidade :

Basta checar cada componente:

Análogo para : basta usar trr

[2 – Arw] é uma bicategoria

• Lei da troca:

[2 – Arw] é uma bicategoria

• Leis de coerência:

[2 – Arw]: Resultados

• Provado que [2 – Arw] é bicategoria

• De [2 – Arw] ser uma bicategoria, A2rw grupóide fraca e Arw grupóide, conclui-se que [2 – Arw] é uma 2-grupóide fraca

• Possível pensar em categorias fracas com maior número de níveis. Eventualmente alcançando uma categoria com infinitos níveis, a

fraca

Conclusão

• Teoria dos tipos importante como fundamento para computação e matemática

• Tipo identidade como entidade central da teoria dos tipos

• Nova abordagem para o tipo identidade baseada em caminhos computacionais

• Grupóide induzida a partir de caminhos computacionais

• Categorias de alta ordem induzidas por caminhos computacionais

• Resultados compatíveis com os obtidos por Hofmann-Streicher para o tipo identidade tradicional

Trabalhos Futuros

• Mapeamento de todas as regras rw2

• Estudo de possíveis categorias induzidas de ordem maior que 2

• Obter, para o tipo identidade baseado em caminhos, resultados semelhantes ao obtidos por Lumsdaine. Ou seja, mostrar que é possível induzir uma fraca