Sequência ou Sucessão Introdução:

Em muitas situações da vida diária aparece a idéia de seqüência ou sucessão. Assim, por exemplo, temos:

✏ A seqüência dos dias da semana (domingo,

segunda,..., sábado).

✏ A seqüência dos meses do ano (janeiro,

fevereiro,..., dezembro).

✏ A seqüência dos números naturais (0,1,

2,...). O estudo de seqüências

lógicas despertou o interesse de vários pesquisadores, Fibonacci, entretanto foi o primeiro a propor os primeiros problemas sobre seqüências, através da observação de fenômenos naturais. Seu problema mais famoso é: “Um casal de coelhos torna-se produtivo após dois meses da vida, a partir de então, produz um novo casal a cada mês”. Começando com um único casal de coelhos recém nascidos, quantos casais serão ao final de um ano? Ao final do ano, teremos 376 casais. A maneira mais simples de demonstração é: 1 + 1 = 2 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5 3 + 5 = 8 5 + 8 = 13 . . . . . . . . . 144+233 = 377

Em todas essas situações observamos certa ordem nos elementos de um conjunto. Esses elementos são também chamados TERMOS da seqüência ou sucessão. Na seqüência dos meses do ano, temos: 1º termo: janeiro 2º termo: fevereiro 3º termo: março 12º termo: dezembro

Se representarmos o 1º termo por a1 (lê-

se a índice um), o 2º termo por a2, o 3º termo

por a3 e assim por diante, até o termo de ordem

n ou enésimo termo (an), essa seqüência pode

ser representada por: (a1, a2, a3,..., an) nesse exemplo, temos:

a1= janeiro a10= outubro a7= julho

a12= dezembro

Determinação de uma seqüência

Algumas seqüências são dadas por regras ou leis matemáticas chamadas leis de formação, que possibilita explicitar todos os seus termos.

A seqüência an= 2n – 1, n ∈∈∈∈ ℕℕℕℕ*, é dada por: ✏ para n = 1

✏ para n = 2 ✏ para n = 3 ✏ para n = 4 Exemplos: 1) Escrever a seqüência finita f cujos termos obedecem à seguinte fórmula de recorrência:

a1 = 2 e an = an – 1 + 3, ∀∀∀∀ n ∈∈∈∈ { 2, 3, 4, 5, 6} 2) Escrever os cinco termos iniciais da seqüência infinita g dada pela seguinte fórmula

de recorrência: b1=1 e bn= 3.bn – 1, ∀ n ℕ e n ≥ 2.

Exercícios 1º) Determine as sucessões indicadas abaixo:

a) an = 1/n + 2n e n ∈ {1, 2, 3, 4}

b) an = 3 – 2n e n ∈∈∈∈ {1, 2, 3, 4,5}

2º) (UFBA) A soma do 3º e 4º termo da seqüência:

a1 = 18

an + 1 = 18 + (-1)n + 1. an ; n ∈∈∈∈ ℕ* é:

Prof. Ricardo Augusto

a) -36 b) -18 c) 0 d) 18 e) 36 3º) (Cesgranrio) Os Termos da sucessão a1, a2,

a3,...,an. Estão relacionados pela fórmula

an + 2 = 2an + an + 1; onde n =1, 2, 3,... Se

a1 = a2 = 1, então a5 é:

a) 0 b) 1 c) 6 d) 11 e) 21 4º) (PUC-SP) Na seqüência (1, 1, 2, 3,...) onde an + 1= an + an – 1; o oitavo termo é:

a) 20 b) 21 c) 18 d) 19 e) 17 5º) (MACK-SP) Qual o oitavo termo da seqüência: a1 = 3

an= an – 1 + 2, n ≥ 2

a) 5 b) 13 c) 18 d) 17 e) 20 6º) (Fuvest-SP) Seja a seqüência an = 2n – 1 –

n2, com n ≥ 1. Escreva os quatros primeiros termos desta seqüência: a) (0, -1, -4, -9) b) ( 0,1, -2, 2) c) (1, -3, -5, -7) d) ( -1, 0, 1, 3) e) (-1, 0, 2, 4) 7º) (UFAL) O termo geral de uma seqüência é

an = 4n – 7 ∀∀∀∀ n ∈∈∈∈ ℕ* . A soma dos vinte

termos iniciais dessa seqüência é: a) 720 b) 700 c) 670 d) 640 e) 580

Resolução: