Ç DQR Volume 2 - Conquista | Guia...Na multiplicação de dois números inteiros, a ordem dos...
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Capítulo 4 Multiplicação e divisão de números inteiros 2 Capítulo 5 Ângulos e triângulos 18 Capítulo 6 Números racionais 40 Volume 2
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Capítulo 4Multiplicação e divisão de números inteiros 2
Capítulo 5 Ângulos e triângulos 18
Capítulo 6 Números racionais 40
Volume 2
©Shutterstock/Andrey_Popov
capí
tulo 4
Ao administrar um número grande de operações finan-ceiras, é necessário agilizar os cálculos, e isso exige conhe-cimento das regras para realizar operações com números positivos e negativos.
Muitas vezes, esses cálculos são feitos com o auxílio de calculadoras ou computadores. Será que utilizar esses recursos é suficiente para que as contas estejam sempre certas? Será que é preciso conhecer essas operações antes de usar um computador ou uma calculadora?
Multiplicação de números inteiros
Divisão de números inteiros
Expressões numéricas com números inteiros
o que vocêvai conhecer
Multiplicação e divisão de números inteiros
2
Matemática
Retomar as noções de divisibilidade entre números naturais.
Determinar o produto e o quociente, quando possível, de dois ou mais números inteiros.
Reconhecer as propriedades válidas para a multiplicação e a divisão de números inteiros.
Resolver situações-problema e expressões numéricas que envolvam as operações funda-mentais com números inteiros.
objetivos do capítulo
Múltiplos e divisores
Análise as sequências a seguir.
Sequência 1
Observe a seguinte sequência infinita:
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...
Essa sequência é formada pelos múltiplos de 3.
Um múltiplo de um número natural é resultado da multiplicação desse número por outro número natural qualquer.
Exemplos:
a) 12 é múltiplo de 3, pois podemos escrever 12 = 4 × 3.
b) 13 não é múltiplo de 3, pois não existe um número natural que, multiplicado por 3, possa resultar em 13.
Sequência 2
Observe a seguinte sequência finita:
1, 2, 3, 4, 6, 12.
Essa sequência é formada pelos divisores de 12.
Ao dividirmos um número natural por outro menor que ele, diferente de zero, e ob-termos como quociente um número natural e resto de zero (ou seja, quando a divisão é exata), dizemos que o número menor é divisor do maior.
Exemplos:
a) 8 não é divisor de 12, pois a divisão de 12 por 8 não é exata (resto igual a 4).
b) 3 é divisor de 12, pois a divisão de 12 por 3 é exata (resto igual a zero).
3
Dizer que um número é múltiplo de outro equivale a dizer que este último é divisor do
primeiro.
1 Descubra se 2 468 721 é múltiplo de 3.
2 Assinale apenas as afirmações verdadeiras. Justifique as falsas.
a) ( ) O número 17 808 é múltiplo comum de 2, 3, 4, 6 e 8.
b) ( ) O número 13 é múltiplo de 65, o que é o mesmo que dizer que 65 é divisor de 13.
c) ( ) O número 9 é divisor de 421 397 775.
d) ( ) Se 10 é divisor de um número, então 5 também é divisor desse número.
e) ( ) Não existe um número entre 45 e 55 que seja múltiplo de 7.
f) ( ) Existem múltiplos de 3 formados apenas pelos algarismos 0 e 8.
atividades
Por exemplo, a sentença “8 é múltiplo de 2” tem o mesmo significado que a sentença
“2 é divisor de 8”. Experimente testar essa afirmação com outros pares de números.
Critérios de divisibilidade
Um negociante sugeriu que uma compra de R$ 2.468.721,00 fosse parcelada em três
vezes. Como saber se o número 2 468 721 é divisível por 3?
Temos a opção de escrever a sequência dos múltiplos de 3 até chegarmos próximo do
número 2 468 721 (o que é totalmente impraticável!) ou podemos fazer a divisão desse nú-
mero por 3 e verificar se ela é exata e o seu quociente é um número natural (o que vai ocupar
bastante espaço de sua folha, caso não disponha de uma calculadora).
Observe que ambos os métodos apresentados acima são trabalhosos. Para responder
à pergunta proposta com mais facilidade, é possível aplicar os critérios de divisibilidade.
Relembre-os:
Um número será divisível por...
...2 se terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8 (isto é, se for um número par).
...3 se o resultado da soma dos algarismos do número for múltiplo de 3.
...4 se os dois últimos algarismos terminarem em 00 ou formarem um múltiplo de 4.
...5 se o número terminar em 0 ou em 5.
...6 se o número for divisível por 2 e 3 simultaneamente.
...8 se os três últimos algarismos terminarem em 000 ou formarem um múltiplo de 8.
...9 se o resultado da soma dos algarismos do número for um múltiplo de 9.
...10 se o último algarismo deste número for zero.
Na primeira sequência apresentada, note que 12 é múltiplo de 3. Já na segunda sequên-
cia, observe que 3 é divisor de 12. Podemos estabelecer uma relação muito importante entre
múltiplos e divisores de um número natural:
4
Matemática
a) 103 882 900 b) 103 882 909 c) 103 882 880 d) 103 882 890
4 Usando os algarismos 4, 5, 6, 7 e 8, sem repeti-los, forme três números divisíveis por 4 com
a) 3 algarismos. b) 4 algarismos. c) 5 algarismos.
5 Marcela recebeu uma senha de seis dígitos. Para que outras pessoas não a descobrissem, ela a codi-ficou trocando alguns dígitos por letras, formando 48Y67X. Sabendo-se que Y é o maior algarismo que permite que a senha forme obrigatoriamente um múltiplo de nove, qual é a senha de Marcela?
Multiplicação de números inteiros
Normalmente, quando efetuamos uma compra, temos a opção de pagar à vista, de uma só vez, no momento da com-pra, ou a prazo, em várias parcelas iguais com vencimentos periódicos.
Por exemplo, se precisarmos comprar um notebook, mas não tivermos o dinheiro necessário no momento da compra, poderemos assumir uma dívida e dividir o pagamento em parcelas.
Assim, se decidirmos pagar em três prestações de R$ 700,00, a dívida poderá ser repre-sentada desta maneira:
ou ou
A multiplicação é a forma abreviada de se escrever uma adição de parcelas iguais. Para indicar uma multiplicação, são usados os sinais · ou ×. Assim:
Observe a tabela com os resultados da multiplicação de alguns números por 4.
Parcela Soma de parcelas iguais Multiplicação
0
1
2
3
3 Com base na informação a seguir, verifique quais das alternativas apresentam um número múlti-plo de 19.
©Shutterstock/Igor Lateci
5
Analisando os exemplos apresentados no quadro, podemos perceber que
Também podemos fazer multiplicações em que o primeiro fator é um número negativo
usando o simétrico desse número. Veja:
na multiplicação de dois números inteiros positivos, o produto é um número inteiro
positivo.
na multiplicação de um número inteiro positivo por um número inteiro negativo, o produ-
to é um número inteiro negativo.
na multiplicação de um número inteiro negativo por um número inteiro positivo, o produ-
to é um número inteiro negativo.
na multiplicação de um número inteiro negativo por outro número inteiro negativo, o pro-
duto é um número inteiro positivo.
Exemplo 1:
Se o primeiro fator for negativo:
Exemplo 2:
Se o primeiro fator for negativo:
atividades
1 Partindo da multiplicação de números naturais, preencha a tabela a seguir.
× 0 1 2 3 4 Fator
8 Produto
Fator
Observando os resultados, note que eles formam um padrão.
a) O produto 8 · ×
Qual é a outra forma de escrevê-lo?
b) Observando a tabela, qual é o sinal do produto entre
dois fatores positivos?
um fator positivo e um negativo?
6
Matemática
2 Transforme cada adição em uma multiplicação e determine seu resultado.
a)
b)
c)
d)
3 Com base nas conclusões a que você chegou anteriormente, complete a tabela.
× 0 1 2 3 4 Fator
–8 Produto
Fator
a)
b) Qual é o sinal do resultado da multiplicação entre
um fator negativo e um positivo?
dois fatores negativos?
4 Determine o produto em cada uma das multiplicações a seguir.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
5 Determine o que se pede em cada item.
a)
b)
c)
d)
6 Analise os três primeiros termos da sequência e descubra como foi construída. Em seguida, deter-mine o 4º. e o 5º. termo.
,
Obtenha os produtos indicados e complete cada lacuna com um dos símbolos das relações: menor que (<), maior que (>) ou igual a (=).
8 Escreva
a)
b) c) dois números inteiros cujo produto seja igual a 33.
d)
9 As potenciações de números inteiros são definidas da mesma forma que as potenciações de núme-ros naturais. Veja:
3 × × ×Transforme as potências em produtos e calcule os resultados.
a) 2 =
b) 2 =
c) 2 =
d) 3 =
e) 4 =
f) 2 =
g) 3 =
h) 4 =
a) 71 500
b)
c) 9
d)
e) 38
f)
10 Escreva na forma de potenciação e calcule
a) o quadrado de doze:
b) o cubo de menos nove:
c) a quinta potência de menos dois:
d) o quadrado de menos 10:
e) o oposto do quadrado de 10:
11 Calcule as operações indicadas e complete a tabela.
Número Quadrado Dobro Cubo Triplo
7
20
8
Matemática
Propriedades da multiplicação de números inteirosNa multiplicação de dois números inteiros, o resultado é sempre um número inteiro.
O produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro. Essa é a propriedade de fechamento para a operação de multiplicação.
Na multiplicação de números inteiros, é válida a propriedade comutativa.
A propriedade associativa é válida na multiplicação de números inteiros.
O número 1 é o elemento neutro da multiplicação de números inteiros.
Essa é a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adi-ção de números inteiros, que também é válida quando multiplicamos um número inteiro pela diferença de outros dois números inteiros.
Na multiplicação de dois números inteiros, a ordem dos fatores não altera o produto ou resultado.
=
48 = 48
Se associarmos três fatores de uma multiplicação de maneiras diferentes, o produto será o mesmo.
escolhido.
É possível multiplicar um número inteiro por uma soma algébrica. Isso é o mesmo que multiplicar esse número por todas as parcelas e, em seguida, adicionar os produtos obtidos.
= =
=
= =
] =
ou
9
atividades
1 Nas questões a seguir, verifique as propriedades indicadas e faça o que se pede.
a) Propriedade comutativa: transforme as multiplicações em adições de parcelas iguais e verifi-que que a ordem dos fatores não altera o produto.
b) Propriedade associativa: verifique que o produto não se altera ao se associarem os fatores de maneira diferente.
c) O elemento neutro da adição é o zero. Por que o elemento neutro da multiplicação não pode também ser zero?
d) inteiros? Explique sua resposta.
2 Verifique por meio de cálculos quais das seguintes igualdades são verdadeiras.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
10
Matemática
Divisão de números inteiros
De acordo com o diálo-go, Carlos quer contrair uma dívida de R$ 300,00 com sua mãe e pagá-la em 5 parcelas iguais a R$ 60,00. Uma dívida pode ser associada a um nú-mero inteiro negativo. Dessa forma, podemos representar a dívida de Carlos da seguin-te maneira:
Vamos estudar como são feitas as divisões exatas entre números inteiros, ou seja, aque-las divisões em que o resto é zero.
Die
go
Mun
hoz.
