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1Prof.ª Elisete Quintaneiro
EXPERIMENTOS FATORIAIS FRACIONÁRIOS (II)
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Delineamento fatorial 2k-1
Exemplo: Micróbios
Delineamento fracionário 24-1 com gerador de confundimento I = ABCD, que produziu o esquema de confundimento
resultando que os tratamentos que devem ser realizados são:
1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16
AB = CDAC = BDAD = BCA = BCDB = ACDC = ABDD = ABC
volta
A0 A1
B0 B1 B0 B1
C0
D0(1) (3) (2) (4)
D1(5) (7) (6) (8)
C1
D0(9) (11) (10) (12)
D1(13) (15) (14) (16)
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3
Delineamento fatorial 2k-1
Observação:
Para este delineamento 24-1 podemos ainda realizar os tratamentos 2, 3, 5, 8, 9, 12, 14, 15, que são resultantes da relação de definição I = -ABCD, produzindo o esquema de confundimento AB = - CD
AC = - BDAD = - BCA = - BCDB = - ACDC = - ABDD = - ABC
volta
A0 A1
B0 B1 B0 B1
C0
D0(1) (3) (2) (4)
D1(5) (7) (6) (8)
C1
D0(9) (11) (10) (12)
D1(13) (15) (14) (16)
ou seja, é o mesmo esquema obtido anteriormente, porém com sinal contrário, e estas experiências são a outra fração ½ do delineamento fatorial completo.
Obs.: Os dois planos fornecem informações similares e qualquer um pode ser usado. No entanto, se o pesquisador tem interesse em checar o tratamento com todos os níveis baixos e todos altos, o anterior deve ser escolhido.
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Delineamento fatorial fracionário 2k-1
Rebatimento de delineamentos fatoriais fracionários
Exemplo: Em um processo químico, suspeita-se que quatro fatores possam influir no rendimento da operação:temperatura (A), pressão (B), concentração (C) e quantidade de catalisadores (D).
Foram considerados dois níveis para cada fator e a indústria optou, então, por um experimento fatorial. Como o custo com tal tipo de experiência é alto, decidiu-se, inicialmente, executar somente metade do total de experiências possíveis.
Utilizando a relação de definição, I = ABCD, já sabemos que os tratamentos a serem realizados são : 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16.
O experimento foi realizado e os valores de rendimento sob esses tratamentos foram obtidos.
Estimar os efeitos envolvidos no estudo.
Trata-se de um experimento 24-1 cujas observações encontram-se a seguir.
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Delineamento fatorial 2k-1
Trat Y Rend A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD
1 y0000 71 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 4 y1100 82 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 6 y1010 61 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 7 y0110 87 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -110 y1001 50 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 111 y0101 89 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -113 y0011 59 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -116 y1111 78 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Para estimar os efeitos, expandimos a tabela de contrastes com as interações :
Efeitos -8,75 23,75 -1,75 -6,25 0,75 5,25 -1,25 -1,25 5,25 0,75 -6,25 -1,75 23,75 -8,75
AB = CDAC = BDAD = BCA = BCDB = ACDC = ABDD = ABC
Þ Esquema de confundimento
Exp. A B C D Rendim
1 -1 -1 -1 -1 71
2 1 -1 -1 1 50
3 -1 1 -1 1 89
4 1 1 -1 -1 825
-1 -1 1 1 59
6 1 -1 1 -1 61
7 -1 1 1 -1 87
8 1 1 1 1 78
(1)(10)(11)(4)
(13)(6)(7)
(16)
Dados: lembrar que D = ABC
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Delineamento fatorial 2k-1
Resumindo:
Para resolver este tipo de dúvida (se a interação tripla não pode ser assumida desprezivel!) poderia ser utilizado o experimento rebatido deste, ou seja, repetir o experimento considerando o confundimento I = -ABCD, que implica B = - ACD. Então a coluna do fator B terá sinais trocados e, consequentemente, todas as colunas em que B aparece, também.
