· Construções consistentes de espaços de Banach C(K) com poucos operadores Rogério...

Construcoes consistentes

de espacos de Banach C(K)

com poucos operadores

Rogerio Augusto dos Santos Fajardo

Tese apresentada

ao

Instituto de Matematica e Estatıstica

da

Universidade de Sao Paulo

para

obtencao do grau

de

Doutor em Ciencias

Area de Concentracao: MatematicaOrientador: Prof. Dr. Eloi Medina GalegoCo-orientador: Prof. Dr. Piotr Koszmider

Durante a elaboracao deste trabalho, o autor recebeuapoio financeiro da FAPESP (processo 04/03508-6).

Sao Paulo, setembro de 2007

Construcoes consistentes

de espacos de Banach C(K)

com poucos operadores

Este exemplar corresponde a redacaofinal da tese de doutorado devidamente

corrigida e defendida por Rogerio Fajardoe aprovada pela comissao julgadora.

Sao Paulo, novembro de 2007.

Banca examinadora:

• Prof. Dr. Eloi Medina Galego - IME-USP

• Profa. Dr. Ricardo Bianconi - IME-USP

• Prof. Dr. Jorge Tulio Mujica Ascui - UNICAMP

• Prof. Dr. Mario Carvalho de Matos - UNICAMP

• Prof. Dr. Valentin Ferenczi - PARIS VI

iii

A minha esposa, Joice,

com toda estima, amor e carinho,

pelo novo brilho que trouxe a minha vida,

A memoria de meu pai, Clovis,

que me introduziu o prazer pela matematica,

e o valor da cidadania.

Agradecimentos

Agradeco a minha mae, sogros e toda a minha famılia, pelo carinho e atencaodispensados.

Agradeco a todos os professores do IME, especialmente aos meus orientado-res.

Agradeco a todos os colegas do IME que conheci durante todos esses anos.

Agradeco a FAPESP pelo apoio financeiro.

Agradeco, com especialidade, aos meus professores do ginasio: Roberto,Rubia e Helio, do Colegio Sao Vicente de Paula.

v

vii

Resumo

Neste trabalho aplicamos tecnicas de combinatoria infinitaria e forcing nateoria dos espacos de Banach, investigando propriedades dos espacos de Ba-nach da forma C(K) com poucos operadores, no sentido de que todo operadorem C(K) sao da forma gI+S, onde I e o operador identidade, g ∈ C(K) e Se fracamente compacto. Enfatizamos as construcoes onde K e conexo, o queimplica que C(K) e indecomponıvel. Assumindo ♦, um axioma combinatoriomais forte que a Hipotese do Contınuo, construımos um espaco de BanachC(K) tal que C(L) tem poucos operadores, para todo L ⊆ K fechado. Soba Hipotese do Contınuo construımos um espaco C(K) indecomponıvel compoucos operadores tal que K contem βN homeomorficamente. Em ZFC cons-truımos um espaco C(K) com poucos operadores em um sentido estritamentemais fraco. Tambem mostramos a existencia de pelo menos contınuo espacosde Banach C(K) indecomponıveis dois a dois essencialmente incomparaveis.Usando forcing provamos que existe consistentemente um espaco de BanachC(K) de densidade menor que contınuo com poucos operadores e um C(K)indecomponıvel de densidade menor que contınuo.

Abstract

In this work we apply techniques of infinitary combinatorics and forcingin Banach spaces theory, investigating the compact topological spaces Ksuch that the Banach space C(K) has few operators, in the sense that alloperators on C(K) have the form gI + S, where I is the identity operator,g ∈ C(K) and S is weakly compact. We emphasize the constructions whereK is connected, which implies that C(K) is indecomposable. Assuming ♦, acombinatoric axiom stronger than the continuum hypothesis, we construct aBanach space C(K) where C(L) has few operators, for every closed L ⊆ K.Under continuum hypothesis we construct an indecomposable C(K) with fewoperators such that K contains βN homeomorphically. In ZFC we constructa space C(K) with few operators in a strictly weaker sense. We also showthe existence of at least continuum essentially incomparable indecomposableBanach spaces C(K). Using forcing, we prove that there exists consistently aBanach space C(K) of density smaller than continuum having few operatorsand an indecomposable C(K) of density smaller than continuum.

Sumario

Notacao xi

Introducao 1

1 Resultados preliminares 71.1 Espaco de Banach C(K) e o dual M(K) . . . . . . . . . . . . 71.2 Multiplicadores fracos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Extensoes por funcoes contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Axioma ♦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Quocientes de espacos indecomponıveis da forma C(K) 252.1 Um espaco C(K) com muitos quocientes indecomponıveis . . . 262.2 Um espaco C(K) indecomponıvel tal que K contem βN . . . . 37

3 Outras construcoes de C(K) com poucos operadores 413.1 Espacos de Banach C(K) com quase poucos operadores . . . . 413.2 Construcao de 2ω espacos C(K) indecomponıveis essencial-

mente incomparaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Um espaco C(K) de densidade ω1 < 2ω com poucos operado-res 494.1 Convergencia fraca em M(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2 Construcao de um forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3 Construcao consistente de um espaco C(K) de densidade me-

nor que contınuo com poucos operadores . . . . . . . . . . . . 56

5 Um espaco C(K) indecomponıvel de densidade ω1 < 2ω 675.1 Construcao do forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2 Iteracao do forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

ix

x Sumario

A Representacao de Stone 87A.1 Algebras de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87A.2 Teorema da Representacao de Stone . . . . . . . . . . . . . . . 89

B Forcing 91B.1 Modelos transitivos enumeraveis . . . . . . . . . . . . . . . . . 91B.2 Ordens parciais e filtros genericos . . . . . . . . . . . . . . . . 93B.3 Extensoes genericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95B.4 Relacao de forcing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96B.5 Absolutividade e preservacao de cardinais . . . . . . . . . . . . 97B.6 Forcing iterado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Bibliografia 101

Indice Remissivo 105

Notacao

R conjunto dos numeros reaisQ conjunto dos numeros racionaisω conjunto dos naturais e o primeiro ordinal infinito enumeravelω1 primeiro ordinal nao-enumeravel

P(X) conjunto das partes de X|X| cardinalidade de X2ω cardinal do contınuo, isto e, |P(ω)|CH Hipotese do Contınuo, isto e, ω1 = 2ω

C(K) espaco de Banach das funcoes contınuas de K em R com a norma supremoM(K) espaco de Banach das medidas de Radon em K com a norma da variacao||x|| norma de xX∗ espaco dual do espaco de Banach XT ∗ operador adjunto do operador TBX∗ bola unitaria de X∗ com a topologia fraca∗l∞ espaco de Banach das sequencias limitadas em R com a norma supremoc0 espaco de Banach das sequencias reais convergentes a 0, com a norma supremo

X ⊕ Y soma direta de X e YβN compactificado de Stone-Cech dos naturais

dom(f) domıno da funcao f

supp(f) suporte da funcao f , isto e, x ∈ dom(f) : f(x) 6= 0Gr(f) grafico da funcao f , isto e, (x, f(x)) : x ∈ dom(f)supp(p) suporte de uma condicao p de um forcing iterado

ZFC sistema de axiomas de Zermelo-Frankel com Axioma da EscolhaMA axioma de Martin

xi

Introducao

Na teoria dos espacos de Banach diversas perguntas foram feitas sobre quandoum subespaco fechado Y de um espaco de Banach X e complementado emX, isto e, se existe Z subespaco fechado de Y tal que X = Y ⊕ Z. Durantemuitos anos ficou em aberto se para todo espaco de Banach X, de dimensaoinfinita, existem subespacos fechados Y e Z, de dimensoes infinitas, tais queX = Y ⊕ Z. Quando isso ocorre, dizemos que X e decomponıvel.

Em 1993 Gowers e Maurey construıram, em [GM1], o primeiro exemplode um espaco de Banach indecomponıvel. Mais do que isso: o exemploconstruıdo por eles e hereditariamente indecomponıvel, isto e, todos os seussubespacos fechados sao indecomponıveis.

Uma vez que decomposicoes de espacos de Banach sao dadas por ope-radores projecoes, espacos indecomponıveis estao relacionados com espacoscom poucos operadores. No espaco construıdo por Gowers e Maurey, todooperador e da forma cI + S, onde I e o operador identidade, c ∈ R e S e umoperador estritamente singular, isto e, nenhuma restricao a um subespaco dedimensao infinita e um isomorfismo sobre a imagem.

Diversos outros resultados sobre espacos de Banach que possuem poucosoperadores tem sido publicados. Em 1978, assumindo o axioma ♦ (vejaSecao 1.4), Shelah mostra que existe um espaco de Banach de densidade ω1

cujos operadores sao da forma cI+S, onde c ∈ R e S tem imagem separavel.Em 1988 Shelah e Steprans mostram o mesmo resultado sem assumir nenhumaxioma adicional de teoria dos conjuntos.

Em [Ko2] encontramos o primeiro exemplo de um espaco de Banach inde-componıvel da forma C(K), o espaco de Banach das funcoes reais contınuassobre um compacto K munido da norma do supremo. Nesse artigo ha duasconstrucoes, na primeira K e 0-dimensional e na segunda e conexo, de espacosde Banach C(K) em que todos os operadores sao multiplicadores fracos (De-finicao 1.7). Como consequencia, C(K) nao e isomorfo aos seus hiperplanos,

1

2 Introducao

nem a qualquer subespaco ou quociente proprio. Na construcao conexa ob-temos C(K) indecomponıvel. Koszmider prova que, se KrF e conexo, paratodo F finito, e todo operador em C(K) e multiplicador fraco, entao C(K)e indecomponıvel.

Assumindo a Hipotese do Contınuo (CH), Koszmider mostra que podemosobter um compacto K tal que todo operador em C(K) e da forma gI+S, parag ∈ C(K) e S fracamente compacto. Isso implica, quando K e conexo, queC(K) e indecomponıvel. Usando Representacao de Wallman para reticuladosconexos, que generaliza a representacao de Stone para obter espacos conexos,em [Pl] Plebanek construiu um espaco de Banach C(K) indecomponıvel compoucos operadores, no sentido como acima, sem assumir nenhum axiomaadicional.

Como todo espaco de Banach de dimensao infinita da forma C(K) contemc0 como subespaco, C(K) nao pode ser hereditariamente indecomponıvel,como o espaco construıdo por Gowers e Maurey. O espaco construıdo em[Ko2] e um exemplo natural de um espaco de Banach indecomponıvel masnao hereditariamente indecomponıvel.

No contexto de C(K), um operador e fracamente compacto se, e somentese, e estritamente singular (vide [Pe2]). Esta verificado em [Ko2] que obterum espaco da forma C(K) em que todo operador e da forma cI+S onde c ∈ R

e S e fracamente compacto (equivalentemente, S e estritamente singular),como o espaco obtido em [GM1], e impossıvel. Igualmente mostra-se quetodo espaco C(K) tem operador que nao e da forma gI +C, para g ∈ C(K)e C um operador compacto. Assim, um espaco de Banach C(K) onde todooperador e da forma gI + S, onde g ∈ C(K) e S e fracamente compacto, eo melhor que podemos esperar no sentido de poucos operadores em C(K).A partir de agora, salvo mencao contraria, essa sera a definicao de espacosC(K) com poucos operadores.

Em 1999 Ferenczi, em [Fer], mostrou que o espaco construıdo por Gowerse Maurey, alem de hereditariamente indecomponıvel, tambem e quociente

hereditariamente indecomponıvel, isto e, todos seus quocientes sao heredita-riamente indecomponıveis. Nesse mesmo artigo, Ferenczi constroi um espacohereditariamente indecomponıvel, mas nao quociente hereditariamente inde-componıvel.

Como em [LM] mostra-se que espacos da forma C(K) possuem c0 com-plementado ou l2 como quociente, espacos de Banach C(K) tambem naopodem ser quociente hereditariamente indecomponıvel, nem e possıvel quetodos quocientes tenham poucos operadores. Porem, no Capıtulo 2 cons-

Introducao 3

truımos C(K) com muitos quocientes indecomponıveis. Assumindo ♦, mos-tramos que existe um espaco de Banach C(K) indecomponıvel tal que C(L)tem poucos operadores, para todo L ⊆ K fechado (Teorema 2.2), respon-dendo a uma pergunta deixada no final de [Ko2]. Em particular, mostramosque C(K) como no Teorema 2.2 tem pelo menos contınuo quocientes in-decomponıveis da forma C(L) (Corolario 2.3), pois, se L e um subespacofechado de K, entao C(L) e um quociente de C(K), induzido pelo operadorT : C(K) −→ C(K) dado por T (f) = f |L.

Uma pergunta que poderia surgir e se qualquer espaco indecomponıvelC(K) construıdo por sucessivas extensoes fortes, como o construıdo em [Ko2],ja tem a propriedade acima. Assumindo CH, obtemos um espaco C(K) inde-componıvel tal que βN ⊆ K (Teorema 2.5), e C(βN) e isometrico a l∞, quetem muitos operadores 1. Porem, para C(K) conter l∞ como qociente e sufi-ciente, mas nao necessario, que K contenha βN. Talagrand mostra, em [Ta],que C(K) contem l∞ como quociente se, e somente se, BC(K)∗ contem umsubespaco homeomorfo a βN. No caso do espaco construıdo no Teorema 2.2nao sabemos se ele contem l∞ como quociente.

Em 1975 Fedorchuk, em [Fed], mostrou, assumindo CH, que existe umespaco topologico compacto K que nao contem sequencia convergente nemcontem um subespaco isomorfo a βN, respondendo, consistentemente, a umapergunta dos anos 50 feita por Efimov. Um compacto K como do Teorema 2.2tambem responde negativamente ao problema de Efimov, mas assumimos ♦,que e mais forte que CH (Lema 1.26). A consistencia da negacao do problemade Efimov permanece em aberto.

Na Secao 3.1, Teorema 3.2, mostramos uma construcao de um compacto0-dimensional K tal que todo operador em C(K) e multiplicador fraco masnem todo e da forma gI + S. Essa construcao foi obtida independentementepor Iryna Schlackow (vide [Schl]). O exemplo construıdo e o mesmo, apesarda demonstracao ser diferente. Em [Schl] tambem mostra-se que a propri-edade que todo operador em C(K) e multiplicador fraco e invariante porisomorfismos de espacos de Banach, mas a propriedade de que todo operadorem C(K) e da forma gI + S, para g ∈ C(K) e S fracamente compacto, naoe invariante por isomorfismos.

Podemos perguntar se um espaco indecomponıvel nao e unico, a menos

1O espaco topologico βN esta definido no Apendice A, Definicao A.12. A isometria entreC(βN) e l∞ segue do Teorema A.13. De resultados de [Ko2] e [Sc], que mencionaremosnesta Introducao, e do fato que l∞ = c0 ⊕ l∞, seguem que l∞ nao tem poucos operadores,no sentido por nos adotado.

4 Introducao

de isomorfismos, e, se nao e, quanto deles existem, nao-isomorfos. Em [Ga],Gasparis construiu uma famılia de cardinalidade 2ω de espacos de Banachindecomponıveis separaveis (como os espacos de [GM1]) que sao dois a doistotalmente incomparaveis, isto e, nenhum subespaco de dimensao infinitade um espaco e isomorfo a um subespaco de outro. Como os espacos saoseparaveis, 2ω e o maior cardinal possıvel para essa famılia.

Como C(K) de dimensao infinita contem c0 como subespaco, dois espacosde Banach da forma C(K) nao podem ser totalmente incomparaveis. Um ou-tro conceito de incomparabilidade, desenvolvida por Aiena e Gonzalez (vide[AG]), e o de espacos de Banach essencialmente incomparaveis (Definicao3.3). O Teorema 3.5 mostra a existencia de uma famılia de 2ω espacos deBanach indecomponıveis da forma C(K) essencialmente incomparaveis.

Chamamos de densidade de um espaco de Banach X o menor cardinal λpara o qual existe um denso em X de cardinalidade λ. Por exemplo, dizer queX tem densidade enumeravel significa que X e separavel. Podemos estudaros possıveis valores para a densidade de espacos C(K) indecomponıveis, oucom poucos operadores.

Um espaco de Banach e de Grothendieck (ou, possui a propriedade de

Grothendieck) se a convergencia fraca e a convergencia fraca∗ coincidem noespaco dual. Schachermayer mostra, em [Sc], que um espaco de Banach daforma C(K) e de Grothendieck se, e somente se, nao contem c0 complemen-tado. Em [Ko2] mostra-se, usando o resultado de Schachermayer, que, seC(K) e indecomponıvel, tem poucos operadores, ou todos os operadores nelesao multiplicadores fracos, entao C(K) e de Grothendieck.

O espaco de Banach indecomponıvel construıdo em [GM1] e separavel.Espacos de Banach da forma C(K) indecomponıveis, ou com poucos ope-radores (mesmo no sentido de todo operador em C(K) ser multiplicadorfraco), nao podem ser separaveis, pois todo espaco C(K) separavel contemuma copia complementada de c0 e, portanto, nao e de Grothendieck. To-dos os espacos de Banach da forma C(K) construıdos em [Ko2], [Pl] e nosCapıtulos 2 e 3 tem densidade 2ω.

Por um resultado de Fremlin, em [Fr], axioma de Martin (vide [Ku]) im-plica que, se K tem peso menor que 2ω, entao C(K) tem uma copia comple-mentada de c0 e, portanto, nao e de Grothendieck e, em particular, nao podeter poucos operadores (veja introducao do Capıtulo 4 para mais detalhes).

Em [Br] Brech mostra o primeiro exemplo consistente de um espaco C(K)de densidade menor que contınuo que possui a propriedade de Grothendieck.Mas, como mostramos na introducao do Capıtulo 4, o espaco C(K) cons-

Introducao 5

truıdo por [Br] contem operadores que nao sao multiplicadores fracos.No Capıtulo 4, Teorema 4.14, mostramos consistentemente, usando for-

cing iterado, a existencia de um espaco de Banach C(K) de densidade menorque 2ω com poucos operadores. Adaptando essa construcao para K conexo,no Capıtulo 5 mostramos a consistencia da existencia de um espaco C(K)indecomponıvel de densidade menor que contınuo. Por [Fr] sabemos queambos resultados, assim como o de [Br], sao independentes de ZFC+¬CH.Como C(K) separavel nao possui a propriedade de Grothendieck, CH implicaa negacao desses resultados.

Esta tese esta dividida da seguinte maneira: No Capıtulo 1 apresentamosalguns resultados classicos sobre a teoria dos espacos de Banach, definicoese resultados sobre multiplicadores fracos e extensoes por funcoes contınuas,a maioria deles extraıdos de [Ko2], e uma secao sobre o axioma ♦. NoCapıtulo 2 mostramos, assumindo ♦, a existencia de um compacto conexoK tal que C(L) tem poucos operadores, para todo L ⊆ K (Teorema 2.2).Assumindo CH tambem construımos um C(K) com poucos operadores, comK conexo, tal que βN ⊆ K (Teorema 2.5). No Capıtulo 3 construımos umC(K) no qual todo operador e multiplicador fraco mas nem todo e da formagI+S, para g ∈ C(K) e S fracamente compacto (Teorema 3.2), e construımos2ω espacos C(K) indecomponıveis dois a dois essencialmente incomparaveis(Teorema 3.5). No Capıtulo 4 encontramos a construcao (consistente) de umespaco C(K) de densidade menor que contınuo com poucos operadores (Teo-rema 4.14). No Capıtulo 5, adaptando a construcao do Capıtulo 4 para o casoK conexo, mostramos consistentemente a existencia de um espaco de BanachC(K) indecomponıvel de densidade menor que contınuo. Os Apendices A e Bfornecem breves descricoes sobre a representacao de Stone e a tecnica do for-

cing, respectivamente, essenciais para a compreensao dos Capıtulos 4 e 5.

6 Introducao

Capıtulo 1

Resultados preliminares

Neste capıtulo, apresentaremos alguns resultados que serao utilizados no de-correr da tese. A Secao 1.1 apresenta alguns resultados classicos da teoria dosespacos de Banach. As Secoes 1.2 e 1.3 apresentam definicoes e resultadosque constam em [Ko2], sobre multiplicadores fracos e extensoes de compac-tos conexos por funcoes contınuas. Apresentamos, nessas secoes, algumasvariacoes dos lemas de [Ko2] que serao necessarias para os Capıtulos 2 e 3.A Secao 1.4 trata do axioma ♦, que sera usado no Capıtulo 2.

1.1 Espaco de Banach C(K) e o dual M(K)

Os borelianos sobre um compacto K sao os elementos da σ-algebra geradapelos abertos, isto e, o menor subconjunto de P(K) que contem os abertos deK e e fechado por unioes enumeraveis e complementos. Seja B(K) o conjuntodos borelianos de K. Uma medida boreliana em K e uma funcao σ-aditivaµ de B(K) em R. Isto e, se E =

⋃

n∈ω En, onde (En)n∈ω sao borelianos emK dois a dois disjuntos, entao

µ(E) = Σn∈ωµ(En).

Uma medida boreliana sobre K e positiva se µ(E) ≥ 0, para todo E ⊆ Kboreliano. Dada uma medida boreliana µ, definimos |µ| por

|µ|(E) = supΣ1≤i≤n|µ(En)| : n ∈ ω, Ei ∈ B Ei ⊆ E, Ei∩Ej = ∅, se i 6= j.Temos que |µ| esta bem definida como funcao de B(K) em R e e uma medidapositiva (veja [Ru], Teoremas 6.2 e 6.4). Chamamos a medida |µ| de variacao

de µ.

7

8 Preliminares

Uma medida µ e dita regular se para todo boreliano E e todo ε > 0existem um fechado F ⊆ E e um aberto V ⊇ E tais que |µ|(V r F ) < ε.Uma medida boreliana regular tambem e chamada de medida de Radon.Segue imediatamente da definicao de regularidade que, se µ e regular, entao|µ| tambem e regular.

A partir de agora convencionamos que o termo medida sera usado nosentido de medida de Radon. Veremos, a seguir, que uma medida em umcompacto K e unicamente determinada pelos seus valores em uma base fe-chada por interseccoes finitas.

Lema 1.1. Sejam K um compacto e B uma base de abertos de K fechada

por interseccoes finitas. Se µ e ν sao medidas sobre K tais que µ|B = ν|B,

entao µ = ν.

Demonstracao: Se E1 ⊆ E2, para E1 e E2 borelianos em K, pela σ-aditividade de µ e ν temos µ(E2 r E1) = µ(E2) − µ(E1) e ν(E2 r E1) =ν(E2) − ν(E1). Vejamos que, se V e uma uniao finita de elementos de B,entao µ(V ) = ν(V ). Provaremos por inducao em n que, se X ⊆ B e |X| = n,entao µ(∪X) = ν(∪X). O passo inicial n = 1 temos pela hipotese. Suponhaque µ e ν coincidem para todas unioes de no maximo n elementos de B. SejaV = ∪Vi : 1 ≤ i ≤ n+ 1, onde Vi ∈ B. Temos

V = (Vn+1 r⋃

1≤i≤n

(Vn+1 ∩ Vi)) ∪ (⋃

1≤i≤n

Vi).

ComoB e fechado por interseccoes finitas, Vn+1∩Vi ∈ B. Logo, por µ|B = ν|Be pela hipotese indutiva, tomando V ′ =

⋃

1≤i≤n(Vn+1∩Vi) e V ′′ =⋃

1≤i≤n(Vi)temos

µ(V ) = µ(Vn+1) − µ(V ′) + µ(V ′′) = ν(Vn+1) − ν(V ′) + ν(V ′′) = ν(V ).

Seja E ⊆ K boreliano. Para cada n ∈ ω, n > 0, usando regularidade deµ e ν tomamos fechados F 1

n e F 2n contidos em E e abertos V 1

n e V 2n contendo

E tais que |µ|(V 1n r F 1

n) < 14n

e |ν|(V 2n r F 2

n) < 14n

. Tomando Vn = V 1n ∩ V 2

n

e Fn = F 1n ∪ F 2

n temos Fn ⊆ E ⊆ Vn, |µ|(Vn r Fn) < 14n

e |ν|(Vn r Fn) < 14n

.Como K e compacto e Fn e fechado em K, temos que Fn e compacto.

Portanto existe Wn uniao finita de abertos pertencentes a B tal que Fn ⊆Wn ⊆ Vn. Temos

|µ(E) − µ(Wn)| ≤ |µ(E) − µ(Fn)| + |µ(Wn) − µ(Fn)| =

Preliminares 9

|µ(E r Fn)| + |µ(Wn r Fn)| ≤ |µ|(E r Fn) + |µ|(Wn r Fn) ≤ 1

2n.

Analogamente, |ν(E)−ν(Wn)| < 12n

. Como mostramos que µ(Wn) = ν(Wn),concluımos que

|µ(E) − ν(E)| ≤ |µ(E) − µ(Wn)| + |ν(E) − ν(Wn)| < 1

n,

para todo n. Portanto, µ(E) = ν(E).

Seja I um conjunto e seja X = Πi∈IXi o produto de espacos topologicosXi. Definimos um aberto elementar de X como um aberto da forma Πi∈IVi,onde Vi e um aberto basico (de uma base fixada) em Xi, para todo i ∈ I, eVi = Xi para todos, exceto finitos, i ∈ I. Se Y ⊆ Πi∈IXi e um subespacochamamos de aberto elementar de Y um aberto elementar de Πi∈IXi inter-ceptado com Y . Segue da definicao de topologia produto e de subespacotopologico que os abertos elementares formam uma base de abertos para Y ,e e facil ver que os abertos elementares de Y formam uma base fechada porinterseccoes finitas.

No caso de Xi = [0, 1], consideraremos como abertos basicos os intervalosabertos em [0, 1] 1 de extremos racionais.

Pelo Lema 1.1 podemos identificar uma medida de [0, 1]κ, para um cardi-nal κ, com uma funcao dos abertos basicos em R. Se K e o espaco de Stonede uma algebra de Boole (veja Apendice A) podemos identificar uma medidade K como uma funcao σ-aditiva da algebra em R.

Uma funcao f : K −→ R e dita boreliana se f−1(V ) e boreliano em K,para todo aberto V ⊆ R.

Durante toda a tese, identificaremos o dual C(K)∗ de C(K) com o espacodas medidas de Radon sobre K, que denotaremos por M(K), com a normadada por ||µ|| = |µ|(K). Iremos trabalhar com as topologias fraca e fraca∗

de M(K). Indicamos [Fa], [Se] ou [Di] para referencias.

Os proximos dois teoremas encontram-se demonstrados em [Di].

Teorema 1.2 (Dieudonne-Grothendieck). ([Di], VII. 14) Um conjunto limi-

tado S ⊆M(K) e fracamente relativamente compacto se, e somente se, para

toda sequencia (Vn)n∈ω de abertos dois a dois disjuntos de K, µ(Vn) converge

1Por intervalo aberto em [0, 1] queremos dizer que e aberto como subespaco de [0, 1].Isso inclui os intervalos da forma [0, r), (r, 1], para 0 < r < 1, e o proprio [0, 1].

10 Preliminares

a 0 uniformemente em S, isto e,

supµ∈S

|µ(Vn)| n→∞−→ 0.

Teorema 1.3 (Rosenthal). ([Di], pag. 82) Seja (µn)n∈ω uma sequencia limi-

tada em M(K). Para todo ε > 0 e toda sequencia (An)n∈ω de subconjuntos

borelianos de K dois a dois disjuntos, existe uma sequencia estritamente

crescente de inteiros (kn)n∈ω tal que

|µkn|(⋃

n 6=j

(Akj)) < ε,

para todo n ∈ ω.

O Teorema 1.3 tambem e conhecido como Lema de Rosenthal.Para o proximo teorema indicamos [Fa], Teorema 4.47.

Teorema 1.4 (Eberlein-Smulian). ([Fa], 4.47) Um subconjunto A de um

espaco de Banach X e fracamente relativamente compacto se, e somente se,

toda sequencia em A admite uma subsequencia fracamente convergente.

Lema 1.5. ([DU], VI, Cor. 17) Sejam K um espaco compacto e X um

espaco de Banach. Um operador S : C(K) −→ X e fracamente compacto se,

e somente se, para toda sequencia limitada e duas a duas disjunta (fn)n∈ω

em C(K), a sequencia (||S(fn)||)n∈ω converge a 0.

Teorema 1.6 (Gantmacher). ([DS], VI 4.8) Um operador T : X −→ Y e

fracamente compacto se, e somente se, o operador adjunto T ∗ : Y ∗ −→ X∗ e

fracamente compacto.

1.2 Multiplicadores fracos

A definicao de multiplicadores fracos, tambem chamados de operadores centrıpetos,aparece em [Ko2] para obter um espaco C(K) indecomponıvel. Citaremosnesta secao os principais resultados referentes a multiplicadores fracos. Comexcecao do Lema 1.12, todos os resultados desta secao encontram-se demons-trados em [Ko2].

Preliminares 11

Definicao 1.7. ([Ko2], 2.1) Um operador T : C(K) −→ C(K) e um mul-tiplicador fraco se para toda sequencia limitada (en : n ∈ ω) de elementosdois a dois disjuntos de C(K), e toda sequencia (xn : n ∈ ω) ⊆ K tal queen(xn) = 0, temos

limn→∞

T (en)(xn) = 0.

Lema 1.8. ([Ko2], 2.3) Seja T : C(K) −→ C(K) um multiplicador fraco.

Entao T e um isomorfismo sobre a imagem se, e somente se, T e sobrejetor

em C(K).

Teorema 1.9. ([Ko2], 2.5) Suponha que todos os operadores em C(K) sao

multiplicadores fracos e que K rF e conexo, para todo F ⊆ K finito. Entao

C(K) e um espaco de Banach indecomponıvel.

Lembramos que Y ⊆ X e C∗-imerso em X se, e somente se, toda funcaocontınua e limitada de Y em R se estende a uma funcao contınua e limitadade X em R.

Lema 1.10. ([Ko2], 2.8) Seja K um espaco compacto K tal que, para todos

U1 e U2 abertos disjuntos, U 1 ∩ U2 = ∅ ou |U1 ∩ U2| ≥ 2. Entao para todo

x ∈ K o espaco K r x e C∗-imerso em K.