201
4. D
igit
al.
A divisão pode ser associada à ideia de repartir em partes iguais. Para indicar uma divisão, são usados os sinais : ou ÷.
O resultado da divisão entre
dois números positivos é sempre um número positivo.
número negativo e um número positivo é sempre um número negativo.
um número positivo e um número negativo é sempre um número negativo.
dois números negativos é sempre um número positivo.
o zero e um número inteiro, diferente de zero, resulta em zero.
0
um número inteiro e o zero não existe, o que indicamos com o símbolo . Por exemplo,
MÃE, PODERIA ME EMPRESTAR R$ 300,00 PARA EU COMPRAR UM
SKATE?
POSSO EMPRESTAR, MAS COMO PRETENDE ME
DEVOLVER?
JUROS É UM VALOR QUE SE PAGA PELO EMPRÉSTIMO
DO DINHEIRO.
TUDO BEM. E, COMO SOU SUA MÃE, NÃO COBRAREI
JUROS.
EM CINCO VEZES IGUAIS.
OBRIGADO, MÃE! FAREI, SIM!
DA PRÓXIMA VEZ, FAÇA UMA
POUPANÇA.
O QUE É ISSO?
Nem sempre é possível realizar a divisão no conjunto dos números inteiros. Há casos em que, dividindo-se dois números inteiros, nem sempre o quociente é um número inteiro. Veja
divisão. A divisão de números inteiros também não é comutativa nem associativa.
11
atividades
1 Complete o quadro a seguir.
MULTIPLICAÇÃO DIVISÃO
Fator Vezes Fator Igual Produto DividendoDividido
porDivisor Igual Quociente
= : =
= : =
= : =
= : =
0 = 0 : =
= : =
= : =
= : =
= : =
2 Determine o quociente em cada uma das divisões, se possível.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
3 Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto. O mesmo vale para a operação de divi-são? Explique sua resposta por meio de exemplos.
4 Escreva um número inteiro dentro de cada quadro de modo que as igualdades sejam verdadeiras.
a)
b)
c)
d)
12
Matemática
Expressões numéricas com números inteiros
Para resolvermos expressões numéricas com números inteiros, efetuamos primeiro as operações dentro dos parênteses, depois dentro dos colchetes e, em seguida, dentro das chaves, sempre considerando a ordem de resolução das operações.
Quanto às operações, resolvemos primeiro as potenciações e as radiciações, se houver, depois as multiplicações e as divisões, na ordem em que aparecem, e, na sequência, as adi-ções e as subtrações, também na ordem em que aparecem. Como agora estamos trabalhan-do com expressões que envolvem números inteiros, é importante analisar o sinal do resulta-do de cada operação antes de resolver a operação seguinte.
Observe:
Exemplo 1: Exemplo 2:3
atividades
1 A professora Margarida propôs um jogo de pega-varetas com 42 palitos no qual a pontuação é dada por números inteiros. Observe quantas varetas cada jogadora obteve em uma partida.
ANDREIA LUANA
Cor Valor Número de varetas Número de varetas
Preta 1 0
Vermelha 8 4
Azul 2 8
Amarela 5 1
Verde 6 7
a) Escreva uma expressão numérica para determinar a pontuação de cada jogadora.
b) Resolva as expressões e determine a pontuação de cada jogadora.
13
2 Sabendo que o produto entre os números da linha é igual ao produto dos números da coluna, des-cubra o número que falta.
3 Escolha um número entre 20 e 30, multiplique-o por 4, subtraia 8 unidades, divida o resultado por 4, some 9 e subtraia o número escolhido. Depois, repita a sequência de operações utilizando o simé-trico do número escolhido.
Registre os dois cálculos e compare os resultados obtidos.
Converse com seus colegas e compare seu resultado com os deles. O que se pode concluir?
4 Resolva as expressões numéricas. Lembre-se de resolver:
1º. ) as operações dentro dos parênteses ( );
3º. ) as operações dentro das chaves { }.
Você também deve respeitar a ordem em que as operações aparecem:
1º. ) potenciação; 2º. ) multiplicação e divisão; 3º. ) adição e subtração.
a) 3 2
b) 2 4 2
c) 3
d) 2 2
–4
–5
3
?6
14
Matemática
Die
go
Mun
hoz.
201
4. D
igit
al.
1 Gustavo estava digitando números na calculadora para resolver alguns problemas da tarefa de casa. Descubra qual das operações (multiplicação, divisão, adição ou subtração) ele usou nas situações a seguir.
a) 544 56 = 600
b)
c)
d)
e)
f) 4 780
g) 300
h)
2 Em cada item, escreva um número inteiro que corresponda à condição descrita. Quando não for possível, justifique sua resposta.
a)
b) 10.
c) d) Um número inteiro que, dividido por zero, tenha como quociente o número 4.
e)
3 Invente uma situação-problema como a apresentada na página 11, que seja resolvida por meio de uma multiplicação ou de uma divisão de números inteiros.
4 Calcule as potências a seguir.
a) 2 =
b) 2 =
c) 2 =
d) 3 =
f) 4 =
g) 2 =
h) 6 =
i) 5 =
e) 2 = j) 3 =
o que já conquistei
15
5 Calcule o resultado das expressões numéricas a seguir.
a)
b)
c)
d)
6 Um feirante comprou 27 dúzias de ovos por 135 reais para revender em sua mercearia por 8 reais cada dúzia. Percebendo que havia vendido somente 7 dúzias, decidiu reduzir o preço para 6 reais a dúzia e vendeu o restante.
a) Qual seria o prejuízo do feirante se tives-se vendido apenas as 7 dúzias?
b) Determine o lucro obtido pelo feirante.
(OBMEP) Joãozinho escreveu os números 1, 2 e 3 como resultados de operações envolvendo exa-tamente quatro algarismos 4, como na figura. Ele continuou até o número 8, como nas alternativas abaixo, mas cometeu um erro. Em qual das alternativas ele errou?
1 = (4 + 4) ÷ (4 + 4)
2 = 4 ÷ 4 + 4 ÷ 4
3 = (4 + 4 + 4) ÷ 4
a) b) c) d) e)
8 (VUNESP – SP) Em um prédio, cada andar tem um lance de escada com 12 degraus. Ernesto mora no 7º. andar e deixa seu veículo no 2º. subsolo. Ontem faltou energia elétrica e ele precisou subir pelas escadas. O total de degraus que ele precisou subir foi:
a) 84
b) 96
c) 102
d) 108
16
Matemática
9 Veja como podemos aplicar os conhecimentos aprendidos sobre operações entre números inteiros para usar um critério de divisibilidade por 7:
Para que um número seja divisível por 7, a soma algébrica de seus dígitos mul-tiplicados, da direita para a esquerda, pelos termos correspondentes da sequência 1, 3, 2, –1, –3, –2, 1, 3, 2, –1, –3, –2, ... deve ser múltiplo de 7.
Por exemplo, vamos verificar se o número 2 413 516 é divisível por 7:
Abaixo de cada dígito desse número, da direita para a esquerda, escrevemos a sequência 1, 3, 2, –1, –3, –2, 1, 3, 2, ...
A soma algébrica que deve ser feita é:
E como o resultado é um múltiplo de sete, então 2 413 516 é divisível por 7.
Use a regra e verifique se os números a seguir são divisíveis por 7.
a) 875 b) 9 476 c) 1 099 d) 13 531
10 (OBMEP) O múltiplo irado de um número natural é o menor múltiplo do número formado apenas pelos algarismos 0 e 1. Por exemplo, o múltiplo irado de 2, bem como de 5, é 10; já o múltiplo irado de 3 é 111 e o de 110 é ele mesmo.
a) Qual é o múltiplo irado de 20?
b) Qual é o múltiplo irado de 9?
c) Qual é o múltiplo irado de 45?
d) Qual é o menor número natural cujo múltiplo irado é 1110?
11 Uma instituição de caridade separou brinquedos arrecadados em caixas para posteriormente doá--las a duas associações A e B. Esses brinquedos foram separados da seguinte maneira: uma caixa contém apenas 1 brinquedo, outra tem 3 brinquedos, uma terceira tem 6, a outra contém 10, uma quinta caixa contém 15 e a última contém 21 brinquedos.
a) É possível que as quantidades de brinquedos direcionadas às duas associações sejam iguais, sem que as caixas sejam abertas. Justifique essa afirmativa.
b) Se uma caixa de brinquedos for distribuída, as caixas restantes terão uma quantidade de brin-quedos que permite formar dois grupos com quantidades iguais, de modo que seja possível manter todas as caixas fechadas. Qual caixa é essa?
c) Considerando a possibilidade de abrir as caixas, quais duas caixas de brinquedos podem ser doadas, de modo que a quantidade de brinquedos restante permita formar dois grupos de brinquedos, sendo ambos múltiplos de sete? Há mais de uma resposta?
d) Se forem doadas três caixas de brinquedos, a quantidade restante permite formar dois grupos de brinquedos, sem abrir as caixas, cuja quantidade é múltiplo de três. Nesse caso, quais caixas deverão ser doadas?
2 4 1 3 5 1 6
...1 –2 –3 –1 2 3 1
2 –8 –3 –3 10 3 6
x x x x x x Número analisado
Sequência aplicada
Produtos
x
©Shutterstock/Nikkytok
capí
tulo 5
No cockpit (cabine de pilotagem) de qualquer aerona-
ve, pequena ou grande, estão presentes alguns instrumen-
tos básicos. Fazendo a leitura correta desses instrumentos,
o piloto pode saber em que altitude está a aeronave e iden-
tificar em que ponto do trajeto se encontra.
Você consegue imaginar como essas informações são
transmitidas a um piloto e como ele usa os instrumentos
do cockpit para verificar se está no rumo certo em um voo?
Medidas de ângulos
Ângulos formados entre retas concorrentes
Ângulos internos e externos de polígonos
Triângulos
o que vocêvai conhecer
Ângulos e triângulos
18
Matemática
Classificar ângulos em relação à sua medida e construí-los utilizando instrumentos.
Identificar ângulos opostos pelo vértice, ângulos internos e externos.
Construir triângulos usando ferramentas de desenho.
Reconhecer polígonos regulares que pavimentam o plano.
objetivos do capítulo
Medidas de ângulos
Ao longo do tempo, com o desenvolvimento dos povos, foram inventados e aper-
feiçoados vários instrumentos de medição usados para localização terrestre, marítima e
aérea. Esses aparelhos também se mostraram úteis para realizar levantamentos topográ-
ficos, divisão de terras, para a astronomia, a cartografia, etc. Veja a seguir alguns desses
instrumentos de medição.
Um instrumento de medição que já tivemos oportunidade de utilizar é o transferidor.
Ele serve para medir ângulos e giros, o que também pode ser feito com os instrumen-
tos citados anteriormente.