Þ O efeito do fator B (pressão) produziu a maior estimativa, no entanto, este fator está confundindo com a interação tripla ACD. Surge, então, a dúvida, se a significância estatística é devido ao fator B ou à interação entre os outros fatores (temperatura, concentração e quantidade de catalisador).
Efeitos e Inter. Confund. Estimativas
A = BCD -8,75
B = ACD 23,75
C = ABD -1,75
D = ABC -6,25
AB = CD 0,75
AC = BD 5,25
AD = BC -1,25
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Delineamento fatorial 2k-1
Com a tabela de contrastes expandida a partir da tabela acima (multiplicando as colunas dos efeitos principais para obter as colunas de todas as interações) encontramos as estimativas dos efeitos da mesma forma que antes.
AB = - CDAC = - BDAD = - BCA = - BCDB = - ACDC = - ABDD = - ABC
Þ Esquema de confundimento
Exp. A B C D Rendim
1 -1 1 -1 -1 91
2 1 1 -1 1 83
3 -1 -1 -1 1 61
4 1 -1 -1 -1 615
-1 1 1 1 85
6 1 1 1 -1 80
7 -1 -1 1 -1 68
8 1 -1 1 1 51
(3)(12)(9)(2)
(15)(8)(5)
(14)
Novos dados:
23 completo (A, B, C), com D=ABC e, depois, B trocado por -B.
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Delineamento fatorial 2k-1
O efeito de B é, então, estimado por
½ (23,75+24,50) = 24,125
e a significância estatística, se for observada, será atribuída ao fator B, exclusivamente.
Efeitos e Inter. Confund. Estimativas
A = -BCD -7,50
B = -ACD 24,50
C = -ABD -3,00
D = -ABC -5,00
AB = -CD 1,00
AC = -BD -3,50
AD = -BC -1,500
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Planejamentos com fração ¼ ou frações menores
Resolução de um delineamento fatorial fracionário
Vimos que, para a fração 24-1 = ½ 24 = 23 de um delineamento fatorial
completo 24, o gerador de confundimento é D = ABC ou I = ABCD, ou seja,
efeitos principais confundidos com interações triplas. Neste caso, dizemos
que o planejamento fracionário tem resolução IV.
Há outros tipos de resolução em planejamentos fatoriais, que se diferenciam
de acordo com a quantidade de fatores envolvidos e da fração de interesse.
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Planejamentos com fração ¼ ou frações menores
Os delineamentos fatoriais fracionados são planejados segundo algum dos seguintes tipos de resolução:
Resolução Confundimentos
III efeitos principais confundidos com interações duplas (I = ABC)
IVefeitos principais confundidos com interações triplas e
interações duplas com duplas(I = ABCD)
Vefeitos principais confundidos com interações quádruplas e
interações duplas com triplas(I = ABCDE)
VIefeitos principais confundidos com interações quíntuplas, duplas
com quádruplas e triplas com triplas(I = ABCDEF)
etc .... etc ...
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Planejamentos com fração ¼ ou frações menores
Alguns autores utilizam uma notação, que especifica o tipo de resolução do experimento fracionário, como, por exemplo,
significando, delineamento fatorial fracionário dois níveis quatro fatores fração de ½ do fatorial completo correspondente resolução IV (em algarismo romano)
142 IV
Obs.: Na literatura estatística, existem alguns livros que apresentam sugestões para os geradores de confundimento em planos fatoriais fracionários, variando o número de fatores e a fração utilizada, por exemplo, “Design and analysis of experiments”, Montgomery, D.C., 3 ed., New York, John Wiley, 1991.
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Planejamentos com fração ¼
DELINEAMENTO ¼ 25
O delineamento ¼ 25 é, em verdade, um delineamento 25-2. Neste situação, somente ¼ do total de experiências do fatorial completo serão realizadas (¼ 32 = 8) .
