Sinais e SistemasAula 12

Professor: Rafael Antunes Nóbrega

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Continuação...• CAPÍTULO 1: Introdução:

– Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto;– Energia e Potência de um sinal– Transformações de variáveis independentes;– Sinais periódicos– Sinais senoidais e exponenciais;– Funções impulso unitário e degrau unitário;– Sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto;– Propriedades básicas de sistemas;

• CAPÍTULO 2: Sistemas lineares invariantes no tempo:– Representações de sinais em termos de impulso;– Convolução.– Esquema de Interconexões– Propriedades de sistemas LIT– Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes– Funções de singularidade

• CAPÍTULO 3: Série de Fourier– Perspectiva histórica– Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas– Representação de sinais periódicos de tempo contínuo– Convergência da série de Fourier– Propriedades da série de Fourier de tempo contínuo– Representação de sinais periódicos de tempo discreto– Propriedades da série de Fourier de tempo discreto– Série de Fourier e sistemas LIT– Filtragem– Exemplos filtros contínuos– Exemplos filtros discretos

• CAPÍTULO 4: A transformada de Fourier de tempo contínuo– Representações de sinais aperiódicos (tempo contínuo)– TF para sinais periódicos– Propriedades da TF de tempo contínuo– A propriedade da convolução– A propriedade da multiplicação

– Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes (boa parte do Cap. 6)

• CAPÍTULO 5: A transformada de Fourier de tempo discreto– Representações de sinais aperiódicos (tempo discreto)– TF para sinais periódicos– Propriedades da TF de tempo contínuo

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visto

• Como vimos, uma classe importante e útil de sistemas LIT é aquela para qual a entrada e a saída satisfazem uma equação diferencial linear com coeficientes constantes.

• Como determinar a resposta em frequência desses sistemas?

• Iremos aqui considerar sempre que a TF existe:

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

Transformada de Fourier

Converge para H(jw)

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

Transformada de Fourier

• Considere um sist. LIT caracterizado pela prop. da convolução:

• O sistema pode ser obtida a partir de:

• Podemos agora aplica a TF em ambos os lados da equação:

• E usando a prop. de diferenciação

LINEARIDADE

• Temos uma função racional (razão entre polinômios em (jw));

• Note que a resposta em frequência pode ser obtida simplesmente por inspeção da eq. diferencial:

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

Transformada de Fourier

EQ. DIFERENCIAL DE ORDEM N

NUMERADORDENOMINADOR

• Exemplo:

– Ache h(t) do sistema abaixo:

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

Transformada de Fourier

• Exemplo:

– Ache h(t) do sistema abaixo:

– Resolvendo por inspeção:

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

Transformada de Fourier

TFI

• Exemplo:

– Ache h(t) para o sistema abaixo:

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

Transformada de Fourier

• Exemplo:

– Ache y(t) para o sistema anterior para a entrada x(t).

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

Transformada de Fourier

• Consideremos um sistema de 1ª ordem dada pela equação

• Por inspeção, temos:

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

Transformada de Fourier

TFI

RESPOSTA AO DEGRAU

τ = constante de tempo*Quando t = τ h(τ) = 1/e∙h(0)

Quanto menor τ, mais brusca a queda

Quanto menor τ, mais curta a subida

• Diagrama de Bode do sistema:

– Note que:

– Repare também que para w = 1/τ, temos:

– Podemos usar isto para obter um diagrama de Bode aproximado.

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

Transformada de Fourier

Pode-se fazer algo similar para calcular a fase...

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• Consideremos um sistema de 2ª ordem dada pela equação

• Por inspeção, temos:

Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

Frações Parciais

• Note que a equação

pode ser reescrita como:

– Assim, mudar wn é o mesmo que uma mudança de escala de tempo e frequência

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

– Fator de amortecimento

– Frequência natural não amortecida

• Se c1 e c2 são complexos e podemos reescrever h(t) da seguinte forma:

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

Resposta ao impulso oscilatório amortecido e é chamado de subamortecido

• Se , c1 e c2 são reais e negativos e a resposta ao impulso é a diferença entre duas exponenciais decrescentes.

Sistema superamortecido.

• Se , c1 = c2 sistema criticamente amortecido.

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

Resposta ao impulso

Resposta ao degrau

• Subamortecido = sobresinal + oscilações (overshoot + ringing);

• Criticamente amortecido = resposta mais rápida sem sobresinal;

• A medida que aumenta além de 1, a resposta torna-se mais lenta.

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

Resposta ao impulso

Resposta ao degrau

• Em relação a wn, como dito, temos o controle da escala de tempo que age de maneira inversa para o tempo e para a frequência;

• Note que quando = 0 o sistema perde o fator de amortecimento e por isso wn é chamado de frequência natural não-amortecida

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

Resposta ao impulso

freq. de oscilação

wn = freq. de quebra

• Resumindo:

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

= 0

• Resolvendo o Diagrama de Bode:

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

2/12

22

12

1

)(

)()(

nn w

w

w

wjwX

jwYjwH

22

12

1

12

1)(

nnnn w

w

w

wj

w

wj

w

wj

jwH

Re2{} +Im2{}

Re2{} +Im2{}

222

2

2/12

22

14log1012log20)(log20nnnn w

w

w

w

w

w

w

wjwH

• Resolvendo o Diagrama de Bode:

– Temos que para w << wn

– Para w >> wn

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

222

2

2/12

22

14log1012log20)(log20nnnn w

w

w

w

w

w

w

wjwH

dBw

w

w

wjwH

nn

014log10)(log20

222

2

0 0

)log(40)log(40log1014log10)(log20

22

222

2

n

nnn

www

w

w

w

w

wjwH

• As 2 assintóticas se encontra no ponto w = wn;

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

0)log(40)log(40)(log20 nn wwjwH

Podemos fazer algo similar para achar uma aproximação para a fase.

• Pode ser mostrado que para ζ < 0.707, |H(jw)| tem um valor máximo (pico) em:

• Com um valor máximo de:

• Para ζ > 0.707 a curvadiminui monotonicamente

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

221 nmáx ww

2212

1)(

máxjwH

Importante para amplificadores seletivos de frequência por exemplo.

• Os sistemas de 1ª e 2ª ordem podem ser usados como blocos básicos para construir sistemas LIT mais complicados, com respostas em frequência racionais.

• Como consequência, os diagramas de Bode vistos nos fornecem toda a informação necessária para construir diagramas de Bode para quaisquer respostas em frequência racionais;

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

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• Podemos também obter prontamente os diagramas de Bode para respostas em frequência nas formas:

• Note que

Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

MATLABw = 0:0.01:100;H = 20*log10(1+i*w);plot(w, abs(H));

τ =1

• Considere agora H(jw) = K

• Podemos construir este Diagrama de Bode assim:

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

MATLABw = 0:0.01:100;H = 20*log10(1/(1+i*w)) + 20*log10(1+i*w);plot(w, abs(H));

• Exemplo:

– Obtenha o Diagrama de Bode para o sistema abaixo:

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

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• Exemplo:

– Obtenha o Diagrama de Bode para o sistema abaixo:

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Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

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A transformada de Fourier de tempo discreto

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