Astrolábio náutico
©S
hu
tte
rsto
ck/
Sh
ap
ov
alo
va
Ele
na
Teodolito
©S
hu
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rsto
ck/
AN
GH
Sextante
©S
hu
tte
rsto
ck/
Ta
tia
na
Po
po
va
GPS
270 280 290 300310
320330
340350
010
2030
40
5060
708010011012
0130
14015
016
0170
180
190
200
210
220
23024
0 250260
260 250 240 230
220210
200190
180
170160
150140
130120110100
908070
6050
4030
2010
035034
033
0320
310 30
0 290280
Transferidor de 360°
90 100 110 120 130
140150
160170
0
8070
60
50
4030
2010
0
1020
3040
5060
7080100110
120
130
140
150
160
170
180 180
Transferidor de 180°
Ilust
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es:
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4. D
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Gal
veia
19
Identificação e nomenclatura de ângulos
Na tela de controle do avião mostra-da ao lado, a seta roxa indica a direção da pista do aeroporto do qual o piloto acaba de decolar. A seta vermelha indica a dire-ção do destino da viagem. Para seguir na direção correta, o piloto precisa realizar um giro na aeronave que corresponda a um valor menor que um quarto de volta completa.
É possível determinar a medida exata atribuída ao menor giro (ângulo) utilizando o GPS ou outros instrumentos de navegação. Mas você sabe o que é um ângulo?
Um arco indica qual abertura deve ser considerada: se o maior ou o menor giro. Quando não há arco, considera-se o menor ângulo, ou seja, o ângulo da região convexa do plano determinada pelas semirretas de mesma origem. O maior ângulo compreende a região do plano chamada côncava.
Lembre-se de que semirreta é uma parte da reta que tem origem e é infinita em um dos sentidos. Veja a representação da semirreta OB:
origem em O
Ângulo é qualquer região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem.
B
A
o RRRReggiãão convexaO
OOOO
BBBB
AAAA
ReReRegeggR iãoãoiãoião cccôncôncaavaavava
©Sh
utte
rsto
ck/N
adez
da
Mur
mak
ova
Elementos de um ângulo
As semirretas OA e OB são denominadas lados do ângulo.
Indicamos semirreta OA ou simplesmente OA� ���
.
O ponto O, origem de OA� ���
e OB� ���
, é chamado de vértice do ângulo.
A medida de um ângulo é indicada por m(AÔB). Para simplificar essa notação, podemos usar apenas m(Ô) ou â.
Notações do ângulo da figura: AÔB, BÔA ou Ô.
O B
a
A
Bo
20
Matemática
Unidade de medida de ângulos (grau)
Os povos da Mesopotâmia, em especial os babilônios, desenvolveram conhecimen-tos e técnicas para resolver os problemas do cotidiano. Eles se dedicaram ao estudo da matemática e da geometria a fim de construir templos e palácios e também ten-tar controlar as enchentes dos rios Tigre e Eufrates.
Além disso, desenvolveram pesquisas na área da astronomia, estudando os plane-tas e as estrelas, bem como seus movimen-tos. Em consequência de seu sistema de numeração sexagesimal (de base sessenta), credita-se a esses povos a divisão do círculo em 360 partes. Mais tarde, cada uma dessas partes foi denominada grau.
Nas figuras a seguir, estão exemplificados ângulos cujas medidas são comparadas com a divi-são do círculo feita pelos babilônios.
O
60oO
1°
111
36333 0000� ���� da volta completa
:
:
606006060000
363636360000
1111
6666
60000
60606060
� ��� ���� da volta completa
A escolha do número 360 para a divisão de uma circunferência completa foi conveniente, pois 360 é um número que tem um grande número de divisores inteiros.
O ângulo é raso ou de meia-volta quando o giro de uma das
semirretas é de meia-volta, ou seja, quando as semirretas são
opostas.
O ângulo é de uma volta completa quando o giro de uma das
semirretas é completo, ocupando totalmente o plano.
O ângulo é nulo quando as semirretas coincidem.
O BA
O BA
O BA
Fonte: ATLAS histórico escolar. Rio de Janeiro: MEC/Fename, 1988. Adaptação.
Antiga Mesopotâmia
Lu
cia
no
Da
nie
l T
uli
o
21
atividades
1 Em nosso cotidiano, muitas são as situações em que os ângulos estão presentes. Identifique e mar-que, utilizando a régua, pelo menos dois ângulos em cada uma das imagens a seguir.
a) b)
©S
hu
tte
rsto
ck/T
hia
go
Le
ite
©S
hu
tte
rsto
ck/A
fric
a S
tud
io
2 Complete a tabela indicando a medida do ângulo correspondente a cada fração de uma volta completa.
Fração de uma volta completa
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
8
1
9
1
10
1
12
Medida do ângulo
3 A Terra executa dois importantes movimentos, um em torno de um eixo e outro em torno do Sol. Esses movimentos são responsáveis pela existência dos dias, das noites e das quatro estações do ano. Eles estão representados nas figuras a seguir. Reúna-se com um co-lega e, recordando o que vocês estudaram em Geografia e em Mate-mática, respondam às questões propostas.
Polo Norte
Polo SulEquador
1°
Eixo imaginário
Verão
N
N
N
S
S
S
S
N
Outono
Outono
Inverno
Inverno
Primavera
Primavera
Verão
Div
o P
ad
ilh
a. 2
00
7. D
igit
al.
22
Matemática
a) Como é chamado o movimento responsável pela existência da noite e do dia? E pelas estações do ano?
b) Quanto tempo a Terra leva para dar uma volta completa em torno de seu eixo? E em torno
c) Quanto mede o ângulo correspondente a uma volta completa? Como ele é chamado?
d) Após 1 hora, quantos graus a Terra girou em torno de si própria?
e) Qual é a medida do ângulo correspondente ao giro que a Terra executa das 23 horas do dia 5 de maio às 4 horas do dia 6 de maio do mesmo ano?
4 Existem seis ângulos distintos na figura a seguir. Escreva quais são eles.
Ângulo 1:
Ângulo 2:
Ângulo 3:
Ângulo 4:
Ângulo 5:
Ângulo 6:
5 Complete o a tabela referente aos ângulos descritos pelo ponteiro dos minutos quando este gira:
De Para Medida do ângulo
3 4
4 7
7 11
11 5
OA
C
B
D
12
657
48
11
10
9 3
2
1
23
Medindo ângulos com o transferidor
Observe como medir um ângulo usando um transferidor de 180°.
Jack
Art
. 201
4. D
igit
al.
Os ângulos em que a abertura mede exatamente 90° são denominados ângulos retos. Eles são identificados por um quadradinho com um ponto em seu centro.
Os ângulos cuja medida é maior que 0° e menor que 90° são denomina-dos ângulos agudos.
Os ângulos cuja medida é maior que 90° e menor que 180° são denomi-nados ângulos obtusos.
Posicione o transferidor sobre o ângulo que você quer medir, fazendo coincidir o centro do transferidor com o vértice O do ângulo. Ajuste a linha de fé de tal forma que a indicação 0° (zero grau) se sobreponha a um dos lados do ângulo. Assim:
Centro
Escala
Linha de fé
Centro
la
O
A
B
O
A
B
a
A
BaO
Ilust
raçõ
es: C
esar
Sta
ti. 2
007.
Dig
ital
.
Nesse caso, olhando a escala a partir do 0° até o outro lado, vemos que o ângulo AÔB mede 30°. Podemos escrever assim: m(AÔB) = 30° ou a = 30°.
24
Matemática
atividades
1 No mapa, está registrada a rota que um motorista deve seguir dentro de uma cidade durante seu trabalho. Usando um transferidor, meça os ângulos de giro indicados e escreva as medidas ao lado.
2 Determine as medidas dos ângulos indicados.
a) m (AÔB) =
b) m (BÔE) =
c) m (EÔF) =
d) m (AÔG) =
e) m (CÔD) =
f) m (BÔC) =
g) m (AÔC) =
h) m (BÔF) =
i) m (AÔD) =
j) m (DÔE) =
k) m (FÔG) =
l) m (CÔE) =
3 Agora, complete a tabela a seguir classificando todos os ângulos dos itens da atividade anterior.
Reto(s) Agudo(s) Obtuso(s) Raso(s)
a =
b =
c =
O A
B
CD
E
F
G
Ce
sar
Sta
ti. 2
00
7. D
igit
al.
©S
hu
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rsto
ck/T
ish
11
âb
c
25
Construindo ângulos com o transferidor
O procedimento para construir um ângulo com o transferidor é semelhante ao usado
para medir um ângulo com esse instrumento, pois são considerados os mesmos elementos:
o centro como vértice, a linha de fé como lado e a escala impressa como medida do ângulo.
Veja a seguir como construir o ângulo AÔB de 40°, no sentido horário, com o transferidor.
Trace um dos lados do ângulo a partir de um ponto O, que será o vértice.
Alinhe este lado com a linha de fé, de modo que o centro do transferidor coincida com o ponto O.
Observando a escala a partir do 0º, marque o ponto A, de acordo com a medida desejada, neste caso, 40°.
Agora, é só traçar a semirreta OA, que forma o outro lado
do ângulo.
90
100110
130
140
15
0
16
01
70
18
0 01
02
0
30
40
50
60
708090
8070
60
50
40
30
20
10
0
18
01
70
16
0
15
0
140
130
120
110100
120
Centro
Escala
Linha de fé
Ilu
stra
çõe
s: C
esa
r S
tati
. 20
07
. Dig
ita
l.
atividades
1 Usando um transferidor, construa os ângulos indicados.
a) m (AÔB) = 71°
b) m (CÔD) = 97°
c) m (EÔF) = 118°
d) m (GÔH) = 145°
2 Construa um ângulo qualquer agudo e um obtuso. Em seguida, escreva a medida de cada um deles.
26
Matemática
Ângulos formados entre retas concorrentes
Este edifício fica na cidade de Chicago, nos Estados Unidos da América. Sua fachada é de-corada com várias retas, algumas paralelas en-tre si e outras concorrentes a elas.
Use um transferidor para medir os ângulos formados pelas duas vigas em destaque. Va-mos descobrir o que há de interessante nessas medidas.
Ângulos complementares e suplementares
Note que, com as medidas desses quatro ângulos, podemos formar pares cujas somas são iguais a 180°, ou seja, formam um ângulo raso:
a b� � �180 a d� � �180 b c� � �180 c d� � �180
Quando isso acontece, dizemos que os ângulos são suplementares.
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°.
Observe:
150o
30o
B
C
D
m(BÂC) + m(CÂD) = 180°
30° + 150° = 180°
BÂC e CÂD são ângulos suplementares.
BÂC é denominado suplemento de CÂD e vice-versa.
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°.
Observe:
60o
30o
D
A
C
B
m(BÂC) + m(CÂD) = 90°
30° + 60° = 90°
BÂC e CÂD são ângulos complementares.
BÂC é denominado complemento de CÂD e vice-versa.
Os pares de ângulos cuja soma é igual a 90° também recebem uma nomenclatura específica. Eles são chamados de complementares.
©Sh
utte
rsto
ck/R
Sca
pin
ello
a
c
bd
27
atividades
1 Determine o suplemento dos ângulos indicados a seguir.
a) a = 59°
b) b = 115°
c) c = 127°
d) d = 82°
2 Determine o complemento dos ângulos indicados a seguir.
a) a = 67°
b) b = 25°
c) c = 16°
d) d = 39°
3 Quanto mede a metade do suplemento de um ângulo de 56°?
4 As figuras mostram um homem empurrando uma esfera em três rampas com diferentes inclinações.
90 cm 90 cm 90 cm
Ces
ar S
tati
. 20
07. D
igit
al.