Como antes, temos as seguintes etapas:
a) Escrever a tabela de contrastes do fatorial completo 1/4 25 = 23, sem incluir os dois últimos fatores (D e E):
Experiência Tratamento A B C
1 A0B0C0 -1 -1 -1
2 A1B0C0 1 -1 -1
3 A0B1C0 -1 1 -1
4 A1B1C0 1 1 -1
5 A0B0C1 -1 -1 1
6 A1B0C1 1 -1 1
7 A0B1C1 -1 1 1
8 A1B1C1 1 1 1
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Planejamentos com fração ¼
DELINEAMENTO ¼ 25
b) Completar a tabela com os dois últimos fatores, usando os geradores propostos na Tabela “Sugestões de Geradores de Confundimento” (anexa):
D = AB e E = AC (ou I = ABD e I = ACE)
I = ABD = ACE = BCDE
em que o último termo do gerador foi obtido como produto dos anteriores.
Exp A B C D = AB E = AC1 -1 -1 -1 1 12 1 -1 -1 -1 -13 -1 1 -1 -1 14 1 1 -1 1 -15 -1 -1 1 1 -16 1 -1 1 -1 17 -1 1 1 -1 -18 1 1 1 1 1
anexo
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Planejamentos com fração ¼
DELINEAMENTO ¼ 25
c) Determinar o esquema de confundimento, utilizando produto módulo 2, a partir da relação de definição
I = ABD = ACE = BCDE
Obtem-se, então, A = B = C = D = E =
ou seja, basta estimar os efeitos principais A, B, C, D, E e as interações duplas BC e BE, que as demais interações estarão confundidas com estas (não é necessário construir toda tabela de contrastes de um experimento completo 25 para estimar todos os efeitos).
BD = CE = ABCDE BD = ABCE = CDE ABCD = AE = BDE AB = ACDE = BCE ABDE = AC = BCD BC = ACD = ABE = DE BE = ACDE = ABC = CD
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Planejamentos com fração ¼
DELINEAMENTO ¼ 25
Exemplo: Um posto de triagem de correspondência está fazendo um estudo de produtividade, visando aumentá-la mediante a redução de erros na separação de cartas. Suspeita-se que a produtividade possa ser afetada pelos seguintes fatores, considerados em dois níveis:
Fator Nível (-) Nível (+)iluminação (A) 150 lux 250 luxtemperatura (B) 18 oC 25 oCruído (C) 45 dB 30 dBlayout (D) atual novohora (E) 9 hs 15 hs
Como o experimento completo demandaria um tempo que foi considerado excessivo pela Diretoria, optou-se por um fatorial fracionado do tipo 25-2. Os resultados, em termos de erros por 10.000 cartas estão a seguir:
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Planejamentos com fração ¼
Exp. A B C D E Erros/1000012345678
-1+1-1+1-1+1-1+1
-1-1+1+1-1-1+1+1
-1-1-1-1+1+1+1+1
+1-1-1+1+1-1-1+1
+1 -1+1-1-1+1-1+1
5056405748594359
1. Expandir a tabela para encontrar as estimativas dos efeitos principais e interações
Dados:
Exp. Erros/103 A B C D E BC BE12345678
5056405748594359
-1+1-1+1-1+1-1+1
-1-1+1+1-1-1+1+1
-1-1-1-1+1+1+1+1
+1-1-1+1+1-1-1+1
+1 -1+1-1-1+1-1+1
+1+1-1-1-1-1+1+1
-1+1+1-1+1-1-1+1
S “-”/4 45,25 53,25 50,75 49,50 51,00 51,00 52,25 S “+”/4 57,75 49,75 52,25 53,50 52,00 52,00 50,75
Estimativa dos efeitos 12,50 -3,50 1,50 4,00 1,00 1,00 -1,50
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17
Planejamentos com fração ¼
2. Inspeção dos efeitos e interações ativos
z
PR
OB
AB
ILID
AD
E
0,01
0,05
0,15
0,25
0,35 0,45 0,55 0,65
0,75
0,85
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0
0,5
1,0
1,5
-15 -10 -5 0 5 10 15
B
BE
E e BC
C
D
A
Planejamentos com fração ¼
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PROCEDIMENTO GERAL PARA CONSTRUÇÃO DE UMDELINEAMENTO FRACIONÁRIO 2k-p
Para construir um experimento fatorial fracionado 2k-p, as seguintes etapas podem ser adotadas:
1) Escrever a tabela de contrastes para o fatorial completo 2c, onde c = k-p;
2) Completar a tabela com os fatores faltantes, usando os confundimentos propostos por Montgomery (Anexo);
3) Obter o gerador de confundimentos (I);
4) Determinar o esquema de confundimentos, obtido pelo produto de efeitos principais e algumas interações de baixa ordem na relação de definição.