Teorema 1.11. ([Ko2], 2.7) Sao equivalentes para um espaco compacto K:

a) Todo operador T : C(K) −→ C(K) e da forma gI + S, onde g ∈ C(K) e

S e fracamente compacto.

b) Todos os operadores em C(K) sao multiplicadores fracos e, para todo

x ∈ K, o espaco K r x e C∗-imerso em K.

O lema seguinte e uma adaptacao do Lema 2.5 de [Ko2].

Lema 1.12. Seja K compacto e conexo tal que todos os operadores em C(K)sao da forma gI + S, onde g ∈ C(K) e S e um operador fraco. Entao C(K)e um espaco de Banach indecomponıvel.

12 Preliminares

Demonstracao: Seja K como na hipotese do lema e sejam X e Y subes-pacos fechados de C(K) tais que C(K) = X ⊕ Y . Mostraremos que X ou Ytem dimensao finita.

Seja P : C(K) −→ C(K) uma projecao tal que Im(P ) = X e Ker(P ) =Y . Pela hipotese existem g ∈ C(K) e S operador fracamente compacto taisque P = gI + S. Como P 2 = P temos P 2I + S2 + gS + Sg = gI + S. LogoS ′ = (g2−g)I e fracamente compacto e, portanto, estritamente singular (vide[Pe2]). Se (g2−g)(x) 6= 0 para algum x ∈ K achamos uma vizinhanca abertaV de x tal que |(g2 − g)(y)| > ε, para algum ε > 0 e todo y ∈ V . Seja Z osubespaco de C(K) formado pelas funcoes que tem suporte em V . Como Ke conexo e, portanto, nao tem pontos isolados, Z tem dimensao infinita. MasS ′|Z e um isomorfismo sobre a imagem, pois (g2 − g)−1 esta bem definida ee contınua em V , e determina uma inversa de S ′. Isso contradiz que S ′ eestritamente singular.

Logo (g2 − g)(x) = 0, para todo x ∈ K. Portanto g(x) ∈ 0, 1, paratodo x ∈ K. Como K e conexo, g ≡ 0 ou g ≡ 1. Logo P = S ou P = I + S,ou seja P ou I − P e fracamente compacto. No primeiro caso P |Im(P ) e umisomorfismo sobre a imagem (pois e a identidade), logo Im(P ) tem dimensaofinita. No segundo caso, (I − P )|Ker(P ) e a identidade, e, portanto, Ker(P )tem dimensao finita, como querıamos.

1.3 Extensoes por funcoes contınuas

Usando a representacao de Stone (veja Apendice A) identificamos espacoscompactos 0-dimensionais (isto e, espacos com base de abertos-fechados) comalgebras de Boole. Atraves dessa dualidade podemos adicionar supremos defuncoes caracterısticas de abertos-fechados dois a dois disjuntos adicionandoo supremos na algebra de abertos-fechados do espaco. Em [Ko2] encontramosuma forma de adicionar supremo em um compacto conexo, baseada no caso0-dimensional e na representacao de Stone. Iremos apresentar os resultadose definicoes da Secao 4 de [Ko2], e tambem algumas variacoes de resultadosde [Ko2] que usaremos no decorrer da tese.

Definicao 1.13. Se K e um espaco compacto, e (fn)n∈ω e uma sequenciade funcoes contınuas duas a duas disjuntas de K em [0, 1], definimos

• D((fn)n∈ω) = x ∈ K : ∃U vizinhanca de x tal que U ∩ supp(fn) 6= ∅para finitos n ∈ ω;

Preliminares 13

• ∆((fn)n∈ω) = K rD((fn)n∈ω).

Lema 1.14. ([Ko2], 4.1) Seja K um espaco compacto, e seja (fn)n∈ω uma

sequencia de funcoes contınuas duas a duas disjuntas de K em [0, 1]. Entao:

a) D((fn)n∈ω) e um aberto denso em K;

b) Σn∈ωfn e contınua em D((fn)n∈ω).

Definicao 1.15. ([Ko2], 4.2) Sejam K um espaco compacto, L ⊆ K× [0, 1]e (fn)n∈ω uma sequencia de funcoes contınuas duas a duas disjuntas de K em[0, 1]. Dizemos que L e uma extensao de K por (fn)n∈ω, e denotaremos porK((fn)n∈ω), se L e o fecho do grafico de Σn∈ωfn|D((fn)n∈ω). Dizemos que Le uma extensao forte se, alem disso, contem o grafico de Σn∈ωfn.

O proximo lema e uma consequencia imediata do Lema 1.14 e da definicaode extensao.

Lema 1.16. Seja L uma extensao de K por (fn)n∈ω, uma sequencia duas a

duas disjunta de funcoes contınuas de K em [0, 1]. Entao

x ∈ K : |π−1L,K(x)| > 1 ⊆ ∆((fn)n∈ω)

Dizemos que um subcojunto M de um espaco topologico K e raro se seufecho tem interior vazio, isto e, se nao existe um aberto V nao-vazio tal queV ⊆ M .

Lema 1.17. ([Ko2], 4.3) Sejam K um espaco compacto e (fn)n∈N uma

sequencia de funcoes duas a duas disjuntas de K em [0, 1] e seja L =K((fn)n∈ω). Considere π a projecao de L em K. Temos:

a) Se M ⊆ K e raro em K entao π−1[M ] e raro em L;

b) Existe supfn π : n ∈ ω em C(L).

Lema 1.18. ([Ko2], 4.4) Seja K um compacto e seja (fn)n∈ω uma sequencia

de funcoes contınuas duas a duas disjuntas de K em [0, 1]. Se K e conexo,

entao o grafico de Σn∈ωfn e conexo. Em particular, uma extensao forte de

um compacto conexo tambem e conexa.

14 Preliminares

Lema 1.19. ([Ko2], 4.5) Suponha que K e compacto, de peso κ < 2ω, e

sejam X1, X2 ⊆ K subconjuntos disjuntos relativamente discretos em K tais

que X1∩X2 6= ∅. Seja (fn)n∈ω uma sequencia duas a duas disjunta de funcoes

contınuas de K em [0, 1] e seja (Nξ : ξ < 2ω) uma famılia de subconjuntos

infinitos de ω tal que Nξ ∩Nξ′ e finito, para ξ 6= ξ′. Entao existe A ⊆ 2ω de

cardinalidade menor ou igual a κ tal que, para todo ξ ∈ 2ω rA e todo b ⊆ Nξ

infinito temos:

a) K((fn)n∈b) e uma extensao forte;

b) (x, (Σn∈bfn)(x)) : x ∈ X1∩(x, (Σn∈bfn)(x)) : x ∈ X2 6= ∅, emK((fn)n∈b).

Para enunciar o proximo lema recordamos a definicao de limite inverso deespacos topologicos. Seja Πα<κXα um produto de espacos topologicos, paraκ um ordinal limite. Sejam Yα subespacos de Πβ<αXβ tais que πβ [Yα] = Yβ,para β < α. Definimos o limite inverso de (Yα)α<κ por

lim←

(Yα)α<κ = (yα)α<κ ∈ Πα<κXα : ∀α < κ((yβ)β<α ∈ Yα).

Limite inverso preserva compacidade (vide [Eng], 2.5.1).

Lema 1.20. ([Ko2], 4.6) Seja β um ordinal e seja (Kα)α≤β tal que K2 =[0, 1]2, Kα ⊆ [0, 1]α e compacto, Kα e o limite inverso de (Kγ)γ<α, se α e

limite, e Kα+1 e uma extensao forte de Kα por funcoes duas a duas disjuntas

de Kα em [0, 1]. Entao

a) Se f, fn ∈ C(Kα), para n ∈ ω, e α ≤ β sao tais que

f = supfn : n ∈ ω,

entao

f πβ,α = supfn πβ,α : n ∈ ω;

b) Kβ r F e conexo, se F ⊆ Kβ e finito.

Os proximos tres lemas sao variacoes do Lema 1.19, que serao utilizadosno Capıtulo 2.

Lema 1.21. Seja K um espaco compacto de peso enumeravel sem pontos iso-

lados. Sejam (εn)n∈ω uma sequencia de reais positivos, (gn)n∈ω uma sequencia

de funcoes contınuas duas a duas disjuntas de K em [0, 1], (µn)n∈ω uma

sequencia de medidas e (xn)n∈ω uma sequencia em K tal que gn(xn) = 1.Entao existem funcoes contınuas fn : K −→ [0, 1] tais que

Preliminares 15

(a) Para todo n ∈ ω, supp(fn) ⊆ supp(gn), fn(xn) = 1 e∫

|fn − gn| d|µn| <εn;

(b) Se π e a projecao de K((fn)n∈ω) em K, para todo x ∈ K rD((fn)n∈ω)temos que π−1x = x × [0, 1].

Demonstracao: Como K e compacto e tem peso enumeravel, K e me-trizavel. Fixe d uma metrica em K. Para cada n ∈ ω fixamos uma famıliade abertos V i

n : i ∈ In, para In finito, tal que cada V in tem diametro me-

nor ou igual a 1n

(isto e, supd(x, y) : x, y ∈ V in ≤ 1

n) e K =

⋃

i∈InV i

n.Consideremos

I ′n = i ∈ In : j ∈ ω : V in ∩ supp(gj) 6= ∅ e finito .

Construiremos, por inducao em n, conjuntos finitos, dois a dois disjuntos,Fn ⊆ ω e funcoes fk : k ∈ Fn de K em [0, 1] satisfazendo:

1. Para todo k ∈ Fn, fk(xk) = 1;

2. Para todo k ∈ Fn, supp(fk) ⊆ supp(gk);

3. Para todo k ∈ Fn,∫

|fk − gk|d|µk| < εk;

4. Para todos m ≤ n e i ∈ I ′n existem k ∈ Fn e y ∈ V in tais que fk(y) = m

n.

No passo indutivo n, suponha definidos Fj e fk : k ∈ Fj, para todoj < n. Definiremos Fn e fk : k ∈ Fn.

Para cada i ∈ I ′n e m ≤ n fixamos kni,m ∈ ωr

⋃

j<n Fj tal que supp(gkni,m

)∩V i

n 6= ∅. Podemos assumir que kni,m 6= kn

i′,m′, se i 6= i′ ou m 6= m′.Seja Ukn

i,m= x ∈ K : gkn

i,m(x) > 0 ∩ V i

n. Como K nao tem pontosisolados, Ukn

i,me infinito. Logo existe ykn

i,m∈ Ukn

i,mtal que ykn

i,m6= xkn

i,m

e |µkni,m

|(ykni,m

) < εkni,m

. Usando regularidade das medidas tome Vkni,m

⊆Ukn

i,mr xkn

i,m vizinhanca aberta de ykn

i,mtal que |µkn

i,m|(Vkn

i,m) < εkn

i,m.

Defina Fn = kni,m : i ∈ I ′n, m ≤ n. Para cada i ∈ I ′n e m ≤ n,

usando normalidade de K e o Lema de Urysohn, definimos fkni,m

: K −→[0, 1] contınua tal que fkn

i,m|KrVkn

i,m= gkn

i,m|KrVkn

i,me fkn

i,m(ykn

i,m) = m

n. As

propriedades 1 a 4 do passo indutivo estao claramente satisfeitas para Fn efk : k ∈ Fn.

No final da construcao indutiva temos definidos fn para todo n ∈ ⋃

j∈ω Fj .Para n ∈ ω r

⋃

j∈ω Fj definimos fn = gn. Mostraremos que (a) e (b) valem.

16 Preliminares

O item (a) segue imediatamente das hipoteses 1 a 3 do passo indu-tivo. Mostraremos o item (b). Seja x ∈ K r D((fn)n∈b). Em particu-lar x /∈ D((gn)n∈b), uma vez que supp(fn) ⊆ supp(gn). Mostraremos queπ−1

K((fn)n∈b),K(x) = x × [0, 1]. para isso e suficiente mostrarmos que, para

cada t ∈ [0, 1] e n ∈ ω existem j ∈ ω e y ∈ K tais que d(x, y) < 1n

e|fj(y) − t| < 1

n.

Seja i ∈ In tal que x ∈ V in. Como x /∈ D((gn)n∈b), temos que i ∈ I ′n,

pois toda vizinhanca de x intercepta infinitos suportes de gn’s. Seja m ≤ ntal que |t − m

n| < 1

n. Pelo item 4 da hipotese indutiva existem y ∈ V i

n ej ∈ ω tais que fj(y) = m

n. Como diam(V i

n) = 1n

temos que d(x, y) < 1n, como

querıamos.

Lema 1.22. Seja K um espaco compacto de peso enumeravel sem pontos

isolados. Sejam Xn : n ∈ ω e Yn : n ∈ ω famılias de subconjuntos

enumeraveis de K tais que Xn∩Yn = ∅ mas Xn∩Y n 6= ∅. Seja xn : n ∈ ωuma sequencia relativamente discreta em K e disjunta de

⋃

m∈ω Xm ∪ Ym.

Existem funcoes contınuas fn : K −→ [0, 1] duas a duas disjuntas tais que

(a) Para todo n ∈ ω, fn(xn) = 1;

(b) Para todo x ∈ K r D((fn)n∈ω), π−1x = x × [0, 1], onde π e a

projecao de K((fn)n∈b) em K;

(c) Para todo n ∈ ω, X ′n∩Y ′n 6= ∅ emK((fn)n∈b) , ondeX ′n = (x,Σn∈bfn(x)) :x ∈ Xn e Y ′n = (x,Σn∈bfn(x)) : x ∈ Yn.

(d) A extensao K((fn)n∈b) e forte.

Demonstracao: Seja (gn)n∈ω uma sequencia de funcoes de suportes dois adois disjuntos tais que gn(xn) = 1. Modificaremos gn’s de modo a obtermositens b) e c).

Como K e compacto e tem peso enumeravel, K e metrizavel. Logo,existem sequencias qm

n : n ∈ ω e rmn : n ∈ ω de pontos distintos de Xm

e Ym, respectivamente, para cada m, e pontos qm ∈ K tais que qmn

n−→ qm ermn

n−→ qm, para todo m.Observe que, se qm ∈ D((gn)n∈b), isto e, se existe uma vizinhanca de

qm que intercepta apenas uma quantidade finita de suportes de gn’s, paran ∈ b, entao item c) sera satisfeito para X ′m e Y ′m, em qualquer extensao

Preliminares 17

K((fn)n∈b) tal que supp(fn) ⊆ supp(gn), para todo n ∈ b, pois, nesse caso,Σn∈bfn e contınua numa vizinhanca de qm. Portanto podemos assumir queqm /∈ D((gn)n∈b), para todo m ∈ ω. Em particular, gn(qm) = 0, para todosn,m ∈ ω. Como gn’s tem suportes dois a dois disjuntos, qm /∈ supp(gn), paratodos n,m.

Vamos construir (fn)n∈ω tal que fn(xn) = 1, supp(fn) ⊆ supp(gn) efn(qm

i ) = 0, para todo n ∈ ω, todo m ∈ ω e infinitos i ∈ ω, bem comofn(rm

i ) = 0, para todo n ∈ ω, todo m ∈ ω e infinitos i ∈ ω. Apos mostrar-mos o item (b), para termos (qm, 0) ∈ K((fn)n∈ω), isso sera suficiente paraobtermos (c).

Procedendo por inducao em n, construiremos conjuntos finitos Fn ⊆ ω,funcoes contınuas fi : i ∈ Fn de K em [0, 1] e inteiros kn,m : m ≤ n eln,m : m ≤ n tais que

1. se j ≤ n entao Fj ⊆ Fn;

2. kn,m > kn′,m′ e ln,m > ln′,m′ , para todos m,m′, n′ tais que m ≤ n em′ ≤ n′ < n;

3. hi ≤ gi e hi(xi) = 1, para todo i ∈ Fn;

4. qmkj,m

, rmlj,m

/∈ supp(hi), para todos i ∈ Fn, m ≤ j ≤ n;

5. qmkj,m

, rmlj,m

/∈ supp(hi), para todos i ∈ ω r Fn, m ≤ j ≤ n;

No passo inicial n = 0 definimos F0 = ∅ e k0,0 = l0,0 = 0. Suponhadefinidos Fn, fi : i ∈ Fn, kn,m : m ≤ n e ln,m : m ≤ n ConstruiremosFn+1, fi : i ∈ Fn+1, kn+1,m : m ≤ n+ 1 e ln+1,m : m ≤ n+ 1.

Como supp(hi) ⊆ supp(gi), para todo i ∈ Fn, e qm /∈ supp(gi), para todoi ∈ ω, para cada m ≤ n + 1 podemos achar inteiros km e lm tais que, paratodos m′ ≤ j ≤ n e todo i ∈ Fn, temos hi(q

mkm

) = hi(rmlm

) = 0, km > kj,m′

e lm > lj,m′. Para cada m ≤ n + 1 tome im ∈ ω r Fn tal que gim(qmkm

) 6= 0e jm ∈ ω r Fn tal que gjm(rm

lm) 6= 0, quando existir (se existir, e unico, pois

gi’s tem suportes disjuntos). Senao tomo im e jm quaisquer. Notemos quem 6= m′ nao implica, necessariamente, im 6= im′ .

Tomamos Fn+1 = Fn ∪im : m ≤ n+ 1∪jm : m ≤ n+ 1, kn+1,m = km

e ln+1,m = lm. Para cada m ≤ n + 1 definimos him ≤ gim contınua tal quehim(xim) = 1 e, para todo m′ ≤ n + 1, existem vizinhancas abertas Um′ eVm′ de qm′

km′e rm′

km′, respectivamente, tais que him |Um′ = him |Vm′ = 0. Para

isso usamos que xi 6= qmj , para todos i, j,m, e aplicamos Lema de Urysohn.

18 Preliminares

A definicao de hjm e analoga. As propriedades de 1 a 5 serao claramentepreservadas para o passo n+ 1.

No final da construcao, definimos hi = gi, para todo i ∈ ⋃

n∈ω Fn.Usando o Lema 1.21 construımos fn’s, com supp(fn) ⊆ supp(hn), satis-

fazendo item (b) e presevando item (a). Como supp(fn) ⊆ supp(hn), paratodo n, itens 4 e 5 sao preservados para fn no lugar de hn. Como, de (b)segue que (qm, 0) ∈ K((fn)n∈ω, pois assumimos que qm /∈ D((fn)n∈ω), por 1

a 5 concluımos que (qm, 0) ∈ X′

m ∩ Y ′m, concluindo (c).O item d) segue do item b), pois Σn∈bfn e contınua em D((fn)n∈b) e,

portanto, para x ∈ D((fn)n∈b) temos (x,Σn∈bfn(x)) ∈ K((fn)n∈b). Parax /∈ D((fn)n∈b), pelo item b) concluımos (x,Σn∈bfn(x)) ∈ K((fn)n∈b).

Lema 1.23. Seja K um espaco compacto de peso enumeravel sem pontos

isolados. Dados

a) Uma sequencia (fn : n ∈ ω) de funcoes contınuas, duas a duas disjuntas

de K em [0, 1];

b) Uma sequencia (xn : n ∈ ω) em K;

c) Um ε > 0;

d) Uma sequencia limitada (µn : n ∈ ω) de medidas emK tal que |∫

fndµn| >ε, para todo n ∈ ω.

existem δ > 0, a ⊆ ω infinito e funcoes f ′n : K −→ [0, 1], com supp(f ′n) ⊆supp(fn), tais que, para todo b ⊆ a

e) |∫

f ′ndµn| > δ e Σ∫

f ′md|µn| : m 6= n,m ∈ a < δ/3, para todo n ∈ a;

f) L = K((f ′n)n∈b) e uma extensao forte tal que, para todo x ∈ K, π−1L,K [x]

e unitario ou igual a x × [0, 1];

g) ∆((f ′n)n∈b) e unitario ou e disjunto de xn : n ∈ ω.

Demonstracao: Dados (An)n∈ω abertos dois a dois disjuntos de K, defina∆((An)n∈ω) = x ∈ K : toda vizinhanca U de x intercepta infinitos An’s.

Defina An = x ∈ K : fn(x) > 0, para cada n ∈ ω. Esta claro que∆((An)n∈ω) = ∆((fn)n∈ω).

Preliminares 19

A proxima afirmacao e uma adaptacao para o caso nao 0-dimensionalde parte da demonstracao do Lema 7 de [Ko3]. Notamos que, se An’s saoabertos-fechados, ∆((An)n∈ω) =

⋃

n∈ω An − ⋃

n∈ω An, conforme o enunciadodo Lema 7 de [Ko3].

Afirmacao 1.23.1. Existem N1 ⊆ ω infinito, δ > 0 e abertos A′n, para

n ∈ N1 tais que A′n ⊆ An, |µn(A′n)| > δ e

1. ∆((A′n)n∈N1) e unitario, ou

2. xm /∈ ∆((A′n)n∈N1), para todo m ∈ N1.

Caso 1: Existe δ′ > 0 e x ∈ K tais que, para toda vizinhanca aberta V dex e para todo m ∈ ω existe k > m tal que |µk|(Ak ∩ V ) > δ′.

Como K e metrizavel, existe (Vn)n∈ω um sistema fundamental decrescentede vizinhancas de x. Construımos, por inducao, N1 ⊆ ω infinito e inteiroskn distintos tais que |µn|(An ∩ Vkn) > δ′, para todo n ∈ N1. Tomamos A′n =An ∩ Vkn. Usando a definicao de variacao de medida podemos assumir que|µn(A′n)| > δ′, para todo n ∈ N1, trocando δ′ por δ′

2. Teremos ∆((A′n)n∈ω) =

x, pois toda vizinhanca de x contem todos, exceto finitos, A′n’s, ja que(Vkn)n∈N1 e um sistema fundamental de vizinhancas de x. A afirmacao vale,tomando δ = δ′.

Caso 2: Nao ocorre caso 1.Para cada n ∈ ω e δ′ > 0 existem m(n, δ′) ∈ ω e uma vizinhanca aberta

V (n, δ′) de xn tais que

|µk|(Ak ∩ V (n, δ′)) < δ′

para todo k > m(n, δ′). Pela regularidade de K podemos assumir que

(∗) |µk|(Ak ∩ V (n, δ′)) < δ′

para todo k > m(n, δ′). Para isso basta substituirmos V (n, δ′) por V ′(n, δ′)tal que xn ∈ V ′(n, δ′) ⊆ V ′(n, δ′) ⊆ V (n, δ′).

Escolhemos por inducao uma sequencia estritamente crescente (kn)n∈ω deinteiros tais que kn > m(j, ε/2j+2), para todo j < n. Considere

A′kn= Akn r

⋃

V (j, ε/2j+2) : j < n.

20 Preliminares

Por (∗) temos |µkn|(Akn ∩ V (j, ε/2j+2)) < ε2j+2 , para j < n, e, portanto,

(∗∗) |µkn|(A′kn) > ε/2.

Tome N1 = kn : n ∈ ω e δ = ε/2. Como V (n, ε/2n+2) e disjunto deA′ki

, para i > n, temos que xn /∈ ∆((A′n)n∈N1), concluindo a demonstracaoda afirmacao.

Fixamos, para cada n ∈ N1, δn > δ tal que |µn(A′n)| > δn. Usando aregularidade das medidas µn achamos Bn ⊆ A′n fechados tais que |µn(Bn)| >δn e |µn|(Bn −A′n) < δn − δ. Como K e normal, usando o Teorema de Tietzeachamos f ′n tais que f ′n|Bn = 1 e f ′n|K−A′

n= 0. Temos que |

∫

f ′ndµn| > δ esupp(f ′n) ⊆ supp(fn). Note que ∆((f ′n)n∈N1) ⊆ ∆((A′n)n∈N1), de onde temositem g).

Pelo Lema de Rosenthal, usando que∫

f ′m d|µn| < |µn|(Am), achamosN2 ⊆ N1 de modo a satisfazer a segunda parte do item e). Para obtermositem f), usamos o Lema 1.21 para modificamos f ′n’s de forma a obter f)preservando b). Lema 1.19 para obtermos uma subsequencia de (fn)n∈N1 talque a extensao seja forte. Item g) sera preservado, pois nao aumentamossupp(f ′n).

1.4 Axioma ♦Nesta secao iremos apresentar a definicao e alguns resultados basicos doaxioma ♦ (le-se diamante).

Definicao 1.24. Dizemos que um subconjunto C de ω1 e fechado ilimitado

se e ilimitado e supB ∈ C, para todo B ⊆ C enumeravel. Dizemos que umsubconjunto S de ω1 e estacionario se intercepta todo fechado ilimitado.

Lema 1.25. A interseccao de uma famılia enumeravel de fechados ilimitados

de ω1 e um conjunto fechado ilimitado. Em particular, se S e estacionario e

C e fechado ilimitado, entao S ∩ C e estacionario.

Para a demonstracao do Lema 1.25 indicamos [Ku], Capıtulo II, Lema6.8.

Preliminares 21

Axioma ♦ Existe uma sequencia (Xα)α∈ω1 tal que Xα ⊆ α e, para todoX ⊆ ω1, o conjunto α ∈ ω1 : X ∩ α = Xα e estacionario.

A sequencia (Xα)α∈ω1 e chamada ♦-sequencia.

O axioma ♦ e relativamente consistente com ZFC, valendo no modeloconstrutıvel. Para maiores referencias vide [Ku], [Je] e [Ve].

Como uma simples aplicacao de ♦ vejamos que este implica CH.

Lema 1.26. ♦ → CH.

Demonstracao: Se X ⊆ ω, como conjuntos estacionarios sao ilimitados(pois α < ω1 : α > β e fechado ilimitado), temos que existe α > ω tal queX = X ∩ α = Xα. Logo (Xα)α<ω1 contem todos os subconjuntos de ω.

Lema 1.27. O axioma ♦ implica:

a) Se (Bα)α<ω1 e uma sequencia de conjuntos de tamanho ω1, existe uma

sequencia xα : α < ω1 tal que xα ∈ Πβ<αBβ e, para todo x ∈Πα<ω1Bα, o conjunto α < ω1 : x|α = xα e estacionario;

b) Existe uma sequencia xn(α) : n ∈ ω, α < ω1 tal que xn(α) ∈ [0, 1]α e,

para toda sequencia (xn)n∈ω de pontos de [0, 1]ω1, o conjunto α ∈ ω1 :∀n ∈ ω(xn|α = xn(α)) e estacionario;

c) Existe uma sequencia (xα)α<ω1, com xα ∈ [0, 1]α×α, tal que, para todo

x ∈ [0, 1]ω1×ω1, o conjunto α < ω1 : x|α× α = xα e estacionario.

d) Existe uma sequencia Aα : α < ω1 de subconjuntos de ω1 tal que, se

(zβ)β∈ω1 e uma sequencia de pontos de [0, 1]ω1, o conjunto α ∈ ω1 :zβ|α : β < α = Aα e estacionario.

Demonstracao: Para demonstrar a) tome (Xα)α<ω1 uma ♦-sequencia.Seja ξα : α < ω1 uma sequencia crescente em ω1 definida da seguinteforma: ξα+1 = ξα + ω e ξα = supξα′ : α′ < α para α limite.

Para cada α < ω1 seja φα : P([ξα, ξα+1)) → Bα uma funcao bijetora(existe, pois ♦ → CH). Definimos xα ∈ Πβ<αBβ dado por

xα(β) = φβ(Xξα ∩ [ξβ, ξβ+1]),

para todo β < ω1.

22 Preliminares

Mostraremos que a sequencia (xα)α<ω1 satisfaz a). Seja x ∈ Πα<ω1Bα.Seja X = ∪φ−1

α (x(α)) : α < ω1. Temos x|α = xα se, e somente se,X ∩ ξα = Xξα.

Pelo Lema 1.25 temos que α < ω1 : X ∩ ξα = Xξα = β < ω1 : X ∩β =Xβ ∩ ξα : α < ω1 e estacionario. Mas

α < ω1 : X ∩ ξα = Xξα = α < ω1 : x|α = xα,

concluindo o item a).Para o item b) tomamos Bα = [0, 1]ω e usamos o item a).Para mostrarmos c), usamos o item a) paraBα = [0, 1]α×(α+1)∪[0, 1](α+1)×α.

Ha uma identificacao natural de Πβ<αBβ com [0, 1]α×α, associando cadaf ∈ Πβ<αBβ com x =

⋃

β<α f(β) ∈ [0, 1]α×α. Assim, basta tomarmos umasequencia xα ∈ [0, 1]α×α como em a). Se identificarmos f ∈ Πα<ω1Bα comx ∈ [0, 1]ω1×ω1, temos que f |α corresponde a x|α×α, concluindo c).

Mostraremos d). Fixe (xα)α<ω1 como no item c). Para cada β < α < ω1

definimos xβ,α ∈ [0, 1]α por xβ,α(γ) = xα(β, γ), para γ < α. Seja Aα =xβ,α : β < α. Para uma sequencia (zβ)β<ω1 em [0, 1]ω1 associamos umx ∈ [0, 1]ω1×ω1 dado por x(β, γ) = zβ(γ). Logo

α < ω1 : zβ|α : β < α = Aα ⊇ α < ω1 : x|α× α = xα,

que e estacionario, pelo item c). Da definicao de conjuntos estacionariossegue imediatamente que superconjuntos de conjuntos estacionarios sao es-tacionarios. Portanto concluımos item d).

Lema 1.28. Seja Y ⊆ [0, 1]ω1 e seja (xα)α<ω1 uma sequencia densa em Y .

Entao α < ω1 : (xβ|α)β<α e denso em πα[Y ] e fechado ilimitado em ω1.

Demonstracao: Para mostrarmos o lema basta mostrarmos a seguinteafirmacao:

Afirmacao 1.28.1. Seja (γn)n∈ω e (αn)n∈ω sequencias crescentes de ordi-

nais que tem supremos γ e α, respectivamente, tais que, para cada n ∈ ω,

(xβ|αn)β<γn e denso em παn [Y ]. Entao (xβ |α)β<γ e denso em πα[Y ].

