UM RESULTADO DE PERIODICIDADE

PARA UMA EQUAÇÃO

INTEGRO-DIFERENCIAL

Rosana Sueli da Motta Jafelice

Orientação:

Prof. Dr. Plácido Zoéga Táboas

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas de São Car-

los, da Universidade de São Paulo, como parte dos requisitos para obtenção do título

de mestre em Matemática.

USP São Carlos

1.992

Agradecimentos

Ao Prof. Plácido Zoéga Táboas, pela orientação neste trabalho.

À Profa Sandra Maria Semensato de Godoy, pelo apoio técnico e pelas

constantes palavras de incentivo.

Aos professores do IBILCE - UNESP, que me mostraram a beleza do

mundo matemático.

Ao amigo Castilho que digitou este trabalho como se fosse próprio.

Aos amigos da graduação, da pós-graduação, que tanto me estimularam,

e me ajudaram a galgar todos os obstáculos até aqui.

À CAPES pelo apoio financeiro.

Resumo

Estamos interessados na equação integro-diferencial:

-1/2 ±(t) = —2a[1. -I- x(t)11 1 x(t -i- 0)dO, a > O. (E) -

Nosso objetivo é estudar as soluções periódicas de (E), que estão

associadas aos pontos fixos de uma aplicação de retorno A sobre um

conjunto fechado convexo do espaço de fase.

Nós usamos um Teorema de R. Nussbaum para obter a existência de

pontos fixos não triviais de A, quando a varia ao longo de uma sequência.

Introdução

Em 1978, Chow e Hale [1] estudam a equação integro-diferencial

o 4t) = —a[1 x(t)] B(0)x(t 0)d0, (0.1)

onde a> O e B(0) > O é de classe C1 e semelhante à função delta de Dirac, definida

de modo que B(0) 0, < O < O e AB(0)d0 =1 (ver Figura 0.1). Esta equação

é discutida como um modelo de crescimento de uma espécie. Chow e Hale [1]

afirmam que as hipóteses do Teorema 2.2 [2], pag 249, atribuído a R. Nussbaum

podem ser verificadas para a equação acima a fim de se obter uma solução periódica

não constante.

Inspirados nessa equação e nas afirmações de Chow e Hale, nos detemos

em estudar a equação integro-diferencial:

-1/2 ±(t) = —2a[1 x(t)]

1-1 x(t -F 0)d0, a> 0, (0.2)

que é uma equação diferencial funcional com retardamento obtida a partir de (0.1)

tomando B(0), de acordo com a Figura 0.1, definida por:

Bm.{ 20 se — 1 < O < se < O < O

Por razões técnicas restringimos nosso estudo ao caso em que a pertence a

um subconjunto enumerável da reta.

1

2

1

A

> -1 -1/2 Figura 0.1:

Neste trabalho mostramos a existência de uma solução periódica não cons-

tante, usando um princípio de ponto fixo ejetivo para um operador de retorno.

O trabalho é apresentado em dois capítulos. No primeiro citamos alguns

resultados básicos para o seu desenvolvimento, definimos equação diferencial funcio-

nal com retardamento e apresentamos alguns resultados sobre existência, unicidade

e dependência contínua das soluções em relação às condições iniciais. Mostramos a

existência de soluções para a equação específica. Definimos ponto ejetivo e enuncia-

mos o Teorema de Nussbaum e um lema que dá uma condição suficiente para um

ponto ser ejetivo.

No segundo capítulo, verificamos que a equação específica satisfaz as hi-

póteses do Teorema de Nussbaum e assim, concluimos a existência de uma solução

periódica não constante.

Uma questão que naturalmente se formula a partir do presente trabalho é

a de estender o conjunto onde o parâmetro a varia.

Capítulo 1

Preliminares

Apresentamos neste capítulo alguns resultados básicos que serão usados

no decorrer do trabalho. As demonstrações podem ser encontradas na bibliografia

indicada.

1.1 Equação Diferencial Funcional com Retardamento

Consideremos r > O um número real dado, o espaço vetorial n-dimensional

Rn sobre os reais com norma euclidiana I • C([a,b],Rn), o espaço de Banach das

aplicações : [a, b] Rn contínuas, munido da norma do supremo.

Seja [a, b] = [—r,0], e C = C([—r, 0], Rn), onde a norma de um elemento

OECe dada por:

11011 == SUP 1 0(°) 1 • —r<0<0

Definição 1.1.1 Sejamr E R, A>0 ex E C([-r—r,r-FA],Rn). Para cada

t E [T, T + A], definimos a função xt E C por:

x(0) = x(t -F O),

3

onde —r < O < O.

Definição 1.1.2 Sejam D CRxC, f : D —› R uma função, com "-"representando

a derivada à direita. A equação

±(t) = f (t, xt ) (1.1)

é dita uma equação diferencial funcional com retardamento sobre D e será denotada

por EDFR. Se desejarmos enfatizar que a equação é definida por f, escrevemos

EDFR(f).

A equação (1.1) inclui como caso particular as equações diferenciais or-

dinárias, basta para isto tomar r = O.

Exemplo 1.1.1 A equação integro-diferencial

o i(t) g (t , O, x(t 0))dO

é uma EDFR. Neste caso, f(t,O) = f24(1,0,0(0))d0 para (t, 0) E R x C.

Definição 1.1.3 Se existe r ER eA >O tal que x E C([r — r,r A),Rn),

(t,xt ) E D e x(t) satisfaz a equação (1.1) para t E [r,r + A), diz-se que x é solução

da equação (1.1).

Definição 1.1.4 Dado 7" E R, E C, dizemos que x(r,O, f) é solução da equação

(1.1) com valor inicial em r se:

( i) Existe A > O tal que x(r,O, f) é solução da equação (1.1) sobre [r — r,r A),

(II) x.,(7,46 ,n= 95.

continuação ( à direita) de x, se existe b> a, tal que está definida em [r — r,b),

coincide com x em [r — r,a) e satisfaz a equação (1.1) em [r,b). Dizemos que x,

solução da equação (1.1) em [r,a), é não continuável ( à direita) se não existe uma

continuação dela, neste caso o intervalo Ir, a) é dito intervalo maximal de existência

da solução.

O leitor encontra em [2] um estudo bastante geral sobre continuação de

soluções.

1.2 Existência e Unicidade de Solução para a Equação (0.2)

Esta equação é dada por:

i(t) = —2(41 + x(t)] 1J- x(t + 0)0, c> 0.

Dado (A E C = C ([-1,0], R), vamos mostrar que (0.2) admite uma única

solução x(t) para t > —1, tal que xo = 0. Façamos a seguinte mudança de variável:

e"(t) = 1 + x(t), (1.3)

assim x(t) > —1 para t > —1. Além disso,

±(t) = e 0(i) •

Por outro lado, de acordo com (0.2),

(t) = —24:•xew(i) f-1/2[e.(t+e) _ 11d0. -1

Igualando os dois membros, ternos que:

th(t) = 2a f-1/2[1 — ew(i+91d0. -1 (1.4)

Dado t/) E C, verifiquemos que a equação (1.4) admite uma única solução

que a satisfaz para i > O, com wo = 0. Para t E [0,1/2]

-1/2 = 2ot ./ [1 — e'l)(1+eld0.

Como o segundo membro é uma função contínua de t, w(t) é determinado

por quadratura em [O, 1/2]. Para t E [1/2,1], w(t) é determinado de modo análogo

usando wii2(0) = w(1/2 O), —1 < O < O, obtemos w sobre [-1, co). Consequente-

mente, obtemos x sobre [-1, oo).

1.3 Um teorema de Periodicidade

A seguir enunciamos um resultado de Nussbaum, que nos garante a existên-

cia de um ponto fixo de uma aplicação A distinto de um ponto prefixado, denominado

ejetivo.

Definição 1.3.1 Seja K um conjunto convexo. Um ponto xo E K é um ponto

extremo de K se não existem pontos distintos x1 ,x2 EK etE (0,1) de modo que

xo = tsi + (1— t)x2 .Geometricamente, xo é extremo se ele não é interior de nenhum

segmento contido em K.

Exemplo 1.3.1 Consideremos K um quadrado. Então os vértices do quadrado

serão os pontos extremos de K.

Para cada autovalor A, o espaço de fase C é decomposto como soma direta,

C = P.xEDQÀ, onde 13), e QA são invariantes sob o operador solução da equação (1.6),

T(t), t > O, dado por T(t)r¢ = yt(-, O), 4) E C, e 7r), o operador projeção sobre

definido por essa decomposição.

Lema 1.3.1 Suponhamos que as seguintes condições estejam satisfeitas:

( i) Há um autovalor A da equação ( 1.6) com Re(A) > O.

(ii) Há um subconjunto convexo fechado K de C, O E K, e uma função contínua

: K — {0} [p,co), p > O, tal que a aplicação A: K --+ C dada por:

0), E /0( -{O} (1.7)

é completamente contínua e AI C K.

(iii) inf{I17r), xt li xt = xt( ., 0), (i) E K, 11411 O 5t r(0)} > O

(iv) Se G é um subconjunto aberto de Rn, O E G, existe uma vizinhança V de O

em C tal que x(t,O) E G, para qualquer OE Vn K,0 O, e O < t < r(0).

Então, O é um ponto ejetivo de A. ( ver [3] )

11

Capítulo 2

Existência de uma Solução Periódica não Constante

Utilizando o Teorema 1.3.2 mostramos que (0.2) admite uma solução

periódica não constante. Para que esta solução não seja trivial necessitamos de

que o ponto fixo de A não seja o zero. Nosso argumento baseia-se em que o zero é

um ponto ejetivo de A em K, o Lema 1.3.1 dá as condições necessárias para isso.

Primeiro enunciamos alguns fatos importantes, mostramos que as condições do

Lema 1.3.1 estão satisfeitas e desta forma, o zero é ponto ejetivo.

2.1 Fatos Importantes

O subconjunto fechado e convexo de C = C([-1, 0], R), K = {0 E C

0(-1) > 0, 0(0) é não decrescente em [-1,-1/2], MO é não crescente em [-1/2,0],

0(0) > e(ea-1)[0(-1/2) + 1] — 1} desempenha um papel importante no

desenvolvimento do trabalho.