Delineamento fatorial fracionário 2k-p
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Exemplo: DELINEAMENTO 27-4
Trata-se de um delineamento (1/16)27, em que corresponde a realização de 8 experiências, das 128 possíveis.
a) Escrever a tabela de contrastes do fatorial completo (1/16)27 = 23, sem incluir os quatro últimos fatores (D, E, F e G):
Experiência A B C
1 -1 -1 -1
2 1 -1 -1
3 -1 1 -1
4 1 1 -1
5 -1 -1 16 1 -1 17 -1 1 1
8 1 1 1
Delineamento fatorial fracionário 2k-p
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Exemplo: DELINEAMENTO 27-4
b) Completar a tabela usando os geradores do ANEXO.
Geradores são: D = AB, E = AC, F = BC e G = ABC, que equivale ao gerador de confundimentos
I =
Experiência A B C D =AB E=AC F=BC G=ABC1 -1 -1 -1 1 1 1 -1
2 1 -1 -1 -1 -1 1 1
3 -1 1 -1 -1 1 -1 1
4 1 1 -1 1 -1 -1 -1
5 -1 -1 1 1 -1 -1 16 1 -1 1 -1 1 -1 -17 -1 1 1 -1 -1 1 -1
8 1 1 1 1 1 1 1
Delineamento fatorial fracionário 2k-p
anexo
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21
Exemplo: DELINEAMENTO 27-4
c) Determinar os confundimentos para efeitos principais, a partir do gerador de confundimento:
Delineamento fatorial fracionário 2k-p
anexo
I = ABD = ACE = BCF = ABCG = BCDE = ACDF = ABEF = CDG = BEG = AFG = DEF = ADEG = BDFG = CEFG = ABCDEFG
Observar que, para este delineamento, a relação de definição tem 16 = 24 termos iguais.
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22
Regra geral para determinar os termos na relação de definição num delineamento 2k-p
Num planejamento 2k-p , a relação de definição (gerador de confundimento) terá 2p termos. São eles:
1. O termo de intercepto I; 2. p termos de interação obtidos a partir dos geradores sugeridos na tabela de
confundimentos (anexo), utilizando produto módulo 2 para obter a relação com I;
3. os restantes (2p - p – 1) termos são construídos pela multiplicação módulo 2 entre os termos do passo 2. Logo, cada efeito principal será confundido com 2p – 1 outros efeitos.
4. Estabelecida a relação de definição, obter o esquema de confundimento, totalizando, portanto, 2p relações de confundimento.
5. Os tratamentos escolhidos para formar o planejamento devem obedecer à relação de definição.
Delineamento fatorial fracionário 2k-p
anexo
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23
Exemplo: Considere um 25. Obter ¼ (25).
Devemos realizar 25-2 = 23 = 8 tratamentos.Þ Relação de definição terá 22 = 4 termos.