Observe atentamente cada uma das figuras e, de modo intuitivo ou utilizando um transferidor, responda às questões propostas.
a) Comparando-se os ângulos de inclinação das rampas, é possível perceber que eles aumentam ou diminuem da figura 1 para a figura 3?
b) O que se pode concluir ao comparar os comprimentos das rampas aos respectivos ângulos?
c) Em qual das figuras o homem se esforça menos para deslocar a mesma esfera?
d) Com base nas respostas anteriores, complete as lacunas com o termo “maior” ou “menor”.
Utilizando rampas para atingir uma mesma altura, quanto maior for o ângulo de inclinação da ram-
pa, será a distância a ser percorrida e será o esforço empregado para percorrê-la.
Figura 1 Figura 3Figura 2
28
Matemática
5 Calcule as medidas desconhecidas dos ângulos em cada caso.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
120°
a72°
a
a
30°
57°b
27°
b 30°
25°a
120°
a
10°a 143,5°53,5°
x
30°
150°ae
29
Ângulos opostos pelo vértice
Em estruturas metálicas nas fachadas de prédios como este ou nas construções de telha-dos, costuma-se utilizar o formato de triângu-los para dar rigidez à estrutura. Isso porque o triângulo é uma figura rígida, ou seja, por mais que você pressione um de seus lados, o triân-gulo não se deforma.
Agora observe as duas retas concorrentes e os ângulos formados por elas.
Ao medirmos os quatro ângulos indicados na fachada do edifício, podemos perceber que, entre os ângulos formados pelas duas retas, há pares que têm a mesma medida:
a = c e b = d
Dois ângulos são denominados opostos pelo vértice (o.p.v. ou OPV) quando têm o mes-mo vértice e os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.
Os ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida, isto é, são congruentes. Veja:A
B C
D
Vd
b
c
a
m BVD m AVC ou a c
m AVB m CVD ou d b
( ) ( )
( ) ( )
� �
� �
O símbolo representa que os ângulos são congruentes.
atividades
1 De acordo com a figura, responda às questões propostas.
a) Quais são os pares de ângulos
suplementares?
congruentes?
b) Se â mede 53°, quanto mede c? E quanto mede b?
d
b
c a
©Sh
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ck/R
Sca
pin
ello
a
c
bd
30
Matemática
2 Calcule a medida de cada ângulo das figuras a seguir.
a)
b)
c)
d)
O
AC
B45°
b
ca
50o
83o
17o
x
y O
a a
aO
EF
A D
B C
O
E D
C
BA
Fz
y
x
w95°
17°
3 Quando temos duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal, podemos observar ângulos suplementares e OPV determinados por elas.
a) Escreva todos os pares de ângulos suplementares e todos os pares de ângulos OPV da figura.
b) Os ângulos b e f ocupam a mesma posição nas retas paralelas em relação à transversal e têm a mesma medida. Ângulos como esses são ângulos correspondentes. Observando a figura,
escreva todos os pares de ângulos correspondentes.
c) Sabendo que a = 127°, determine a medida de todos os outros ângulos da figura.
b
f
hh
d c
g
â
r
t
s
ê
31
Ângulos internos e externos de polígonos
Os lados de um polígono qualquer também for-mam ângulos entre si.
Chamamos de internos os ângulos que são for-mados por dois lados consecutivos e que estão si-tuados na região interna do polígono.
Chamamos de externos os ângulos formados entre um lado do polígono e o prolongamento de outro lado.
Podemos observar que o ângulo interno e seu respectivo ângulo externo são suplementares.
Ângulos em polígonos regulares
A imagem abaixo representa a pavimentação de um plano por um mesmo tipo de polí-gono. É necessário que um polígono apresente algumas características especiais para que cubra completamente o plano.
Observe alguns polígonos que podem ser usados para pavimentar um plano.
Na pavimentação com hexágonos, note que os ângulos em torno de seus vértices somam 360° e que a medida de seus lados é a mesma. Isso permite que se encaixem perfeitamente.
A
B
C
DH G
FI
E
A
B
C
D
H G
FI
E
Em qualquer polígono, o ângulo interno e seu respectivo ângulo externo somam 180°, ou seja, são suplementares.
pavimentação de um plano: consiste em acomodar polígonos em uma superfície plana, de modo que não haja sobreposição nem espaço entre eles.
90° 90°
90° 90°
60°
60°60°
120° 120°
120°120°
120°120°
45o 45o135o
135oA
BC D
120º
120º
120º
Polígonos que têm lados congruentes e ângulos congruentes são chamados de regulares. Dos polígonos acima, A, B e C são polígonos regulares.
32
Matemática
atividades
1 Utilizando um transferidor, determine as medidas dos ângulos interno e externo indicados em cada um dos polígonos e classifique-os em agudo, obtuso ou reto.
âê
â =
Classificação:
ê =
Classificação:
âê
â =
Classificação:
ê =
Classificação:
âê
â =
Classificação:
ê =
Classificação:
âê
â =
Classificação:
ê =
Classificação:
2 Pinte e recorte os polígonos regulares do material de apoio e, em uma folha de papel retangular, crie uma composição de polígonos que pavimentem a superfície da folha.
3 Cada ângulo externo de um octógono regular mede 45°.
É possível pavimentar o plano utilizando apenas este tipo de polígono? Explique seu raciocínio.
45°
33
Triângulos
Dois instrumentos bastante utilizados para desenhar polígonos são os esquadros. Como é possível ver na ilustração, eles têm forma triangular e podem ser de dois tipos: esquadro de 45° e esquadro de 60°.
Usando um transferidor, meça os ângu-los internos dos triângulos e identifique qual deles é o de 45°.
Você também pode verificar, utilizando um transferidor, que a soma das medidas dos ângulos de cada esquadro é 180°. Essa é uma característica comum a todos os triângulos.
©Shutterstock/Attaphong
A soma das medidas dos ângulos inter-nos de qualquer triângulo é igual a 180°.
atividades
1 Utilizando seus conhecimentos sobre a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo, determine a medida do ângulo x em cada figura sem usar instrumentos de medição de ângulos.
a) b)
2 Leia o texto a seguir.
x
31°120°
59,5°x
Boeing põe seus engenheiros para projetar aviões… de papel!
A Boeing desafiou seus engenheiros a projetarem os melhores aviões de papel que pudes-sem. E o fez com a certeza de que colocá-los para construir aviões de papel com suas próprias mãos é a melhor forma de inspirá-los no pioneirismo inovativo dos futuros projetos que ocupa-rão os céus ao redor do mundo nos próximos 100 anos.
BASSETO, Murilo. Boeing põe seus engenheiros para projetar aviões… de papel! Disponível em: <http://www.aeroin.net/boeing-poe-engenheiros-projetar-avioes-papel/>. Acesso em: 23 nov. 2018.
34
Matemática
Observe a seguir os passos para a construção de um modelo de avião de papel.
a) Veja algumas medidas dos ângulos formados pelas dobra-duras no passo 4. Calcule a soma das medidas dos ângulos de cada um dos triângulos em destaque.
1
5 6 7
8 9
2 3 4
38° 32°
32°
58°
ab
110°
Construção de um triângulo com régua e compasso
Veja a seguir como construir um triângulo ABC. Atente para as seguintes medidas dos
lados:
a = 6 cm; b = 4 cm; c = 5 cm
1. Trace o segmento BC com a me-
dida do segmento a.
2. Com a abertura do compasso
igual à medida c, coloque a ponta-seca
em B e trace um arco.
3. Com a abertura do compasso
igual à medida b, coloque a ponta-seca
em C e trace outro arco, de forma que
ele cruze o arco já traçado.
4. No ponto onde os dois arcos se
encontram, marque o ponto A. Com
a régua, trace os segmentos AB e AC para formar o triângulo ABC.
43
B Ca
1 2
B Ca
5 cm
B Ca
4 cm
B C
A
bc
a
b) Calcule as medidas dos ângulos â e b.
35
atividades
1 Construa os triângulos com as medidas indicadas e depois responda às perguntas propostas.
Triângulo 1: a = 3 cm; b = 4 cm; c = 5 cm
Triângulo 2: a = 7 cm; b = 5 cm; c = 3 cm
Triângulo 3: a = 7 cm; b = 6 cm; c = 5 cm
a) Qual dos triângulos apresenta todos os ângulos agudos?
b) Qual dos triângulos é retângulo?
c) Qual dos triângulos é obtusângulo?
2 Verifique se é possível construir um triângulo com as seguintes medidas:
a = 7 cm; b = 2 cm; c = 3 cm
a) Foi possível fazer a construção do triângulo com régua e compasso?
b) Experimente mudar a medida do lado b até conseguir construir o triângulo. Qual medida foi
adequada?
Para que seja possível construir um triângulo, a soma das medidas de quaisquer dois de
seus lados deve ser maior que o comprimento do terceiro lado.
a + b > c a + c > b b + c > a
3 Marque com um X os itens que correspondem a triângulos que podem ser construídos com as me-didas dos lados indicadas.
( ) a = 15 cm; b = 10 cm; c = 12 cm
( ) a = 60 cm; b = 30 cm; c = 50 cm
( ) a = 50 cm; b = 10 cm; c = 12 cm
( ) a = 150 cm; b = 100 cm; c = 120 cm
4 As imagens a seguir mostram o passo a passo para a construção de um triângulo equilátero de lado 5 cm.
Escreva com suas palavras o que deve ser feito em cada passo.
1.
2.
B C5 cm
B C
5 cm
36
Matemática
3.
4.
5.
B C
B C
A
B C
A
Início
Fim
Trace um segmento BC com
medida 4 cm.
Use o compasso com a mesma abertura do segmento BC e trace
Com a abertura do compasso igual a 2 cm, trace outro arco com centro em
C, de forma que ele cruze com o arco já
traçado.
Coloque a ponta-seca do compasso no ponto B.
Determine o ponto A como o encontro
dos dois arcos traçados.
Ligue os pontos A e C, formando o triângulo ABC
pedido.
Agora, trace o outro segmento BA cuja medida também é de 4 cm.
Depois de traçar o primeiro arco, coloque a ponta-
-seca do compasso no ponto C.
5 A figura a seguir mostra o passo a passo de uma construção geométrica, porém sem as setas que indicam a ordem que deve ser realizada. Desenhe as setas que completam este esquema.
Como construir um triângulo de lados 4 cm, 4 cm e 2 cm:
37
1 Complete a tabela associando a fração do giro de uma volta à medida em graus ou vice-versa.
Fração de uma volta completa 11
2
5
12
1
24
Medida em graus 90° 30° 135°
2 Utilizando um transferidor, meça os ângulos indicados. Observe a postura corporal nas duas situa-ções que mostram o uso do notebook.
Uso de notebook com suporte e sem suporte.
Jack
Art
. 201
4. D
igit
al.
3 Efetuando os cálculos necessários, determine a medida dos ângulos indicados por x e z.
a)
b)
c)
34° z
x
62°
137,5°
32,5°x
Medida do ângulo: Medida do ângulo:
38
Matemática
4 Determine o que se pede em cada item.
a) O complemento do ângulo de 79°.
b) O suplemento do ângulo de 62°.
c) O complemento do suplemento do ângulo de 135°.
d) O complemento do ângulo de 25,5°.
5 Complete as lacunas corretamente nas frases a seguir.
a) Dois ângulos cujas medidas somam um ângulo reto são chamados de . Dizemos então que um desses ângulos é o do outro.
b) Dois ângulos suplementares são aqueles cuja soma é igual a . Um exemplo são os ângulos de medidas 138,5° e .
6 Cada ângulo interno de um pentágono regular mede 108°.
Observe as duas figuras e explique por que não é possível fazer a pavimentação de um plano usan-do pentágonos regulares.
7 (LAOSP – SP) Para pintar a fachada lateral de um prédio, os pintores utilizaram duas escadas, AD e BE, que formavam entre si um ângulo de 45º, conforme mostra a figura. Sabendo que x mede 10º, então y valerá:
a) 25° b) 30° c) 35° d) 40°
a
108°
a a
aa
FD
y
A B C
45°
E
x
39
capí
tulo
Uma das profissões que atraem um número cada vez maior de pessoas é a de confeiteiro. As técnicas de confecção de bolos e biscoitos têm se tornado cada vez mais complexas. É preciso estudar bastante para domi-ná-las e especializar-se nessa área.
Desde o início de sua formação, o futuro confeiteiro aprende a importância de medir corretamente a quanti-dade de cada ingrediente. Você já viu uma receita de al-gum tipo de doce? Como as quantidades são indicadas?
Números racionais6
Conjunto dos números racionais
Localização de números racionais na reta numérica
Problemas envolvendo números racionais
o que vocêvai conhecer
©Shutterstock/Zu Kamilov
40
Matemática
Conjunto dos números racionais
Nas confeitarias, em geral, as receitas rendem uma grande quantidade de produtos. Veja os ingredientes necessários para fazer 75 alfajores:
Perceber a necessidade de ampliação do conjunto dos números inteiros.
Definir o conjunto dos números racionais.
Expressar números racionais nas formas fracionária e decimal.
Comparar e ordenar dois ou mais números racionais.
Resolver expressões numéricas com números racionais.
Os números que indicam as quanti-dades de ingredientes em quilogramas são exemplos de números racionais escritos na forma decimal.
Foi pela necessidade de registrar resultados não inteiros que os núme-ros racionais foram criados.
A maioria dos ingredientes usados na receita dos alfajores correspon-de a uma quantidade menor do que 1 kg, ou seja, apenas uma parte de um quilograma.
Podemos representar as mesmas quantidades na forma de uma fração do quilograma, como consta na tabela ao lado.
Ingrediente Quantidade Fração
Farinha de trigo 0,3 kg3
10 kg
Açúcar 0,7 kg7
10 kg
Amido de milho 1,15 kg 115
100 kg
Margarina sem sal 0,25 kg1
4 kg
Ovos inteiros 0,3 kg3
10 kg
Gemas 0,175 kg175
1000 kg
Doce de leite em pasta 0,8 kg8
10 kg
Chocolate para cobertura 1,2 kg 12
10 kg
Ingredientes
Farinha de trigo..............................0,3 kg
Açúcar...............................................0,7 kg
Amido de milho............................1,15 kg
Margarina sem sal.......................0,25 kg
Ovos inteiros...................................0,3 kg
Gemas..........................................0,175 kg
Doce de leite em pasta.................0,8 kg
Chocolate para cobertura............1,2 kg
©Shutterstock/Rocharibeiro
41
Na cozinha de uma confeitaria, também é muito importante controlar com rigor a tem-
peratura ideal para assar e refrigerar os alimentos. Nesse tipo de local, há equipamentos
especiais que dispõem de display digital para que se possa fazer esse controle. Veja a seguir
alguns exemplos.
Equipamento Temperatura Forma fracionária
Forno (biscoitos) +178,5 °C1 785
10
Forno (suspiros) +115 °C 115
Congelador58
10
Freezer179
10
Um número racional negativo, quando escrito na forma de fração, pode ter seu sinal po-
sicionado antes da fração ou então no numerador ou no denominador, como neste exemplo:
� ��
��
3
4
3
4
3
4
Geralmente, o sinal que indica que o número é negativo fica posicionado antes da fração.
Se o número for positivo, o sinal pode ser omitido.
Número racional é todo aquele que pode ser representado como uma divisão de dois
números inteiros, sendo o segundo número diferente de zero. É possível defini-lo também
como aquele que pode ser escrito na forma a
b, significando a : b, em que a e b são números
inteiros e .
O conjunto de todos esses números é denominado de conjunto dos números racionais
e é indicado pela letra , que vem da palavra “quociente”.
Exemplos:
0,5 é um número racional, pois pode ser representado na forma de fração:
0 55
10
1
2
10
20, , entre outras equivalentes.
4 é um número racional, pois pode ser representado por um quociente entre dois núme-
ros inteiros:
44
1
8
2
12
3, entre outras equivalentes.
0 é um número racional, pois pode ser representado por uma fração entre dois números
inteiros:
00
10
0
5, entre outras equivalentes.
Todo número natural é inteiro e racional. Todo número inteiro é racional.
42
Matemática
atividades
1 Muitos turistas, atraídos pela possibilidade de ver a neve, visitam a cidade de São Joaquim no perío-do do inverno. A seguir, está registrada a variação da temperatura, em graus Celsius, nas primeiras oito horas de um dia de inverno nessa cidade.
TemperaturaTemperatura em São Joaquim
horas
00:00
1
0,5
0
–0,5
–0,8–1
–1,5
01:00 02:00 03:00 04:00 05:00 06:00 07:00 08:00
Com base no gráfico, responda às questões propostas.
a) De zero à 1 hora da manhã, a temperatura se manteve constante, isto é, permaneceu a mesma. Qual foi a temperatura registrada nesse período? Represente esse número na forma de fração e simplifique-a para obter a fração irredutível.
b) A que horas a temperatura atingiu pela primeira vez 0,5 °C abaixo de zero?
c) Às 7 horas da manhã, qual foi a temperatura registrada?
d) Das 6 às 8 horas da manhã, houve aumento ou diminuição da temperatura? Qual foi a variação dessa temperatura?
2 Considere um pedaço de corda de comprimento desconhecido.
a) Troque ideias com um colega e descreva uma maneira de cortar exatamente 1
8 dessa corda
sem medi-la.
b) Considerando a corda representada abaixo, indique 1
8 da figura e, em seguida, escreva o núme-
ro decimal correspondente à fração indicada.
Ra
qso
nu
.
20
14
. Dig
ita
l.
43
3 Jorge já viveu um quarto de dois séculos, dois terços de um ano e dois sétimos de uma semana. Quantos anos, meses e dias ele viveu até o momento?
4 As frações egípcias eram expressas na forma 1
número, isto é, todas as frações eram unitárias ou a
soma de frações unitárias.
Com base nessas informações, responda às questões a seguir.
a) Como representaríamos na forma egípcia a fração 2
4?
b) Segundo a representação egípcia, como escreveríamos 3
8?
c) Troque ideias com seus colegas e procure uma maneira de representar a fração 3
8 segundo a
forma egípcia, mas agora utilizando a adição de apenas duas frações. Tome como referência a solução do item anterior.
5 Represente com desenhos cada uma das frações.
a) 5
8b)
8
7c)
3
4d)
6
5
Quais das frações acima representam mais que um inteiro?
6 Agora, complete as sentenças com a palavra “maior”, “menor” ou “igual”.
Uma fração cujo numerador é que o denominador representa menos que um inteiro.
Uma fração cujo numerador é ao denominador representa exatamente um inteiro.
Uma fração cujo numerador é que o denominador representa mais que um inteiro.
7 Utilizando a representação egípcia, escreva cada item como uma adição de duas frações.
a) 5
8=
b) 3
4=
c) 8
7 =
d) 6
5 =
44
Matemática
8 A sequência 1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1
64, , , , , é formada somente por frações escritas na forma egípcia.
a) Compare cada termo dessa sequência com o termo anterior (a partir do segundo). O que é pos-sível concluir sobre a relação entre as frações?
b) Reescreva a sequência de modo que o denominador de cada fração seja uma potência de base 2.
c) Escreva os próximos três elementos da sequência representada no item b.
d) Indique o resultado de cada operação da tabela por meio da representação gráfica e de uma fração com numerador 1.
Operação Representação Fração
1
3
1
3
2
3
1
4
1
4
1
2
1
4de
1
4
1
2de
1
8
1
2de
1
2
1
8de
9 Observe os números escritos no quadro abaixo.
9
2 –7
5,81
10
5 36
1
4
12
–0,3
Quais pertencem ao conjunto dos números
a) naturais ( )? b) inteiros ( )? c) racionais ( )?
45
Representação de números racionais
Todo número racional escrito na forma fracionária pode ser representado na forma de-
cimal. Isso pode ser feito por meio de equivalências ou, simplesmente, da divisão do nume-
rador pelo denominador. Veja:
4
5
8
100 8
2
2
x
x
,
ou
4 5
0 0 8
0
,
Denomina-se fração decimal toda fração cujo denominador é uma potência de base 10.
Assim, 21
10
3
100
59
1000
294
10 000, , , , entre outras, são frações decimais.
Uma porcentagem pode ser representada na forma de fração, com denominador igual
a 100. Esse termo origina-se da palavra latina percentum, cujo significado é “por 100”.
33
1000 03% , Lemos: “três por cento”.
2121
1000 21% , Lemos: “vinte e um por cento”.
5050
1000 5% , Lemos: “cinquenta por cento”.
Números racionais com representação decimal finita também podem ser representa-
dos na forma de porcentagem.
1 85185
100185, % De modo prático, temos: 1 85 100 185, % %� � .
Ao passarmos os números racionais da forma fracionária para a forma decimal, eles po-
dem apresentar infinitas casas decimais, chamadas de dízimas periódicas.
Denomina-se dízima periódica qualquer número decimal não exato obtido da divisão
de dois números inteiros (com o divisor diferente de zero).
Uma dízima periódica tem infinitos algarismos na parte decimal que, a partir de certo
momento, se repetem em grupos de um ou mais algarismos. Chamamos esse grupo de
algarismos de período da dízima periódica. Observe os exemplos:
4
114 11 0 363636
1
91 9 0 111: , : ,
17309
999017309 9990 1 7326326: , ...
No primeiro exemplo, os algarismos que se repetem são 3 e 6, formando o período 36.
No segundo, repete-se o algarismo 1, formando o período 1.
No terceiro exemplo, após a vírgula, aparece o algarismo 7 seguido da repetição dos
alagrismos 3, 2 e 6, que formam o período 326.
Para abreviar a escrita, as dízimas periódicas podem ser representadas com um traço
sobre o período.
0 363636 0 36, , 0 1111 0 1 1 7326326 1 7326, ... , , ... ,
46
Matemática
atividades
1 Leia as informações apresentadas no infográfico e responda às questões propostas.
Fonte: CLUBE reduz em 45% o consumo de água entre fevereiro e agosto. Disponível em: <http://associacaoclube.com.br/clube/noticias/clube-reduz-45-o-consumo-de-agua-entre-fevereiro-e-agosto>. Acesso em: 18 jan. 2019.
a) Qual é o consumo mensal de água, em litros, de cada uma das 122 famílias mencionadas no infográfico?
b) Considerando-se a economia em reais, qual é o valor cobrado, aproximadamente, por metro cúbico de água pela rede de saneamento que atende ao clube analisado no infográfico?
c) O que significa dizer que houve uma redução de 45% no consumo de água?
d) Qual é a fração decimal correspondente a 45%?
©R
edaç
ão M
aíra
Zan
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ação
do
s Fu
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os
Púb
lico
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iag
ram
ação
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l/F&
N O
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e | I
lust
raçõ
es: F
reep
ik
47
2 Entre os séculos XI e XIII ocorreram as Cruzadas. Essas expedições, de caráter militar e religioso, tinham como um dos objetivos libertar do domínio muçul-mano os locais considerados sagrados pela Igreja Católica, como a cidade de Jerusalém.
Nesse período, ocorreram várias Cruza-das, mas é comum que se mencionem e se destaquem apenas algumas delas, como a Quarta Cruzada. Ela foi desvia-da de seu destino por Enrico Dando-lo, que se intitulou “senhor da quarta parte e da metade da quarta parte do Império Romano”. Com o intuito de ar-recadar riquezas, Dandolo ordenou a dominação de Constantinopla, capital do Império Bizantino.
DELACROIX, Eugène. Entrada dos cruzados em Constantinopla. 1840. 1 óleo sobre tela, color., 410 cm × 498 cm. Museu do Louvre, Paris.
b) Qual é o número decimal correspondente à fração do item anterior? Como se lê esse decimal?
c) A que porcentagem corresponde a parte do Império Romano sob o domínio do duque Dandolo?
Com base na frase " senhor da quarta parte e da metade da quarta parte do Império Romano" responda às questões propostas.
a) Que fração do Império Romano correspondia à parte sob o domínio do duque Dandolo? Para facilitar, faça também a representação gráfica.
©Museu do Louvre
48
Matemática
3 -da. Desde então, a escassez de água – recurso mais precioso para a sobrevivência e o bem-estar da humanidade – tem atingido proporções alarmantes.
2,5%Doce
97,5%Salgada
A distribuição das reservasHá, no mundo, 1,4 bilhão de
quilômetros cúbicos de água, boa parte dela salgada
Onde está a água doce
68,9%Geleiras
0,9%Na atmosfera
e em outras fontes
29,9%Leitos subterrâneos
0,3%Lagos e rios
Ces
ar S
tati
. 201
4. D
igit
al.
Quem gasta maisOs sistemas de irrigação são
os maiores responsáveis pelo
consumo de água em todo o
planeta
21%Indústria
6%Consumodoméstico
73%Agricultura
b) Que fração decimal corresponde ao consumo doméstico de água?
c) Lagos e rios representam que fração de toda a água doce do planeta?
d) Com relação a toda a água doce do planeta, escreva a fração decimal e o número decimal refe-rentes à quantidade de água nas geleiras.
De acordo com as informações do enunciado e do infográfico, responda às questões a seguir.
a) Que fração corresponde ao aumento da extensão global de territórios áridos que ocorre a cada década?
Fonte: Exame, São Paulo, n. 1056, p. 8-9, 25 dez. 2013. Cesar Stati. 2014. Digital.
49
4 Represente cada fração na forma de número decimal.
a) 4
5=
b) 1
5=
c) 6
4=
d) 25
10=
e) 31
2=
f) 1
3=
g) 1
6=
h) 7
8=
i) 12
99=
j) 11
4=
k) 1
990=
l) 45
990=
5 Compare a parte decimal dos números decimais não exatos encontrados na atividade anterior. O que eles têm em comum? Como são chamados os decimais não exatos obtidos em divisões como as que você efetuou?
6 Escreva cada número em notação decimal.
a) Quatro décimos:
b) Trezentos e dezoito negativos:
c) %:
d) 100%:
e) Um centésimo negativo:
f) 7
10:
7 Sabendo que em cada linha está representado um mesmo número, complete a tabela com o que está faltando.
Fração irredutível Fração decimal Número decimal Porcentagem
3
4
4
10
8 Represente cada fração na forma de número decimal. Em seguida, assinale V para as afirmações verdadeiras e F para falsas.
a) 12
24=
b) 95
190=
c) 25
125=
d) 130
260=
e) 1
5=
f) 50
2 500=
( ) Toda fração positiva cujo numerador é a metade do denominador tem como representação decimal o número +0,5.
( ) Todo número decimal exato tem infinitas frações que o representam.
( ) Toda fração tem infinitos números decimais que a representam.
( ) A fração 25
125 é equivalente à fração
12
24.
( ) Duas ou mais frações equivalentes têm a mesma representação decimal.
50
Matemática
9 A fração que dá origem a uma dízima periódica chama-se fração geratriz. Observe um método para obter a fração geratriz de algumas dízimas periódicas:
0 3636364
11, ...
1º. passo 2º. passo 3º. passo 4º. passo
Identificamos
o período
Identificamos
quantos algarismos
tem o período.
A fração geratriz da dízima tem como
numerador o período e como denominador
o número formado por tantos noves
quantos forem os algarismos do período.
Tornar, se
possível,
a fração
irredutível.
Período = 36
0,363636...
tem dois algarismos
de período0 363636
36
992
, ...
lg
período
a arismos
�
�36
99
4
11
9
9
�
��
Calcule as frações geratrizes das dízimas periódicas a seguir.
a) 0,111111111...
b) 0,456456...
c) 0,8484848484...
d)
10 Com o método apresentado na atividade anterior, descubra as frações geratrizes das dízimas perió-dicas abaixo.
a) 2,33333...
b) 4,212121...
c) 10,531531...
d)
51
Localização de números racionais na reta numérica
A representação geométrica dos números racionais é realizada de forma análoga à que é usada com os números inteiros, ou seja, cada número racional corresponde a um ponto na
reta numérica. Observe a localização dos números racionais 2
5
O número racional 2
5 está localizado na reta numérica
entre os números inteiros 0 e 1. Então, dividimos MN em 5 partes iguais e consideramos 2 dessas partes da esquerda para a direita, a partir do ponto M, marcando o ponto A.
O ponto A é a representação geométrica do número ra-
cional 2
5, e o número racional
2
5 é a abscissa do ponto A.
O número racional 0,8 é igual a 8
10 e está localizado en-
tre os números inteiros 0 e 1. Então, dividimos MN em 10 partes iguais e consideramos 8 dessas partes da es-querda para a direita, a partir do ponto M, e marcamos o ponto B.
O ponto B é a representação geométrica do número racional 0,8, e o número racional 0,8 é a abscissa do ponto B.
6
10 e está localiza-
do à esquerda do zero, entre os
e 0. Então, dividimos LM em 10 partes iguais e consi- deramos 6 dessas partes da direita para a esquerda, a partir do ponto M, marcando o ponto C.
Esse ponto é a representação geométrica do número abscissa do
ponto C.
M
A
N
0 12
5
Ilust
raçõ
es: C
esar
Sta
ti. 2
014.
Dig
ital
.
M
B
N
0 10,8
–1 2
L
C
M
0–0,6
–2 1–1
Para localizar um número racional na reta numérica, siga estas orientações:
Observe se ele é positivo ou negativo. Se for positivo, posiciona-se à direita do zero; se for negativo, à esquerda.
Descubra qual é o valor correspondente à sua parte inteira e à sua parte decimal. Esse va-lor pode ser obtido dividindo-se o numerador pelo denominador da fração ou separando--se a parte inteira da fração.
52
Matemática
Veja:
É positivo, então deve ser posicionado à direita do zero.
Não tem parte inteira, pois a fração é menor que um inteiro, ou seja,
2 : 3 = 0,666...
Portanto, está no segmento entre 0 e 1. Dividindo-se o segmento em três partes iguais, marca-se a segunda divisão. Caso o segmento seja dividido em 10 partes iguais, indica-se a localização aproximada entre 0,6 e 0,7.
É negativo, então deve ser posicionado à esquerda do zero.
Como � � �
�
�
� � �
�
�
� � �
�
�
� � �� �� �� �� �
�
�
� � �
10
4
4
4
4
4
2
41 1
1
22
1
22
in
Logo, esses números racionais devem ser localizados na reta numérica da seguinte forma:
0 1 2 3 4–1–2–3–4
2
3
10
4–
2
3
10
4
atividades
1 Observe alguns pontos localizados na reta numérica e, em seguida, responda às questões propostas.
0 2
A F G
BC ED
a) Qual é a abscissa do ponto A?
b) Qual é a abscissa do ponto D?
c) Que número racional corresponde ao ponto C?
d) Que ponto corresponde ao número 4
5 ?
e) Qual é a abscissa do ponto F na notação de fração?
f) Qual é a abscissa do ponto que está mais afastado do zero da reta numérica?
g) Como poderíamos calcular a distância do ponto G até o ponto E sob a reta numérica?
53
2 Observe as frações a seguir.
3
4
44
6
4
1
5
55
17
5
a) Quais desses números racionais representam um inteiro?
b) Quais desses números racionais representam menos que um inteiro?
c) Quais frações representam mais que um inteiro? Justifique sua resposta por meio de cálculos que expressem as frações da parte inteira e da parte decimal.
Localize as frações que representam mais que um inteiro na reta numérica.
0 1 2 3 4–1–2–3–4
3 Localize os números racionais abaixo na reta numérica.
a) 0,5 b) c) 0,7 d) e) f) 3,2
0 2 3
4 Durante uma corrida de 20 km, após 40 minutos de prova, quatro atletas percorreram parte do percurso total, conforme os dados a seguir.
Mauro: 1
5 do percurso.
Paula: 5
10 do percurso.
Jorge: 2
5 do percurso.
Gisele: 3
10 do percurso.Paula:
5
10do percurso. Gisele:
3
10do percurso.
©Sh
utte
rsto
ck/J
aco
b L
und
54
Matemática
Represente na figura abaixo a posição que cada atleta ocupa na pista, fazendo a devida localização pela primeira letra do nome de cada um deles. Depois, responda às questões propostas.
a) Após 40 minutos de prova, quem estava na frente?
b) Paula está a quantos quilômetros do fim do percurso?
5 Construa uma reta numérica para cada item e localize os pontos indicados pelas respectivas abscissas.
a) 7
2 C:
13
5 D: 0,8
b) 3
2 G:
9
2 H:
5
2
6 Na reta, estão localizados os pontos A, B e C. Sabendo que as unidades estão divididas em partes iguais, determine, na forma de fração irredutível e de número decimal, o número racional corres-pondente a cada um desses pontos.
0
A BC
1 2–1–2
Ces
ar S
tati
. 200
7. D
igit
al.
55
Comparando números racionais
Na comparação entre dois números racionais diferentes representados na reta numéri-
ca, o maior é o que está representado à direita do outro.
Observe os números racionais representados na reta numérica a seguir e os símbolos de
maior que (>), menor que (<) ou igual a (=) utilizados para expressar essas relações.
0 1 2–1–2
1
5
1
2
2,512
5–
7
5–
1
2–
� � �12
5
7
5� � �
7
5
1
2� �
1
2
1
2�
1
50 �
1
2
1
5�2 5
1
2, �2 5
5
2,
atividades
1 Os retângulos a seguir representam uma mesma barra de chocolate. Observe a divisão de cada figura em partes iguais e responda às questões propostas.
a) Escreva, ao lado de cada figura, a fração correspondente à parte colorida.
b) Comparando as partes coloridas, complete as lacunas com >, < ou =.
c) Troque ideias com um colega sobre as questões a seguir e justifique suas respostas.
I. Determine qual dos números racionais é maior em cada caso.
3
5
7
10ou ?
8
9
1
2ou ?
4
4
8
8
2
8
2
4
6
8
3
4
2
4
3
4
6
8
4
8
3
4
12
16
1
4
4
8
4
4
12
16
56
Matemática
II. O número 3
4é menor que
1
4?
2 Compare os números racionais e complete as lacunas com os símbolos >, < ou =.
a) 3
2
1
7
b) 8
20
4
10
c) 3
60,5
d) 8
3
5
3
e) 6
8
12
16
f) 0,07 0,7
3 Escreva os números racionais a seguir em ordem crescente.
0,333...5
9
2
90,08
15
3
8
3–1,2
4 Leia e analise cada afirmação. Depois, assinale V para as afirmações verdadeiras e F para as falsas.
a) ( ) Todo número racional positivo é sempre maior que qualquer número racional negativo.
b) ( ) Comparando-se duas frações positivas com o mesmo denominador, a maior é aquela que
tem o maior numerador.
c) ( ) Comparando-se duas frações positivas nas quais somente os numeradores são iguais, a maior é aquela que tem o menor denominador.
d) ( ) Quanto mais à esquerda do zero estiver representado um número, maior ele será.
5 Desenhe no espaço abaixo uma reta numérica e localize os seguintes números racionais:
A � �0 3, B � �8
5C � �5 D
35
7E 1 6, F
3
10
Quais são os pares de pontos que apresentam a mesma distância em relação ao zero da reta numérica?
57
Módulo ou valor absoluto de um número racional
O mesmo conceito de módulo ou valor absoluto aplicado aos números inteiros é válido para os números racionais. Lembre-se de que o módulo ou valor absoluto de um número é a distância desse número até o zero em uma reta numérica.
O módulo ou valor absoluto de 6
11
6
11� �
6
11
6
11.
Dois números racionais com sinais contrários são simétricos ou opostos quando têm o mesmo módulo. Veja:
0
1,5
3
–1,5
–3
4
5
4
5–
atividades
1 Determine o valor de:
a) � �7
21
b) � �9
10
c) =
d) =
2
a)
b)
c) 5
12 é o oposto de
d) O simétrico do número 10
9 é
e)
f)
3 > < ou =.
a) 7 4, � �� �
b) 21
3� ��
� �
7
3
c) 1
10
d) � ��
� �
7
23 5,
58
Matemática
Problemas envolvendo números racionais
Em muitas receitas, as quantidades dos ingredientes são expressas por meio de frações, como no exemplo a seguir.
Após o preparo, quantos quilogramas rende a receita? Para responder a essa pergunta, vamos transformar a quantidade dos ingredientes descritos em gramas para quilogramas.
Maçãs 300 g : 1 000 = 0,3 kg
Salsão 100 g : 1 000 = 0,1 kg
Cebola 200 g : 1 000 = 0,2 kg
Batata-palha 150 g : 1 000 = 0,15 kg
Somando as quantidades em quilogramas expressas por números racionais na forma decimal, temos: 0,3 + 0,1 + 0,2 + 0,15 = 0,75 kg.
Somando as quantidades em quilogramas expressas por números racionais na forma de
fração, temos: 1
4
2
5
1
5
5
20
8
20
4
20
17
20� � � � � � kg .
Agora, somando os dois resultados, temos:
0 7517
20
75
100
85
100
160
100
16
101 6
10
10
, ,� � � � � ��
�
Portanto, essa receita de salpicão rende 1,6 kg.
Salpicão de presunto
Ingredientes
1
4 kg de cenoura ralada
2 talos de salsão branco (100 g)
1 cebola média ralada (200 g)
2
5 kg de presunto
1
5 kg de maionese
2 maçãs verdes ácidas (300 g)
1 pacote de batata-palha (150 g)
Cheiro-verde, limão e sal a gosto
Modo de preparo
Coloque em uma tigela o cheiro-verde picado, o li-mão, o sal, a cebola ralada e a cenoura. Misture tudo e deixe descansar. Acrescente à mistura o presunto e as maçãs, cortados em cubos pequenos, e também o salsão, em tirinhas. Por último, junte a maionese e espalhe a batata-palha sobre toda a superfície. O sal-picão pode ser servido como salada ou como recheio para sanduíche natural com pão fatiado.
©Sh
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ck/A
rkad
iusz
Faj
er
59
1 Calcule as operações e apresente o resultado na forma irredutível.
a) �
�
�
� � �
�
�
�
1
3
4
3
b) �
�
�
� � �
�
�
�
3
4
2
8
c) �
�
�
� � �
�
�
�
2
7
1
3
d)
e) 1 84
10,
f) 7
10
4
5
g) 13
5
8
12
h) � � �
�
�
�10
2
9
atividades
Adição e subtração de números racionais
---
Números racionais representados na forma fracionária: �
�
�
� � �
�
�
�
1
9
5
8 .
� �1
9
5
18.
� � � � �1
9
5
18
2
18
5
18
--se simplificar o resultado quando possível.
� � � ��
�
2
18
5
18
3
18
1
6
3
3
60
Matemática
2
PREÇOS DOS ALIMENTOS NOS SUPERMERCADOS
Produto Brasil China
Fonte: PRECIOSMUNDI. Disponível em: <https://pt.preciosmundi.com/>. Acesso em: 27 nov. 2018
a)
o Brasil?
b)
c)
3 -1
102
3
a)
b)
61
c)
d) -da partida?
4 -
OPERADORA DE CARTÕES
Cliente: Gabriela Silva Fatura cartão de crédito número 9999 **** **** **99
Data
______________
Juros e correção
Inova Roupas
Hipermercado
a) na coluna de saldo em reais da fatura.
b) o saldo?
62
Matemática
Multiplicação de números racionais
Situação 12
3 de um bolo de chocolate sobre a mesa. Não resistiu
e comeu 1
4 do restante desse bolo. Que fração do bolo de chocolate ela comeu?
-
matemática desta forma:
1
4
2
3
conside-
de uma operação de multiplicação.
1
6 do bolo.
meio da operação de multiplicação.
1
4
2
3
1
4
2
3
2
12
1
6
2
2
de � � � �:
:
.
2
3 do bolo.
1
4 da parte que encontrou.
2
3
63
Situação 2
multiplicar a quantidade que ele comprou pelo preço
Essas operações podem ser efetuadas de duas formas:
4
10
2 035
100
8140
10008 14� � � , ou
20 35 2
0 4 1
8 140 3
,
,
,
casas decimais
casa decimal
casas decimais
12
10
2 200
100
26 400
100026 40� � � , ou
22 00 2
1 2 1
4 400
22 000
26 400 3
,
,
,
casas decimais
casa decimal
casas d
�
�
eecimais
-nais válidas para a multiplicação de números inteiros.
�
�
�
� � �
�
�
� � �
3
8
1
5
3
40�
�
�
� � �
�
�
� � �
2
7
4
9
8
634 36 1 144 4· , , �� � � � �� �� �
�
�
� � �3
1
8
3
8
mesmo sinal positivo.
sinais diferentes negativo.
22,00R$
por Kg
20,35R$
por Kg
1 uso de plantas.
Berinjela Limão
Preparar o suco diluído 1
4 L
Preparar o suco diluído 1
4 L
atividades
64
Matemática
a) o tratamento por uma semana?
b)
2 Calcule as multiplicações dos números racionais escritos na forma de fração.
a) �
�
�
� � �
�
�
�
9
5
9
7
b) �
�
�
� � �
�
�
�
35
6
5
12
c) �
�
�
� � �
�
�
�
2
3
8
15
d) �
�
�
� � �
�
�
�
13
4
1
7
e) �
�
�
� � �
�
�
�
7
4
13
9
f) �
�
�
� � �
�
�
�
16
15
7
11
3 Calcule as multiplicações dos números racionais escritos na forma decimal.
a) ·
b) ·
c) ·
d) · ·
e) · ·
f) ·
4
3
5
2
5
a) b)
65
Simplificação de números racionais
Vamos efetuar a operação �
�
�
� � �
�
�
�
2
9
15
4 de duas maneiras diferentes.
Multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si e simplificamos o resultado:
�
�
�
� � �
�
�
� � �
2
9
15
4
30
36
5
6
6
6
:
:
Sempre que possível, procuramos um número para dividir o numerador de uma das frações e o denominador da outra antes de fazer a multiplicação. Em seguida, multipli-camos os numeradores e os denominadores das frações resultantes:
�
��
�
��� �
��
�
��� �
�
�
� � �
�
�
� �
2
9
15
4
1
3
5
2
5
6
2
3
3
2
:
:
:
:
Observe que os resultados são iguais. Portanto, é possível simplificar antes ou após efe-tuar a multiplicação.
Exemplos:
�
��
�
��� �
��
�
�� � �
�
�
� � �
�
�
� � �
77
5
4
11
7
5
4
1
28
5
11
11
:
:
�
��
�
��� �
��
�
��� �
��
�
��� �
44
5
32
11
15
16
11
5
516
1611
:
:
::
::
44
1
2
1
3
1
24
124
�
�
� � �
�
�
� � �
�
�
� � �
Note que, ao multiplicarmos uma fração por seu inverso, podemos simplificar os fatores ou o resultado até obtermos 1 no numerador e 1 no denominador.
�
�
�
� � �
�
�
� � �
4
7
7
4
28
281 ou �
��
�
��� �
��
�
��� �
�
�
� � �
�
�
��
4
7
7
4
1
1
1
11
4
7
7
4
:
:
:
:
Um número racional é o inverso do outro quando o produto dos dois números é igual a 1.
atividades
1 Calcule os produtos e apresente-os na forma irredutível.
a) �
�
�
� � �
�
�
�
7
8
8
7
b) �
�
�
� � �� �1
1717
c) �
�
�
� � �
�
�
�
2
9
9
2
d) �� �� ��
�
�6
1
6
66
Matemática
2 -cações e depois multiplique os novos numeradores entre si e os novos denominadores entre si.
a) �
�
�
� � �
�
�
�
3
4
8
15
b) �
�
�
� � �
�
�
�
8
27
9
40
c) �
�
�
� � �
�
�
�
33
34
17
44
d) �
�
�
� � �
�
�
�
12
5
15
4
e) �
�
�
� � �
�
�
�
7
4
28
56
f) �
�
�
� � �
�
�
� � �
�
�
�
25
16
28
45
9
14
3
8
50.
Resolução:
8
50
2 2 2
2 5 5
4
25�
� �� �
�
a) 75
165
b) 120
56
c) 28
385
d) 594
3 465
67
Divisão de números racionais
parcela.
1902 12 19 026 120
10 10
, : �� ��� :6
� �
���� � �
19026 120
120 158 55
702
600
1026
960
66
600
600
600
0
0
,
mesmo sinal positivo.
sinais diferentes negativo.
2
3
5
4
2
3
4
5
8
5: � � �
atividades
1
a) Considerando que cada uma pintou a
essa situação.
b) Que fração do muro cada pessoa pintou?
c) Escreva uma divisão de frações para representar essa situação.
68
Matemática
2 Resolva a divisão �
�
�
� �
�
�
�
30
7
15
14: de duas maneiras diferentes:
a)
entre si.
�
�
�
� �
�
�
� �
30
7
15
14:
b)
�
�
�
� �
�
�
� �
30
7
14
15:
c)
3
a) �� � �3 6 1 8, : ( , )
b) �
�
�
� �
�
�
�
63
10
21
10:
c) 11
5:
d) �
�
�
� �
�
�
�
3
8
9
10:
e) �
�
�
� �
�
�
�
8
15
4
15:
f)
g)
h)
4
a) �
�
�
� �
�
�
�
3
4
21
2:
b) �� � �
�
�
� �� �1 2
2
52, : :
c) 12
56
15
4: �
�
�
�
69
d) � �
�
�
�0 6 1 2
1
4, : , :
e) � �
�
�
�
7
9
28
36:
f) �
�
�
� �
�
�
�
7
25
21
10:
5 o valor de:
a)
1
63
8
b)
9
1627
32
c)
16
4815
21
6
a) acabarem?
b)
70
Matemática
Multiplicação e divisão de números racionais por 10, 100, 1 000, ...
Situação 1
1 g de ouro puro R$ 147,25
-
Situação 2
-
Para multiplicar direita
Para dividir - esquerda
71
atividades
1
a) Determine o valor de uma parcela de cada item do encarte ao lado.
Brincos:
2 esquerda.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
b) -carte ao lado.
Brincos com ametista:
Corrente:
72
Matemática
Revisitando a porcentagem
Situação 1
site -
ou 80
100
fração ou na forma decimal
Fração 300 300 6020
100 � � ��
Decimal 300 300 600 20� � �,
Situação 2
salário.30
100:
2525
100% .
2525
1000 25% , .
73
atividades
1 Atualmente, uma das maiores preocupações mundiais é a redução da emissão de gases poluentes pro-venientes da queima de combustíveis fósseis. Por essa razão, são investidos mais recursos na pesquisa e na produção de combustíveis menos poluentes. Entre essas alternativas, estão sendo testados óleos vegetais, como o de soja. A cada 100 L de óleo de soja, são obtidos 96 L de óleo biodiesel.a) Qual é a porcentagem de óleo biodiesel extraído do óleo de soja?
b) Com 15 000 L de óleo de soja, quantos litros de óleo biodiesel serão obtidos?
2 Dos 325 estudantes de uma escola, 40% concorreram a uma bolsa de estudos que garante desconto no valor da mensalidade. Destes, 30% conquistaram o benefício.
a) Quantos estudantes não concorreram à bolsa de estudos?
b) Do total de alunos que concorreram à bolsa, quantos conseguiram o desconto?
c) Qual é o percentual do total de estudantes dessa escola que receberá o desconto?
3 A vitamina C presente na laranja, em contato com o oxigênio, sofre reações químicas que alteram suas propriedades. Após o preparo de um suco de laranja, por exemplo, o valor nutritivo dessa fruta é reduzido.
Observe, na figura a seguir, como isso ocorre e responda às questões propostas.
3 mg de vitamina C
após meia hora
após mais meia hora
60 mg de vitamina C 15 mg de vitamina C
a) Depois de meia hora em contato com o oxigênio, o suco de laranja perde seu valor nutritivo. Que fração representa essa perda? E que porcentagem essa perda representa?
b) Qual é a redução do valor nutritivo, na forma de porcentagem, após uma hora de preparo do suco?
Ces
ar S
tati
. 200
7. D
igit
al.
74
Matemática
4 Leia o texto a seguir.
Consumidor ainda desconfia de descontos da Black Friday [...]
Segundo pesquisa do Google com 1.500 consumidores de 18 a 54 anos, das classes A, B e C, de todas as regiões do país, em julho deste ano, para 37% dos entrevistados, a confiança nas promoções ainda é o principal motivo para não participar da Black Friday.
CAVALLINI, Marta. Consumidor ainda desconfia de descontos da Black Friday; governo investiga maquiagem de preços. 21 set. 2018. Disponível em: <https://g1.globo.com/economia/noticia/2018/09/21/consumidor-ainda-desconfia-de-descontos-da-black-friday-governo-investiga-maquiagem-de-precos.ghtml>. Acesso em: 30 dez. 2018.
Considerando-se as informações do texto, quantos consumidores entrevistados na pesquisa não participam da Black Friday por não confiar nas promoções?
5 Você se considera uma pessoa de sorte? Os chamados jogos de azar e loterias atraem milhares de apostadores, mas poucos são vencedores. Matematicamente, a chance de uma pessoa ganhar o prêmio da Mega-Sena, por exemplo, é de 1 em 50 milhões de apostas, aproximadamente.
Qual é a chance, em percentual, de se ganhar na Mega-Sena?
6 Existem organizações que acompanham a arrecadação de impostos no Brasil e divulgam esse tipo de informação ao público. Elas mantêm tabelas atualizadas com o valor dos impostos que incidem sobre cada tipo de produto.
Observe, na tabela abaixo, algumas mercadorias e os respectivos percentuais dos impostos pratica-dos em nosso país atualmente. Complete-a e depois responda às questões propostas.
Produto Imposto em %Porcentagem na forma decimal
Sabonete 31,13%
Creme de beleza 57,02%
Perfume importado 78,99%
Fonte: IMPOSTÔMETRO. Relação de produtos. Disponível em: <impostometro.com.br/home/relacaoprodutos>. Acesso em: 26 nov. 2018.
a) Qual seria o valor aproximado do imposto cobrado na compra de um sabonete que custa R$ 2,00?
75
b)
c)
0 4949
100
49
100
7
10, , pois 7
10
49
100
2
�
�
� �
Potenciação e radiciação
Situação 1
· ·
Base
· · .
Situação 2
precisou calcular a medida do lado do quadrado para comprar a quantidade de material neces-sária para cercá-la.
L 0 2525
100
25
100
5
100 5, , km
76
Matemática
atividades
1 -
a) -
Estágio 4
Fração do triângulo do estágio 0
b) -
2 Calcule as potenciações.
a) �
�
�
�
2
7
2
b) 0 54
,� �
c) 3
8
3
�
�
�
d)
3
a) 0 81,
b) 25
196
c) 64
169
d) 16
81
e) 225
256
f) 0 04,
77
Expressões numéricas com números racionais
-
-
-
-dem na resolução das operações:
-servar esta ordem:
- -
passo deste problema será multiplicar -
78
Matemática
1 -
a)
b) Determine o valor do troco em reais.
atividades
2
a) � � �7
4
1
2
3
5
b) [ , ( , )] ( , )0 85 8 5 7 4 � � � �
c) � � �� � � � �� �9
55
1
77
d) � � � �156 36 25 4( )
e) � ��
� � � �� � � �� �1
10
1
47 7 0 5, ,
f) � ��
� � � �
�
� �
�
��
�
��
1
2
7
6
1
2
3
5:
3 1
30 64 0 9
25
100
2
� �
��
�
��, : ,
a) 1
3 b)
9
5c)
9
6d)
16
3e)
28
375
79
1 Localize os pontos indicados a seguir na reta numérica.
Ponto A B C D E F
Abscissa3
5
6
4
12
10
2
o que já conquistei
3 a)
b)
c)
d)
4
a)
b)
c)
d)
e)
f)
80
Matemática
5 Escreva cada número racional em notação decimal.
a) 1
2
b) 1
20
c) 30
6
d) 8
5
e) 7
8
f) 9
8
6 questões propostas.
A cada ano, 26 milhões de bagagens são danificadas, furtadas ou extraviadas em aeroportos em todo o mundo. Em um voo com 300 passageiros, três terão algum tipo de problema com a bagagem. É um transtorno para quem viaja e um custo elevado para as companhias, que, no ano passado, gastaram 2,6 bilhões de dólares com indenizações e despesas adicionais. [...]
SAKATE, Marcelo. Os crimes das malas. Veja, São Paulo, n. 2350, p. 104-105, 4 dez. 2013.
a)
b) 26
10 de um bilhão? Justifique sua
resposta com cálculos.
7 -3
4
equilibrando os pratos.
1kg
81
8 Em uma pizzaria, vendem-se pizzas de 6, 8 e 12 fatias. Complete a tabela com as frações correspon-dentes às quantidades de fatias.
Tipo de pizza Uma fatia Duas fatias Três fatias
Metade de uma fatia
6 fatias1
6
2
6
1
3
8 fatias2
8
1
4
12 fatias1
12
9 Todo mês, a fim de guardar dinheiro para alguma emergência, um trabalhador coloca 1
10 de seu
salário na poupança.
a) Escreva essa fração na forma de número decimal e de uma porcentagem.
b) Sabendo que 1
3 do restante do salário é usado para alimentação e vestuário, que fração sobra
para o trabalhador?
©S
hu
tte
rsto
ck/E
l N
ari
z
c) Escreva o valor obtido no item b na forma de porcentagem.
10 Para evitar o desperdício, muitos restaurantes vendem a co-mida por quilograma. O cliente se serve e passa pela balança para pesar o prato. Em um desses restaurantes, 1 kg de comi-da custa R$ 34,80. Quantos reais equivalem a 356 g de comida nesse restaurante?
Jack Art. 2
00
7. D
igital.
11 Uma professora fez uma pesquisa para saber como seus alunos ocupam o tempo destinado ao lazer.
Dos 42 alunos, 1
6 prefere jogos eletrônicos,
2
7 preferem atividades esportivas, e o restante prefere ler.
a) Que fração dos alunos optou pela leitura?
b) Quantos alunos optaram pelos jogos eletrônicos?
c) E quantos preferiram atividades esportivas?
82
Matemática
12 -bluetooth
LojaDesconto em porcentagem
Desconto em número
decimal
Desconto em forma de
fração
Valor do desconto
Preço com desconto
17
100
B
C
13
a) 5
33 2
4
7
1
7� �� � �, :
b)
c) ��
� � ��
� � � � �
39
10
13
101 5 0 03: ( , ) : ( , )
d) ( , ) ( , ) : ( , )� � � � ����
���
1 2 15 3 5 13
2
14
a) 2 56,
b)
c) 0 09,
d)
e) 121
144
f) 8349
196
0 04,
83
15 Na ilustração a seguir, a partir do estágio 1, considere a fração correspondente ao menor quadrado em cada etapa de construção. Em seguida, responda às questões propostas.
Estágio 0 Estágio 1 Estágio 2 Estágio 3
a) Em quantas partes cada lado do menor quadrado é dividido para obter quadrados menores?
b) Considerando-se o estágio 1, é possível afirmar que o lado do quadrado menor representa que fração do lado do quadrado maior?
c) Escreva a sequência, em ordem decrescente, das frações que representam os lados dos qua-drados menores em cada etapa de construção da figura.
16 O quadrado ABCD representa um terreno dividido em lotes identificados pelas cores amarela, ver-melha, azul e branca.
Quadrado azul: 1
36 da área de ABCD.
Quadrado vermelho: 4
36 da área de ABCD.
Quadrado amarelo: 16
36 da área de ABCD.
Parte branca: restante.
Determine
a) a fração correspondente ao lado de cada lote: azul, vermelho e amarelo;
b) a fração correspondente à superfície branca do quadrado ABCD;
c) a medida do lado do quadrado ABCD, sabendo que o perímetro do maior lote mede 480 m;
d) a área de cada lote.
17 Junte-se com um colega e elaborem uma situação-problema na qual constem operações com nú-meros racionais em sua solução. Em seguida, troquem esse problema com outra dupla e tentem resolver o problema escrito por eles.
A B
D C
84
Material de apoio7°. ano – Volume 2
Matemática
Capítulo 5 – Página 33 – Atividades
�
1