Para mostrarmos a afirmacao, suponha que exista U um aberto elementarde [0, 1]α tal que U ∩ πα[Y ] 6= ∅ e xβ|α /∈ U , para todo β < γ. Tome n ∈ ωtal que αn contenha as coordenadas que determinam U . Temos que παn [U ]

Preliminares 23

e um aberto de [0, 1]αn que intercepta παn [Y ] e e disjunto de (xβ|αn)β<γn ,contradizendo a hipotese e provando a afirmacao.

Da afirmacao concluımos que α < ω1 : (xβ |α)β<α e denso em πα[Y ] efechado, tomando o caso particular αn = γn. Para mostrar que e ilimitado,tome α0 ∈ ω1. Pela continuidade de π temos que (xβ |α0)β<ω1 e denso emπα0 [Y ]. Como πα0 [Y ] tem peso enumeravel, para cada vizinhanca aberta deuma base enumeravel de πα0 [Y ] tomamos algum xβ|α0 pertencente a ela.Assim obtemos α1, que podemos supor maior que α0, tal que (xβ |α0)β<α1

e denso em πα0 [Y ]. Por inducao, construımos uma sequencia crescente αn

tal que (xβ |αn)β<αn+1 e denso em παn [Y ]. Da observacao anterior, tomandoα = supαn : n ∈ ω, temos que (xβ |α)β<α e denso em πα[Y ].

24 Preliminares

Capıtulo 2

Quocientes de espacosindecomponıveis da forma C(K)

Respondendo a uma pergunta apresentada no final de [Ko2], neste capıtuloconstruımos, assumindo ♦, um espaco topologico K compacto e conexo talque para todo fechado L ⊆ K o espaco C(L) tem poucos operadores. Comosubespacos topologicos de K induzem quocientes de C(K), concluımos quetal espaco tem pelo menos contınuo quocientes da forma C(L) indecom-ponıveis.

Sabemos que C(βN) = l∞ nao contem poucos operadores, pois, por exem-plo, l∞ = l∞ ⊕ R, e em Ko2], mostra-se que espacos de Banach com poucosoperadores nao sao isomorfos aos hiperplanos. Portanto o compacto K cons-truıdo na Secao 2.1 nao contem um subespaco homeomorfo a βN. TambemK nao contem uma sequencia convergente nao trivial, pois senao terıamos c0complementado em C(K). Portanto K responde positivamente ao problemade Efimov, sobre a existencia de um compacto que nao contem sequenciasconvergentes nao-trivias nem βN como subespaco. O problema de Efimov jafoi resolvido positivamente em 1975 por Fedorchuk (vide [Fed]), assumindoCH. O problema de Efimov ainda permanece em aberto em ZFC.

Podemos perguntar se todo compacto K tal que C(K) e indecomponıvelresponde afirmativamente ao problema de Efimov. Mostramos que nao. As-sumindo CH, na Secao 2.2 construımos um espaco C(K) indecomponıvel talque K contem βN homeomorficamente. Em particular, C(K) contem l∞como quociente. Nao sabemos se o espaco C(K) construıdo na Secao 2.1contem l∞ como quociente. Talagrand mostrou ([Ta]) que C(K) contem l∞como quociente se, e somente se, BC(K)∗ contem βN homeomorficamente.

25

26 Quocientes de espacos indecomponıveis da forma C(K)

2.1 Um espaco C(K) com muitos quocientes

indecomponıveis

O Teorema seguinte e uma versao do Teorema 5.1 de [Ko2]. A diferencafundamental da versao aqui utilizada e que o item g) e obtido para qualquersequencia (xn)n∈ω em K, enquanto na versao de [Ko2] tal sequencia deve sertomada em um denso enumeravel previamente fixado. Com isso conseguimostransferir a propriedade de C(K) ter poucos operadores para todo subespacofechado de K, mas precisamos do axioma ♦, para enumerar as sequencias deK de uma maneira conveniente (veja Secao 1.4 sobre o axioma ♦). Para ob-termos item g) para sequencias quaisquer, foi necessario modificar as funcoesfn’s para adicionar supremos, utilizando o Lema 1.23.

Teorema 2.1. Assuma ♦. Existe um espaco compacto e conexo K tal que:

i) dados

a) Uma sequencia (fn : n ∈ ω) de funcoes contınuas, duas a duas

disjuntas, de K em [0, 1];

b) Uma sequencia (xn : n ∈ ω) relativamente discreta de pontos dis-

tintos de K tal que fm(xn) = 0, para todos n,m ∈ ω;

c) Um ε > 0;

d) Uma sequencia limitada (µn : n ∈ ω) de medidas em K tal que

|∫

fndµn| > ε, para todo n ∈ ω.

existem δ > 0, b ⊆ a ⊆ ω infinitos e funcoes f ′n, com supp(f ′n) ⊆supp(fn) tais que

e) |∫

f ′ndµn| > δ e Σ∫

f ′md|µn| : m 6= n,m ∈ a < δ/3, para todo

n ∈ a;

f) (f ′n)n∈b tem supremo em C(K);

g) xn : n ∈ b ∩ xn : n ∈ ar b 6= ∅.

ii) Se L e um subespaco fechado de K e V1 e V2 sao abertos disjuntos de Ltais que V 1 ∩ V 2 6= ∅, entao V 1 ∩ V 2 tem pelo menos dois elementos.

Quocientes de espacos indecomponıveis da forma C(K) 27

Demonstracao: Para cada α ≤ ω1 considere Bα a base de abertos elemen-tares de extremos racionais do espaco [0, 1]α. Podemos identificar as medidasde Radon de [0, 1]α com funcoes de Bα em R (Lema 1.1).

Sejam Par, Impar os conjuntos dos ordinais pares e ımpares, respectiva-mente, de ω1, lembrando que α e um ordinal par se e da forma β + n, paraβ ordinal limite e n par, e ımpar caso contrario.

Se X ⊆ ω1 e nao-enumeravel, existe um isomorfismo de ordem entre Xe ω1, ordenando X com a restricao da ordem de ω1. Seja σ : X −→ ω1

esse isomorfismo. Diremos que um conjunto C ⊆ X e fechado ilimitado em

X se σ(α) : α ∈ X e fechado ilimitado em ω1. Diremos que S ⊆ X eestacionario em X se intercepta todo fechado ilimitado em X. Da mesmaforma sera quando aplicarmos o axioma ♦ em X, isto e, identificaremos Xcom ω1. Usaremos essa terminologia para Par e Impar.

Usando ♦ e os Lemas 1.27 e 1.25 fixamos enumeracoes fn(α) : n ∈ ω,ε(α), µn(α) : n ∈ ω, xn(α) : n ∈ ω, para α ∈ Par, tais que

A.1. fn(α) : n ∈ ω sao funcoes contınuas de [0, 1]ω1 em [0, 1];

A.2. ε(α) > 0;

A.3. (µn(α))n∈ω e uma sequencia limitada de funcoes de Bα em R;

A.4. (xn(α))n∈ω e uma sequencia de pontos de [0, 1]α;

e, dados β < ω1 e

B.1. uma sequencia fn : n ∈ ω de funcoes contınuas de [0, 1]ω1 em [0, 1];

B.2. um ε > 0;

B.3. uma sequencia µn : n ∈ ω limitada de funcoes de Bω1 em R querepresentam medidas de Radon;

B.4. uma sequencia (xn)n∈ω relativamente discreta em [0, 1]ω1;

existe α > β, com α ∈ Par, tal que

C.1. fn(α) = fn, para todo n;

C.2. ε(α) = ε;

C.3. µn(α) = µn|Bα, para todo n;

C.4. xn(α) = xn|α, para todo n.

Usando ♦ para os ordinais ımpares, fixamos sequencias (Uα, Vα, Aα, Bα)α∈Impar,onde

D.1. Uα e Vα sao unioes enumeraveis de abertos elementares de [0, 1]ω1 taisque Uα ∩ Vα = ∅ e Uα ∩ V α 6= ∅;

D.2. Aα e Bα sao subconjuntos enumeraveis de [0, 1]α;

e, dados

E.1. U e V unioes enumeraveis de abertos elementares de [0, 1]ω1 tais queU ∩ V = ∅ e U ∩ V 6= ∅;

E.2. (xβ)β<ω1 e (yβ)β<ω1 sequencias em [0, 1]ω1;

o conjunto

α ∈ Impar : Uα = U, Vα = V, xβ |α : β ∈ Impar ∩ α = Aα,

yβ|α : β ∈ Impar ∩ α = Bαe estacionario em Impar.

Seja α ∈ Impar. Se πα[Uα] ∩ Aα ∩ πα[Vα] ∩Bα 6= ∅ fixamos (xn(α))α∈ω

tal que xn(α)n∈ω→ z, para algum z ∈ πα[Uα] ∩Aα ∩ πα[Vα] ∩ Bα e

xn(α) : n ∈ 2ω ⊆ Aα;

xn(α) : n ∈ ω r 2ω ⊆ Bα.

Se πα[Uα] ∩ Aα ∩ πα[Vα] ∩ Bα = ∅ tomamos (xn(α))n∈ω qualquer sequenciaem Aα ∪Bα.

Dizemos que uma sequencia de fechados (Fn)n∈ω converge a um ponto xse para toda vizinhanca U de x temos Fn ⊆ U , para todos, exceto finitos,n ∈ ω.

Construiremos por inducao espacos compactos (Kα)α<ω1, com Kα ⊆[0, 1]α, sequencias Pα = (Lα

(β,i), Rα(β,i), z

α(β,i)) : (β, i) ∈ α × 0, 1, com

Lα(β,i), R

α(β,i) ⊆ ω disjuntos e zα

(β,i) ∈ Kα, e fechados F βn (α) ⊆ Kα, para β ≤ α.

Uma vez definido Kα, para cada β ≤ α definimos F βn (α) = π−1

Kα,Kβ[xn(β)].

Suponha construıdos (Kγ)γ<α e (Pγ)γ<α. Temos as seguintes hipotesesindutivas, para todo γ < α,

F.1. para todo (β, i) ∈ γ × 0, 1, limn∈Lγ

(β,i)F β

n (γ) = limn∈Rγ

(β,i)F β

n (γ) =

zγ

(β,i).

F.2. para todos β < γ′ < γ e i ∈ 0, 1, πγ′ [Kγ] = Kγ′ e zγ

(β,i)|γ′ = zγ′

(β,i).

F.3. para todos β < γ′ < γ e i ∈ 0, 1, Lγ

(β,i) r Lγ′

(β,i) e Rγ

(β,i) r Rγ′

(β,i) saofinitos.

Definidos (Kγ)γ<α e (Pγ)γ<α para α um ordinal limite, definimos

G.1. Kα e o limite inverso de (Kγ)γ<α;

G.2. Para todos β < α e i ∈ 0, 1, zα(β,i) =

⋃

β<γ<α zγβ ;

G.3. Lα(β,i) e uma pseudointerseccao infinita de (Lγ

(β,i))β<γ<α, isto e, Lα(β,i) r

Lγ

(β,i) e finito, para todo γ < α (a existencia dessa pseudointerseccao

esta mostrada em [Do], Teorema 3.1.);

G.4. Rα(β,i) e uma pseudointerseccao infinita de (Rγ

(β,i))β<γ<α.

Trabalhemos no caso sucessor. Suponha definidos (Kγ)γ≤α e (Pγ)γ≤α edefiniremos Kα+1 e Pα+1.

Diremos que um passo α ∈ Par e nao-trivial se:

H.1. (xn(α))n∈ω e uma sequencia relativamente discreta de pontos distintosde Kα;

H.2. existem funcoes contınuas gn : [0, 1]α −→ [0, 1] tais que fn(α) = gnπα;

H.3. (gn|Kα : n ∈ ω) e duas a duas disjunta;

H.4. xn(α) /∈ supp(gm), para todos n,m ∈ ω e gm como no item H.2;

H.5. |∫

Kαgndµn(α)| > ε(α), para todo n ∈ ω.

Diremos que um passo α ∈ Impar e nao-trivial se:

I.1. Aα, Bα ⊆ Kα;

I.2. Uα = π−1α [πα[Uα]] e Vα = π−1

α [πα[Vα]];

I.3. πα[Uα] ∩Aα ∩ πα[Vα] ∩ Bα 6= ∅;

Se o passo α e trivial, tomamos Kα+1 = Kα ×0, Lα+1(β,i) = Lα

(β,i), Rα+1(β,i) =

Rα(β,i), z

α+1(β,i) = zα

(β,i)0, Lα+1(α,i) = Rα+1

(α,i) = ∅ e zα+1(α,i) qualquer.

Suponhamos que estamos no caso nao-trivial. Separaremos os casos α ∈Par e α ∈ Impar. Consideremos, primeiro, o caso α ∈ Par.

Considere as funcoes gn : [0, 1]α −→ [0, 1] tais que fn(α) = gn πα.Considere hn = gn|Kα.

Como Kα e compacto e metrico, toda sequencia possui uma subsequenciaconvergente. Tome z ∈ Kα e N ′ ⊆ ω tais que

limn∈N ′

xn(α) = z.

Como xn(α) sao pontos distintos, tirando, eventualmente, um elemento deN ′, podemos assumir que xn(α) 6= z, para todo n ∈ N ′, e, portanto, paratodo α′ ≥ α temos

(∗) π−1Kα′ ,Kα

(z) ∩ F αn (α′) = ∅.

Pelos Lema 1.23 existem a ⊆ N ′ infinito, h′n : Kα −→ [0, 1] contınuas,para n ∈ a, e δ > 0 tais que

J.1. supp(h′n) ⊆ supp(hn), para todo n ∈ a;

J.2. Para todo b ⊆ a, a extensao de Kα por (h′n)n∈b e forte;

J.3. Para todo n ∈ a, |∫

h′ndµn(α)| > δ e Σ∫

h′nd|µn(α)| : m 6= n,m ∈a < δ

3;

J.4. ∆((h′n)n∈a) e unitario ou disjunto de zα(β,i) : (β, i) ∈ α × 0, 1 ∪

xn(α) : n ∈ ω.

Observe que, pelo Lema 1.16, se L e uma extensao de Kα por (h′n)n∈b,para algum b ⊆ a, entao |π−1

L,K(x)| = 1, para todo x /∈ ∆((h′n)n∈a). Iremosprosseguir a construcao separando em dois casos:

Caso 1 ∆((h′n)n∈a) e disjunto de zα(β,i) : (β, i) ∈ α×0, 1∪xn(α) : n ∈

ω.Neste caso tomamos qualquer b ⊆ a infinito e co-infinito em a, e tomamos

Kα+1 a extensao de Kα por (h′n)n∈b, Lα+1(α,i) = b, Rα+1

(α,i) = ar b, zα+1(α,i) = z, para

(β, i) ∈ α × 0, 1, Lα+1(β,i) = Lα

(β,i), Rα+1(β,i) = Rα

(β,i) e zα+1(β,i) o unico elemento de

π−1(zα(β,i)).

Observe que, como F βn (α) converge para zα

(β,i), para n ∈ Lα(β,i) ∪ Rα

(β,i), e,numa vizinhanca de zα

(β,i), Kα+1 e o grafico de uma funcao contınua, temos

que F βn (α+ 1) converge para zα+1

(β,i), em Kα+1, para n ∈ Lα+1(β,i) ∪ Rα+1

(β,i).

Caso 2 ∆((h′n)n∈a) e unitario.Seja y esse unico ponto que e bifurcado numa extensao de Kα por (h′n)n∈a.

Isso significa que supp(h′n)n∈a−→ y, pois, se isso nao ocorresse, terıamos uma

vizinhanca V de y e um c ⊆ a infinito tais que para todo n ∈ a existiriayn ∈ supp(h′n) r V . Tomando y′ um ponto de acumulacao de yn : n ∈ cterıamos y′ ∈ ∆((h′n)n∈a) e y′ 6= y, contradizendo que ∆((h′n)n∈a) e unitario.

Fixamos i ∈ 0, 1. Sejam (βn)n∈ω os ordinais tais que zα(βn,i) = y. Nos

outros ordinais procedemos como no caso 1 na construcao de Lα+1(β,i), R

α+1(β,i) e

zα+1(β,i).

Sejam b ⊆ a, Lα+1(β,i) ⊆ Lα

(β,i) e Rα+1(β,i) ⊆ Rα

(β,i) infinitos tais que

(∗∗) F βm

n (α) ∩ supp(h′k) = ∅, ∀β ≤ α, m ∈ ω, k ∈ b, n ∈ Lα+1(β,i) ∪ Rα+1

(β,i).

Para β = α, a existencia de tais conjuntos segue da hipotese, xn(α) /∈supp(h′m). Para β < α usamos a seguinte afirmacao.

Afirmacao 2.1.1. Sejam Fn,m fechados tais que, para cada m ∈ ω, Fn,mn−→

y e sejam Gn fechados tais que Gn −→ y, com y /∈ Gn e y /∈ Fn,m, para todos

n,m. Entao existem subconjuntos infinitos b ⊆ ω e cm ⊆ ω, para m ∈ ω,

tais que

Fn,m ∩Gk = ∅, ∀n ∈ cm, m ∈ ω, k ∈ b.

Para demonstrar a afirmacao, construiremos (Un)n∈ω e (Vn)n∈ω, vizi-nhancas abertas de y, tais que Un+1 ⊆ Vn ⊆ Un, juntamente com inteiroscrescentes (kn)n∈ω e (ln)n∈ω.

Tomamos U0 qualquer. Definidos Un, (kj)j<n e (lj)j<n, tomamos kn > kj,para todo j < n, tal que Fkn,m ⊆ Un, para todo m ≤ n. Seja Vn ⊆ Un umavizinhanca de y disjunta de Fkj ,m, para todos j ≤ n e m ≤ j. Tome ln > lj ,para todo j < n, tal que Gln ⊆ Vn. Seja Un+1 vizinhanca aberta de y disjuntade Gln .

Defina b = ln : n ∈ ω e cm = kn : n ≥ m. Sejam m, j ∈ ω e n ≥ m.Temos Fkn,m ⊆ Un r Vn e Glj ⊆ Vj r Uj+1. Se n ≤ j temos Fkn,m ∩ Vn = ∅ eGlj ⊆ Vj ⊆ Vn. Se n > j temos Fkn,m ⊆ Un ⊆ Uj e Glj ∩ Uj = ∅. Em amboscasos temos Fkn,m ∩Glj = ∅ provando a afirmacao.

Por (∗) sabemos que as hipotese y /∈ Fn,m da afirmacao e satisfeita paraFn,m = F βm

n (α) e Gn = supp(h′n).

Tome Lα+1(α,i) = b, para i ∈ 0, 1 como acima, mas de modo a satisfazer

b ⊆ a e a r b infinito. Tome Rα+1(α,i) = a r b. Defina Kα+1 a extensao de Kα

por (h′n)n∈b. Tome zα+1(β,i) = zα

(β,i)0, nos casos em que zα(β,i) = y, e zα+1

(β,i) o unico

elemento de π−1(zα(β,i)), nos outros casos.

Vejamos que F βn (α + 1) −→ zα+1

(β,i), para n ∈ Lα+1(β,i) e n ∈ Rα+1

(β,i). Nos casos

em que zα(β,i) = y, por (∗∗) temos F β

n (α + 1) = F βn (α) × 0, que converge

para zα(β,i)0 = zα+1

(β,i). Nos outros casos, e como no caso 1, isto e, F βn (α + 1) e

uma imagem homeomorfica de F βn (α), numa vizinhanca de zα+1

(β,i).

Seja α ∈ Impar um caso nao-trivial. Seja z = limn→∞ xn(α) um elementodeKα. Usando o Lema de Urysohn podemos definir uma sequencia de funcoesduas a duas disjuntas (hn)n∈2ω tal que ∆((hn)n∈2ω) = z e, para todo n ∈ 2ωe m ∈ ω,

hn(xm(α)) =

1, se m = n ou m = n + 10, caso contrario

Seja b ⊆ 2ω tal que Kα((hn)n∈b) e uma extensao forte. Defina Kα+1 =Kα((hn)n∈b), L

α+1(α,1) = b, Lα+1

(α,0) = 2ω r b, Rα+1(α,1) = n + 1 : n ∈ Lα+1

(α,1),

Rα+1(α,0) = n + 1 : n ∈ Lα+1

(α,0), zα+1(α,0) = z0 e zα+1

(α,1) = z1

Notemos que F αn (α+1) = xn(α)1, se n ∈ Lα+1

(α,1)∪Rα+1(α,1), e F α

n (α+1) =

xn(α)0, caso contrario. Portanto F αn (α + 1) → zα+1

(α,0), para n ∈ Lα+1(α,0) ∪

Rα+1(α,0), e F α

n (α + 1) → zα+1(α,1), para n ∈ Lα+1

(α,1) ∪ Rα+1(α,1).

No restante da construcao de Pα+1, ou seja, para definir Lα+1(β,i), R

α+1(β,i) e

zα+1(β,i), para β < α, agimos como no caso 2 de um passo α ∈ Par nao-trivial.

Feita a construcao, tome K o limite inverso de (Kα)α<ω1 . Sejam (fn :n ∈ ω), (xn : n ∈ ω), (µn : n ∈ ω) e ε como na hipotese do teorema.Podemos assumir, sem perda de generalidade, que xn /∈ supp(fm), para todosn,m ∈ ω. Para isso basta usarmos o Lema de Urysohn e a regularidade deµn para reduzir os suportes de fn preservando condicao d) da hipotese.

Pelo Teorema de Tietze estendemos fn para fn : [0, 1]ω1 −→ [0, 1]. PeloTeorema de Mibu (vide [Mi]) existem α < ω1 e funcoes gn : [0, 1]α −→ [0, 1]tais que fn = gn π. Notemos que fn = gn|Kα πα. Como a existencia de taisfuncoes ainda valem para um α′ > α, uma vez que fn πα′ = gn πα πα′ ,podemos tomar α ∈ Par um passo nao-trivial da construcao tal que:

K.1. fn(α) = fn, para todo n ∈ ω;

K.2. xn(α) = xn|α, para todo n ∈ ω;

K.3. ε(α) = ε;

K.4. µn(α) = µn|Bα, para todo n ∈ ω.

Tomamos b = Lα+1(α,0) e a = Lα+1

(α,0) ∪ Rα+1(α,0) e f ′n = h′n π, onde h′n sao as

funcoes construıdas no passo sucessor na construcao de K, ou seja Kα+1 =Kα((h′n)n∈a). Tomamos δ > 0 que obtemos na construcao de h′n, isto e,satisfazendo J.3.

Pelo Lema 1.17, (h′nπ)n∈b tem supremo em C(Kα+1), pois esta e uma ex-tensao forte por essas funcoes. Do Lema 1.20 segue que (f ′n)n∈b tem supremoem C(K).

Note que∫

f ′ndµm =∫

h′ndµm(α), para todos n,m, pois f ′n e determinadapelas coordenadas abaixo de α. Portanto, da construcao segue tambem apropriedade e).

A conexidade de K segue do Lema 1.20.Falta mostrar a propriedade g). Suponha que existam abertos U1 e U2 de

K tais que xn(α) ∈ U1, para todo n ∈ b, e xn(α) ∈ U2, para todo n ∈ ar b.Pela compacidade, podemos assumir que U1 e U2 sao unioes finitas de abertoselementares. Portanto existe β < ω1, podendo assumir β > α, tal que aseparacao ocorre em β, isto e, xn|β : n ∈ b∩xn|β : n ∈ ar b = ∅, em Kβ.

Como xn|α = xn(α), temos que xn|β ∈ F αn (β). Mas, pela construcao, Lβ

(α,0)r

Lα+1(α,0) e finito. Como Lα+1

(α,0) = b, e limn∈L

β

(α,0)F α

n (β) = zβ

(α,0), temos que zβ

(α,0) ∈xn|β : n ∈ b. Da mesma forma concluımos que zβ

(α,0) ∈ xn|β : n ∈ ar b,

contradizendo que xn|β : n ∈ b ∩ xn|β : n ∈ ar b = ∅.

Mostraremos a parte ii) do teorema. Sejam L ⊆ K fechado e V1 e V2

abertos disjuntos de L tais que V 1 ∩V 2 6= ∅. Sejam U e V abertos de [0, 1]ω1

tais que V1 = U ∩L e V2 = V ∩L. Como L e fechado, V 1 ∩ V 2 = U ∩ V ∩L,pois U ∩ L = U ∩ L.

Como [0, 1]ω1 e separavel (vide [Eng], 2.3.16) entao [0, 1]ω1 e c.c.c., isto e,nao contem uma sequencia nao-enumeravel de abertos disjuntos. Portantopodemos assumir que U e V sao unioes enumeraveis de abertos elementares.De fato, se tomarmos U ′ ⊆ U a uniao de uma famılia maximal de abertoselementares contidos em U , temos U ′ = U , o mesmo podendo ser feito paraV .

Sejam (yα)α<ω1 e (zα)α<ω1 sequencias que formam conjuntos densos emV1 e V2, respectivamente. Tome β < ω1 que contem as coordenadas quedeterminam U e V , isto e, π−1[πβ [U ]] = U e π−1[πβ [V ]] = V . Usando oLema 1.28, escolha α > β tal que α ∈ Impar, Uα = U , Vα = V , (yβ|α)β<α edenso em πα[V1], (zβ |α)β<α e denso em πα[V2] e

yβ|α : β < α = Aα;

zβ|α : β < α = Bα.

Seja x ∈ V 1 ∩V 2. Como Aα e Bα sao densos em πα[V1] e πα[V2], respecti-vamente, entao x|α ∈ πα[Uα] ∩ Aα∩πα[Vα] ∩Bα. Estamos, portanto, em um

passo α ∈ Impar nao-trivial. Temos entao xn(α)n∈ω→ x|α e xn(α) ∈ πα[V1],

para n par, e xn(α) ∈ πα[V2], para n ımpar.Para cada n par, seja αn tal que yαn|α = xn(α). Para cada n ımpar,

seja αn tal que zαn |α = xn(α). Analogamente a demonstracao do item g) daparte i) do teorema, mostramos que

yαn : n ∈ Lα+1(α,0) ∩ zαn : n ∈ Rα+1

(α,0) 6= ∅;

yαn : n ∈ Lα+1(α,1) ∩ zαn : n ∈ Rα+1

(α,1) 6= ∅.

Tome z1 ∈ yαn : n ∈ Lα+1(α,0)∩zαn : n ∈ Rα+1

(α,0) e z2 ∈ yαn : n ∈ Lα+1(α,1)∩

zαn : n ∈ Rα+1(α,1). Temos z1, z2 ∈ V 1 ∩ V 2 e

z1|(α+ 1) = zα+1(α,0) 6= zα+1

(α,1) = z2|(α + 1).

Logo |V 1 ∩ V 2| ≥ 2, como querıamos mostrar.

Teorema 2.2. Assuma ♦. Existe um espaco compacto e conexo K tal que,

para todo L ⊆ K fechado, todo operador em C(L) e da forma gI + S, para

algum g ∈ C(L) e S fracamente compacto. Em particular, se L ⊆ K e conexo

entao C(L) e indecomponıvel.

Demonstracao: Tome K como no Teorema 2.1. Seja L ⊆ K fechado.Seja T : C(L) −→ C(L) um operador contınuo. Mostraremos que T e ummultiplicador fraco. Essa demonstracao sera uma adaptacao do Lema 5.2 de[Ko2].

Suponha que T nao seja um multiplicador fraco, isto e, existem umasequencia duas a duas disjunta de elementos en ∈ C(L) com imagens em[−1, 1], ε > 0 e pontos xn ∈ L tais que en(xn) = 0 para todo n ∈ ω e|T (en)(xn)| > ε para infinitos n’s. Assumimos, entao, que vale para todo n.

Como somas finitas de en’s sao uniformemente limitadas, se xn fosse cons-tante para infinitos n’s, terıamos contradicao com o fato de T ser limitada(isto e, contınua). Portanto, podemos assumir que xn’s sao todos distintos.

Podemos supor, sem perda de generalidade, que em(xn) = 0, para todosn,m ∈ ω: se existe um k0 tal que ek0(xn) 6= 0 para n’s pertencentes a umconjunto infinito N ′ ⊆ ω, refinamos a sequencia para N ′rk0 e usamos queen’s sao disjuntas. Caso contrario, construımos por inducao uma sequenciacomo queremos.

Considerando max(en, 0) −min(en, 0) no lugar de en, podemos assumirque en tem imagem em [0, 1].

Sejam µn = T ∗(δxn), isto e, µn’s sao medidas dadas pela relacao

T (f)(xn) =

∫

fdµn,

para todo f ∈ C(L). Temos |∫

endµn| > ε, para todo n. Note que (µn)n∈ω euma sequencia limitada de medidas. Usando o Lema de Rosenthal achamosN ′ ⊆ ω infinito tal que

Σ|∫

emdµn| : n 6= m,m ∈ N ′ < ε/3.

Agora estendemos continuamente as funcoes en’s para funcoes fn ∈ C(K),tambem disjuntas e com imagens em [0, 1]. Para isso usamos o Teorema deTietze para estender en e, usando o Lema de Urysohn, multiplicamos poruma funcao que vale 1 em supp(en) (que tambem e fechado em K) e 0 em∪supp(fk) : k < n.

Como L ⊆ K, interpretamos µn como medidas medidas sobre K, isto e,µn(A) = µ′n(A∩L), para todo boreliano A ⊆ K. Assim, para todos n,m ∈ ω,

∫

K

fmdµn =

∫

L

emdµn.

Aplicando o Teorema 2.1 para fn : n ∈ N ′, xn : n ∈ N ′, µn :n ∈ N ′ e ε, achamos b ⊆ a ⊆ N ′, δ > 0 e funcoes f ′n : n ∈ a como noenunciado do teorema.

Podemos assumir que

∫

supf ′m : m ∈ bdµn =

∫

Σm∈bf′mdµn,

para todo n ∈ ω. Para isso, tome (Nξ)ξ<ω1 uma famılia de subconjuntosinfinitos de N ′ tal que Nξ ∩ Nη e finito, para todos ξ 6= η (por exemplo,identificando ω com Q e ω1 com R, tome Nξ uma sequencia de racionais queconverge para ξ). Para cada ξ tome bξ ⊆ aξ ⊆ Nξ como a e b do Teorema 2.1.