Delineamento fatorial fracionário 2k-p
anexo
Na tabela de confundimentos (anexo), os confundimentos sugeridos para este planejamentos são:
que produz I = e I =
Então o gerador de confundimento, com 4 termos é:
I = sendo o último termo obtido por produto módulo 2 entre ____ e ____;
O esquema de confundimento é dado pelas seguintes relações:
Tratamentos incluídos serão aqueles em se tem ABD=1, ACE=-1 e ACDE=-1, simultaneamente.
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24
Exemplo: Joãozinho decidiu fazer uma nova experiência com sua nova bicicleta, testando sete fatores (ou variáveis):
(A) posição do assento: alto ou baixo (B) farolete: ligado ou desligado (C) posição do guidão: alto ou baixo (D) marcha utilizada: alta ou baixa (E) tipo de roupa: justa ou folgada (F) comida: sim ou não (G) pressão dos pneus: alta ou baixa
em que irá observar o tempo (em seg) para percorrer um dado trecho.
Delineamento fatorial fracionário 2k-p
anexo
Responda:a) Quem é a variável resposta?
b) Quantas experiências seriam feitas (sem repetição) no caso de um delineamento fatorial completo ?
c) E no caso de um fatorial fracionado do tipo 27-4 ?
d) Como ficaria a tabela de contrates neste último caso ?
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25
Admitindo-se um delineamento fatorial fracionado 27-4, com os resultados na tabela a seguir, calcular os efeitos principais
Delineamento fatorial fracionário 2k-p
anexo
Estimativas de efeitos principaisA = B = C = D = E =F =G =
Exp A B C D E F G Resp.12345678
-1+1-1+1-1+1-1+1
-1-1+1+1-1-1+1+1
-1-1-1-1+1+1+1+1
+1-1-1+1+1-1-1+1
+1-1+1-1-1+1-1+1
+1+1-1-1-1-1+1+1
-1+1+1-1+1-1-1+1
6952608371505988
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26
Interações:
• todas interações duplas estão confundidas com efeitos principais (resolução III);• existem ainda outras interações, de ordem superior, não confundidas com efeitos principais, mas não vamos nos preocupar com estas.
Delineamento fatorial fracionário 2k-p
anexo
Como o experimento foi feito sem repetição, então pode-se analisar os resultados através do PPN. , utilizando a expressão P = (i – 0,5) x 100% 7
i Confund. Estimativa P
12345678
Fazer o gráfico de Estimativas versus P. O que se pode concluir?
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27
ANEXO: SUGESTÕES DE GERADORES DE CONFUNDIMENTO
No. de Fatores no. Exp (fração) Delineamento Geradores
3 4 (1/2) C = AB
4 8 (1/2) D = ABC
516 (1/2) E= ABCD
8 (1/4)D = ABE = AC
6
32 (1/2) F = ABCDE
16 (1/4)E = ABCF = BCD
8 (1/8)D = ABE = ACF = BC
7
64 (1/2) G= ABCDEF
32 (1/4)F = ABCDG = ABDE
16 (1/8)E = ABC F = BCDG = ACD
8 (1/16)D = AB E = ACF = BC G= ABC
13III2
14IV2
15V2
25III2
16VI2
26IV2
36III2
17VII2
27IV2
37IV2
47III2
volta
volta
anexo
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28
No. de Fatores no. Exp (fração) Delineamento Geradores
8
64 (1/4)G = ABCDH = ABEF
32 (1/8)F = ABCG = ABD
H = BCDE
16 (1/16)E = BCD F = ACDG = ABC H= ABD
9
128 (1/4)H= ACDFGJ = BCEFG
64 (1/8)G = ABCDH = ACEFJ= CDEF
32 (1/16)F= BCDE G = ACDEH= ABDE J = ABCE
16 (1/32)E = ABC F = BCDG= ACD H = ABD
J= ABCD
28V2
38IV2
482 IV
29VI2
39IV2
49IV2
59IV2
Fonte: MONTGOMERY, D.C. Design and analysis of experiments. 3 ed. New York, John Wiley, 1991.
ANEXO: SUGESTÕES DE GERADORES DE CONFUNDIMENTO (cont)