Definição 2.1.1 Dizemos que os zeros de x(t) são limitados se x(t) tem somente

um número finito de zeros positivos.

12

a qual nos leva à equação característica da equação (2.2), dada por:

À2 2a (e-À/2 — e-À) = 0, A 0. (2.3)

Lema 2.2.1 Se a assume valores ao longo da sequência:

,, 2,0a. an sen(an) — eani2sen(an/2)

onde 7r + 2727r < a, <'12-; + 2n7r, n = 0,1,2,... é univocamente determinado, então

An = an ia n é uma raiz característica de (2.3).

Prova: Seja equação (2.3) com a> O fazendo À0 = ao + aoi, ao 0, temos que:

( (ao —(a°2+a0i)

I- aoi)2 + 2a e _... e—(a0-1-a0i) = o.

Separando a parte real da imaginária, temos que:

1

2ae-a°/2 cos(?) — 2ae-a0 cos(a0) = O

—2ae-a0/2sen(a2a) + 2ae-a°sen(a0) = —2a02

Multiplicando o sistema por ea°, temos que:

{ cos(ao) — ea°/2 cos() = O

sen(ao) — ea0/2sen(1-) = a

As equações do sistema (2.4) podem ser escritas como produto escalar:

(cos(a0), cos(--a0 )) • (1, —ea0 /2) = O 2 (sen(a0), sen( —a° )) • (1, —ea(32) =

ao2ea, 2 a

Observe que o vetor (cos(a0),cos(a,12)) deve ser ortogonal ao vetor (1, _e0/2) e que

ao também deve satisfazer a equação (2.6).

(2.4)

(2.5)

(2.6)

16

(1, —ea°/2). Portanto, 7r < ao < 11-3T . Verifiquemos que existe um único ao

nessas condições. Para ao = 7r, temos que: (cos(a0), cos(ao/2))• (1, —e00/2) < O.

Para ao = -̀ temos que: (cos(a0), cos(a0/2)) • (1, —e"/2) > O. Além disso,

a derivada da função F(a0) = cos(ao) — e"Pcos(a0/2) é positiva no intervalo

17r, 4-ti, assim, F é crescente neste intervalo. Portanto, existe um único ao,

7r < ao < :1-7-3' que satisfaz a equação (2.5).

4o Caso Quando < ao <27r não satisfaz a equação (2.5), pois os dois vetores

estão no interior do mesmo quadrante.

Para 7r <a0 < 4fr satisfaz a equação (2.6), para algum a = ao positivo, dado

por: ao2 eao

ao = sen(a0) — ea0/2sen(a0/2)

Analogamente concluimos que: 3!an , 7r + 2n7r < a, < + 2n7r, n = O, 1, 2, . . onde:

a n 2ean

= sen(an) — eani2sen(an/2)

fica univocamente determinado de modo que AT, = an+ian seja raiz da equação

característica (2.3).

Observação 2.2.1 É uma simples, embora extensa, rotina de cálculo, verificar que

a >1, n = 0,1, 2,...

2.3 O Operador de Retorno A

Vamos construir um operador de retorno A: Kc, —)C, onde K. é definido

na secção 2.1,seguindo a órbita a partir de E Is, até o instante em que ela retorna

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a K. Pelo Lema 2.1.1, temos que: se 0(0) > -1 e a> 1 os zeros de x(t) não são

limitados. Com an > 1, (k E Ka, O, definimos:

NO). min{t > O 1 t é um zero com i(t) > O)

r1(0) = { o primeiro ponto de máximo relativo > NO».

Sejam T = r(0) = '7-1(0) + 1/2 e

=Aç5 (I) E Ka - {0} O, =o.

Lema 2.3.1 A função 7- : Ka - {0} [p,00), p> O, definida acima, é contínua e

a aplicação A: K. --> C dada por:

{ x,(0)(', 0), 45 E K. - {O} O, ç5=O

é completamente contínua e AKa C Ka.

Prova: Argumentos típicos de continuidade em relação às condições iniciais

levam a continuidade da r.

Para mostrarmos que Alça C Ka, precisamos primeiramente mostrar que

sendo f- um ponto de máximo relativo e h = x(f), então:

x(f- + 1/2) > e a-1)[x(f-) + 1] - 1,

com a > O. Seja -1/2

= -2a[1 x(t)]f 1 x(t 4- C)dO

- e façamos algumas majorações. Tomando f- < t < + 1/2, temos que:

1 x(t 0)d0 < x(t -112)d0 = -x(t - 1/2)

J-1 -1 2

19

Por outro lado, I Ax 1 < L se x E Koi, isto é , I Ax 1< L < M. Desta forma

M >1 Ax 1> M ( Absurdo). Portanto, existe M > O tal que Ax = Ax, para todo

x E K. n Sm(0) implica que A < 1. o

Desta maneira, temos que A tem um ponto fixo em .1‘,„ n Bm — {O} e

portanto a equação (0.2) tem uma solução periódica não constante.

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