Para cada ξ < ω1 e n ∈ bξ tome f ξn como f ′n no teorema, isto e, as

propriedades e), f) e g) do Teorema 2.1 sao satisfeitas para f ′n = f ξn, a = aξ

e b = bξ.

Afirmacao 2.2.1. Existe ξ < ω1 tal que

∫

[supf ξm : m ∈ bξ − Σm∈bξ

f ξm]dµn = 0,

para todo n ∈ ω.

Para cada ξ < ω1 e c ⊆ bξ definimos f ξc = supf ξ

m : m ∈ c − Σm∈cfξm

quando esse supremo existe. Note que, se F ⊆ bξ e finito, temos

supf ξm : m ∈ bξ = supf ξ

m : m ∈ bξ r F + Σm∈F fξm

e, portanto, f ξbξrF = f ξ

bξ. Em particular f ξ

bξ= f ξ

bξrbξ′, para todos ξ, ξ′ < ω1

distintos, ja que bξ ∩ bξ′ e finito.Fixe ξ 6= ξ′. Sejam g = supf ξ

n : n ∈ bξ rbξ′ e h = supf ξ′

n : n ∈ bξ′ rbξ.Como supp(f η

n) ⊆ supp(fn), para todo n ∈ ω e todo η < ω1, temos quef ξ

n · f ξ′

m = 0, para todos n 6= m. Vejamos agora que g · h = 0.Suponha que exista x ∈ K tal que g(x) > 0 e h(x) > 0. Entao existe

uma vizinhanca V de x tal que g e h sao positivas em todos os pontos de V .Entao existem y ∈ V e n ∈ bξ rbξ′ tais que f ξ

n(y) > 0. Como f ξn ·f ξ′

m = 0, paratodo m ∈ bξ′ r bξ, se tomarmos ϕ : K −→ [0, 1] contınua tal que ϕ(y) = 1 eϕ e nula nos pontos em que f ξ

n e nula, temos que f ξ′

m ≤ h · ϕ < h, para todom ∈ bξ′ r bξ, contradizendo a definicao de h.

Como f ξbξ

= f ξbξrbξ′

≤ g e f ξ′

bξ′= f ξ′

bξ′rbξ≤ h, segue que f ξ

bξ· f ξ′

bξ′= 0, para

todos ξ 6= ξ′. Logo existe ξ < ω1 tal que f ξbξ

tem integral nula com respeitoa todas as medidas µn’s, concluindo a demonstracao da afirmacao.

Tomando f = supf ′n : n ∈ b e n ∈ b temos

|T (f |L)(xn)| = |∫

K

fdµn| = |∫

f ′ndµn +

∫

Σf ′m : m 6= n,m ∈ bdµn|

≥ δ − δ/3 = 2δ/3.

Por outro lado, se n ∈ ar b temos

|T (f |L)(xn)| = |∫

K

Σm∈bf′mdµn| ≤ δ/3.

Como T (f |L) e contınuo, temos que os fechos de xn : n ∈ b e xn : n ∈ar b sao disjuntos, contradizendo o item g) do Teorema 2.1.

O restante do teorema segue do Teorema 2.1 item ii), dos Lemas 1.10,1.12 e do Teorema 1.11.

Corolario 2.3. O espaco C(K) como acima tem pelo menos contınuo quo-

cientes indecomponıveis da forma C(L) nao isomorfos.

Demonstracao: Primeiro vejamos que, se C(L) tem poucos operadores,entao nao e isomorfo a nenhum de seus quocientes proprios. De fato, seja Xum quociente proprio de C(L), e seja T : C(L) −→ X uma transformacaolinear sobrejetora. Suponha que existe S : X −→ C(L) um isomorfismo.Como C(L) tem poucos operadores, S T e multiplicador fraco e, peloLema 1.8, S T e sobrejetor se, e somente se, e um isomorfismo sobre aimagem. Mas S e T sao ambos sobrejetores, de onde concluımos que S Te um isomorfismo de C(K). Logo T precisa ser injetora e, portanto, X eisomorfo a C(K).

Para cada r ∈ [0, 1], tome Kr = π−1K,[0,1]2([0, r]

2). Pelo Lema 1.18 podemos

concluir que cada Kr e conexo. Se r < s temos Kr ⊂ Ks e, portanto, C(Kr)e C(Ks) sao indecomponıveis e nao sao isomorfos.

2.2 Um espaco C(K) indecomponıvel tal que

K contem βN

O Teorema 2.2 mostra que, assumindo ♦, existe um compacto K tal que,para todo L ⊆ K, C(L) tem poucos operadores. Em particular, K nao


contem βN. Nesta secao, assumindo CH, construımos um espaco compactoK conexo, contendo βN, tal que todo operador em C(K) e da forma gI +S,onde g ∈ C(K) e S e um operador fracamente compacto. Nao sabemos seCH e necessario para obtermos o Teorema 2.5.

Lema 2.4. Seja K um compacto Hausdorff. Sao equivalentes:

i) K contem um subespaco homeomorfo a βN;

ii) Existe uma sequencia xn : n ∈ ω ⊆ K relativamente discreta tal que,

para todo a ⊆ ω, xn : n ∈ a ∩ xn : n ∈ ω r a = ∅.

Demonstracao: i) implica ii) e trivial, tomando xn o elemento de K cor-respondente a n∗. Vejamos que ii) implica i). Seja xn : n ∈ ω como em ii)e tome X = xn : n ∈ ω. Veremos que X e homeomorfo a βN. Como X efechado em K, para todo E ⊆ X o fecho de E em X coincide com o fecho deE em K. Usaremos a notacao E para o fecho em X e em K. Mostraremosas seguinte afirmacoes:

Afirmacao 2.4.1. xn : n ∈ a : a ⊆ ω e uma base de abertos-fechados de

X.

Sejam x ∈ X e V uma vizinhanca aberta de x. Pela normalidade de X,podemos tomar U vizinhanca aberta de x tal que U ⊆ V . Tome a = n ∈ω : xn ∈ U e sejam W1 = xn : n ∈ a e W2 = xn : n ∈ ω r a. Temosque W1 ∪W2 = X e, por ii), W1 ∩W2 = ∅. Logo W1 e um aberto-fechado.Observe que W2 ⊆ X r U , logo U ⊆ W1. Portanto x ∈ W1 ⊆ U ⊆ V ,concluindo a afirmacao.

Afirmacao 2.4.2. Se u e um ultrafiltro sobre ω, entao

⋂

a∈u

xn : n ∈ a

e unitario.

Notemos que xn : n ∈ a ∩ b ⊆ xn : n ∈ a ∩ xn : n ∈ b para todosa, b ⊆ ω. Assim, se u e um ultrafiltro sobre N, a famılia xn : n ∈ a : a ∈ utem a propriedade de interseccao finita. Pela compacidade de X temos que⋂

a∈u xn : n ∈ a 6= ∅. Mostraremos que e unitario.

Suponha que⋂

a∈u xn : n ∈ a tenha dois elementos distintos, a saber,x e y. Pela afirmacao 2.4.1, e como X e Hausdorff, existe a ⊆ ω tal quex ∈ xn : n ∈ a e y ∈ xn : n ∈ ω r a. Como u e um ultrafiltro, ou a ∈ u,ou ωra ∈ u, contradizendo que ambos x e y pertencem a

⋂

a∈u xn : n ∈ a,provando a afirmacao.

Defina φ : βN −→ X por φ(u) e o unico elemento de⋂

a∈u xn : n ∈ a.Precisamos mostrar que φ e injetora e e contınua.

Se u e v sao elementos distintos de βN, existe a ⊆ ω tal que a ∈ u eω r a ∈ v. Temos φ(u) ∈ xn : n ∈ a e φ(v) ∈ xn : n ∈ ω r a. Por ii)temos φ(u) 6= φ(v), provando que φ e injetora.

Para mostrar a continuidade de φ, pela afirmacao 2.4.1 basta mostrar queφ−1[xn : n ∈ a] e aberto, para cada a ⊆ ω. Mas φ−1[xn : n ∈ a] = u ∈βN : a ∈ u = a∗, que e aberto em βN.

A aplicacao φ e aberta sobre a imagem, pois e contınua e injetora, e βN

e compacto. Como φ(n∗) = xn temos que φ[βN] = X. Portanto φ e umhomeomorfismo sobre X.

Teorema 2.5 (CH). Existe um espaco compacto conexo K tal que C(K) e

indecomponıvel e K contem βN.

Demonstracao: Como em [Ko2], construımos por inducao espacos com-pactos conexos (Kα)α≤ω1 , sequencias de pontos qn|α : n ∈ ω ⊆ Kα, econjuntos bα ⊆ aα ⊆ ω, para α < ω1. Construımos (Kα)α≤ω1 de modoque K0 = [0, 1]2, Kα+1 e uma extensao forte de Kα por uma sequencia defuncoes contınuas duas a duas disjuntas e Kα e o limite inverso de (Kβ)β<α,no caso α limite. Temos, ainda, em cada passo α, bβ ⊆ aβ ⊆ ω, para β < α, eqn|α : n ∈ ω denso em Kα tais que qn|α : n ∈ aβ e relativamente discretoe

qn|α : n ∈ bβ ∩ qn|α : n ∈ aβ r bβ 6= ∅,em Kα.

Em K0 = [0, 1]2 seja xn|0 : n ∈ ω uma sequencia relativamente discretae disjunta de qn|0 : n ∈ ω. Sejam Par o conjunto dos ordinais pares de ω1 eImpar o conjunto dos ordinais ımpares de ω1. Em cada Kα obtemos xn|α :n ∈ ω relativamente discreto que estendem xn|0. Na construcao indutiva, seα ∈ Par procedemos como em [Ko2] para obter Kα+1, identificando Par comω1. Fixemos uma enumeracao Nα : α ∈ Impar de todos os subconjuntos de

ω. Seja α ∈ Impar. Por CH temos que Kα tem peso enumeravel, e nao tempontos isolados porque e conexo. Portanto, podemos aplicar o Lema 1.22para Kα, obtendo funcoes duas a duas disjuntas fn : Kα −→ [0, 1], paran ∈ Nα, tais que fn(xm|α) = 1, se n = m, fn(xm|α) = 0, se n 6= m, e aextensao de Kα por (fn)n∈Nα e forte. Defina Kα+1 como essa extensao, exn|(α+1) = (xn|α, 1), se n ∈ Nα, e xn|(α+1) = (xn|α, 0), se n /∈ Nα. Temosque

xn|(α + 1) : n ∈ Nα ∩ xn|(α + 1) : n ∈ ω rNα = ∅,em Kα+1. No caso α ∈ Par, tome xn|(α+ 1) qualquer extensao de xn(α).

Observe que, para todos β < α < ω1, temos

xn|α : n ∈ Nβ ∩ xn|α : n ∈ ω rNβ = ∅,

emKα. Tomando xn = ∪α<ω1xn|α temos que, para todo a ⊆ ω, xn : n ∈ a∩xn : n ∈ ω r a = ∅, em K = Kω1. Pelo Lema 2.4 temos que K contem umsubespaco homeomorfo a βN.

Capıtulo 3

Outras construcoes de C(K)com poucos operadores

Neste capıtulo, mostraremos outras construcoes de espacos de Banach C(K)com poucos operadores.

Na Secao 3.1 mostramos que existe um espaco C(K) em que todo ope-rador e multiplicador fraco mas nem todo e da forma gI+S, onde g ∈ C(K) eS e fracamente compacto. O mesmo resultado foi obtido independentementeem [Schl], com a mesma construcao mas outra demonstracao.

Na Secao 3.2, construımos 2ω espacos de Banach indecomponıveis daforma C(K) essencialmente incomparaveis.

Retomamos a definicao de que um espaco topologico e 0-dimensional sepossui uma base de abertos-fechados. Para espacos Hausdorff compactos, issoe equivalente a totalmente desconexo, isto e, nao contem nenhum subespacoconexo com mais de um elemento.

3.1 Espacos de Banach C(K) com quase pou-

cos operadores

Do Lema 1.5 segue que se um operador em um espaco C(K) e da forma gI+S,para g ∈ C(K), I e a identidade e S e fracamente compacto, entao ele e mul-tiplicador fraco. Em [Ko2] mostra-se que um operador T : C(K) −→ C(K)e multiplicador fraco se, e somente se, o operador adjunto T ∗ : M(K) −→M(K) e da forma gI + S, onde S e fracamente compacto, g e uma funcao

41

42 Outras construcoes de C(K) com poucos operadores

boreliana de K em R e, para µ ∈ M(K), gI(µ) ∈ M(K) e definida porgI(µ)(E) =

∫

Eg dµ.

Nesta Secao apresentaremos uma construcao de um espaco compacto Ktal que todo operador em C(K) e um multiplicador fraco, mas existe operadorem C(K) que nao e da forma gI+S, para g ∈ C(K) e S fracamente compacto.

Seja K um compacto 0-dimensional tal que todo operador em C(K) e daforma gI + S, onde g ∈ C(K), I e o operador identidade e S e um operadorfracamente compacto.

Sejam K1, K2 abertos-fechados disjuntos de K. Temos o seguinte lema:

Lema 3.1. Se T : C(K1) −→ C(K2) e um operador linear, entao T e

fracamente compacto.

Demonstracao: Defina T1 : C(K) −→ C(K) tal que, para cada f ∈C(K), T1(f) : K −→ R e dada por T1(f)(x) = T (f |K1)(x), se x ∈ K2, eT1(f)(x) = 0, se x ∈ K rK2.

Como C(K) tem poucos operadores, T1 = gI + S, para algum g ∈ C(K)e S fracamente compacto.

Seja (fn)n∈ω uma sequencia limitada em C(K1) tal que fn · fn = 0, paran 6= m. Pelo Lema 1.5, para concluir que T e fracamente compacto bastamostrarmos que ||T (fn)|| converge a 0.

Para cada n ∈ ω definimos fn : K −→ R estendendo fn por 0 nos pontosfora de K1. Como K1 e aberto-fechado em K, fn ∈ C(K).

Pela definicao de T1, temos que T (fn) = T1(fn)|K2. Por outro ladoT1(fn) = gfn + S(fn). Como fn|K1 = 0, temos T (fn) = S(fn)|K2. ComoS e fracamente compacto, pelo Lema 1.5 temos que ||S(fn)|| converge a 0 e,portanto, ||T (fn)|| converge a 0.

Teorema 3.2. Existe um espaco compacto 0-dimensional L tal que todo

operador em C(L) e multiplicador fraco mas nem todo operador e da forma

gI + S, para algum g ∈ C(L) e S e fracamente compacto.

Demonstracao: Fixemos pontos x1 ∈ K1 e x2 ∈ K2. Defina uma relacaode equivalencia ∼ sobre K1 ∪K2 dada por x ∼ y se, e somente se, x = y oux, y = x1, x2.

Tomemos L = K1 ∪K2/ ∼ e defina em L a seguinte topologia: V ⊆ L eaberto se, e somente se, x : [x] ∈ V ∩K1 e aberto em K1 e x : [x] ∈ V ∩K2

e aberto em K2.

Outras construcoes de C(K) com poucos operadores 43

Notemos que L esta bem-definido como espaco topologico, e compacto, eK1 e K2 estao contidos homeomorficamente em K pela relacao x 7→ [x].

Pela compacidade de K1 e K2, sabemos que eles sao, com a identificacaoacima, subespacos fechados de L. Tomando U = K1 rx1 e V = K2 rx2,temos que U e V sao abertos disjuntos, e U ∩V = [x1] = [x2]. Como U eV sao abertos-fechados em Lr [x1], definindo f : Lr [x1] −→ [0, 1] porf |U = 0 e f |V = 1, temos que f e contınua e nao se estende continuamentea L. Logo L r [x1] nao e C∗-imerso em L. Pelo Teorema 1.11, existeum operador em C(L) que nao e da forma gI + S. Mostraremos que todooperador em C(L) e multiplicador fraco.

Seja T : C(L) −→ C(L) um operador linear, e suponha que nao sejamultiplicador fraco. Seja (en)n∈ω uma sequencia em C(L) limitada e duas aduas disjuntas e sejam xn ∈ L e ε > 0 tais que en(xn) = 0 e |T (en)(xn)| >ε, para todo n. Passando para uma subsequencia, podemos assumir queen([x1]) = 0, para todo n.

Para cada f ∈ C(K1) definimos f ∈ C(L) por f([x]) = f(x), se x ∈ K1,e f([x]) = f(x1), se x ∈ K2. Analogamente definimos f ∈ C(L) para f ∈C(K2). Notemos que, como en([x1]) = 0, temos en = en|K1 + en|K2, para todon.

Para cada par i, j ∈ 1, 2 definimos uma transformacao linear Ti,j :C(Ki) −→ C(Kj) dada por Ti,j(f) = T (f)|Kj

.Passando a uma subsequencia podemos assumir que xn ∈ K1, para todo

n. Temos

T (en)(xn) = T (en|K1)(xn) + T (en|K2

)(xn) = T11(en|K1)(xn) + T21(en|K2)(xn).

Pelo Lema 3.1 o operador T21 e fracamente compacto. Logo, do Lema 1.5temos que T21(en|K2)(xn) converge a 0. Portanto concluımos que |T11(en|K1)(xn)| >ε, para infinitos n’s, contradizendo que todo operador em C(K1) e multipli-cador fraco.

3.2 Construcao de 2ω espacos C(K) indecom-

ponıveis essencialmente incomparaveis

Iremos construir uma famılia de 2ω espacos de Banach indecomponıveis daforma C(K) dois a dois essencialmente incomparaveis.

Lembramos que um operador T em um espaco de Banach X e de Fredholm

se a dimensao do nucleo e a codimensao da imagem sao finitos (vide [DS]).

Definicao 3.3. Dois espacos de Banach X e Y sao essencialmente incom-

paraveis se, para todos operadores T : X −→ Y e S : Y −→ X, o operadorI − S T : X −→ X e um operador de Fredholm.

Lema 3.4. Sejam K e L compactos tais que todo operador T : C(K) −→C(L) e fracamente compacto. Entao C(K) e C(L) sao essencialmente in-

comparaveis.

Demonstracao: Sabemos que a composicao de um operador fracamentecompacto com qualquer operador contınuo e um operador fracamente com-pacto. Por um resultado de [LT] temos que a soma de um operador deFredholm e um operador estritamente singular e um operador de Fredholm.Pelo resultado de [Pe2], um operador fracamente compacto em C(K) e estri-tamente singular. O operador identidade e de Fredholm, ja que dim(Ker(I)) =codim(Im(I)) = 0. Logo, para K e L como na hipotese do lema, I − S Te um operador de Fredholm em C(K), para todos T : C(K) −→ C(L) eS : C(L) −→ C(K).

Observamos que para o Lema 3.4 assumimos que todo operador e fraca-mente compacto apenas em uma direcao, de C(K) em C(L), e concluımosque C(K) e C(L) sao essencialmente incomparaveis. A existencia de um ope-rador nao fracamente compacto de C(K) em C(L) nao implica a existenciade um operador nao fracamente compacto de C(L) em C(K).

Teorema 3.5. Existem espacos compactos conexos (Kξ)ξ<2ω tais que, para

todo ξ < 2ω, C(Kξ) e indecomponıvel e, para todos ξ, η < 2ω tais que ξ 6= η,todo operador T : C(Kξ) −→ C(Kη) e fracamente compacto.

Demonstracao: Fixe uma enumeracao (ξ(α), η(α), fn(α), gn(α), ln(α))α<2ω,n∈ω

tal que, para todo β < 2ω, dados

• ξ, η < 2ω;

• fn : [0, 1]2ω −→ [0, 1] contınuas e duas a duas disjuntas, para n ∈ ω;

• gn : [0, 1]2ω −→ R contınuas;

• ln uma sequencia crescente de inteiros positivos;

existe α > β tal que ξ(α) = ξ, η(α) = η, fn(α) = fn, gn(α) = gn eln(α) = ln, para todo n ∈ ω.

Construiremos, por inducao em α < 2ω, espacos compactosKξ(α), sequenciasde pontos (qn

ξ |α)n∈ω ⊆ Kξ(α), e conjuntos bξ(α) ⊆ aξ(α) ⊆ ω, para ξ < 2ω.A construcao sera feita de modo que, para todos β ≤ α < 2ω e todo ξ < 2ω,qn

ξ |α : n ∈ aξ(β) e relativamente discreto e

(∗) qnξ |α : n ∈ bξ(β) ∩ qn

ξ |α : n ∈ aξ(β) r bξ(β) 6= ∅,em Kξ(α).

O plano desta demonstracao e o seguinte: para os casos em que ξ(α) =η(α), iremos proceder como em [Ko2], eliminando os operadores em C(Kξ(α))que nao sao multiplicadores fracos. Para ξ(α) 6= η(α), por um argumentosimilar eliminaremos os operadores de C(Kξ(α)) em C(Kη(α)) que nao saofracamente compactos.

Para cada ξ < 2ω, definimos Kξ(0) = [0, 1]2 e qnξ |0 : n ∈ ω uma

enumeracao de um conjunto enumeravel denso em [0, 1]2. Se α > 0 e umordinal limite, definimos Kξ(α) o limite inverso de (Kξ(β))β<α, e qn

ξ |α =∪β<αq

nξ |β. Isso esta bem definido pois construiremos cada qn

ξ |β como umaextensao de qn

ξ |β ′, para β ′ < β. Observe que, para α ≥ ω, Kξ(α) ⊆ [0, 1]α e,para α < ω, Kξ(α) ⊆ [0, 1]α+2. Como no Capıtulo 2, por abuso de notacaoconsideraremos sempre Kξ(α) ⊆ [0, 1]α.

Suponha definidos Kξ(α), (aξ(β))β<α, (bξ(β))β<α e qnξ |α, para todos ξ <

2ω e n ∈ ω. Se ξ 6= ξ(α) definimos Kξ(α + 1) = Kξ(α) × 0 e qnξ |(α +

1) = qnξ |α0. Para η 6= η(α) definimos aη(α) = aη(0) e bη(α) = bη(0),

no caso α > 0. Se α = 0 tomamos aη(α) e bη(α) quaisquer de modo queqn

η (α) : n ∈ aη(α) seja relativamente discreto em Kξ(α) e (∗) valha paraα = β (e possıvel, pois [0, 1]2 e metrico).

Iremos definir Kξ(α)(α + 1), qnξ(α)(α + 1) : n ∈ ω, bη(α)(α) e aη(α)(α).

Diremos que um passo α e nao-trivial se

1. existem f ′n : Kξ(α)(α) −→ [0, 1], para n ∈ ω, tais que, se y|α = x ∈Kξ(α)(α), para y ∈ [0, 1]2

ω

, entao fn(α)(y) = f ′n(x);

2. qlnη(α)|α : n ∈ ω e relativamente discreto em Kη(α)(α);

3. f ′n(qlmξ(α)|α) = 0, para todos n,m ∈ ω, se ξ(α) = η(α);

4. se ξ(α) 6= η(α), existem g′n : Kη(α)(α) −→ R, para n ∈ ω, tais que, sey|α = x ∈ Kη(α)(α), para y ∈ [0, 1]2

ω

, entao gn(α)(y) = g′n(x);

5. existe ε > 0 tal que |g′n(qlmη(α)|α)| > ε, se ξ(α) 6= η(α).

Se α e um passo trivial, procedemos nas coordenadas ξ(α) e η(α) comonos casos ξ 6= ξ(α), η(α), para definirmos Kξ(α+1), qn

ξ |(α+1), aη(α) e bη(α).Seja α um passo nao-trivial. Pelo Lema 1.19 tomamos a ⊆ ω tal que,

para todo b ⊆ a, a extensao de Kξ(α)(α) por (f ′n)n∈b e forte e (∗) e preservadoem α + 1, para todo β < α e ξ = ξ(α), se tomarmos

(∗∗) qnξ(α)|(α + 1) = qn

ξ(α)|αΣm∈bf′m(qn

ξ(α)|α).

Notemos que, no caso ξ(α) 6= η(α), ja definimos aξ(α)(α) e bξ(α)(α), e devemosescolher a preservando (∗) tambem para β = α.

Tome aη(α)(α) = ln : n ∈ a. Como Kξ(α)(α) tem peso α < 2ω e doisfechados disjuntos em um espaco compacto podem ser separados por umaquantidade finita de abertos basicos, podemos escolher b ⊆ aη(α)(α) tal que

(†) qnη(α)|α : n ∈ b ∩ qn

η(α)|α : n ∈ aη(α)(α) r b 6= ∅.

Defina bη(α)(α) = b, Kξ(α)(α+1) a extensao forte deKξ(α)(α) por (f ′n)n∈bη(α)(α)

e qnξ(α)|(α+ 1) como em (∗∗).

No caso ξ(α) = η(α) temos que verificar a preservacao de (∗) para aξ(α)(α)

e bξ(α)(α). Como f ′n(qlmξ ) = 0, para todos n,m ∈ ω, se x pertence a inter-

seccao em (†), temos

(x, 0) ∈ qnξ(α)|α0 : n ∈ b ∩ qn

η(α)|α0 : n ∈ aη(α)(α) r b,

de onde concluımos que (∗) e preservado no passo α + 1, para todo β ≤ α.TomamosKξ o limite inverso de (Kξ(α))α<2ω , para cada ξ < 2ω. Pelo item

a) do Lema 1.17, se qnξ |α : n ∈ ω e denso em Kξ(α) entao qn

ξ |(α + 1) :n ∈ ω e denso em Kξ(α + 1). Como densidade e preservada em limitesinversos, por inducao concluımos que qn

ξ : n ∈ ω e denso em Kξ, ondeqnξ = ∪α<2ωqn

ξ |α.Pelo Lema 1.20 temos que KξrF e conexo, para todo F finito. Logo, pelo

Teorema 1.9, basta mostrarmos que todo operador em C(Kξ) e multiplicadorfraco, para concluirmos que C(Kξ) e indecomponıvel.

Afirmacao 3.5.1. Para todos ξ, η < 2ω, com ξ 6= η, todo operador T :C(Kξ) −→ C(Kη) e fracamente compacto.

Suponha que exista T : C(Kξ) −→ C(Kη) nao fracamente compacto,para ξ 6= η. Pelo Lema 1.5, existe uma sequencia limitada fn ∈ C(K) defuncoes duas a duas disjuntas e ε > 0 tais que ||T (fn)|| > ε, para todo n.Considerando multiplos de max(fn, 0) e −min(fn, 0), como na demonstracaodo Teorema 2.2, podemos assumir que fn tem imagem contida em [0, 1].

Para cada n podemos tomar xn ∈ Kη tal que |T (fn)(xn)| > ε. Comoqn

η : n ∈ ω e denso em Kη podemos assumir que xn = qlnξ , para inteiros ln’s.

Observe que nao podemos ter ln constante, para infinitos n’s, pois, nesse caso,terıamos que somas finitas de fn’s formariam uma famılia limitada em C(Kξ)cujas imagens por T teriam normas arbitrariamente grande, contradizendoa continuidade de T . Portanto, passando a uma subsequencia, podemosassumir que (ln : n ∈ ω) e uma sequencia estritamente crescente e queqln

ξ : n ∈ ω e relativamente discreto.A partir de agora a demonstracao e analoga a do Teorema 2.2. Iremos

suprimir alguns detalhes que constam naquela demonstracao.Considere µn = T ∗(δxn). Temos que

|T (fn)(xn)| = |∫

fndµn| > ε.

Aplicando o Lema de Rosenthal, achamos N ′ ⊆ ω tal que

Σ|∫

fmdµn| : n 6= m,m ∈ N ′ < ε

3

Como esta demonstrado em 2.2, existe N ′′ ⊆ N ′ tal que, para todo b ⊆ ω etodo n ∈ ω,

∫

supfm : m ∈ bdµn =

∫

Σm∈bfmdµn,

sempre que o supremo existe em C(K).Passando novamente a uma subsequencia, assumimos que N ′′ = ω.Seja gn = T (fn), para n ∈ ω. Pelo Teorema de Mibu, aplicado a extensoes

de fn e gn para todo [0, 1]2ω

, existem α′ < 2ω e funcoes f ′n : Kα′ −→ [0, 1]e g′n : Kα′ −→ R tais que fn = f ′n π e gn = g′n π. A existencia de taisfuncoes continua valendo para β > α′, pois basta tomarmos f ′n πKβ ,Kα′ nolugar de f ′n.

Sejam fn : [0, 1]2ω −→ [0, 1] e gn : [0, 1]2

ω −→ [0, 1] extensoes de fn egn, respectivamente. Tome α > α′ tal que ξ(α) = ξ, η(α) = η, fn(α) = fn,ln(α) = ln e gn(α) = g. Temos que α e um passo nao-trivial.

Pela construcao e o Lema 1.17, fn : n ∈ bη(α) tem supremo em Kξ e

qlnη : n ∈ bη(α) ∩ qln

η : n ∈ aβ(α) r bη(α) 6= ∅,

em Kξ. Para facilitar a notacao, denotaremos aβ(α) e bη(α) por a e b, res-pectivamente.

Tome f = supfn : n ∈ b. Repetindo os calculos feitos em 2.2, con-cluımos que

|T (f)(qlnη )| ≥ 2ε

3,

se n ∈ b, e

|T (f)(qlnη )| ≤ ε

3,

se n ∈ arb, contradizendo que T (f) e contınua e qlnη : n ∈ b∩qln

η : n ∈ ar b 6=∅.

Afirmacao 3.5.2. Para todo ξ < 2ω, todo operador em C(Kξ) e multiplica-

dor fraco.

Suponha que exista T : C(Kξ) −→ C(Kξ) que nao e multiplicador fraco.Entao existem fn ∈ C(Kξ) duas a duas disjuntas e xn ∈ Kξ tais que fn(xn) =0 e |T (fn)(xn)| > ε, para algum ε > 0. Pela densidade de qn

ξ : n ∈ ω em

Kξ, podemos assumir que xn = qlnξ . O resto da demonstracao e totalmente

analoga as da Afirmacao 3.5.1 e do Teorema 2.2.

A construcao aqui apresentada pode ser repetida em qualquer construcaoindutiva, de comprimento 2ω, em que tomamos sucessivas extensoes for-tes. Adaptando as tecnicas usadas neste capıtulo nas construcoes feitas nasSecoes 2.1, 3.1 e 2.2, obtemos a existencia de 2ω espacos C(K) indecom-ponıveis essencialmente incomparaveis tais que

1. (♦) C(L) tem poucos operadores, para todo L ⊆ K;

2. (CH) K contem βN;

3. (CH) todo operador em C(K) e da forma gI+S, para algum g ∈ C(K)e S fracamente compacto;

Capıtulo 4

Um espaco C(K) de densidadeω1 < 2ω com poucos operadores

Os espacos C(K) com poucos operadores construıdos em [Ko2], [Pl] e nosCapıtulos 2 e 3 tem densidade 2ω. Neste capıtulo, usando a tecnica de forcing,mostramos a consistencia da existencia de um espaco de Banach C(K) dedensidade menor que contınuo com poucos operadores.

Em [Ko2] mostra-se que espacos de Banach da forma C(K) com poucosoperadores possuem a propriedade de Grothendieck. Espacos da forma C(K)separaveis nao sao de Grothendieck, pois C(K) separavel implica que K emetrizavel e, portanto, contem sequencia convergente nao-trivial, implicandoque c0 e complementado em C(K). Logo CH implica que nao existe espacode Banach C(K) de densidade menor que contınuo (no caso, enumeravel)com poucos operadores.

Podemos perguntar se a existencia de C(K) de densidade menor quecontınuo com poucos operadores nao e equivalente a ¬ CH. Por outro lado,podemos perguntar se podemos provar, em ZFC, que existe C(K) de den-sidade ω1 com poucos operadores. A resposta e nao. Define-se p o menorcardinal para o qual existe uma famılia (Mα)α<p de subconjuntos de ω talque

⋂

α∈F Mα e infinito, para todo F ⊆ p finito, e, para todo M ⊆ ω, existeα < κ tal que M rMα e finito. Em [Fr] esta provado que MA+¬CH implicap = 2ω e que todo compacto K de peso menor que p contem sequencia con-vergente nao trivial, o que implica que C(K) nao possui a propriedade deGrothendieck. Portanto, a construcao de C(K) apresentada neste capıtuloe independente de ZFC, mesmo assumindo a negacao de CH. Isto e, con-cluımos que usando apenas os axiomas de ZFC e ¬CH nao podemos provar

49

50 Um espaco C(K) de densidade ω1 < 2ω com poucos operadores

nem refutar que existe um espaco C(K) de densidade ω1 < 2ω com poucosoperadores.

A primeira construcao consistente de um espaco de Banach C(K) dedensidade menor que contınuo com a propriedade de Grothendieck foi obtidarecentemente por Brech ([Br]). Vejamos que o espaco C(K) construıdo em[Br] tem operadores que nao sao multiplicadores fracos.

O compacto K construıdo em [Br] e o espaco de Stone, em M [G], daalgebra de Boole P(ω) ∩ M , onde M e um modelo transitivo enumeravelpara ZFC e M [G] e a extensao generica de M por um P -generico G sobreM , para um determinado forcing P ∈M (veja Apendiec B). O modelo M [G]satisfaz que C(K) e de Grothendieck e tem densidade ω1 < 2ω.

Como M e um modelo para ZFC, se a ⊆ ω pertence a M entao o conjunto2n : n ∈ a tambem pertence a M . Portanto a algebra A = P(ω) ∩M ,que e uma subalgebra de P(ω), tem a propriedade de que a ∈ A implica2n : n ∈ a ∈ A. Isso gera um isomorfismo entre A e a algebra a ∩ (2ω) :a ∈ A, onde 2ω e o conjunto dos numeros pares. Desse isomorfismo segueque K = S(A) e (2ω)∗ sao homeomorfos e, portanto, C(K) e C((2ω)∗) saoisomorfos. Como (2ω)∗ esta contido propriamente em K, usando o Lema 1.8e repetindo o argumento usado no Corolario 2.3, concluımos que C(K) temoperadores que nao sao multiplicadores fracos.

4.1 Convergencia fraca em M(K)

Apresentamos nesta secao lemas sobre a topologia fraca em M(K), que seraousados neste capıtulo e no Capıtulo 5

Definicao 4.1. Sejam K um espaco topologico compacto e ε > 0. Dizemos

que um conjunto limitado S ⊆M(K) e ε-fracamente relativamente compacto

se, para toda sequencia (Vn)n∈ω de abertos de K dois a dois disjuntos,

sup|µ(Vn)| : µ ∈ S ≤ ε,

para todos, exceto finitos, n ∈ ω.

Lema 4.2. Sejam K um espaco topologico compacto e S ⊆M(K) limitado.

Temos

a) S e fracamente relativamente compacto se, e somente se, S e ε-fracamente

relativamente compacto, para todo ε > 0.

Um espaco C(K) de densidade ω1 < 2ω com poucos operadores 51

b) Dado ε > 0, S nao e ε-fracamente relativamente compacto se, e somente

se, existem uma sequencia (µn)n∈ω em S e uma sequencia (Vn)n∈ω de

abertos de K dois a dois disjuntos tais que |µn(Vn)| > ε, para todo

n ∈ ω.

Demonstracao: Item a) e consequencia imediata do Teorema de Dieu-donne-Grothendieck. Para o item b), suponha que S nao e ε-fracamenterelativamente compacto. Entao existe uma sequencia (Vn)n∈ω de abertos deK dois a dois disjuntos tal que sup|µ(Vn)| : µ ∈ S > ε, para infinitos n’s.Passando a uma subsequencia, podemos assumir que isso ocorre para todo n.Portanto, para cada n ∈ ω encontramos µn ∈ S tal que |µn(Vn)| > ε, comoquerıamos. Para a outra direcao, se temos µn ∈ S e Vn’s abertos disjuntos deK tais que |µn(Vn)| > ε, para todo n ∈ ω, teremos sup|µ(Vn)| : µ ∈ S > ε,para todo n ∈ ω, e, portanto, S nao sera ε-fracamente relativamente com-pacto.

Dizemos que uma sequencia (µn)n∈ω de medidas e duas a duas disjuntase existem borelianos An’s dois a dois disjuntos tais que |µn|(K r An) = 0,para todo n.

Lema 4.3. Seja K um compacto e seja D ⊆ K denso. Suponha que T :C(K) −→ C(K) nao e um multiplicador fraco. Entao existe uma sequencia

(xn)n∈ω em D tal que, para toda funcao boreliana limitada f : K −→ R,

T ∗(δxn) − fδxn nao e fracamente relativamente compacto, em M(K), onde

fδx = f(x)δx ∈M(K).

Demonstracao: Se T nao e multiplicador fraco, existe uma sequencia li-mitada (en)n∈ω de funcoes duas a duas disjuntas de K em R, uma sequencia(xn)n∈ω de pontos distintos de K e ε > 0 tais que en(xn) = 0 e |T (en)(xn)| >ε, para todo n. Como D e denso em K, podemos assumir que xn ∈ D. Sejamµn = T ∗(δxn) − fδxn . Temos

T (en)(xn) =

∫

en dT∗(δxn) =

∫

en dµn +

∫

en d(fδxn).

Como en(xn) = 0, temos que∫

en d(fδxn) = 0 e, portanto,

|T (en)(xn)| = |∫

en dµn| > ε,


para todo n.

Tome M um limitante para (en)n∈ω. Temos |µn|(supp(en)) > εM

. Usandoa definicao de variacao de medidas encontramos borelianos Un contidos emsupp(en) tais que |µn(Un)| > ε

2M. Pela regularidade de µn podemos assumir

que Un sao abertos dois a dois disjuntos. Como T e f sao limitados temosque (µn)n∈ω e uma sequencia limitada em M(K). Logo, pelo Teorema de Di-eudonne-Grothendieck, implica que (µn)n∈ω nao e fracamente relativamentecompacto.

Usaremos dois resultados citados em [Ta] (lemas 1 e 2, respectivamente).

Proposicao 4.4 (Pe lczynski). Sejam K um espaco compacto, ε > 0 e

(µn)n∈ω uma sequencia de medidas positivas de K, de norma 1, e duas a

duas disjuntas. Entao existem uma subsequencia (µ′n)n∈ω de (µn)n∈ω e aber-

tos dois a dois disjuntos (Un)n∈ω tais que µ′n(Un) ≥ 1 − ε, para todo n ∈ ω.

Proposicao 4.5 (Kadec, Pe lczynski). Seja (X,Σ, µ) um espaco mensuravel,

onde µ e positiva e de norma 1. Seja (vn)n∈ω uma sequencia limitada de

L1(µ). Entao existe uma subsequencia (v′n)n∈ω que se decompoe da forma

v′n = gn +hn, onde (gn)n∈ω e fracamente convergente e (hn)n∈ω e duas a duas

disjuntas.

A Demonstracao da Proposicao 4.4 encontra-se implıcita na demonstracaodo Lema 1 de [Pe1]. A da Proposicao 4.5 encontra-se no Teorema 6 de [KP].

Corolario 4.6. Seja (µn)n∈ω uma sequencia limitada de medidas em um

compacto K. Existem uma subsequencia (µ′n)n∈ω de (µn)n∈ω e medidas νn

e λn tais que µ′n = νn + λn, (νn)n∈ω e duas a duas disjuntas e (λn)n∈ω e

fracamente convergente.

Demonstracao: Tome µ = Σ∞n=0|µn|

||µn||2n+1 . Temos que µ e uma medidapositiva de norma 1.

Seja i : L1(µ) −→ M(K) uma funcao dada por i(h)(E) =∫

Eh dµ, para

todo h ∈ L1(µ) e todo E ⊆ K boreliano. Temos que i e linear, pois, seλ ∈ R, g, h ∈ L1(µ) e E ⊆ K e boreliano, temos

i(λg + h)(E) =

∫

E

(λg + h)dµ = λ

∫

E

g dµ+

∫

E

h dµ = λi(g) + i(h).


Vejamos que ||i(h)|| = ||h||, para todo h ∈ L1(µ). Podemos escrever h =h+ − h−, onde h+ e h− sao funcoes borelianas positivas tais que h+ · h− = 0.Sejam E+ = h−1

+ ((0,∞)) e E− = h−1− ((0,∞)). Temos

||i(h)|| = ||i(h+)|| + ||i(h−)|| =

∫

E+

h+ dµ+

∫

E−

h− dµ =

∫

K

h+ + h− dµ =

∫

|h| dµ = ||h||.

Portanto i e uma isometria sobre a imagem.Seja Y = i(L1(µ)). Mostraremos que µn ∈ Y , para todo n ∈ ω. Seja

n ∈ ω. Temos que µn e absolutamente contınua com respeito a µ, isto e, seµ(E) = 0 entao µn(E) = 0 (Definicao 6.7 de [Ru]). Logo, pelo Teorema deRadon-Nikodym (Teorema 6.10 de [Ru]), para cada n ∈ ω existe um unicohn ∈ L1(µ) tal que

µn(E) =

∫

E

hn dµ,

para todo E mensuravel, e teremos i(hn) = µn, provando que µn ∈ Y .Vejamos que i leva sequencias duas a duas disjuntas em L1(µ) em sequencias

de medidas duas a duas disjuntas. Sejam h1, h2 ∈ L1(µ) tais que h−11 (Rr0)

e h−12 (R r 0) sao disjuntos. Sejam E1 = h−1

1 (R r 0) e E2 = h−12 (R r

0). Temos |i(h1)|(K r E1) =∫

KrE1|h1| dµ = 0 e |i(h2)|(K r E2) =

∫

KrE2|h2| dµ = 0, provando que i(h1) e i(h2) sao medidas disjuntas.

Falta mostrar que, se (hn)n∈ω e uma sequencia fracamente convergenteem L1(µ) entao (i(hn))n∈ω e fracamente convergente em M(K). Como ie um isomorfismo sabemos que (i(hn))n∈ω e fracamente convergente em Y .Isso significa que existe µ ∈ M(K) tal que, para todo funcional linear ϕ ∈Y ∗, ϕ(i(hn)) converge para ϕ(µ) (veja [Fa]). Logo, se ψ ∈ M(K)∗, temosque ψ|Y ∈ Y ∗ e, portanto, ψ(i(hn)) = ψ|Y (i(hn)) converge fracamente paraψ|Y (i(h)) = ψ(i(h))

Portanto, aplicando a Proposicao 4.5 para (i−1(µn))n∈ω concluımos o co-rolario.

4.2 Construcao de um forcing

Nesta secao construımos o forcing que sera usado para mostrar o Teorema 4.14.Essa construcao baseia-se em [Ko1].

Seja A ⊆ P(ω) uma algebra de Boole enumeravel. Seja µ uma medidade Radon positiva sobre S(A), e seja ε > 0, racional. Definimos um forcingP (A, µ, ε) = p : p = (p−1, p1) ∈ A2 , p−1 ∩ p1 = ∅ , p−1 ∪ p1 6= ω , µ((p−1 ∪p1)∗) < ε, com a ordem

(p−1, p1) ≤ (q−1, q1) se, e somente se, p−1 ⊇ q−1, p1 ⊇ q1.

Definimos o forcingR(A) formado pelas condicoes p = (p−1, p1;µ1, ..., µn; ε)tais que

• µi ∈M(S(A)) sao medidas positivas tais que ||µi|| ≥ ε;

• ε ∈ Q, ε > 0;

• (p−1, p1) ∈⋂

1≤n P (A, µi, ε).

Definimos a ordem ≤ por (p−1, p1;µ1, ..., µn; ε) ≤ (q−1, q1; ν1, ..., νm; δ) se,e somente se, p−1 ⊇ q−1, p1 ⊇ q1, µ1, ..., µn ⊇ ν1, ..., νm, ε ≤ δ.

Lema 4.7. Sejam ε > 0, µ ∈ M(S(A)) e p = (p−1, p1;µ, ν1, ..., νm, ε′) ∈

R(A) tal que ε′ ≤ ε. Sejam µn ∈ M(S(A)) e (xn)n∈ω uma sequencia em

S(A) tais que µn : n ∈ ω nao e 5ε-fracamente relativamente compacto,

|µn| converge fracamente∗ para µ, µn(xn)n−→ 0 e existe uma sequencia

(an)n∈ω ⊆ A duas a duas disjuntas tal que ||µn|| − |µn|(a∗n) < ε18||µn||, para

todo n ∈ ω. Entao existem δ1 > δ2 > 0 tais que, para todos k ∈ ω e r ≤ p,existem q ≤ r e n1, n2 > k tais que

1. |µn1(q∗−1)| > δ1;

2. |µn2(q∗−1)| < δ2;

3. |µn1|((−(q−1 ∪ q1))∗) < δ1−δ23

;

4. |µn2|((−(q−1 ∪ q1))∗) < δ1−δ23

;

5. q−1 ∈ xn1 ∩ xn2 ou q1 ∈ xn1 ∩ xn2.

Demonstracao: Pela Definicao 4.1 podemos assumir que existe uma sequenciade abertos dois a dois disjuntos (Wn)n∈ω tal que |µn(Wn)| > 5ε, para todon ∈ ω.

Como (µn)n∈ω nao e fracamente convergente (pelo Lema 4.2) temos que||µn|| nao converge a 0. Passando a uma subsequencia assumimos que ||µn||converge a r > 0.

Tomamos δ1 = 5ε3r e δ2 = 3ε

2r. Para simplificar a notacao, assumiremos

que r = 1, substituindo µn por µn

r, para cada n, e µ por µ

r. Passando a uma

subsequencia e usando a hipotese, assumimos que |µn|(a∗n) > 1 − ε18

, paratodo n.

Fixe um δ > 0 tal que δ < ε′−ν((p−1∪p1)∗)6

, para todo ν ∈ µ, ν1, ..., νm. Osvalores de ε′− ν((p−1 ∪ p1)

∗) sao positivos pela definicao do forcing. Usandoo Lema de Rosenthal e a hipotese de que µn(xn) converge a 0, passando auma subsequencia, assumimos que |µn(xm)| < δ, para todos n,m ∈ ω.

Fixemos k ∈ ω e r ≤ p. Assumimos que r = p. Para r < p o procedimentoe identico.

Como |µn| converge fracamente∗ para µ e µ((p−1 ∪ p1)∗) < ε, tomamosk0 ≥ k tal que, para todo n ≥ k0,

|µn|((p−1 ∪ p1)∗) < ε,

de onde tambem segue que

|µn(p∗−1)| < ε

e|µn(p∗1)| < ε.

Tomando U ′n = Wn r (p−1 ∪ p1)∗ temos, para todo n > k0,

|µn(U ′n)| > 5ε− ε = 4ε.

Mas|µn|(K r a∗n) <

ε

18,

de onde segue que |µn(U ′n∩a∗n)| > 3ε. Sejam Un = U ′n∩a∗n. Pela regularidadedas medidas e compacidade de S(A), podemos assumir que Un = b∗n, ondebn ∈ A e bn ≤ an.

Como an’s sao dois a dois disjuntos, podemos tomar k1 ≥ k0 tal que,para todo n > k1, µ(a∗n) < δ e νi(a

∗n) < δ, para todo i = 1, ..., m. Assim

teremos que, dados n, j > k1, ν((p−1 ∪ p1 ∪ an ∪ aj)∗) < ε′ − 2δ, para todo

ν ∈ µ, ν1, ..., νm.Iremos cuidar do item 5. Se p1 /∈ xn, para infinitos n’s, passando a uma

subsequencia assumimos que isso ocorre para todo n. Neste caso, para cadan fixe cn ∈ xn disjunto de p1 tal que |µm|(c∗n) < δ, para todo m (o que epossıvel, pois |µm(xn)| < δ). Se p1 ∈ xn, para quase todos n’s, passandoa uma subsequencia assumimos que p1 ∈ xn para todo n, e teremos item 5automaticamente satisfeito. Nesse caso, tomamos cn = 0.

Sejam n1, n2 > k1 dois inteiros distintos. Defina

q−1 = p−1 ∪ bn1 ∪ cn1 ∪ cn2,

q1 = p1 ∪ (an1 − q−1) ∪ (an2 − q−1).

Pela escolha de k1 acima, temos que q = q−1, q1;µ, ν1, ..., νm, ε ∈ R(A) eclaramente q ≤ p. Temos

|µn1(q∗−1)| ≥ |µn1(b

∗n1

)| − |µn1|(p∗−1) − |µn1|((cn1 ∪ cn2)∗) > 3ε− ε− 2δ ≥ 5ε

3

e

|µn2(q∗−1)| ≤ |µn2|(b∗n1

) + |µn2|(p∗−1) + |µn2|(cn1 ∪ cn2)∗ <ε

18+ ε+ 2δ <

3ε

2.

Como an1 ∪ an2 ⊆ q−1 ∪ q1, para n ∈ n1, n2 concluımos que

|µn|((−(q−1 ∪ q1))∗) ≤ ε

18=δ1 − δ2

3,

concluindos os itens 1 a 4. Item 5 segue de que cn1 ∪ cn2 ≤ q−1, no caso emque cn ∈ xn, para todo n, ou q1 ∈ cn, para todo n.

4.3 Construcao consistente de um espaco C(K)

de densidade menor que contınuo com

poucos operadores

Usando uma iteracao de forcing da forma R(A) como na secao anterior,nesta secao iremos construir consistentemente um espaco C(K) com poucosoperadores e densidade menor que contınuo.

Seja G um R(A)-generico sobre o modelo inicial M . Em M [G] seja g =⋃p−1 : ∃p1 ∈ A∃µ1, ..., µn ∈ M(S(A))∃ε > 0((p−1, p1;µ1, ..., µn; ε) ∈ G).Defina AG a algebra gerada por A∪ g e seja AG um R(A)-nome para AG.

Considere P a iteracao com suportes finitos (Pα)α<ω1 definidos por Pα

Qα = R(Aα), onde A0 e a algebra dos subconjuntos finitos e os cofinitos deω, Aα =

⋃

β<αAβ , se α e um ordinal limite, e Aα+1 e a algebra gerada porAα ∪ gα, onde e Gα e um R(Aα)-generico sobre M [Gα] e gα e definidopor

⋃

p−1 : ∃p1 ∈ A∃µ1, ..., µn ∈M(S(Aα))∃ε > 0((p−1, p1;µ1, ..., µn; ε) ∈ Gα).

O modelo M [Gα] tambem sera denotado por Mα.

Lema 4.8. Para qualquer algebra enumeravel A em P(ω) o forcing R(A) e

c.c.c. e, portanto, o forcing P e c.c.c.

Demonstracao: Como A×A×Q e enumeravel, numa famılia nao-enumeravelde condicoes deR(A) existem p′ e p′′ distintos tais que p′ = (p−1, p1;µ1, ..., µn; ε)e p′′ = (p−1, p1; ν1, ..., νm; ε). Tomando q = (p−1, p1;µ1, ..., µn, ν1, ...νm; ε) te-mos que q ∈ R(A) e q ≤ p′, p′′.

Por ser uma iteracao com suportes finitos de forcings c.c.c., P tambem ec.c.c.

Em M [G] definimos Aω1 =⋃

α<ω1Aα.

Lema 4.9. Sejam µ um P -nome para uma medida em Aω1 e seja z um P -

nome para um ponto de S(Aω1). Entao os seguintes conjuntos sao fechados

ilimitados em ω1.

a) Cµ = α < ω1 : P µ|Aα∈Mα e |µ||Aα

= |µ|Aα|;

b) Cz = α < ω1 : P z ∩ Aα ∈Mα

Demonstracao: Tome α0 ∈ ω1. Construiremos, por inducao, uma sequenciacrescente (αn)n∈ω em ω1 tal que P forca as seguintes sentencas:

(∗) µ|Aαn∈Mαn+1

e

(∗∗) ∀a ∈ Aαn(|µ|(a) = |µ|Aαn+1|(a)).

Trabalhando em M [G], para G um P -generico sobre um modelo inicial M ,dado n, encontramos αn+1 > αn tal que µG ∈ Mαn , pois Aαn ∈ M [Gα] eenumeravel e µG|Aαn

pode ser identificado como uma sequencia enumeravel desequencias enumeraveis de naturais. Da mesma forma, podemos tomar αn+1

suficientemente grande para conter todos os elementos de Aω1 que decidemo valor de |µG|(a), para a ∈ Aα, uma vez que |µG|(a) e o supremo de somasfinitas de medidas de borelianos disjuntos, e cada boreliano em S(Aω1) podeser aproximado por abertos-fechados.

Portanto, para cada p ∈ P achamos q ≤ p que forca (∗) e (∗∗), paraalgum αn+1. Isto e, o conjunto D formado pelas condicoes p ∈ P tais que,para algum β < ω1,

p β = minβ < ω1 : µ|Aαn∈Mβ ∧ ∀a ∈ Aαn(|µ|(a) = |µ|β|(a)),

e denso em P . Para cada p ∈ D definimos βp como o menor β tal que pforca (∗) e (∗∗) para β no lugar de αn+1. Observe que, se βp 6= βq entao p eq sao incompatıveis. Como P e c.c.c. temos que βp : p ∈ D e enumeravel.Como D e denso em P , tomando αn+1 = supβp : p ∈ D teremos (∗) e (∗∗)satisfeitos.

Tomando α = supαn : n ∈ ω, temos que α ∈ Cµ, provando que Cµ naoe limitado. Para mostrar que Cµ e fechado o argumento e analogo. Com issoconcluımos item a). O item b) e analogo.

Lema 4.10. Sejam α < ω1, ε > 0 racional e p ∈ P tais que p(α) =(pα−1, p

α1 ; µ, ν1, ..., νm; ε). Sejam (µn)n∈ω e (xn)n∈ω sequencias de P -nomes

tais que p forca:

1. µn ∈M(S(Aω1));

2. xn ∈ S(Aω1);

3. µn|Aα∈Mα;

4. xn ∩ Aα ∈Mα;

5. |µn|Aα| = |µn||Aα

;

6. µn|Aα(xn ∩ Aα)

n−→ 0;

7. |µn|Aα| converge fracamente∗ para µ;

8. µn|Aα: n ∈ ω nao e 5ε-fracamente relativamente compacto;

9. existe (an)n∈ω ⊆ Aα dois a dois disjuntos tal que ||µn|| − |µn|(a∗n) <ε18||µn||.

Entao existem δ1, δ2 > 0 tais que p ∀k ∈ ω∃n1, n2 > k|µn1(gα)| >δ1, |µn2(gα)| < δ2 e gα ∈ xn1 ∩ xn2 ou −gα ∈ xn1 ∩ xn2.

Demonstracao: Seja G um P -generico sobre um modelo inicial M tal quep ∈ G. Trabalhemos em M [Gα]. Sejam µn = (µn)Gα e xn = (xn)Gα . Pelashipoteses deste lema podemos aplicar o Lema 4.7, obtendo δ′1 > δ′2 > 0tais que para todo q ≤ p e todo k ∈ ω, existem n1, n2 > k e r ≤ q tais

que |µn1|Aα(r∗−1)| > δ′1, |µn2|Aα(r∗−1)| < δ′2 e |µni|Aα|((−(r−1 ∪ r1))∗) <δ′1−δ′2

3,

para i = 1, 2. Da genericidade de Gα concluımos que, para cada k, existemn1, n2 > k e r ≤ p como acima tais que r−1 ⊆ gα e gα ∩ r1 = ∅. Da hipotese

5 do lema temos |µni|((−(r−1 ∪ r1))∗) < δ′1−δ′2

3, para i = 1, 2. Portanto, para

todo k ∈ ω, existem n1, n2 > k tais que

|µn1(gα)| > δ′1 −δ′1 − δ′2

3

e

|µn2(gα)| < δ′2 +δ′1 − δ′2

3.

Tomamos δ1 = δ′1 − δ′1−δ′23

e δ2 = δ′2 +δ′1−δ′2

3, e obtemos que δ1 > δ2 > 0

satisfazem a tese do lema. A segunda parte do lema segue do item 5 doLema 4.7, uma vez que q−1 ≤ g e q1 ≤ −g.

Lema 4.11. Seja α < ω1. Sejam a, b ∈Mα subconjuntos disjuntos de ω tais

que n∗ ∩ Aα : n ∈ a ∩ n∗ ∩ Aα : n ∈ b 6= ∅, em Mα, tomando os fechos

em S(Aα). Entao n∗ ∩ Aω1 : n ∈ a ∩ n∗ ∩ Aω1 : n ∈ b 6= ∅, em M [G],tomando os fechos em S(Aω1).

Demonstracao: Observamos que, se n∗ ∩Aβ : n ∈ a∩n∗ ∩Aβ : n ∈ b =∅, em Mβ, para β um ordinal limite, existem a, b ∈ Aβ disjuntos tais quea ⊆ a e b ⊆ b. Logo existe γ < β em que a separacao acontece. Por-tanto, para mostrar o lema, e suficiente mostrar que n∗ ∩ Aα+1 : n ∈ a ∩xn ∩ Aα+1 : n ∈ b 6= ∅, e prosseguimos por inducao. Para isso, mostrare-mos que, se A e uma subalgebra enumeravel de P(ω) contendo os unitariosde ω, e a, b ⊆ ω sao como na hipotese do lema, entao

R(A) n∗ ∩ AG : n ∈ a ∩ n∗ ∩ AG : n ∈ b 6= ∅, emS(AG).

Seja p = (p−1, p1;µ1, ..., µm; ε) ∈ R(A). Mostraremos que existe q ≤ p tal

que q n∗ ∩ AG : n ∈ a ∩ n∗ ∩ AG : n ∈ b 6= ∅.Das definicoes de convergencia e do espaco de Stone de A e facil verificar

que, para todo M ⊆ ω e todo v ∈ S(A),

n∗ ∩ A n∈M−→ v ⇔ v = c ∈ A : |M r c| <∞

Como A e enumeravel, S(A) e metrizavel. Logo, pela hipotese, existem

u ∈ S(A) e subconjuntos infinitos a′ ⊆ a e b′ ⊆ b tais que n∗ ∩ An∈a′

−→ u e

n∗ ∩A n∈b′−→ u. Isto e, u = c ∈ A : a′ r c e finito = c ∈ A : b′ r c e finito.Consideramos tres casos. Se existe q ≤ p tal que q−1 ∈ u, temos que

a′ r q−1 e b′ r q−1 sao finitos. Logo

q |a′ r g| <∞

e, para todo a1 ∈ u e a2 ∈ A,

q |a′ r (a1g ∪ a2)| ≤ |(a′ r a1) ∪ (a′ r g)| <∞,

de onde temos que

q n∗ ∩ AGn∈a′

−→,onde e o ultrafiltro em AG gerado por u e g. Repetindo oargumento temos

q n∗ ∩ AGn∈b′−→,

concluindo que

q n∗ ∩ AG : n ∈ a ∩ n∗ ∩ AG : n ∈ b 6= ∅.

No segundo caso, existe q ≤ p tal que q1 ∈ u. Analogamente ao casoanterior mostramos que

q n∗ ∩ AGn∈a′∪b′−→ .

Suponhamos que nao acontecem os casos anteriores. Seja q ≤ p. Comou /∈ (q−1∪q1)∗, temos que a′r(q−1∪q1) e b′r(q−1∪q1) sao infinitos. Usando

isso e que µi(n∗)n∈ω−→ 0, para todo i ∈ 1, ..., m, para cada k ∈ ω fixamos

n0,k, n1,k > k tais que

1. n0,k ∈ a′, n1,k ∈ b′;

2. n0,k, n1,k /∈ (q−1 ∪ q1)∗;

3. µi(n0,k, n1,k∗) < ε−µi((q−1∪q1)∗)2k+1 , para todo i ∈ 1, ..., m.

Tome r = (q−1 ∪ni,k : (i, k) ∈ 0, 1×ω, q1;µ1, ..., µm; ε). As condicoes2 e 3 acima garantem que r ∈ R(A). Tomando a′′ = n0,k : k ∈ ω eb′′ = n1,k : k ∈ ω, repetimos os argumentos anteriores para mostrar que

r n∗ ∩ AGn∈a′′∪b′′−→ ,

isto e,

r n∗ ∩ AG : n ∈ a ∩ n∗ ∩ AG : n ∈ b 6= ∅.

Lema 4.12. Se U, V sao abertos em S(Aω1) tais que U ∩V 6= ∅, entao U ∩Vnao e unitario.

Demonstracao: Sejam U e V P -nomes para abertos disjuntos de S(Aω1)tais que

P U ∩ V 6= ∅.Para α < ω1, sejam Uα e Vα P -nomes tais que

P πα[U ] = Uα, πα[V ] = Vα.

Em M [G], como Aω1 ⊆ P(ω), Aω1 e c.c.c. Logo, se V e aberto de S(Aω1),existe V ′ uniao enumeravel de abertos basicos tal que V = V ′. Assim, no

modelo inicial podemos assumir que (U)G e (V )G sao P -nomes para unioesenumeraveis de abertos basicos. Tomemos γ < ω1 e p ∈ P tais que

p ∀α ≥ γ(U = π−1α [Uα] e V = π−1

α [Vα]).

Seja q ≤ p. Seja z um P -nome para um ponto de S(Aω1) tal que

q z ∈ U ∩ V .Pelo Lema 4.9, existe α > γ, supp(q) tal que P z ∩ Aα ∈ Mα. Tome yum P -nome tal que P y = z ∩ Aα. Como P “n∗ ∩ Aω1 : n ∈ ω edenso em S(Aω1)”, existem P -nomes a e b para subconjuntos disjuntos de ωpertencentes a Mα tais que

q ∀n ∈ a(n∗ ∈ U), ∀n ∈ b(n∗ ∈ V ), n∗ ∩ Aαn∈a−→ y, n∗ ∩ Aα

n∈b→ y.

Seja r ≤ q definido por r(β) = q(β), se β 6= α, e r(α) = (0, 0; δy; 1).Trabalhemos em Mα. Sejam a = aGα, b = bGα e y = yGα, para um P -

generico G. Em R(Aα), nao existe s ≤ r(α) tal que s−1 ∈ z ou s1 ∈ z, poisterıamos |δy|((s−1 ∪ s1)∗) = 1, contradizendo a condicao do forcing. Assim,analogamente a demonstracao do Lema 4.11, concluımos que existem a′ ⊆ ae b′ ⊆ b infinitos tais que

r(α) n∗ ∩ Aα+1n∈a′∪b′−→ < y ∪ gα >

e, repetindo o argumento em 4.11 mas obtendo a′′, b′′ ⊆ q1, mostramos que

r(α) n∗ ∩ Aα+1n∈a′′∪b′′−→ < y ∪ −gα >,

de onde temos

r(α) < y ∪ gα >∈ n∗ ∩ Aα+1 : n ∈ a ∩ n∗ ∩ Aα+1 : n ∈ be

r(α) < y ∪ −gα >∈ n∗ ∩ Aα+1 : n ∈ a ∩ n∗ ∩ Aα+1 : n ∈ b,concluindo que, no modelo inicial M ,

r π−1α+1[< y ∪ gα >] ⊆ U ∩ V , π−1

α+1[< y ∪ −gα >] ⊆ U ∩ V ,ou seja,

r |U ∩ V | ≥ 2.

Lema 4.13. Todo operador em C(S(Aω1)) e multiplicador fraco.

Demonstracao: Trabalhemos em M [G]. Denotaremos S(Aω1) por K. Po-demos identificar cada medida como uma funcao de Aω1 em R.

Suponha que exista T : C(K) −→ C(K) que nao e multiplicador fraco.Seja D = m∗ ∩ Aω1 : m ∈ ω. Temos que D e denso em K. Pelo Lema 4.3existem xn ∈ D distintos tais que, para toda f : K −→ R limitada, T ∗(δxn)−fδxn formam um conjunto nao relativamente fracamente compacto. Tomef : K −→ R definida por f(xn) = T ∗(δxn)(xn), para todo n ∈ ω, ef(x) = 0 nos demais pontos de K. Pelo Corolario 4.6, passando a umasubsequencia, podemos assumir que existem medidas (µn)n∈ω duas a duasdisjuntas e uma sequencia de medidas (λn)n∈ω fracamente convergente paraλ tais que T ∗(δxn) − fδxn = µn + λn.

Considere C =⋂

n∈ω Cµn , onde µn sao P -nomes para µn e Cµn e definidocomo em 4.9. Pelos Lemas 4.9 e 1.25 C e fechado ilimitado em ω1. Tomeα ∈ C.

Tambem podemos assumir que µn|Aα : n ∈ ω nao e fracamente relati-vamente compacto, tomando α suficiente para conter uma sequencia a′n emAω1 tal que |µn(a′n)| > , para algum > 0. Do mesmo modo, usando aProposicao 4.4, assumimos que existe uma sequencia (an)n∈ω de elementosdois a dois disjuntos de Aα tal que ||µn||−|µn|(a∗n) <

90. Alem disso, veremos

que podemos escolher α de modo que

T ∗(δxn)|Aα(xn ∩ Aα) = T ∗(δxn)(xn),

fδxn|Aα(xn ∩Aα) = fδxn(xn)

e

λn|Aα(xn ∩Aα) = λn(xn)

Para isso, usando regularidade das medidas, tomamos an,m, bn,m, cn,m ∈ xn

tais que

|T ∗(δxn)(a∗n,m) − T ∗(δxn)(xn)| < 1

m,

|fδxn(b∗n,m) − fδxn(xn)| < 1

m,

|λn(c∗n,m) − λn(xn)| < 1

m

e tomamos α suficientemente grande para conter todos an,m’s, bn,m’s e cn,m’s.Defina zn = xn ∩Aα, para cada n ∈ ω.

Vejamos que µn|Aα(xn ∩ Aα)n−→ 0. De fato,

µn|Aα(xn ∩ Aα) = µn(xn) = T ∗(δxn)xn − fδxn(xn) + λn(xn).

Pelo Teorema de Dieudonne-Grothendieck, aplicado a vizinhancas de xn demedidas pequenas em relacao a λn, temos que λn(xn)

n−→ 0. Por outrolado temos

T ∗(δxn)xn − fδxn(xn) = T ∗(δxn)xn −∫

xn

fδxn =

T ∗(δxn)xn − f(xn) = T ∗(δxn)xn − T ∗(δxn)xn = 0.

Trabalhando em Mα, como Aα e enumeravel, S(Aα) tem peso enumeravele, portanto, C(S(Aα)) e separavel. Logo, BX∗ , a bola unitaria de X∗, coma topologia fraca∗ e metrizavel (Proposicao 3.24 de [Fa]). Como, pelo Te-orema de Alaoglu, BX∗ e compacto na topologia fraca∗ (Teorema 3.21 de[Fa]), podemos assumir, passando a uma subsequencia, que |µn|Aα

| convergefracamente∗, em M(S(Aα)). Seja µ o limite fraco∗ de |µn|Aα

|.Sejam µn P -nomes para µn e xn P -nomes para xn.Passando a uma subsequencia assumimos que (xn∩Aα)n∈ω e uma sequencia

convergente.Seja ε =

5Tome q ∈ P definido por q(α) = (∅, ∅, µ, ε) e q(β) = p(β) para

β 6= α.Tome r ≤ q de modo a satisfazer as hipoteses do Lema 4.10. Usando o

Lema 4.10 obtemos δ1 > δ2 > 0 tais que

r ∀k∃n1, n2 > k |µn1(gα)| > δ1 > δ2 > |µn2(gα)|, gα ∈ xn1 ∩ xn2

ou

r ∀k∃n1, n2 > k |µn1(g)| > δ1 > δ2 > |µn2(gα)|,−gα ∈ xn1 ∩ xn2 .

Encontramos, entao, subconjuntos infinitos disjuntos aα, bα ∈Mα[Gα] deω tais que |µn(gα)| > δ1, para n ∈ aα, e |µn(gα)| < δ2, para n ∈ bα, e,ou gα ∈ xn, para todo n ∈ aα ∪ bα, ou −gα ∈ xn, para todo n ∈ aα ∪ bα.Refinando aα e bα, podemos assumir que existe L ∈ R tal que, para todon ∈ aα ∪ bα,

|f(xn) − λ| < δ1 − δ28

.

Como convergencia fraca implica convergencia fraca∗, tambem assumimosque

|λn(g∗α) − λ(g∗α)| < δ1 − δ28

,

para todo n ∈ aα ∪ bα. Como (xn ∩ Aα+1)n∈aα e (xn ∩ Aα+1)n∈bα convergema < z ∪ gα >, onde z e o limite de (xn ∩Aα)n∈ω, temos

xn ∩Aα+1 : n ∈ aα ∩ xn ∩ Aα+1 : n ∈ bα 6= ∅

em S(Aα+1). Como aα, bα ∈Mα[Gα] = Mα+1, pelo Lema 4.11 temos

xn : n ∈ aα ∩ xn : n ∈ bα 6= ∅,

em K. Mas, usando que T (χg∗α)(xn) = T ∗(δxn)(g∗α) e fδxn(χg∗α

) = f(xn)temos

T (χg∗α)(xn) = µn(gα)+f(xn)+λn(g∗α) ∈ x ∈ R : |x−L−λ(g∗α)| > δ1−

δ1 − δ24

,

para n ∈ aα e

T (χg∗α)(xn) = µn(gα)+f(xn)+λn(g∗α) ∈ x ∈ R : |x−L−λ(g∗α)| < δ2+

δ1 − δ24

,

para n ∈ bα, de onde temos, pela continuidade de T (χg∗α), que xn : n ∈ aα

e xn : n ∈ bα sao disjuntos, chegando numa contradicao.

Teorema 4.14. E consistente com ZFC que existe um espaco de Banach

C(K) de densidade ω1 < 2ω tal que todo operador em C(K) e da forma

gI + S, onde g ∈ C(K) e S e fracamente compacto.

Demonstracao: Suponha ¬CH no modelo inicial M . Como P e c.c.c.(Lema 4.8), P preserva cardinais e, como (2ω)M ≤ (2ω)M [G], ¬CH e pre-servado em M [G]. Por ser uma uniao de uma famılia de cardinalidade ω1

de algebras enumeraveis, Aω1 tem cardinalidade ω1 em M [G] e, portanto, adensidade de C(K) e igual ao peso de K, que e ω1 < 2ω. Dos Lema 4.13,4.12 e 1.10 e do Teorema 1.11 segue que todo operador em C(K) e da formagI + S, como no enunciado.

Capıtulo 5

Um espaco C(K)indecomponıvel de densidadeω1 < 2ω

Adaptando a construcao do Capıtulo 4 para o caso conexo, obtemos umespaco C(K) indecomponıvel de densidade menor que contınuo. Como noCapıtulo 4, o resultado aqui obtido e independente de ZFC +¬CH, uma vezque o axioma de Martin implica que todo C(K) de densidade menor quecontınuo nao e de Grothendieck e, portanto, contem c0 complementado.

Com isso respondemos parcialmente sobre as possıveis densidades deespacos de Banach C(K) indecomponıveis, embora muito pouco ainda sa-bemos sobre isso. Vimos que C(K) separavel de dimensao infinita nao podeser indecomponıvel, pois teria c0 complementado. Os espacos C(K) inde-componıveis construıdos em [Ko2] e [Pl] tem densidade 2ω. Por resultadosde [Fr] sabemos que e consistente, mesmo assumindo ¬CH, que todo espacoC(K) de densidade menor que contınuo e decomponıvel (vide introducao doCapıtulo 4.) Mostramos, neste capıtulo, que e consistente a existencia deC(K) indecomponıvel de densidade ω1 < 2ω.

Em [Ko3] foi mostrado que existe consistentemente C(K) de densidademaior que contınuo com poucos operadores. Porem ainda nao sabemos seexiste C(K) indecomponıvel de densidade maior que contınuo. Esse pro-blema permanece em aberto mesmo para espacos de Banach em geral. Outroproblema em aberto e se existe um limitante superior para a densidade deespacos de Banach indecomponıveis (da forma C(K) ou geral).

67

68 Um espaco C(K) indecomponıvel de densidade ω1 < 2ω

5.1 Construcao do forcing

Sejam α < ω1 e K ⊆ [0, 1]α compacto sem pontos isolados. Seja Bα a basede abertos de [0, 1]α formada pelas unioes finitas de abertos elementares daforma Πβ<αIβ, onde Iβ e um intervalo aberto, em [0, 1], de extremos racionaise β < α : Iβ 6= [0, 1] e finito. Notamos que Bα e uma base de abertos de[0, 1]α fechada por unioes e interseccoes finitas. Conforme vimos na Secao 1.1,uma medida em [0, 1]α pode ser representada por uma funcao de Bα em R.Uma medida em K pode ser representada por uma medida µ em [0, 1]α talque |µ|([0, 1]α rK) = 0.

Se α < β, interpretamos Bα como subconjunto de Bβ, identificando V ∈Bα com V × [0, 1]βrα ∈ Bβ. Assim, se µ e uma medida em [0, 1]β e ν e umamedida [0, 1]α, dizer que µ|Bα = ν significa que µ(π−1

α [E]) = ν(E), para todoE ⊆ [0, 1]α boreliano.

Definimos um forcingR(K) formado pelas condicoes p = (fp,Ωp,Mp, εp,∆p)tais que

A.1. fp : K −→ [0, 1] contınua;

A.2. Ωp ∈ Bα r [0, 1]α;

A.3. supp(fp) ⊆ K ∩ Ωp;

A.4. Mp e um conjunto finito de medidas positivas em K;

A.5. εp ∈ Q ∩ (0,∞);

A.6. µ(Ωp) < εp, para todo µ ∈Mp;

A.7. ∆p ∈ Bα+1;

A.8. πα[∆p] = Ωp;

A.9. Gr(fp|Ωp∩K) ⊆ ∆p.

A ordem ≤ em R(K) e dada por q ≤ p se, e somente se,

B.1. Ωq ⊇ Ωp;

B.2. Mq ⊇Mp;

B.3. εq ≤ εp;

Um espaco C(K) indecomponıvel de densidade ω1 < 2ω 69

B.4. ∆q ∩ (Ωp × [0, 1]) ⊆ ∆p.

Dado p ∈ R(K) definimos

diam(∆p) = sup|y1 − y2| : ∃x ∈ Ωp((x, y1), (x, y2) ⊆ ∆p),

quando ∆p 6= ∅. Caso contrario convencionamos que diam(∆p) = 0. E facilverificar que, para toda condicao p ∈ R(K) e todos q, r ≤ p, temos

(∗) ∀x ∈ Ωp ∩K |fq(x) − fr(x)| ≤ diam(∆p).

Lema 5.1. Dados p ∈ R(K) e ε > 0 existe q ≤ p tal que fq = fp, Ωq = Ωp,

Mq = Mp, εq = εp e diam(∆q) ≤ ε.

Demonstracao: Usando o Teorema de Tietze, encontramos f : [0, 1]α −→[0, 1] que estende continuamente fp. Seja L o grafico de f . Usando a continui-dade de f , para cada x ∈ L considere Vx ∈ Bα um aberto elementar contendox tal que |f(y) − f(x)| < ε

8, para todo y ∈ Vx. Tome Ix um intervalo aberto

em [0, 1] de extremos racionais tal que

(f(x) − ε

8, f(x) +

ε

8) ∩ [0, 1] ⊆ Ix ⊆ (f(x) − ε

4, f(x) +

ε

4) ∩ [0, 1].

Considere Wx = Vx × Ix ∈ Bα+1. Por construcao, (y, f(y)) ∈ Wx, para todoy ∈ Vx. Logo, Wx : x ∈ [0, 1]α e um recobrimento de L. Como L e fechadoem [0, 1]α+1, por ser grafico de uma funcao contınua, e, portanto, e compacto,podemos tomar F ⊆ [0, 1]α finito tal que L ⊆ ∪Wx : x ∈ F. Defina∆q = ∆p ∩ (∪Wx : x ∈ F). Como L ⊆ ∪Wx : x ∈ F, a condicao A.9 doforcing e satisfeita. Pela construcao de ∆q temos ∆q ∈ Bα+1, satisfazendoA.7. De A.9 e do fato que ∆q ⊆ ∆p seguem A.8 e B.4. Falta mostrarmosque diam(∆q) ≤ ε.

Sejam (x, y1), (x, y2) ∈ ∆q. Sejam x1, x2 ∈ F tais que (x, y1) ∈ Wx1

e (x, y2) ∈ Wx2 . Como y1 ∈ Ix1 temos que |y1 − f(x1)| < ε4, pois Ix1 ⊆

(f(x1) − ε4, f(x1) + ε

4). Como x ∈ Vx1 , temos |f(x) − f(x1)| < ε

8. Logo

|y1 − f(x)| ≤ |y1 − f(x1)| + |f(x1) − f(x)| ≤ ε

4+ε

8<ε

2.

Analogamente concluımos que |y2 − f(x)| < ε2

e, portanto, |y1 − y2| < ε.

Lema 5.2. Seja p ∈ R(K), para K ⊆ [0, 1]α compacto. Sejam Ω ∈ Bα tal

que Ω ⊇ Ωp, f : K −→ [0, 1] contınua com suporte incluıdo em Ω ∩ K tal

que Gr(f |Ωp∩K) ⊆ ∆p, M um conjunto finito de medidas positivas em [0, 1]α

contendo Mp e ε ∈ Q ∩ (0, εp] tal que µ(Ω) < ε, para todo µ ∈ M . Entao

existe q ≤ p tal que fq = f , Ωq = Ω, Mq = M e εq = ε.

Demonstracao: Pelas hipoteses do lema, tudo que precisamos e definir ∆q

de modo a satisfazer A.7, A.8, A.9 e B.4 da condicao do forcing.Observamos que, se V ∈ Bα, entao [0, 1]α r V ∈ Bα. De fato, considere

V = Πβ<αIβ onde Iβ0 e um intervalo aberto em [0, 1] de extremos racionais,para um β0 < α, e Iβ = [0, 1], para todo β 6= β0. Temos que [0, 1]α r V =Πβ<αJβ, onde Jβ = [0, 1], para β 6= β0 e Jβ0 = [0, 1] r Iβ0, que e a uniao dedois intervalos abertos (possivelmente um deles, ou ambos, vazio) em [0, 1]tambem de extremos racionais. Portanto [0, 1]α rV ∈ Bα. Para o caso geral,basta verificar que todo elemento de Bα e uma uniao finita de interseccoesfinitas de abertos dessa forma. Como W r V = W ∩ ([0, 1]α r V ), paraV,W ∈ Bα, teremos tambem W r V ∈ Bα.

Portanto, Ωq r Ωp ∈ Bα. Para concluir o lema basta tomarmos ∆q =(Ωq r Ωp) × [0, 1] ∪ ∆p.

Lema 5.3. Sejam α < ω1 e K ⊆ [0, 1]α compacto. Entao

∀ ε > 0 ∀ p ∈ R(K) ∃ q ≤ p ∀ p1, p2 ≤ q ∀x ∈ Ωq ∩K |fp1(x) − fp2(x)| < ε.

Demonstracao: Sejam ε > 0 e p ∈ R(K). Pelo Lema 5.1 temos queDε = q ∈ P : diam(∆p) < ε e denso em R(K). Logo existe q ≤ p talque diam(∆q) < ε. Por (∗), para todos p1, p2 ≤ p e x ∈ Ωp ∩ K temos|fp1(x) − fp2(x)| < ε.

Seja M um modelo transitivo enumeravel para ZFC, com R(K) ∈ M , eseja G um R(K)-generico sobre M . Observamos que, como RM 6= RM [G],poderemos ter que K nao seja compacto em M [G]. Os abertos da base Bα

tambem podem mudar, mas usaremos a mesma notacao para eles, pois osidentificamos com as extremidades racionais correspondentes. Por exemplo,se K ⊆ [0, 1]2, se definirmos um aberto V = (1

2, 1] × [0, 1] ∈ Bα, usaremos a

mesma notacao V tanto em M quanto em M [G], pois conjuntos finitos deracionais sao absolutos. Mas, como adicionamos reais, teremos V M 6= V M [G].Observamos que V M [G] ∩K = V M ∩K.

Seja p ∈ R(K). Como fp e contınua em um compacto K, no modeloM , fp e uniformemente contınua em M e, portanto, o e em M [G], poisser uniformemente contınua e uma formula absoluta em relacao a modelostransitivos 1. Portanto, em M [G], podemos estender fp continuamente parauma funcao fn : K −→ [0, 1], definindo fp(x) = limn∈ω fp(xn), para xn ∈ K

tal que xnn−→ x . Seja fp um R(K)-nome para fp.

Lembramos a definicao de limite em um sistema dirigido: Se F e um filtroem uma ordem parcial P , (xp)p∈F e uma sequencia de reais indexada em F ,e x ∈ R, dizemos que limp∈F xn = x se para todo ε > 0 existe p ∈ F talque |xq − x| < ε, para todo q ≤ p. Como acontece com sequencias indexadasem ω, e facil verificar que um sistema dirigido (xp)p∈F converge para algumx ∈ R se, e somente se, para todo ε > 0 existe p ∈ F tal que |xq − xr| < ε,para todos q, r ≤ p.

Em M [G], defina ΩG =⋃

p∈G Ωp e fG : ΩG ∩K −→ [0, 1] dada por

fG(x) = limp∈G

fp(x).

A boa definicao de fG segue do Lema 5.3 e da genericidade de G. Seja KG

o fecho do grafico de fG. Iremos denotar por fG e KG os R(K)-nomes parafG e KG, respectivamente.

Lema 5.4. Seja K ⊆ [0, 1]α um compacto sem pontos isolados, no modelo

inicial M , e seja G um R(K)-generico sobre M . Entao, em M [G] temos:

(a) ΩG ∩K e denso em K;

(b) fG e contınua;

(c) Se K e conexo em M , KG e conexo em M [G].

Demonstracao: Em M , mostraremos que, dados x ∈ K, V uma vizi-nhanca aberta de x pertencente a Bα e p ∈ P , existe q ≤ p tal que V ∩Ωq 6= ∅.Isso sera suficiente para concluir (a), usando, em M [G], a genericidade de Ge que K e denso em K.

1Podemos escrever a formula da continuidade uniforme como ∀n ∈ ω r 0 ∃m ∈ω r 0 ∀x, y ∈ K (|x − y| < 1

n→ |f(x) − f(y)| < 1

m), que e logicamente equivalente a

¬∃n(n ∈ ωr0∧¬∃m(m ∈ ωr0∧¬∃x(x ∈ K∧∃y(y ∈ K∧(|x−y| < 1

m∧|f(x)−f(y)| ≥

1

n))))). Como f e K pertencem ao modelo inicial e ω e absoluto, essa formula e ∆0 e,

portanto, absoluta em relacao a M e M [G] (vide Secao B.5).

Se x ∈ Ωp, tome q como p exceto que Ωq ⊇ Ωp preservando a condicaoµ(Ωq) < εp, para todo µ ∈ Mp (e possıvel pela regularidade de µ), e usamoso Lema 5.2 para definir ∆q. Se x /∈ Ωp, tome W ∈ Bα uma vizinhanca abertade x contida em V e disjunta de Ωp. Como V ∩ K e aberto nao-vazio emum compacto sem pontos isolados, V ∩ K e nao-enumeravel. Logo, existey ∈ V tal que µ(y) = 0, para todo µ ∈ Mp. Seja γ = minεp − µ(Ωp) :µ ∈ Mp. Tome U ∈ Bα vizinhanca de y contida em W tal que µ(U) < γ,para todo µ ∈ Mp. Tome U ′ ∈ Bα tal que x ∈ U ′ ⊆ U ′ ⊆ U . Definaq = (fp,Ωp ∪ U ′,Mp, εp,∆q), obtendo ∆q pelo Lema 5.2.

Provaremos item (b). Em M [G], sejam x ∈ ΩG ∩K e ε > 0. Tome p ∈ Gtal que x ∈ Ωp e |fp1(y) − fp2(y)| < ε

3, para todos y ∈ Ωp ∩K e p1, p2 ≤ p

(usamos o Lema 5.3). Usando a continuidade de fp, tome V ⊆ Ωp umavizinhanca aberta de x tal que |fp(y) − fp(x)| < ε

3, para todo y ∈ V ∩ K.

Teremos, para todo q ≤ p, |fq(y)− fq(x)| ≤ |fq(y)− fp(y)|+ |fp(y)− fp(x)|+|fp(x)− fq(x)| < ε, concluindo que |fG(y)− fG(x)| ≤ ε (pois podemos tomarq ≤ p, tal que |fG(y)−fq(y)| e |fG(x)−fq(x)| sao suficientemente pequenos),provando a continuidade de fG em x.

Para provarmos item (c) primeiro veremos que, se K e conexo em Mentao K e conexo em M [G]. De fato, se K nao e conexo, pela compacidadede K existem U e V abertos de [0, 1]α tais que K ∩ U ∩ V = ∅, K ⊆ U ∪ V ,K ∩ U 6= ∅ e K ∩ V 6= ∅. Logo K ∩ U ∩ V = ∅, K ⊆ U ∪ V , K ∩ U 6= ∅e K ∩ V 6= ∅. Pela compacidade de K podemos assumir que U, V ∈ Bα.Portanto, como elementos de Bα sao determinados por coordenadas racionais,K∩UM ∩V M = ∅, K ⊆ UM ∪V M , K∩UM 6= ∅ e K∩V M 6= ∅, contradizendoa conexidade de K em M .

Mostrada a conexidade de K mostraremos que para todos x ∈ KrΩG, Vvizinhanca aberta basica de x, r ∈ [0, 1] ∩Q e n ∈ ω, existe y ∈ V ∩K ∩ ΩG

tal que |fG(y)− r| < 1n. Isso implicara que π−1

KG,K(x) = x× [0, 1]. Podemosassumir que x ∈ K, tomando x′ ∈ V ∩ K r ΩG, no lugar de x. Notemosque podemos assumir que V ∩K r ΩG 6= ∅, pois, se V ∩K ⊆ ΩG, podemosassumir que V M ⊆ Ωp, para algum p ∈ G, de onde terıamos x ∈ ΩG.

Trabalhando em M , dados x ∈ K, V ∈ Bα vizinhanca de x, r ∈ [0, 1]∩Q ep ∈ R(K), mostraremos que existe q ≤ p tal que diam(∆q) ≤ 1

ne, ou x ∈ Ωq,

ou existe y ∈ V ∩Ωq tal que |fq(y)− r| < 1n. Se x ∈ Ωp, usando regularidade

das medidas encontramos um aberto W tal que Ωp ⊆ W e µ(W ) < εp, paratodo µ ∈ Mp. Tome Ωq ∈ Bα tal que Ωp ⊆ Ωq ⊆ Ωq ⊆W , Mq = Mp, εq = εp

e fq = fp e usamos Lemas 5.2 e 5.1 para obtermos ∆q tal que q ∈ R(K) e

diam(∆q) <1n. Se x /∈ Ωp, tomamos W ⊆ V vizinhanca aberta de x disjunta

de Ωp. Seja y ∈ W tal que µ(y) = 0, para todo µ ∈ Mp. Seja U umavizinhanca aberta de y contida em W tal que µ(U) < εp − µ(Ωp), para todoµ ∈ Mp. Defina Ωq = Ωp ∪ U e, usando o Lema de Urysohnn, construafq : K −→ [0, 1] com suporte contido em Ωq tal que fq|Ωp = fp e fq(y) = r.Defina εq = εp e Mq = Mp e usamos Lemas 5.1 e 5.2 para obtermos ∆q talque diam(∆q) ≤ 1

n.

Com isso concluımos que, em M [G], se x ∈ K r ΩG, entao π−1KG,K(x) =

x×[0, 1]. Pelos itens (a) e (b), para x ∈ ΩG temos π−1KG,K(x) = (x, fG(x)).

Logo π−1KG,K(x) e conexo, para todo x ∈ K. Suponha que KG nao seja conexo.

Sejam F1 e F2 fechados disjuntos nao-vazios em KG tais que F1 ∪ F2 = KG.Pela conexidade de K, π[F1] ∩ π[F2] 6= ∅, em K. Tome x ∈ π[F1] ∩ π[F2].Temos que π−1(x) e um compacto conexo em KG, mas π−1(x)∩F1 e π−1(x)∩F2 sao fechados nao-vazios disjuntos em π−1(x) cuja uniao e todo π−1(x),contradizendo a conexidade de π−1(x).

Do item a) do Lema 5.4 conluımos que πα[KG] = K.

Lema 5.5. Para qualquer K ⊆ [0, 1]α compacto, para α < ω1, o forcing

R(K) e c.c.c.

Demonstracao: Seja (pξ : ξ < ω1) uma famılia nao-enumeravel de condicoesde R(K). Podemos assumir que Ωpξ

, εpξe ∆pξ

sao constantes, em relacao aξ, e serao denotados, respectivamente, por Ω, ε e ∆. Dados ξ, η < ω1 definap = (fpξ

,Ω,Mpξ∪Mpη , ε,∆). E facil verificar que p ∈ R(K) e p ≤ pξ, pη.

Lema 5.6. Sejam ε > 0, p ∈ R(K) tal que εp ≤ ε, µ ∈ Mp e K ⊆[0, 1]α, para α < ω1. Sejam (µn)n∈ω uma sequencia em M([0, 1]α) e (xn)n∈ω

uma sequencia de pontos de K tais que µn(xn)n−→ 0, (|µn|)n∈ω converge

fracamente∗ para µ, µn : n ∈ ω nao e 5ε-fracamente relativamente com-

pacto, e existem abertos An ∈ Bα dois a dois disjuntos tais que ||µn|| −|µn|(An) < ε

18||µn||.

Entao existem δ1 > δ2 > 0 tais que, para todo k ∈ ω existem q ≤ p e

n1, n2 > k tais que

1. |∫

Kfqdµn1| > δ1;

2. |∫

Kfqdµn2| < δ2;

3. |µn1|(K r Ωq) <δ1−δ2

3;

4. |µn2|(K r Ωq) <δ1−δ2

3;

5. xn1 , xn2 ∈ Ωq, |fq(xn1) − fq(xn2 | < 1k;

6. diam(∆q) ≤ 1k.

Demonstracao: Pela Definicao 4.1, passando a uma subsequencia pode-mos assumir que existe uma sequencia de abertos disjuntos (Wn)n∈ω tal que|µn(Wn)| > 5ε, para todo n ∈ ω.

Como (µn)n∈ω nao e fracamente convergente (pelo Lema 4.2), ||µn|| naoconverge a 0. Passando a uma subsequencia assumimos que ||µn|| convergea r > 0.

Tomamos δ1 = 5ε3r e δ2 = 3ε

2r. Para simplificar a notacao, assumiremos

que r = 1, substituindo µn por µn

r, para cada n, e µ por µ

r. Passando a uma

subsequencia e usando a hipotese, assumimos que |µn|(An) > 1 − ε18

, paratodo n.

Fixe um δ > 0 tal que δ < εp−ν(Ωp)6

, para todo ν ∈ Mp. Existe tal δ peladefinicao de R(K). Usando Lema de Rosenthal e a hipotese de que µn(xn)converge a 0, passando a uma subsequencia, assumimos que |µn(xm)| < δ,para todos n,m ∈ ω.

Fixemos k ∈ ω. Como |µn| converge fracamente∗ para µ, e µ(Ωp) < εtomamos k0 ≥ k tal que, para todo n ≥ k0,

|µn|(Ωp) < ε

e, portanto,

|∫

fpdµn| < ε.

Tomando Un = Wn r Ωp temos, para todo n > k0,

|µn(Un)| > 5ε− ε = 4ε.

Mas|µn|(K rAn) <

ε

18,

de onde segue que |µn(Un ∩An)| > 3ε. Defina Bn = Un ∩ An.Como An’s sao dois a dois disjuntos, podemos tomar k1 ≥ k0 tal que, para

todo n > k1, µ(An) < δ e ν(An) < δ, para todo ν ∈ Mp. Assim, observando

que ν(Ωp) ≤ εp − 4δ, para todo ν ∈Mp, teremos ν(Ωp ∪An ∪Aj) < εp − 2δ,para todos n, j > k1 e ν ∈Mp.

Iremos cuidar do item 5. Passando a uma subsequencia, assumimos quexn converge a um x ∈ K. Se x ∈ Ωp podemos assumir que x ∈ Ωp, estendendop para p′ tal que Ωp ⊆ Ωp′ (isso pode ser feito usando regularidade dasmedidas). Nesse caso, passando a uma subsequencia, assumimos que xn ∈ Ωp,para todo n, e defina Cn = ∅. Se x /∈ Ωp, assumimos que, para todo n,xn /∈ Ωp e |ν(xn)| < δ, para todo ν ∈ Mp. Tome Cn ∈ Bα disjunto de Ωp

tal que xn ∈ Cn, ν(Cn) < δ, para todo ν ∈ Mp, e |µn|(Cm) < δ, para todos

n,m ∈ ω. E possıvel escolher tais Cn’s, pois assumimos que µn(xm) < δ,para todos n,m.

Usando a continuidade de fp achamos n1, n2 > k1 dois inteiros distintostais que |fp(xn1) − fp(xn2)| < 1

k. Defina

Ωq = Ωp ∪ An1 ∪An2 ∪ Cn1 ∪ Cn2.

Como |µn(Bn)| > 3ε, pela regularidade de µn achamos um fechado Fn ⊆Bn tal que |µn(Fn)| > 3ε.

Tome f : K −→ [0, 1] contınua tal que f |Fn1= 1 e f |KrBn1

= fp|KrBn1e

g : K −→ [0, 1] contınua tal que g|Kr(Cn1∪Cn2 ) = 1 e g(xn1) = g(xn2) = 0, nocaso Cn 6= ∅, e g = 1 caso contrario. Defina fq = f · g, Mq = Mp, εq = εp econstrua ∆q como no lema 5.2. Pelo Lema 5.1 assumimos que diam(∆q) <

1k.

E facil ver que q ∈ R(K) e fq|Ωp = fp|Ωp, pois Bn∩Ωp = ∅ Logo q ≤ p. Temos

|∫

fqdµn1| ≥ |µn1(Fn1)| − |µn1|(Ωp) − |µn1|(Cn1 ∪ Cn2) > 3ε− ε− 2δ ≥ 5ε

3e

|∫

fq dµn2| ≤ |µn2(Bn1)| + |∫

fp dµn2| + |µn2|(Cn1 ∪ Cn2)

<ε

18+ ε+ 2δ <

3ε

2.

Como An1 ∪ An2 ⊆ Ωq, temos

|µn|(K r Ωq) <ε

18=δ1 − δ2

3,

para n ∈ n1, n2. Concluımos, portanto, os itens 1 a 4. O item 5 segue daescolha de k1 e k2, no caso x ∈ Ωp, pois teremos fq(xn) = fp(xn). No casox /∈ Ωp, isto e, Cn 6= ∅, o item 5 segue de que fq(xn1) = fq(xn2) = 0. O item6 e segue da construcao de ∆q.

5.2 Iteracao do forcing

Construiremos indutivamente forcings (Pα)α≤ω1 juntamente com Pα-nomes(Kα)α≤ω1 tais que Pα “Kα e compacto de peso enumeravel”. Tome P0 umforcing trivial e K0 = [0, 1]2. Definidos Pα e Kα, definimos

Pα+1 = Pα ∗ Qα,

onde Qα e um Pα-nome tal que

Pα Qα = R(Kα),

e definimos Kα+1 um Pα+1-nome tal que Pα+1 Kα+1 = (Kα)Gα. Se α ≤ ω1

e um ordinal limite e (Pβ)β<α e (Kβ)β<α estao definidos, definimos Pα aiteracao com suporte finito de (Pβ)β<α e Kα tal que

Pα Kα = lim←

(Kβ)β<α.

Seja P = Pω1 . Em M [Gα] considere Kα = (Kα)Gα .Pela definicao temos Kα ⊆ [0, 1]α, para α ≥ ω, e Kα ⊆ [0, 1]α+2, se

α < ω. Para termos uma notacao uniforme, se α < ω e x ∈ Kγ, para γ > α,denotamos x|α+2 por x|α.

Como P e uma iteracao com suportes finitos de forcings c.c.c. P tambeme c.c.c. e portanto, preserva cardinais.

Em Kα definimos (qn|α)n∈ω ⊆ Kα indutivamente, em Mα. Em M , fixa-mos qn(0) : n ∈ ω uma enumeracao dos pares de racionais em [0, 1]2. Defi-nido qn(α) : n ∈ ω emMα, emMα+1 definimos qn|(α+1) = (qn(α), fG(qn|α)),se qn|α ∈ ΩGα

, e qn|(α+ 1) = (qn|α, 0), caso contrario. Para α limite defini-mos qn|α =

⋃

β<α qn(β). Seja qn(α) um Pα-nome para qn|α. Seja qn = qn(ω1)em Mω1 .

Lema 5.7. Em M [G], o conjunto qn : n ∈ ω e denso em Kω1.

Demonstracao: Por hipotese qn|0 : n ∈ ω e denso em K0. Se qn|β :n ∈ ω e denso em Kβ, para todo β < α e α um ordinal limite, entao, em Mα,qn|α : n ∈ ω e denso em Kα. De fato, se existe V ∈ Bα nao-vazio tal que Ve disjunto de qn|α : n ∈ ω, como V e uniao finita de abertos elementares,existe β < α tal que πβ[V ] e aberto nao-vazio em Kβ , contradizendo queqn|β : n ∈ ω e denso em Kβ.

Suponha que qn|α : n ∈ ω e denso em Kα. Seja V aberto nao-vaziode Kα+1. Como Gr(fGα

) e denso em Kα+1 entao V intercepta Gr(fGα) =

π−1(ΩGα), que e aberto em Kα+1. Logo, tomando essa interseccao no lugar

de V , assumimos que V ⊆ Gr(fGα). Como, pelo Lema 5.4, fGα

e contınua

em ΩGα, temos que π−1

Kα+1,Kαe um homeomorfismo, quando restrito a ΩGα

,de onde segue que πKα+1,Kα[V ] e aberto em Kα e, portanto, ira interceptarqn|α : n ∈ ω, concluindo que V intercepta qn|(α+ 1) : n ∈ ω.

Lema 5.8. Em M [G], o espaco Kω1 e conexo.

Demonstracao: Procedemos por inducao. Para α = 0 temos Kα conexo,em M0, pois K0 = [0, 1]2. Se Kα e conexo em Mα, pelo Lema 5.4 temos queKα+1 e conexo em Mα+1. Seja α ≤ ω1 um ordinal limite e suponha que, emMβ , Kβ e conexo, para todo β < α. Suponha que Kα nao seja conexo. Pelacompacidade de Kα existem U, V ∈ Bα tais que Kα∩U ∩V = ∅, Kα ⊆ U∪V ,Kα ∩ U 6= ∅ e Kα ∩ V 6= ∅. Como elementos de Bα sao determinados porfinitas coordenadas de α, existe β < α tal que πβ[U ] e πβ [V ] sao abertos taisque U = π−1

β [πβ[U ]] e V = π−1β [πβ [V ]], o que daria que Kβ, e, portanto, Kβ,

nao e conexo.

Lema 5.9. Sejam µ um P -nome para uma medida em Kω1 e seja z um

P -nome para um ponto de Kω1. Entao os seguintes conjuntos sao fechados

ilimitados em ω1.

a) Cµ = α < ω1 : P µ|Bα ∈Mα e |µ||Bα= |µ|Bα

|;b) Cz = α < ω1 : P z|α ∈Mα

Demonstracao: Analoga a do Lema 4.9

Se G e um R(K)-generico sobre M , em M [G] definimos f ′G : KG −→ [0, 1]por f ′G(x, t) = t, para (x, t) ∈ KG ⊆ K × [0, 1]. Em M tomamos f ′G umR(K)-nome para f ′G. Observamos que

(∗∗) f ′G|KG∩ΩG×[0,1] = fG π,uma vez que π−1

KG,K(x) = fG(x), para x ∈ ΩG.

Seja G um P -generico sobre M e seja α < ω1. Em M [G] definimos

f ′Gαa extensao contınua de f ′Gα

em KM [G]

α , que existe porque f ′Gαe

uniformemente contınua em Kα. Seja f ′Gαum P -nome para f ′Gα

.

Lema 5.10. Sejam ε > 0 racional, α < ω1 e p ∈ P tais que εp(α) ≤ εe µ ∈ Mp, para µ um Pα-nome. Sejam (µn)n∈ω e (xn)n∈ω sequencias de

P -nomes tais que p forca:

1. µn ∈M(Kω1);

2. xn ∈ Kω1;

3. µn|Bα ∈Mα;

4. xn|α ∈Mα;

5. |µn|Bα| = |µn||Bα

;

6. µn|Bα(xn|α)n−→ 0;

7. |µn|Bα| converge fracamente∗ para µ;

8. µn|Bα : n ∈ ω nao e 5ε-fracamente relativamente compacto;

9. existe uma sequencia (An)n∈ω ⊆ Bα dois a dois disjuntos tal que ||µn||−|µn|(An) < ε

18||µn||, para todo n.

Entao existem δ1, δ2 > 0 tais que p ∀k ∈ ω∃n1, n2 > k|∫

Kf ′Gα

πα+1dµn1| > δ1, |∫

Kf ′Gα

πα+1dµn2| < δ2 e |fGα(xn1 |α) −

fGα(xn2 |α)| < 2

k.

Demonstracao: Seja G um P -generico sobre um modelo inicial M tal quep ∈ G. Em M [G], sejam µn = (µn)G e xn = (xn)G. Em M [Gα] tomeµ = µGα

.Sabendo, pela hipotese, que µn|Bα ∈ M [Gα] e xn|α ∈ M [Gα], para todo

n, trabalhemos em M [Gα]. Pelo Lema 5.6, existem δ′1 > δ′2 > 0 tais quepara todos p′ ≤ p(α) ∈ R(Kα) e k ∈ ω, existem n1, n2 > k e q ≤ p′ tais

que |∫

fqd µn1|Bα| > δ′1, |

∫

fqd µn2|Bα| < δ′2, |µni|Bα

|(Kα r Ωq) <δ′1−δ′2

3, para

i = 1, 2. Pelo Lema 5.1 podemos assumir que

diam(∆q) ≤ min|∫

fqd µn1|Bα| − δ′1||µn1|Bα ||

,δ′2 − |

∫

fqd µn2|Bα|||µn2|Bα||

.

Portanto, para todo r ≤ q, temos

|∫

Ωq

fr d µn1|Bα| > |

∫

fqd µn1| − diam(∆q) · |µn1|Bα|(Ωq) ≥ δ′1

e

|∫

Ωq

fr d µn2| < |∫

fqd µn2|Bα| + diam(∆q) · |µn2|Bα

|(Ωq) ≤ δ′2.

Observamos que, como µn|Bα ∈M [Gα], em M [G] temos∫

ΩM[G]∩K

fr d µn|Bα =

∫

ΩM∩K

fr d µn|Bα,

para todo Ω ∈ Bα e portanto, em M [G],

(1) |∫

Ωr∩Kα

fr d µn1|Bα | > δ′1,

(2) |∫

Ωr∩Kα

fr d µn2|Bα| < δ′2

e

(3) |µni|Bα |(Kα r Ωr) <δ′1 − δ′2

3,

para i ∈ 1, 2. Notemos que, aqui, fr representa a extensao contınua de

fr em Kα em KM [G]

α , e nao em KM [Gα+1]

α , conforme a definicao anterior. Damesma forma, interpretamos fGα

como uma funcao contınua de ΩGα∩

KM [G]

α+1 em [0, 1].

As desigualdades (1) e (2) valem tambem para fGαno lugar de fr, pois,

pela definicao de fGα, para todos x ∈ ΩGα

e ε′ > 0 existe r ≤ p(α) tal quepara todo s ≤ r temos |fG(x) − fs(x)| < ε′.

De (3) e da hipotese 5 concluımos que |µni|(K r Ωr × [0, 1]ω1rα) <

δ′1−δ′23

,para i ∈ 1, 2, e de (1) e (2) para fG e de (∗∗) concluımos que

|∫

K∩Ωr×[0,1]ω1rα

f ′Gα πα+1 d µn1| > δ′1

e

|∫

K∩Ωr×[0,1]ω1rα

f ′Gα πα+1 d µn2| < δ′2.

Logo

|∫

K

f ′Gα πα+1 d µn1| > δ′1 −

δ′1 − δ′23

e

|∫

K

f ′Gα πα+1 d µn2| < δ′2 +

δ′1 − δ′23

.

Assim, tomando δ1 = δ′1 − δ′1−δ′23

e δ2 = δ′2 +δ′1−δ′2

3temos que δ1 > δ2 > 0

satisfazem a tese do lema. A segunda parte do lema segue dos itens 5 e 6 doLema 5.6.

Lema 5.11. Sejam a, b ∈Mα subconjuntos disjuntos de ω tais que qn|α : n ∈ a∩qn|α : n ∈ b 6= ∅. Entao qn : n ∈ a ∩ qn : n ∈ b 6= ∅, em Mω1.

Demonstracao: Observamos que, se qn|β : n ∈ a ∩ qn|β : n ∈ b = ∅,para β um ordinal limite, existe γ < β em que a separacao acontece, no mo-deloMβ. Portanto, para mostrar o lema, e suficiente mostrar que qn|(α + 1) : n ∈ a∩qn|(α+ 1) : n ∈ b 6= ∅, e prosseguimos por inducao.

Sejam α < ω1 e a, b ⊆ ω como na hipotese do lema. Trabalharemos emMα. Mostraremos entao que

R(Kα) qn|(α+ 1) : n ∈ a ∩ qn|(α + 1) : n ∈ b 6= ∅, em Kα+1.

Seja p ∈ R(Kα). Mostraremos que existe q ≤ p tal que q qn|(α + 1) : n ∈ a∩qn|(α+ 1) : n ∈ b 6= ∅.

Usando que Kα e metrizavel e passando a uma subsequencia, assumimosque existe z ∈ Kα tal que qn|α converge a z.

Consideramos dois casos. Se existe q ≤ p tal que z ∈ Ωq, usandoregularidade das medidas em Mq podemos assumir que z ∈ Ωq. Como

fGαe contınua em ΩGα

, e R(Kα) Kα+1 = Gr(fGα), temos que q

qn|(α+ 1) : n ∈ a ∩ qn|(α + 1) : n ∈ b 6= ∅.No segundo caso, para todo q ≤ p temos z /∈ Ωq . Sejam q ≤ p e k ∈ ω.

Tome V vizinhanca aberta de z disjunta de Ωq. Como µ(qn|α)n∈ω−→ 0, para

todo µ ∈ Mq, podemos achar n1, n2 > k e abertos disjuntos U1, U2 ⊆ V taisque

1. n1 ∈ a, n2 ∈ b;

2. qn1|α ∈ U1, qn2 |α ∈ U2;

3. µ(U1 ∪ U2) < εq − µ(Ωq), para todo µ ∈Mq.

Tome Ωr = Ωq ∪ U1 ∪ U2, fr = fq, εr = εq, Mr = Mq e ∆r tal quer ∈ R(Kα) e diam(∆r) ≤ 1

k. Pelas condicoes acima temos que r ∈ R(Kα),

r ≤ q e, para todo i ∈ 1, 2,

r qni|α ∈ ΩGα

e fGα(qni

|α) <1

k

mostrando que

p (z, 0) ∈ qn|(α + 1) : n ∈ a ∩ qn|(α+ 1) : n ∈ b.

Lema 5.12. Se U, V sao abertos disjuntos em Kω1 tais que U ∩V 6= ∅, entao

U ∩ V nao e unitario.

Demonstracao: Sejam U e V P -nomes para abertos disjuntos de Kω1 taisque

P U ∩ V 6= ∅.Para α < ω1, sejam Uα e Vα P -nomes tais que

P πα[U ] = Uα, πα[V ] = Vα.

Como Kω1 e separavel, se V e aberto de Kω1 existe V ′ uniao enumeravelde abertos basicos tal que V = V ′. Assim, podemos assumir que, em M [G],(U)G e (V )G sao unioes enumeraveis de abertos basicos. Tomemos γ < ω1 ep ∈ P tais que

p ∀α ≥ γ(U = π−1α [Uα] e V = π−1

α [Vα]).

Seja q ≤ p. Seja z um P -nome para um ponto de K tal que

q z ∈ U ∩ V .

Tome α > γ, supp(q) tal que q z|α ∈Mα, o que e possıvel pelo Lema 5.9.Pelo Lema 5.7, e como Kα e metrizavel, existem P -nomes a e b para

subconjuntos disjuntos de ω tais que q a, b ∈Mα e

q qn : n ∈ a ⊆ U , qn : n ∈ b ⊆ V , qn|α n∈a−→ z|α, qn|α n∈b−→ z|α.

Seja r ≤ q definido por r(β) = q(β), se β 6= α, fr(α) a funcao identica-mente nula, Ωr(α) = ∅, Mr(α) = δz|α, ∆r(α) = ∅ e εr(α) = 1.

Em M [Gα], iremos denotar (z|α)Gα por z|α.Em R(Kα), no modelo Mα, nao existe s ≤ r(α) tal que z|α ∈ Ωs, pois

terıamos δz|α(Ωs) = 1. Assim, analogamente a demonstracao do Lema 5.11,concluımos que, em Mα,

r(α) (z|α, 0) ∈ qn|(α+ 1) : n ∈ a ∩ qn|(α + 1) : n ∈ b,

onde a = aGα e b = bGα .Retomando o ultimo paragrafo da demonstracao do Lema 5.11, pode-

mos modifica-lo tomando fr tal que fr(qi|α) = 1, para i ∈ n1, n2 efr|Kr(U1∪U2) = fq|Kr(U1∪U2), ao inves de fr = fq. Construindo assim r(α) ∈R(Kα) em M [Gα] teremos

r(α) qni|α ∈ ΩGα

e |fGα(qni

|α) − 1| < 1

k

e, portanto,

r(α) (z|α, 1) ∈ qn|(α+ 1) : n ∈ a ∩ qn|(α + 1) : n ∈ b.

Concluımos, entao, que

r π−1α+1[(z|α, 0)] ⊆ U ∩ V , π−1

α+1[(z|α, 1)] ⊆ U ∩ V

e, portanto,

r |U ∩ V | ≥ 2.

Lema 5.13. Todo operador em C(Kω1) e multiplicador fraco.

Demonstracao: Sejam p ∈ P e G um P -generico sobre um modelo inicialM . Trabalhemos em M [G]. Seja K = Kω1. Identificaremos M(K) com oconjunto µ ∈M([0, 1]ω1) : |µ|([0, 1]ω1 rK) = 0. Consideramos B = Bω1 .

Suponha que exista T : C(K) −→ C(K) que nao e multiplicador fraco.Pelos Lemas 4.3 e 5.7 existem xn ∈ qm : m ∈ ω distintos tais que, paratoda funcao boreliana f : K −→ R limitada, T ∗(δxn) − fδxn : n ∈ ωnao e relativamente fracamente compacto. Tome f : K −→ R definida por

f(xn) = T ∗(δxn)(xn), para todo n ∈ ω, e f(x) = 0 nos demais pontos deK. Passando a uma subsequencia assumimos que f(xn) converge a L ∈ R.Pelo Corolario 4.6 existem sequencias de medidas (µn)n∈ω e (λn)n∈ω taisque (µn)n∈ω sao duas a duas disjuntas, (λn)n∈ω converge fracamente paraλ ∈M(K) e

T ∗(δxn) − fδxn = µn + λn.

Sejam µn P -nomes para µn e xn P -nomes para xn.Considere C =

⋂

n∈ω Cµn , onde Cµn e definido como no Lema 5.9. PelosLemas 1.28 e 5.9 C e fechado e ilimitado em ω1. Tome α ∈ C tal que, paratodo n ∈ ω, ||µn|Bα || = ||µn||. Para mostrar que existe tal α, considere, paracada par de naturais (n,m) um a(µn,m) ∈ B tal que |µn(a(µn,m))| > ||µn||− 1

m.

Seja β(µn,m) tal que a(µn,m) ∈ Bβ(µn,m). Tomando β o supremo de todos β(µn,m)

achamos α > β, supp(p) pertencente a C.Tambem podemos assumir que µn|Bα : n ∈ ω nao e fracamente relativa-

mente compacto em M(Kα), tomando α suficiente para conter uma sequenciaWn em B tal que |µn(Wn)| > , para algum > 0. Da mesma forma, usandoa Proposicao 4.4 e que (µn)n∈ω sao duas a duas disjuntas, assumimos que exis-tem (An)n∈ω ⊆ Bα dois a dois disjuntos e tais que ||µn||−|µn|(An) <

90||µn||.

Assumimos ainda que

T ∗(δxn)|Bα(xn|α) = T ∗(δxn)(xn),

fδxn|Bα(xn|α) = fδxn(xn)

eλn|Bα(xn|α) = λn(xn).

Para isso, usando regularidade das medidas, tomamos an,m, bn,m, cn,m ∈ Bcontendo xn tais que

|T ∗(δxn)(an,m) − T ∗(δxn)(xn)| < 1

m,

|fδxn(bn,m) − fδxn(xn)| < 1

m,

|λn(cn,m) − λn(xn)| < 1

m

e tomamos α suficientemente grande para que Bα contenha todos an,m’s,bn,m’s e cn,m’s.

Observem que µn|Bα(xn|α)n−→ 0, pois

µn|Bα(xn|α) = µn(xn) = T ∗(δxn)(xn) − fδxn(xn) + λn(xn) =

T ∗(δxn)(xn) −∫

xn

fδxn + λn(xn) =

T ∗(δxn)(xn) − f(xn) + λn(xn) = λn(xn),

que converge a 0, pois, pelo Teorema de Dieudonne-Grothendieck, para todasequencia (vn)n∈ω de vizinhancas duas a duas disjuntas de xn, λn(Vn) con-verge a 0.

Trabalhando em Mα, como Kα tem peso enumeravel, C(Kα) e separavel.Logo, BC(Kα)∗ , a bola unitaria de C(Kα)∗, com a topologia fraca∗ e metrizavel(Proposicao 3.24 de [Fa]). Como, pelo Teorema de Alaoglu, BC(Kα)∗ e com-pacto na topologia fraca∗, podemos assumir, passando a uma subsequencia,que |µn|Bα| converge fracamente∗, em M(Kα). Seja µ o limite fraco∗ de |µn|Bα|.

Passando a uma subsequencia assumimos que (xn|α)n∈ω e uma sequenciaconvergente.

Seja ε =

5. Tome q ∈ P definido por q(α) = (0, ∅, µ, ε, ∅) e q(β) = p(β)

para β 6= α.Tome r ≤ q de modo a satisfazer as hipoteses do Lema 5.10. Defina

fα = f ′Gα πα+1

e seja fα um P -nome para fα. Como fα(xn) = fGα(xn|α), para todo n,

usando o Lema 5.10 obtemos δ1 > δ2 > 0 tais que

r ∀k∃n1, n2 > k |∫

fαd µn1| > δ1 > δ2 > |∫

fαd µn2|,

xn1 , xn2 ∈ ΩGα, |fα(xn1) − fα(xn2)| <

2

k.

Encontramos, entao, subconjuntos infinitos disjuntos aα, bα ∈Mα[Gα] deω tais que |

∫

fαd µn| > δ1, para n ∈ aα, e |∫

fαd µn| < δ2, para n ∈ bα, e

limn∈aα

fα(xn) = limn∈bα

fα(xn).

Chamaremos o limite acima de L′.

Como λn converge fracamente a λ,∫

fαdλnn−→

∫

fαdλ. Refinando aα ebα podemos assumir que, para todo n ∈ aα ∪ bα,

|∫

fαdλn −∫

fαdλ| <δ1 − δ2

8.

Refinando novamente aα e bα, podemos assumir que, para todo n ∈ aα∪bα,

|f(xn) − L| < δ1 − δ28

,

lembrando que L e o limite de f(xn). Como (xn|α+1)n∈aα e (xn|α+1)n∈bα

convergem a (z, L), onde z e o limite de (xn|α)n∈ω, temos que

xn|α+1 : n ∈ aα ∩ xn|α+1 : n ∈ bα 6= ∅em Kα+1. Como aα, bα ∈ Mα[Gα] = Mα+1 e xn : n ∈ ω ⊆ qm : m ∈ ω,pelo Lema 5.11 temos

xn : n ∈ aα ∩ xn : n ∈ bα 6= ∅,em K.

Mas, usando que T (fα)(xn) =∫

fαd T∗(δxn) e fδxn(fα) = f(xn), to-

mando

U = x ∈ R : |x− L−∫

fαdλ| > δ1 −δ1 − δ2

4

e

V = x ∈ R : |x− L−∫

fαdλ| < δ2 +δ1 − δ2

4

temos que U e V sao abertos disjuntos de R e

T (fα)(xn) =

∫

fαd µn + f(xn) +

∫

fα dλn ∈ U

para n ∈ aα e

T (fα)(xn) =

∫

fαd µn + f(xn) +

∫

fα dλn ∈ V

para n ∈ bα, o que daria, pela continuidade de T (fα), que xn : n ∈ aα exn : n ∈ bα sao disjuntos, chegando numa contradicao.

Teorema 5.14. E consistente com ZFC que existe um espaco de Banach

C(K) de densidade ω1 < 2ω indecomponıvel tal que todo operador em C(K)e da forma gI + S, para g ∈ C(K) e S fracamente compacto.

Demonstracao: Suponha ¬CH no modelo inicial M . Como P e c.c.c., Ppreserva cardinais e, como (2ω)M ≤ (2ω)M [G], ¬CH e preservado em M [G].Por ser um subespaco de [0, 1]ω1, Kω1 tem peso ω1 em M [G] e, portanto,a densidade de C(Kω1) e ω1 < 2ω. Dos Lemas 5.13, 5.12 e 1.10 e do Te-orema 1.11 segue que todo operador em C(Kω1) e da forma gI + S, parag ∈ C(Kω1) e S fracamente compacto. Pela conexidade de Kω1 (Lema 5.8) epelo Lema 1.12 segue que C(Kω1) e indecomponıvel.

Apendice A

Representacao de Stone

Nos Capıtulos 3 e 4 construımos espacos compactos 0-dimensionais comoespacos de Stone de algebras de Boole. Neste apendice iremos descrevera dualidade de Stone, que associa biunivocamente algebras de Boole comespacos booleanos, isto e, os espacos compactos totalmente desconexos.

A.1 Algebras de Boole

Definicao A.1. Uma algebra de Boole e uma estrutura A = (A,∧,∨,−, 0, 1),onde ∧ e ∨ sao operacoes binarias em A, − e uma operacao unaria e 0 e 1sao dois elementos distintos de A, que satisfaz, para todo x, y, z ∈ A:

B1 x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z; (associatividade)

B1′ x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z;

B2 x ∨ y = y ∨ x; (comutatividade)

B2′ x ∧ y = y ∧ x;

B3 x ∨ (x ∧ y) = x; (absorcao)

B3′ x ∧ (x ∨ y) = x;

B4 x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z); (distributividade)

B4′ x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z);

B5 x ∨ (−x) = 1; (complementacao)

87

88 Representacao de Stone

B5′ x ∧ (−x) = 0.

Dada uma algebra de Boole A = (A,∧,∨,−, 0, 1), chamamos o conjuntoA de domınio de A. Por abuso de notacao, eventualmente denotaremos aalgebra A pelo seu domınio A.

Definicao A.2. Dadas duas algebras de Boole A e B, de domınios A e B,respectivamente, um homomorfismo entre A e B e uma funcao h : A −→ Bsatisfazendo

h(0) = 0, h(1) = 1

e, para todo x, y ∈ A,

h(x ∧ y) = h(x) ∧ h(y), h(x ∨ y) = h(x) ∨ h(y), h(−x) = −h(x).

Um isomorfismo e um homomorfismo bijetor. Denotamos por A ∼= B quandoA e isomorfo a B.

Definicao A.3. Numa algebra de Boole A, definimos a relacao ≤ por x ≤ yse e somente se x = x ∨ y, para todo x, y ∈ A.

Algebras de Conjuntos

Definicao A.4. Uma algebra de conjuntos sobre X, que tambem chamare-mos de corpo de conjuntos sobre X e uma famılia A ⊆ P(X) que contem Xe e fechado por interseccoes finitas e complementos, isto e:

(a) X ∈ A;

(b) Se Y, Z ∈ A entao Y ∩ Z ∈ A;

(c) Se Y ∈ A entao X r Y ∈ A.

Dessas tres propriedades, deduzimos as seguintes:

(d) ∅ ∈ A;

(e) Se Y, Z ∈ A entao Y ∪ Z ∈ A.

O proximo lema demonstra-se atraves de uma simples verificacao dosaxiomas de algebras de Boole.

Representacao de Stone 89

Lema A.5. Uma algebra de conjuntos sobre X e uma algebra de Boole, onde

0 = ∅, 1 = X e as operacoes ∧, ∨ e − sao, respectivamente, interseccao,

uniao e complemento em relacao a X.

A ordem em uma algebra de conjuntos, conforme a Definicao A.3, coincidecom a ordem da inclusao. Veremos, pela dualidade de Stone, que toda algebrade Boole e isomorfa a uma algebra de conjuntos.

A.2 Teorema da Representacao de Stone

Nesta secao iremos descrever a representacao de Stone. Para as demons-tracoes dos resultados que constam nesta secao indicamos [Kop].

Definicao A.6. Seja A uma algebra de Boole. Dizemos que F ⊆ A e umfiltro em A se

• 1 ∈ F ;

• 0 /∈ F ;

• Se x, y ∈ F entao x ∧ y ∈ F ;

• Para todo x, y ∈ A, se x ∈ F e x ≤ y, entao y ∈ F .

Um ultrafiltro em A e um filtro maximal, isto e, um filtro que nao esta contidopropriamente em nenhum filtro.

Definicao A.7. Seja A uma algebra de Boole. Dizemos que F tem apropriedade da interseccao finita (p.i.f.) se para todos x1, ..., xn ∈ F temosx1 ∧ ... ∧ xn 6= 0.

Lema A.8. Seja A uma algebra de Boole.

(a) Se F ⊆ A tem a propriedade da interseccao finita entao existe um ultra-

filtro que contem F ;

(b) Um filtro F em A e um ultrafiltro se e somente se para todo a ∈ A, ou

a ∈ F ou −a ∈ F ;

(c) Dados a, b ∈ A distintos, existe um ultrafiltro u em A tal que a ∈ u e

b /∈ u, ou b ∈ u e a /∈ u.

90 Representacao de Stone

Definicao A.9. Dado K um espaco topologico compacto 0-dimensional,definimos Clop(K) a algebra de conjuntos formado pelos abertos-fechadosde K. Dada uma algebra de Boole A, definimos o espaco de Stone de A,denotado S(A), como o conjunto dos ultrafiltros em A munido da topologiagerada por a∗ : a ∈ A, onde a∗ = u ∈ S(A) : a ∈ u.

Teorema A.10 (Stone). Seja A uma algebra de Boole. Temos A ∼= Clop(S(A))pelo isomorfismo h : A −→ Clop(S(A)) dado por h(a) = a∗. Alem disso, para

todo compacto 0-dimensional K temos K homeomorfo a S(Clop(K)).

Da Definicao A.9 segue imediatamente o seguinte Lema:

Lema A.11. Se A e uma algebra de Boole entao S(A) tem peso |A|.

Definicao A.12. Definimos βN o espaco de Stone da algebra de conjuntosP(ω)

Dizemos que um espaco topologico X e T3 12

se para todo x ∈ X e F ⊆X r x fechado existe uma funcao contınua f : X −→ R tal que f |F = 0e f(x) = 1. Se X e um espaco topologico T3 1

2definimos o compactificado de

Stone-Cech de X como o menor compacto βX tal que toda a funcao contınualimitada de X em R se estende de forma unica como uma funcao contınuade βX em R. A existencia e unicidade, a menos de homeomorfismos, docompactificado de Stone-Cech para espacos T3 1

2pode ser vista em [Eng].

Teorema A.13. O espaco topologico βN e o compactificado de Stone-Cech

dos naturais com a topologia discreta.

Apendice B

Forcing

Neste apendice faremos uma breve explicacao sobre o metodo Forcing, paraauxiliar a compreensao dos Capıtulos 4 e 5.

Seja Γ um conjunto de formulas. Dizemos que Γ e consistente se delenao podemos deduzir uma contradicao. Ou seja, se Γ 6⊢ ϕ ∧ ¬ϕ. Dizemosque uma formula ϕ e relativamente consistente com Γ se a consistencia deΓ implica a consistencia de Γ ∪ ϕ, isto e, se ϕ nao pode ser deduzidode Γ, a menos que Γ seja inconsistente (nesse caso, podemos deduzir delequalquer formula). Usamos a notacao Con(Γ) −→ Con(Γ+ϕ), para denotara consistencia relativa de ϕ com Γ. Dizemos que ϕ e independente de Γ setanto ϕ quanto ¬ϕ sao relativamente consistente com Γ.

O forcing foi criado em 1964 pelo matematico Paul Cohen para mostrar aconsistencia da negacao da Hipotese do Contınuo, resultado que lhe concedeua medalha Fields, em 1966. A consistencia da Hipotese do Contınuo haviasido mostrada por Kurt Godel, na decada de 30. Inumeros resultados deindependencia tem sido demonstrados atraves de forcing em diversas areasda matematica, como teoria dos conjuntos, topologia e analise funcional.

B.1 Modelos transitivos enumeraveis

Iremos descrever sucintamente a sintaxe e semantica da logica classica.

A linguagem da teoria dos conjuntos e formada pelos seguintes sımbolos:os quantificadores ∀ (para todo) e ∃ (existe), os conectivos ¬ (nao), ∧ (e),∨ (ou), → (se, entao) e ↔ (se, e somente se), a igualdade =, a relacao depertinencia ∈, os delimitadores ( e ), e as variaveis x1, x2, x3,...

91

92 Forcing

Uma formula atomica e uma sequencia de sımbolos (x = y) ou (x ∈ y),onde x e y sao variaveis. Uma formula e uma formula atomica ou umasequencia de sımbolos da forma ¬φ, ∀xφ, ∃xφ, (φ∧ψ), (φ∨ψ), (φ→ ψ) ou(φ ↔ ψ), onde x e uma variavel e φ e ψ sao formulas. Nesses casos, φ e ψsao subformulas das formulas anteriores.

Uma variavel livre de uma formula e uma variavel x que ocorre em algumlugar fora do escopo de um quantificador, isto e, nem todas ocorrencias dex esta em alguma subformula do tipo ∀xφ ou ∃xφ. A notacao φ(x1, ..., xn)indica que as variaveis livres de φ estao contidas em x1, ..., xn.Uma sentenca

e uma formula sem variaveis livres.

Um modelo para teoria dos conjuntos e um par (M, ε), onde M e umconjunto e ε ⊆M ×M e uma relacao binaria. Usaremos a notacao xεy para(x, y) ∈ ε.

Dizemos que um modelo (M, ε) e standard se a relacao ε coincide coma relacao ∈, isto e, ε = (x, y) ∈ M : x ∈ y. Para modelos standard,denotamos (M,∈) simplesmente por M . Um modelo standard M e ditotransitivo se x ⊆M , para todo x ∈M .

Iremos trabalhar apenas com modelos standard.

Definicao B.1. ([Ku], IV, 2.1) Seja M uma classe. Para cada formula φdefinimos a relativizacao de φ a M , que sera denotada por φM , do seguintemodo:

1. (x = y)M e x = y;

2. (x ∈ y)M e x ∈ y;

3. (φ ∧ ψ)M e φM ∧ ψM ;

4. (¬φ)M e ¬(φM);

5. (∃xφ)M e ∃x(x ∈M ∧ φM).

Dizemos que M satisfaz φ, e denotaremos por M |= φ, se ϕM vale.

Teorema B.2. ([Ku], IV, 7.11) Se Γ e um conjunto finito consistente de

formulas, existe um modelo transitivo enumeravel M tal que M |= Γ.

Forcing 93

Para toda a matematica, usamos o sistema de axiomas ZFC (sistema deZermelo-Frankel com Axioma da Escolha), formado por infinitos axiomas 1.

Nao podemos provar, em ZFC, que existe um modelo para ZFC, pois issoprovaria a consistencia de ZFC e, pelo Teorema da Incompletude de Godel,um sistema de axiomas nao pode provar sua propria consistencia. Portanto,nao podemos provar, em ZFC, que existe um modelo para ZFC.

Dizemos que uma formula ϕ e relativamente consistente com um conjuntoΓ se a consistencia de Γ implica a consistencia de Γ ∪ ϕ.

De modo geral, quando estiver claro o contexto, dizemos simplesmenteque uma formula e consistente se e relativamente consistente com ZFC.

Para mostrar a consistencia de uma formula usando forcing precisamosassumir a existencia de um modelo transitivo enumeravel. Como ZFC naoe finitamente axiomatizavel, mesmo se ZFC for consistente pode nao existirum modelo transitivo para ZFC. Porem, como demonstracoes usam finitasformulas, do Teorema B.2 concluımos o seguinte resultado (veja demons-tracao em [Ku], VII §1), que tambem e conhecido como princıpio do forcing

(vide [Ci]).

Teorema B.3 (Princıpio do forcing). Para mostrar que uma formula ϕ e re-

lativamente consistente com ZFC e suficiente mostrar que, para todo modelo

transitivo enumeravel M que satisfaz ZFC, existe um modelo N que satisfaz

ZFC tal que M ⊆ N e N |= ϕ.

B.2 Ordens parciais e filtros genericos

Uma ordem parcial e um par (P,≤) onde ≤ contido em P ×P e uma relacaobinaria reflexiva (x ≤ x), transitiva (x ≤ y∧y ≤ z → x ≤ z) e anti-simetrica(x ≤ y∧y ≤ x→ x = x). Chamaremos de forcing uma ordem parcial (P,≤)com um elemento maximo, que sera denotado por 1P . Os elementos de Pserao chamados de condicoes do forcing. Uma condicao p ∈ P e dita mais

forte que q ∈ P quando p ≤ q. Duas condicoes, p e q sao compatıveis seexiste r ∈ P tal que r ≤ p e r ≤ q. Denotamos por p⊥q quando p e q saoincompatıveis.

Dizemos que um forcing P e trivial se existe p ∈ P tal que, para todosq, r ≤ p, q e r sao compatıveis.

1Na pratica, o ZFC e apresentado com nove axiomas. Mas um deles, o Axioma daSubstituicao, e, na verdade, uma lista infinita enumeravel de axiomas, onde, para cadaformula, temos um axioma correspondente.

94 Forcing

Um subconjunto D ⊆ P e denso em P se para todo p ∈ P existe q ∈ D talque q ≤ p. Um subconjunto A ⊆ P e uma anticadeia em P se os elementosde A sao dois a dois incompatıveis.

Dizemos que G ⊆ P e um filtro em P se p e q sao compatıveis, paratodos p, q ∈ G. Dizemos que G e um filtro P -generico (ou, simplesmente,P -generico), se G e um filtro que intercepta todos densos em P . Se Me um modelo transitivo enumeravel para ZFC e P ∈ M , dizemos que umsubconjunto G ⊆ P e P -generico sobre M se G e um filtro e, para todoD ∈M denso em P , temos G ∩D 6= ∅.

Lema B.4. ([Ku], VII, 2.4) Um forcing P e trivial se, e somente se, existe

um P -generico.

Lema B.5. ([Ku], VII, 2.3) Sejam M um modelo transitivo enumeravel

para ZFC e P ∈ M um forcing. Entao, para todo p ∈ P existe G um filtro

P -generico sobre M tal que p ∈ G.

Para mostrar a consistencia de uma sentenca, usando forcing, tomamosM um modelo transitivo enumeravel para ZFC (que podemos assumir queexiste, pelo princıpio do forcing) e um forcing nao-trivial P ∈M . Como P enao-trivial, pelo Lema B.4 nao existe, em M , um P -generico sobre M . Mas,pelo Lema B.5, fora de M existe um P -generico sobre M . Nosso objetivoe adicionar a M um P -generico sobre M . Isto e, dado G um P -genericosobre M encontramos M [G] o menor modelo transitivo enumeravel tal queM [G] |= ZFC, M ⊆ M [G] e G ∈ M [G]. Esse metodo e semelhante aode extensoes de corpos, usado na Teoria de Galois. Dado um corpo K (porexemplo, os racionais) achamos o menor corpo K(

√2) que contenha K e

a equacao x2 − 2 = 0 tenha solucao. Da mesma forma, o generico G seraadicionado a M para “forcar” uma formula ϕ.

Como exemplo, o forcing de Cohen, usado para mostrar a consistencia de¬CH , e o conjunto de todas as funcoes finitas de um conjunto X em 0, 1.A ordem e dada por f ≤ g se, e somente se, supp(f) ⊇ supp(g) e f |supp(g) =g. Se G e um filtro generico,

⋃

G e uma funcao total de X em 0, 1 (acompatibilidade dos elementos de G garantem que

⋃

G e uma funcao, epor interceptar todos os densos de M e facil concluir que dom(

⋃

G) = X).Observamos que o forcing de Cohen e trivial se, e somente se, X e finito.

Forcing 95

B.3 Extensoes genericas

Seja P um forcing. Dizemos que τ e um P -nome se e um conjunto de paresordenados da forma (σ, p), onde p ∈ P e σ e um P -nome 2. Denotamos porV P a classe de todos os P -nomes 3.

Sejam M um modelo transitivo enumeravel e P ∈ M um forcing nao-trivial. Dizemos que τ e um P -nome sobre M se τ ∈ M e um P -nome 4.Definimos MP = M ∩ V P o conjunto de todos os P -nomes sobre M . Se Ge um P -generico sobre M e τ e um P -nome sobre M , definimos τG = σG :∃p ∈ G (σ, p) ∈ τ. Definimos

M [G] = τG : τ ∈MP.Para x ∈ V (ou x ∈ M), definimos um P -nome (sobre M) x = y : y ∈

x. Definimos um P -nome Γ = (p, p) : p ∈ P.

Lema B.6. ([Ku], VII, 2.11 e 2.13) Sejam M um modelo transitivo enu-

meravel para ZFC, P ∈M um forcing e G um P -generico sobre M . Entao

a) xG = x, para todo x ∈M ;

b) ΓG = G.

O proximo teorema e fundamental no metodo do forcing.

Teorema B.7. ([Ku], VII, 2.14, 4.2, 2.11, 2.13, 2.19) Sejam M um

modelo transitivo enumeravel para ZFC, P ∈ M um forcing e G um P -

generico sobre M . Entao

2Para formalizar a boa definicao de P -nomes, assim como outras definicoes apresenta-das nesta secao, usamos o Teorema da recursao sobre relacoes bem fundadas (vide [Ku]).Intuitivamente, funciona como uma definicao recursiva sobre ω, ou sobre um ordinal qual-quer. O conjunto vazio e um P -nome. Portanto (∅, p) : p ∈ P tambem e um P -nome,bem como ((∅, p), q) : p, q ∈ P, e assim por diante

3Usamos a nocao informal de classes. A cada formula de uma variavel livre associamosa classe dos conjuntos que satisfazem tal formula. Por exemplo, a formula x = x nosfornece a classe V de todos os conjuntos. A classe V P e formada de todos os conjuntosx tal que x e um P -nome. Pelo Paradoxo de Russel, sabemos que a classe de todos osconjuntos nao e um conjunto. E facil verificar que V P nao e um conjunto, pois poderıamosobter dele V como conjunto. A uma classe que nao e conjunto chamamos classe propria.Para formalizar a nocao de classes, temos as teorias NGB (von Neumann-Bernays-Godel),e MK (Morse-Kelley, onde as classes sao apresentadas em varios nıveis hierarquicos). EmZFC, trabalhamos com a nocao de classes como uma notacao. Assim escrevemos τ ∈ V P

para dizermos que “τ e um P -nome”.4Equivalentemente, se M |= “τ e um P -nome”, pois o conceito de P -nomes e absoluto.

96 Forcing

a) M [G] e um modelo transitivo enumeravel;

b) M [G] |= ZFC;

c) M ⊆ M [G];

d) G ∈M ;

e) Se N ⊇M satisfaz os itens anteriores, entao M [G] ⊆ N .

Notemos que os itens c) e d) sao consequencias do Lema B.6. Item e)segue do fato que, se G ∈ N , M ⊆ N e N |= ZFC, entao podemos definirτG em N , para todo τ ∈ MP . Item a) e facilmente verificado pela definicaode M [G]. A dificuldade da demonstracao do Teorema B.7 esta no item b).

B.4 Relacao de forcing

Sejam M um modelo transitivo enumeravel para ZFC e P ∈ M um forcing.Definimos a linguagem do forcing P sobre M , que denotaremos por L(MP ),como a linguagem da teoria dos conjuntos substituindo as variaveis livres porP -nomes em M .

Teorema B.8. ([Je], 14.6 e 14.7) Sejam M um modelo transitivo enu-

meravel para ZFC e P ∈M um forcing. Existe uma relacao ⊆ P ×L(MP )tal que

(i) ∈M ;

(ii) (a) p ϕ(τ1, ..., τn) se, e somente se, M [G] |= ϕ((τ1)G, ..., (τn)G), para

todo G filtro P -generico sobre M tal que p ∈ G;

(b) M [G] |= ϕ((τ1)G, ..., (τn)G) se, e somente se, existe p ∈ G tal que

p ϕ(τ1, ..., τn);

(iii) (a) Se p ϕ e q ≤ p entao q ϕ;

(b) Nao existe p ∈ P e ϕ ∈ L(MP ) tal que p ϕ e p ¬ϕ;

(c) Para todos p ∈ P e ϕ ∈ L(MP ) existe q ≤ p tal que q ϕ ou

q ¬ϕ;

(d) p ¬ϕ se, e somente se, q 6 ϕ, para todo q ≤ p;

(e) p ϕ ∧ ψ se, e somente se, p ϕ e p ψ;

Forcing 97

(f) p ∃xϕ(x) se, e somente se, existe τ ∈MP tal que p ϕ(τ).

(iv) p “Γ e um filtro” e, se D e denso em P , entao p Γ ∩ D 6= ∅.Em [Ku] a relacao esta definida como no item (ii)(a). No modelo inicial

M define-se uma relacao ∗, e mostra-se que (p

∗ ϕ)M se, e somente se,p ϕ. Disso segue o item (i). Ja em [Je], define-se diretamente em M (oumelhor, em ZFC), e mostra-se o item (ii)(b). E facil verificar a equivalenciaentre (ii)(a) e (ii)(b) a partir das propriedades de (iii).

O item (iv) segue imediatamente do item (ii)(a), da definicao de generi-cidade e da absolutividade da interseccao (vide Secao B.5).

A relacao e chamada de relacao de forcing, e lemos p ϕ como p forca

ϕ.Denotamos P ϕ quando p ϕ, para todo p ∈ P (equivalentemente,

quando 1P ϕ).Em forcing, na maneira como aqui foi apresentada, trabalhamos com os

axiomas de ZFC em tres nıveis: o modelo M , a extensao M [G] e o universoV , a classe de todos os conjuntos.

Pelo Teorema B.8 item (i), a relacao de forcing pode ser definida noproprio modelo M . Por isso, uma vez desenvolvida a teoria do forcing, pode-mos usa-la no universo V , a classe de todos os conjuntos. Em [Ku] achamosuma definicao, em V , da relacao (de onde segue o item a), o que nospermite mostrar um resultado de independencia dentro de ZFC, apenas tra-balhando com a relacao e usando a absolutividade de algumas formulas(veja Secao B.5).

B.5 Absolutividade e preservacao de cardi-

nais

Definicao B.9. ([Ku], IV, 3.1) Sejam ϕ uma formula com variaveis livresx1, ..., xn e M ⊆ N modelos transitivos para ZFC. Dizemos que

1. ϕ e absoluta em relacao a M eN se ∀x1, ..., xn ∈M(M |= ϕ(x1, ..., xn) ↔N |= ϕ(x1, ..., xn));

2. ϕ e absoluta em relacao a M e V (ou, simplesmente, absoluta emrelacao a M) se ∀x1, ..., xn ∈M(M |= ϕ(x1, ..., xn) ↔ ϕ(x1, ..., xn));

3. ϕ e absoluta se e absoluta em relacao a todo modelo transitivo.

98 Forcing

Lema B.10. ([Ku], IV, 3.3 e 3.7) Sejam ϕ e ψ formulas com variaveis

livres contidas em x1, ..., xn e M ⊆ N modelos transitivos para ZFC. Entao

1. Se ϕ e ψ sao absolutas em relacao a M e N , entao ¬ϕ, ϕ ∧ ψ e

∃x(x ∈ y ∧ ϕ) sao absolutas em relacao a M e N ;

2. Se ZFC ⊢ ∀x1, ..., xn(ϕ(x1, ..., xn) ↔ ψ(x1, ..., xn)) entao ϕ e absoluta

em relacao a M e N se, e somente se, ψ o e;

3. Se ϕ nao contem quantificadores, entao ϕ e absoluta em relacao a Me N .

O Lema B.10 tambem vale para V no lugar de N .

Definicao B.11. ([Ku], IV, 3.5) Uma formula e ∆0 se todos seus quanti-ficadores sao limitados. Formalmente, as formulas ∆0 sao definidas induti-vamente pelas seguintes regras:

1. x ∈ y e x = y sao ∆0;

2. Se ϕ e ψ sao ∆0 entao ¬ϕ e ϕ ∧ ψ sao ∆0;

3. Se ϕ e ∆0 entao ∃x(x ∈ y ∧ ϕ) e ∆0.

Do Lema B.10, item 1, segue o seguinte Corolario:

Corolario B.12. ([Ku], IV, 3.6) As formulas ∆0 sao absolutas.

Quando dizemos que ω e absoluto em relacao a M e N dizemos que aformula “x e o primeiro ordinal infinito” e absoluta em relacao a M e N . Omesmo vale para outras formulas “implıcitas”, tais como, x, x, y, 0, 2ω,ω1, etc.

Lema B.13. ([Ku], IV, 5.1 e 5.3) As seguintes formulas sao absolutas:

1. ω;

2. x e um ordinal;

3. x e um ordinal limite;

4. x e um ordinal sucessor;

5. x e finito.

Forcing 99

O primeiro cardinal nao-enumeravel, ω1, nao e absoluto, em geral. Se Me um modelo transitivo para ZFC, denotamos por (ω1)

M o elemento x ∈ Mtal que M |= x = ω1. Ou seja, (ω1)

M e a relativizacao a M da formula “x eo primeiro cardinal nao-enumeravel”. A definicao analoga serve para (2ω)M ,RM , etc.

Se M ⊆ N sao modelos transitivos para ZFC e A ∈ M e um conjunto,entao (P(A))M ⊆ (P(A))N , pois os subconjuntos de A que pertencem a Mtambem irao pertencer a N , mas N pode adicionar novos subconjuntos deN . Dessa observacao segue imediatamente o seguinte lema:

Lema B.14. Sejam M ⊆ N modelos transitivos para ZFC e seja λ um

ordinal. Entao (2λ)M ≤ (2λ)N .

Definicao B.15. ([Ku], VII, 5.7) Seja M um modelo transitivo para ZFCe seja P ∈ M um forcing. Seja κ ∈ M tal que M |= “κ e um cardinal”.Dizemos que P preserva o cardinal κ se, para todo λ < κ e G filtro P -generico sobre M , temos M |= “λ e um cardinal” se, e somente se, M [G] |=“λ e um cardinal”.

Na notacao descrita anteriormente, P preserva um cardinal κ se κM =κM [G], para todo G filtro P -generico sobre M . Dizer que P preserva cardinaise o mesmo que dizer que a formula “x e um cardinal” e absoluta em relacaoa M e M [G], para toda extensao M [G] por um P -generico sobre M .

Definicao B.16. ([Ku], II, 2.3) Dizemos que um forcing P possui acondicao da cadeia enumeravel, ou que P e c.c.c. (do ingles, countable chain

condition) se P nao contem uma anticadeia nao-enumeravel.

Teorema B.17. ([Ku], VII, 5.10) Se P e c.c.c. entao P preserva cardi-

nais.

B.6 Forcing iterado

Sejam M um modelo transitivo enumeravel, P ∈ M um forcing e G umfiltro P -generico sobre M . Suponha que temos Q um P -nome em M tal queP “Q e um forcing”. Sobre M [G] podemos tomar uma extensao M [G][H ],onde H e um QG-generico sobre M [G]. Atraves do forcing iterado, repetimosesse processo transfinitamente, sobre um ordinal κ, por meio de apenas umforcing no modelo inicial.

100 Forcing

Definicao B.18. ([Je], 16.1 e 16.2) Sejam M um modelo transitivo enu-meravel, P ∈ M um forcing e Q ∈ MP tal que P “Q e um forcing”.Definimos P ∗ Q a iteracao de P e Q o conjunto

(p, τ) : p ∈ P ∧ p τ ∈ Q

com a ordem parcial dada por (p, τ) ≤ (q, σ) se, e somente se,

p ≤P q ∧ p τ ≤ σ.

Se G e um P -generico sobre M e H um QG-generico sobre M [G] definimos

G ∗H = (p, τ) ∈ P ∗ Q : p ∈ G ∧ τG ∈ H.

E facil verificar que a iteracao de forcings nao-triviais e nao-trivial.

Teorema B.19. ([Je], 16.2) Sejam M um modelo transitivo enumeravel,

P ∈M um forcing e Q um P -nome para um forcing.

(a) Se G e um P -generico sobre M e H um QG-generico sobre M [G] entao

G ∗H e um P ∗ Q-generico sobre M ;

(b) Se K e um P ∗ QG-generico sobre M , se tomarmos

G = π1(K) = p ∈ P : ∃τ((p, τ) ∈ K)

e

H = τG : ∃p ∈ P ((p, τ) ∈ K)temos que G e um P -generico sobre M , H e um QG-generico sobre

M [G] e K = G ∗H.

Definicao B.20. ([Je], 16.8) Sejam M um modelo transitivo enumeravele α ∈ M um ordinal. Dizmos que Pα e uma iteracao de forcings de compri-

mento α com suportes finitos se Pα e um conjunto de sequencias de compri-mento α que satisfazem

1. para α = 0, Pα e um forcing trivial;

2. para α = 1, P1 e um forcing Q0;

Forcing 101

3. para α = β + 1 > 1, Pα = Pβ ∗ Qβ, onde Pβ e uma iteracao decomprimento β com suportes finitos e Qβ e um Pβ-nome para um for-

cing ; a ordem em Pα e dada por p ≤ q se, e somente se, p|β ≤ q|β ep|β p(β) ≤ q(β).

4. para α > 0 um ordinal limite, p ∈ Pα se, e somente se, para todoβ < α, Pβ = p|β : p ∈ Pα e uma iteracao de comprimento β < α eβ < α : Pβ 6 p(β) = 1Q e finito; a ordem em Pα e dada por p ≤ qse, e somente se, p|β ≤Pβ

q|β, para todo β < α.

Se p ∈ Pα, definimos o suporte de p, que denotaremos por supp(p) o conjuntoβ < α : Pβ 6 p(β) = 1Q. Se G e um Pα-generico sobre M e β < αdefinimos

Gβ = p|β : p ∈ Ge

Gβ = p(β) : p ∈ G.

Teorema B.21. ([Ku], VIII, 5.13) Sejam M um modelo transitivo enu-

meravel e Pα ∈M um forcing iterado de comprimento α. Sejam β < α e Ge um Pα-generico sobre M . Entao

(a) Gβ e um Pβ-generico sobre M ;

(b) M [Gβ ] ⊆M [G].

Teorema B.22. ([Je], 16.9) Sejam M um modelo transitivo enumeravel e

Pα ∈ M um forcing iterado de comprimento α, e sejam (Qβ)β<α tais que

Pβ+1 = Pβ ∗ Qβ e Pβ “Qβ e c.c.c.”, para todo β < α. Entao Pα e c.c.c.

102 Forcing

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Indice Remissivo

C(K), 1M(K), 9M [G], 95MP , 95P -nome, 95V P , 95∆0, 98Γ, 95 , 96βN, 3, 90x, 95♦, 1, 20, 27L(MP ), 96σ-algebra, 7σ-aditiva, 7τG, 95ε-fracamente relativamente compacto,

50algebra de Boole, 90-dimensional, 12, 41

aberto elementar, 9anticadeia, 94axioma de Martin, 4

borelianos, 7

classe, 92, 95compactificado de Stone-Cech, 90compatıveis, 93complementado, 1

condicoes do forcing, 93conjunto denso (em um forcing), 93consistente, 91, 93

decomponıvel, 1densidade, 4

espaco com poucos operadores, 1, 2espaco de Stone, 9espacos booleanos, 87essencialmente incomparaveis, 4, 44estacionario, 20, 27estritamente singular, 1, 2extensao, 13extensao forte, 13

formula absoluta, 97formula atomica, 91fechado ilimitado, 20, 27, 57, 77filtro generico, 94forcing, 5, 91, 93forcing c.c.c., 99, 101forcing iterado, 5, 99forcing trivial, 93fracamente compacto, 2, 10funcao boreliana, 9

hereditariamente indecomponıvel, 1Hipotese do Contınuo, 2

incompatıveis, 93indecomponıvel, 1

106

Indice remissivo 107

independente, 49, 91

Lema de Rosenthal, 10limite em sistema dirigido, 71limite inverso, 14

medida absolutamente contınua, 53medida boreliana, 7medida de Radon, 7medida positiva, 7medida regular, 7medidas duas a duas disjuntas, 51modelo standard, 92modelo transitivo, 92multiplicador fraco, 11

operador de Fredholm, 43ordem parcial, 93

preservacao de cardinais, 99Princıpio do forcing, 93propriedade de Grothendieck, 4

quociente hereditariamente indecom-ponıvel, 2

raro, 13relacao de forcing, 97relativamente consistente, 91, 93relativizacao, 92

sentenca, 92soma direta, 1supp(p), 101

Teorema de Alaoglu, 64Teorema de Dieudonne-Grothendieck,

9Teorema de Eberlein-Smulian, 10Teorema de Gantmacher, 10

Teorema de Radon-Nikodym, 53totalmente desconexo, 41totalmente incomparaveis, 4

variavel livre, 92variacao, 7

ZFC, 49, 92

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